Явная формула для символа Гильберта в многомерных полных дискретно нормированных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Глава 1. Явная формула для символа Гильберта

1.0 pN-примарных элементах I.Явная формула в одномерном случае З.Явнал формула в многомерном полном поле А.Важные технические леммы

Глава 2. Доказательства

5.Соотношение Кнезера

6.Соотношение нормирования.

7.Кососимметричность отображения

8.Независимость спаривания

9. Частный случай пропорциональности отображения

10. Частный случай соотношения Стейнберга II.Инвариантность спаривания

12.Пропорциональность спаривания

1. При обобщении знагленитого квадратичного закона взаимности Гаусса на поле алгебраических чисел, математики XIX века натолкнулись на серьёзные препятствия. Чтобы их обойти, Гильберт (D. Hilbert) в работе [24], предложил совершенно новый подход к проблеме. Этот подход использовал символ норменного вычета, называемый теперь символом Гильберта. В каждом поле алгебраических чисел Я", содержащем корни степени п из единицы, вводится символ норменного вычета который любым двум числам а и [3 и простому идеалу р поля К ставит вt. ГооП Г»соответствие корень степени и единицы ^м. ). и терминал л ш и символа общий закон взаимности в поле алгебраических чисел формулируется следующим образомТаким образом, вопрос о нахождении явного вида общего закона взаимности сводится к вопросу о нахождении явного выражения символа Гильберта (а, /3)р через а и (3 при произвольном идеале поля К.

Символ Гильберта играет важную роль в теории алгебраических чисел и арифметической геометрии. В частности, явная конструкция локальной теории полей классов может быть осуществленна только при наличии явной формулы для символа Гильберта. При таком подходе, локальная теория полей классов должна быть аналогична теории линейных пространств с антисимметричным скалярным произведением (роль такого произведения и играет символ Гильберта).

В случае локального поля с полем вычетов нечетной характеристики такая формула была получена С. В. Востоковым в 1978 г. (см.[4]) и обобщена на произвольное полное дискретно нормированное поле в 1979 г. (см. [5]), а в случае полного дискретно нормированного поля с полем вычетов характеристики 2 — X. Брюкнером в 1979 г. (см. [17]) и Г. Эньяром в 1981 г. (см. [23]).

В целях исследования (^-функции на абелевых многообразиях А. Паршин и К. Като ввели новый тип полей — так называемые многомерные локальные поля, которые являются естественным обобщением классических локальных полей.

Полное дискретно нормированное поле К называется n-мерным полем, если для него существует последовательность полных дискретно нормированных полей., удовлетворяющих следующим условиям:• KW = К• К— к - совершенное поле;• для любого г £ {1,., гг} поле Ка-1) изоморфно полю вычетов К®. Таким образом, классические дискретно нормированные поля являются одномерными полями в смысле этого определения.

Паршиным и Като была построена теоория полей классов для многомерных полей с использованием iC-групп Милнора. В связи с этим возник вопрос построения явной теории полей классов. Как и в одномерном, классическом, случае, этот вопрос тесно связан с построением явной формулы для символа Гильберта.

В случае нечётной характеристики последнего поля вычетов явная формула для символа Гильберта была получена С. В. Востоковым в 1985 г. (см. [7]) в случае разнохарактеристического поля и в 1995 г. (см. [3]) в случае поля смешаной характеристики. Также была получена явная конструкция теории полей классов для двумерного локального поля (см.

Случай многомерного поля с четной характеристикой поля вычетов оставался открытым, что не позволяло построить явным образом теорию полей классов для многомерных полей.

В первой главе диссертации строится явная формула для символа Гильберта в произвольном многомерном полном дискретно нормирован-номи поле, без каких либо ограничений на размерность или характеристику последнего поля вычетов, что закрывает вопрос о нахождении явной формулы для полей с последним полем вычетов характеристики 2. Там же проверяется совпадение с результатами Брюкнера и Востокова во всех ранее изученных основных случаях: для классических полных дискретно нормированных полей, многомерных разнохарактеристических полей и полей смешанной характеристики с последним полем вычетов нечётной характеристики.

2. Рассмотрим более подробно различные определения символа Гильберта и введем основные обозначения, которых будем придерживаться на протяжении всей работы.

Пусть К - полное дискретно нормированное поле нулевой характеристики с совершенным полем вычетов А; характеристики р > 0. Предполагаем, что К содержит все корни степени pN из 1.

