О распределении значений коротких сумм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

I О распределении значений сумм характеров

§ 1 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простому модулю.

1.1.1 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простым числам

1.1.2 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по "сдвигам" простых чисел.

1.1.3 О распределении значений сумм характеров абеле-вых групп.

§ 2 О распределении значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы.

1.2.1 О короткой показательной рациональной тригонометрической сумме по "сдвигам" интервалов суммирования.

1.2.2 Непрерывный аналог.

§3 Сумма характеров Дирихле по значениям показательной функции.

1.3.1 Распределение значений коротких сумм характеров Дирихле от показательной функции по "сдвигам" интервалов суммирования

1.3.2 Распределение значений коротких сумм характеров Дирихле от показательной функции

§ 4 Аналог теоремы Эрдеша - Давенпорта.

1.4.1 Распределение значений коротких сумм символов Лежандра от показательной функции.

1.4.2 Распределение значений коротких сумм символов Лежандра от показательной функции по "сдвигам" интервалов суммирования

II Асимптотика дробных моментов специальных сумм

§ 1 Общая теорема.

§ 2 Арифметические следствия.

III О скорости сходимости к предельному распределению

§ 1 Оценка скорости сходимости в задаче

Эрдеша — Давенпорта.

§ 2 Оценка скорости сходимости для сумм с быстрорастущей функцией в экспоненте.

Настоящая диссертация посвящена исследованию распределения значений сумм периодических арифметических функций. Если длина промежутка суммирования "мала" по сравнению с длиной периода такой функции, то мы называем такую сумму короткой. Для слагаемых подобных сумм имеет место определенный закон независимости друг от друга. В связи с этим значения их будут распределены по некоторым вероятностным законам (нормальному, покаазтельному и др.). В 1952 г. Г. Давенпорт и П. Эрдеш [6] доказали, что значения "коротких" сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону, если модуль символа Лежандра стремится к бесконечности и вместе с ним и длина промежутка суммирования стремится к бесконечности, но отношение их логарифмов стремится к нулю. Эти исследования были продолжены Ю. В. Линником и И. П. Кубилюсом [13].

В 1960 г. А. Г. Постников [18] вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев [21] и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Отметим, что аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лакунарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте [25], М. Кацем [47] - [48], А.Зигмундом [63], И. А. Ибрагимовым [65], В. Ф. Гапошкиным [66] — [67] и ДР

В конце 90-х годов В. Н. Чубариков поставил задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм таких, как короткие суммы Гаусса, аналогов сумм Клостерма-на, сумм характеров Дирихле по простым, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по "сдвигам" интервалов суммирования. В решении этих задач приняли участие Э. К. Жимбо, Р. Н. Бо-яринов и др. К этому же направлению исследований относится настоящая диссертация.

Отметим, что рассматриваемые в диссертации арифметические функции моделируют случайные величины, которые используются в различных приложениях математики.

1. Виноградов И. М. Sur la distribution des residues et des non residues des puissances.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. 1. 94 - 98.

2. Виноградов И. М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов.// Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1919. 2. 1 - 16.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел./ / М., Наука,1972.

4. Виноградов И. М. Избранные труды. / / Изд. АН СССР,1952.

5. Burgess D. А. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// The distribution of quadratic residues and nonresidues.// Math. 1957. 4. №8. 106 - 112.

6. Davenport H., Erdds P. The distribution of quadratic andhigher residues.// Pub l Math., Debrecen. 1952, 2, №3 - 4. 252 - 265.

7. Hardy G. H., Ramanujan S. The normal number of primefactors of a number n./. Quart. J. Pure and Appl. Math. 1917, 48. 76 - 92.

8. Turan P. On a theorem of Hardy and Ramanujan.// J.1.ndon Math. Soc. 1934, 9. J^4. 274 - 276. Литература 75

9. Карацуба Л. А. Распределение обратных величин в кольцевычетов по заданному модулю.// Докл. РАН. 1993. 333. J^2. 138 - 139.

10. Карацуба А. А. Аналоги сумм Клостермана. / / Изв. РАН.Сер. матем. 1995. 59. №5. 93 - 102.

