Тригонометрические суммы Г. Вейля над кольцом целых алгебраических чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ООооо-'

На правах рукоииси

Кокорев Антон Владимирович

Тригонометрические суммы Г.Вейля над кольцом целых алгебраических чисел

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19 СЕН 2013

Москва - 2013

005533436

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики физико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет».

Научный руководитель: Авдеев Иван Федорович

кандидат физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Добровольский Николай Михайлович

Защита диссертации состоится 11 октября 2013 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: РФ 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова (Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А).

Автореферат разослан 11 сентября 2013 г.

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого» зав. кафедрой.

Снурницын Павел Владимирович кандидат физико-математических наук (ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»)

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Белгородский

государственный национальный исследовательский университет»

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Область исследования диссертации относится к аналитической теории чисел. В ней рассматриваются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами над полем вещественных алгебраических чисел.

Основной целью настоящей работы являеются оценки модуля тригонометрической суммы

Я (е*1, А, . . . , £*„, Д.) = £ е-(«.8р(Л)+АЗр(^Л)+...+а„Зр(Л'1)+Зг18р(^Л''))) Аё1/

где

огьА,...,ап,Рп ей,

Эр (7) = 7 + 7> " = {а + а,Ъв [1; Р] а, Ь е ,

7 — сопряженное к 7.

В работе рассматриваются тригонометрические суммы над целыми алгебраическими числами, являющиеся обобщением классических тригонометрических сумм вида

г=1

где /(х) = апхп + ... + а^х, и ап,..., с^ - любые вещественные числа.

Академик Иван Матвеевич Виноградов дал им название сумм Г. Вейля, которое стало общепринятым. Упомянутые в диссертации суммы но аналогии будем называть суммами Г.Вейля. И.М.Виноградов разработал теорию тригонометрических сумм Г.Вейля1. Центральную роль в ней играет теорема о среднем значении таких сумм, т.е. об оценке величины

1(Р,п,к)

i 1

YI е2™№')) i=i

2 к

da 1... dccn.

Интеграл 1(Р,п,к) получил название интеграла Виноградова2. По аналогии будем использовать это понятие и в случае наших сумм.

1 Виноградов И.М., "Новые оценки сумм Вейля", Докл. АН СССР, 1935, т.З, №6, с. 195-198.

2 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сулш'\ М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

Оказывается, что среднее значение сумм в точности равно числу решений в натуральных числах системы уравнений.

xi + ... + хк = J/1 + ... + ук, ( x\ + ...+xl = yl + ... + yl,

. si + ... + a£ = у?+ ... + $,

где 1 < xs < Р, 1 ^ уя < Р, s = 1,..., п.

В рамках теории тригонометрических сумм Г.Вейля важно получение возможно более точной оценки 1{Р, п, к) для числа слагаемых к порядка п2 и более.

И.М. Виноградов получил удобную для применения «упрощенную оценку» величины 1(Р, п, к) вида3

/(P.n.JfcKP*-8^,

с ограничением вида к = [n2(21nn + In(lim) + 4)].

Академик Ю.В.Линник4 предложил вариант доказательства теоремы о среднем значении, использовавший свойства сравнений но модулю степеней простого числа р. А. А.Карацуба и др. усовершенствовали этот метод5, получивший название р-адического.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки кратных тригонометрических сумм. В начале 70-х годов прошлого века6 Г.И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. Позже Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков дали обобщение результатов Г.И. Архииова на кратный случай7.

Результаты исследований но кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм»8. С.Б. Стечкиным9, О.В. Тыриной10 и др.

3 Виноградов И.М., "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", М.: Наука. Главная редакция физико-маетиматическогой литература, 1980, 144 с.

4 Линник Ю.В., "Оценки сумм Вейля", Докл. АН СССР, 1942, т.34, №7, с. 201-203.

5 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

6 Архипов Г.И., "Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы", Мат. заметки, 1975, №1, с. 143-153.

7 Архипов Г.И..Чубариков В.Н., "О кратных тригонометрических суммах". Док. АН СССР, 1975, т. 222, №5, с. 1017-1019.

8 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

9 Стечкин С. В., "О средних значениях модуля тригонометрической суммы", Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1975, т. 134, с. 283-309.

10 Тырина О.В., "Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова", Изв. АН СССР, 51 (1987), 2,-с. 363-378.

было продолжено развитие метода тригонометрических сумм в ноле рациональных чисел. Результаты теории кратных тригонометрических сумм используются в диссертационной работе.

Естественным развитием метода тригонометрических сумм является его обобщение в ноля алгебраических чисел.

Первые исследования в этом направлении провел К.Л.Зигель11. Он применил метод тригонометрических сумм для решения задач варинговского типа в кольце целых алгебраических чисел. Эти исследования были продолжены Т.Татудзавой12 и О.Кернером13. Ими была доказала теорема о среднем для сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. В дальнейшем И.Еда доказал теорему о среднем р - адическим методом14.

