Арифметические свойства спаривания Гильберта на формальных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1°. Проблема получения явных формул для символа Гильберта имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе [2]. В этой работе были получены явные формулы для символа Гильберта в круговом расширении Кп = Qp(Cn), Of = Для пар (а,Сп) и (а, (п - 1), где а; — главная единица. В частности, л \ A~Frtr loga

ОС, Cnjn = Cn P где tr = tr Kn/Qp жрф2.

Другой тип явных формул имеет свои корни в формулах Куммера [18]. Результат Куммера на современном языке можно написать следующим образом. Пусть Ki =';.Qp(£i), р ф 2. Для главной единицы е = 1 + ai7Г + а2тт2 + ., где 7г = ^^уни^^рмизующая К\ и а{ Е Z, обозначаем ряд 1 + а\х + а2х2 + . через'^ж)-, таким образом £(7г) = е. Тогда для главных единиц е и г/ из К\ имеет место формула ч >.res х (log n-f- log е/хр)

M)i = Ci ~

Мы видим, что в формулах Артина-Хассе ответ дается в виде следа некоторого числа, в формулах Куммера — в виде вычета некоторого ряда. В этом смысле второй тип формул ближе к аналогиям с алгебраическими функциями.

Дальнейшее получение явных формул для символа Гильберта пошло по этим двум направлениям — типа Артина-Хассе и типа Куммера. Надо отметить, что в первом направлении на один из аргументов, например, на второй, всегда накладываются ограничения вида v{f3 — 1) > где v - регулярное нормирование. Соответствующие явные формулы типа Артина-Хассе в круговом поле Qp(Cn) были получены К. Ивасава [16], а в произвольном локальном поле — Ш. Сеном [20]. Полные формулы Куммеров-ского типа в локальном поле были получены независимо X. Брюкнером [6] и С. Востоковым [23].

2°. Понятие символа Гильберта допускает обобщение на случай произвольной формальной группы над кольцом целых локального поля (см. [14]). При

- з этом обычный символ Гильберта получается как частный случай обобщенного символа Гильберта для мультипликативной формальной группы. Полной классификации формальных групп в настоящее время не существует, однако приведенное ниже описание некоторых классов формальных групп свидетельствует об их многообразиии.

В локальной теории полей классов исключительно важную роль играет теория формальных групп Любина-Тэйта, которая позволяет конструктивно строить абелевы расширения локальных полей. Формальные группы Любина-Тэйта (см. [19]) находятся ближе всех остальных групп к мультипликативной формальной группе и имеют наиболее простое строение. Они также известны тем, что в отличие от большинства других формальных групп, строящихся по своему логарифму, могут быть определены через выделенную изогению.

Обобщением формальных групп Любина-Тэйта, незначительным с точки зрения теории формальных групп, но достаточно существенным в некоторых аспектах локальной теории полей классов, являются относительные формальные группы Любина-Тэйта (см. [10]). Они также весьма просты по своей структуре и определяются через выделенный гомоморфизм.

Идя дальше по пути обобщения, мы встретимся с таким замечательным классом формальных групп, как формальные группы Хонды (см. [15]). С одной стороны, эти формальные группы вполне изучены и полностью классифицированы, а с другой, представляют собой достаточно общий случай — например, ими исчерпываются все формальные группы для как базисного поля. Но формальные группы Хонды, хотя и являются обобщением групп Любина-Тэйта, строятся по своему логарифму. Если же мы намереваемся обобщить какие-нибудь результаты, касающиеся формальных групп Любина-Тэйта, на случай групп Хонды, то нам необходимо иметь аналог конструкции Любина-Тэйта с выделенным гомоморфизмом для формальных групп Хонды.

3°. Общий метод получения формул типа Куммера состоит в следующем. а) В соответствующем модуле (это либо мультипликативная группа классического локального или многомерного локального поля, либо группа точек формальной группы) строится так называемый базис Шафаревича (см. [21]). б) Задается в явном виде спаривание на том же множестве, на котором определен символ Гильберта. В классическом случае это спаривание на множестве К* х К*, где К — локальное поле; в п-мерном локальном поле К - на множестве х К*, где К^Р(К) — топологическая /^-группа Милнора; в случае формальных групп — на множестве К* х ^(М), где .Р(М) — группа точек формальной группы ^ на максимальном идеале М локального поля К.