Пусть W = W(k) - кольцо векторов Витта и Q^ группа pN-примарных элементов поля if, то есть единиц, присоединение корней степени pN из которых к полю К дает неразветвленное расширение.

Теория простых центральных алгебр над К, развитая в работах [32], [29], [31], [20], дает возможность строить билинейное спаривание(, ) : К* х К* —>нормированное соотношением (7г,а>) = и>, где 7г - простой элемент в К и uj € Qpj.

Это определение согласуется с обычным определением символа Гильберта в случае, когда к - конечное поле. В этом случае неразветвленное расширение К(р^/ш)/К имеет канонический автоморфизм Фрибениуса, <р. Определим характер х на группе Qn := е м. (1)Тогда обычный символ Гильберта является билинейным кососимметри-ческим спариванием на К* со значениями в которое нормированно равенством(7T,w)=xM.

3. Пусть теперь К - полное ге-мерное поле, k его последнее поле вычетов (совершенное, не р-замкнутое). Пусть, как и выше, К содержит все корни степени pN из 1. Тогда можно дать следующее определение.

Определение 2 Символом Гильберта на К будем называть полилинейное отображение(,.,) : Я&(ЛГ)-» Or, ' (2)нормированное соотношением (ti,., £n,u>) = uj для любого набора локальных параметров поля К и любого примарного элемента и> G О//.

Группа р^-примарных элементов Qn, согласно теории Куммера, соответствует неразветвленным куммеровым расширениям поля К степеней, делящих/?^. Поэтому группе Одг соответствуют абелевы расширения поля к степеней, делящих pN, которые описываются по теории Витта фактор-группой WJ(pNW -f p(W)), где W = W(k) — кольцо векторов Витта и р = А — 1 — оператор Картье (см. [10]). Получаем изоморфизмf:QN^W/(pNW + p(W)). (3)Предложение 1 В явном виде изоморфизм (3) описывается следующим образом'f:QN > W/{pNW + p(W) и (а) I—> а.

Замечание 1 Это предложение является следствием предложения 3, доказываемого во второй главе диссертации.

4. Определим теперь символ Гильберта другим способом — с помощью отображения взаимности. Пусть сначала К - n-мерное локальное поле с конечным последним полем вычетов. Тогда существует непрерывное и инъективное отображение взаимностиФк : Кор(К) —Gal (KahjK)со стандартными функториальными свойствами.

3) Норменное свойство:где - произвольная система локальных параметров поляAT, а/ - У^-примарный элемент в А", и % характер на группе О/у (см. (1)).

Замечание 2 Это предложение доказывает, что символ Гильберта, определенный в (2), задан единственным образом. Второе определение символа Гильберта (4) с помощью отображения взаимности дает теорему существования такого символа. В явном виде существование будет доказано ниже (см. теорему 2). Доказательство: Проверим сперва, чтоx((ti,.1tnip))=<tll.,tn,p> (6)для любой системы локальных параметров t\и любого элементарек*.

Согласно арифметике поля К, любой элемент /5 £ К* можно представить в видег>0, (р,г)=1где 0 £ 9f £ f — (ri,. гп) - мультииндекс, = 1 означает, что (р,Гг) — 1 Vz, a up £ Un примарный элемент, сответствующий ft (см. [8], [7]).

Стандартным рассуждением с применением соотношения Стейн-берга (см. [7]) получаемx((th.,tn,p)) = х(й.= хМ,что доказывает (6).

1. Т. Б. Беляева, С. В. Востоков, Символ Гильберта в полном многомерном поле 1. Записки научных семинаров ПОМИ 281 (2001)

2. С. В. Востоков, Спаривание на К-группах многомерных полных полей Труды С.-Петерб. Мат. Общ., 3 (1994), 140-184; English transl. in Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165 (1995), 111-148

3. С. В. Востоков, Спаривание Гильберта в полном многомерном поле Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 208 (1995), 80-92; Engl, transl. in Proc. of the Steklov Institute of Math., 208 (1995), 72-83

4. С. В. Востоков, Явная форма закона взаимности Изв. АН СССР. Сер. матем., 42, вып. 6 (1978), 1287-1320

5. С. В. Востоков, Символ Гильберта в дискретно нормированном поле Зап. научн. семин. ДОМй, 94 (1S7S), 50-69; Engl transl. in J. Sov. Math., 19, No. 1 (1982), 1006-1019

