О распределении значений коротких арифметических сумм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

На правах рукописи

Тимергалиев Ирек Саматович

О распределении значений коротких арифметических сумм

Специальность 01.01.00 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

2 0НСЯ 2014

Москва - 2014 005555525

005555525

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».

Научный руководитель: Бояринов Роман Николаевич,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Официальные оппоненты: Королев Максим Александрович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник (ФГБУН «Математический институт имени В.А. Стеклова Российской академии паук, отдел алгебры и теории чисел)

Авдеев Иван Федорович,

кандидат физико-математических паук, доцент (ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», физико-математический факультет) Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тульский государственный

педагогический университет» Защита диссертации состоится 26 декабря 2014 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84, созданного па базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова» (г. Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А).

Автореферат разослан 26 ноября 2014 года. Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84, созданного па базе ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова,, доктор физико-математических наук,

профессор Александр Олегович Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация относится к аналитической теории чисел. Одним из объектов её исследования является распределение значении сумм арифметических функций. Значения некоторых из них будут распределены по различным вероятностным законам (нормальному, показательному п др.).

Данные исследования были начаты в 1952 году Г. Давешюртом и П. Эрдешем1, которые доказали, что значения «коротких» сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону. Ю. В. Линник н Й. П. Кубнлюс2'3'4 продолжили исследования в этом направлении.

В. Н. Чубариковым5,6'7 в конце 90-х годов были поставлены задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм, таких как коротких сумм Гаусса, аналогов сумм Клостермана, сумм характеров Дирихле по простым числам, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по «сдвигам» интервалов суммирования. В решении этих задач приняли участие Э. К. Жимбо, Р. Н. Бояринов, II. С. Нгонго и др.

В 2001г. Э. К. Жимбо и В. Н. Чубарпков0'7 получили асимптотическую формулу четных моментов аналогов сумм Клостермана с остатком вида О (¿). Также Э. К. Жимбо8 показал, что для неполных сумм Гаусса M£2r = r\+0 ^ +0 (j^j +

оШВ 2002г. И. С. Нгонго9 при исследовании сумм характеров абслевых групп показал, что М^,2,'' = г! + О (^j . Для короткой показательной рациональной три-

'Davexport Н., Erdös P. The distribution of quadratic anil higher residues. Puhl. Math.. Debrecen. 1952. 2. \=3 - 4. 252 - 205.

2Кувилюс П. П., Линник IO. В. Арифметическое моделирование броуновского движения. Изв. вузов. Математика. 1959. 0(13). 88 95.

'Кубилюс II. П. Вероятностные методы в теории чисел. Госполитнаучпздат Лптов. ССР, Вильнюс. 1062.

"■Кубилюс П. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций. Литов. матеы. сб. 5, .Y-2. 1905. 201 272.

"Бояринов Р. Н., Чувариков В. Н. О распределении значений функции на последовательности Фибоначчи. ДАН. 2001. Т.379, .VI. С.9 11.

"Жимбо Э. К.. Чувариков В. II. О распределении арифметических функций по простому модулю. Дискретная математика.2001. Т.13, выпуск 3. 32 41.

7Жимво Э. К., Чувариков В. Н. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций. Докл. РАН. 2001.377. \'2.

'Жимбо Э. К. О распределении значении модулей неполных сумм Гаусса. Вестнпк Московского Университета. Сер. Математика. Механика.2001. №2. C.G7-G9

"Нгонго II. С. О распределении значений коротких сумм. Диссертация кандидата физ.-мат. паук. Москва. МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф т. 2002.

гонометричсской суммы по «сдвигам» интервалов суммирования он получил, что

Me = r! + 0(¿)+0(£).

В 2004г. Р. Н. Бояринов10 показал, что для аналогов дзетовой суммы М£2г =

Важной задачей прн исследовании арифметических функций является проблема оценки скорости сходимости к предельному распределению. Р. Н. Бояриповым11'12 был предложен метод решения этой проблемы с использованием только асимптотических выражений для четных моментов.

