О распределении значений сумм арифметических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

I О числе решений диофантовых уравнений с целозначной функцией показательного роста

§ 1 Об одном классе аддитивных диофантовых уравнений

1.1.1 Оценка числа решений уравнения N = miFXl +.+ mkFXk для лакунарной последовательности натуральных чисел Fx.

1.1.2 Многомерный аналог.

§ 2 Асимптотика числа решений диофантовых уравнений

1.2.1 Об одном симметричном уравнении

1.2.2 Асимптотика числа решений аддитивного диофан-това уравнения с фиксированными кратностями слагаемых.

1.2.3 Асимптотика числа решений аддитивного диофан-това уравнения с растущими кратностями слагаемых.

§ 3 Асимптотика числа решений аддитивного диофантова уравнения в многомерном случае.

II О распределении значений арифметических сумм

§ 1 Центральная предельная теорема для распределения значений тригонометрической суммы с функцией показательного роста в экспоненте

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом этой теории является изучение поведения арифметических функций. Сами арифметические функции могут вести себя весьма нерегулярно, например, функция числа делителей натурального числа бесконечно часто принимают малые значения, когда ее аргумент равен простому числу, и принимает большие значения, когда натуральные числа составлены из большого числа простых делителей. Гаусс и Дирихле первыми исследовали среднее значение таких функций. Но первые результаты, использующие вероятностное истолкование поведения функции числа различных простых делителей натурального числа были получены Г. Харди, С. Раману-джаном [7] в 1917 г.

В дальнейшем доказательство их утверждения было упрощено и обобщено П. Тураном [8] и Й. П. Кубилюсом [13] — [15]. Эти работы открыли новую область исследований в теории чисел — вероятностную теорию чисел. Отметим, что в основе исследований распределения значений сумм арифметических функций лежат методы теории вероятностей: метод моментов, метод характеристических функций и теория интегралов и рядов Фурье.

Важный вклад в данную область исследований внесли следующие математики: Г. Харди, С. Рамануджан, П. Туран, П. Эрдёш, Г. Давенпорт, Р. О. Кузьмин, Ю. В. Линник, Й. П. Кубилюс, А. Винтнер, Э. Вирзинг, Г. Деланж, А. Ре-ньи, Г. Халаш, И. Катай, Р. Форте, М. Кац, А. Г. Постников, М. П. Минеев, Б. В. Левин, Н. М. Тимофеев, А. С. Файнлейб, В. Н. Чубариков и другие.

Первые результаты о распределении значений сумм арифметических функций с остаточным членом были получены А. Г. Постниковым и М. П. Минеевым.

В последние годы были получены центральные предельные теоремы для распределения значений классических сумм таких, как суммы Гаусса, суммы Клостермана, суммы характеров с обратными величинами [51] — [53]. Отметим, что распределение значений этих сумм сводится к изучению асимптотического поведения их моментов.

1. Виноградов И. М. Sur la distribution des residues et des non residues des puissances.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. 1. 94 - 98.

2. Виноградов И. М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1919. 2. 1 16.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел.// М., Наука, 1972.

4. Виноградов И. М. Избранные труды.// Изд. АН СССР, 1952.

5. Burgess D. А. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// The distribution of quadratic residues and nonresidues.// Math. 1957. 4. №8. 106 112.

6. Davenport H., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues.// Publ. Math., Debrecen. 1952, 2, №3 — 4. 252 265.

7. Hardy G. H., Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number n.f/ Quart. J. Pure and Appl. Math. 1917, 48. 76 92.

8. Turan P. On a theorem of Hardy and Ramanujan.// J. London Math. Soc. 1934, 9. №4. 274 276.

9. Карацуба А. А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю.// Докл. РАН. 1993. 333. №2. 138 139.

10. Карацуба А. А. Аналоги сумм Клостермана. // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. 59. №5. 93 102.

11. Карацуба А. А. Двойные суммы Клостермана. // Матем. заметки. 1999. 66. вып. 5. 682 687.

12. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.// М., Наука. 1987.

13. Кубилюс Й. П., JIuhhuk Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения.// Изв. вузов. Математика. 1959. 6(13). 88 95.у . .

14. Кубилюс И. П. Вероятностные методы в теории чисел.// Госполитнаучиздат Литов. ССР, Вильнюс. 1962.у

15. Кубилюс И. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций.// Литов. матем. сб. 5, №2. 1965. 261 272.

16. Постников А. Г. Аддитивные задачи с растущим числом слагаемых// ИАН, сер. матем. 20, №6, 1956, 751 764.

17. Постников А. Г. Эргодические вопросы теории диофантовых приближений// Труды МИ АН СССР, 1966. 82.

18. Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме// ДАН СССР, 1960.1зз. т.

19. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел// М., Наука. 1971.

20. Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// Успехи матем. наук 1959. 14. в. 3, 169 171.

21. Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы// Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 298.

22. Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций// Мат. сб. 1958. 46(88). №4. 451 454.

23. Мухутдинов P. X. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией// ДАН СССР 1962. 142. №1, 36 38.

24. Fortet R. Sur une suite egalement repartie.// Studia math., 1940. 1. 54-69.

25. Frechet M. and Shohat A proof of the generalized second limit-theorem in the theory of probability// Trans. Amer. Math. Soc. 33, 1931, №2, 533 543.

26. Carleman. Sur les equations integrales singulieres a noyau reel et symetrique// Upsala, Lundequis, 1923.

27. Лид л P., Нидеррайтер Г. Конечные поля.// 1. 1988, М., "Мир".

28. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей.// Л., 1967. 208.