О сходимости и существовании формальных решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.95, 512.7, 512.555

Чулков Сергей Павлович

О сходимости и существовании формальных решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

—

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Научный руководители:

минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главнее здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^ " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор С.М. Гусейн-Заде доктор физико-математических наук, гл. н. с. А.Г. Хованский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Закалнжин кандидат физико-математических наук, доцент В.Д. Седых

Д.501.001.84 в МГУ профессор

В.Н. Чубариков

ПРОСА

Общая характеристика работы Актуальность темы

Работа посвящена геометрическим аспектам аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, изучению алгебро-геометрических инвариантов формальных и аналитических решений систем дифференциальных уравнений в частных производных, вопросам сходимости и существования формальных решений.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений по характеру рассматриваемых задач и структуре получаемых ответов находится на стыке геометрии и алгебры. Она имеет обширные приложения к задачам дифференциальной геометрии и топологии многообразий, и практически не имеет приложений к задачам математической физики. Вследствие чего, большой интерес к развитию данной тематики проявляется со стороны специалистов по геометрии и топологии. За последние сто пятьдесят лет аналитическая теория дифференциальных уравнений в частных производных усилиями различных авторов (Рикье, Томаса, Финикова, Паламодова, Овсянникова и др.) стала весьма содержательной. Отметим здесь только некоторые работы наиболее близкие к проблемам, рассматриваемым в диссертации.

Отправной точкой теории можно считать хорошо известную теорему Коши-Ковалевской. Рикье в своей монографии [I]1 построил общую теорию, содержащую теорему Коши-Ковалевской как частный случай. В многомерном случае нет априори выделенной производной, которую можно было бы рассматривать как старшую. Рикье задается вопросом, какие частные производные неизвестной функции следует назвать главными и как правильно задавать начальные данные, чтобы была выполнена теорема существования и единственности для аналитических и формальных решений. В своей замечательной работе Рикье впервые вводит полное упорядочивание на множестве частных производных функции многих переменных, и, используя его, получает серьезное продвижение в поставленном вопросе. В случае линейных систем с постоянными коэффициентами

1 Riquier С. Les systèmes d'équations aux derivées partielles // Paris: Gauthier-Villars, 1910.

метод Рикье, по существу, содержит в себе то, что впоследствии стало называться базисами Гребнера и произвело революцию в вычислительных аспектах коммутативной алгебры.

Отталкиваясь от идей Рикье, Картан развил теорию интегрируемости систем дифференциальных форм, имеющую обширные применения в дифференциальной геометрии (см. по этому вопросу [2] 2)

Далеко идущие обобщения теоремы Коши-Ковалевской были получены в работах Тревиса [З]3, Ниренберга [4]4 и Нишида [5]5. Овсянниковова [б]6, Пэйта [7]7.

Параллельно шло изучение специальных классов систем уравнений в частных производных. Паламодовым, Эренпрайсом и др. была построена общая теория линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Отметим здесь монографию Паламодова [8]8 и работы Эренпрайса [9]9, [Ю]10.

Наиболее полные теоремы существования и единственности формальных и аналитических решений для систем линейных уравнений с аналитическими коэффициентами были доказаны Паламодовым [II]11.

Основными методами исследования систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных являются методы абстрактной алгебры и функционального анализа, применение которых часто дает наибо-

2 Фиников С. П. Метод внешних форм Картанав дифференциальной геометрии Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в частных производных // M.-JI.: Гостехиэдат, 1948.

3 TYetiei F. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem // TV. Amer. Math Soc., 1970, v 150,p.

77-92.

*Nirenberg L An abstracy form of the nonlinear Cauchy-Kowaleweki theorem. Collection of articles dedicated to SS. Chein and D.C Spencer of their sixtieth birthdays// J. Differential Geom., 1972, v. 6,p.561-576.

