К обоснованию методов построения обобщенных решений нелинейных уравнений первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

у | |

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА .

Механико-математический факультет

На правах рукописи

КАЗМЕРЧУК Анатолий . Иванович

УДК 517.944

К ОБОСНОВАНИЮ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 199 2

Работа выполнена на кафедре дифференциалыйлх уравнений механико-математического факультета Московского, государственного университета имени М.В. Ломоносова ,

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математическш

наук," профессор С.Н.КРУЖКО

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - академик РАН Н.С.БАХВАЛО

доктор физико-математически. наук.профессор В.А. ТУПЧИЕЕ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТР МАТЕМ;

ТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЕ АН СССР

Зашита диссертации состоится в 16 час. 05 мип. на заседании специализированного совета Д. 053.05.04 при Московском государственном университет« им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет.-аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ыехаш ко-математического факультета МГУ (14 этаж ). ,

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь специализированного совета. Д.053.05.04 при МГУ,

д.ф.-м.н. Т.П. ЛУКАШЕНКО

. . - , I ' rv.'i .

. ; ■ s л;-. ••"•• ?i

'общая хлракткрйсша работы

Актуальность теш. В теории обобщенных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка

+ ^Щх^и+Щх,*)^ 4>teC]feC] (I)

(2)

основными являются вопросы глобальной разрешимости, асимптотического поведения решения и вопросы обоснования приближенных ыетодов построения обобщенных решений.

Начало этой теории было положено в 50-х годах в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.Олейник, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, И.Ы.Гельфанда, О.А.Дадыженской, С.Н.Годанова, Б.Л.Рождественского и других.

Общая теория этой задачи в классе ограниченных измеримых функций (идейно тесно связанная с теорией обобщенных функций) была построена С.Н.Кружковым в работах Cl3,LZ], где решение понимается в смысле следующего определения.

Определение I. Ограниченная измеримая функция называется обобщенным решением задачи (1)„: (2) в слое ,

если:

I) VkeR ¥{а,х)еС7(Ц-\

выполняется неравенство

J 5 * Щь(и-Ь[& -

Уу_'

(Ч] лрухков С.Н. Обобщенные решения задачи Коли в целом для нелинейных уравнений первого порядка - ДАН CGC?, т.187 № I (1969), с.29-32.

[21 Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми перемешыки. - Ыат.сборник, т.81 :: 2 (1970), с.228-2Ь5.

- I -

(из этого требования вытекает не только выйолнение уравнения (I) в смысле теории обобщенных функций, но такие и дополнительные условия на разрывах типа условия возрастания энтропии на ударных волнах в газовой динамике) ;

2) существует такое множество ¿Г кулевой меры на СО, Г], что при

п.

Ь £ С^ Е функция определена почти всюду в К

и что для любого шара

Кч-= {|эсиг} с Я"* ¿йти \\гь(-Ь,х.)-1ле(ос.)\с1ос..

■Ье&тьг к%

В работах [1], 12] бши доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи (I), (2) в смысле определения I, причем в построенной здесь теории существенно применя- • лась следующая форма, ассоциированная с основным неравенством из определения I:

> с сим*-)- Р а*, - (

- {Ь^-гф.цЦ - у^иК,хЦ^хЛЫ^в* где ^^^^еСТГ'-О.

Важной и трудной задачей теории методов построения обобщенных решений задачи (I), (2) является получение оценок скорости сходимости приближенных решений.

-г-

В случав в работе Н.С.Бахвалова [3] были впервые

даны оценки погрешности численного интегрирования уравнения (I), а в работе С.Н.Кружкова С^] такие оценки были получены для широкого класса устойчивых приближенных методов, включающего метод "исчезающей вязкости" и конечно-разностные методы. В работе Н.С.Бахвалова получена оценка скорости аппроксимации волны разрежения в методе "исчезающей вязкости".

[3] Бахвалов Н.С. Оценка погрешности численного интегрирования квазилинейного уравнения первого порядка. - Дурнал выч. матем. и матем. физики, 1961, т.1, № Ь. с.771-783.

Кружков С.Н/ к методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка. -Усп. мат.наук, т.20, вып.б, 1965, с.112-118.

£53 Бахвйлов Н.С. Об асимптотике при малых £ решения

уравнения ^ • соответствующего

волне разрежения. - %рнал вин. матем. и матем. физики, 1966, т.б, № 3, с.521-526.