11. Карацуба А. А. Двойные суммы Клостермана. / / Матем.заметки. 1999. 66. вып. 5. 682 - 687.

12. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. / /М., Наука. 1987.

13. Кубилюс Й. П., Линник Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения./ / Изв. вузов. Математика. 1959. 6(13). 88 - 95.

14. Кубилюс Й. П. Вероятностные методы в теории чисел,/ /Госполитнаучиздат Литов. ССР, Вильнюс. 1962.

15. Кубилюс Й. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций./ / Литов. матем. сб. 5, N^-2. 1965. 261 - 272.

16. Постников А. Г. Аддитивные задачи с растущим числомслагаемых// ИАН, сер. матем. 20, }|"е6, 1956, 751 - 764.

17. Постников А. Г. Эргодические вопросы теории диофантовых приближений// Труды МИ АН СССР, 1966. 82.

18. Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме// ДАН СССР, 1960. 133. т.

19. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел / / М., Наука. 1971. Литература 76

20. Марков А. Л. Исчисление вероятностей// Москва, Гос. изво, 1924.

21. Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// Успехи матем. наук 1959. 14. в. 3, 169 - 171.

22. Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательнойфункцией и его приложение к изучению эргодической суммы// Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 - 298.

23. Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущихфункций/ / Мат. сб. 1958, 46(88). Ш. 451 - 454.

24. Мухутдинов Р. X. Диофантово уравнение с матричнойпоказательной функцией// ДАН СССР 1962. 142. №1, 36 - 38.

25. Fortet R. Sur une suite également repartie.// Studia math.,1940. 1. 54 - 69.

26. Frechet M. and Shohat A proof of the generalized secondhmit-theorem in the theory of probability// Trans. Amer. Math. Soc. 33, 1931, J^2, 533 - 543.

27. Carleman. Sur les équations intégrales singuhéres a noyauréel et symétrique// Upsala, Lundequis, 1923.

28. Лидл P., Нидеррайтер P. Конечные поля. / / 1. 1988, M . ,"Мир".

29. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических пол е й . / / Л . , 1967. 208.

30. Линник Ю. В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Литература 77 Лобачевского.// Вестник ЛГУ, Л'^ 2, 3 - 23, 1955; №5, 3 32, 1955; №13, 63-68, 1955.

31. Линник Ю. В. Некоторые применения неевклидовых геометрий к теории характеров Дирихле; аналоги эргодических теорем.// Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда. 3. М. 1958.

32. Линник Ю. В., Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка.// Вестник ЛГУ, №13, 25 - 36, 1964.

33. Лоэв М. Теория вероятностей.// Из - во иностр. лит. 1962.719.

34. Гашков В., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы.Сложность вычислений.// М., Высшая школа. 2000. 312.

35. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу.// М., Высшая школа. 1999. 695.

36. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессыи математическая статистика.// Москва, "Наука", 1989.

37. Хамитов Г. П. Производящая функция в теории вероятностей. Новосибирск, 1999.

38. Спринджук В. Р. Закон ошибок Гаусса в распределениизначений коротких сумм Вейля. / / Докл. АН БССР. 1969. 13. № 10. 873 - 875.

39. Спринджук В. Г. Достижения и проблемы теории диофантовых уравнений. / / Усп. мат. наук. 1980. 35. вып. 4. 3 - 6 8 .

40. Вернштейн Н. Теория вероятностей.// ГИТТЛ, 1946.Литература 78

41. Бредихин Б. М., Линник Ю. В. Бинарные аддитивные задачи с эргодическими свойствами решений.// ДАН СССР. 166. № 6. 1966.

42. Венков Б. А. Элементарная теория чисел.// ОНТИ, 1937.

43. Гелъфонд А. Ю., Линник Ю. В. Элементарные методы ваналитической теории чисел./ / М., Физматгиз, 1961.

44. Кузьмин Р. О. Об одной задаче Гаусса.// ДАН СССР,сер. А, 375 - 380, 1928.