Тригонометрические суммы, рассматриваемые в данной диссертации, существенно отличаются областями изменения переменных от тригонометрических сумм, которые изучались в приведенных выше работах. Суммами подобными нашим в последнее время занимались И.М. Козлов15 и П.Н. Сорокин16.

С формальной точки зрения тригонометрическую сумму в квадратичном ноле можно рассматривать, как частный случай двойных тригонометрических сумм, которые оценивались в общей теории кратных тригонометрических сумм17, но в нашем частном случае получены более сильные оценки индивидуальных сумм и их средного значения, которые являются близкими к окончательным по главному параметру.

Заметим, что если теорему о среднем, аналогичной нашей, выводить из общей теоремы о среднем для двухкратной суммы Г. Вейля, то степень осреднения будет иметь порядок п3 log п. В то время как в нашем случае порядок п2 log п, при этом выполняется неравенство

п3 log > n2 log п.

В этом состоит принципиальное отличие нашего результата от общей

11 Siegel C.L. "Generalization of Warings problem to algebraic number fields", Amer. J. Math., 66 (1944), pp. 122-136.

12 Tatuzava N., "On the Waring problem in an algebraic number field", Jour. Math. Soc. Japan, 10 (1958), No. 3, pp. 322-341.

13 Körner О., "Uber Mittelwerte trigometrischen Zahlkorpern", Math/ Ann// 147(1962), pp.205-309,

14 Eda Y., "On the meanvalue theorem in an algebraic number fields", Jap. J. Math., 36 (1967), pp. 5-21

15 Siegel C.L. "Generalization of Warings problem to algebraic number fields", Amer. J. Math., 66 (1944), pp. 122-136.

10 Сорокин П.H., "Среднее значение тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел", Дис. ...канд. физ.-мат. наук.-М., 2008

17 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

теоремы. Это обстоятельство связано с тем, что в нашем случае осреднение тригонометрической суммы ведется но 2п коэффициентов многочлена в её экспоненте, а в общем случае количество таких коэффициентов равно п2.

Другим основным результатом диссертации является оценка тригоногметрических сумм над квадратичным нолем на I и II классах. Заметим, что для II класса получены равномерные оценки имеющие вид: О (Р2_р), где р ~ ntiognl в т0 время как для двойных сумм общего вида в настоящее время известна равномерная оценка только порядка18 P2~Pi,

Путем применения полученных выше результатов, в диссертации находится асимптотическая формула для количества решений системы уравнений, при к > п2 log п

Ai + ... + Afc = ßi + ... + ßk + ^ A? + ... + Xl = + ... + ßl + <72,

. \'{ + ... + \"k=ß1 + ... + ßnk + an,

где неизвестные Xi,fii,ai 6 u,i — 1,n, v область, состоящая из целых алгебраических чисел поля К - алгебраических чисел 2 степени, полученного как расширение поля рациональных чисел присоединением л/2, вида а + 6\/2, где, a,be [1; Р] £ N, Р G N.

Цель работы

Целью работы является получение новых оценок среднего значения модуля тригонометрических сумм в квадратичном ноле, оценок индивидуальных сумм Г.Вейля над квадратичным нолем вещественных алгебраических чисел, доказательство асимптотической формулы для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел, что дает оценку числу решений некоторой системы уравнений над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

Методы исследования

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел, в том числе метод кратных тригонометрических

18 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", M.t Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

сумм й.М.Виноградова, формула И.М.Виноградова для обращения тригонометрических сумм, методы комплексного анализа.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказана теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел.

2. Получены оценки модуля тригонометрических сумм Г.Вейля в квадратичном ноле на I и II классах.

3. Найдена асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

• семинар «Аналитическая теория чисел» (д.ф.-м.н., проф. В.Н. Чубариков, д.ф.-м.н., проф. Г.И. Архипов), МГУ, неоднократно в 20112012 гг.

• Международная научно-практическая конференция «Математика и её приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, Орловский государственный университет, 20-21 мая 2011 г.).

• X международная конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"!'. Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10-16 сентября 2012 г.

• XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы теории чисел и приложения», г. Саратов, 9-14 сентября 2013 г.

Публикации

Результаты автора но теме диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата [1], [2], [3], [4], [5]. Работ в соавторстве нет.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации методы и результаты представляют интерес для специалистов аналитической теории чисел. Они позволяют обобщить метод тригонометрических сумм на поля вещественных алгебраических чисел и уточнить полученные ранее оценки модуля кратных тригонометрических сумм.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии (31 наименование); Общий объем диссертации составляет 90 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении диссертации приводится история рассматриваемых вопросов, показана актуальность темы и изложены основные результаты. Приведены полученные ранее результаты, снабженные подробными ссыслками, показаны основные отличия получаемых в диссертации результатов с существующими на данный момент.

Содержание главы 1

Первая глава «Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел» состоит из четырех параграфов. В первом параграфе проводится формулировка основной теоремы о среднем значении.

