О средних значениях арифметических функций в классах вычетов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования являются оценки наименьшего квадратичного невычета по модулю простого числа в арифметических последовательностях. Постановка задачи о наименьшем квадратичном невычете по простому модулю принадлежит И. М. Виноградову. В 1914 г. он дал элементарное доказательство квадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратного из модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [3] получил оценку наименьшего квадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид га„ 5= рЧ^Пп'р,

1) где р — простое число, пр — наименьший квадратичный невычет по модулю р, е — неперово число, основание натурального логарифма.

В 1926 г. И. М. Виноградов [4] обобщил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего первообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвенпорт и П. Эрдёш [17] уточнили степень логарифма в оценке (1). Кроме того, они нашли оценку момента любой четной степени для неполной суммы символов Лежандра. Она имеет вид р-1 Е а=0 Е

Х=1 х + А^ > V ,

2 к 2k^/ph2k + (4k)K+lph\ 1 < А < р, к е N.

В том же году И. М. Виноградов [5] получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел 3 оценку момента четвертой степени от неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшить оценку наименьшего невычета.

Ю. В. Линник и А. Реньи в начале пятидесятых годов получили ряд условных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета, которые связывают эту задачу с оценкой модуля L-функций Дирихле на единичной прямой [7].

В 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшего квадратичного невычета, которая, грубо говоря, является корнем квадратным из оценки (1). В дальнейшем А. А. Карацуба дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач, связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразных арифметических последовательностях (см., например, [10]).

В основе всех доказательств оценок наименьшего квадратичного невычета по простому модулю лежат два утверждения. Первое из них — оценка неполной суммы характеров Дирихле по простому модулю, второе — оценка количества натуральных чисел с малыми (или с хотя бы одним большим) простыми делителями. Эти два утверждения положены и в основу настоящей диссертации.

Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе диссертации «Квадратичные невычеты в арифметических последовательностях» устанавливается оценка наименьшего квадратичного невычета по простому модулю в последовательности [cm]. Эта последовательность обобщает арифметическую прогрессию. С. М. Воронин назвал такую последовательность аптъе-последователъностъю. Оценивается наименьшее п £ N, при котором [an] (mod р) будет квадратичным невычетом по модулю р. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого ограничены, щ обозначает наименьшее на4 туральное число v, при котором число [аи] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Тогда И

Теорема 2. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого не обязательно ограничены, щ обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [ous] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Если для любого фиксированного s<i > 0 существует К, такое что для всех k ^ К выполняется неравенство Q£k2 v где a,k — к-е неполное частное, Qk~\ — знаменатель к — 1-й подходящей дроби числа а, то п «.,« рЧМ*

Теорема 3 обобщает теоремы 1 и 2.

Теорема 3. Пусть а иррациональное число, для неполных частных которого справедливо соотношение akak+1 < f(Qk-1), где a,k — к-е неполное частное, Qk-i — знаменатель к — 1-й подходящей дроби числа a, f — некоторая возрастающая функция натурального аргумента. Пусть, далее, щ обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [av] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Тогда v\ ^ 16f2(D(e)pl^+£)D2(£)pl^+2£, где е и D(e) — величины из оценки Берджесса для пр — наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р: пр ^ D(e)pll^+e. 5

Выделить случаи, когда v\ не превосходит константы, зависящей только от а (при р —У оо), позволяет теорема 4.

Теорема 4. Пусть а — иррациональное число, щ обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [(olv] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р.

Если среди неполных частных а существует an+i (п > 2, п +1 четно) такое, что an+i является квадратичным невычетом по модулю р, ^^ ^ 1 (Qn-i — знаменатель п — 1-й подходящей дроби числа а), и щ < А, % — 1,2,. ,n + 1, то v<i < Ап+2.

Если же среди неполных частных (—ск) существует bn+i (п ^ 2, п +1 нечетно) такое, что Ьп+\ является квадратичным невычетом по модулю р, ^^ ^ 1 (Sn~i — знаменатель п — 1-й подходящей дроби числа (—«)), и bi < В, i = 1,2,. ,n + 1, то v2 < Вп+\

Из теоремы 2 выводятся следующие утверждения.

Следствие 1. Пусть среди неполных частных а существует ап+\ (п > 2, п +1 четно), которое является квадратичным невычетом по модулю р, и ^^ ^ 1 (Qn-\ — знаменатель п — 1-й подходящей дроби числа а).

Тогда Оа(1). 6

Следствие 2. Пусть а — иррациональное число с неполными частными, среди которых существует an+i = 2 (п >

2, п + 1 четно), и Qn-i ^ 2.

ТЬгда наименьшее натуральное г/, такое что [аи] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р, где р = ±3 (mod 8), не превосходит константы, зависящей только от си (при р —> оо).

Вторая задача связана с последовательностью чисел, пред-ставимых в виде а2 + db2, где d £ {1,2,3}, и состоит в получении оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р в этой последовательности. В 1908 г.

