Средние значения тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

9 °8"3

3049

......................сударгтш'нный униифгипч

имени М. Н. Лпмонотна Моханики-м.'псмн'шчсский факуль'ич

На прлимх рукописи УДК 5Ц.З

Сорокин Пакел Николаевич

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕ7ГРИЧЕСКИХ СУММ В КОЛЬЦЕ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ

специальность 01.01.06 — математическая логика, алиЛра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С'оф

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

1фОфбССОр

Владимир Николаевич Чубариков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Николай Михайлович Добровольский (Тульский педагогический государственный университет имени Л. Н. Толстого)

Защита диссертации состоится 3 октября 2008 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 3 сентября 2008 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Ольга Васильевна Тырина (Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана)

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей ет имя "суммы Гаусса":

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем трипшометрические суммы, правда гораздо бол«1 общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких гумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, т.е. возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы:

где <р(х) = а„хп + ... + а¡х — многочлен степени п > 1 с условием (а„,...,аьР) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-кен. Он установил неравенство

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием Р оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

(1)

о <»<Р

где /(а;) = а„хп + ... + ог1Х, и а„,...,а1 — любые вещественные числа Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2), дал Г. Вейль. Поэтому этим суммам присвоено название: "суммы Г. Войля".

При оценке сумм Г. Вейля вводится величина .7 = .1(Р\ н, к), которая является числом целочисленных решений следующей системы уравнений

XI + ... + хк - Ух + ... +

• +1/1

(3)

где 1 < х, /\ 1 < ¡/, ^ Р, а-1,...,к. Имеет место равенство

J = J(P;n,k)= f ... Г J о J о

Е'

,2i»/<*)

2Jk

d«i... da„.

Задача нахождения возможно более точной оценки сверху для J(P; п,к) играет важную роль в различных вопросах аналитической теории чисел.

Разработанный И.М. Виноградовым в тридцатых годах двадцатого века метод оценок тригонометрических сумм Г. Вейля1 опирался на оценку величин типа |А'(«П,..., «1 )|2*. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |5(«„,... ,оц)|2* более простой оценкой интеграла

J(P;n,k)

Jo Jo

т.е. оценкой этой суммы "в среднем"по всем £ц, .. ,г>„, и поэтому теорему об оценке величины J(P;n,k) носит название теорем!,! И.М. Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М. Виноградов неоднократно улучшал и уточнял чту теорему2. Эти результаты позволили И.М. Виноградову добиться существенного продвижения в целом ряде задач алдитивной теории чисел и в теории дзета-функции Римана3.

И.М. Виноградов получил асимптотически точную по Р оценку величины J(P;n,k) вида

J(P;n,k) « Р2" -^

'Виноградов И.М. Новые оценки сумм Вейля: Докл. АН СССР, 1935, т. 3, № 6, с. 195-198.

^Виноградов И. М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы: Известия АН СССР, сер. матом., 1951, т. 15, № 2, с. 109-130.

'Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980. - 180 с

(введенный И.М.Виноградовым знак " " означает, что если Л(}') « В(Р), то |Л(/')| где с > 0 некоторая постоянная, не зависящая

от Р).

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М Виноградова .нанимался также Хуа Ло-кеи*. В частности, он в явной 4юрме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы ил общего м<!Тода оценки индивидуальных тригонометрических сумм.

В 1942 году К).В. Линником5 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства ( равнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. исполыукнцее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено A.A. Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода''. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теорема о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(P;n,fc) при малых значениях к (см. работы A.A. Карацубы7, С.Б. Стечкина8, Г'.И. Архипова9, Г.И.Архипова и В.Н. Чубарикова10, Г.И. Архипова и A.A. Карацубы", ПИ. Архипова, A.A. Карацубы и В.Н. Чубарикова12. В.З. Соколинского13. О.В.Тыриной14).

Естественным продолжением данных исследований является обобщение этих результатов на комплексной плоскости и в полях алгебраических чисел.