В 1960 году А. Г. Постников1-1 вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Мпнеев14'15'16 и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лакунарных тригонометрических рядов, были проведены Р. Форте17, М. Кацем18,10, А. Зигмундом20, И. А. Ибрагимовым21,

10бояринов Р. Н. О распределении значении аналога дзетовой суммы. Вестник Московского Университета. Сир. Математика. Меха1шка.2(Ю4. .V3. С.55-50.

"бояринов P. II. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435, №3. С.295-297.

12Бояринов Р. Н. Вероятностные методы и теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Рнмана. Диссертация доктора физ.-мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф-т. 2012.

"ПОСТНИКОВ А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме. ДАН СССР, 19G0. 133. Л'=6.

14Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Успехи матем. паук 1959. 14. ». 3, 109 - 171.

1оМинеев N1. П. Диофаптово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодггтескои суммы. Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 - 298.

16минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций. Мат. сб. 1958. 46(88). .\s4 451 -454.

17Fortet R. Sur une suite également repartie. Studia math., 1940. 1. 54 - 09.

18Kac M. Statistical independence in probability and analysis and number theory. N. Y., 1952.

"КЛС M. On distribution of values of sums of the type £ /(2fcf). Aim.Math. 1946. 47. №1. 33 - 49.

2"зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. II, M., ИЛ, 19G4.

21Ибрагимов И. А. Центральная предельная теорема для сумм функций ¡«зависимых случайных величин и сумм вида "£,f{2kt). Теория вероятностей и ее применения, 1967. 12, вып. 4, 655 - 6G5.

B. Ф. Гапошкиным22-23, В. Н. Чубариковым5'24, Р. Н. Бояриновым25''26'27 и др.

Цель и задачи исследования

Получение асимптотических формул дробных моментов коротких арифметических сумм, оценка скорости сходимости к предельному распределению и меры больших значений для различных коротких арифметических сумм. Получение асимптотической формулы распределения абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах.

Методы исследования

В работе применяются методы аналитической теории чисел, теории вероятностей и математического анализа.

Научная новизна

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Доказаны асимптотические формулы дробных моментов аналогов сумм К.пос-термана, сумм характеров абелсвых групп, неполных сумм Гаусса, аналога дзетовой суммы, короткой показательной рациональной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования.

2. Получена оценка скорости сходимости к предельному распределению и оценка меры больших значений различных коротких арифметических сумм.

22ГЛГЮШКИН В. Ф. О скорости приближения к нормальному закону распределений взвешенных сумм лакунарпых рядов. Теория вероятностей и се применения, 19G8. 13, bi.iii, 3, 445-4G1.

23Гапошкин В. Ф. О центральной предельной теореме для некоторых слабо зависимых последовательностей. Теория вероятностей и ее применения, 1970. 15. вып. ■ >, GGG G84.

24Боягинон P. II., Пгонго И. е., Чубариков В. II. О новых метрических теоремах в методе А.Г. Постникова. Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Труды IV Межд. Конф. Тула, 2002,

C.5-31.

25Б0ЯРШЮВ Р. Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей. Вестник МГУ. Сср.1, мат. мех., 2001. JV-5, 52 -54.

2Г'Б0Я1>ИН0В Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями. Вестник МГУ. Сср.1, мат. мех., 2003. .\«2, 57-58.

27Боягинов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы. Дискретная математика. 24:1, 2012, С. 20-29.

3. Доказаны теоремы о распределении абсолютных значений тригонометрической суммы с лакунарной последовательностью натуральных чисел на коротких интервалах.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел и могут найти применение в различных её разделах.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и всероссийских и международных конференциях:

1. Семинар «Аналитическая теория чисел» под руководством профессора В. Н. Чубарикова и профессора М. П. Минеева. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова (2014 г.).

2. Семинар «Арифметические функции» под руководством профессора В. Н. Чубарикова, доцента Р. Н. Боярниова и доцента С. Н. Преображенского. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова (2011— 2012 гг.).

3. XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы п приложения». Саратовский государственный университет имени II. Г. Чернышевского, г. Саратов, 9—14 сентября 2013 г.

4. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л. А. Калужина. г. Нальчик 6—11 сентября 2014 г.

5. XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». МГУ имени М. В. Ломоносова, г. Москва, 12—15 апреля 2010 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора, список которых приведён в конце автореферата [1—5]; из них первые две — в журналах, включенных Высшей аттестационной комиссией России в список изданий,

рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации па соискание ученой степени кандидата и доктора наук.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, насчитывающего 100 наименовании. Объём диссертации составляет 75 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации содержится обзор результатов, относящихся к теме диссертации, а также формулируются основные полученные в ней результаты.

Первая глава «Моменты арифметических сумм» посвящена асимптотическим формулам четных и дробных моментов арифметических сумм.

В §1 рассматриваются аналоги сумм Клостермана. Пусть р — простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму

зд = 5>w/p.

где h = hip, а суммирование ведется по простым числам (/, и <f определяется из сравнения

qq* = l(mod р).

Для того, чтобы в дальнейшем провести теоретико-вероятностную аналогию, положим Z = 7г(Л.) И

ад

и*) =

Получена формула четных моментов с явно выписанными постоянными в остаточном члене и зависимостью от порядка момента.

Теорема 1. Пусть £,,(ж) — величина, определенная выше. Тогда для 1 < г < у/г имеет место асимптотическая формула

(2

1 + ег—

где |0| ^ 1.

На основании теоремы 1 и метода, предложенного Р. Н. Бояриновым12,28, полу-

8Бояринов Р. Н. О дроГших моментах случайных полнчнн. ДЛИ.2011. T.'13G. №3. С.290—301.

чсна формула дробных моментов.

Теорема 2. Пусть £,р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Ра, что для любого р > ра и 0 < а ^ 1п1пр справедливо равенство

т„(р) - Г(0.5а + 1) + 0П,„

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1 и

Rp =

Ru 0 < а < 30;

Т?2, 30 ^ а ^ ¿х/ЕТгГр;

¿v^üTnp < а ^ 5? Ыпр,

R3 = 23 • Г (§ + 1) ехр .

Параграф 2 посвящен суммам характеров абелсвых групп. Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп Gn, таких что lim sn = со,

11—»oo

где ,ч„ — количество примарных циклических подгрупп в разложении группы G„,

и величину вида £„(х) = ~k= J2' х{а) > гДе штрих у суммы означает, что сумми-

" о£С„

ровапие ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы Gn, а х — характер абелевой группы Gu. Обозначим через Dn порядок группы Gn.

Получена формула четных моментов с явно выписанными постоянными в остаточном члене и зависимостью от порядка момента.

Теорема 4. Пусть £n(x) ~ величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ имеет место асимптотическая формула

ме = г! fl + 0-V

где \в\ ^ 1.

На основании теоремы 4 п метода, предложенного Р. Н. Боярпповым12'28, получена формула дробных моментов.

Теорема 5. Пусть £„(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое

п0, что для любого п> п0 и 0 < а ^ ^ Ьтв,, справедливо равенство:

та(п) = Г(0.5а + 1) + где. Г(-) — гамма-функция Эйлера, ^ 1 и

Яп =

Дь О < а < 30;

ЯЛ = 2-

Л2271111п,чЛ "

а ^ 1пя„ ) >

Я2 = 27 • Г (| + 1)

Д3 = 23 • Г (§ + 1) ехр .

В §3 рассматриваются неполные суммы Гаусса. Пусть р — простое, с — целое, (с-р) = 1, числа Л и х целые в пределах 0 < Н < р и 0 < х < р, а \(п) — комплексный характер по модулю р. Пусть

х+Л

5,.Ох) = ]Г х(п) ■ е2-"'/".

71—.Г + 1

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину

Бн{х)

£ = =

у/П

Получена формула четных моментов с явно выписанными постоянными в остаточном члене и зависимостью от порядка момента.

Теорема 6. Пусть £р(х) - величина, определенная выше. Тогда для 1 < г < \/К имеет место асимптотическая формула

.г2 . г!2 . 2гК_

у/Р

МСТ = г! + 0 ( г!- + — +

где |0| «С 1.

Для к = [1пр] на основании теоремы 6 II метода, предложенного Р. Н. Боярнно-вым12,28, получена формула дробных моментов.