6Nuhida T. A note on a theorem of Nirenberg // J. Differential Geom., 1977, v. 12, p.629-633.

'Овсянников Л. В. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской и ее приложения. Уравнения с частными производными (Т^эуды конференции, Новосибирск, 1978) // Новосибирск- "Наука" Сибирск. Отдел., 1980, с. 88-94.

'Pate Г Я. A direct iterative method for an abstract Cauchy-Kowalewsky theorem // Indiana Univ. Math J., 1981, v. 30, no. 3, p. 415-425.

8 В П. Паламодов Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициетнами // M : Наука, 1967.

*Ehrenpreis. L A fundamental principle for systems of linear partial differential equations with constant coefficients and some of its applications // Inter. Symp. Linear Spaces, Jerusalem, 1960.

xoEhrtnpreis Fourier analysis in several variables// Pure and Appl. Math, 17, Wiley-Intersci.: N.-Y., 1970.

11 Паламодов В П. Дифференциальные операторы в классе сходящихся степенных рядов // Функ. анализ и его прил., 1968, т. 2, вып. 3, с. 58-69.

лее сильные результаты. Использование этих методов требует привлечения сложного технического аппарата. При этом, часть известных результатов, а также некоторые новые, о формальных и аналитических решениях систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных удается получить комбинацией элементарных алгебро-геометрических методов. Кроме того, такой подход позволяет естественным образом перенести на системы линейных уравнений в частных производных понятия функции и полинома Гильберта и функции и полинома Гильберта-Самюэля (функция и полином Гильберта-Самюэля определяется только для линейных систем с постоянными коэффициентами). Часть представленной работы посвящена реализации этого подхода.

Изучение формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных по сути является чисто алгебраическим вопросом. В большинстве изученных задач имеются критерии сходимости формальных решений (например, в случае систем линейных уравнений). Одним из основных результатов диссертации является общий критерий сходимости покрывающий известные классические критерии.

Цель работы

Цель настоящей работы состоит в получении критерия сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных и изучении алгебро-геометрических инвариантов пространств формальных и аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Основные методы исследования

Для получения критерия сходимости формальных решений используется метод мажорант и некоторые результаты о комбинаторике и геометрии полугруппы целочисленных векторов с неотрицательными координатами в пространстве К"; для исследования систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами используются методы алгебраической-геометрии и коммутативной алгебры; для исследования систем линейных дифференциальных уравнений в част-

ных производных с аналитическими коэффициентами используется метод дифференциальных базисов Гребнера.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Общий критерий сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений (в т.ч. нелинейных) в частных производных.

2) Теорема аппроксимации формальных решений аналитическими решениями специального вида для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Определение и описание аналогов функции и полинома Гильберта-Самюэля для таких систем.

3) Элементарное описание аналогов функции и полинома Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в различных задачах аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, для исследования сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей, под руководством профессора С.М.Гусейн-Заде, мех-мат МГУ, Москва, декабрь 2002 г.; на семинаре по теории особенностей, под руководством акад. В.И. Арнольда, мех-мат МГУ, Москва, май 2003 г.; на семинаре по топологии университета г. Торонто, University of Toronto, Toronto, Canada, февраль 2004 г.; на семинаре по алгебре и топологии Стокгольмского университета, Univeresity of Stockholm, Stockholm, Sweden, сентябрь

2004 г.; на объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы" (К 250-летию Казанского Государственного Университета им. В.И. Ульянова-Ленина), КГУ, Казань, август-сентябрь 2003 г.

Публикации

Основные результаты опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце реферата, см. [1] и [2].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации - 73 страницы, библиография включает 17 наименований.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении дается небольшой обзор непосредственно связанных с темой диссертации результатов, приводятся некоторые мотивировки исследований. Кроме того, формулируются основные идеи и результаты диссертации.

