Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Озодбекова Наджмия Бекназаровна

Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005049408

Душанбе - 2012

005049408

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: Гриценко Сергей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный университет, заведующий кафедрой алгебры, теории чисел и геометрии

Чариев Умидилла

кандидат физико-математических наук, Таджикский педагогический университет им. С.Айни, доцент кафедры алгебры и теории чисел

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится 31 октября 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 28 сентября 2012 г.

Ученый секретарь /у ^

/У- Каримов У.Х.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование, которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.

Тригонометрической суммой называется конечная сумма 5 вида

5 = .....®г)), (1)

п

где Г(х!,х2,... ,хг) — вещественная функция от г переменных и суммирование ведется по целым точкам {х\, Х2, ■ ■ ■, хг) некоторой области П п - мерного пространства. Основной проблемой при изучении сумм 5 является проблема установления верхней границы модуля 5. Обозначим через Т количество целых точек области П. Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |5| имеем тривиальную оценку

|5| < Т,

причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции F(xl, х2,..., хг) имеют одну и ту же дробную часть. Однако, для весьма широких классов функций F(a;l, ■ ■ ■, хт) и совокупностей П оказывается возможным установить для |£| верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида

|5| < ТА,

где Д — с возрастанием числа целых точек области П и возможным одновременным изменением вида функции F(zl) ж2, • • •, хг) стремится к нулю. Этот множитель Д, отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса)

Гаусс полностью решил проблему поведения \S\ и он дал точные выражения для |5|. Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы

= (2)

где

f(x) = апхп + ... + щх, п > 1, (а„,..., аь q) = 1

В случае простого q = р, р - простое число, Морделл1 дал для этой суммы оценку

|5| < пр1~К

которую А. Вейль2, следуя одной идее Хассе3, заменил следующей:

< Пу/р,

Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном п) с возрастанием р, вообще говоря, неулучшаема — можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше чем s/p. Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного q дал Хуа4. Он установил неравенство

|5| < сНд1-".

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н.Чубариков5 в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

р

S = S(an,...,ai) = J2<f(x)), (3)

Х=1

1Mordel L.J. On a sum analogous ta о Gauss's sum.Quart.J.Math. 3(1932), 161-167

2Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

3Hasse H. Abstráete Begrünting der komplexen Multiplication und Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern, Abh.math.Sem.Univ.Hamburg, 10 (1934), 325-348.

4Hua L.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. - М.: Мир, 1964,-190с.

5Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

где f(x) — апхп + ... + aix, и а»,..., а\ — любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль6, задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому, этим суммам присвоено 'название суммы Г.Вейля. Существенным недостатком оценки Г.Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием п. Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.

Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) = antn + ... + ait. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создание метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г. Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке.

В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G(n) в проблеме Варинга, G(n) — наименьшее значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого Л^, представляются в виде

N = х\ + xl + ... + xnr. (4)

Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила "теорема о среднем И.AI. Виноградова".

Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г.Вейля по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Jlo-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из

HVeyl Н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

7ВинОГРАДОВ И.М. Избранные труды. - M.: Изд-во АН СССР, 1952

общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником8 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9 на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р - адического метода.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм . Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков12 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков13 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" 14 . В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте 15.

8линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, T.34, №7, с. 201-203.

9Карацуба A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

10архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

пАрхипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

12Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах //' Мат.замстки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

13Архипов Г.И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их

приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

"Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

"Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, T.49, №5. с. 1031-1067.

Английский математик Р.Вон,10 изучая суммы Г.Вейля вида,

Г(а, ж) = V е (атп), а = - + А, <] < т, (а, ц) = 1, |А| < —, ' а дт

т<х

методом Ван дер Корлута, доказал:

X

Т{а, х) = ^^ I е (Мп) М + О (1 + , (5)

о

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем (¡, то есть при выполнении условии

|А| <-—т

1 1 _ 2пдхп~1

он также доказал:

1

= I ь (АП М + О . (6)

О

Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида Т(а,х,у)= ^ е(атп), а = - + Х, (о,д) = 1, ? < т, |А| <

х-у<ш<х ^

(7)

при п = 2,3,4 соответственно были исследованы в работах17,18-19'20.