Теорема 7. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое

Po, что для любого р>р0иО<а^^ In In In р справедливо равенство:

та(р) = Г(0.5а + 1)4- 9RV, где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ я

Rp = <

Ru О < а < 30;

R-2-) 30 < а ^ jijVlnlnlnp;

R}, 2521/liilninp < а ^ ф lnlnlnp;

о _ 210 ^226 In In In In Л 2~ 11 а ^ In In In р J '

R'2 = 27 • Г (| + l)

\2 /I lain lap

R, = 23 • Г (f + 1) exp

В параграфе 4 изучается аналог дзетовой суммы Sk{x;T) = J2 e2wixTlup. Рассмотрим нормированную случайную величину £(х) = | Sh<^"> |, где р — простое, г = 7т(/г) — число простых чисел, не превосходящих h = h(T), lim h = +oo и lim M = 0.

Г-»+оо ln 1

Улучшены известные остатки для формулы четных моментов рассматриваемой величины.

Теорема 8. Пусть — величина, определенная выше. Тогда для I ^ г ^ sfz имеет место асимптотическая формула

ше = г\+в.[ — + Тг1

где \0\ ^ 1.

Для /г = 1пТ на основании теоремы 8 и метода, предложенного Р. Н. Боярино-вым12,28, получена формула дробных моментов.

Теорема 9. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Т0, что для любого Т > Т() и 0 < а ^ ^ lnlnT справедливо равенство:

та(п) = Г(0.5а + 1) + 0Rm,

где Г(-) гамма функция Эйлера, \0\ ^ 1 а

RT =

Ri, 0 < а < 30;

Д2, 30 «С я < ^rv/lnliiT;

R3, < а < In In Т;

221Vln(

Я2 = 27 - Г (| + 1) v

Дз = 23 • Г (§ + 1) ехр .

В §5 рассматривается короткая показательная рациональная тригонометрическая сумма по «сдвигам» интервалов суммирования.

Рассмотрим сумму вида Sp(x\ h) = е2т~ и нормированную случайную

величину = где р — простое, (а,р) = 1, g — первообразный корень по

модулю р, а числа x,n,a,h — натуральные, х < р. Также hgk < р и lim h{p) =

с

+ 00.

Получена формула четных моментов с явно выписанными постоянными в остаточном члене и зависимостью от порядка момента.

Теорема 10. Пуат> £(х) — величина, определенная выше. Тогда существует такое р\, что Оля всех р ^ р\ и для 1 ^ г ^ имеет место асимптотическая фор.мула

= г! ( 1 + 0

„9 • 4Г

где \9\ ^ 1.

Для к = [^/1ир] +1 на основании теоремы 10 и метода, предложенного Р. Н. Бо-яриновым12,28, получена формула дробных моментов.

Теорема 12. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Ро, что для любого р> ро и 0 < а ^ ^ 1п1п/) справедливо равенств о:

та[р) = Г(0.5о + 1) + ORp

где Г(-) гамма функция Эйлера, ^ 1 и

Дь 0 < а < 30;

Д2, 30 < п < ¿лДПпр;

Я3, 1пр <а < £ 1111пр;

ч ^

о _ 2'° / 228Ып1]]р) 2 — а ^ 1п1ир ) '

2 ^ V ^ Ыпр

Лз = 23 • Г (| + 1) ехр .

Во второй главе «О распределении значений арифметических сумм» решается проблема оценки скорости сходимости к предельному распределению. Кроме того, получены оценки мер больших значений.

В §1 рассматриваются аналоги сумм Клостермана. Пусть р — простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму

,2ж1:Г<(* /р

где /г = 1пр, а суммирование ведется ио простым числам д, п д* определяется нз сравнения <у</* = 1(шо(1 р).

Обозначим через ц меру больших значений суммы Зр(х), где ¡1 = ^ и V = : |5р(х)| ^ А-^/г} — количество х, для которых выполняется неравенство в скобках. Доказана следующая теорема.

Теорема 13. Для меры /х больших значений суммы Зр(х) выполняется неравенство

[I < 6 ■ е

Положим 2 = тг(/г) и £р(х) = • Доказана следующая теорема о скорости

сходимости к предельному распределению.