3. Ландау [20] получил асимптотику количества чисел, не превосходящих х, все простые делители которых принадлежат заданным классам вычетов по заданному модулю, и тем самым получил асимптотику количества чисел, представимых в виде а2 + db2, где d £ {1,2,3}. Числа такого вида имеют нулевую плотность во множестве всех натуральных чисел.

Теорема 6. Пусть р — простое число, d £ {1,2,3}; jj^ = — 1, £ > 0 — произвольное фиксированное число. Пусть, далее, vmin обозначает наименьший квадратичный невычет по модулю р в последовательности чисел, представимых в виде а2 + db2. Тогда итгп у

Доказательство этой теоремы проводится с использованием общей теоремы А. А. Карацубы [10] об оценке сумм характеров в конечных полях, а также леммы о количестве представлений натурального числа п формой а2 + db2, a,b £ Z, d £ {1, 2,3}.

Наконец, рассмотрена задача об оценке сверху наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р в последовательности чисел, представимых в виде х2 + lly2, х,у £ Z. Отметим, что число классов эквивалентности, на которые разбивается множество форм чисто коренного порядка определителя —11 отлично от единицы, (а именно равно трем). В доказательстве существенно используется лемма Дирихле о приближении действительных чисел рациональными дробями, а также леммы об оценке чисел вида х2+11 у2, ж, у € Z, кратных определенным числам.

Теорема 7. Пусть р — простое число, (-jr) = — 1, е > О — произвольное фиксированное число. Пусть, далее, рц обозначает наименьший квадратичный невычет по модулю р в последовательности чисел, представимых в виде х2 + Ну2, x,yEZ, и пусть числа 3, 5 — квадратичные вычеты по модулю р.

Введем следующие множества:

-11\

Qi = {я \ Q ~ простое, (-1 = 1, r(25g) = 4 и r(q) = 0},

Q2 = {q\q ~ Простое, - я t Qi}> и предположим справедливость следующих равенств: т^-АГ l^C V-L-L m^N, m£Mi m^N, Л€5, тп€М2 Хф1

Е - = ^llnlniV + ci + о(1), qeQu q^N

Е ~ = ^21п1пЖ + с24-о(1), (N->оО), а qeQ*, 4 q^N где 0 < < Щ, xi > 0, х2 = \ - хь TWa

1/2)6 8

Во второй главе «О суммах значений аддитивных функций по квадратичным вычетам и невычетам» получена оценка снизу для «короткой» суммы значений комплексной аддитивной функции по множеству квадратичных вычетов и невычетов по модулю р. Указанные оценки являются аналогом нетривиальной оценки модуля «короткой» суммы символов Лежандра. Существует связь между нетривиальной оценкой Yhn=i (р) Н <р и оценкой сверху наименьшего квадратичного невычета птт- Эту связь можно выразить следующей теоремой.

Теорема (И. М. Виноградов). Пусть существует такое Н < р и существует такое 5(H) > 0, что при Q ^ Н справедлива оценка

-S

Qp

Тогда nmin ^ C\(£\)H:^Jrei, €\ > 0 сколь угодно мало.

Оценка модуля суммы символов Лежандра дает оценку снизу количества невычетов на промежутке от 1 до Q (т.е. оценку YTn^Q гДе ХГ означает суммирование по п таким, что j = —1), которая, в сочетании с полученной другим путем оценкой сверху, дает указанный результат. В этой главе получена оценка снизу для модулей «коротких» сумм п<х /(п)| и f{n) |, где означает то же, что и выше, означает суммирование по п таким, что (j^J = 1, /(п) — комплексная аддитивная функция (Теорема 1). Доказательство основано на применении оценки второго момента для аддитивных функций. Важные результаты в этом направлении получены Г. Харди и С. Рамануджаном [19], П. Тураном [21] и Й. П. Ку-билюсом [11],[12].

Сформулируем основные результаты этой главы. В даль

10 х > р1/4^2).

В третьей главе «Суммы значений аддитивных функций по числам с малыми простыми делителями» рассматривается задача о получении точной оценки сумм значений вещественной аддитивной функции по множеству чисел, не превосходящих х, у которых все простые делители меньше или равны х1/01, где а сколь угодно велико. Оценкой количества таких чисел занимались А. А. Бухштаб [1], Н. Г. де Брёйн [15] и др.