Цель работы. Целыо работы являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче

'•Vavgiiak U.C. Some remarks in Wcvl sums. Coll. Malh. Soc. Janos. Bol.yani, Budapest 1981. "PAXMOHOn 3.X., ШОКАМОЛОВА Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы

Всйля /7 Известия АН РТ, отд.фнч.-ыат., хим., геол. и техн.наук, 200!), т.135, №2(135), е. 7-18.

18Рахмоиов З.Х., мигзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм

Г.Вейля /У ДАН РТ, 2008, Т.51,.\«1, с.5-15.

19Азамов А.З.. мнрзолвдугафуров К.И.. Рлхмонов 3-Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, >10, с.737-744.

2"Рлхмонов З.Х., фозилопа Д.М. Короткая кубическая трпгононетрическия сумма Г.Вейля //

Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №11.

распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе:

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод оценок тригонометрических сумм Г.Вейля;

• метод гармонического анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• нахождение оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля

если величина п\хп 1 очень близка к целому числу;

• найдена прямая зависимость оценки суммы Т(а, х, у) от величины А. А ~ а — а/д - растоянис между числом а и приближающим ее рациональным числом a¡q, если величина п\хп~х не очень близка к целому числу;

• распределение дробных частей значения многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теорий чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород(2011 г.), «Современные проблемы математики и ее приложения» (2011 г.), «Современные проблемы математического анализа и теории функций» в Институте математики АН РТ (2012г);

на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2009-2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 66 наименований. Объём диссертации составляет 70 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул ЬУТеХ.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава диссертации посвящена изучению поведения коротких тригонометрических сумм Вейля вида

Т(а,х,у)= ^ е(стгп), а = - + А, (а,д) = 1, <7 < т, |А| <

Основными результатами первой главы являются теоремы 1.1 и 1.2, а также их следствия 1.1.1 и 1.2.1.

В теореме 1.1 найдены оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина пАх'1-1 очень близка целому числу.

Теорема 1.1. Пусть т > 2п(п - 1 )хп'1у, {пА.-г""1} < А > 0 или {пА.т"-1} > 1 - щ, А < 0, тогда имеет место соотношение

Т(а,х,у) = ^-Т(Х-х,у) + 0{д^).

Если старший коэффициент а очень "близок" к рациональному числу а/д. то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины п\хп~г к целому числу, а для суммы Г(А; х, у) выполняется условие леммы, с помощью которого тригонометрическая сумма заменяется интегралом. Поэтому, для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а;х,у), у которых старший коэффициент а очень "близок" к рациональному числу а/д имеет место:

Следствие 1.1.1. Пусть т > 2п(п - 1 )хп~2у, |А| < „„J,,, , тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = У-S(a, <7)7(А; х, у) + 0(q

0,5

7(А;х,у)= J e(\(x-y-+yt)n)dt.

-0,5

Это следствие является обобщением оценки 8.

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута. Основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы вида

/(/¡., 6) = У e(fh(u, b))du, l<b<q-l,

Х-у

fh(u, b) = А и" - (n\xa~l - {n.\j" '}}:< -J- hu

хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции fh(u, b) не очень близка к нулю.

В теореме 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля

Т(а, х, у) = J2 c(amn), а = - + А, (а, q) = 1, q < г, |А| < —:

х-у<т<х ^ ^

в случае, если величина пАж"~1 не очень близка целому числу, найдена прямая зависимость ее оценки от величины А, А = а — a/q - растояние между числом q и приближающим ее рациональным числом a/q.

Теорема 1.2. Пусть г > 2п{п - 1 )хп~2у, {пАгг""1} >±, А > 0 или {пАж"-1} <1 — щ, А < 0, имеет место оценка

\Т(а, х, у)\ < g1-» lng+ inin (yq~",X~bxl~*q~*).