Теорема 14. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Ро, что для любого р > ро справедливо равенство

^(А) = 1 - е"л2 + Д,,,

где ^р(Л) — функция распределения величины £,р{х) и |ЯР| ^

В §2 рассматривается бесконечная последовательность конечных абелевых групп Gn, таких что lim sn = оо, где sn — количество прнмарных циклических подгрупп в разложении группы Gn, и величина вида Sn(\) = ,\(я), гДе штрих

у суммы означает, что суммирование ведется но образующим прнмарных циклических подгрупп в разложении группы Gn, а \ ~ характер абслевоп группы Gn. Обозначим через Dn порядок группы Gn.

Пусть /l — мера больших значений суммы Sn(x). Здесь /i = -jy-, где v = 4f{x : |5„(х)| ^ — количество для которых выполняется неравенство в скобках.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 16. Для меры ц больших значений суммы Sn(x) выполняется неравенство

ß < 3 • е

Пусть £„(х) =

^Е'х(а)

аес„

. Доказана следующая теорема о скорости сходи-

мости к предельному распреде/ сшпо.

Теорема 17. Пусть £„(х) ~ величина, определенная выше. Тогда найдется такое щ, что для любого п > щ справедливо равенство:

А) = 1 - е"А2 +

где Рр(\) - функция распределения величины. £„(х) и |-Кп| ^ 32"'"•

В §3 рассматриваются неполные суммы Гаусса. Пусть р — простое, с -- целое, (с;р) = 1, числа Н и х целые в пределах 0 < Н < р и 0 ^ х < р, а х(п) ~ комплексный характер но модулю р. Пусть

ЗД = £ Х(п) ■ е2""'"/''.

71=1+1

Обозначим как /4 меру больших значений суммы Б^х). Здесь ц = р где у = #{х '■ |5л(ж)| ^ \\fTi) — количество х, для которых выполняется неравенство в скобках. Доказана следующая теорема о мерс больших значений суммы Б^х). Теорема 18. При А > 0 для меры ¡1 больших значений суммы 5/,(.г) верно первенство

_ 2Л

¡1 < 15 • е

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину £р(х) = • Для

h = [lnp] доказана теорема о скорости сходимости к предельному распределению. Теорема 19. Пусть £р(ж) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Ра, что для любого р > ро справедливо равенство:

Fp(А) = 1 - е"А'2 + Др,

где Fp(X) функция распределения величины £р(х) и |Д;,| < •

Параграф 4 посвящен аналогу дзетовоп суммы Sh(x;T) = e2rrtxTlni> п норми-

p^h

ровациои случайной велнчнне £(х) = 5,1 , где р — простое, lim h = +оо Ii

I Т—>+оо

^lim — = 0. Оценим меру //, больших значений суммы 5/,(х). Здесь //, = meas{x €Е (0; 1) : |SV,(:e)| ^ Л\J~z\ — мера ж, для которых выполняется неравенство в скобках, где г = 7r(/i) — число простых чисел, но превосходящих h = h{T). Доказана следующая теорема.

Теорема 20. Для меры fi больших значений суммы Sh(x) выполняется неравенство

_Л2

р < 9 ■ е

Для h = [In Т] доказана теорема о скорости сходимости распределения значений. Теорема 21. Пусть £(:с) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое То, что для любого Т > То справедливо равенство:

F{А) = 1 - е~д2 + RT,

где F(А) — функция распределения величины £(.х) и |Дг| ^ Т.

В §5 изучается короткая показательная рациональная тригонометрическая сумма по «сдвигам» интервалов суммирования Sp(x; h) = Y1 еи нормиро-

X^n^X + ll

ванная случайная величина = где р — простое, (а,р) = 1, <j — пер-

вообразный корень по модулю р, а числа х, п, натуральные, х < р. Также

lim h(p) = +00 и hgh < р.

Мера ц больших значений суммы Sp(x) определяется как д = где v = #{х : l'Sj'C2-)! ^ AvTi} — количество ж, для которых выполняется неравенство в скобках. Доказана следующая теорема.

Теорема 22. Для меры ¡л больших значений суммы выполняется нера-

венство

у, < 3 • е ^.

Для /1 = [\Лпр] + 1 доказана теорема о скорости сходимости распределения значений.

Теорема 23. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется такое Ро, что для любого р > р0 справедливо равенство:

^(А) = 1 - е^2 + Яр,

где -Рр(А) — функция распределения величины и |ДР| ^ ^^Ыпр"''-

В третьей главе «О распределении абсолютных значений специальной арифметической суммы» изучается поведение тригонометрической суммы с с быстрорастущими функциями на коротких интервалах.