В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался

4Ло-Кен Хуа. Ад&итивная теория простых чисел: Труды МИАН СССР, 1947, т 22, с. 1179.

®Линник Ю. П. Оценки сумм Вейлл: Докл. АН СССР, 1942, т. 34, № 7, с. 201-203.

6 Например, Карацуба A.A. Проблема Варит а для сравнения по модулю, равному степени простого числа: Вестник МГУ, 1962, Сер. 1, К» 1, с. 28-38

7Например, Карацуба A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы: Изв. АН СССР, Сер. матем., 1973, т. 36, Ю 6, с. 1203-1227.

'Стечхин С. В. О средних значениях модуля тригонометрической суммы: Тр Матем. ин-та им. U.A. Стеклова АН СССР, 1975, т. 134, с. 283-309.

'Архипов Г. И. О среднем «ночении сумм Г. Вейля: Матем. заметки, 1978, т. 23, №8, с. 785-788.

10Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О кратных тригонометрических суммах: Докл АН СССР, 1975, т. 222, Н* 5, с. 1017-1019.

"Архипов Г. И., Карацуба A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова: Иэв АН СССР, Сер. матем., 1978, т. 42, № 4, с. 751-762.

"Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987 — 400 с.

"Соколинский В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных Ичв ВГГШ, 1979, т. 201, с. 45-55.

14Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова:

Изв. АН СССР, 81 (1987), 2, - с. 363-378.

полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговского типа с помощью кругового метода Харди-Литтльвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел К.Л.Зигель15 в середине сороковых годов двадцатого столетия. Эти исследования были продолжены Т. Татудзавой16 и О. Кернером17. В этих работах впервые получается теорема о среднем значении для тригонометрических сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления р-адического метода А.А.Карацубы доказательства теоремы о среднем значении, И. Еда18 получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату И.М. Виноградова в случае поля рациональных чисел.

Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова получил в работах А.А.Карацубы19, Н.М.Коробова20, Г.И. Архипова31, В.Н. Чубарикова22, О.В. Тыриной23, И М. Козлова24 и др.

В настоящей диссертации продолжено изучение указанных проблем н кольце гауссовых чисел. В ней получена асимптотическая формула при Р -» оо для аналога интеграла И.М. Виноградова, то есть асимптотическая формула для количества решений следующей системы уравнений

' \г +... + \к = /и + ... +

где неизвестные Ai,..., • • • ,ßk ё Z[i], причем NA, = |А,|2 < Р,

lsSiegel C.L. Generalization of Warmgs problem to algebraic number fields Amer. J Math., 66 (1944), pp. 122-136

'"Tatuzava T. On the Waring problem in an algebraic number field: Jour. Math. Hoc Japan, 10 (1958), No. 3, pp. 322-341

17Kömer О. Über Mittelwerte trigonometrischen Zahlkorpem: Math. Ann., 147 (1962), pp. 205-209.

'*Eda Y. On the meanvalue problem in an algebraic number field: Jap J. Math., 36 (1967), pp 5-21.

1вКарацуба A.A. Основы аналитической теории чисел М : Наука, 1975 — 210 с.

30Коробов И М. О тригонометрических суммах: ДАН СССР, 1979, т. 245, X» 1, с 14-17.

"Архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм. Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стехлова АН СССР, 1976, т. 142, с. 46-66.

"Чубариков В. Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрическое суммы: Мат. заметки, 1978, т. 23, № 6, с. 799-816.

13Тырина О. В. Средние значения тригонометрических сумм: Дис. канд. физ.-мат. ну*, М., 1989.

"Козлов И.М. Теорема о среднем И. М. Виноградова в кольце гауссовых чисел: Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Труды 4-ой международной конференции, Тула, 2002, с. 71-86.