Далее проверяются основные свойства построенного спаривания, самыми важными из которых являются инвариантность выбора униформизую-щего элемента и независимость от разложения элементов в ряды по уни-формизующему элементу. В формуле Куммера, например, инвариантность означает, что ответ не изменится, если униформизующую тт = £ — 1 заменить на другую униформизующую; а независимость — что результат не изменится, если выбирать разные разложение аргумента в ряд по тт. в) Проверка совпадения построенного явного спаривания с символом Гильберта на парах униформизующая, элемент базиса Шафаревича. г) Проверка совпадения явного спаривания с символом Гильберта на любых элементах, используя инвариантность и независимость явного спаривания, что дает для символа Гильберта явную формулу.

Впервые этот метод был успешно применен в работе [23] (см. также [13,

глава VII]) для классического случая символа Гильберта в локальном поле. В дальнейшем он применялся для получения явных формул символа Гильберта в следующих случаях: а) многомерное локальное поле (см. [27]); б) формальные группы Любина-Тэйта (см. [12, 24-26, 28]); в) одномерные формальные группы Хонды для символа Гильберта первой степени (см. [4, 5]).

Отметим, что метод хорошо работает в тех случаях, когда определено обобщение функции Артина-Хассе Е{х) = ехр(ж + ^ + + .), которая впервые появилась в работе [2]. В частности, в случае формальных групп это возможно для групп Любина-Тэйта и формальных групп Хонды, для которых есть полная классификация.

4°. Явные формулы типа Куммера для многомерных групп Хонды были получены В. Абрашкиным [1]. Однако его метод в корне отличается от описанного выше: вместо построения базиса Шафаревича он использует теории р-адических периодов Фонтэна.

Для полноты картины укажем основные результаты, полученные в направлении обобщения формулы Артина-Хассе. Кроме вышеупомянутых работ [2, 16, 20], относящихся к классическому символу Гильберта в локальном поле, для формальных групп Любина-Тэйта формулы типа Артина-Хассе были выведены А. Уайлсом [29] для полей деления изоге-нии [7гп] и В. Колывагиным [17] для поля К, содержащего поле деления изогении [7ГП]. Р. Колеман [7, 8] в мультипликативном и частично в случае формальных групп Любина-Тэйта также получил сильные продвижения. Его формула в общем случае формальных групп Любина-Тэйта была проверена И. де Шалитом [9]. Эта формула была обобщена Ю. Сейоши [22] на случай относительных формальных групп Любина-Тэйта. Ф. Детрам [11] обобщил формулы Ш. Сена на формальные группы Любина-Тэйта. Формулы Ш. Сена также были обобщены на ^-делимые группы Д. Бенуа [3].

5°. Как обсуждалось выше (см. п.2°), несмотря на то, что формальные группы Хонды являются обобщением формальных групп Любина-Тэйта, их определения имеют совершенно разную природу. Это не позволяет напрямую использовать общий метод построения явной формулы для обобщенного символа Гильберта, описанный в п.3°. Проблема заключается в том, что формальная группа Любина-Тэйта имеет выделенную изогению, удовлетворяющую "полезному свойству" [7r]ir = xq mod тт. У формальной же группы Хонды изогения [к]р этим свойством не обладает. Попытка, предпринятая в работах [4,5] использовать \k\f несмотя на отсутствие "полезного свойства", показала всю сложность применения данного подхода для формальных групп Хонды (формула была получена только для символа Гильберта первой степени).

Данная диссертация посвящена модификации общего метода, описанного в п.3°, для применения его к формальным группам Хонды. Идея этой модификации навеяна построением явной формулы для случая относительных формальных групп Любина-Тэйта, занимающих промежуточное положение между формальными группами Любина-Тэйта и формальными группами Хонды. Изогения [тг]относительной формальной группы Любина-Тэйта также не обладает "полезным свойством", однако по определению этой группы гомоморфизм [n]F,Fh им обладает. Поэтому кажется естественным использовать именно этот гомоморфизм. Однако это требует другого определения обобщенного символа Гильберта и выражения "стандартного" символа Гильберта через этот " вспомогательный".

Таким образом, модифицированный метод построения формул типа Кум-мера выглядит следующим образом а) Нахождение гомоморфизма / из данной формальной группы F в некоторую другую формальную группу F\, обладающего " полезным свойством" / = xq mod тт. б) Определение "вспомогательного" символа Гильберта, использующего / и нахождение связи между этим "вспомогательным" символом и "стандартным" обобщением символа Гильберта. в)-е) Применение общего метода из п.3° для получения явной формулы для "вспомогательного" символа. ж) Получение явной формулы для "стандартного" обобщения символа Гильберта с помощью формулы, связывающей "стандартный" и "вспомогательный" символ.