Наиболее сильные результаты получены автором в теории сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [1], их изложению посвящена глаза 2. В ней исследуется один из вариантов классического вопроса о сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Мы формулируем и доказываем необходимые и достаточные условия сходимости заданного (найденного любым методом) формального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Наш критерий сходимости формальных решений применим к системам дифференциальных уравнений (в т.ч. и нелинейных) разрешенным относительно старших производных (в смысле некоторого полного упорядочения множества производных функции многих переменных) и, что особенно важно, "почти разрешенным относительно старших производных". Он утверждает, что формальный ряд, являющийся формальным решением системы, сходится,

если и только если сходится определенная частичная сумма этого ряда. Сформулируем этот результат.

Рассмотрим полугруппу Щ0 = {(аи... ,а„)|а^ £ Ъ,оц > 0}. Модулем элемента а полугруппы назовем неотрицательное целое число |а| равное сумме £ а{.

Фиксируем на полугруппе Щ.0 отношение порядка Ч, удовлетворяющие следующим условиям:

а) для любых элементов а и ¡3 полугруппы, модули которых удовлетворяют неравенству |а| < \Р\, верно неравенство а -< /3;

б) отношение -< согласовано с операцией сложения на то есть для любых элементов полугруппы а, Р и 7, неравенство а -< /3 влечет неравенство а + 7 -< Р + 7.

Условие а) гарантирует, что X) есть вполне упорядоченное множество.

В качестве -<, например, можно рассмотреть следующие упорядочивав ние. Для произвольных элементов а и /3 полугруппы мы сравниваем их модули, если же модули равны, сравниваем эти элементы лексикографически.

В окрестности 0 пространства С с координатами х\,...,хП: рассмотрим следующую конечную систему дифференциальных соотношений дъг = ^(я, даг) + Мг(х, даг)

•

к дУкг = 2Ъ(аг, даг) + Мк(х, даг), где Рх,..., ^ и М\,...,Мк - голоморфные функции переменных х\,...,х„ и производных даг функции г. Через да, где а € обозначен оператор дифференцирования ■

Пусть формальный ряд г — 2аХа-, где га - комплексные числа и через х° обозначен моном я"1... является формальным решением данной системы.

Предположим кроме того, что выполнены следующие условия

1) Для каждого г функция ^ зависит от переменных ц,..., хп и только от тех производных даг, для показателей а которых выполнено неравенство а -< 7<;

2) Для каждого г функция М,- имеет вид

М{(х,даг)= £ М?(х,даг)дрг, (1)

т=м

где М? - голоморфные функции переменных ..., хп и производных даг таких, что |а| < |7<|, причем в начальной точке для любых допустимых г и /3 выполнено

М?(0, «!*„)= О, (2)

здесь и далее через а! обозначено произведение факториалов е^!... а„!.

Говоря неформально, данные условия означают что наша система записана в виде "почти разрешенном относительно старших, в смысле на* шего упорядочивания, производных", с тем лишь изменением, что в пра-1 и

вую часть каждого уравнения разрешено добавить линеиную относительно

производных старшего (наибольшего) порядка функцию (для каждого уравнения свою), коэффициенты которой обращаются в ноль в начальной точке. В каждом уравнении некоторые из добавленных в правую часть производных могут быть больше в смысле нашего упорядочивания, чем производная стоящая в левой части уравнения. 4 Назовём октантом О" (а) с вершиной в точке а полугруппы множе-

' ство {а е Що I 3/3 е Щ0 т. ч. а = а + £}.

1 Рассмотрим подмножество I = иполугруппы 2"0. В сделанных

выше предположениях верна следующая

Теорема. Предположим что укорочение 5(я) = г<*х<" Ря^а 2 имеет

ненулевой радиус сходимости. Тогда и формальное решение г имеет ненулевой радиус сходимости.

Глава 2 полностью независима от остальных глав диссертации. Для доказательства основного результата главы 2 мы используем некоторые факты о комбинаторике и геометрии полугруппы %п, и некоторые аналитические методы.