Теорема 1. Пусть п,к,т 6 N. Тогда, при к > пт, Р ^ 1 для числа I решений системы имеет место оценка

1 = 1 (Р-,П, k) ^ п^г)2Ыт)к4птр4к-25(т)^

где 6(т) = ^±11 _ £ (1 _ 1)г, х(г) = 4п2т + пт2.

Далее проводится доказательство вспомогательных лемм. Во втором параграфе приведено авторское доказательство теоремы о попадании к простых целых алгебраических чисел в промежуток (х\2х], при х, превосходящем некоторую величину. А также аналог

леммы Линника о количестве решений некоторой системы сравнений в квадратичном ноле вещественных алгебраических чисел .

Третий параграф посвящен выводу основного рекуррентного неравенства в случае поля вещественных алгебраических чисел.

Четвертый параграф содержит доказательство основной теоремы о среднем значении модуля тригонометрической суммы над кольцом целых алгебраических чисел при помощи рекуррентного неравенства, полученного в третьем параграфе.

Содержание главы 2

Во второй главе «Суммы Г. Вейля на основном множестве» содержится теорема об оценке модуля тригонометрической суммы, наименьшее общее кратное знаменателей которых превышает некоторую степень интервала суммирования. Итак, мы рассматриваем тригонометрическую сумму вида

5 (аь ft,..., а,,, ДО = e"(^Sp(A)+ASP(f A)+...+QuSp(A")+^Sp(f д-))! А £;/

где Qi,/?!,.... ап, Д, е R, Sp (7) = 7 + 7 = 2Re (7), 7 - сопряженное К7, v = {a + bs/2;a,b G [l;P]a,b 6 N}.

Каждое aS) ¡3S можно представить в виде

cs 9s ds в\

<** = - + iTTTiA = ТГ + ТТ\

g. \q»\rg' а q's leiK'

где cs,d3, qs,q'3 G Z,HOK (<:„&) = 1, HOK (ds, = 1, 1 < \qe\ < ' 1 < Ws\ ^ Ts, \e.\ ^ 1) s — l,n. Определим для с, d область f2(c;d) G следующим образом:

{ai G (0; 1) : |аг - Г,- (с; d)| < г = Т~тг, t2 - четное,

А 6 (0; 1) : - П (с; d)| < ^¿у^Р"', г = М, t2 - нечетное.

где Lfc = P-i:, г = ii+i2, А; = 1, тг, rti;f2 коэффициенты разложения разности

Р+с P+d с d

EE-EE-

х=1 у=1 Ж=1 ¡/=1

В этом случае верна следующая теорема

Теорема 2. Пусть п ^ 3. Для э = 1,п положим т3 = Р" з. Каждое с*8, Д, можно представить в виде

¿в . л 9'3

а« =--1--,Ра = — + -¡—,1

где са,в,8! е НОК (с„ дв) = 1,НОК(сг„^) = 1, 1 < ца ^ т3, 1 <

Пусть (¿о = НОК (<&, 9г. • ■ •. 9«)' 1Фо| ^ Р® и р = I к = 24п21п (Зп2) .

Тогда

^ СР2~Р, С = 28"2

Хеч

Содержание главы 3

Третья глава «Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным нолем вещественных алгебраических чисел» состоит из трех параграфов.

В нервом параграфе проведится разбиение коэффициентов многочлена на 2 класса следующим образом: точка {аи(3\, ...,ап,рп) принадлежит если выполняются данные условия

1) д<р°-\д = нокм,...,?„,<?;),

2) С, < Р~я+0'\ С < р-'+о.1,5 = 1^.

Все остальные точки отнесём ко второму классу

Далее показано, что область первого класса состоит из

непересекающихся окрестностей рациональных чисел с малым знаменателями. Такое же представление множества первого класса используется в четвертой главе, при получении асимптотической формулы среднего значения тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественным алгебраических чисел.

Второй параграф носвящен оценке суммы Г. Вейля на первом классе, а именно верна теорема

Теорема 3. Пусть (а1,/?ь..., ап,/?„)- точка первого класса Пь Тогда имеет место оценка

|5(аь/?!,..., ап,Д,)| < 2(5п2,1)2^т(д)Р2д*,

где t(Q)- количество различных делителей Q, u(Q)-количество различных простых делителей Q. Учитывая, что

l{ti\t2) = ^ * ^ Çi1+Î2, при четном i2,

l(ti\t2) = ^ ^Cî1+î2> при нечетном t2l 7(ti;t2) = (QPi)tl+S(ii;Î2),7 = , max 7(ii;i2).0 ^ tiîia «S n, npu 7 > 1 справедлива о^емтсо

|5(ab/îb...)an,/în)| < 212(5n2")2^r(g)P2(7Q)-"ln(7 + 2). В третьем параграфе получены оценки для оставшихся точек.

Теорема 4. Пусть (ct'i,/?i, ..., а„, рп)- точка второго класса Q2. Для s = 1,п полооким т, = Р5~з. Каждое aSlPs можно представить в виде

, I/- I ^ ^ «s =--h Çs, |Çs| < -,

4s Уз's

где ds,cs,qs,q's e Z,HOД(с5,д8) = 1,Н0Д(^„,д£) = 1,1 < qs ^ т„ 1 < (fs < < c, ^qs,0<ds^ < 1, s = l,n.

