О некоторых применениях операторов дробного порядка в вязкоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Общее развитие и широкое применение линейной теории вязкоупругости наблюдается сравнительно недавно. Действительно, активность в этой области связана в первую очередь с современным широким распространением и использованием полимерных материалов. Многие из этих новых материалов обладают механическими свойствами, которые нельзя описать с помощью упругой или вязкой моделей механического поведения; в силу этого становится очевидной необходимость построения более общей теории.

Теория упругости может применяться к материалам, которые обладают способностью накапливать механическую энергию, не рассеивая ее. С другой стороны, Ньютоновская вязкая жидкость при гидростатическом напряженном состоянии проявляет способность рассеивать энергию, но не способна ее накапливать. Но тогда эти две теории не могут описать поведения тех материалов, которые способны частично (но не полностью) вернуть работу, затраченную на их деформирование. Такие материалы обладают способностью как к накоплению механической энергии, так и к рассеиванию ее.

Другой способ характеристики таких материалов состоит в описании их механического поведения при внезапно приложенных к поверхности образца равномерно распределенных усилиях. Термины "внезапно приложениая"нагрузка или "внезапно приложен-ное"напряженное состояние в данном случае не следует понимать так, что нагружение вызывает скорости, приводящие к деформированию образца в динамических условиях. Упругий материал, будучи подвергнуть такому "внезапно приложенному"нагружению, в дальнейшем остающегося постоянным, мгновенно претерпевает деформации, которые потом остаются неизменными. При внезапном приложении однородного касательного напряжения к ньютоновской вязкой жидкости возникает стационарное течение.

Существуют однако материалы, у которых внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряженное состояние вызывает мгновенную деформацию, вслед за чем следует процесс течения, которое с ростом времени может быть ограниченным или неограниченным. О материале, который ведет себя подобным образом, говорят, что он проявляет одновременно свойство упругости и ползучести. Такое поведение, очевидно, не описывается ни упругой, ни вязкой моделями, а сочетает в себе черты обеих.

Полезно рассматривать случай, который представляет собой обобщение поведения материала при однократном внезапном изменении приложенных поверхностных сил. Допустим, что материал, обладающий описанными выше свойствами мгновенной упругости и ползучести, подвергается двум не одновременно происходящим изменениям однородного напряженного состояния, которые накладываются одно на другое. После первого приложения напряжения, но перед тем, как наступило второе, поведение материала будет зависеть от времени, а также от величины приложенного вначале напряжения. Рассмотрим теперь ситуацию, которая возникает через екать угодно малый промежуток времени после внезапного приложения второго напряженного состояния. Поведение материала будет зависеть не только от второго изменения внешних усилий, но и от продолжающегося (зависящего от времени) влияния первого приложенного уровня напряжения.

Заметим, что поведение упругого материала в любой момент времени зависит только от суммарного уровня напряжений. Таким образом, рассматриваемый материал более общего типа обладает свойством, которое можно назвать эффектом памяти. При этом поведение материала определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми напряженными состояниями, так что, вообще говоря, материал "запоминает"эти прошлые состояния. Подобная же ситуация возникает, если обратиться к деформациям; в этом случае текущее напряжение зависит от всей истории деформации. По этой причине некоторые авторы вязкоупругость называют наследственной теорией (см.[88]).

Традиционный ход рассуждений приводит к построению определяющих уравнений, содержащих производные от напряжения и деформаций; описание физических процессов с помощью дифференциальных уравнений привычно и общепринято. С другой стороны, в классической механике сплошной среды издавна существуют такие простейшие модели, как модель упругого тела Гука и модель вязкой жидкости Ньютона. Объединяя эти модели, мы естественным образом приходим, например, к следующему гипотетическому определяющему соотношению а = Ее + щ. (0.0.1)

Здесь а - напряжение, а с - деформация. При Е — 0 - это вязкая жидкость, при т/ = 0 -• упругое тело Гука, в общем случае среду, описываемую этим соотношением можно назвать вязкоупругой.

Соотношении (0.0.1) можно поставить в соответствие материальную модель, которую часто называют моделью Фойгта или Кельвина - Фойгта, а тело поведение которого описывается соотношением (0.0.1) телом Фойгта. Напомним, что [29, 88] тело Фойгта состоит из пружины и амортизатора, которые соединены параллельно. Сила а уравновешивается силой упругости пружины Ее и силой вязкого сопротивления движению поршня, которое сопровождается протеканием вязкой жидкости через зазор между поршнем и стенками цилиндра.

Математическая модель, включающая в себя как предельные случай модели упругого тела и вязкой жидкости, может быть сконструирована не единственным образом.

Кроме модели Фойгта простейшими моделями вязкоупругих тел являются тело Максвелла и стандартное линейное тело. Описание этих и других вязкоупругих тел а также подробное изложение классической теории линейной и нелинейной вязкоупругости можно найти в монографиях [12, 29, 46, 81, 88], и в работе [80].

Следует подчеркнуть, что система определяющих соотношении в теории вязкоупругости, как и в других феноменологических теориях, характеризирующих физическую систему, описывает только некую абстрактную математическую модель,которая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных физических систем с той или иной степенью точности. Вопрос о выборе математической модели для проведения прочностного расчета реального материала решается только из сравнения результатов теоретического исследования с экспериментом.

Следует отметить тот факт, что хотя большинство достижений в теории вязкоупруго-ф сти относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже давно.