2*

Пусть За.ъ = J е

а хЦР

„2-xinFj

da, где Fx — лакунарная последовательность, то

р

есть -¡Р- ^ ¡3 > 1; Fx, т Е Z п существует такое А > 0, что Fx А/эх.

Доказаны следующие утверждения. Теорема 25. Пусть Fx — последовательность натуральных чисел, такая что ^r1 ^ ¡3 > 1, к — фиксированное натуральное число, Р — растущее натуральное

число. Положим Т = max ^ '"(¿^ + 1, Т0 ^ , где TQ £N«^<(1- 1//3)2. Тогда

при 2k2T ^ Р и Ъ — а ^ имеет место равенство

Л,б = (Ь - а)к\Рк + {Ь- а)в2сдк\ТРк~1 +

+Ш2 ((7 + 1)скк\Pk~l + 2ckk\ClTPk~l) hi Р + A0ickk\Pk~l hi Р,

Следствие 1. Если b — а ^ -57=7, где 0 < £ < 1 и 2к2Т ^ Р, то им.еегп место

А/, , а14^(7 + 1)'Т

р

равенство

Jab = (Ь~ а)к\Рк ( 1 + где \0\ ^ 1.

Следствие 2. При Ь — а ^ имеет место следующее неравенство: Л,ь < (Ь - а)скк\Рк (27 + 4Т + 5).

Доказательство этих утверждения существенно опирается па следующую оценку числа решений несимметричного диофантова уравнения.

Теорема 24. Пусть Рх — лакунарная последовательность натуральных чисел, такая что ^ /9 > 1, Рх ^ А/Зх, к — фиксированное натуральное число, т € Ъ и т ф О, Р — растпущсс натуральное число, Тт — количество решений диофантова уравнения

— Р,п 4- ... + РУк + гп в целых числах 1 ^ Х{, у^ ^ Р. Тогда верно неравенство

Тт < (7 + 1)скк\Рк~х + 2скк\С1ТРк~1,

где 7 = Т =

+ С — /~1> С1 _ 2А' С2 — xfV 34 — 2 /*)

4Ä)

ln/i

hiß + 1.

Положим Sp(a) = е2жшРг. Оценим меру ß больших значений суммы Sp(a).

Здесь ß = j^, где и = meas{a £ (а; Ь) : |5^(а)| ^ \у/Р} — мера а, для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 26. Для меры ß больших значений суммы Sp(a) при b — а ^ ^ верно неравенство

ц < 3(27 + 4Т + 5) - е-^,

где со = -jzj, 7 — из теоремы 24 иТ — из теоремы 25.

Рассмотрим случайную величину £ = | | ■ Теорема 27. Если длина отрезка Ь — а ^ pjrr, где 0 < г < 1, то найдется такое Р{), что для любого Р > Pq справедливо равенство

v е m р

где Fp(Л) (функция распределения величины с константа из теоремы 25 и Т] = 31п (с(7+ 1)).

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю доценту Р. Н. Боярн-иову за постановку задач и внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Тимергалиев И. С. О распределении значений аналогов сумм Клостермана// Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 2013. №5. С. 37-41.

[2] Тимергалиев И. С. О распределении значений сумм характеров абелевых групп

и коротких показательных сумм// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) Краснодар: КубГАУ, 2014. №04(098). С. 769-782.

[3] Тимергалиев И. С., Бояринов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах// Чебышевский сб., 14:2 (2013), С. 154-103

[4] Тимергалиев И. С., Бояринов Р. Н. О распределении значений неполных сумм

Гаусса//Чебышевский сб., 14:3 (2013), С. 127-133

[5] Тимергалиев И. С. О распределении значений аналогов сумм Клостермана//

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. XI Межд. Конф. Саратов. 2013 С. 80

В работах [3], [4] И. С. Тимергалневу принадлежат основные результаты, Р.Н. Бояринову принадлежат постановки задач и общая редакция работ.

Объем: 0,7 п л. Тираж: 100 экз. Заказ № 422 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; wvvvv.reglet.ru