2<k<n

Доказательство теоремы 1.2 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов, оценки Хуа JIo-гена

и

для полных рациональных тригонометрических сумм и следующего комбинаторного неравенства п-1

W = ^{-l)kCkn_lXn'l-kyk >0, п > 3, За; > (п - 3)у. к=2

Из теоремы 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а;х,у), у которых старший коэффициент а не очень близок к рациональному числу a/q, получим следующее утверждение.

Следствие 1.2.1. Пусть т > 2п(п - 1 )хп~2у, n(n_11)g3.,-i < |А| < тогда имеет место оценка

1-1, / -I 1-А l-i\

Т(а,х,у) < q " ln g + mm ( yq " ,xL *q* » .

2<k<n \ /

Следствие 1.2.1 также является обобщением теоремы Р.Вона относительно оценок коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, в случае если старший коэффициент а не очень близок к рациональному числу a/q.

Вторая глава диссертации посвящена изучению распределения дробных частей многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Пусть а - вещественное число, х > xq > 1, у < 0.0001а:, 0 < а < 1. Вводим следующие обозначения и понятия:

• Fn(x,y,cr) - обозначает количество членов последовательности {атп} таких, что х - у < m < х и {атп} < а ;

• FQ(a;,y,//, г^) - обозначает количество членов последовательности {атп} таких, что х-у<т<хи^< {атп} < и, причем 0 < д < v < 1, то есть

Fa{x, у, /х, и) = Fa(x, у, и) - Fa(x, у, ц)]

• величина

Da(x,y)= sup 0<fi<f<l

Fa(x, y, /i, u)_ _ _ ^

У

называется отклонением членов nocлeдoвameJlьнocmu {атп}, при х — у < т < х;

• последовательность {атп} таких, что х — у < т < х называется

равномерно распределенной по модулю единица, если при у —)• оо

выполняется соотношение

Оа{х,у) = о(1).

В теореме 2.1 задача об исследовании поведения функции Ра(х,у,<т) сведется к оценке коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Т(аН;х,у)= ^ е(аНтп).

х—у<т<х

Другими словами задача о распределении дробных частей многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов сведется, к оценке коротких тригонометрических сумм Т(а}ц х, у).

Теорема 2.1. Пусть М > 1п;! х, тогда справедлива следующая асимптотическая формула

Ра(х, у, а) = ау + О + ^гпах^\Т(аЬ, х, у)|) 1п»*

Из теоремы 2.1 для функции Ра(х, у, ц, у) получаем следующее утверждение:

Следствие 2.1.1. Пусть М > 1п3 х, тогда справедлива следующая асимптотическая формула

Ра{х,у,ц,и) = {и-ц)у + о((^7+ шах \Т{аН\х,у)\) Ы2х) .

1<|Л|<Л/1пг / )

Из теоремы 2.1 также для функции Оа{х,у) —отклонение членов последовательности {атп}, при х — у < т < х, находим:

Следствие 2.1.2. Пусть М > 1п3 х, тогда справедлива следующая

оценка

Т(аН; х, у)

Оа(х, 2/) < ( Т7 + тах

\М 1<|Л|<М1па

1п х.

Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику Г.Вейль. Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, в теории функций, классической механике. Мы вводим критерии Г.Вейля о равномерном распределении дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Из следствия 2.1.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {атп}, при условии, что аргумент m принимает значения из короткого интервала (;X -у,х\.

Следствие 2.1.3. Последовательность {атп} таких, что х — у< m < х является равномерно распределенной по модулю единица, если при у —> оо справедлива оценка

Воспользовавшись леммой Гурвица при иррациональном а, докажем теорему об асимптотической формуле для количества дробных частей членов последовательности {аш2} таких, что х — у < m < х и {атп2} < о.

Теорема 2.2. Пусть а — иррациональное число, 0 < а < 1, тогда для Fa(x,y,a) - количество членов последовательности {ат2} таких, что х — у < m < х и {ат2} < сг, справедлива следующая асимптотическая формула

Fa{x, у,а) — ау + О 1п2 ж) .