Главы 1 и 3 посвящены теории систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В главе 1 изложены результаты работы автора [2], написанной в соавторстве с А.Г. Хованским. Технически

результаты главы 1 полностью независимы от остальных глав. В указанной главе рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Алгебраическими методами описываются пространства формальных и аналитических решений такой системы. Определяются и описываются понятия функции и полинома Гильберта и функции и полинома Гильберта-Самюэля для системы уравнений в частных производных. Перечислим полученные результаты. Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами на одну неизвестную функцию г комплексных переменных х\,...,хп. Символ системы — это алгебраическое многообразие М в двойственном пространстве с переменными £г, ■ ■ •, идеал I которого порожден многочленами, полученными из уравнений системы заменой операций дифференцирования по переменным х, на операции умножения на соответствующие переменные

Одним из основных инвариантов алгебраического многообразия является его функция Гильберта. Это функция Н натурального аргумента, сопоставляющая числу к размерность факторпространства полиномов степени не выше к по векторному подпространству, состоящему из полиномов, принадлежащих идеалу X многообразия. Знаменитая теорема Гильберта утверждает, что функция Н является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г многообразия М, а старший коэффициент, умноженный на г!, есть степень многообразия М (то есть подсчитанное с учётом кратностей число точек пересечения многообразия с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Какую роль играет полином Гильберта символа М для исходной системы дифференциальных уравнений? Мы даем ответ на этот вопрос.

В заданной точке и для каждого натурального числа к рассмотрим векторные пространства Ои{к) и Ри(к) к-струй аналитических и формальных решений системы. Мы доказываем, что размерности этих пространств совпадают между собой, не зависят от точки и и равны значению Н(к) функции Гильберта символа системы в точке к. Доказательство проводится следующим образом: сначала, алгебраически описываются пространства

формальных решений системы в точке и. Из этого описания равенство <Нт Ри(к) — Н(к) становится очевидным. Затем, доказывается следующая теорема об аппроксимации. Для каждого формального решения в точке и данной системы и каждого натурального числа к существует квазиполиномиальное решение системы (то есть линейная комбинация произведений полиномов на экспоненты линейных функций) имеющие ту же к-струю, что и заданное формальное решение. Отсюда немедленно вытекает равенство сЦт.Ри(&) = <ИтОи{к).

Функция Гильберта-Самюэля является локальным инвариантом алгебраического многообразия. Верен следующий локальный аналог теоремы Гильберта. Рассмотрим векторное пространство к-струй ростков аналитических функций в точке £ пространства переменных (С")*. Две ¿-струи называются эквивалентными, если их разность совпадает в точке £ с /с-струей некоторого многочлена, принадлежащего идеалу X алгебраического многообразия. Размерность Н3((к) получающегося факторпространства — это значение в точке к функции Гильберта-Самюэля многообразия в точке Локальный вариант теоремы Гильберта утверждает, что функция Нв^к) является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г ростка многообразия М в точке а старший коэффициент, умноженный на г!, есть кратность точки £ многообразия М (то есть кратность пересечения в точке £ многообразия М с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Мы выясняем роль многочлена Гильберта-Самюэля символа системы для исходной системы дифференциальных уравнений. Решения вида Р(х)е^,х\ где Р(х) — многочлен степени не выше к, образуют векторное пространство. Мы доказываем, что размерность этого пространства равна Н8((к).

Отметим что, в указанной работе [2] А.Г. Хованскому принадлежат: идея работы, описание формальных решений, аналогов функции и полинома Гильберта, идея описания специальных аналитических решений и полинома ГильбертагСамюэля; С.П. Чулкову принадлежит теорема аппроксимации формальных решений аналитическими, описание специальных аналитических решений и аналога функции и полинома Гильберта-Самюэля.

