Распределение значений арифметических функций на последовательности гауссовых чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

РГВ од

На правах рукописи

г. *ги-1Г>

УДК 511

ГЕДИРИ ХЕДИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ

Специальность 01.01.Об — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 199бг.

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-ма-тематнческого факультета МГУ им. М.В.Ломносова.

Научный руководитель — доктор физ.-мат. наук,

профессор Г. И. Архипов. Офнцальные оппоненты — доктор физ.-мат. наук,

профессор Н. М. Тимофеев — кандидат физ.-мат. наук доцент О. В. Тырнна

Ведущая организация — Московский педагогический

г о суд а р ств ен ный у н ивер с ит ет.

Зашита диссертации состоится с <.{ 1996г.

в 16 часов 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ им. М. В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан ^¿¿¿■Оа/ 1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубарнков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Гауссовыми числами называют натуральные числа, представнмые в виде суммы двух квадратов целых чисел. В последние десятилетия после известных работ К.Хоолн (см.. например, [5]) возродился интерес к изучению теоретико-числовых проблем, касающихся последовательности гауссовых чисел s. Известно, что эта последовательность является полугруппой по умножению и поэтому ее свойства тесно связаны с последовательностью простых чисел натурального ряда. Сравнивая арифметические свойства последовательностей простых чисел и гауссовых чисел, следует отметить, что по существу последовательность гауссовых чисел "устроена " не менее сложно, чем последовательность простых чисел. Например, в обоих случаях известные функции плотности Ф(а:) = -Чп) 11 = Л 1 выражаются

через нули рядов Дирихле похожим образом, причем во втором случае соответствующая формула имеет более сложный вид. С другой стороны, полугрупповой характер последовательности гауссовых чисел позволяет предполагать большую регулярность этой последовательности относительно некоторых других теоретико - числовых проблем. Данная диссертация посвящена, в частности, исследованию подобного рода задач. Актуальность темы. Первые свойства гауссовых чисел были установлены еще в средние века. В частности, Фибоначчи доказал их полугрупповое свойство. Ряд результатов о структуре этой последовательности был получен Эйлером и Гауссом. В 1908 г. Э.Ландау [14] вывел асимптотическую формулу для функции S(x), т.е. количества гауссовых чисел, не превосходящих х. В шестидесятых годах К. Хоолн [5] рассматривал задачи о расстоянии между соседними гауссовыми числами. С помощью разработанной им тонкой техники в методе решета, он установил s„+i — sn ^ s", где а = +£, г > 0 - сколь угодно малое фиксированное число. Интересно сравнить этот результат с последними результатами в аналогичной задаче для простых чисел: pn+i — рп ^ (см. [22]).

Данный пример показывает большую регулярность последовательности гауссовых чисел в задаче об оценке сверху расстояния между соседними членами последовательности.

Решение аддитивных задач и проблем распределения значении дробных частей функций, связанных с последовательностью гауссовых чисел потребовало получения оценок соответствующих тригонометрических сумм. Эта работа была выполнена А. Хоснни [21]. Более точные ре-

зультаты получены в работах [17], [18]. Отметим, что эти оценки тригонометрических сумм по точности такие нее, как и оценки II.М.Виноградов; сумм с простыми числами.

Отметим также, что для широкого к аде с а мультипликативных функций Б.В. Левин и Н.М.Тимофеев [15], [16] получили аналог теоремы Виноградова - Бомбьерн о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем. При решенни ряда аддитивных задач теоремы подобного вида обычно позволяют заменить использование в доказательстве расширенной гипотезы Римана на эти теоремы.

Цель исследования. 1. Получение оценки сверху количества гауссовых чисел в арифметической прогрессии, не превосходящих любой наперёд заданной границы.

2. Вывод асимптотической формулы для среднего значения количества делителей на последовательности "сдвинутых " гауссовых чисел.

3. Получение асимптотической формулы в обобщенной проблеме делителей с четным числом сомножителей на последовательности гауссовых чисел, и с остаточным членом, имеющим степенное понижение по сравнению с главным членом асимптотики.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теори-тический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы в аддитивной теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессоров Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова.

Публикации. По теме диссертации опубликованй одна работа и 3 работы находятся в печати.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Объем работы девяносто две страницы, спискок литературы включает двадцать восемь названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

В первой главе доказан аналог теоремы Бруна - Титчмарша для распределения гауссовых чисел в арифметической прогрессии.

