Распределение степенных вычетов в редких последовательностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Л\. В. ЛОМОНОСОВА

Д1ЕХАНИКО-Л1АТЕМЛТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

НЕГЛ1АТОВА Гавхар Дехканопна УДК 511.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ Г. РЕП!''НХ П О С Л ЕДО Р> АТ Е Л ЬН О СТЯ X

01.01.00 — Л1атематичсскан логика, алгсЗра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/ ? о /■

\ -

Москва 1989

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктср физико-математических наук, профессор А. А. Карацуба.

Официальные оппоненты — доктор фнзико-математиче-

.. скнх наук, профессор С.М. Воронин;

кандидат физико-математических наук, С. А. Гриценко.

Ведущая организация — Куйбышевский педагогический институт.

/¥)

Запкха диссертации состоится « . / / . . 1990 г. в . ,/ьйс. . . . мин. на заседании специализированного Совета № 2 по математике (Д.053.05.05) при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

/Г/я

Автореферат разослан « . . . ».....' 1989 г.

Ученый секретарь специализированного Совета № 2 '

по математике при МГУ, доктор физико-математических

наук (В. Н. Чубариков)

■ л- i ОЩАН ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Предмет я нял-уалъчооть исследования. Одной из важнейших для теория чисел проблем является установление различного рода закономерностей в распределении значений специальных функций. Многие задачи оналатичоисоЯ теория чисол тесно связали с распределением значений характеров Дирихле, Б частности, задачи, оал-зяннио о раслродоленном степенных шчотов я hubitiotod по простому тдулп а порпообраэ.чих корнай по простому коду,-я fj сводятся к изучения cy)-Mi значений, погдавшгх характеров по модулю Л . Метод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сута о простыми числами ' позволяет изучать распределение значений неглавных характеров на последовательностях целих чисел определенной арифметической природи2'.

В диссертации изучаются сутлш значоний неглавннх характеров по модулю от ьиогочлоно р-(ОС) второй степени, где переменная оуплировлнил 2С пробогает числа специального вида. Затем дается прнлояопие этлх исслодованкЯ к задачам о количество степеншос вичотов а невычетов по модулю и порвооб-разних корней по модулю в соответствующей последовательности.

Цель робота:

I. Получение оценки для сумли значений ноглявнцх характеров mod Ц от многочлена f fez) вида pfxh (XtQ)f&tñ) , if $ & I mod (j А распространенной на числа о одним я том яе

1) Виноградов И.М. Избранные труд«. - М.: Изл-во All СССР, 1952.

2) Виноградов И.М. О распределении произведений простых чпеел к значений фуикциП Mü йнуса. // Изв. All CCCF. - Сор. на том. -1918. - Т. 12. - С.Ш-ЭЬО.

количеством простых сомножителей.

П. Получение оценки для вышеуказанной суши при условии, что числа, по которым ведется суммирование, принадлежат арифметической прогрессии о раотущей разностью.

Методы исследования. В работа использутся метод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, "метод сглаживания", а также основные идеи работ А.А.Карацубы, относящиеся к задачам о распределении значений характеров Дирихле.

]1аучная 'новизна. В работа получены оценки для сумм значений иеглазных характеров от многочленов второй степени по числам определенной арифметической природы.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит1 теоретический характер. Её результаты могут найти применение в различных вопросах," связанных с распределенном характеров Дирихле.

Аппобштя работы: Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Аналитическая теория чисел и приложения"под руководством профессора А.А.Кяпадубы, на сомика-ре "Основы аналитической теории чисел" под руководством д.ф.-м.н. Г.И.Архипова и д.ф.-м.н. В.Н.Чубарикова и на Ломоносовских чтениях в МГУ (апроль 1989 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ I] - [4 ].

Структура и объем диооертапир. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. Объем работы 93 машинописных страницы, список'литературы включает - 55 названий.

СОДВШАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ, нечетное простое число. Задачи, связанные с

Пусть

1 '

распределенном квадратичных вычетов и невычетов по модули £| , отепеншсс пычотов по модулю , первообразных корней по модулю в цолозначиых последовательностях Ол, Оп $ X сводятся к изучений суши

с; « 2: -~Л(а«>.

° % * х

где - некоторий неглавный характер по модулю

И.М.Виноградов начал изучать, поведении символов Леяандрп .