На основе -»той асимптотической формулы получена оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

Асимптотическая формула является обобщением теоремы о средним значении И. М. Виноградова и результатов О.В.Тыриной в поле рациональных чисел. Полученные результаты представляют собой частный случай двумерной теоремы о среднем значении. Этот случай имеет дело с многочленами, степень которых по каждой поименной не превосходит п и, следовательно, этот многочлен имеет порядка п1 коэффициентов Здесь же мы рассматриваем многочлен с комплексными коэффициентами и поэтому имеем 2п независимых в вещественном смысле коэффициентов. В работе обобщается метод И М Виноградова при »тих условиях И случае, когда коэффициенты являются вещественными, полученный результат практически совпадает с известными результатами И.М. Виноградова и О. В. Тыриной.

Цель работы

Целью настоящей работы является получение новых оценок средних значений тригонометрических сумм Г. Вейля и вывода из них оценок модуля индивидуальных сумм Г. Вейля.

Методы исследования

В работе используются методы теории диофантовых уравнений, теории чисел, теории тригонометрических сумм, математического анализа и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказана теорема о среднем И.М. Виноградова, в которой дается улучшенная оценка тригонометрического интеграла в кольце гауссовых чисел.

2. Получен вариант основного рекуррентного неравенства А.А. Карацубы в форме, аналогичной соответствующему неравенству в случае целых чисел.

3. Доказана лемма о кратности пересечении окрестностей гауссовых чисел.

4. Найдена оценка модуля суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались

1. на специальных семинарах но теории чисел в МГУ иод руководством Г. И. Архипова и В. II. Чубарикова в октябре 2006 года и в ноябре 2007 года;

2. на 15-ой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", г. Дубна, январь 2008 года.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2].

Структура и объем работы

Диссертация сскггоит из введения, двух глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 68 страницах. Список литературы содержит 57 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении дана краткая историческая справка и сформулированы ключевые результаты, полученные автором.

Глава 1. Первая глава "Теорема о среднем И.М.Виноградова в кольце гауссовых чисел"состоит из трех параграфов. 15 параграфе 1 даны основные определения, сформулированы и доказаны важные свойства величины J{P\n,k), которые будут постоянно использоваться в дальнейшем изложении. Далее даны некоторые свойства простых гауссовых чисел. Также в этом параграфе доказаны две леммы о числе решений некоторых систем сравнений по модулю равному простому гауссовому числу или его степеням. А именно верны

Лемма 1.11. Рассмотрим следующую систему сравнений

' Ai + ... + А„ = ui (mod 7г),

А? + ... + А' = </2 (mod тг),

+ + =j/„ (mod тг),

где т — простое гауссово число, такое, что Nw > п, Ntt = 1 (mod 4), а неизвестные Ai,...,An пробегают полную систему вычетов по модулю тг. Пусть Т — число решений этой системы. Тогда Т п!.

Лемма 1.12. Рассмотрим следующую систему сравнений

' А] •»■...+ An ~ fj (mod я), Ajf + ...+■ А„ i>2 (mod тг2),

.A" + ... + AJJ = //,, (mod ,тп).

Пусть также 7г простое гауссово число и Nx > n, N'tt ~ 1 (mod 4), А, £ Х} (mod jr),i ф j,|A,| < j|7г|". Пусть S число решений »той системы Тогда S ri!(37)"(NTr) "LV?J

Параграф 2 содержи г вариант основного рекуррентного неравенства, которое доказано с помощью р-адического мегода Л.A Карацубы

Лемма 1.16. Пусть к > п, 1 г п, Р > 1 Тогда существует простое число q £ Z[i], удовлетворяющее условию N<у 6 [Pi,2/'i] такое, что

ЛР-, п, к) < ; м, к - г) +

+9 • 2а*-ггг(*+1>р*-1

где Р, = + 1).

