Распределение значений функций на одной арифметической последовательности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ Л ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗЩШШ ГШ/ДАРСТВЕННЫЙ УШШРСИШ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

АШУА ХОСИНИ

УДК 511.345

РАСПРВДШШЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ НА ОДНОЙ АРИФШЭДЕСКОЙ ПОСШОВАТЕШОСТИ

Специальность 01.01.06 - Математическая логика,

алгебра и теория чисел

Автореферат диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Москва 1992

Работа наполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент В.Н.Чубараков. Официальные оппоненты - доктор физико-математических на-

_ мин. на заседании специализированного Совета № 2 по математике (Д.053.05.05) при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119(399 Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 140В.

С диссертацией можно ознакомиться е библиотеке механико-математического факультета МГУ.

ук Н.М.Тимофеев

- кандидат физико-математических наук, доцент О.В.Тырина

Ведущая организация - ШАН СССР

Защита диссертации состоится 19 июня 1992г. в

час

Автореферат разослан " ^ " , .1392г.

Ученый секретарь 'специализированного Совета Л 2 по математика при МГУ

ф 'Н, ¿¿у/ауьл^

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет и актуальность исследования

В диссертации получены законы распределения значений некоторых функций на последовательности натуральных чисел, ярадста-Ейывх в ЕИД8 суммы двух квадратов целых чисел (<6- последовательность ).

Цель работы

1. Получение оценок линейных тригонометрических сумм и за-това распределения значений дробных частей линейного ывогочлена за <6 -последовательности.

2. Вывод закона распределения дробных частей значений срунн-1ии А01 , О < ы. < I на Л -последовательности.

3. Получение оценок тригонометрических суш с многочленом >т одной и нескольких переменных в экспоненте. Вывод законов 1аспред9ления дробных частей звачений этих многочленов на А -•последовательности.

Научная новвзнд

В работа получаны новые оценки тригонометрических суш дая ногочленов от одной и нескольких переменных и дли ступанноЯ увкции с неотрицательным показателем, не превосходящим единицу, а Л -последовательности. Выведены законы распределения дроб-« частей значений этих функций.

Приложения

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации >гут быть использованы в исследованиях, связанных с аддитивна-I задачами и с методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова I] - 1Щ •

Апробация

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Основы

аналитической теории чисел" под руководством докторов ф-м.я. Г.И.Архипова и В.НЛубарикова.

С ОДЗРдАНИЕ ДИССКРТАДЙИ Изучение последовательности натуральных чисел, представи-ыых в виде суммы двух квадратов целых чисел, имеет давнюю©торию, связанную с именами Пифагора, Фибоначчи, Эйлера, Лагранха, Лежандра, Гаусса и Чэбышава. Эту последовательность мы будем называть 4 -последовательностью.

В 1908г. Э.Ландау получил асимптотическую формулу для количества В>(аО чисел, не превосходящих эе и предстаЕИМых в вида суммы двух квадратов. Она имеет вид:

ш=7фг +0 (ф*V

Эта формула показывает, что -6 -последовательность является более "сустым" множеством, чем множество простых чисел, но имеет нулевую плотность, кроме того, оно является полугруппой по умножения. Для величины 6 (ас) мокно получить явную формулу через нули дзета-функции Римана, во эта формула имеет более сложвыи вид, чем явная формула для числа простых чисел, не превосходящих любой наперед заданной граниш (см., например, [15^ - Г17} ).

Изучение же распределения значений арифметических функций на 6 -последовательности может привести к уточнении границы нулей дзета-функции Римана вблизи единичной прямой в частности, получение оденох тригонометрических сумм с многочленом е экспоненте, распространенных на числа 6 -последовательности. Эти суммы аналогичны суммам Г.Вейля. Другими слогами, с точки зрения поведения донкций на 6 -последовательности моашо смотреть на

задачу распределения простых чисел в натуральном раду. Поэтому для исследования распределения значений функций на -5 -последовательности мы применяем методы теории простых чисел.

В основу исследований настоящей диссертации положен метод тригонометрических сумм с простыми числами Й.М.Вш$д!радова. Этот метод был открыт И.М.Виноградовым в 1937г. [ 5] .

