Простые числа и средние значения функции Чебышева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 о»

- ? ОМ «86

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННА УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математическии факультет

На правах рукописи УДК.511

РАХМОНОВ ЗАРУЛЛО ХУСЕНОВИЧ

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ЧЕБЫШЕВА

01.01.06.- математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико математических наук

Москва - 1996

-В

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел механико-математического факультета Таджикского Государственного университета.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Н.М.Тимофеев,

- доктор физико-математических наук, профессор М.П.Минеев,

- доктор физико-математических наук, профессор Г.И.Архипов.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова

16 часов 05 минут на заседании диссертационного Совета Д.053.05.05 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Воробьевы горы, Москва, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук,профессор

года.

В.Н.Чубариков

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуются проблемы аналитической теории чисел, относящиеся к теории простых чисел: распределение значений характеров Дирихле в арифметических последовательностях специального вида, их приложения для оценки тригонометрических сумм с простыми числами и вывода асимпотики для числа решений некоторых уравнений и сравнений с простыми числами.

Цель работы. Получение новых оценок для средних значений функций Чебышева по всем характерам Дирихле данного модуля и по всем примитивным харак т ерам Дирихле, модуль которых не превосходит заданной величины.

Получение оценки для плотности нулей дзета функции Римана,лежащих в коротких прямоугольниках критической полосы.

Исследование поведения тригонометрических сумм с простыми числами, в том числе переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов.

Сведение задачи об асимптотической формуле в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми к оценке плотности нулей ь-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Изучение распределения чисел Харди-Литтлвуда в коротких арифметических прогрессиях.

Методика исследований. В основе наших исследований лежат метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, метод решения мультипликативных тернарных задач А.А.Карацубы, круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова,

метод большого решета, метода -функции Дирихле, метод вывода плотностных теорем А.А.Карацубы, метод экспоненциальных пар, методы Ю.В.Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей -рядов Дирихле в критической полосе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы при решении аддитивных проблем теории простых чисел, проблем средних значений арифметических функций, в теории оценок специальных тригонометрических сумм, в том числе, коротких сумм, в теории распределения нулей рядов Дирихле.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по аналитической теории чисел под руководством профессора А.А.Карацубы в МГУ(1989-1996); на семинаре по теории чисел под руководством профессора Архипова Г.И.и профессора Чубарикова В.Н.в МГУ(1989-1995); в отделе теории чисел МИ им.В.А.Стеклова; на семинаре кафедры алгебры и теории чисел Таджикском госуниверситете; на Всесоюзной конференции "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел"(Минск,1989); на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.М.Виноградова (Москва,1991); на международной конференции "Современные проблемы теории чисел" (Тула,1993);на международной конференции, "Современные проблемы математики и механики" посвященной 175-летию П.Л.Чебышева(Москва,1996).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Объеи работы.Диссертация изложена на 144 стр. и состоит из введения и пяти глаЕ. Библиография 124 наименования.

II.СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Функцией Чебышева называется сумма

Ф(У.Х)=£ Л(п)х(п), п<у

где %-харакгер Дирихле по модулю ч, Л(п)-функция Мангольдта.

При решении ряда проблем теории простых чисел возникает вопрос о поведении средних значений функций Чебышева по всем характерам Дирихле. В круг таких проблем входят: оценка тригонометрических сумм с простыми числами, в том числе коротких тригонометрических с сумм простыми числами, распределение чисел Харди-Литтлвуда в арифметических прогрессиях, тернарная проблема Гольдбаха с почти равными слагаемыми, распределение простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем.

В данной диссертации мы изучаем эти проблемы, используя поведение средних значений функций Чебышева и теорему о плотности нулей дзета функции Римана в коротких промежутках критической полосы, которая тесно связана с оценкой коротких тригонометрических сумм с простыми числами.