Теоретическую идею вязкоупругой модели впервые предложил Максвелл в 1867 году (см.[29],[207]).Его определяющий реологический закон, связывающий напряжение и деформацию, имеет форму da dj „ . (0.0.2) где а - напряжение, 7 - деформация, ц - коэффициент вязкости; tq = T)/G0, здесь G0 -модуль упругости.

Сперва эта теория была применена к исследованию следующих двух фундаментальных процессов: i) деформация (растяжение или сжатие) цилиндров состоящих из различных коллоидных веществ, при условии постоянного напряжения; и) релаксация напряжения, при условии постоянной деформации. Для постоянной деформации (7 = 7о = const) из (0.0.2) получим a(t) = aoe~t/T0. (0.0.3)

Р.Колрауш (R.Kohlrausch) проведя релаксационные эксперименты для изучения ползучести, над различными материалами, заключил, что для многих экспериментальных данных более подходящим является следующая эмпирическая формула (см.[207]) a(t) = <т0еН/то)3, (0 < Р < 1) (0.0.4) которая предсказывает более медленное убывание напряжения,чем убывание, которое получается из экспоненциальной релаксации (0.0.3), когда /? = 1. В 1970 году Дж.Вильямс (G.Williams) и Д.С.Ватсф.СЛУаМз) постулировали ту же самую функцию, для описания диэлектрической релаксации в полимерах (см.[207]).

Больцман в 1874 г. впервые дал уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупру-гости. В 1909 г. Вольтерра получил аналогичные зависимости для анизотропных тел.

Диссертационная работа посвящена к некоторым аспектам применения дробного исчисления в вязкоупругости.

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.

Мысль об обобтцении понятия дифференцирования ^Jj^ на не целые значения р возникала с самого зарождения дифференциального исчисления. Первая зафиксированная историей попытка обсуждения такой идей содержится в переписке Г.Лейбница (см.[95],[207], [208],[218]).

В одном из писем Г.Лопиталю он ставил вопрос: какой математический смысл можно придать выражению когда п не целое.

Лопиталь ответил вопросом на вопрос: чему равняется ^лтг, когда f(x) = х'1

В письме от 30 сентября 1695 года Г.Лейбниц писал:"получается, что dl^x равняется x\/dx : х", это равенство он называл парадоксом и отмечал , что из него можно получить много чего полезного.

Заметим, что 1819 году Лакру'а получил точное равенство dx ~ фГ'

Над проблемой определения понятия дробных интегралов и дробных производных в разное время работали такие ученые как Л.Эйлер(1730), П.Лаплас(1812), Ж.Фурье(1822), Н.Абель(1823-182б), Ж.Лиувиль(1832-1873), Б.Риман(1847), Ж.Лоран(1884), Ж.Ада-мар(1892), О.Хевисайд(1892-1912), Г.Харди и Д.Литтлвуд(1917-1928), Г.Вейль(1917), П.ле-ви(1923), А.Зигмунд(1935-1945), М.Рисс(1949).

Несмотря на вышесказанное дробное исчисление можно рассматривать как "новую"об-ласть науки, так как только за последние 27 лет оно стало предметом специализированных международных конференций.Первая международная конференция по дробному исчислению была проведена в 1974 году в Нью-Хавене. Организатором этой конференций и составителем сборника докладов конференции был Б.Росс. Вторая конференция была проведена в 1984 году в Глазго (Англия). Организаторами и составителями сборника докладов второй конференций были А.Макбраид(А.С.МсВпс1е) и С. Pay4(C.F.Roach).

Первой монографией по дробному исчислению была изданная в 1974 году книга К.Олд-хема и Дж.Спаниера [208]. На сегодняшний день издано много книг по дробному исчислению, однако из них своей монументальностью выделяется монография С.Г.Самко, А.А.Маричева и О.И.Маричева [95].

Теория дробного исчисления , а также историческое развитие этой теории подробно изложены в монографиях [95] [155],[159], [162], [207] ,[208],[215] и в работах [209],[218].

Дробное исчисление давно применяется в различных областях науки и техники для моделирования и изучения наследственных и запоминающих свойств различных материалов и процессов.

В 1978 году К.Олдхем и Дж.Спаниер опубликовали работу [209], в которой перечислены (с указанием соответствующих источников) шестнадцать областей, где к тому времени успешно применялось дробное исчисление.

Подробное описание применения дробного исчисления к различным областям науки и техники на современном этапе дано в монографии И.Подлубного [215] главы 9 и 10.

В вязкоупругости дробное исчисление успешно применяется вот уже 80 лет.

Основателем применения дробного исчисления в вязкоупругости, как отмечают Р.Л. Бэгли и П.Дж.Торвик (см.[126]), был П.Дж.Наттинг(Р.С.Nutting), который в 1921 году наблюдал, что соотношение между напряжением и деформацией, для многих сложных материалов описывается так называемым уравнением П.Дж.Наттинга(Р.С.Nutting) а = сууГ*, (0.0.5) где 0 < к < 1 (см.[207]). При постоянной деформации отсюда получается обратно степенной закон релаксации.

В 1936 году А.Джемант (A.Gemant) и в 1946 году P.C^.BocBopT(R.C.L.Bosvvorth) на основе анализа экспериментальных результатов для упруго - вязких тел, дали определение пластичности, содержащее идею "дробной производной "(см. [207]). Они дали определение вязкоупругого тела, не являющегося ни упругим телом Гука, ни жидкостью Ньютона.