В работах Н.Н.Кузнецова в случае многих прост-

ранственных переменных и функций ^ = ^¡(и) } был применен метод доказательства теоремы единственности из работ Г1], [2] с использованием формы Кружкова (#) для получения оценок скорости сходимости приближенных решений, задачи (I), (2) к точному решению.

В работах А.П.Кор-ликова для метода "исчезавшей вязкости" били установлены такие оценки приближенных решений задачи Коши (I), (2) и первой краевой задачи в (0,Т]*Л для урав-

нения (I) с начальными и граничными условиями

где

Л - ограниченная область в ограниченная измеримая функция, удовлетворяет

на СО, Т]* дЛ условию Липшица.

В последние годы появились работы Лусье, Ле Флока, Коку-зла, посвященные обоснованию различных приближенных методов решения задачи (I), (2), как правило, без оценок скорости сходимости.

[63 Кузнецов H.H. Об устойчивых методах решения квазилинейного уравнения первого порядка в классе разрывных функций. - ДАН СССР, 1975, т.225, № Ь, с.1009-1012.

Г7] Кузнецов H.H. Точность некоторых приближенных методов расчета слабых решений квазилинейного уравнения первого порядка. - Журнал выч. ыатем. и матем. физики, 1976, т.16 " № 6, с. 1489^1002.

Отметим работу Лусье [8] , в которой для случая И = {f 1/, вßVf/^цят. оценка погрешности методов Глимма, Годунова и Ле Века.

Ряд результатов по обоснованию некоторых приближенных методов в предположении определенной структуры аппроксимируемого решения получен в работах А.М.Ильина, В.Г.Сушко и Р.В. Раэумейко.

В приведенных выше работах существенно использовался факт существования решения задач (I), (2) и (I), (3).

Представляет интерес получения оценок скорости сходимости . аппроксимирующих решений для широкого класса приближенных методов без предположения существования точного решения (тем самым - предложить новые методы доказательства теорем существования обобщенного решения задач (I), (2) и (I), (3).).

Важным здесь является также получение теорем общего характера об устойчивых возмущениях квазилинейных уравнений первого порядка, позволяющих обосновывать, в частности, методы "исчезающей вязкости", сглаживания , конечно-разностные и другие методы.

Изучение этих вопросов имеет не только теоретическое, но и прикладное значение, так как задачи (I), (2) и (I), (3) возникают в ряде физических моделей (например, в механике сплошных сред).

Цель работы. Обоснование с оценками скорости сходимости приближенных методов построения обобщенных решений задач (I), (2) и (I), (3).

метоп исследования. В диссертации применяются дальнейшее развитие методов работ СЦЩС7 ], связанное со специальными оценками для формы Кружковой уточнением некоторых предельных переходов

Г*] ßtJ.Xuciei. Sxxon. вент** -fit* ¿Ле. /пегШь of ¿etrtm., Мампг аЫ ^e Vtyue. - Si AM J. Ha**sz. Anaf, voC. 2ZtKO G, Zecembi Í9S5.

Научная новизна .Основные результаты диссертации сле'.пующие:

I. Теорема об устойчивых возмущениях в теории задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в случае гладкой функции потока (рассматриваются возмущения уравнения и начального условия) .

'¿. Теоремы об оценках скорости сходимости приближенных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в методах "исчезающей вязкости", сглаживания и в конечно-разностном методе.

3. Результаты, аналогичные теоремам пунктов I и 2 для систем квазилинейных уравнений первого порядка с диагональной главной частью.

4. Обоснование приближенных методов решения задачи Коши для систем квазилинейных уравнений первого порядка с диагональной главной частью с неограниченной областью зависимости от начальных данных (случай негладких (только лишь непрерывных по решению) функций потока).

Ь. Теорема об устойчивых воыущениях в теории первой краевой задачи для квазилинейного., уравнения первого порядка в случае гладкой функции потока.

6. Теоремы об оценках скорости сходимости приближенных решений первой краевой задачи для квазилинейного уравнения первого порядка в методе "исчезающей вязкости" и в конечно-разностном методе.

7. Теорема об оценке скорости сходимости приближенных решений первой краевой задачи для квазилинейного уравнения первого порядка с негладкой функцией потока в методе "исчезающей вязкости".

Приложения. Результаты диссертации носят теоретический

характер и могут найти применение в теории ударных волн и в задачах механики сплошных сред.