Применение этого метода для относительных формальных групп Любина-Тэйта не представляет особого труда. Действительно, в этом случае в качестве / можно взять выделенный гомоморфизм . Отличие от обычных формальных групп Любина-Тэйта не очень сильное, поэтому мы позволили себе изложить построение явной формулы в главе III без доказательств.

6°. Принципиально иную ситуацию мы имеем при применении модифицированного метода построения явных формул типа Куммера в случае формальных групп Хонды. Построению гомоморфизма / посвящена

глава IV. Хотя формальная группа Рг, гомоморфизмом в которую является /, задается явно, сам гомоморфизм / найти в явном виде не удается. Это создает по сравнению со случаем относительных формальных групп Любина-Тэйта существенные сложности.

Глава V посвящена определению "вспомогательного" символа Гильберта с помощью гомоморфизма /, построению обобщенного базиса Шафаревича на группе точек и вычислению значений символа Гильберта на образующих базиса. Оставшаяся часть модифицированного метода изложена в главе VI. А именно, задается в явном виде спаривание для рядов, с помощью которого явно определяется спаривание, заданное на той же паре множеств, что и обобщенный символ Гильберта. Исследуются свойства этого спаривания, из которых следует, что оно совпадает с обобщенным символом Гильберта, давая тем самым для него явную формулу. Наконец, зная связь " стандартного" обобщенного символа Гильберта и "вспомогательного", получаем явную формулу для обобщенного символа Гильберта.

Следует подчеркнуть, что несмотря на то, что данная диссертация основана на разработанном С. Востоковым общем методе построения явных формул типа Куммера, некоторые идеи были навеяны работой В. Абраш-кина [1]. В частности, идея о том, что ряд, вычет которого нужно взять для построения явной формулы для символа Гильберта, следует искать в алгебре рядов Лорана принадлежит В. Абрашкину. В предшествующих работах [4, 5, 12, 23-26, 28 ] для этой цели использовалось кольцо 0{х} рядов Лорана, коэффициенты которых при стремлении степени к —оо стремятся к 0.

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1°. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Одномерной коммутативной формальной группой над А называется степенной ряд F Е у]], удовлетворяющий следующим условиям

1) F(z,0) = F(0,x) = ж,

2) F(F(x,y),z) = F(x,F(y,z)),

3) F{x,y) =F(y,x)

В дальнейшем такие группы мы будем называть просто формальными группами. Естественными примерами формальных групп служат аддитивная формальная группа Fa(x, у) = х + у и мультипликативная формальная группа Fm(x,y) = х + у + ху.

2°. Изогенией формальных групп F и G называется степенной ряд / Е А[[ж]]о, для которого f(F(x,y)) = G(f(x),f(y)). Множество изогений из F в G обозначается Hom^F, G) и имеет структуру Z-модуля.

Кроме того, Hom^F, G) вкладывается в А посредством сопоставления ряду его коэффициента при х. Это позволяет использовать запись / = [o]f,g для изогении f(x) = ах +■•■.

Множество End a{F) имеет структуру кольца. В этом случае обозначается просто как [а]р.

3°. Для любой формальной группы F существует и единственен степенной ряд Л Е (Z 0 А)[[ж]]о, для которого \(F(x,y)) = Х(х) + Л (у) и Х(х) = х mod deg2. Этот ряд называется логарифмом F. Несложно проверить, что Е

4°. В настоящей работе мы будем рассматривать формальные группы над кольцом целых локального поля. Важнейший пример таких групп дают формальные группы Любина-Тэйта.

Пусть р — простое число, р ф 2, к — локальное поле (конечное расширение Qp), О — кольцо целых к, тт — униформизующая к, q — pf — мощность поля вычетов к. Определим

Т-р; = {/ Е О[[я]]о : f{x) = жх mod deg2, f(x) = xq mod 7r}.

Тогда для любого / Е существует и единственна формальная группа F над С, называемая формальной группой Любина-Тэйта, для которой = mf

5°. Данная конструкция допускает следующее обобщение. Пусть к' — конечное неразветвленное расширение к, Ог — кольцо целых поля к', 9Л' — его максимильный идеал, А — автоморфизм Фробениуса расширения к'/к, тт' — униформизующая к' и {/ е 0'[{x]]Q : f(x) = тт'х mod deg2, f(x)=xq mod тг}.

Тогда для любого / Е существует и единственна формальная группа F над О', называемая относительной формальной группой Любина-Тэйта, для которой / = Mjpfa. Очевидно, что в случае к' = к мы получим обычные формальные группы Любина-Тэйта.