Для Ньютоновской жидкости имеет место соотношение а = 77 — , 77 = const, dt

0.0.6) для упругого тела - соотношение а = ay, а = const. (0.0.7)

Соответственно можно предположить, что для тела промежуточного между жидкостью и упругим телом, имеет место соотношение d" 7 a = Xl~dti' Xl=const> 0 </*<!• (0-0-8)

Последние три соотношения можно объединить и написать общее соотношение из которого получается (0.0.6), если fi = 1, (0.0.7) если /¿ = 0и (0.0.8) если 0 < ц < 1.

Дж.У.Скот-Блэр(С.\У.8соЦ-В1а1г) применив производные дробного порядка по времени объединил наблюдения П.Дж.Наттинга(Р.С.Nutting) и А.Джеманта (A.Gemant) в одной модели (см.[126]). Тридцать лет тому назад М.Капуто высказал идею применения производных дробного порядка в модели вязкоупругого поведения геологических пластов (см.[126]).М.Капуто и Ф.Маинарди пошли дальше, показав, что определяющее соотношения использующие дробные производные описывают механические свойства некоторых металлов и стекловидных тел.

Обзор некоторых других работ по применению дробного исчисления в вязкоупругости можно найти в работах [12G],[127],[179], [220].

0.1 Основное содержание работы

Диссертационная работа состоит из четырех глав. Нумерация формул в каждой главе автономная. Каждая формула нумеруется тремя числами; первое из них указывает на номер главы, второе - номер пункта в этой главе, а третье номер подпункта.

Первая глава "Основные определения и результаты дробного исчисления"носит вспомогательный характер. В нем приводятся основные факты из дробного исчисления, которые в дальнейшем применяются в диссертационной работе.

В пункте 1.1 приведены основные определения дробных интегралов и производных.

Существуют много разных определений дробных интегралов и дробных производных (см.[95],[208],[215]).

Заметим, что в 1974 году Б.Росс сформулировал пять критериев, которым должны удовлетворять все жизнеспособные определения дробных интегралов и дробных производных (см.[184]).

Приведем эти критерии

1.Если f(z) - аналитическая функция комплексного переменного z, то производная cD%f(z) является аналитической функцией переменных и и z.

2.Если и = п — целое положительное число, то операция cD^f(x) совпадает с операцией обыкновенного п - кратного дифференцирования. Если и = — п — целое отрицательное число, то операция cD^f(x) совпадает с операцией обыкновенного п - кратного интегрирования; кроме того функция cD^.f(x) и все ее производные до порядка п— 1 включительно обращаются в нуль в точке х — с.

З.Операция нулевого порядка оставляет функцию неизменной т.е.

4.Дробный оператор является линейной I с£>;«[а/(®) + Ьд(х)] = ае££«/(*) + Ьс0^д{х). б.Закон композиции ,т.е. закон степеней должен выполняться для интегрирования любого порядка

Приведены три определения дробных интегралов и дробных производных, которые в основном применяются в теории вязкоупругости, а именно определения Римана-Лиувилля, Грюнвальда-Летникова и Капуто.

Например определение Римана-Лиувилля формулируется следующим образом Определение Римана — Лиувилля: Пусть функция /(х) определена на полуоткрытом интервале (а, 6], и пусть а > 0, тогда дробный интеграл порядка а от функции /(х), в точке х е (а, Ь], определяется следующей формулой а£Г<7(*) = Щх) = (х- т)п~1/(т)(1т, (0.1.1) здесь Г - гамма функция Эйлера /»00

Г(г)= / хг-1е~х(1х, Яег > 0. (0.1.2)

Jo

Пусть 0 < тп — 1 < о: < тп,т = 1,2,•••. Тогда дробная производная порядка ог, от функции /(х) в точке х определяется следующей формулой = Иа/(х) =

Г71 сИт

Г(ш Г таг х-т) а+1-т

0.1.3)

Заметим,что в отличие от обыкновенных производных дробная производная от постоянной не является тождественным нулем а1 =

Г(1-а)' а^О, , г > 0, аеЛГ.

Изложены основные свойства всех приведенных понятий дробных интегралов и дробных производных, приведены формулы связывающие эти понятия друг с другом.

В пункте 1.2 понятия дробных интегралов и дробных производных распространяются на функций многих переменных.

Пункт 1.3 посвящен к вопросу дробного интегро-дифференцирования обобщенных функций.

Заметим, что в случае всей действительной оси для интегро-дифференцирования обобщенных функций удобнее пользоваться не классом тварцевых функций 5 (бесконечно дифференцируемых, убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее любой степени), а более узким классом Лизоркина.

Определение класса Лизоркина: Классом Лизоркина назовем класс прообразов Фурье функций из Ф:

Ф = {<р : <р Е е Ф}, здесь через ф обозначена преобразование Фурье от ¡р, и

Класс Ф можно охарактеризировать, как класс тех шварцевых функций <р(х) £ 5, которые ортогональны всем многочленам

Класс Ф инвариантен относительно дробного интегрирования и дифференцирования любого порядка.

Обозначим множество линейных непрерывных функционалов над Ф через Ф'. Определение: Пусть / 6 Ф', тогда дробное интегрирование этой обобщенной функции определяется следующей формулой

Заметим, что случаю Rea < 0 отвечает дробное дифференцирование. В пункте 1.4 приведены общие сведения для интегральных преобразовании Лапласа, Фурье и Меллина. Даны формулы интегральных преобразований дробных интегралов и дробных производных Римана-Лиувилля, Грюнвальда-Летникова и Капуто, как в случае одной независимой переменной , так и в случае многих независимых переменных.