( ) на коротких по срппнони» с промежутках изменения п

О < М. < п У Л? / Ч ' в 1914 г- Доказал, что

' М + /V . м . ,

Обозначим через \/+ (ЛГ ) и соответственно ^ ^^ количество квадратичных енотов и невычетов по модулю ^ в последовательности Оп , Оп { // . Из оценки (I) следует, что нв отрезке ( М < 4, М У //), содержится

асимптотически поровну, квадратичных вычетов и невычетов /лос/^. Тогда хо возникла гипотоза, что

(Л/) V- (М) (2)

при ^ ' ^ . Гипотоза ещё но доказана; получен более слабый пезультат. Д.Боцпчеесс^ доказал, что (2) имеет место при АГ *

Мчтод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм о простыми числами вместе с методом Хассе - Войля оценок полных три-

3) вит«^* О. Же с1и1<и6иНоп о? ^иас/тШ чеи-с1ие5 стс/ поп // Мо 1Ае то А е-а. -

у _ р у Об- И 2.

гономотричаских сумм позволяет изучать распределение значений ногловких характеров по модулю от многочлена когда

СИ принимает последовательные значения простых чисел. Возникает проблема получения нетривиальных оценок оумм видя

(*)= 122 г °>К М>>*; (») = / 22 М(¡»)1.

рг // ' р N

при возможно меньших значониях N . В 19ЬЗ г. И.М.Виноградов"^ получает принципиально важный {»зультат. Он нетривиально оценивает ) при ^ , 4 1 .в 1968 г. А.А.Каращ-с>а разработал новый метод, с помощью которого оценивает суммы характеров в конечных полях произвольной фиксированной степонк. Развивая свой матод^, ему удаётся получить нетривиальную оцонку для 31 ^N) при числа слагаемых М порядка < На возможность получения нетривиальной оцоихи для ^¡(Ы) прй д' > ^ * £ йиЛ0 указано И.И.Випоградовик в [I. С.ЭЭЬ ]. Осуществил эту идею Г.И.Пе^ельмутер6).

В 1978 г. А.А.Карешуйа получаот нетривиальную оценку суъ*ш

а/" о £

символов Ложлндра прк А/ >■ С| * для многочлонов

£ ( яс) второй стопеки.

4) Виноградов И.М. Улучшение оценки для сумма значений _J(f-f // Изв. АН СССР. - Сор.матом. - 19ЬЗ. T.I7 - C.28W290.

5) Карацуба A.A. Суммы характеров с простьши числами. // Изв. ' АН СССР. - Сор.матом. - 1970. - Т.34. - C.299-32I.

6) Перельмутор Г.И. Оцонка одной суммы с простыми числами. // Докл. АН СССР. - 1962. - T.I44. - Я I. - С.48-Ы.

7) Карацуба A.A. Суммы символов Лежандрп от многочлонов с простыми числами. // Изв. АН СССГ. - Сер. матем. - 1978. Т.42. -

* 2. - C.3Ib-ü24.

Долая последовательность суммирования болоо редкой И.М.Вино радов8\ а затем А.А.Карадуба9^ рассматривают сушки ти- ■ па Ü I (М) при условии, что простые, по которым идет сумми-рованио, принадлежат арифметической прогроссии. В работо[10] получена оценка для сумш типа ( yV,l , гдо переменная сум-

мирования вместо простых пробегает произведения, иодоршицие ровно k проспи сомножителя. Наконец, в 1584 г. А. А.Карацуба*^ оценивает су».!му символов Лежандра от многочленов -f( второй степени по простым, принадлежащим арпфмотической прогроссии.

.В данной диссертации продолжена исследования, связанные с упомянути!/ч вина вопросами теории характеров Дирихле. Доказаны теоремы сб оценках сует характеров, квадратичных вычетах и невычетах , стопонных вычетах высоких порядков, первообраз тсс корнях по модуля С^ в соотвотствусщеГ последовательности.

Пусть многочлен второй степени вида ffaz)* (за О) >

> ( а: + Ь) , причём о ф Ь i.cvod (j ^/^пробегает произведения, содержащие ровно t простых сомножителя, - произвольное число из интервала (О, о. 5 ).

а) Ииноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии. // Изв. Ал СССР. - Сер. матем. - i960. - Т.ЗО. U.481-496.

9) Карацуба A.A. Сумш характеров с простыми ч..слами, принадлежа-

щими арифметической прогрессии. // Изв. All СССР. Сер.матем.-1971. - Т.35. - С.469-484.