6°. Существенным обобщением обоих приведенных выше типов формальных групп являются формальные группы Хонды. Пусть А — оператор, действующий на по правилу А(Есг-жг) = Еcfxql, и и = ао + сц А +., где аг- Е О'. Такие операторы образуют некоммутативное кольцо формальных степенных рядов от переменной А с правилом умножения ка = аАк, a Е О'. При этом для любых двух операторов и, v и ряда ср Е /г'[[ж]]о выполняется u(vip) = (uv)(p.

Предположим, что «о = п- Тогда ряд Л Е для которого и\ = О mod тт и Х(х) = х mod deg2, является логарифмом некоторой формальной группу F над О', называемой формальной группой Хонды. Оператор и в этом случае называется типом F.

Формальные группы Любина-Тэйта имеют тип и = ж — А. Относительные формальные группы Любина-Тэйта имеют тип и — тт — тт/тт' к.

Изогении формальных групп Хонды имеют простое описание. А именно, Нот o'{F, G) = {а Е О' : au = va} и Ende>/(F) Э О для формальных групп Хонды F и G типа и и и соответственно.

7°. Очевидно, что данная формальная группа Хонды F имеет бесконечное множество типов, а именно, имеет место следующее несложное утверждение: если и — тип F, то v является типом F в том и только в том случае, если и = ev, где е — 1 + bi к + ¡^А2 + • ■ •, h Е О'. Такие типы называются эквивалентными.

Используя подготовительную лемму Вейерштрасса в кольце ö'[[a]], несложно проверить, что для любой формальной группы Хонды F существует единственный канонический тип: и — -к — fti А — • ■ • — ühkh, ai,. , a^-i Е 971', а^ Е О' — обратим.

Этот тип определяет группу F однозначно с точностью до изоморфизма. При этом h будет высотой F (h = htF), т.е. [тг] mod тт имеет первый ненулевой коэффициент при xq

Вместе с каноническим типом и мы будем часто использовать эквивалентный ему тип и = тг - аккк - ак+1кк+1 где эквивалентность задается равенством и = (тг-1(гх + аьАЛ))~1и = ж - (тг~1(и + анк^^анА11 = п -ак+1кк+1

8°. Пусть — множество корней из единицы степени рп в алгебраическом замыкании <0>р, К — локальное поле, содержащее ]¥п.

Определим символ Гильберта п-ой степени как билинейное спаривание , ) : 1С х 1С (а,/3) - ( Р\^)рк{а)~1.

Символ однозначно определяется данным равенством и обладает следующими свойствами а) Норменное свойство а, /3) = 1 тогда и только тогда, когда а является нормой в расширении К( б) Символьное свойство а, 1 — а) =

9°. Понятие символа Гильберта может быть определено для формальной группы .Р над Опри этом обычный символ Гильберта получается при К = .Рт. Пусть — алгебраическое замыкание к, ТУ^ — корни изогении [кп]р в О, К — конечное расширение содержащее И7]^, М — максимальный идеал К.

Через .Р(М) обозначим группу точек. Как множество она совпадает с М, а групповая операция задается действием формальной группы: а + (3 = где а,(3 6 М.

Обобщенный символ Гильберта п-ой степени определяется как билинейное спаривание

К* х -> (а,(3)Г = Рк(а)ф) - Д, где рк К* —>■ Оо1{КаЪ/К) — отображение взаимности, /3 Е О : =

Аналог норменного свойства имеет следующий вид: (а, /3) р = 0 тогда и только тогда, когда а является нормой в расширении К((3)/К.

- ю

ГЛАВА III. ЯВНАЯ ФОРМУЛА СПАРИВАНИЯ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП ЛЮБИНА-ТЭЙТА

1°. Рассмотрим следующую ситуацию к — локальное поле, О — кольцо целых поля к, q — pf — мощность поля вычетов к, к' — конечное неразветвленное расширение поля к, О' — кольцо целых поля к',

А — автоморфизм Фробениуса расширения к'/к, F — относительная формальная группа Любина-Тэйта, / G Нот o'(F, Д F) — выделенная изогения, Л — логарифм F.

Введем обозначения = А2-1^'. Аттг ■ 1г', /W = Аг1/ о • • • о А/ о / G Нот о1 {F, Аг jF).

Наряду со стандартным обобщением символа Гильберта (гл.И п.9°), использующим изогению [тгп]р, в случае относительных формальных групп Любина-Тэйта более естественно рассматривать обобщение, использующее /(п)

А именно, можно определить билинейное спаривание }F:ICxAnF(M)^W{а,ß}F = pa(ß) - ß, rppßeQ: /(">(ß)=ß.