Яустъ Q = EOK{quq'v...,qn,q'n), a Qq = HOK(ç2, ?2, ■ • ■ > Qn, q'n)-Обозначим через v(q)- число различных простых делителей q, r(q)-4UCA0 различных делителей q, тогда

1) Если Q < P°>\6S = P%s > Р0'1, т.е. Çs ^ р-'+о.1, при четном t2, 5's = P\'s Jï P0'1, £ ^ p-s+w, при нечетном t2, l ^ s ^ n, то

\S{au Pu-,<*», Pn)\ < 86n3(5n2")2"(çV(Q)P2-^.

2) Если Q > P°'\Q0 > P®, то

где p = (24n2ln(3n2))-1.

3) Если Q > P°'\ Qq < Ps, (Q ф Q0; <3 > Qo), mo

\S(ai,Pi,...,an,P„)\ ^ 212n2+"r(Q0)P2-^. ¿J Ясли Q > P0'1, Qq < Pi, (Q = Qq), то

\S{ai,pb...,an,pn)\ < (5n2")2"^r(Q)P2^.

Содержание главы 4

Последняя глава «Асимитотическая формула для аналога интеграла И.М. Виноградова в квадратичном поле» посвящена выводу асимптотической формулы при к ^ 110п21п(3п2), Р —» оо, где Р -произвольное целое (натуральное) число, для интеграла

1 1

;7Г1(а1Зр(А)+/31Зр(^А)...+а„Зр(А")+/?„Зр(^Л")) ^

1{р,п,к) = у...у

е

0 о

где к, п е М, и = { а + Ьу/Щ а,Ье [1; Р]а,ЬеЩ, а,-, $ 6 М. В первом параграфе доказана следующая теорема

Теорема 5. Положим для п ^ 3 р = \,к = 24 п21п(3гг2). Тогда, при любом натуральном к ^ пт и Р —+ +оо верна следующая асимптотическая формула

1 {Р, П, к) = <т0Р4*"п(п+1) + 0 ^

где Р1=пР = «

/+00 г+оо

... ¿1,..., дп, б'п)\2каб^б[. . . й5пс15'п,

ОО ¿ — 00

1 1

Е Е \и(сЛя)\2к

0<с:1^гх.....о«*,,«,!,

Н0Д(с1;д,)=1.....Н0Д(А,;А)=1

д2

■ Ч1,2 = 1

Л=ч+ер

В §4.2 показано, что особый интеграл в сходится при к > п2, а особый ряд а сходится при 2к > п2.

Работы автора по теме диссертации

[1] Кокорев A.B. Теорема о среднем значении тригонометрической суммы в ноле алгебраических чисел второй степени, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №3, 2011, с. 42-48.

[2] Кокорев A.B. Теорема о среднем значении тригонометрической суммы в поле алгебраических чисел 2 степени, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №3, 2012, с. 29-38.

[3] Кокорев A.B. Оценка суммы Г. Вейля по вещественным алгебраическим числам, Алгебра и теория чисел: сов. проб, и приложения: тезисы докладов X межд. конф. , Волгоград 10-16 сен. 2012г. - Волгоград: изд. ВГСПУ Перемена, 2012. с. 32.

[4] Кокорев A.B. Об оценках тригонометрических сумм над квадратичным нолем, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №6(50) часть I, 2012, с. 3942.

[5] Кокорев A.B. О суммах Вейля над квадратичным нолем вещественных алгебраических чисел, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №6(50) часть II, 2012, с. 114-117.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж I о () экз. Заказ № ЗД

ФГБОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201451674

Кокорев Антон Владимирович

Тригонометрические суммы Г.Вейля над кольцом целых

алгебраических чисел

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент И.Ф. Авдеев

Орел - 2013

Оглавление

Обозначения 4

Введение 5

Глава 1. Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел 14

1.1 Свойства среднего значения кратной тригонометрической суммы 14

1.2 Лемма Линника над квадратичным полем.............22

1.3 Основное рекуррентное неравенство................28

1.4 Доказательство теоремы о среднем значении тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел .............................37

Глава 2. Суммы Г.Вейля на основном множестве 41

2.1 Теорема о кратности пересечения областей............41

2.2 Равномерная оценка тригонометрической суммы.........48

Глава 3. Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел 52

3.1 Вспомогательные утверждения...................52

3.2 Оценка суммы Г.Вейля на I классе.................54

3.3 Оценка суммы Г.Вейля на II классе.................62

Глава 4. Асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле. 73

4.1 Вывод асимптотической формулы.................73

4.2 Сходисть особого ряда и особого интеграла............85

Список литературы 87

Обозначение

в8—число, модуль которого не превосходит единицы, Р - целое число, превосходящее единицу,

Выражение А В показывает, что, при В > О, |А| ^ сВ, обозначение А = в В имеет тот же смысл,

число сочетаний из т по к,

(р) "Символ Лежандра,

т(п) —число делителей числа п,

^(п)— число различных простых делителей числа п, Зр(7)— след числа 7,

11е(А)— обозначет удвоенную «рациональную» часть числа А = а + \/2Ъ из квадратичного поля, т.е. 11е(А) = 2а,

П }{хг)~произведение по всем аргументам из данного множества,

Z[y/2\ — кольцо целых алгебраических чисел вида а + у/2Ъ, полученное присоединением у/2 к кольцу целых чисел,

Атр— норма числа р,

^ — означает суммирование по указанным значением а,

а

А - сопряженное к А.