Параграф 3 посвящен формулировке и доказательству теоремы о среднем значении И.М.Виноградова для тригонометрической суммы по гауссовым числам. Доказательство проведено методом математической индукции при помощи основного рекуррентного неравенства. Эта теорема дает оценку тригонометрического интеграла J(P■,n,k) в точках рекуррентным образом определяемой последовательности к,: к\ = п, Дх — п, п — ближайшее целое к числу ¿1 = • Далее

определяем

к, = к,-1 +г4_! =п + гх + ... + г,_ь

(2г,_1 - га - 1)(2г,-1 -п) А.-1 г, как ближайшее целое к числу

Д. = Д,_1 +Г,-!

Iг.-l г J... 1

2Д, + п(п + 1) 2га + 1

(если дробная часть {г,} = 1/2, то г, = [г.], где [г] - г - {г}). Эти последовательности были введены в работе О.В. Тыримой [45]. В нашей работ«; получены свои доказательства свойств этих последовательностей, а именно, что последовательность {Д,} является возрастающей, а последовательность {г,} неубывающей, при п > 2, а также, что

n(n + l) 2п(п + 1) urn Д, =----------, lim г» = п, lirn г, ----- ,--.

а-* Ню ¿ a ■■»■fro ¿n f 1

Основным результатом первой главы является следующая

Теорема 1.1. Пусть п j 5. При к - к„я = 1,2,... для среднего значения J(P\n,k) имеет место оценка

J(P\n,k) = J[P\n,k.) < íh. , Dkl - (4^}2(fc'f - (4n)¿n'\

где

для s > 1, при

> t

n(n_- I) 2

При этом, если к - к, = к(п) + ni, t = 0,1,..., то

?(^1>>д. > 2(2 + 11 » Л _ IV

2 2 2 V п

где то начиная с которого Л, ^

Отметим, что в промежуточных точках, лежащих между точками последовательности {к,}, оценку тригонометрического интеграла J{P\п, к) дает следующая

Теорема 1.2. Пусть условия и утверждения теоремы 1 справедливы. Тогда для любых натуральных к = к,< таких, что к, < к< к,лл, в = 1,2,... для среднего значения J(P; п, к) имеет место оценка

ЦР-, П, к) ^ ДР; п, к,-) < (Я*.,, Р2к-'')'*!' Ри -Л-)',

где

^»-н ~~ ц - /;„

Глапа 2. Вторая глава "Оценка тригонометрической гуммы Г. Пейля по гауссовым числам"иосвягцена выводу оценки тригонометрической суммы

S- е",,С;Р(/(л)1 = e*u''I>lo"A" + - +а"А) N\<f N\<p

где а,,...,«„ С С, А 6 Z[¿], NA = |A|2, Sp(C) » 2Re(() = < + в малых окрестностях рациональных гауссовых чисел, наименьшее общее кратное которых превышает некоторую положительную степень длины интервала суммирования. Данная оценка зависит от теоремы о среднем значении И.М. Виноградова г лавы 1 и от оценки кратности пересечения окрестностей, указанных выше.

В параграфе 1 рассмотрены некоторые свойства тригонометрических сумм Г. Вейля по гауссовым числам.

Параграф 2 содержит формулировку и доюиательство леммы о пересечении областей

Лемма 2.5. Пусть Р >. пп' и каждому гауссовому числу ц отвечает своя точка T(/í) - (д),..., rf(/i), , (/i),.. , Г'(д)) определяемая

разложением

/(А + ai) - /(/i) - «„А" + (Г*.^) + ¡r^_1(/i))An 1 +... + + 1Г((М))А

многочлена /(А + /í) - }(fj) по степеням А. Каждому й = п,... ,2 поставим в соответствие свое число те = р(®"°'5>/2, причем а, представим в виде

где (af,^) = 1, (al„q¡) = 1, 0 < дая < т„ 0 < q[ <С г., и символами Q'¿ и Qo обозначим наименьшие общие кратные чисел <7^ и q'n,...,q^

соответственно.