Из теоремы 2.2 для функции Fa(x, у, /J, с) получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.1. Пусть а — иррациональное число, тогда справед-

лива следующая асимптотическая формула

Fa(x, у, fi, и) = (г/ - ц)у + О (уъ+61п2 х)

Из следствия 2.2.1 для отклонения

F(x, у, /2, и)

D{x,y)= sup

0<H<v<l

У

(м - V)

членов последовательности {ат2} при х — у < т < х, получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.2. Пусть а — иррациональное число, тогда справедлива следующая оценка

D(x,y) <С у~ъ+е1п2х

Из следствия 2.2.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {ат2}, при условии, что аргумент т, принимает значения из короткого интервала (х -у,х].

Следствие 2.2.3. Пусть а — иррациональное число, тогда последовательность {ат2} таких, что х — у < т < х при у > 1п5я, у оо является равнолгерно распределенной по модулю единица.

В заключении автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. РАХМОНОВ З.Х., ОЗОДБЕКОВА Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. Доклады АН РТ, 2011 г., т.54, №4, с.257-264.

2. ОЗОДБЕКОВА Н.Б. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов. Доклады АН РТ, 2012 г., т.55, №-1, с.3-10.

3. РАХМОНОВ З.Х., ОЗОДБЕКОВА Н.Б. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля — Материалы международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, 17-21октября 2011 г., с. 90-93.

4. РАХМОНОВ З.Х., ОЗОДБЕКОВА Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля — Материалы международной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения", посвященной 70-летию члена-корреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 109-110.

5. РАХМОНОВ З.Х., ОЗОДБЕКОВА Н.Б. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов — Материалы международной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций", посвященной 60 - летию академика АН РТ Шабозова М.И. Душанбе, 29-30 июня 2012 г., с. 109-110.

Сдано 03.09.2012г. Подписано в печать 05.09.2012г. Бумага офсетная. Формат 60x84 Тираж 100 экз. Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон»



ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

На правах рукописи

04201355722 ОЗОДБЕКОВА НАДЖМИЯ БЕКНАЗАРОВНА

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ МНОГОЧЛЕНА, АРГУМЕНТ КОТОРОГО ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЯ ИЗ КОРОТКИХ

ИНТЕРВАЛОВ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра, теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Душанбе — 2012

Оглавление

Обозначения................................. 3

Введение 4

1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля 22

1.1 Формулировка результатов............................................22

1.2 Вспомогательные утверждения........................................25

1.3 Оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина п\хп~1 очень близка к целому числу..........................28

1.4 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина п\хп~1 не очень близка к целому числу........................37

1.5 Оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, у которых старший коэффициент не очень "близок" к рациональному числу 49

2 Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов 50

2.1. Известные леммы............................ 50

2.2. Сведения о распределении дробных частей значений многочлена,

аргумент которого принимает значения из коротких интервалов, к оценке коротких тригонометрических сумм............ 51

2.3. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов ... 57

Литература.................................. 65

Обозначения

е(а) = e2ma = cos 2iro¿ + i sin 2iro¿.

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер

главы, номер параграфа, номер утверждения.

С)сьс2,--- ,-положительные постоянные, не всегда одни.и те же.

£-положительные сколь угодно малые постоянные.

т(п) - число делителей числа п.

[х] - целая часть числа х.

{х} - дробная часть числа х.

||х|| = min ^{х}, 1 — {х}^ - расстояние до ближайшего целого числа, (a, b) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.

Запись А В или А = О(В) означает, что существует с > 0 такое, что |Л| < сВ.