Введение

Область исследования диссертации относится к аналитической теории чисел. В ней рассматриваются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами над полем вещественных алгебраических чисел.

Основной целью работы являются оценки модуля тригонометрической суммы

В работе рассматриваются тригонометрические суммы над целыми алгебраическими числами, являющиеся обобщением классических тригонометрических сумм вида

х=1

где /(х) = супхп + ... + а\Х, и сеп,.... а\ - любые вещественные числа.

Академик Иван Матвеевич Виноградов дал им название сумм Г.Вейля, которое стало общепринятым. Упомянутые в диссертации суммы по аналогии

где

а1,р1,... ,ап,рп еШ, Эр (7) = 7 + 7> ^ = {а + Ьу/2\ а,Ъ е [1; Р] а, Ъ е м} ,

7 — сопряженное к7.

р

будем называть суммами Г.Вейля. И.М.Виноградов разработал теорию тригонометрических сумм Г.Вейля [8]. Центральную роль в ней играет теорема о среднем значении таких сумм, т.е. об оценке величины

I 1

цр,п,к) = у...у

^ е2тгг(/(ж))

х=1

2 к

(1а.1 ... с1ап.

о о

Интеграл 1(Р,п, к) получил название интеграла И.М.Виноградова [4]. По аналогии будем использовать это понятие и в случае наших сумм. Оказывается, что среднее значение сумм в точности равно числу решений в натуральных числах системы уравнений.

XI + ... + хк = уг + • • • + Ук,

х21 + • • • + 4 = У1 + • ■ • + УЬ

X

где 1 ^ х3 < Р, 1 ^ у3 ^ Р, й = 1,..., к.

В рамках теории тригонометрических сумм Г.Вейля важно получение возможно более точной оценки 7(Р, п, к) для числа слагаемых к порядка п2 и более.

И.М.Виноградов получил удобную для применения «упрощенную оценку» величины /(Р, п, к) вида [9]

с ограничением вида к = [п2(21пп + 1п(1пп) + 4)].

Академик Ю.В.Линник [18] предложил вариант доказательства теоремы о среднем значении, использовавший свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. А.А.Карацуба и др. усовершенствовали этот метод [4], получивший название р-адического.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки кратных тригонометрических сумм. В начале 70-х годов прошлого века [1] Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вей ля для многочленов общего вида. Позже Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай [2].

Результаты исследований по кратным тригонометрическим суммам Г.Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм» [4]. С.Б.Стечкиным [20], В.З.Соколинским [19], О.В.Тыриной [22] и др. было продолжено развитие метода тригонометрических сумм в поле рациональных чисел. Результаты теории кратных тригонометрических сумм используются в данной работе.

Естественным развитием метода тригонометрических сумм является его обобщение в поля алгебраических чисел.

Первые исследования в этом направлении провел К.Л.Зигель [26]. Он применил метод тригонометрических сумм для решения задач варинговского типа в кольце целых алгебраических чисел. Эти исследования были продолжены Т.Татудзавой [25] и О.Кернером [24]. Ими была доказала теорема о среднем для сумм Г.Вейля в полях алгебраических чисел. В дальнейшем И.Еда доказал теорему о среднем р - адическим методом [23].

Тригонометрические суммы, рассматриваемые в данной диссертации, существенно отличаются областями изменения переменных от тригонометрических сумм, которые изучались в приведенных выше работах [26], [25], [24]. Суммами подобными нашим в последнее время занимались И.М.Козлов [15] и П.Н.Сорокин [21].

С формальной точки зрения тригонометрическую сумму в квадратичном поле можно рассматривать, как частный случай двойных тригонометрических сумм, которые оценивались в [4], но в нашем частном случае получены более сильные оценки индивидуальных сумм и их средного значения, которые

являются близкими к окончательным по главному параметру.

Заметим, что если теорему о среднем, аналогичной нашей, выводить из общей теоремы о среднем для двухкратной суммы Г. Вей ля, то степень осреднения будет иметь порядок n3logn. В то время как в нашем случае порядок п2 log п, при этом выполняется неравенство

Q су

п log п > п log п.

В этом состоит принципиальное отличие нашего результата от общей теоремы. Это обстоятельство связано с тем, что в нашем случае осреднение тригонометрической суммы ведется по 2п коэффициентов многочлена в её экспоненте, а в общем случае количество таких коэффициентов равно п2.