Первая глава посвящена оценкам сверху величин

тах|ф(у,%)|;

X тойч

X

где <р(д)-функция Эйлера, ^-означает, что суммирование ведется по всем примитивным характерам Дирихле модуля д.

Напомним коротко о методах исследования этих величин и тех приложениях, которые получаются из оценок сверху Ь(х^), Т(»;;0) и Мж;<1.уД).

И.М.Виноградов[1] в 1937г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. В частности он доказал следующую теорему, которая стала называться "оценкой Виноградова линейной тригонометрической суммы с простым числам":

Если. , и н=е"°'57^7Г^, тогда

справедливы оценки

Полученная оценка для Б(а,ж), в соединение с теоремами о

распределении простых чисел в арифметических прогрессиях,

позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде

№=Р1+Р2+Рэ'

из которой следует проблеми Гольдбаха.

Ю.В.Линник[2] исследовал средние значения функции Чебышева для вывода нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Он с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда[з], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха,и плотностных теорем для нулей Ь-рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с

простыми числаш. Тем самым Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы М.М.Виноградова о трех простых числах(проблема Гольдбаха).

Н.Г.Чудаков[4] также предложил подобный метод исследования линейных тригонометрических сумм с простыми числами с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой, в свою очередь,основывается на распределении нулей ъ-рядов Дирихле в критической полосе.

А.А.Карацуба[5] разработал метод решения мультипликативных тернарных задач и,в соединении с методом И.М.Виноградова-оценок сумм с простыми числами, оценил самый простой случай величины М*^). Следствием этой оценки является теорема о распределении чисел вида р(р'-нх) в коротких арифметических прогрессиях.

В 1989 г. автор, опираясь на метод А.А.Карацубы, элементарно доказал, что

^^«(^'"У'2*^2)*6 (2)

Этим же методом Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо[6] доказали, что

Следствием последней оценки является теорема Бомбьери-Виноградова о распределение простых чисел в арифметических прогрессиях в "среднем", на возможность получения которой этим методом было указано А.А.Карацубой в [5].

Г.Монтгомери[7], пользуясь своей плотностной теоремой о нулях ь-рядов Дирихле, доказательство которой опирается на метод большого решета, доказал, что:

X/ 1 /_, 3/7 5/7 , \ Аа /14

Ь(х;ц)«(Х+х д)<Г , (3)

Этот результат уточнил Р.Вон[8]. Он, с помощью метода большого решета в варианте Галлахера и специального представления логарифмической производной ь-функции, доказал, что

т/ л1 . Э/в , 1/2-2 „7/2

+х 0 '£ +х о £ (5)

Оценки (4) и (5) являлись наилучшими из всех перечисленных оценок для величин и т(=е;а).

Основными результатами главы I являются теоремы 1.1, 1.2 и 1.3.

Теорема 1.1. При. илеет жеста оценка

Л-х'* ц?* . (6)

Заметим, что эта оценка точнее чем (4) при

2/5 ,1/3 2/3 ,-5/3

X Г I ,

а для остальных q совпадает с (4) с точностью до множителя, равного некоторой конечной степени г.

Теорема 1.2. Пусть 0^1 , тогда справедливо неравенство

Кх^^+^'^и^с?** (7)

гае <==34, еслий^/х^и с=3,5 6 противнол случае.

Заметим, что эта оценка точнее чем (5) при

а при остальных о совпадает с (5) с точностью до множителя, равного некоторой степени х.

Теорема 1.3. Пусть х1Уг<у<х, \\\<х/у2, l<q<ж/у,

в-лобое фиксированное положительное число, 5<10"в.

%

Тогда справедлива оценка

, , , , . , З/Ю 1/2, ,33, , 1/2 1/3 1/2,. .1/3 . S

t(a:;q,yA)«(y+a: у К + (ф* +х У |Л| q)* .

Утверждение этой теоремы совпадает с утверждением теоремы 1.1 с точностью до множителя, равного хе если * и у имеют равные порядки и |Л|<1/%.