Действительно, если — максимальный идеал пополнения алгебраического замыкания к, то

Щ = {а G : [тгп]^(а) = 0} =Кег (/<"> : A"F(S!Jlg)).

Стандартный символ ( , ) р и введенный нами вспомогательный связаны простой формулой = {a,gn(ß)}F, где =

2°. Пусть ii — конечное расширение ксодержащее М — максимальный идеал /Г,

П — униформизующая поля К,

7Z — система его мультипликативных представителей, Т — подполе инерции в расширении К/к, О о — кольцо целых абсолютного подполя инерции К.

Пусть С?т[М]о — аддитивная группа формальных степенных рядов без свободного члена, Tip — группа степенных рядов без свободного члена с коэффициентами из От, сложение в которой происходит по формальному групповому групповому закону F. Определим два взаимно обратных изоморфизма между и Ир, являющихся обобщением функции Артина-Хассе:

EF(V) = А-1 о (l + - Aj. + + .) v 6 От[И]„

Ь(Ф) = ФеПр.

Аналогично определяются взаимно обратные изоморфизмы между Ст[[^]]о

И р'.

Еь.гМ = (Д"А)-1 о (1 + + ^^ + .уч>),ч,е От»

Теперь зададим явно спаривание (, )р : К* х АП^(М) —> Т¥р и докажем, что оно совпадает с { , тем самым давая явную формулу для последнего.

Зафиксируем г] Е пусть ч] = /0 ГГ-М1 Пг+1 + . — разложение г] по степеням П с коэффициентами из От, ¿о обратим. Положим х{х) = 10хг +11ХГ+1 +

Пусть а = Паве — элемент К*, где в Е 71, £ — главная единица. Обозначим через е{х) степеннй ряд со свободным членом 1 и коэффициентами из Оо такой, что £-(П) = е, а(х) = хаве(х).

Аналогично, пусть [3 — элемент М, (5{х) — ряд с коэффициентами из От такой, что /3(П) = (3. Теперь положим

1 ( \dlAnF((3) trT/A.res I (im(e)о Я) ,dA \~\ , . d{AnXo(3) , A, dA.

Ш dx ^+Ia«f(P)A x— )/s где lm(e) = (1 - A) log г.

3°. Доказательство совпадения спариваний {, и (, проводится аналогично доказательству явной формулы для обычных формальных групп Любина-Тэйта. Прежде всего построим обобщенный базис Шафаревича.

Пусть F0, FPi а — относительные формальные группы Любина-Тэйта, имеющие в качестве выделенной изогении /о (х) = ж'х + xq, /р,а(ж) = -к'х + 7т'ахрР + xq, a G От, 1<р</ — 1(д=р0- Пусть £0, £р,а — степенные ряды, задающие изоморфизмы этих групп в F, е — индекс ветвления К/к. Для a G От определим u[а) = E&nF(as)\хп — элемент М.

Теорема 1. Набор элементов u;(a) : a G От}; {Дп£о(0Пг') : в G Я, 1 < г < qe/(q - 1), (г» = 1}; {Д%,а(0Пг) : в G Я, а G От А < i < qe/(q - 1), (i,p) = 1, 1 < р < /i - 1} n,u;(a)}F= [trT/Jfea] (,y), {□, = {□, Д%>а(0ГТ)}^ = 0.

Далее доказывается независимость от способа разложения ¡3 в степенной ряд по П. Затем непосредственно вычисляются значения спаривания (П, • на образующих базиса Шафаревича — оказывается, что они совпадают со значениями {П, • данными в теореме 1. Значит, =

П,/3)^ для любого /3 G М. Для того, чтобы теперь получить равенство {и,/3}р = {и,/3)р для и — единицы К, воспользуемся инвариантностью спаривания (П,/3)р относительно выбора П.

Таким образом, получаем явную формулу для спаривания {

Теорема 2. Для любых а е К*, /3 £ М

Остается воспользоваться связью вспомогательного символа { , и стандартного (, )р, чтобы получить для последнего явную формулу.

Теорема 3. Для любых а £ К*, 6 М составляет систему образующих О-модуля A nF(M ), при этом . d(AnA о /3)

ГЛАВА IV. СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ЛЮБИНА-ТЭЙТА И ФОРМАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ХОНДЫ

1°. Пусть к — локальное поле, тг — униформизующая к, q — мощность поля вычетов к.

Основные результаты классической теории формальных групп Любина-Тэйта (гл.II п.4°) можно переформулировать следующим образом.