Введем некоторые обозначения. f(n) — вещественная аддитивная функция, Mf(x) = p(x,xi^)= Y1 /м>

В(х,х1 /«)= ]Г 1, pln—tp^X1/01

В(х, х1/а) = хш(а) + О () , (а > 1). vlnrс/

Mfixp'1) k^z) = mM ^

J 4 ' l<p^.x1/z

Lf(-X'z) = Mj(x) S TedpeMa 1. Пусть при 1 ^ a ^ 2 V P

P{x,xl/a) = xMf{x)Vf(a) + 0(Pf(x)xMf(x)), где: функция Vf(a) > 0 не зависит от х, определена, конечна и непрерывна для любого фиксированного а, такого, что 1 ^ а < 2,

11

3f(x) —> 0 при х -> оо, и для любых фиксированных z и zq, таких, что 2 ^ zq < z справедлива оценка \ х л fx\ ,, f х\ xf(p) Е

X 1lz<p^x1lzo

-Pf - )Mf - + /— O(pf(x)xMf(x)F'(Q(z-z0)), где zq ( z, функция F(z) ne зависит от x, определена, конечна и непрерывно дифференцируема при z ^ 2. Пусть, далее, lim Kf(x,z)-Kf(x,zo) = + 0(/3/W); ^ z->-zo+0 Z — Zq U lim LfM ~ Lf= dl {zq) + о(рг(х)), (x oo),

DKf(z$) и DLf(zo) непрерывны и не зависят от х для любого фиксированного zq ^ 2.

Тогда и при всяком фиксированном а ^ 2

Р0гУа) = .tM/WF/И + 0(Pf(x)xMf(x)), причем справедливо равенство а

Vf(a) = V>CS) - J(-DKf(z)Vf(z - 1) - DLf(z)uj(z - 1)) P

В следующем параграфе оценивается сумма значений специальной аддитивной функции по множеству чисел, имеющих большой простой делитель.

12

Определим сильно аддитивную функцию А^т(п) следую щим образом: где 0<(7<1иг>0, г - фиксированное (т.е. не зависящее от ж) число, <т может зависеть от х, но так, что существует функция д(х), удовлетворяющая следующим условиям (х —У со):

1) д(х) оо,

2) д[х) = о{х1) для любого фиксированного 7 > О,

3 )д(х)^х%

4) = оОп'х).

Введем обозначение:

- J2 < " Уд(а))хА(х)(1 + о(1))

InTq, если 2 ^ q ^ ха, О, если ха ^q х,

Теорема 2. Справедливо неравенство где при а ^ а 1, 1 — а ^ а

Оглавление

1. Бухштаб А. А. О числах арифметической прогрессии, у которых все простые множители малы по порядку роста // Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 67, JVU. - С. 5-8.

2. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. — M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1937.

3. Виноградов И. М. Sur la distribution des residus et des nonresidus des puissances // Ж. физ.-матем. о-ва ун-та (Пермь). 1918. - Т. 1. - С. 94-98.

4. Виноградов И. М. О границе наименьшего невычета п-й степени // Изв. АН СССР. 1926. - Т. 20. - С. 47-58.

5. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений Х(р + к) // Изв. АН СССР, сер. матем. 1952. - Т. 16. - С. 197-210.

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

7. Гельфонд А. О., JIuhhuk Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1962.

8. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971.

9. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983.

10. Карацуба А. А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // Докл. АН СССР. — 1968. — Т.180, т. С. 1287-1289. tf

11. Кубилюс И. П. Об оценке второго центрального момента для сильно аддитивных арифметических функций // Литов. матем. сб. 1983. - Т. 23, №. - С. 122-133.и

12. Кубилюс И. П. Уточнение оценки второго центрального момента для аддитивных арифметических функций / / Литов. матем. сб. 1985. - Т. 25, №3. - С. 104-110.

13. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971.

14. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.

15. Bruijn, de N. G. On the number of positive integers ^x and free of prime factors >y // Proc. K. Akad. Wet. Amsterdam.- 1951. A, V. 49. - P. 50-60.

16. Burgess D. The distribution of quadratic residues and nonresidues // Mathematika (Gr. Brit.). — 1957. V. 4. — P. 106-112.

17. Davenport H., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues // Publ. Math. Debrecen. — 1952. V. 2. — P. 152-165.

18. Hadamard J. Sur la distribution des zeros de la function £(s) et ses consequences arithmetiques // Bull. soc. math. France.- 1896. V. 24. - P. 199-220.

19. Hardy G. H., Ramanujan S. The normal number of prime factors of n // Quart. J. Math. 1917. V. 48. - P. 76-92.

20. Landau E. Uber die Einteilung der positiven Zahlen nach vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer addition Zusaminensetzung erforder lichen Quadrate // Arch. Math, und Phys., III. 1908. - Bd. 13, №4. - S. 305-312.

21. Turan P. On a theorem of Hardy and Ramanujan //J. London Math. Soc. 1934. Y. 9. P. 274-276.

22. Valle-Poussin C.J. de la Recherches analytigues sur la theorie des nombres; partie I, II, III // Ann. Soc. Sci. Bruxelles. Ser. A. 1896-1897. - P. 20-21.

23. Weyl A. On some of exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. - V. 34. - P. 204-207.

24. Преображенский С. H. О наименьшем квадратичном невычете в арифметической последовательности / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат., мех. — 2001. — №1. — С. 54-56.

25. Преображенский С. Н. О степенных невычетах по простому модулю в специальной антье-последовательностиВестн. Моск. ун-та. Сер. мат., мех. — 2001. — №4. — С. 60-61.

26. Преображенский С. Н. О квадратичных вычетах и невычетах по простому модулю / / Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. Тула. - 2001. - С. 97-98.