При доказательстве теорем I.I, 1.2 и 1.3 исползуются: метод А.А.КарацуСы решения мультипликативных тернарных задач в сочетании с новым аналитическим вариантом метода И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, метод работы Н.М.Тимофеева[9], в которой он исследует распределение арифметических функций в коротких интервалах в среднем по прогрессиям, с применением теоремы Г.Монтгомери[71 о четвертом моменте L-рядов Дирихле и теоремы М.Ютилы[Ю] о четвертом моменте L-рядов Дирихле в коротких интервалах критической прямой

Методом, предложеным в доказательствах теорем I.I - 1.3, можно исследовать средние значения арифметических функций типа

^ г(п)х(п),

п<х

где в качестве f(n) можно взять функцию ц(п)-Мебиуса, тг(п)-число представлений п в виде произведений г - сомножителей и другие.

Вторая глава диссертации посвящена плотностной теореме для нулей дзета функции Римана в "коротких" прямоугольниках критической полосы.

Пусть и(а,т,х)-число нулей р=р+±7 ь-функции Дирихле в области Нез^с£0,5, Если % главный характер тогда

и(а,т,х)=Г1(а,т)-число нулей дзета функции Римана в указанной области.

Оценки вида

п(а,т)«та(1~а)гл.ст, (8)

с положительными абсолютными постоянными а- и с называются плотностными теоремами.

Наилучшая плотностная теорема принадлежит М.Хаксли[11]. Он доказал (8) о а=2,4 и с=244. А.А.Карацуба[12] дал новый вариант доказательство теоремы И.М.Хаксли.

Впервые проблему распределений нулей дзета функции Римана в коротких промежутках критической полосы исследовал

а

А.Сельберг[13]. Он доказал, что если ЩЯ , 6>0,5; 0,5<а^1, то справедлива оценка

к(а,г+н)-ы(а,т)=о[5Г§-5] (9)

В этой работе А.Сельберг высказал гипотезу, что условие 6>0,5 в (9) может быть заменено условием 0>ае, эе<0,5-А.А.Карацуба[14] доказал эту гипотезу: соотношение (9) имеет место при

н>т9, 6= Ц = 1 - . НеаШ-Вгото1[15 ], с помощью своей теоремы о четвертом моменте

дзета функции Римана на критической прямой, доказал, что если зедлива оценка

и(а,т+н)-ща,т)«н2'4(1~а)(глт)21'4

то справедлива оценка

В 1989 г. гиап Тао[1б] доказал, что

Пт ЦС1-") 21в М(а,Т+Н,%)-и(а,Т,х^«(дН) (^Т) ,(10)

%

при условие н>т1"'3+е

Основным результатом главы 2 является теорема 2.1 Теореиа 2.1. Пусть (к,\)-произволъпая экспоненциальная пара, е-любое фиксированное положительное число, не превосходящее 0.000С справедлива оцеша:

превосходящее 0,00001, 0=9(к,Л.)=-2^-, Н>т9+е, Тогда

:м(а,Т+Н)-11(а,Т)«

2ро

Н Ъ , еслиае(2/3,5/6),

7 =о

Н Г , еслипе(2/3,5/6).

Из работ [17,18] следует, что

Отсюда и из теоремы 2.1 получаем.

Следствие 2.1.1. При 0,5^0^1, Н>Т7'"22+6 илеет лесто оценка

Л*1'01) =о

на,ам-н,н)-и(а,т)«нг х.

Полученный результат является усилением плотностной теоремы гИап Тао при а=1.

При доказательстве основной теоремеы мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы [12,14,19], в которых, соответственно, доказаны: плотностная теорема Хаксли; гипотезы Сельберга о нулях дзета функции Римана на критической прямой и в ее окрестности; вариант теоремы Харди-Литтлвуда-Виноградова-Корпута о замене тригонометрической суммы более короткой.

Третья глава посвящена оценкам тригонометрических сумм с простыми числами, в том числе таких у которых переменная суммирования принимает значения из коротких интервалов.