I. Для любой формальной группы Любина-Тэйта F существует выделенная изогения fp такая, что fp = тгх mod deg 2 и fp = xq mod тг.

II. Для любого ряда с целыми коэффициентами / такого, что / = тгх mod deg2 и / = xq mod 7г, существует и единственна формальная группа Любина-Тэйта F такая, что / — fp — выделенная изогения этой формальной группы.

Аналогичным образом можно переформулировать результаты, касающиеся относительных формальных групп Любина-Тэйта (гл.II п.5°); здесь к' — конечное неразветвленное расширение к, ж' — униформизующая к' и Д — автоморфизм Фробениуса расширения к'/к.

I. Для любой относительной формальной группы Любина-Тэйта F существует выделенный гомоморфизм fp из F в FA такой, что fp = тг' х mod deg 2 и fp = xq mod тг'.

II. Для любого ряда с целыми коэффициентами / такого, что / = тг'х mod deg 2 и / = xq mod 7г', существует и единственна относительная формальная группа Любина-Тэйта F такая, что / = fp — выделенный гомоморфизм из F в .Рд.

Известно, что как обычные, так и относительные формальные группы Любина—Тэйта являются частным случаем формальных групп Хонды (гл.П п.6°). Поэтому естественным образом встает вопрос об отыскании аналогов I и II для общего случая формальных групп Хонды, чему и посвящена настоящая

глава.

Здесь они найдены в следующем виде

V. Для любой формальной группы Хонды F высоты h канонического типа тг — ai к — • • • — a/jA^, где ai,., a^-i : тг, ah — обратим, существуют формальная группа Хонды AF и гомоморфизм fp из F в AF такой, что fp = (n/ah)x mod deg2 и fp = xq mod ж.

И' Для любого канонического типа7г—а\к — ----ад Ah, где ai,., a^-i :

7г, ah — обратим и любого ряда с целыми коэффициентами / такого, что / = (7г/a,h)x mod deg2, f = xq mod 7г, существует и единственна формальная группа Хонды F этого типа такая, что / = fp — гомоморфизм из F в AF, существование которого устанавливается в I'.

Замечание. По аналогии с относительными формальными группами Любина-Тэйта гомоморфизм fp будем называть выделенным гомоморфизмом.

Нетрудно проверить, что в случае формальных групп Любина-Тэйта V и II' превращаются в I и II: а) для относительных формальных групп Любина-Тэйта AF = Fh. б) для формальных групп Любина-Тэйта AF = F.

2°. Итак, введем следующие обозначения: к — конечное расширение О — кольцо целых к, 7г — униформизующая к, q = р? — мощность поля вычетов к, к' — конечное неразветвленное расширение к, О' — кольцо целых к', ШТ' — максимальный идеал к', Ро — регулярное нормирование к', А — автоморфизм Фробениуса к'/к.

Пусть F — формальная группа Хонды высоты h над О'. Ее тип всегда можно привести к виду v = тт — аьkh — ah+ikh+1 — ., где ah,dh+i, • • • G 0\ а^--обратим.

Лемма 1. Для А = c-ix'' — логарифма F выполняется оценка (сг-) > — к, где i = qhkr, г / qh.

Доказательство. Имеем

7гА = a/jAA (xq ) + ah+iX^ + (xq + ) + . mod 7Г, откуда по индукции получается требуемая оценка. □

Лемма 2. Пусть А = ^ С{Хг — логарифм F, где /, g G Тогда f = g mod 7Г тогда и только тогда, когда А о / = Л о g mod тт.

Доказательство. Сначала докажем неравенство vAvl))>s-j> гдег/р — р-нормирование. Нас интересует случай 3 < рв (если 3 > рэ > я, то неравенство тривиально). В этом случае 1Ур(р3г — I) = ир(1) для любого натурального I < поэтому psr \ \ (psr Vp[ — } >s- isp(j) > S- j.

3 J J \

Теперь с помощью этого неравенства и леммы 1 несложно получить сравнение

Q ( г } = 0 mod 7г.

Пусть i = qhkr,r I qh. Тогда

U0 (ci (j j '>-—k+(k— j) +j = 0.

Полученное сравнение может быть использовано для доказательства обеих импликаций, указанных в лемме. Если / = q mod тг, то сразу получаем, что А о / = Л о g mod тт. Обратно, пусть А о / = Ход mod 7Г. Предположим, что h — / — д ф 0 mod 7г. Тогда, выбрав Ы = d\х1 + ., где di — обратим, таким, что Ы = h mod 7г, получаем, что

Л о [д + h!) = Л о [д + К) = Л о д mod 7Г.