- о -

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" под руководством проф. С.Н.Пруткова, на семинаре "Системы квазилинейных уравнений и их приложения в механике сплошных сред" под руководством проф. С.Н.Круаскова, проф. Б. Л .Рождественского, проф. В.А.Тупчиева, на ХШ совместной сессии семинара им.И.Г.Пот-ровского и Московского Математического обгества (1990), на заседании научной конференции "Понтрягинские чтения" в КемГУ (1990)..

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 5 параграфов и 16 пунктов. Список литературы содержит 42 наименований. Общий объем диссертации 94 страницы.

Содераание работы

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, ^

приведена ее структура и основные результаты.

В §-1 глаЕЫ I изучается задача Коши в слое Т£р

(5)

Решение понимается в смысле следующего определения:

Определение 2. Ограниченная измеримая функция определенная в ТТу , называется обобщенным решением задачи (4), (Ь), если Уке? при I XI

выполнено неравенство

7ГТ

У-

Для формулировки основной теоремы введем обозначения. Для множеств J2 с (С обозначим JL^feeR^oUsifoJZ^fjj ~{хеЙк: txl* xj;

ss=р, ¿тл Sj <J}?

Кусть V/i>0 функция ^(х)-R. такова, что 1Г(Х+ ке:) - Vtx) € С,(ЛА X где - единичный координатный вектор оси ДГ,- в R , а также длл функции ti(i,x): 71^ -=> R при фиксированном i € [О, TJ <i(i/T+AeJ-ufiyx) е L,(JLa\ а при Не r~i)J

Обозначим далез

^ (Я;аНЛЯ) = ua'JJ/o/x'

Теорема I. Пусть Ue(x)eC?(RK)и ß = t пусть для приближенного решения

запачи (4), (5) равномерно по £ f 3 выполнены следующие условия:

1) (оценка модуля непрерывности в L$ по X.) С fO,Tl VÜefO, /J

2) (оценка моду ля непрерывности в L f По 4-) fO/Tl

Vie fo, L

Ii (l-t, il%xlR*) ^ 6Гс,1г+сл£) (Y<= ooMt e/о, а, с .=. coftfi i=

3) (оценка погрешности приближенного метода)

существуют

- В-

такие константы й>0, С, >0/ I/ , что

Предположим также,что при для выполнены следующие

условия:

4) (устойчивость по начальным функциям) У1>С> Зъ? г УЪСГС, ТЛ Кау]

(/и^Тт)- т^^Ух. « (+ ¿Г

хг

5) (оценка скорости аппроксимации начальной функции) Т1>0 $ ¡и{О,х)- ^ОД/х е Се

Кг- (ъ = з>0 ;<Г=

Тогда Уг е/0,ГЛ Уг~>0 верна оценка

х)-Т%х)(с/Г КМс/х + С^Г^А^Ге,*£/)), (6)

где € зависит от С; / а, П, Л*/'/)—

В случае С+ в (6) показатель ^^ОГ/ ^)■

Этот результат применяется для обоснования методов вязкости, сглаживания и конечно-разностного метода со схемой Лакса.

В § 2 рассматривается задача Коши для одного класса систем квазилинейных уравнений, распадающихся в главной части:

-чг(х), ч>(х)€и(яч)льГл% (в)

На функции у?' , накладываются условия, обеспечивающие построение основных приближенных методов решения задачи (7), (8). Для приближенных методов, удовлетворяющих . . условиям, аналогичным условиям в § I, устанавливается оценка:

если - приближенные решения,,

построенные по начальным функциям Уо и соответственно, то ^ТеГО,ТЗ /<Г,!3/ 1 = 1,2. верна оценка

¿Г {(¿Чт,*)- Г^{ъ,х)!с/х * [ +

/уонс

показатель зависит от приближенного метода.

Константы не зависят от Л, ¿л, Т б{0, Т].

В п.1 5 3 со сниженными требованиями к гладкости (в случае у'&О, функции у.'еС0'^'])

для приближенных решений РгСЩ'] задачи (7), (8), полученных методом вязкости, устанавливается оценка: еФО/^^Я '0,т3

где - модуль непрерывности'в С^) функции

константа

гг

не зависит от сл.

Г£{0,73, и.

Отметим, что из оценки (9) следует теорема существования обобщенного решения задачи (7), (8) в случае негладкой функции потока.

В п.2 5 3 в случае Н.=1 рассматривается задача Коли

«г *уеСГ*1), (9)

- 1/оГх) , (Ю)

Для методов сглаживания и конечно-разностного метода устанавливаются оценки скорости сходимости приближенных решений задачи (9), (Ю).