С помощью своих неэлементарных оценок для t(%;q)-(3),(4) Г.Монтгомери[7] и Р.Вон[8] вывели соответствующиеоценки для линейной тригонометрической суммыспростыми числами. Однако они слабее оценки (1) И.М.Виноградова, доказательство которой проводится элементарным методом. Сформулируем результат Р.Бона:

Если |a-a/q|<q~2, (a, q)=i, то илеет лесто оценка

_,/_ , , -1/2, 7/8 -I/O, 3/* 1/0 , 1/2 1/2. 7/2

S(a;«)«(%q -Не q +х q +х q Если же 1 , Tjíq^xT)"1, (a,q)=i, |a-a/q|$2T)/(qx), тогда

S( a,x)<o¿rfly2¿* (11)

Во втором параграфе главы 3 из нашей оценки (6) для t(%;q), доказательство которой проводится аналитическим методом, для S(a,a;) выведена оценка М.М.Виноградова. Причем множитель хе в (1 ), заменяется на некоторую степень логарифма от xq:

Теорема 3.1. Пусть (a.,q)=i. Тогда справедлива оценка

п / / \ -1/2 fi , */3 -35 , 1/3 1/2 -35

S (a./q,a£)«3cq l +х i -hx q с

Следствие 3.1 Л. Пусть |a-a/q|$q"z, (<>-,q)=i, тогда илеет лесто оценка

о ! „ \ ! -1/2 , */5 , 1/2 1/2 . ,35

S(a,x)«{xq -hx q )Г

Следствие 3.1.2. Пусть 1§г]$е2/=, T¡Cq<^r¡~2, |a-a./q|^q~2, (a,q)=i. Тогда справедлива оценка

Эта оценка является уточнением (11) при х1'3« т) « хгу*.

В параграфе 2 главы 3 изучаются тригонометрические суммы с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов,т.е. суммы вида

S(a,x,y) = ^jUn)e(an), х-у<п<х

где у<х и a-вещественное число. Как это было отмечено выше, такую сумму впервые оценил И.М.Виноградов [1]. Применяя свой метод оценок сумм с простыми числами,он доказал:

Если h-произволъное лалое положительное постоянное <1/6 и. |a-a/q|<q~2, (a., q )=1 , 1 ШО

2 + h i/Z

ÍIXifVX - -—■ .

з(а,*,у)«у(*~)'Л,1*м "[-^-ь^ j (12)

Оценка (12) становится нетривиальной, если

ехр(о {¿n¿nx)z )«q«>s1''3 , у>х2/31'е.

В этой работе М.М.Виноградов подчеркнул, что для малых q(q<exp(¿n*)8, 8-правильная дробь, немногим превосходящая 0,5) весьма точные оценки суммы s(a;*,y) являются непосредственным следствием известных теорем, относящихся к распределению простых чисел в арифметических прогрессиях, но только при условии, если у есть величина порядка близкого к ж и a-рациональное число вида <г/q, где (a.,q)=i. Для величин у, порядок которых меньше порядка »(т.е. у=х , 9<1), и произвольных а вопрос был открытым.

В 1951 г. Haselgrove С.В. [20] получил нетривиальную оценку суммы S(а;*,у) при произвольном а и

В 1955г. В.Статулявичус[21] получил нетривиальную оценку

более коротких сумм,именно сумм с

г7р/зоа+6

У=*

В 1Э89 г. Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо[22] доказали нетривиальную оценку для Э (а*,у) при

Затем Ла (Жао-Каи, исследуя сумму 3(а;=*,у) аналитическим методом для малых q (ц^ехр(о г^пх)2), последовательно в двух работах [23,24] получил нетривиальную оценку суммы 3(а*,у), соответственно, для

1Э/17+Р 2/3 +в

у=х ; у=х

И, наконец, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо[25] доказали, что если с произвольная положительная постоянная, то существуют

с^=с¿(с), ¿=1, 2 такие, что для

с с

справедлива оценка

3(а,*,у)«у(гп*) с (13)

Основными результатами параграфа 2 являются теоремы 3.2, 3.3 и 3.4.