В пункте 1.5 изложены основные свойства специальных функций типа Миттаг-Леффлера. Функции типа Миттаг-Леффлера играют особенную роль в дробном исчислении. Они часто появляются при решении конкретных задач, если применяются методы дробного исчисления. Причиною этому является то, что фундаментальное решение (функция Грина) дробного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами выражается через функции типа Миттаг-Леффлера (см.[215]). Функцией Миттаг-Леффлера называется функция

Эту функцию впервые ввел и изучил шведский математик Г. Миттаг-Леффлер в 1903 году.

Функция Еа(г) - является целой функцией порядка р = £ и типа 1. Если а 6 С, то

Ф = : V е = 0, А; = 0,1,2,-.}. где

0.1.4)

Р =

Rea'

Обобщением (0.1.4) является дпухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера

00 £

0.1.5)

Очень важным является следующая формула преобразования Лапласа для функции Миттаг-Леффтера

В пункте 1.6 построено операционное исчисление для дробного интегрального оператора Римана-Лиувилля.

Глава 2 "Дробное исчисление и вязкоупругость"посвящена обзору широкого класса работ применения дробного исчисления в вязкоупругости. Дано описание некоторых важных, на наш взгляд, аспектов применения дробного исчисления в вязкоупругости.

В пункте 2.1 дается обзор самых первых работ применения дробного исчисления в вязкоупругости.

В пункте 2.2 описаны некоторые типичные подходы получения определяющих соотношений вязкоупругости содержащие дробные производные.

В пункте 2.2.1 дается обзор работ Т.Д.Шермергора [121], М.Капуто и Ф.Маинарди [135], Дж.Скарпи [222], Т.Нонненмахера [207].

В этих работах определяющие соотношения вязкоупругости содержащие дробные производные получены путем прямой замены производных целого порядка в классических определяющих соотношениях вязкоупругости, на производные дробного порядка. Такой замене разные авторы дают разные интерпретации.

Один из самых интересных способов получения общих определяющих соотношений вязкоупругости, содержащие дробные производные предложил Р.Бэгли в своей докторской диссертации в 1979 году (см.[125]). В пункте 2.2.2 подробно описан этот метод получения определяющих соотношений вязкоупругого поведения с дробными производными. Подробное описание этой методики является важным, так как соотношениями полученными в работе [125], пользуются многие исследователи занимающиеся вязкоупругим поведением материалов (см. [146], [147], [148], [227]).

Типичное поведение комплексных модулей вязкоупругого материала, при постоянной однородной температуре и меняющейся частоте движения следующее: 1. При низких частотах т.е. при резиноподобном состоянии, действительные части модулей почти постоянны, в то время как мнимые части растут с возрастанием частот; 2. При средних частотах т.е. в переходном состоянии, действительные и мнимые части модулей растут и с возрастанием частоты скорость возрастания действительной части медленно догоняет скорость возрастания мнимой части; 3. При высоких частотах т.е. при стекловидном состоянии мнимые части модулей уменьшаются при возрастании частот, а действительные части остаются почти постоянными.

Основываясь на это соображение для изотропного, однородного линейного вязкоупругого материала Р.Бэгли записывал общее определяющее соотношение вязкоупругости содержащее дробные производные, в виде

С (¿а!«)} = Лее > Н".

0.1.6) l + £ atDb) (l + £ bpD^amn(t) = Smn( 1 + 1 + E bpD + £ XjDaAe(t)+ к

0.1.7) p= i ' » j=l

К Ij

2(l + £ („0 + £/^')emn(i). t=l

Пункт 2.2.3 посвящен описанию метода элемента дробного исчисления. Р.Коеллер в работе [179] ввел понятие элемента дробного исчисления. Приведем это определение.

Определение элемента дробного исчисления: Элементом дробного исчисления называется элемент, напряжение которого пропорционально дробной производной от деформации.

Пусть Р - коэффициент вязкости амортизатора, Е - модуль упругости пружины, и т) = Р/Е. Определяющий закон элемента дробного исчисления записывается в виде

Уравнения (0.1.8) содержит два предельные случаи пружины и амортизатора, поскольку

Y\mEifD3e(t) = Ee{t), lim Er]ßDde{t) = Fe(t).

Далее автор в классических элементарных моделях вязкоупругости вязкие элементы заменяет ааементами дробного исчисления, и полученные тела называет обобщенными телами. Таким путем получены несколько определяющих соотношений содержащие дробные производные.

В том же пункте дан обзор другой работы [180]. В работе [180] на языке дробного исчисления определяется математический смысл для эмпирической формулы П.Дж.Наттинг (P.G.Nutting)-a. Получена формула^связывающая дробное исчисление со сверткой Стил-тьеса, ядром которой является распределение Рисса. Теорема представления дробной производной применена к общему определяющему соотношению для вычисления функций ползучести и релаксации.

Хотя работа Г.Л.Слонимского [97] прямо не посвящена определяющим соотношениям вязкоупругости, содержащим дробные производные, тем не менее она очень близко примыкает к рассматриваемым в диссертации вопросам и поэтому пункт 2.2.4 посвящено краткому обзору этой работы.

В работе [97] определяющие соотношения^содержащие дробные производные выводятся и применяются для описания свойств высокоэластических полимерных тел.