Введение

Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов

Тригонометрической суммой называется конечная сумма 5 вида

5 = (1)

п

где Г(х\,х2, ..., хг) — вещественная функция от г переменных и суммирование ведется по целым точкам (х\,х2, ■ ■ ■, хг) некоторой области Г2 п - мерного пространства, г2 = —1. Тригонометрическими суммами называют и более общие суммы й" вида

= ^(хих2,хг)е(Р(х1,х2, • ■ • , Хг)) и

где С(х1, Х2, ■ ■ ■, хг) — некоторая комплекснозначная функция переменных Х\ > ) ■ ■ ■ > Хг ■

Основной проблемой при изучении сумм 3 является проблема установления верхней границы модуля 5. Обозначим через Т количество целых точек области Г). Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |5|

имеем тривиальную оценку

|51 < Т,

причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции .. • ,хг) имеют одну и ту же дробную часть. Однако для весьма широких классов функций -Р(жх, Х2, ■ ■ ■, хг) и совокупностей О оказывается возможным установить для I»!?! верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида

где Д — с возрастанием числа целых точек области П и возможным одновременным изменением вида функции Р{х\, Х2, ■ ■ ■, хг) стремится к нулю. Этот множитель Д, отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса)

и Гаусс полностью решил проблему поведения |5|; он дал следующие точные выражения для |5|:

|5| < ТА,

(а,д) = 1

у/д, если д = 1(гао£Й); \ 0, если д = 2(тпосМ);

если д = 0(тос14).

\

Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы

х=\ \ Ч /

где

/(ж) = апхп + ... + ахх, п > 1, (ап,..., аь д) = 1

В случае простого д-р, р - простое число, Морделл [1] дал для этой суммы оценку

|5| < пр1^«,

которую А. Вейль [2], следуя одной идее Хассе [3], заменил следующей:

|5| < пу/р,

Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном п) с возрастанием р, вообще говоря, неулучшаема — можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше, чем у/р.

Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного д дал Хуа [4, 5, 6, 7]. Он установил неравенство

|5| < с(тг)д1-".

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием д оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков [8] в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

х

S = = (3)

т— 1

где

f(x) — аптп + .. . + а\т,

и ап,..., а.\ — любые вещественные числа.

Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль [9], задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г. Вейля.

Оценка суммы S, получаемая с помощью метода Г.Вейля, может быть дана следующей теоремой: Пусть

a Ot

ап = - + —, (a,q) = 1, 0 < q < хп, 1 < t < д. q Г

Тогда при некотором с(п, е), превосходящем единицу, будем иметь неравенство

- + - + (4)

х q хп J

е — сколь угодно малая постоянная.

Существенным недостатком этой оценки является быстрая потеря ее точности с возрастанием п. Действительно, правая часть неравенства (4) значитель-

1 _ 1

но превосходит степень х 2"31, показатель которой с возрастанием п весьма быстро приближается к единице, поскольку 2-п, весьма быстро приближается к нулю.

Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.

Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена /(£),

/(¿) =ап£п + ... + а11,

Решение ее было получено в виде: Пусть

(х 0 эе

О!п = - + -о-, (а,д) = 1, 0 < я < хп} 1 < ае < д, Я Г

и пусть \х и V - любые числа с условием 0 < д < и < 1. Тогда, представляя число /^(гс, >и, и) чисел ряда 1,... ,х с условием ¡1 < {/(¿)) < и в виде

F(ж, и) — (и — /л)х + и), для числа А(/л, и) будем иметь неравенство вида

(\ 21-п

- + - + \) ' (5) X ц хп)

Величина Г(х,ц,и) применением леммы И.М.Виноградова [10] "о стаканчиках" сводится к суммам Г. Вейля 5. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена /(¿) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создания метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г. Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения

значений числовой последовательности на отрезке. Положим

D(x) = sup

0<м<г/<1

[p-v)

X

Величина D(x) называется отклонением первых [ж] членов последовательности {/(£)}. Последовательность {/(£)} называется равномерно распределенной по модулю, равному единице, если

lim D(x) = 0.

ж—>00

Отсюда из (5) следует, что последовательность {/(t)} является равномерно распределенной по модулю, равному единице, если

|Л(^,г/)| = о(х).