Пусть G -- число точек, отвечающих числам ц, удовлетворяющих условию N/i ^ Р, которые путем добавления к их координатам чисел, численно не превосходящих соответственно

= .....L« = Р-»/», Ь'п_г = Ч/2] . i Ц =

могут быть сделаны сравнимыми с точкой, отвечающей какому-либо фиксированному числу fio с условием N/Jo Р. Тогда имеем

G < 2п*п~*Р0,п+0,*и, если Qg Z ,Q'0

G < n*n-*jfiM*M>t ^ qR < ро.я-o^g/ < рмв-о.^

G < n«"-4--^'-, мл и Q« > ,Q'0 < Л"-'"^',

Wo

G < если < pW -^.Qb * r0 ™-^.

Qu

В параграфе 3 выводится оценка тригонометрической суммы по гауссовым числам в малых окрестностях рациональных гауссовых чисел, наименьшее общее кратное которых превышает некоторую положительную степень длины интервала суммирования. Верна следующая

2

Теорема 2.1. Пусть п £ 5, Я <г п" и каждому в - л,.... 2 поставлено в соответствие свое число г, = />(« ('.М/^ причем а, - с»'' + ia' и каждые и , я — п,..., 2 представлены в виде дя

+

- + ai,^ G X, (aU') = l, 0 ^ <,l < r,.

При этом предполагаем, что наименьшее общее кратное о' чисел г/".....г/.]'

удовлетворяет условию Qo > Z*0'25 а наименьшее общее кратное Q{, чисел q'n, .., q[ удовлетворяет условию Q'(t > р0'25 0.2'' Пусть, также,

р'1 — 8л2(1п п f 0,5 In Inn + 0,75).

Тогда имеем

|S| =

*.Sp(/(A)) N\<f>

£ -

с(п)Р' s, с(п)

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Чубарикова ВН. за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку, а также с-.трудников кафедры математического анализа.

Список литературы

[1] Сорокин П.Н. Теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы в кольце гауссовых чисел: Евразийский Математический журнал, Астана, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, 2006, ДО 2, — с. 72-85.

[2] Сорокин П. Н. Теорема о среднем И. М. Виноградова для тригонометрической суммы по гауссовым числам: Вестн. Моск. уп-та, Сер. 1, Математика. Механика, 2007, ДО 6, — с. 63 - 65.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова

Подписано в печать О/ 03, Формат 60x90 1/16. Усл. печ. п.О^ Тираж /00 экз. Заказ 39

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

Глава 1. Теорема о среднем И.М. Виноградова в кольце гауссовых чисел.

§1. Вспомогательные утверждения.

§2. Основное рекуррентное неравенство.

§3. Формулировка и доказательство основной теоремы.

Глава 2. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

§1. Некоторые свойства суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

§2. Лемма о пересечении областей.

§3. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля.

Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса":

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, т.е. возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы: где <р(х) = апхп + ■ • • + сцх ~ многочлен степени п > 1с условием (ап, .,а1,Р) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа JIo-кен. Он установил неравенство

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка

1) роста правой части с возрастанием Р оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

S = S(an,.,a1)= e2nlf{X)i

0<x<P

2) где f(x) = апхп+. .Ч-с^ж, и ап,., а\ — любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2), дал Г. Вейль. Поэтому этим суммам присвоено название: "суммы Г. Вейля".

При оценке сумм Г. Вейля вводится величина J = J(P;n,/г), которая является числом целочисленных решений следующей системы уравнений xi + . + хк = ух + • • - + Ук, xf + . + х2к = у\ + . + yl

3) где 1 < xs < Р, 1 < у8 ^ Р, s = 1,., к. Имеет место равенство л

J = J(P-,n, к) = Г . f1

J о Jo e x=l

27Tif(x)

2 к da\. da n

Задача нахождения возможно более точной оценки сверху для J{P\ п, к) играет важную роль в различных вопросах аналитической теории чисел ([6],[13],[18],[26],[39]).