Основной закон деформации высокоэластических тел, полученный в работе [97] имеет вид a(t) = ErfDße{t), 0 s$ £ 1.

0.1.8)

Пункт 2.2.5 посвящен фрактальным реологическим моделям.

Для описания процесса ползучести стекловидных полимеров Дж.Боуенс в 1988 году предложил фрактальную реологическую модель "дерево". Другую фрактальную реологическую модель вязкоупругого поведения предложил в 1989 году ТвсЬоедЬ Последняя модель называется моделью лестницы.

В работе [170] изучаются эти фрактальные реологические модели, установлена связь между ними, показано, что фрактальные реологические модели приводят к аналитическому описанию вязкоупругого поведения, на языке интегродифференциальных уравнений дробного порядка.

Фрактальная реологическая модель "дерево"изображена на рисунке 1.

Эту модель в упрощенной форме можно описать следующим образом. Вязкоупругое поведение, определенное комплексным модулем X, представлено в виде упругого элемента Е, который искажается вязкой средой с комплексным модулем гсот], оба элемента последовательно соединены в виде вязкоупругой среди с комплексным модулем X(см.рис.2).

В пункте 2.3 даются обзоры следующих работ Р.Бэгли и П.Торвика [125] - [129], [229]; А.Фенандера [148]; М.Енелунда, А.Фенандера, П.Олсона [146]; М.Енелунда и Б.Джосефсонг

Вкратце коснемся некоторых из этих работ, (более подробно см. пункт 2.3).

В работе [126], которая называется "Теоретическая основа применения дробного исчисления в вязкоупругости"исследуется связь между молекулярной теорией, предсказывающей макроскопические поведения некоторых вязкоупругих сред, и эмпирической моделью вязкоупругости. Показана эквивалентность определяющих соотношений, записанных на языке дробного исчисления, и результатов молекулярной теории. По мнению авторов установление теоретической основы для эмпирической модели увеличивает уверенность в практическом применении такой модели.

В работе [127] отмечается, что по экспериментальным наблюдениям можно заключить, что многие вязкоупругие материалы можно достоверно описать применив не общее определяющее соотношение, содержащие дробные производные, а упрощенное определяющее соотношение вида

В работе [128] рассматривается модель вязкоупругости с применением производных дробного порядка, на основе законов термодинамики законами. Ограничения, наложенные на параметры модели гарантируют не отрицательность диссипации энергии и не отрицательность внутренней работы.

В этой работе доказывается, что параметры в (0.1.9) должны удовлетворять следующим условиям

147]. а(0+Ь£>М0 = Еоеф + Ех^еф.

0.1.9)

Е0^0; Е1 > 0; 6>0; -г1 ^ Е0-, а = р. о

0.1.10)

В работе [147] рассматривается трехмерное определяющее соотношение вида зМ+ЬЧеГГЬзЖ) = 2Стееу(0+2С&37Я'Ъсу(01 0 < ас < 1; ЗКо.е^+ЗКЬ^£>а«ги(0, 0 < ак < 1.

0.1.11) (0.1.12)

В этих формулах - девиаторная часть тензора напряжения сту; - девиаторная часть тензора деформации С = - модуль сдвига; (7оо - длительный модуль сдвига; к = - мгновенный модуль сжатия; к^ - долгосрочный модуль сжатия.

Разные авторы приводят различные аргументы для оправдания применения определяющих соотношений содержащих дробные производные в вязкоупругости. По крайней мере два основных аргумента таковы:

1). Определяющие соотношения, содержащие дробные производные, в некоторых случаях более точно описывают механическое поведение вязкоупругих материалов, чем классические определяющие соотношения.

2).Для точного описания механического поведения вязкоупругих материалов, при применении определяющих соотношений, содержащих дробные производные, требуется малое количество эмпирических параметров.

Более подробно об этом см. пункты 2.2.1 и 2.3 (тексты набранные курсивом).

В третьей главе рассматривается применение дробной функции Грина к получению прямых и обратных соотношений для основных обобщенных моделей вязкоупру гости. Эти соотношения ранее были получены разными методами (см.[152],[170], [179],[195]). Результаты полученные при помощи дробной функции Грина совпадают с ранее известными результатами, но преимуществом этого метода является то, что для его применения требуется осуществление следующих стандартных хорошо известных процедур: определение односторонней функции Грина для обыкновенного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами (см.[200]); определение некоторого многочлена по известному простому правилу; нахождение дробных производных от элементарных функций, которое можно осуществить с применением таблиц для дробных производных. Такие таблицы имеются, например, в книгах [95], [208], или же воспользоваться готовыми формулами для дробной функции Грина (см.[215]).

В этой главе рассматривается также вопрос аппроксимации любых ядер со слабой сингулярностью функциями типа Миттаг-Леффлера, которые в свою очередь определяются из дробных дифференциальных уравнений.

Первое четкое определение дробной функции Грина дано в работе [201], см. также работы [198],[203] К.С.Миллер. И.Подлубны в работах [213] и [215] обобщил это понятие для более общих дробных дифференциальных операторов.

Рассмотрим следующую дробную дифференциальную систему где д(£) - известная функция, N - наименьшее целое число большее или равное пи, -положительное целое число. где С~1 - обратное преобразование Лапласа.

Определение: Кр{Ь) называется дробной функцией Грина оператора (0.1.14). Функция

0.1.13)

Р(£>") = £>П1/+-----^ ап£)°;

0.1.14)

0.1.15) является решением задачи (0.1.13) (см.[201]).