Посла этого И.М.Вингорадов постоянно совершенствовал свой метод [ I] - [ 143 и подучил решение старыхУЧпроблема Варинга в простых числах, распределение дробных частей от значений некоторых функций, законы распределения значений неглавных характеров Дирихле на последовательности сдвинутых простых чисел и др.)

Исследования И.М.Виноградова были продолжены К.К.Марджанишвили С211 , Хуа-Ло-кеном Г22] , Ю.В.Линником С20] , А.А. Карацубой [Ш].

В посладниэ двадцать лет Г.И.Архиповым, А.А.Карацубой, В.Н. Чубариковым была построена теория кратных тригонометрических сумм С24]. .

Соединение этой теории и метода И.М.Виноградова позволило решать задачи с кратными тригонометрическими суммами по простым числам Г-25 ], здесь мы получаем оценки кратных тригонометрических сумм, в которых суммирование распространяется на наборы чисел из 6 -последовательностей.

Важные исследования по 6 -последовательностям были проЕЗ-дены К.Хооли [ *

Перейдем к формулировке основных результатов диссертации.

Теорема 1.1. Пусть 6 пробегает последовательность натуральных чисел, представиыых в виде суммы двух квадратов целых чисел. Пусть, далее,

T = tf""*

/к *? v

А = ^ — -t- - j i К _ натуральное число,

ístí

где с > о - сколь угодно малая постоянная. Тогда справэдама оценка

lSI«7>SMHt(¿+H-°Al

где I >о - сколь угодно малая постоянная.

Теорема 2.1. Пусть Ы - натуральное число, Ы-постоянное число, о< ot<i , о< к 4 к/*'» ,

S - ¿L, е

где ¿ пробегает последовательность чисел, представиыых е виде сум мы двух квадратов. Тогда справедлива оценка

S « А/нг Д

где А - К М * + К N +(/ # 6 - сколь угодно малал. постоянная.

Гворема 2.2. Пусть ос - постоянная, О <*i < i , } b)0 } 0<cr £ 70— произвольно малая положительна^ постоянная. Тогда число, представимое суммой .двух квадратов целых чисел, удовлетворяющих условию

о«£ Ы*] < сг

выражается формулой

Т - (Г В (и) 4-0 ;

где В(м) количество чисел, представимых в вида суммы двух квадратов и не превосходящих М -

Теорема 2.3. ДдЯ числа Т чисел 5 . пробегающих последовательность натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов и попадающих в интервалы гида

г >■

(2с) < 4 < (lc*t)J

где С € Ж • Справедлива следующая формула

Та + вм + оСн"*-*),

где £>0 - сколь угодно малая постоянная.

Теорема 2.4. Для числа Т(ъ,г*-С<) (о¡Г %< к1)

чисел -4 5 Н , попадающих в интервалы вида

(с+г)3 < 3 й (с+г + 4)*

справедлива асимптотическая формула

Теорема 3.1. Пусть к- - целое число, переменная -5 пробегает последовательность натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов целых чисел, - ••■— - многочлев с вещественными коэффициентами.

Пусть при одном £ > 2 & X. £ п.? имеем

Тогда при ¡¿£ £* ^будем иметь

«В*'"

С

С > О- некоторая постоянная, £>С? - сколь угодно малая постоянная.

Теорема 3.2. Пусть ) ~ + <¿¿55 - много-

член с вещественными коэффициентами. И пусть при некотором Ц ^ 5 К, имеем

% * > = -Р*"

Пусть теперь А есть количество чисел, лрвдставиыых в виде суммы двух квадратов, взаимно простых с ^ , не превосходящих .Р и удовлетворяющих условию

Тогда справе,цлива следующая формула

где Л << 2: , величивы р и С определены в тео-

реме 3.1.

Теорема 3.3. Пусть

многочлен вида

с вещественными коэффициентами. И пусть -Е^, Р,, - натуральные числа, = »»ил.Р-с). Пусть, далее, для некоторого коэффициента } £.Ц£ } О&^ъ.^

X, выполняются условия

¿ = ^¿Ы 3* ** г, г -Р/^/*/«< .