Разработанный И.М. Виноградовым в тридцатых годах двадцатого века метод оценок тригонометрических сумм Г. Вейля опирался на оценку величин типа |5(an,., cti)\2k ([9],[19]). Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |5(о;п,., а\)\2к более простой оценкой интеграла

J(P] п, к) = [ . [ |5(an,.,Q;i)|2AdQfi.dan, Jo Jo т.е. оценкой этой суммы "в среднем"по всем ai,., ап, и поэтому теорему об оценке величины J(P; п, /г) носит название теоремы И.М. Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему ([10]-[12],[14],[15]). Эти результаты позволили И.М. Виноградову добиться существенного продвижения в целом ряде задач аддитивной теории чисел и в теории дзета-функции Римана ([13],[17],[18]).

И.М. Виноградов получил асимптотически точную по Р оценку величины J(P] п, к) вида

ЛР-.п.кХР"-*?1 введенный И.М. Виноградовым знак " <С " означает, что если А(Р) <С В(Р), то |А(Р)[ ^ с\В(Р)\, где с > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от Р).

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М.Виноградова занимался также Хуа JIo-кен ([38],[39]). В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм.

В 1942 году Ю.В.Липником было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р ([35],[37]). Другое р-а,дическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А. Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода ([20]-[23]). В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теорема о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(P; п, к) при малых значениях к (см. работы А.А. Карацубы ([24],[25],[27]), С.Б. Стечкина [43], Г.И.Архипова [3], Г.И.Архипова и В.Н. Чубарикова [8], Г.И.Архипова и А.А. Карацубы [4], Г.И.Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова ([5], [6]), В.З. Соколииского [40], О.В. Тыриной [45]).

Естественным продолжением данных исследований является обобщение этих результатов на комплексной плоскости и в полях алгебраических чисел.

В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговского типа с помощью кругового метода Харди-Литтльвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел K.JI. Зигель в середине сороковых годов двадцатого столетия ([54],[55]). Эти исследования были продолжены Т. Татудзавой ([56],[57]) и О. Кернером [52]. В этих работах впервые получается теорема о среднем значении для тригонометрических сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления р-адического метода А.А. Карацубы доказательства теоремы о среднем значении, И. Еда ([50,[51]) получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату И.М. Виноградова в случае поля рациональных чисел.

Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова получил в работах Ю.В.Линника [36], А. А. Карацубы ([23],[25],[26]), Н.М. Коробова ([31],[32]), Г.И. Архипова ([1]-[3]), С.Б. Стечкина [43], В.Н. Чубарикова ([46]-[49]), О.В.Тыриной ([44],[45]), И.М.Козлова ([28]-[30]) и др.

В настоящей диссертации продолжено изучение указанных проблем в кольце гауссовых чисел. В ней получена асимптотическая формула при Р —у оо для аналога интеграла И.М.Виноградова, то есть асимптотическая формула для количества решений следующей системы уравнений f

Ai + . + Хк = + ■ ■ • + fj-k, А? + . + A i = (i21 + . + lil AJ + . + Aг = ^ + + где неизвестные Ai,., A/^i, ., € Z[i], причем NAS = |Asj2 < P, N/is < P, s = 1,., k.

На основе этой асимптотической формулы получена оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

Асимптотическая формула является обобщением теоремы о среднем значении И.М.Виноградова и результатов О.В.Тыриной ([44],[45]) в поле рациональных чисел. Полученные результаты представляют собой частный случай двумерной теоремы о среднем значении ([1],[2],[6],[7]). Этот случай имеет дело с многочленами, степень которых по каждой переменной не превосходит п и, следовательно, этот многочлен имеет порядка п2 коэффициентов. Здесь же мы рассматриваем многочлен с комплексными коэффициентами и поэтому имеем 2 п независимых в вещественном смысле коэффициентов. В работе обобщается метод И.М.Виноградова при этих условиях. В случае, когда коэффициенты являются вещественными, полученный 3. результат практически совпадает с известными результатами И.М. Виноградова и О.В. Тыриной ([44],[45]).

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации, которая состоит из введения и двух глав.