Асимптотическое поведение арифметических функций в классах вычетов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса

§ 1. Неполные суммы Гаусса.

§ 2. Обобщенные суммы Гаусса

ГЛАВА II. О распределении значений арифметических функций по простому модулю

§ 1. О распределении значений аналогов неполных сумм Клостермана.

§ 2. О распределении значений обобщенных неполных сумм Клостермана

§ 3. Оценка арифметических сумм в классах вычетов по различным модулям

§ 4. О совместном распределении арифметических последовательностей по нескольким вычетам

ГЛАВА III. Распределение значений сумм арифметических функций по классам вычетов

§ 1. Общая теорема.

§ 2. Арифметические следствия

§ 3. Распределение значений арифметических функций в обратных классах вычетов .:.

Некоторые результаты теории чисел допускают вероятностное истолкование. Поэтому естественно привлечь методы теории вероятностей для решения арифметических задач. В настоящее время уже имеется целый ряд результатов во многих разделах теории чисел, строго доказанных путем теоретико - вероятностных методов. Перенесение в теорию чисел идей и методов теории вероятностей часто позволяет предсказать, быть может, в грубой форме некоторые теоретико -числовые факты, снабжает теорию чисел новым арсеналом методов исследования и приводит к новым, иногда весьма неожиданным результатам.

Некоторые классические суммы специального вида, например, суммы Гаусса, суммы Клостермана, суммы характеров с обратными величинами и так далее, распределены весьма разнообразно. Если проследить за асимптотическим поведением их среднего значения при определенных условиях, то получится интересная картина, которой также обладают некоторые случайные величины. Все же оказывается, что в целом распределение значений многих таких сумм подчиняется некоторым простым закономерностям, для формулировки и доказательства которых, кроме методов теории чисел, могут быть использованы идеи и методы теории вероятностей. При этом во многих случаях изучение распределения значений классических сумм сводится к изучению асимптотического поведения их моментов.

В разработке вероятностных методов в теории чисел как исключительно важного инструмента исследования приняли участие Г. Харди, С. Рамануджан, П. Туран, П. Эрдёш, Г. Давенпорт, Р. О. Кузьмин, Ю. В. Линник, Й. П. Кубшпос, А. Винтнер, Э. Вирзинг, Г. Деланж, А. Реньи, Г. Халаш, И. Катай, Р. Форте, М. Кац, А. Г. Постников, М. П. Минеев, Б. В. Левин, Н. М. Тимофеев, А. С. Файнлейб и другие.

Одними из важных направлений вероятностной теории чисел являются исследования по теории моментов арифметических функций, нахождение законов распределения различного рода сумм, оценка скорости сходимости данных распределений к предельным распределениям.

1. Виноградов И. M. Sur la distribution des residues et des non residues des puissances.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918, т. 1, с. 94 - 98.

2. Виноградов И. М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1919, т. 2, с. 1 16.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел.// М., Наука, 1972.

4. Davenport H., Erdös P. The distribution of quadratic and higher residues.// Publ. Math., Debrecen. 1952, v. 2, №3 4. p. 252 - 265.

5. Burgess D. А. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// The distribution of quadratic residues and nonresidues.// Math., 1957, v. 4, №8. p. 106 112.

6. Карацуба А. А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю.// Докл. РАН. 1993. Т. 333, №2. С. 138 139.

7. Карацуба А. А. Аналоги сумм Клостермана. // Изв. РАН. Сер. матем., 1995. Т. 59, №5. С. 93 102.

8. Карацуба А. А. Двойные суммы Клостермана. // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 5. С. 682 687.о

9. Кубилюс И. П., Линник Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения.// Изв. вузов. Математика. 1959, 6(13). С. 88 95.

10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. T.I. 1988, М., "Мир".

11. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л., 1967. С. 208.

12. Гашков С. В., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений.// М., Высшая школа. 2000. С. 312.

13. Ю. А. Розанов. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. Москва, "Наука", 1989.

14. H.Davenport, P. Erdos. The distribution of quadratic and higher residues. Publ. Math., vol. 2, № 3-4, pp. 252-265, 1952.

15. И. П. Кубилюс, Ю. В. Линник, Арифметическое моделирование броуновского движения. Изв. вузов. Математика. 6(13). 88-95. 1959.

16. Г. П. Хамитов. Производящая функция в теории вероятностей. Новосибирск, 1999.

17. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел. М., Наука. 1987.

18. В.Г.Спринджук. Закон ошибок Гаусса в распределении значений коротких сумм Вейля. // Докл. АН БССР. — 1969. — т. 13, № 10. — С. 873-875.

19. В.Г.Спринджук. Достижения и проблемы теории диофантовых уравнений. // Усп. мат. наук. — 1980. т. 35, вып. 4. — С. 3-68.

20. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. ГИТТЛ, 1946.

21. Бредихин Б. М., Ю. В. Линник. Бинарные аддитивные задачи с эргодическими свойствами решений. ДАН СССР, т. 166, № 6, 1966.

22. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. ОН-ТИ, 1937.

23. Виноградов И. М. Избранные труды. Изд. АН СССР, 1952.

24. Виноградов И. М. Основы теории чисел. ГИТТЛ, 1952.

25. Гельфонд А. Ю., Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М., Физматгиз, 1961.

26. Кузьмин Р. О. Об одной задаче Гаусса. ДАН СССР, сер. А, 375-380, 1928.

27. Линник Ю. В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского. Вестник ЛГУ, №2, 3-23, 1955; №5, 3-32, 1955; №13, 63-68, 1955.

28. Линник Ю. В. Некоторые применения неевклидовых геометрий к теории характеров Дирихле; аналоги эргодических теорем. Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. III. М. 1958.

29. Линник Ю. В., Б. Ф. Скубенко. Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка. Вестник ЛГУ, №13, 25-36, 1964.

30. Bachman Р. Die Arithmetik der quadratischen Formen. I. Leipzig, 1898.

31. Burgess D. A. The distribution of quadratic residues. Math., vol. 4, № 8, pp. 106-112,1957.

32. Chatelet A. Ann. d.l'Ec. Norm. (3), 28 (1911), 105-202.

33. Haimos P. R. Lectures on ergodic theory. Math. Soc. Japan, 1956.

34. Kac M. Statistical independence in probability and analysis and number theory. N. Y., 1952.

35. Weil A. On some exponential sums. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, vol. 34, № 5, pp. 204-207, 1948.

36. Jacobsthal, doctoral dissertation, Berlin, 1906.

37. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, Часть I. Москва, "Наука", 1976 г.

38. Tenenbaum G., Introduction à la theorie analytique et probabiliste des nombres // Institut Elie Cartan, 13. Université de Nancy I. 1990.

39. Eliott P. D. T. A, Probabilistic Number Theory I. Mean Value Theorems // Grundlehren Math. Wiss. 239. Springer — Verlag, New-York, Heidelberg Berlin, 1979.

40. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. // М., Высшая школа, 2000. С. 312.

41. Жимбо Э. К. "Распределение значений модулей неполных сумм Гаусса"// Тезисы докл. Международной конф. Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" (Алматы, 26 28 октября2000). С. 80.

42. Жимбо Э. К. "О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса". Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №2 (в печати).

43. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. "О распределении арифметических функций по простому модулю". Дискретная математика (в печати).

44. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. "Об асимптотических распределениях значений арифметических функций". Докл. РАН (в печати).