Тогда, при 1 £ к £ имеем оценку

IX. -У" р р

$ «Я? ^ •• ^

где д=е = £ "

Ягчх^ ; переменные , принима-

ют значения чисел, предсгаЕИмых суммой двух квадратов.

Теорема 3.4. Пусть ^ (^х?--, ^ч.) - многочлен от переменных, удовлетворяющих условиям теоремы 3.3. И пусть - количество наборов (-4*. натурачьных чисел, пред-

ставимых в виде суммы двух квадратов, взаимно яроотых с а удовлетворяющих условиям

Тогда справедлива следующая формула

= лед

где ..р^ и £0_

личина4олределена в теореме 3.3.

В заключение автор Еыражает глубокую благодарность научному руководителю доктору ф.-м.н., доценту В.НЛубарикову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе.

а

Литература

1. И.М.Виноградов. Основы теории чисел. Гос. изд.. т.-т.лит. U., 1952.

2. И.Н.Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чи-чел. №., Наука, 1980.

3. И.М.Виноградов. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., Наука, 1976.

4. И.М.Виноградов. Избранные труды. М.-Л., 1952.

5. И..М.Виноградов. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. ДАН СССР, 1937, т.16, с. 139-142.

6. И.М.Виноградов. Улучшение оценки одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа. Изв. АН ССОР, сер. мат., 1933, т.2, ü I, с. 15-24.

7. И.М.Виноградов. Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм о простыми числами. Изв. АН СССР, сер. мат., 1939, т.З, о. 37I-39Ö.

d. И.М.Виноградов. Некоторое общее сеойство распределения простых чисел. Катем. сб., 1940, т.7(49), с. 365-372.

9. И.К.Виноградов. Уточнение некоторых теорем теории простых чисел. 1942, т.37, Л 4, с. 135-137.

10. И.М.Виноградов. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. Изв. АН СССР, сер. мат., т.7, с. 17-34.

11. И.И.Виноградов. Об оценке тригонометрических сумм с простыми числами. Изв. АН СССР, I94Ö, т.12, с. 225-228.

12. И.м.Виноградов. О распределении произведений простых чисел и значений функции Мёбиуса. Изв. АН СССР, сер. мат., 1943, т.12, с. 341-350.

13. И.М.Виноградов. Элементарное доказательство одной теоремы теории простых чисел. Изв. АН СССР, сер. мат., 1953, т.17, й I, с. 3-12.

14. И.М.Виноградов. Оценка одной суммы, распространенной на простыв числа арифметической прогрессии. Изв. АН СССР, сер. мат., 1968, г.30, * 3, с. 481-496.

15. ¿алиЫи..

сиШкок, Зш/шшшйишл ефьЬь&сйн. таК. <а*Л Ж, /5, VН Я®, зег-ЛЛ.

16. Ъ.&мХис. 435*,

17. А.А.Карацуба. Основы аналитической теории чисел. М., Наука, 1933.

18. А.А.Карацуба. Суммы характеров с простыми числами. Изв. АН СССР, сер. мат., 1970, т.34, с. 299-321.

19. К.Хооли. Применения методов решета в теории чисел. М., Наука, 1937.

20. Ю.В.Линник. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. йзд-ел Ленинградского университета, 1961.

21. К.К.Марджанишвили. Об одной задача адцитивной теории чисел. Изв. АН СССР, сер. мат., 1940, Я 4, с. 193-214.

22. Хуа Ло-Кан. Аддитивная теория простых чисел. Труда ШАН, 1947, т.22, с. 1-179.

23. А.Г.Постников. Введение в аналитическую теорию чисел. М., Наука, 1971.

24. Г.И.Архипов, А.А.Карацуба, В.Н.Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М., Наука, 1987.

25. В.Н.Чубариков. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами. Изв. АН СССР, сер. мат., 1965, т.49, 5,

26. В.НЛубариноэ. Проблемы И.Ш.Виноградова в теории простых чисел. Труды Конференции, посвященной МОлетию И.М.Виноградова. 1992.

27. А.Хосини. Распределение значений арифметических функций на одной последовательности (в печати).