Глава 3 основана на результатах препринта 12, написанного в соавторстве с А.Г. Хованским. В этой главе мы рассматриваем случай систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. Одна из основных целей этой главы состоит в проведении аналогии между результатами полученными в главе 1 для линейных систем с постоянными коэффициентами и соответствующими утверждениями о линейных системах с аналитическими коэффициентами. Несмотря на это, техника исследования отличается от использованной в главе 1. Вместо элементарных методов коммутативной алгебры мы используем подход близкий методу дифференциальных базисов Гребнера и результаты о сходимости формальных решений, описанные в главе 2. Перечислим полученные результаты.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами на одну неизвестную функцию г в области V пространства С. Мы изучаем пространства ростков формальных и аналитических решений в некоторой точке и области II. Обсуждаются следующие вопросы.

Как задавать начальные данные для формальных и аналитических решений подобных систем. Точнее, какие наборы производных неизвестной функции г можно фиксировать в данной точке, чтобы существовало единственное формальное (аналитическое) решение системы с такими данными.

Чему равны размерности пространств ¿с-струй ростков формальных и аналитических решений системы в зависимости от натурального числа к и точки и области £/.

Получены следующие результаты. Показано, что существует "плохая" гиперповерхность £, в дополнении и \ £ к которой пространства ростков формальных и аналитических решений в каждой точке устроены в некотором смысле одинаково. А именно, существует не зависящее от точки и дополнения множество частных производных, которые можно фиксировать в точке и в качестве начальных данных для формального решения. Фор-

"Хованский А. Г, Чулков С П. Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами (работа послана в журнал Известия РАН).

мальное решение будет сходящимся, если и только если частичная сумма ряда Тейлора, построенная по фиксированным производным, будет сходиться.

Для каждой точки и дополнения II \ 5] и каждого натурального числа к обозначим через Аи(к) и Ри(к) пространства А-струй в точке и ростков формальных и аналитических, соответственно, решений в этой точке. Для всех к размерности пространств Аи(к) и Ри(к) одинаковы и не зависят от точки и. При достаточно больших к функция Н(к) = <Ит Ли(к) = с^т Ри(к) является полиномом по к. Более того, установлен алгебраический смысл функции Н. По системе дифференциальных уравнений строится семейство аффинных алгебраических многообразия, аналитически зависящих от параметра - точки и области II. Для значений параметра и лежащих в дополнении II \ £ к гиперповерхности Е, функции Гильберта этих многообразий одинаковы и совпадают с функцией Я.

Отметим, что рассматриваемые вопросы являются классическими и результаты, полученные в главе 3, не являются абсолютно новыми (более подробно этот вопрос освещен в предисловии к главе 3). Идея написания препринта принадлежит А.Г.Хованскому. В формулировку и изложение результатов препринта каждый из авторов внес равноценный вклад.

Благодарности

Автор очень благодарен своим научным руководителям С. М. Гусейн-Заде и А. Г. Хованскому за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] С. П. Чулков, О сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных // Функц. анализ и его при л., том 39 (2005), вып. 3, стр. 64-75.

[2] А. Г. Хованский, С. П. Чулков, Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и дифференциальные уравнения в частных производных // Ма-тем. Заметки, том 77 (2005), вып. 1, с. 141-151.

(В указанной работе А.Г. Хованскому принадлежат: идея работы, описаг ние формальных решений, аналогов функции и полинома Гильберта, идея описания специальных аналитических решений и полинома Гильберта-Самюэля; С.П. Чулкову принадлежит теорема аппроксимации формальных решений аналитическими, описание специальных аналитических решений и аналога функции и полинома Гильберта^Самюэля.)

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М.В. Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60x90 1/16 Уел печ. л. О,?5

Тираж 100 экз. Заказ В О

2,006 й - 11 О S

Введение

1' Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

1.1 Введение

1.2 Формальные решения системы.

1.3 Символ системы как алгебраическое многообразие.

1.4 Символ системы и ее формальные решения.