Другой проблемой, решению которой помогла оценка (4), является проблема Варинга, обобщающая теорему Лагранжа о представимости натуральных чисел суммою четырех квадратов целых чисел. Варинг [11] в 1770 г. высказал утверждение, что при каждом целом п > 1 существует такое г = г(п), что всякое целое положительное число N может быть представлено в виде

N = х™ + + ■■• + х % (6)

с целыми неотрицательными х\,...,хг. Это утверждение получило название "проблема Варинга". Оно было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд [12] в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Существенную роль в их методе играли оценки суммы S, полученные по методу Г. Вейля. Разработанный Харди и Литтлвудом метод позволил рассматривать проблему Варинга в гораздо более полной и совершенной постановке, чем только как проблему существования представлений числа N в виде

(6). В частности, Харди и Литтлвуд рассмотрели функцию G(ri), представляющую собою наименьшее значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого Nq, представляются в виде (6). Для этой функции они вывели неравенства

п < G(n) < n2n~1h. lim h = 1.

N^oo

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при

г > (п - 2)2n_1 + 5

для числа I(N) представлений числа N в виде (6) нашли асимптотическую формулу вида

I{N) = (T(l + l/n)YN,_1(7 + ^-l-cin.r)) (7)

Г (r/n)

где а- некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число с\(п.г) и ci(n, г) > 0.

В дальнейшем схема доказательства Харди и Литтлвуда была заменена близкой по идее, но более простой схемой И. М. Виноградова. Основу этой схемы составляет равенство

/I 1, если т — 0; e(am)da = <

о I 0, если 771 - целое и т Ф 0.

Пользуясь этим равенством, число I(N) можно представить так: 1 р

I(N) = J Sr{a)e{-aN)da, S{a) = e(axn), P = N» о X=1

Таким образом, и здесь мы имеем дело с тригонометрической суммой Г. Вейля.

В 1934 г. И. М. Виноградов[13] - [23] нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G(n) Харди и Литтлвуда (см.[12] ):

G{n) < n(61nn + 10).

Эта граница растет с возрастанием п как величина порядка nlnn и, ввиду известного неравенства G(n) > п, уже не может быть заменена границей существенно более низкого порядка. В дальнейшем эта оценка несколько раз уточнялась И.М.Виноградовым и последний результат выглядит так:

G(n) < n(2 In ?г + 4 In In ?г + 2 In In In n + 13).

Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила "теорема

о среднем И. М. Виноградова". Тригонометрическая сумма Г. Вейля S,

р

S = S{an, ...,«!) = ^Ге27"'-^, Дх) = апхп + ... + ац,

Х=1

как функция аргументов ап,... ,а\ является периодической по каждому аргументу с одним и тем же периодом, равным 1. Интеграл J

1 1

J = Jb= Jb{P) = j ... j

о 0

является средним значением 26-й степени модуля суммы S. Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины J. В теории чисел применяются

два варианта верхней границы интеграла Л: "общая верхняя граница" и "упрощенная верхняя граница''. Если п > 2 и Ь > Ьо,

60 = [п2(21ПП + 1П1пп + 4)], упрощенная верхняя граница дается неравенством вида

Нетрудно видеть, что здесь число 6о в смысле порядка роста с возрастанием п уже нельзя заменить существенно лучшим. Нетрудно далее показать, что сама указанная граница в смысле порядка роста с возрастанием Р является точной верхней границей.

В то время как упрощенная верхняя граница применяется в случаях, когда при неограниченном возрастании Р число п остается неизменным, общая верхняя граница может применяться и в случаях, когда при неограниченном возрастании Р может, хотя и медленно, расти и п.

Пусть п > 2 и при целом положительном I число Ъ1 определено равенством Ъ[ = п1. Тогда при Ъ > 6/ эта общая граница дается неравенством

т / 1\1п1/г. \ 3"("+1)' г-.о/] П2+П , д2+п/1 1у

3 < (п1) (2п) 2 РгЬ 2 + 2 I1 п) .