Рассмотрев в этом сравнении коэффициенты при х\ заключаем, что di = 0 mod 7г — противоречие. □

Теорема 3. Пусть v = тг - ahLh - ah+1kh+1 - ., где ah,ah+1, ■ ■ • G О', ah — обратим, есть тип формальной группы Хонды F, А — логарифм F. Положим

Al = А** + V) + ^A*h+V2) + а/г а/г

Тогда

1) А] — логарифм некоторой формальной группы Хонды F] типа vi, где vah = ahvt;

2) / = G Homo/ (F, Fi) и f = xq mod тг.

Доказательство. 1) Положим в = ! + £i±lA + + a-h a>h

Тогда Ai = ВХйН, поэтому Fi — формальная группа Хонды типа В-1. Осталось доказать, что F\ является также формальной группой Хонды типа v\ = a^vah. Это следует из формулы h -1

Bv В = ah vah, которая доказывается следующим образом: ahBkh = tt — v, поэтому можно записать vahBkh = v{tt - v) = (я- - v)v = ahBkhv — ahBvA>l kh.

Значит, vahB = ah,Bvh , и формула доказана.

2) Поскольку (тx/ah)v = vi(ir/ah), то / = [ir/ah]FjFl G Homo'(^^i) и надо проверить, что f = xq mod ж. Имеем

Ax о / = {тт/ан)Х = XAh(xqh) + + ■ ■ ■ = X1(xqh) mod тг, поэтому результат следует из леммы 2. □

Теорема 4. Пусть / G <9'[[а;]]о, v = тт — ahkh — ah+ikh+1 — ., где a/^a/i+i, • • • G О', ah — обратим, таковы, что f = xq mod n и f = (тт/а^х mod deg2. Тогда существует и единственна формальная группа Хонды F типа v такая, что / = [тг/a/J , jF\ — формальная группа Хонды с логарифмом

Al = А'" + 55±iA4M' (*«) + V) + ., ah ah где X — логарифм F (см. теорему 3).

Доказательство. Будем искать А Е А/[[ж]]о, X = х mod deg2, удовлетворяющий равенству

71"! А = А4" о / + о Г + о fi2 + ., ъ = Л. ah аь аь

Такой ряд А = Х>гхг существует и единствен. Действительно, приравняв коэффициенты при х1 в обеих частях равенства, получаем, что

TTXCi = cfhTT\ где £ к' зависит только от значений сх,., сг1. Но такое уравнение однозначно разрешимо в к' при г > 1 (с! = 1): с,- = 6 + Г-Г1 + «ГК4*ГЧ"1 + ., 6 =

Теперь докажем, что Л имеет тип V. Проверим индукцией по г, что

А = А4" (аУ) + 55±1 А4"*' ) + ^А4'1"3 ) + . mod 7r, deg г. аи a>h

Предположим, что утверждение верно для данного г. Тогда для любого j < г на нормирования Cj выполняется оценка из леммы 1. Отсюда можно получить, что of = \Ah(xqh) mod 7r,deg2 + 1, ЛЛ"+1 of e AA"+1 mod 7Г, deg г + 1, fe h -\-k

Действительно, учитывая, что fq = xq mod тт, из имеющихся оценок на Po(cj) так же, как в лемме 2, выводится сравнение

Y,cf+krkj = Y,cf+kxqh+k3 mod7r-j<i j<i

Осталось, таким образом, доказать, что

Е^/^' = £ cf+Vм"*' mod тг, deg г + 1. j>i j>i

При к > 0 это сравнение очевидно, а при к = 0 оно сводится к сравнению cf /г = cf xq mod 7Г, deg« + 1- Но / = О mod 7Г,deg2 и, следовательно, /г = О mod тгг, degi + 1. Так как cf xq % = 0 mod deg г + 1, то теперь сравнение получается из оценки ^o(q) > — (г — 1), которая легко следует из рекуррентной формулы для сг-.

Из доказанных сравнений следует индукционный переход: °±±lX^\xqh+2) + . mod тг,degi+ 1.

1. В. А. Абрашкин, Явные формулы для символа Гильберта формальной группы над векторами Витта. Изв. РАН. Сер. матем., 61, вып. 3 (1997), 3-56.

2. Е. Artin and H. Hasse, Die beiden Ergänzungssatz zum Reziprozitätsgesetz der /n-ten Potenzreste im Körper der /n-ten Einheitswurzeln, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 6(1928), 146-162.