45. Bachman Р. Die Arithmetik der quadratischen Formen.// 1.1.ipzig. 1898.

46. Haimos P. R. Lectures on ergodic theory.// Math. Soc.Japan, 1956.

47. Kac M. Statistical independence in probability and analysisand number theory.// N . Y . , 1952.

48. Kac M. On distribution of values of sums of the typeE/(2^^) / / Ann.Math. 1946. 47. №1. 33 - 49.

49. Weil A. On some exponential sums.// Proc. Nat. Acad. Sei.USA. 34. № 5. 204 - 207. 1948.

50. Weyl H. Uber die Gleichverteilung der Zahlen mod. E ins / /Math. Ann., 1916. 77. 313 - 352.

51. Vaughan R. C, Wooley T. D. On the distribution ofgenerating functions// bull. London Math. Soc, 1998. 30. 113 - 122.

52. НРабат Б. В. Введение в комплексный анализ, Часть I . / /Москва, "Наука", 1976 г. Литература 79

53. Жимбо Э. К. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса.// Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №2. 66 - 67.

54. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. О распределении арифметических функций по простому модулю.// Дискр. математика.2001. №2. 47 - 58.

55. Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций./ / Докл. РАН. 2001. 377. ^22.

56. Сираждинов X., Лзларов Т. А. Об одной равномерной локальной теореме// ИАН Уз.СССР, сер. физ.-матем. 1963, т, 32 - 37.

57. Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики// Гостехиздат 1951.

58. Фрейман Г. А. Проблема Варинга с растущим числом слагаемых// Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та. №3, 1958, 105 - 119.

59. Усольцев Л. П. Аддитивная задача с растущим количеством слагаемых с показательной функцией// Известия высших учебных заведений СССР, Математика 3(58), 1967, 96 - 104.

60. Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.Введение в теорию чисел// Из - во МГУ. 1995.

61. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта// Из - воМГУ. 1982.

62. Salem R., Zygmund А. On lacunary trigonometric seriesProc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.33 (1947), 333 - 348; 34 (1948), 54 - 62. Литература 80

63. Зигмунд А. Тригонометрические ряды/ / т. II, М., ИЛ,1964.

64. Ghosh А. On Riemann's Zeta-function — Sign Changes ofS(T) / / Recent Progress in Analytic Number Theory, 1, 1981 Academic Press, New York.

66. Гапошкин В. Ф. О скорости приближения к нормальному закону распределений взвешенных сумм лакунарных рядов / / Теория вероятностей и ее применения, 1968. 13, вып. 3, 445 - 461.

67. Гапошкин В. Ф. О центральной предельной теореме длянекоторых слабо зависимых последовательностей// Теория вероятностей и ее применения, 1970. 15, вып. 5, 666 684.

68. Вояринов Р. Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей.// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2001. №5, 52 - 54.

69. Вояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи.// ДАН РАН, 2001. 379. т. 9 - 11.

70. Вояринов Р. Н. Об асимптотическом поведении сумм, связанных с дробями Фарея. Вестник МГУ./ / Сер.1, мат. мех., 2000. №3, 5 1 - 5 3 . Литература 81

71. Бояринов Р. Н. Об одной аддитивной задаче с растущимчислом слагаемых.// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2002. №6, 59 - 60.

72. Бояринов Р. Н., Нгонго И. С, Чубариков В. Н. О новыхметрических теоремах в методе А. Г. Постникова.// Актуальные проблемы теории чисел : Труды IV Межд. Конф.Тула. 2002. 5 - 31.

73. Бояринов Р. Н. Многомерный аналог теоремы ФортеКаца//Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. Тула. 2001. 97 98.

74. Бояринов Р. Н. Об одной предельной теореме типа ФортеКаца . / / Третий всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. "Обозрение прикладной и промышленной математики"2002. 9. вып. 2. 343 - 344.

75. Нгонго И. Диофантовы приближения и наименьшийневычет //Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. Тула. 2001. 87.

76. Нгонго И. О распределении значений коротких суммхарактеров дирихле по простым числам// Вестник МГУ. Сер.1,мат мех., 2002. №6. 45 - 48 Литература 82

77. Нгонго И. О распределении значений коротких суммхарактеров абелевых групп// Третий всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. "Обозрение прикладной и промышленной математики"2002. 9. вып. 2. 426.

78. Ngongo I. S. Asymptotic behaviour of store overflow time8th Vilnius Conference on Probab. Theory. Abstracts. 2002. 231 - 232.