Особенностью этой границы является наличие целого положительного I, которое можно выбирать произвольно, руководствуясь условиями решаемой проблемы, учитывая, что увеличение числа I, уточняя множитель, зависящий от Р, одновременно с этим увеличивает нижнюю границу 6/ числа 6, а также множитель, зависящий только от п.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г.Вейля по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [24] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [25]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N^,n.k) при малых значениях к (см. работы [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым [34] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [35], [36] дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков [37, 38, 39] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [40, 41] продолжили исследования и получили первые оценки кратных три-

гонометрических сумм Вей ля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [42]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [43, 44].

Первая глава диссертации посвящена изучению поведении тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов.

Английский математик Р.Вон [45], изучая суммы Г.Вейля вида

Т(а. х) = Y" е (атп), а = - + A, q < т. (a,q) = 1, |А| < —, ' a qr

тп<х

воспользовавшись оценкой

k=l q '

принадлежащей Хуа JIo-кену , методом Ван дер Корпута [46, 47] доказал:

X

Т(а, х) = ^^ J е (Atn) dt + O (q"+£ (1 + жп|А|)з) , (8)

о

S(a,q) = SQ{a,q) = ¿e (—j .

k=i ^ q '

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем д, то есть при выполнении условия

~ 2nqxn~1 14

он также доказал:

1

T(aj х) = ^М) Г е (ЛГ) dt + O , (9)

Ç \J

о

Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Т(а,х,у)= ^ e(amn), а = - + А, (а,g) = 1, g < г, |Л| < (10)

х—у<т<х ^ ^

при п = 2,3,4 соответственно были исследованы в работах [48, 49, 50, 51]. Эти оценки были приложены соответственно при решении следующих аддитивных задач с почти равными слагаемыми:

• тернарная проблема Эстермана: N = р\ + р2 + т2 [52, 53, 54];

• кубическая задача Эстермана: N = р\ + р2 + m3 [55];

• проблема Варинга для кубов: N = х\ + х\ + ... + [56];

• проблема Варинга для четвертых степеней: N — х\ + х\ + ... + х\7[Ы].

Основними результатами первой главы являются теоремы 1.1 и 1.2. В теореме 1.1 найдены оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида (10), если величина п\хп~х очень близка к целому числу.

Теорема 1.1. Пусть т > 2п(п - 1 )хп~2у, {пЛхп_2} < А > 0 или {п\хп~1} > 1 — А < 0; тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = у) + О (q^) .

Если старший коэффициент а очень "близок" к рациональному числу a/g, то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины п\хп~1 к целому числу,

а для суммы Т(Х]х,у) выполняется условие леммы 1.4, с помощью которого тригонометрическая сумма заменяется интегралом. Поэтому для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а-,х,у) вида (10), у которых старший коэффициент а очень "близок" к рациональному числу а/д имеет место

Следствие 1.1.1. Пусть т > 2п(п — 1 )хп~2у, |А| < 2щхп-1 > тог^а имеет место соотношение

Т(а, х, у) = -5(а, 9)7(А; у) + 0(д*+е), ч

0,5

1{\]х,у)= I е(л(х-| + Л.

-0,5

Это следствие является обобщением оценки (9), принадлежащей Р.Вону [45].

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута, и основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы вида

х

/(М) = I е{Ми,Ъ))(1и, 1 < Ь < д — 1,

х-у

П7 /

Ь) - Аип - (пЛхп_1 - {пЛа;п~1})и---ки.

хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции Ь), не очень близка к нулю.

В теореме 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида (10), в случае если величина п\хп~1 не очень близка к целому числу, найдена прямая зависимость ее оценки от величины Л, X — а — а/д - растояние между числом а и приближающим ее рациональным числом а/д.

Теорема 1.2. Пусть т > 2п(п - 1)хп 2у, {п\хп > А > 0 или {п\хп~1} < 1 — А < 0, имеет место оценка

\Т(а, х,у)| <С In q + min (yq~7i, X~Ixl~Iq~7i).

2 <k<n

Доказательство теоремы 1.2 проводится мето