1.5 Символ системы и ее аналитические решения.

1.6 Пример: Гармонические функции.

2 Сходимость формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

2.1 Введение

2.2 Формулировка результата.

2.3 Упорядоченная полугруппа

2.4 Доказательство Теоремы 2.2.1.

2.4.1 Леммы о мажорировании.

2.4.2 Формулировка условий специального случая.

2.4.3 Замена координат.

2.4.4 Построение мажорирующего уравнения.

2.4.5 Построение мажорирующего ряда.

2.4.6 Завершение доказательства теоремы.

2.5 Примеры и замечания.

2.5.1 Пример. Случай одного уравнения.

2.5.2 Пример. Необходимость условий теоремы.

2.5.3 Случай нескольких неизвестных функций.

3 Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных

3.1 Введение

3.2 Свойства полугруппы

3.3 Отображение Грёбнера и базисы дифференциальных идеалов

3.4 Формальные решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

3.4.1 Формальные решения системы как функционалы на кольце дифференциальных операторов.

3.4.2 Существование формальных решений.

3.5 Теорема сходимости и ее следствия.

3.6 Примеры и замечания.

3.6.1 Условие а), наложенное на упорядочивание -<, и сходимость формальных решений.

3.6.2 Случай нескольких неизвестных функций.

3.6.3 О пространстве решений в точках "плохой" гиперповерхности Е

3.6.4 Алгебраический смысл функции Гильберта системы

Диссертация состоит из трех глав. Наиболее сильные результаты получены автором в теории сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [1], их изложению посвящена глава 2. В ней исследуется один из вариантов классического вопроса о сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Мы формулируем и доказываем необходимые и достаточные условия сходимости заданного (найденного любым методом) формального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Наш критерий сходимости формальных решений применим к системам дифференциальных уравнений (в т.ч. и нелинейных) разрешенным относительно старших производных (в смысле некоторого полного упорядочения множества производных функции многих переменных) и, что особенно важно, "почти разрешенным относительно старших производных". Он утверждает, что формальный ряд, являющийся формальным решением системы, сходится, если и только если сходится определенная частичная сумма этого ряда. Наша теорема обобщает теорему сходимости Рикье [15] и следствия работы Паламодова [8], касающиеся сходимости формальных решений (более подробно история вопроса и мотивировки наших результатов изложены в предисловии к главе 2).

Глава 2 полностью независима от остальных глав диссертации. Для доказательства основного результата главы 2 мы используем некоторые факты о комбинаторике и геометрии полугруппы й71, поиск которых был мотивирован для нас работой Хованского [9],и некоторые идеи работы Ри-кье [15].

Главы 1 и 3 посвящены теории систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В главе 1 изложены результаты работы автора [2], написанной в соавторстве с А.Г. Хованским. Технически результаты главы 1 полностью независимы от остальных глав. В указанной главе рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Алгебраическими методами описываются пространства формальных и аналитических решений такой системы. Определяются и описываются понятия функции и полинома Гильберта и функции и полинома Гильберта-Самюэля для системы уравнений в частных производных. Перечислим полученные результаты. Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами на одну неизвестную функцию г комплексных переменных х\,.,хп. Символ системы — это алгебраическое многообразие М в двойственном пространстве с переменными £1,. идеал X которого порожден многочленами, полученными из уравнений системы заменой операций дифференцирования по переменным хъ на операции умножения на соответствующие переменные

Одним из основных инвариантов алгебраического многообразия является его функция Гильберта. Это функция Н натурального аргумента, сопоставляющая числу к размерность факторпространства полиномов степени не выше к по векторному подпространству, состоящему из полиномов, принадлежащих идеалу X многообразия. Знаменитая теорема Гильберта утверждает, что функция Н является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г многообразия М, а старший коэффициент, умноженный на г!, есть степень многообразия М (то есть подсчитанное с учётом кратностей число точек пересечения многообразия с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Какую роль играет полином Гильберта символа М для исходной системы дифференциальных уравнений? Мы даем ответ на этот вопрос.