6. С. В. Востоков, Символ Гильберта для формальных групп Любина— Тэйта I Зап. научн. семин. ЛОМИ, 114 (1982), 77-95; Engl transl. in J. Sov. Math., 27, No. 4 (1984), 2885-2901

7. С. В. Востоков, Явная конструкция теории полей классов для многомерных локальных полей Изв. АН СССР. Сер. матем., 49, вып. 2 (1985), 283-308; Engl, transl. in Math. USSR-Izv., 26, No. 2 (1986), 263-288

8. С. В. Востоков, И. Жуков, И. Фесенко, К теории многомерных полных полей. Методы и конструкции Алгебра и анализ, 2, No. 4 (1990), 91-118; Engl, transl. in Leningrad Math. J., 2, No. 4 (1991), 775-800

9. С. В. Востоков, И. Б. Фесенко, Символ Гильберта для формальных групп Любина-Тэйта IIЗап. научн. семин. ЛОМИ, 132 (1983), 85-96; Engl, transl. in J. Sov. Math., 30, No. 1 (1985), 1854-1862

10. И. Жуков, Структурная теорема для полных полей Труды С.-Петерб. Мат. Общ., 3 (1994), 215-234; Engl, transl. in Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 165 (1995)

11. И. Жуков, А. Мадунц, Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия Труды С.-Петерб. Мат. Общ., 3 (1994), 4-46;Engl, transl. in Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 165 (1995)

12. А. Мадунц, О сходимости рядов над локальными полями Зап. научн. семин. ЛОМИ, 198 (1991), 28-30

13. А. Мадунц, О сходимости формальных сумм рядов над двумерными полными полями Зап. научн. семин. ЛОМИ, 227 (1995), 89-92

14. А. Паршин, К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты Изв. АН СССР. Сер. мат., 40 (1976), 736-773; Engl, transl. in Math. USSR-Izv., 10 (1976)

15. И. Б. Фесенко, Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов Изв. АН СССР. Сер. матем., 57, No. 4 (1993), 79-91

16. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов Труды МИАН, 165 (1984), 143-170

17. Н. Bruckner, Hilbertsymbole zum Exponenten pn und Pfaffische Formen Hamburg, 1979, 78s

18. I. Fesenko, Abelian local p-class field theory Math. Ann., 301 (1995), 561-586

19. I. Fesenko, S. Vostokov, Local Fields and Their Extensions: a constructive approach AMS, Providence, RI (1993)

20. H. Hasse, Die Gruppe der pn-primaren Zahlen fur einen Primteilerp von p J. reine und angew. Math., Bd. 176 (1936), 174-183

21. H.Hasse, Die Normenrestteorie relativ Abelisher Zahlkorper aus Klassenkorperteorie im Kleinen , J. fur reine und angew. Math. 168 (1930), 145-168

22. H.Hasse, Bericht uber neuere Untorsuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraichen Zahlkorper, II, Reziprozitatsgesetz, Leipzig -Berlin (1930)

23. G. Henniart, Sur les lots de recipocite explicites. I J. reine und angew. Math. 329 (1981), 172-203

24. D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Bd. I (1932)

25. D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Bd. Ill (1932)

26. K. Kato, A generalization of local class field theory by using К-groups, J J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. Math., 26 (1979), 303-376; //, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I. A Math., 27 (1980), 603-683

27. M. Kneser, Zum expliziten Reziprozitatsgesetz von I. R. Schafarefic, Math. Nachrichten, Bd. 6 (1951), 89-96

28. K. F. Lai, S. V. Vostokov, Explicit pairing and claasfield theory of multidimensional complete fields, Algebra i Analiz 11 (1999), no. 4, 95-114; translation in St. Petersburg Math. J. 11 (2000), no. 4, 611-624

29. H. L. Schmid, Uber das Reziprozitatsgesetz in relativ-zyklischen alge-braischen Funktionenkorpern mit endlichem Konstantenkdrper Math. Zeitschrift Bd. 40 (1935), 94-109

30. S. Sen, On explicit reciprocity laws, J. fur reine und angew. Math. Bd. 313 (1980), 1-26

31. O. Teichmiiller, Zerfallende zyklische p-Algebren J. reine und angew. Math., Bd. 176 (1937), 157-160

32. E. Witt, Zyklische Korper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekten Korper mit vollkommenem Restklassenkorper der Charakteristik p J. reine und angew. Math., Bd. 176 (1937), 126-140