Понятие дробной функции Грина для дробных дифференциальных операторов с любыми действительными показателями дробных производных дал И.Подлубны в работах [213], [215].

Рассмотрим следующую дробную дифференциальную задачу Cy(t) = f( 0; [^Ä1y(i)]t=о = °> = (0.1.16) где

Cy(t) = V°«y{t) + £ Pk(t)V*»-»y(t) + Pn(t)y(t); k=1 к j, (k = 1,2,•••,«); O^öj^I 0'= 1,2,-•-,n). j=i

Здесь через Day(t) обозначена дробная производная по Риману - Лиувиллю. Определение дробной функции Грина: Дробной функцией Грина уравнения (0.1.16), называется функция G(t,r), которая удовлетворяет следующим условиям: г) TCt G[t,r) = 0 для любого т 6 (0, t), причем TCt означает, что во всех дробных производных входящих в определение оператора С, нижним пределом интегрирования является т; ii) lim (rT>^-lG(t,r)) = Sk. ni & — 1,2, • • n, где символ Кропекера; т—0 in) Tjim+(TVtkG{t,T)) = 0, k = 1,2,- • -,n- 1, при г < t. Если G(t,r) дробная функция Грина, то y(t)= f G(t,r)f(T)dr Jo является решением уравнения (0.1.16).

В пункте 3.1.1 рассматривается обобщенное тело Максвелла. Прямое соотношение имеет вид o(t) = E[l-±3;l(-^)]e(t), (0.1.17) где - оператор t ядром которого является дробно-экспоненциальная функция см.[29], [88]) > h шп+m ■ (0ЛЛ8)

Деформация через напряжение выражается формулой

Функции релаксации и ползучести имеют вид G(t) = EEß(-±t*)h(t), (0.1.20)

Е\--П1+1»\Ч/>.(0Л'21)

В пункте 3.1.2 рассматривается обобщенное тело Кельвина-Фойгта. Прямые и обратные соотношения в этом случае имеют вид

Функции релаксации и ползучести имеют вид

СЭД = £(/.(() +

В пункте 3.1.3 рассматривается обобщенное тело Зенера. Прямые и обратные соотношения имеют вид

0.1.22) (0.1.23)

0.1.24) (0.1.25) a(t) = e(t) = Е2 (Ег + Е2у Функции релаксации и ползучести выражаются следующим образом

G(t)= \El+E2E^[-[h(t),

0.1.26) (0.1.27)

0.1.28) j{t) = /-Д— -/g> ** Lx f-—- il 1 h(t). (0.1.29) w \£i + £2 (El+E2)El Ex+E2\r}J ) J J

В пункте 3.2 рассматриваются общие определяющие соотношения вязкоу пру гости содержащие дробные производные.

Рассмотрим одноосное напряженное состояние. Тогда связь между напряжением и деформацией запишется в виде (ср. формулой (0.1.7)) l + £ akD^ (l + £ bpD^ a(t) =

2 + £ akD^ (цо + £ ] c(t).

Пусть в начальный момент времени е(0) = а(0) = 0.

0.1.30)

0.1.31)

Пусть выполняются следующие неравенства + l,A; = I7Z;p = !775; ^ + = = (0.1.32)

Jk + m^ 1,к = ITT?; / = ITT.

Справедливы следующие утверждения

Утверждение 1. Пусть определяющее соотношение для однородных изотропных материалов в случае одноосного напряженного состояния дано в виде (0.1.30). Если выполняется условие (0.1.31), то соотношение (0.1.30) эквивалентно соотношению = ïi*da, (0.1.33) где функция П представляется в виде ряда по функциям типа Миттаг-Леффлера.

Утверждение 2.Пусть определяющее соотношение линейной вязкоупругостпи дано в виде a(t) = [ R(t-T)ds(T) = R*ds, (0.1.34)

Jo где R(t) — финитная функция; sup R С [0, a], a > 0 — конечное число; R(t) G C(0, a]; R(t) имеет интегрируемую особенность в точке t = 0. Соотношение (0.1.34) можно записать в виде a(t) = Ri *e + R2 *£. где i) sup Ri С [О, , для сколь угодно малого фиксированного положительного числа 5; И) sup R2 С [f,a];

Иг) Яг в пространстве L2 ([|,а]) сколь угодно точно можно приблизить функцией следующего вида ко , з

P(x) = J2ckX0-1Ei,^ixXk), к=0 которая в свою очередь является функцией Грина некоторого дробного дифференциального соотношения.

Четвертая глава посвящена изучению различных аспектов уравнения движения вяз-коупругих сред в случае, когда определяющие соотношения содержат дробные производные.

За последние десятилетия дифференциальные уравнения дробного порядка и интегральные уравнения типа Абеля рассматриваются как, полезные средства для изучения наследственных и запоминающих свойств различных процессов. В некоторых случаях они приводят к более адекватным моделям, чем модели, основанные на производных целого порядка.

Одну из первых моделей, в которой применялось дифференциальные уравнения дробного порядка, предложил А.Н.Герасимов в 1948 году в работе [16]. В этой работе изучается движение вязкой жидкости между двумя движущимися поверхностями. Несколько десятилетий позже К.Олдхем и Мж.Спаниер такие уравнения применили для описания некоторых процессов электро-аналитической химии (см.[208]).