В заданной точке и для каждого натурального числа к рассмотрим векторные пространства Ои{к) и Fu(k) к-струй аналитических и формальных решений системы. Мы доказываем, что размерности этих пространств совпадают между собой, не зависят от точки и и равны значению Н{к) функции Гильберта символа системы в точке к. Доказательство проводится следующим образом: сначала, алгебраически описываются пространства формальных решений системы в точке и. Из этого описания равенство dim = Н(к) становится очевидным. Затем, доказывается следующая теорема об аппроксимации. Для каждого формального решения в точке и данной системы и каждого натурального числа к существует квазиполиномиальное решение системы (то есть линейная комбинация произведений полиномов на экспоненты линейных функций) имеющие ту же &-струю, что и заданное формальное решение. Отсюда немедленно вытекает равенство dim Fu{k) = dim Ои(к).

Функция Гильберта-Самюэля является локальным инвариантом алгебраического многообразия. Верен следующий локальный аналог теоремы Гильберта. Рассмотрим векторное пространство fe-струй ростков аналитических функций в точке £ пространства переменных (О1)*. Две к-струи называются эквивалентными, если их разность совпадает в точке £ с ^-струей некоторого многочлена, принадлежащего идеалу X алгебраического многообразия. Размерность HS^{k) получающегося факторпространства— это значение в точке к функции Гильберта-Самюэля многообразия в точке Локальный вариант теоремы Гильберта утверждает, что функция HS^(k) является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г ростка многообразия М в точке а старший коэффициент, умноженный на г!, есть кратность точки £ многообразия М (то есть кратность пересечения в точке £ многообразия М с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Мы выясняем роль многочлена Гильберта-Самюэля символа системы для исходной системы дифференциальных уравнений. Решения вида Р(х)е^,х\ где Р(х) — многочлен степени не выше к, образуют векторное пространство. Мы доказываем, что размерность этого пространства равна Н3^(к).

Отметим что, в указанной работе [2] А.Г. Хованскому принадлежат: идея работы, описание формальных решений, аналогов функции и полинома Гильберта, идея описания специальных аналитических решений и полинома Гильберта-Самюэля; С.П. Чулкову принадлежит теорема аппроксимации формальных решений аналитическими, описание специальных аналитических решений и аналога функции и полинома Гильберта-Самюэля.

Глава 3 основана на результатах препринта [3], написанного в соавторстве с А.Г. Хованским. В этой главе мы рассматриваем случай систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. Одна из основных целей этой главы состоит в проведении аналогии между результатами полученными в главе 1 для линейных систем с постоянными коэффициентами и соответствующими утверждениями о линейных системах с аналитическими коэффициентами. Несмотря на это, техника исследования отличается от использованной в главе 1. Вместо элементарных методов коммутативной алгебры мы используем подход близкий методу дифференциальных базисов Гребнера и результаты о сходимости формальных решений, описанные в главе 2. Перечислим полученные результаты.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнеф нии в частных производных с аналитическими коэффициентами на одну неизвестную функцию z в области U пространства Сп. Мы изучаем пространства ростков формальных и аналитических решений в некоторой ф точке и области U. Обсуждаются следующие вопросы.

Как задавать начальные данные для формальных и аналитических решений подобных систем. Точнее, какие наборы производных неизвестной функции 2г можно фиксировать в данной точке, чтобы существовало единственное формальное (аналитическое) решение системы с такими данными.

Чему равны размерности пространств fc-струй ростков формальных и аналитических решений системы в зависимости от натурального числа к и точки и области U. ф Получены следующие результаты. Показано, что существует "плохая" гиперповерхность Е, в дополнении U \ Е к которой пространства ростков формальных и аналитических решений в каждой точке устроены в некотором смысле одинаково. А именно, существует не зависящее от точки и дополнения множество частных производных, которые можно фиксировать в точке и в качестве начальных данных для формального решения. Формальное решение будет сходящимся, если и только если частичная сумма ряда Тейлора, построенная по фиксированным производным, будет схо-# диться.