Другим основным результатом диссертации является оценка тригонометрических сумм над квадратичным полем на I и II классах. Заметим, что для II класса получены равномерные оценки имеющие вид: О (Р2-р), где р ~ n2\ogn, в то время как для двойных сумм общего вида в настоящее время известна равномерная оценка только порядка Р2~р\ где р\ ~ n3^gn [4].

Путем применения полученных выше результатов, в диссертации находится асимптотическая формула для количества решений системы уравнений, при к > п2 log п

Ai + • • • + Хк = Mi + • • • + Цк + 01, Л? + ... + А| = /*? + ... ++ <г2>

А? + ... + Хпк = + • • • + 14 + <7„,

V

где неизвестные Асг^- £ г/, г = l,k,j = 1, n, v область, состоящая из целых алгебраических чисел поля К - алгебраических чисел 2 степени, полученного как расширение поля рациональных чисел присоединением у/2, вида а + 6л/2, где а, 6 G [1; Р] G N, Р G N.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава «Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел» состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приводится формулировка основной теоремы о среднем значении.

Теорема. Пусть п,к,т е N. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа / решений системы имеет место оценка

1 = 1{Р; П, к) ^ п^5{т)2Ыт)к±птрАк-25{т)^

где 5(т) = _ £ (! _ 1у 5 х(т) = 4п2т + пт2

Далее проводится доказательство вспомогательных лемм.

Во втором параграфе проведено авторское доказательство теоремы о попадании к простых целых алгебраических чисел в промежуток (ж;2ж], при х, превосходящем некоторую величину, а также аналог леммы Линника о количестве решений некоторой системы сравнений.

Третий параграф посвящен основному рекуррентному неравенству в случае поля вещественных алгебраических чисел.

Четвертый параграф содержит доказательство основной теоремы о среднем методом математической индукции при помощи рекуррентного неравенства, полученного в третьем параграфе.

Так как исследуемую тригонометрическую сумму можно рассматривать как частный случай двукратной тригонометрической суммы общего вида, то сравнение полученной оценки показывает, что в рассматриваемой области она сильнее оценки среднего значения модуля двукратной тригонометрической суммы общего вида в поле рациональных чисел [4].

Во второй главе «Суммы Г.Вейля на основном множестве» содержится теорема об оценке тригонометрической суммы, наименьшее общее кратное знаменателей которых превышает некоторую степень интервала суммирования. В этой оценке используется результат теоремы о среднем предыдущего параграфа, а также оценки кратности пересечения областей особого вида.

Итак, в первом параграфе рассматривается тригонометрическая сумма S(a1,p1,... ,ат(Зп) = ^e-^SpCAMSpif A)+...+anSp(AWnSp(f л«)))

Хеи

где ах,..., /Зп G К, Sp (7) = 7 + 7 = 2Re (7), 7- сопряженное к 7,

I/ = {а + Ьу/2; а, 6 G [1; Р] а, 6 G n} . Каждое , Д, можно представить в виде

ds ,

cs , в3

ft = -7 + -^7."- = - +

^ Qsrs Qs qsrs

где cs,ds, g Z,HOK(cs,gs) = 1,H0K(4,^) = 1, 1 < qs ^ rs, 1 < ^ ^

Ts> 5 = 1, П.

Пусть Qo = (<?2> 92; •••> Qn-, q'n) > -P5- Определим для с, <i область а;(с; d) 6l следующим образом:

to =

i7(ti; h) e (0; 1) : Ir/(ii; t2) - r(ii;ta) (c; d) | <

г = ii + ¿2) i = I, n, 0 ^ ¿i, £2 ^ n.

где Lfc = P , i = ¿1 + ¿2) & = 1) я-, rii;i2 коэффициенты разложения разности

P+c P+d с d

EE-EE-

2=1 y=l a;=l y=l Во втором параграфе получен основной результат второй главы

Теорема. Пусть п ^ 3. Для s = 1, п положим rs = Ps

р=-к = 24n2 In (Зп2) . к

Тогда

Е

Лег/

MfW)

Заметим, что исследуемую тригонометрическую сумму можно рассматривать, как частный случай двукратной тригонометрической суммы общего

вида. Тогда сравнение полученной оценки на выбранном множестве показывает, что она сильнее оценки модуля двукратной тригонометрической суммы общего вида в поле рациональных чисел [4].

Третья глава «Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел» состоит из трех параграфов.

В первом параграфе проведено разбиение коэффициентов многочлена на 2 класса следующим образом: точка (ах, /Зх,..., ап, (Зп) принадлежит если выполняются данные условия

Все остальные точки отнесём ко второму классу Ог-

Далее показано, что область первого класса Г^х состоит из непересекающихся окрестностей рациональных чисел. Такое же представление множества первого класса используется в четвертой главе при получении асимптотической формулы среднего значения тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

Второй параграф посвящен оценке суммы Г.Вейля на первом классе, а именно верна оценка

где т((5)- количество различных делителей ^(ф)-количество различных простых делителей (а1; А, •••) Рп)~ точка первого класса Учитем, что

1) = нок(91,<й,...,й

• 1 Ч.п/1

2) С < < = 1,71.