Прежде чем сформулировать основную теорему этой главы введем некоторые обозначения. Пусть 5={/г£Лг: п=а(то<1к) a,k£N} — обозначает арифметическую прогрессию. Символом § обозначим множество

гауссовых чисел, то сеть § = {и € N : п — а2 + 1г : ti.b £ Z}. Всюду в дальнейшем простые числа мы будем обозначать через р или q (возможно с индексами), а через с,- — абсолютные постоянные.

Теорема1. Для любого s > 0 существует постоянная с = c(s) > 0, такое, что при х ^ с (г) к справедливо неравенство

где |S(.r. к, о)| — количество элементов множества S(.r. к, а) = {/? 6 §Г)5 : n ^ .т} (натуральные числа а и к не обязаны быть взаимно простыми),

-«■>= п (w|),п О-¿Г-

q\k q= — l(mod-l)

q= —1( mod 1)

Отметим, что теорема 1 обычно применяется при больших значениях к = к(х) растущих вместе с границе!! х. Как и в случае теоремы Бруна -Титчмарша она дает оценку сверху для количества гауссовых чисел в арифметической прогрессии, отличающееся от гипотетического асимптотического выражения для него не более, чем в раз. Во второй главе при условии справедливости расширенной гипотезы Рп-мана получена асимптотическая формула для количества решении уравнения s — 1 = kl, s ^ .г, где s пробегает последовательность гауссовых чисел, а. к и I — натуральные числа. Сформулируем это утверждение.

Теорема 2. В предположении справедливости расширенной гипотезы Рпмана (Р.Г.Р.) выполняется асимптотическая формула

/?=-]( шо<| ' У У

Отметим, что даже при условии справедливости расширенной гипотезы Римана удается получить остаточный член в асимптотике лишь, по существу, в логарифмический множитель меньше главного члена. Для больших значений разности арифметической прогрессий здесь мы пользуемся

теоремой 1 из главы I, дающей более сильную оценку по сравнению с той, которая следует из расширенной гипотезы Римана.

В главе третьей получена асимптотическая формула для суммы количества делителей гауссовых чисел, не превосходящих любой наперед заданной границы.

Приведем точные формулировки результатов.

Введем некоторые обозначения. Пусть T2k(s) —-количества предствле-ний числа s £ § в виде s = si •... • s2k, где s,si,..., S2i¡ 6 S,

t'(s) = £ 1, r¡(s) = £ 1 (* € S);

km=s s,s2s3s4 = s

k,m.eS s,sl,...,s4

(S — множество гауссовых чисел). Положим,

^ «es

d\x) = = Er'(s)' Щ*) = £тМ = XNw.

п<х п< X

J6S »63

здесь г'(п) = 0, 74 (п) = 0 и ^¿(п) = 0 если п £ S.

Теорема 3. Пусть х ^ 2. Тогда лрл х -f-oo справедлива асимптотическая формула

^г'2к{п)=хРк{ 1пх) + д;(аг),

п^х

1- с'.

где Рд.(1пх) — многочлен степени к — 1, Дд.(х) = 0(х *2/3), с' > 0 — эффективная абсолютная постоянная.

Теорема 4. Пусть х ^ 2. Тогда при х —> +оо справедлива асимптотическая формула

^2т'{п) =с1х + Л'1(х),

n¿x

где

Ci=L(1,X4)$(1) = ^ JJ (l--2) —абсолютная постоянная;

Д;(г) = 0(>/г(1па:)8/а).

Теорема 5. Пусть х ^ 2. Тогда при х —> +оо справедлива аспмптотп-'шсклл формула

У^ t.j(?i) = с2х In х + с3х + А'2(х),

rl^J:

где

</== —l(mod4)

СЗ = Ц1,.\4)Ф(1)(2£'(1;Х4)Ф(1)+2Х(1,Х4)Ф'(1)+ +2£(1,Х4)Ф(1)^С(Я)];-1))|<=ГД1,Х4)Ф(1));

а'.2{х) =0(уд(1пх)6)-

причем с-2 > 0, сз > 0 — эффективные абсолютные постоянные.

Следует отметить, что если в асимптотической формуле для количества гауссовых чисел, не превосходящих х, удается получить лишь логарифмическое понижение (теорема Э.Ландау), то для среднего значения функции делителей удается получить асимптотическую формулу со степенным понижением в остаточном члене. Этот эффект является следствием того, что последовательность гауссовых чисел является полугруппой и при доказательстве теорем 3, 4, 5 удается воспользоватся мультипликативной структурой этой последовательности.