В главе 2 рассматривается первая краевая задача ч От~^тЗ'Л для квазилинейного уравнения (I) с начальными и граничными условиями (3).

Предполагается, что выполнены следующие условия: I) е ¿^-а),^а*) € иг$г) ф/нкцияД удовлетворяет

условию Липшица:

(/^ (¿Ь **)/ < I

_ (£ ^ а, г, «)г ^ги к>)

3) -зис: УМ К* «г С- МЛ

£ у>11С г, к)р;Гх)>

где М, = иг) wc.fr е^), ^/¿^.{иоУЧ'Ги^

р= Р*-) - единичный вектор в'нутренней нормали к ЭЛ.;

4) . У{-б,г, и) е рг < С- Ич, М1З

£ /уЪ, (и (I/, Фф^л (I Пк

Решение понимается в смысле следующего определения: Определение 2. Ограниченная измеримая функция -«.(-¿,х) называется решением задачи (II) - (13). если

есЩ), М &

выполнено неравенство

к - -¿)с£гу, ги и) а, г, -

- Я /¿¡к*-^ ¿р. м^агуи)- *аг, > с.

- п -

Теорема 2. Пусть Ц,

число & Ф?'*? /((*))х<1 ; пусть для приближенного решения <1 РсСзадачи

(II) - (13), построенного по начальной функции^«граничной функции Й равномерно по £ 4] выполнены следующие условия:

1) (оценка модуля непрерывности в ¿1 по

л) < с,с<<* сыЛ

2) (оценка модуля непрерывности в ¿-1 по

Сс- = > о,

3) (оценка модуля непрерывности вблизи границы ЗЛ* (й,ТЗ)

Ухе Л. Уусзл. У4еСо,т]

а , с* -

4) (оценка погрешности приближенного метода)

существуют

такие константы Се, С?, Си , что Л • е

' а

- /«г,

- (Щ*)1ис(т,х)- кН***) ЫЪО-Ц**-

(Л № г и

* Ли,

где ai e^JlfXs-t-Ax. e2JL,c,■-cMctfxD,/*?,<?■■= о

Предположим также, что при 'UofoJeL и ; ■ » удовлетворяющих условию 1),и '

uYirJ = &r-v../tnj, ffpJ-Ptt-r^y.]

выполнены следующие условия:

Ь) (устойчивость по начальным и граничным функциям)

Ytefojj Уге/qu

^ . Ся // Wfrb*^ (cr ,-^J)

6) (оценка скорости аппроксимации начальной функции) jjtttyx) - Uofxi/dx. ± Go Act /¿у ^ ^ ^ - cx»ut> °)j

7) (оценка скорости аппроксимации граничной функции)

I f /tL(i, x)-/ttc{6,r)jctei(l * Or Off ■■= с*w > о.

о Qjl Тогда Vте Го,

Tj Y&Cfyj], t-iyZ верна оценка

VY^xJ/cfx. <C& (ft/afzj—

a vU. \ /У th {

где МЛС f^f/) <u*,jl), A/^-AJJ Г- 3,$-)

причем T- fiuJvfx/f) в случае Q**6, Константа € не зависит от "beСО, 7J

Так see, как и в главе I наделяется случай негладкой функции потока, и доказывается аналогичная оценка скорости сходимости приближенных решений'задачи (I), (3), полученных методом "исчезающей вязкости".

Отметим, что из этого результата следует теорема существования обобщенного решения задачи (I), (3).

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору С.Н.Крухкову за постановку гадач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы'в следующих работах автора:

1. Казмерчук А.И. О сходимости приближенных решений задачи Кош для квазилинейных уравнений первого порядка. - Вестник МГУ, 1989,сер. матем. ыехан., вып.4, с.68-70.

2. Кружков С.Н., Казмерчук А.И. О методах построения обобщенных решений квазилинейных законов сохранения. - УМН, 1990, т.45, вып.4, с.111-112.

3. Казмерчук А.И. Вопросы обоснования методов построения обобщенных решений квазилинейных законов сохранения,1990, "Понтрягинские чтения" - КемГУ.

4. Казмерчук А.И. Сходимость приближенных решений задачи Кэши и первой краевой задачи для некоторых классов квазилинейных уравнений и систем первого порядка. - Деп., в ВИНИТИ, 1991, № 284Х-В91.