п

7(*15*2) = ¿2), 7= тах

тогда, при 7 > 1 справедлива оценка

|5(аь¡Зи...,ап,рп)\ < 212(5п2")2^г(д)Р2(7д)^1п(7 + 2).

В третьем параграфе найдены оценки для оставшихся точек.

Пусть (с*!,/?!,..., ап1/3п)- точка второго класса Для 5 = 1,п положим т3 = Р3-^ д = НОК(<71, ..., а д0 = НОК(д2, ч'2 ■ ■ ■ ч'п)- Обозначим через число различных простых делителей д, т(д)-число различных делителей д, тогда

1) если < Р0,1,53 = Ря£3 ^ Р0'1, т.е. С, ^ Р~8+а>\ при четном г2} 6'8 = Р%'3 ^ Род, С ^ Р-^0'1, при нечетном ¿2, 1 ^ * ^ п, то

0^)1 < 86п3(5П2")2^Р2-^.

2) если д > Р°'\д0 ^ р^, то

^(«ьА,...,^,^)! ^'Р2"', где р = (24п2 1п(3п2))-1.

3) если д > р0'1, д0 < р§, (д ^ до; д > д0), то

4) если д > Р0'1,д0 < Ре, (д = д0), то

Последняя глава «Асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле» посвящена выводу асимптотической формулы при к ^ 24п2 1п(3п2), Р —>• оо, где Р - произвольное целое (натуральное) число, для интеграла

1 1

п,к) = J ... J 2к.

О о

В первом параграфе доказана асимптотическая формула

/ (Р, П, /С) - а0р4А;-гг(п+1) + ^ }

где к, п е М, V = {а + 6\/2| а, Ь Е [1; Р] а, Ъ £ М} , Л = а + 6\/2, с^-, Д-3. р = I, к = 24п21п(3п2), А: ^ пт и Р +оо, р\ = пр =

24п1п(3п2)

" + 00 />+00

г/ \i2fc

и

-ОО ^ —00

1 1

в= I ... I \У(61,6'1,...,6п,6'п)\2^6^6[..^5^6'п,

У(51,6[,.. .,6п,6'п) =

О о

Е Е I и(сЛя)\2к,

...,<7^1 о<с1^<г1,...,о<(гп<9п

НОД(с1;д1) = 1,...,НОД(£1„;9{1) = г

и(с, 2, Я) = ^ У .

О —у

'?1,2 = 1>Л=Ч+5Р

Во втором параграфе показано, что особый интеграл в сходится при к > п2, а особый ряд а сходится при 2к > п2.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем диссертации 90 страниц. Список литературы включает 31 наименование.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [27], [28], [29], [30], [31].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Авдееву Ивану Федоровичу, а также доктору физико-математических наук, профессору Архипову Геннадию Ивановичу за постоянное внимание к работе.

Глава 1

Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел

Данная глава посвящена доказательству теоремы о среднем значении модуля тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

1.1 Свойства среднего значения кратной тригонометрической суммы

Пусть К поле алгебраических чисел 2 степени, полученное как расширение поля рациональных чисел присоединением л/2- Обозначим через и область, состоящую из целых алгебраических чисел поля К вида а + Ьу/2, где а,Ъе [1; Р] eN:PeN.

Пусть п - натуральное число. Рассмотрим следующую систему

Ах + ... + Хк = + • • • + Ик + сп, \\ + ... + \\ = £ + + + а2,

А™ + ... + А£ = + ... + //£ + <7„,

где Аг, Цг, а^ £ V, г = 1, /с, у — 1, п.

Обозначим через /(Р, п, к, а), а = (cri, ...,сгп) число целых решений этой системы уравнений. Основным результатом главы 1 является следующая теорема 1.1.

Теорема 1.1. Пусть п,к,т g N. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа I решений системы уравнений (1.1) имеет место оценка

где 6(т)

_ п(п+1)

/ = / (Р; п, к) < n^S(r)2Mr)k^nrp4k-26(T)_

-f (1-^)Т,хМ = 4п2т + пт2.

(1.2)

Для доказательства основной теоремы 1.1 потребуется несколько вспомогательных теорем.

Теорема 1.2. Пусть а, (3 g m, Л g v. Тогда

i i

j Jem(aSP(A)^Sp(fA))dad/3 =

0 0

где Sp(A) = A + Â.

1) A = 0,

Доказательство. Пусть A = a + b\/2. a, 6 g Z и a ^ 0, 6 ф 0, тогда

il il

J j e.i(aSP(X)+PM^X))dad(3 = j emaSp(X)da j ^{Щ ^ =

0 0 1 1 / „2maa

0

da J e2*ipbd(3 = J e2lTiaada J (cos 2n/3b + i sin d/3

о

i

0

2тг b

sin(27r/36)

2?r6

cos(2tr/3b)

i

0

¿(sm(2yrb) - 0) - ^(cos(2TT&) - 1)

= 0,

так как Sp (^a) , Sp (A) g Z.