Отметим также, в доказательстве теоремы 3 мы следуем схеме A.A. Карацубы получения асимптотической формулы для средного значения функции Tk(n) (количества представлений натурального числа п в виде произведения к натуральных сомножителей). Наш результат для сред-:юго значения т,>к(.ч) по точности близок к соответствующему результату А..А.Карацубы.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руко-зодителю доктору ф. -м.н., профессору Г.И.Архипову за научное руко-зодство, за постоянное внимание и помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА.

1. II. М. Виноградов. Основы теории чисел. М., Наука, 1981.

2. U.M. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. I Наука, 1980.

3. U.M. Виноградов. Особые варианты метода тригонометрических суа М., Наука. 197G.

4. А. А. Караиуба. Основы аналитической теории чисел. М., Наука, 198

5. К. Хоолн. Применение метода решета в теории чисел. М., Наука. 195

G. Е.К.Тнтчмарш. Теория дзета-функции Рнмана, М., Наука, 1953.

7. С.М.Воронин, А.А.Карацуба. Дзета-функция Рнмана, М., Наука, 199

8. Г. Монтгомери. Мультипликативная теории чисел, Мир, Москва, 197

9. К. Прахар. Распределение простых Чисел, Мир, Москва, 19G7.

10. Н.Г.Чудаков. Введение в Теорию L — функций Дирихле, ОГИЗ, Моек 1947 Ленинград.^

11. А.Г.Постннков. Введение аналитическую теорию чисел, М., Наука, 1!

12. Г.Дзвенпорт. Мультипликативная теория чисел, М., Наука, 1971.

13. А.А.Карацуба. Равномерная Оценка остаточного члена в проблеме лителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер.мат. — 1971. — Т. 36,N 3. — 475-483.

14. Е.Landau.Uber die Einteilung der positiven Zahlen nach vier Klassen nach Mindeszahl der zu ihrer addition Zusammensetzung erfordhichen Quadn Arch. Math, und Phys.,111. Reihe 13,N 4, 305-312, 1908.

15. Б.В.Левнн, Н.М.Тимофеев. Распределение арифметических функцш среднем по прогрессиям (теоремы типа Виноградова-Бомбьери). Мат сб., 1984, т. 125 (167), вып. 4, 563-579.

16. Н.М.Тимофеев. Распределение арифметических функций в коротких тервалах в среднем прогрессиям. Изв. АН. СССР, сер. матем. 1987 51, N2, с. 341- 361.

17. Г.И.Архипов, А.Хосини, В.Н.Чубариков. Оценки сумм с гауссовыми слами. Mathematica Montisnigri. 1995, v.5, 1-18.

18. В.Н.Чубариков, А.Хосини. Проблемы теории простых чисел от П.Л. бышева до наших дней. Вестник МГУ, сер. матем. 1995, N 6, с. 27.

19. Г.II.Архипов, А.А.Карацуба, В.Н.Чубариков. Теория кратных триго метрических сумм, М., Наука, 1987.

20. К.Бурцев."Аддитивные задачи с простыми числами". Диссертация соискание ученой степени кандидата фнз.-мат.наук, Москва, МГУ, И

А.Хосини. "Распределение значений функций на одной арифметической последовательности". Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат.наук, Москва, МГУ. 1992.

Н. Iwaniec. Rosser's sieve - bilinear forms of the remainder terms - some applications, Recent Progress in Analytic Number Theory I, Acad. Press, 1981, 203-230.

И.И.Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного, М.,Наука, 1977.

M.Chanlin. Lien outre deux resultas sur la repartition modulo 1 de la suite des multiples d'un nombre reel. C. R. Acad. Sci. Paris. Serie 1. 308 (1989). 519- 520.

H.Guediri. Sur la repartition des nombres de Gauss dans une progression aritlmietique. Matliematica Montisnigri. 1995, V. 4, 19-26 Х.Геднрн. Асимптотика среднего значения функции делителей по сдвинутым гауссовым числам. Фунд. и прикл. математика, 1996 (в печати). Х.Геднрн. Асимптотическая формула для суммы количества делителей гауссовых чисел. Вестник МГУ, сер. мат.мех., 199G (в печати). Х.Геднрн. Асимптотическая формула для суммы значении функции делителей. Фунд. и прикл. математика, 1996 (в печати).