10) Карацуба A.A. О распределении значений неглавных характеров. // Тр. ЖАН. - 1976. - х.142. - С.156-164.

11) Карацуба A.A. Квадратичные вычеты и ннвычити и редки* последовательностях // Докл. АН СССР. 1984. - Т.274. - № 5. - 0.1014--•1046.

0.45 ■*

В главе I (теорема 1.1) при // ^ для суммы (Л/) ,

щ ш) - 22

Пх < /7

получена следующая сценка:

%(М) « /г^-001"'] .

где постоянная в знаке « зависит'только от «О .

Затем в теоремах 1.1 - 1.5 дается прилояонио ото!! оцонки. к задачам о числе степонкых вычетов и первообразных корней по модулю Ц .

Основным результатом главы П является

Теорема 2.1. При N удовлетворяющем неравенствам

ДЛЯ суммы W2 (А/) у

'X

справедлива оценка вида

*>х < ЛГ . /-/,= £ (тоЫ к)

У/е (а/) « у

_ О, 00 51*0 2

где постоянная в знаке зависит только от 10 .

Здесь к, € - целые числа, такие, что ) = 1 ,

к ь- С^ а г к) «■ :/ , ^ £ < к. , А.В - абсо-

лютные постоянные .большие I.

9

Теоремы 2.2-2.4 главы 2 посвякены распределению 'квадратичных виттов и невычетов, индексов, первообразных корней тобс^ в последовательности фИИ^.) , Рх $ , Лх ^ (пяое/Н

- в -

Основой доказательств главных теорем диссертации являются леммы I и 2 И.М.Виноградова, которые составляют основу его метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Этот метод позволяет заменить сумму по простым числам суммою по числам, являющимся произведениями натуральных чисел, с последующим применением "сглрчивания" возникающих двойных суш.

Коротко изложим схему доказательство одной из основных теорем. Берется некоторый параметр Н • Следуя.рассуждениям 'Л.М.Виноградова изучение суммы WJ (N ) сводится к изучению суммы

5. - z: xjttibbü,

где ¿у, пробегает числа, состоящие из произведения h раз-1кчных простых сомножителей, превосходящих Н , а проберет числа, состоящие из произведения t- h различных ¡ростах сомножителей, не превосходящих Н . Затем с помощь» гетода "решета" суша (3) сводится к кратной сумме W :

W- Zt Zj,... Zn ,,Zas JlfiU-'Am, ^),

•де переменные &f dit ... , cfs, /"i » •• • » ^ s

[робегают значения.натуральных чисел определенной арифметической :риродн. Далее рассматриваются всевозможный случаи соотношений :езду введенными параметрами. В каядом из рассматриваемых случаев :риходим к оценке двойной суммы либо , либо следующего

вда; VK - -27 ¿7 „"fj/fArtitj),

М<т < 2М 1/<и*2(/ гп и < //

где

Щ

где М > > У *} ° 5 У М (и>1* V, 1%(т)1 -< ^ .

Оценкам сумм вида \Д// и посвящоны логам 6 и 7

главы I. Доказательство этих лемм проводится методом оценки двойных сумм работы [7] .

Доказательство теоремы 2.1 проводится по аналогичной схеме, только сначала необходимо доказать леммы & и 10, где изучаются и оцениваются двойные суммы типа УМ / и при условии,

что величина т и принадлежит арифметической прогрессии.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Л.А.Кара-цубо за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

иУ 0.75 4СО

М - С} } М1/ -у г У, ;

М< т* 2 А7 17* и * 2. С/ ты & л/

%!т) J(■P(Jnv))

Работы автора по теме диссертации.

1. Негматова Г. Д. Распределение степенных вычетов в редких последовательностях. // Докл. АН Тадж. ССР.— 1985.— Т. XXVIII, № 4. С. 193—197.

2. Негматова Г. Д. Распределение степенных вычетов в редких последовательностях. // Деи. в ВИНИТИ. 19.04.89. № 2553—В89.

3. Негматова Г. Д. Распределение значений неглавных характере;]! в редких последовательностях. // Успехи матем. наук— ¡989.— Т. 44. Вып. 5,— С. 177—178.

4. Негматова Г. Д. Распределение значении характеров Дирихле в редких последовательностях натуральных чп-с?л. //Деп. в ВИНИТИ. ЛО,У-/. ¿9 6^3-

Поли, в печать 29.11.89 г. Заказ 699. Объем 1 п. л. Тираж 100.

Типография МАТИ. Ульяновская, 13.