Теорема 3.2. Пусть (а,д)=1, 1<ц<х,

|Л.151 , е-мобое фиксированное положительное число, е<10_<5.

Тогда справедлива оценка:

, , -1/2, Э/Ю 1/2 , , , 1/2 1/2, 1/Э 1/2 -1/Э 1/<5 ч 8

Эта оценка становится нетривиальной при

Теорема 3.2 является следствием теоремы 1.3. Для формулировки следующей теоремы,приведем необходимое нам определеные величины с.

Определние. Пустъ ¿>2, в>г абсолютные постоянные шише, что при т>то>0, Н°>т выполняется неравенсто

1Ии,Т+Н,д)-Н(и,Т,д) « (аН)т"и>(^чТ(14)

Следующая теорема, устанавливает связь плотностных теорем для нулей ь-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы, с поведением тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов.

ТЕОРЕМА 3.3.Пусть *>%с>2, Ь<хус, у>Ь*(^1)/сехр(л^)0'7й, г=£пх, (а-,д)=1, 1<ч<1г, | А.| <1

л-произвольное фиксированное неотрицательное число,

¡ехр ,если. ц<(гпх)г •

1, если ч >{1пх) . Тогда справедливо равенство:

Из плотностной теоремы (Ю) следует, что в (14) с<8/3, В=216. (15)

Поэтому имеет место следующее безусловное утверждение:

СЛЕДСТВИЕ 3.3.1. Пусть *>*0>2, Ъ<х'а, у>ъх*/вехр(г,гх)0-7а,

1>у2/х\1, а=а^+А., (а, с[)=1, 1<ч<11, | ¿-произвольное фиксированное неотрицательное число,

ехр,если ;

Тогда справедливо равенство:

1, если ч >{¿пх)6.

Доказательство теореемы 3.3 основывается на дальнейшем развитие методов работ Ю.В.Линника [2] и Н.Г.Чудакова [26], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадение простых чисел в короткие интервалы.

Теорема 3.2 и 3.3 позволяют вывести нетривиальную оценку для более коротких суш Б(а;х,у), чем оценка (13)-Пан-Чен-дона и Пан Чен-Оьяо.

Оценки тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов, прилагаются к тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми, т.е. к задаче о представлении нечетного N в виде

В главе 4 мы выводим асимптотическую формулу для количества таких представлений.

В 1951 г. НавеХёгот-е с.В.[20], пользуясь своей оценкой для Б(а;х,у), получил для н) числа решений уравнения (16)

асимптотическую формулу, при 9=63/64+8.

Улучшение оценок для з(а;=«,у) привело к результатам 9=279/308+6, 13/17+е, 2/3+в, которые получили, соответственно, В.Статулявичус[21 ], С1гао-11аи[23-24] -

И, наконец, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо[251, применяя оценку (1), доказали, что существует положительная постоянная с, такая, что если н^Г!2'3(¿пн)с, то для 1(и,н) справедлива соответствущая асимптотическая формула.

n =р1+р2+р3; |р.-Г1/3|=Ш, 1=1,2,3; н=ие, е<1.

.9

(16)

Основным результатом главы 4 является теорема о сведение задачи об асимптотической формуле в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми к оценке плотности нулей ь-рядов Дирихле в "коротких" прямоугольниках критической полосы:

ТЕОРЕМА 4-. 1.Пусть в соотношение (14) ¿>2,5,8-.шбое фиксированное положительное число, 6<Ю'а и I-число представлений нечетного N суллаю трех простых чисел р±, р2 и рд с условиел

-Н<р.<^-н-Н, ¿=1,2,3. (17)

Тогда при Н^М^1 справедлива асилптотическая форхулаг 1№,Ю=ЭО(Ы)Н2Х-э+0(^Х~*), (18)

0(„)„п(1+-1-т]гтН—)•

р 1 (р-1) ■'рм*1 р -Зр+З-'

СЛЕДСТВИЕ 4.1.1.Существует такое Н0, что каждое нечетное Ы>Ио представило в виде сулхы. трех простых чисел Р1,Рги рэ удовлетворяшцх условиял (17), при н^0-1^8.