3. D. Benois, Périodes p-adiques et lois de réciprocité explicites, J. reine angew. Math. 493(1997), 115-151.

4. Д. Г. Бенуа, С. В. Востоков, Норменное спаривание в формальных группах и представления Галуа, Алгебра и анализ 2, вып. 6 (1990), 71-101.

5. Д. Г. Бенуа, С. В. Востоков, Арифметика группы точек формальной группы, Зап. научн. семин. ЛОМИ 191(1991), 9-23.

6. Н. Brückner, Explizites reziprozitätsgesetz und Anwendungen, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität Essen, 1979.

7. R. F. Coleman, The dilogarithm and the norm residue symbol, Bull. Soc. France 109(1981), 373-402.

8. R. F. Coleman, The arithmetic of Lubin-Tate division towers, Duke Math. J. 48(1981), 449-466.

9. E. de Shalit, The explicit reciprocity law in local class field theory, Duke Math. J. 53(1986), 163-176.

10. E. de Shalit, Relative Lubin-Tate groups, Proc. Amer. Math. Soc. 95(1985), 1-4.

11. F. Destrempes, Explicit reciprocity laws for Lubin-Tate modules, J. reine angew. Math. 463(1995), 27-47.

12. И. Б. Фесенко, Обобщенный символ Гильберта в 2-адическом случае, Вестник Ленингр. унив., матем., мех., астрон. 18(1985), 88-91.

13. I. Fesenko and S. Vostokov, Local Fields and Their Extensions, AMS, Providence RI, 1993.

14. A. Fröhlich, Formal groups, Lect. Notes Math. 74(1968).

15. T. Honda, On the theory of commutative formal groups, J. Math. Soc. Japan 22(1970), 213-246.

16. K. Iwasawa, On explicit formulas for the norm residue symbols, J. Math. Soc. Japan 20(1968), 151-165.

17. В. А. Колывагин, Формальные группы и символ норменного вычета, Изв. АН СССР. Сер. матем. 43(1979), 1054-1120.

18. E. Kummer, Uber die allgemeinen Reziprozitatsgesetze der Potenzreste, J. reine angew. Math. 56(1858), 270-279.

19. J. Lubin, J. Tate, Formal complex multiplication in local fields, Ann. Math. 81 (1965), 380-384.

20. Sh. Sen, On explicit reciprocity laws I, II, J. reine angew. Math. 313(1980), 1-26; 323(1981), 68-87.

21. И. P. Шафаревич, Общий закон взаимности, Матем. сб. 26(68), вып. 1 (1950), 113-146.

22. Y. Sueyoshi, Explicit reciprocity laws on relative Lubin-Tate groups, Acta Arithm. 55(1990), 291-299.

23. С. В. Востоков, Явная форма закона взаимности, Изв. АН СССР. Сер. матем. 42, вып. 6 (1978), 1287-1320.

24. С. В. Востоков, Норменное спаривание в формальных модулях, Изв. АН СССР. Сер. матем. 43, вып. 4 (1979), 765-794.

25. С. В. Востоков, Символы на формальных модулях, Изв. АН СССР. Сер. матем. 45, вып. 5 (1981), 985-1014.

26. С. В. Востоков, Символ Гильберта для формальных групп Любина-Тэйта I, Зап. научн. семин. ЛОМИ 114(1982), 77-95.

27. С. В. Востоков, Явная конструкция теории полей классов для многомерных локальных полей, Изв. АН СССР. Сер. матем. 49, вып. 2 (1985), 283-308.

28. С. В. Востоков, И. Б. Фесенко, Символ Гильберта для формальных групп Любина-Тэйта II, Зап. научн. семин. ЛОМИ 132 (1983), 85-96.

29. A. Wiles, Higher explicit reciprocity laws, Ann. Math. 107(1978), 235254.ЛИТЕРАТУРА АВТОРА

30. О. В. Демченко, Новое в отношениях формальных групп Любина-Тэйта и формальных групп Хонды, Алгебра и анализ 10, вып. 5 (1998), 77-84.

31. О. В. Демченко, Формальные группы Хонды: арифметика группы точек, Алгебра и анализ 12, вып. 1 (2000), 115-133.

32. С. В. Востоков, О. В. Демченко, Явная форма спаривания Гильберта для относительных формальных групп Любина-Тэйта, Зап. научн. семин. ПОМИ 227 (1995), 41-44.- 67

33. С. В. Востоков, О. В. Демченко, Явная формула спаривания Гиль берта для формальных групп Хонды, Зап. научн. семин. ПОМИ 273 (2000)