В дальнейшем основное внимание было уделено изучению моделей, которые основываются на так называемых диффузионно-волновых дробных дифференциальных уравнениях. Такие уравнения получаются если в волновом уравнении или в уравнении диффузии (теплопроводности) вторую или первую производную по времени заменить дробными производным по времени. Эти уравнения были применены для моделирования различных процессов, например для исследования поведения вязкоупругих материалов (см. [153], [163] - [166], [173]); для изучения диффузионных процессов в таких пористих средах, которые появляются в фрактальной геометрии (см.[205]); для моделирования белого шума ([225]).

Заметим, что и нелинейные дробные уравнения с частными производными применяются для изучения практических задач, например, в работе [144] такие уравнения применяются для изучения вязкопластических материалов.

Другое направление дробных диффузионно-волновых уравнений связано с тем фактом, что фундаментальные решения задачи Коши и сигнальной задачи можно интерпретировать на языке устойчивых вероятностных распределений Леви (см.[156]) и как следующий шаг - применение этих моделей в финансовых задачах (см.[189]).

В пункте 4.1.1 изучается уравнение движения однородного вязкоупругого, бесконечного стержня плотности р, совершающего продольные колебания под воздействием внешней нагрузки f(t,x) (рассчитанной на единицу объема), когда определяющее соотношение дано в виде (0.1.8).

Уравнение движения в этом случае имеет вид где а2 = Erf ¡р, х — координата точки стержня, t — время, а — напряжение, е — деформация, и — перемещение материального элемента стержня.

Аналогично можно показать, что деформация и напряжение удовлетворяют следующим уравнениям dt2~ дх* + рдх' д2а at2

Далее рассматривается следующая задача = + !/(*), ¿>0, -oocrcoo; u(t, +оо) = u(t, -oo) =0, t > 0; (0.1.36) k и(0+,х) = = 0, - oo < x < oo.

Заметим, что в этом случае f(t,x) зависит только от пространственной переменной х т.е. f(t,x) = f(x).

Показано, что решение задачи (0.1.36) имеет вид в *) = i fZ G& х - o/m, ,n.

В предельных случаях т.е. когда /3 = 0и/? = 1из (0.1.37) получаются классические решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

В пункте 4.1.2 рассматривается та же самая задача (0.1.36) в случае, когда внешняя сила периодическим образом зависит от времени т.е.

Ь,х) = /г(х) совгог, где хи > 0 - фиксированное число (частота колебания внешней нагрузки), ¡\{х) - функция зависящая только от переменной х.

Показано, что решение рассматриваемой задачи имеет вид

1 Г°° — и(1,х) = - (0-1.38)

Р «/-00 где

G(t,x) = ~ J (J (t ~ T)^2-ß,2 (—U2(t — r)2~ß) COS ZJTd-Г^ cos сoxduj.

Показано, что для каждого фиксированного х 6 (—оо, +оо) имеем lim u(i,x) = 0. t—+оо 4 '

Пункт 4.2 посвящен к вопросу исследования гиперболичности уравнения движения в случае определяющих соотношений, содержащих дробные производные.

Введем следующие определения

Определение:Пусть для оператора Р существует фундаментальное решение £(t, х) D такое,что supp£(t,x) С {t,x\t ^ const\x\}, const > 0 (0.1.39) где D' - множество обобщенных функций. В этом случае оператор Р называется гиперболическим в D'.

Определение:Пусть для оператора Р существует фундаментальное решение £{t,x) такое,что e~Mt£(t,x) £ S", для некоторого М > 0 и выполняется условие (0.1.39). Тогда оператор Р называется гиперболическим в S .

В пункте 4.2.1.1 приведены некоторые вспомогательные сведения из теории однородных гиперболических полиномов и гиперболических уравнений.

Пусть определяющее соотношение имеет вид (0.1.17) т.е. рассматривается случай обобщенного тела Максвелла.

Уравнение движения в этом случае имеет вид д2и д2и dt2 дх2

Следуя работе [51], уравнение (0.1.40) можно записать в виде P(^t,-^)u(t,x) = ±f(t,x). (0.1.41) где дг'дх' эр дх2' ^М'дх' дх2'

Через " * " обозначена операция свертки относительно переменной

Основываясь на результатах монографии [51], в пункте 4.2.1.2 доказывается следующее утверждение

Утверждение: Оператор, определенный формулой (0.1.41), является гиперболическим в 5 .

Фундаментальное решение этого оператора £(£, х) удовлетворяет следующим соотношениям:

I).зирр£(г,х) С /С = {(г,а;)|0 < I < ос, < х < = {(¿,х)|г > |х|}; п).£(1, х) не является тождественным нулем ни в одной окрестности произвольной о точке ф €Е дК П дК. = {(£,х)|4 = х, £ = —х}.

В пункте 4.2.1.3 доказывается справедливость следующих утверждений Утверждение: Если существует сколь угодно малое е > 0, такое, что |+е ^ ¡3 < 1, то для фундаментального решения оператора (0.1.41) при £ —» |х| + 0 имеем следующие соотношения

С\Ъ1Х) ~ 2Г\-И-\х\ ¿А ~ 2Ь«-»4-|1| в

Утверждение: Если существует сколь угодно малое е > 0, такое, что |+е ^ ¡3 < 1, то

Нш £(1,х)={ при с—► |х|+о ' ^ при х = 0.

В пункте 4.2.2 рассматривается случай обобщенного тела Зенера. В пункте 4.2.3 рассматривается случай общего определяющего соотношения вида (0.1.9).