Для каждой точки и дополнения U \ Е и каждого натурального числа к обозначим через Аи(к) и Fu(k) пространства fc-струй в точке и ростков формальных и аналитических, соответственно, решений в этой точке. Для всех к размерности пространств Аи(к) и Fu{k) одинаковы и не зависят от точки и. При достаточно больших к функция Я (к) = dim Аи(к) = dimFu(k) является полиномом по к. Более того, установлен алгебраический смысл функции Н. По системе дифференциальных уравнений строЩ ится семейство аффинных алгебраических многообразия, аналитически зависящих от параметра - точки и области V. Для значений параметра и лежащих в дополнении и \ Е к гиперповерхности Е, функции Гильберта этих многообразий одинаковы и совпадают с функцией Н.

Отметим, что рассматриваемые вопросы являются классическими и результаты, полученные в главе 3, не являются абсолютно новыми (более подробно этот вопрос освещен в предисловии к главе 3). Идея написания препринта [3] принадлежит А.Г.Хованскому. В формулировку и изложение результатов препринта каждый из авторов внес равноценный вклад.

1. Чулков С. П. О сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных // Функ. анализ и его прил. - 2005. - Т. 39. - Вып. 3.- С. 64-75.

2. Хованский А. Г., Чулков С. П. Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и уравнения в частных производных // Математические заметки. 2005. - Т.77. - Вып. 1. - С. 141-151.

3. Хованский А. Г., Чулков С. П. Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами (работа принята к публикации журналом Известия РАН серия Математическая).

4. Атъя М., Макдоналъд И. Введение в коммутативную алгебру. Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 160 с.

5. Зайцева М.И О совокупности упорядочений абелевой группы // Успехи Мат. Наук. 1953. - Т. 8. - Вып. 1. - С. 135-137

6. Мамфорд Д. Алгебраическая геомерия I. Комплексные проективные многообразия. Пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 256 с.

7. Овсянников Л. В. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской и ее приложения. Уравнения с частными производными (Труды конференции, Новосибирск, 1978) Новосибирск: "Наука" Сибирск. Отдел., 1980. - С. 88-94.

8. Паламодов В. П. Дифференциальные операторы в классе сходящихся степенных рядов // Функ. анализ и его прил. 1968. - Т. 2. - Вып. 3. - С. 58-69.

9. Хованский А. Г. Суммы конечных множеств, орбиты конечных полугрупп и функции Гильберта // Функ. анализ и его прил. 1995. - Т. 29. - Вып. 2. - С. 36-50.

10. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в частных производных M.-JL: Го-стехиздат, 1948. - 432 с.

11. Kowalevsky S. Ziir Theorie der partiellen Differentialgleichungen // J. fur Math. 1875. - Vol. 20. - P. 1.

12. Nirenberg L. An abstracy form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem. Collection of articles dedicated to S.S. Chern and D.C. Spencer of their sixtieth birthdays //J. Differential Geom. 1972. - Vol. 6. - P. 561-576

13. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg // J. Differential Geom. -1977. Vol. 12. - P. 629-633

14. Pate T. H. A direct iterative method for an abstract Cauchy-Kowalewsky theorem // Indiana Univ. Math J. 1981. - Vol. 30. - No. 3. - P. 415-425

15. Riqmer C. Les systèmes d'équations aux derivées partielles Paris: Gauthier-Villars, 1910. - 618 p.

16. Treves F. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem // Tr. Amer. Math. Soc. 1970. - Vol.150. - P. 77-92

17. Trevisan G. Classificazione dei semplici ordinamenti di un gruppo libero commutativo con N generatori // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1953. - Yol. 22. - P. 143-156.