Если Л = О + О л/2, тогда

11 11

I уеЦа8р(А)+«^А))^ = у У 1 = 1.

0 0 0 0

Теорема 1.1.1. Пусть п,к е N. Д € (0; 1) £ Ж. Тогда

1 1 2 к 1(Р, п,к) = J ... J е7Г?:(а18р(А)+А8р(^А)'"+а'18р(л'1)+^8р(^лп)) о о

где положено 8р(Л) = А + А. Доказательство.

Для доказательства необходимо преобразовать функцию, стоящую под

знаком интеграла, при помощи соотношений \г\ = гг, = е_7Г<?!" и воспользоваться равенством, полученным в предыдущей теореме 1.2

1 1 г

Г Г е-(^р(А)+^8р(А))^ = ] 0> Л ф 0.

И Н'^0-

Имеем

1 1

П)к) = J ... J е^(а18р(1+У2)+/318р(4(1+ч/2))+...+/?п8р(^(1+^Г)) + _

о о

+ е-

1 1

етгг(а18р(1+^2)+-+/3118р(^(1+У2)п)) +

О О

. . . + е"

. е«(а18р(а1)+А8р(^«х1)+---+а1п8рК)+А,8р(^ап))(га1^1 _ _ _

Далее, с помощью несложных преобразований получаем требуемый результат.

Теорема 1.1.2. Для любого а £ уп

I (Р, п, к, а) ^ /(Р,п,/с,( 0...0)) = / (Р, п, к). Доказательство.

Доказательство следует из предыдущего пункта, если оценить сверху модуль интеграла интегралом от модуля и учесть, что

1.

Теорема 1.1.3. При Р ^ 1 выполняется равенство

(7

Доказательство.

При доказательстве следует учесть, что ^ I (Р, п, к} а) есть число всевоз-

(7

можных наборов А,Д £ ип . Существует Р2к всевозможных Х{ и Р2к всевозможных Следовательно, всевозможных наборов будет Р4к.

Теорема 1.1.4. Верна следующая оценка снизу

I = /(Р,П,/С) ^ (2к)-2п3-п(п+1)р4к-п(п-1)_

Доказательство. Пусть / = 1,..., п. Имеем

(р + Рл/2)' = Р1 + л/^У ■

Откуда, с учетом того, что (1 + \/2)1 = а + Ь\/2, а также принимая во внимание, что

С)1' ИЧО1'"1 И-Ч - О1'41"11 и"1+ф10 и' <

^ 1\ (^)к 2111+\

получаем оценку 1 ^ а; Ъ ^ 2Ч1+1 ^ (21)1+1. Следовательно, для сг/ = а/ + а/л/2, / = 1, п имеем оценку

2

Учитывая, что стг принимает

(2/с(2/)т РЧ значении, находим оценку Р4к = ^1(Р;п,к,а)^

а

< / (Р; п, Л, б) 1 < / (Р; п, /с, 0) (2А;)2+-+2(2п)2(1+2+ -+п)+2г1Р2(1+2+-+п) ^

а

^ (2к)2п(2п)п(-п+3)Рп^1 (Р-,п,к,Щ . Отсюда и получается необходимая оценка

1{Р-,п,к, 0) ^ (2к)~2п(2п)~п(п+3)р4/с-п(п+1) ^

Т.е. порядок оценки I (Р; п, к) снизу является оптимальным и равен рАк— п(п+1)

Теорема 1.1.5. Если А,Д е г/1 решения системы, то для любого а £ ип решениями будут так же векторы \ + а,~Ц + а.

Доказательство.

Это свойство получаем последовательной подстановкой координат векторов Л + а, /7 + а в уравнение , начиная с первого. Уравнение

(Ах + а) + (Л2 + а) + ... + (Хк + а) = + а) + (ц2 + а) + ... + (цк + а) + аг

эквивалетно уравнению

Ах + А2 + ... + А^ = ¡11 + ¡12 + • • • + Цк-

Используя предыдущие рассуждения, получаем, что

(Ах + а)2+(А2 + а)2+.. .+(Ак + а)2 = (//х + а)2+(^2 + а)2+.. + а)2+а2,

т.к.

(Ах + 2аАх + а)2 + (А2 + 2аА2 + а)2 + ... + (А* + 2аХк + а)2 =

= (А? + А^ + ... + Х2к) + 2а (Ах + А2 + ... + А*) + а2 + ... + а2,

2 2 2 (дх + 2а/11 + а) + (¡22 + 2а^2 + а) + ... + (цк + 2а^к + а) + а2 =

= + 1л22 + ... + /4) + 2а (/¿х + 1^2 + • • • + + а2 + ... + а2, Аналогично, уравнение

(Ах + а)п+{Х2 + а)п+.. .+(Хк + а)п = (/хх + а)п+((12 + а)п+. • ■+(№ + а)п+ап эквавилентно уравнению

Для доказательства следующей теоремы найдем целые простые числа квадратичного поля К: которые являются одновременно целыми рациональными. Итак, в квадратичном п