Уравнение движения в этом случае имеет вид где операторы /о(^> Jj) и Pi(§-t, £:) те же самые, что и в (0.1.41),

Доказано, что если выполняются условия (0.1.10), то для оператора (0.1.42) справедливы утверждения 1, 2 и 3 пункта 4.2.1.2, утверждение 7 пункта 4.2.1.3 и утверждение 5' пункта 4.2.2.

В пункте 4.3 изучается уравнения движения для трехмерной дробной модели вязко-упругости.

Определяющие соотношения берутся в виде snW+b^D^Sijit) = 2G00eij{t)+2Gb^Daoeij{t), 0 < aG < 1, (0.1.43) okk(t) = 3Kekk(t). (0.1.44)

В этих формулах s,j(i) - девиаторная часть тензора напряжения aij; c,j(t) - девиатор-ная часть тензора деформации eij\ G = 2(i+v) ~ М0ЛУЛЬ сдвига; Gщ - длительный модуль сдвига; К = ~ М0ДУЛЬ сжатия.

Представим поле перемещения в виде it = gradip + roUj), где (р - скалярная функция координат (х1,х2,хз) и времени £, а - векторная функция координат и времени t.

При отсутствии внешних сил получим следукицую систему

-о = 0, i = 1,2,3 tpi = 0, i = 1,2,3 - компоненты вектора ^ . Явные выражения операторов gj) и

Даны формулами (4.3.17) - (4.3.22).

Для оператора gj) справедливо следующее утверждение

Утверждение : Оператор является гиперболическим в S' и сохраняет это свойство при произвольных малых вещественных возмущениях коэффициентов операторов и (jt> щ)' Если £3(f,x) фундаментальное решение оператора

Р™ (&>£)> то suppS3{t,x) С К = j («,*); t ^ и равенство £3(£,а;) = 0 не выполняется ни в одной окрестности произвольной тонки Аналогичное утверждение справедливо и для оператора

В пункте 4.4 рассматриваются конкретные примеры, когда для общего определяющего соотношения (0.1.9) нарушены условия (0.1.10).

Экспериментальные данные показывают, что если пользоваться моделью (0.1.9), то и а получаются почти равными. Во многих случаях вполне удовлетворительные результаты получаются если, считать /? = а (см.[127]). Основываясь на вышесказанном мы не будем рассматривать случай /? ф а.

Далее рассматриваются определяющие соотношения (0.1.8) и (0.1.22) т.е. элемент дробного исчисления и обобщенное тело Кельвина-Фойгта. В обоих рассматриваемых случаях нарушено условие Ь > 0 из (0.1.10).

При помощи теоремы Пэли-Винера (см.[2],[51]) доказывается, что уравнение движения в этих двух случаях не является гиперболическим.

В пункте 4.5.1 рассматривается вязкоупругий стержень конечной длины. Определяющее соотношение взято в виде (0.1.9). Рассматривается случай, когда один конец стержня закреплен, а к другому концу прикладывается периодическая нагрузка.

При выполнении условий

I ®и

Ч=о - Yt 0. t=0 решение поставленной задачи сводится к решению следующей задачи ' D2-0u = а20, 0 ^ х ^ Ц t > 0; и\ =0а lt=o dt t=о 0, при 0 ^ х ^ L; (0.1.46) k u(t, 0) = 0; a(t, L) = psincjf; при t > 0. Решение задачи (0.1.46) ищется в виде f± N /j4 . (2га— 1)7гх xK(t) х) = ¿JCn(t) sin 2LJ + — Ai. n=l

Далее применяются свойства дробной функции Грина и показано, что решение задачи (0.1.46) имеет вид u{t,x) = £ { Hit - ту-'Ь-м-, - т)2~Л х п=1 ^ L 4 '

D2~2ß sin итс1т\ sin Рп~1)пх} + ^xD-t sin cot. С использованием предельной теоремы для преобразования Лапласа получим lim u(t,x) = limsü(s,:r) = 0 t-YOO 4 ' S—»o v ' равномерно относительно x G [0, L\.

Пункт 4.5.2 посвящен задаче А.Н.Герасимова. В работе [16] А.Н.Герасимов изучал задачу о движении жидкости между двумя параллельными плоскостями, из которых одна неподвижна, а другая движется прямолинейно и параллельно первой по данному закону. Зависимость между напряжением и деформацией выражается формулой а = kD0e, 0<ß<l.

Иначе говоря "жидкость"представляет собой вязкоупругий материал, который подчиняется соотношению элемента дробного исчисления.

Пусть плоскость х = 0 неподвижна, плоскость х = I движется в себе по оси у по закону y{t,x) I =ф), <р{0) = v'(0) = О,

I х=1 где <p(t) - данная функция.

В работе [16] решается следующая задача f D2-^ = a2g y(t,x)\x=i = ф), <р{0) = у/(0) = 0, (0.1.47) y(t,x)\ío = 0, f?|t=0 = °

Задачу (0.1.47) можно решать тем же методом, что и задачу пункта 4.5.1, а именно решение задачи (0.1.47) будем искать в виде х / ч . ппх xtp(t) y(t, х) =22^(1) sin — + -ш. п=1

Решение задачи (0.1.47) имеет вид n=i L 4 ' (0.1.48)

D2t-^(t)cIt\ sin } +

Легко убедиться, что (0.1.48) совпадает с решением, полученным в работе [16].