Следствием теоремы 4.1 и плотностной теоремы для нулей Ь-рядов в коротких промежутках критической полосы (15) является улучшение результата Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо об асимптотической формуле в тернарной проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми:

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть I(Н,К)-число представленийнечетного N суллою трех простых чисел р1,р2, и рэ с условиями (17). Тогда при справедлива асилптотичеакая форлула (18).

Доказательство теоремы 4.1 проводится круговым методом Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических суш И.М.Виноградова с последующим применением результатов, полученных в третьей главе (теоремы 3.2 и 3.3).

В 1991г. гь.ап Тао опубликовал статью [27], которой доказывалась теорема, подобная нашей теореме 4.2,но с меньшим н, именно,с . В доказательство ЪЬап Тао содержится ошибка.

Г.Харда, Д.Литтвлуд [28] сформулировали гипотезу о том, что все достаточно большие натуральные числа п представляются в виде

. к п=р+т ,

где р - простое число, к > 2 фиксированное число, ¡пгю-цэлое число. Такие числа мы назовем числами Харди-Литтлвуда.

Г.Бабаев [29] опроверг эту гипотезу, доказав, чтс существует бесконечное множетсво натуральных чисел, не являющихся числами Харди-Литтвлуда. Отсюда, в частности, следует,что существует ч и г, для которых выполняется

неравенство

гда Нк -наименьшее число Харди-Литтвлуда вида р+тк, лежащее в арифметической прогрессии

qt+^, t=o, 1, 2, ..., <1-целое Поэтому, естественно, рассматривать следующие две задачи:

1. Оценить сверху величину как можно лучше.

2. Получить асимптотический закон распределения чисел Харди-Литтвлуда, лежащих в коротких арифметических прогрессиях.

В случае к=2 эти две задачи рассматривались в работе [291; была получена асимтотическая формула для числа решений сравнения

р+т2зг(тос[ц), т^х"*, q-пpocтoe,

при откуда в частности следует, что

В пятой главе, применяя результаты,полученные в первой лаве, а именно, теорему 1.1, этот результат уточняется и бобщается на случай

Теорема 5.2. Пусть q~npocmoe, (¿,ч)=2,

Л(п).

к

п+т ='(то<1ч)

огда справедлива асилшоттеская форлула

к-и к

й=%ехр (-ей'"2

»

Отметим, что эта формула становится нетривиальной, если

а «

•70УЗ

£ При к = 2 ;

* ¿ГЭ5

при при

к = 3, 4, 5; к 6.

Теорема 5.3. Пусть ч-простое и (¿,ч)=1. Тогда

если к = 2 ;

к = 3, 4, 5;

Ч

з к

1751с

к + З , , гк + 5__

ч ,если

2 , . V 4 к

если к ^ 6.

Теорема 5.2 доказывается с помощью свойства ортогональности ¡рактеров с последующим применением теоремы 1.1 об оценке 1едних значений функций Чебышева и теоремы А.Вейля об оценке мм значений характеров Дирихле от многочленов.

В заключение выражаю глубокую благодарность моим учителям офессору А.А.Карацубе и профессору В.Н.Чубарикову, оказавшим льшое влияние на мои занятия математикой.

2/к

Литература

1. Виноградов И.М. Избранные труды. М:изд-во АН СССР, 1952.

2. Лшшш Ю.В. Избранные труды. Ленинград, Наука, 1980.

3. Hardy G.H., bittlwood I.E. Some problems of partitio numerorum III. On the expression of number as a sum of primes. Acta Math, 44(1923), 1-70.

4. Чудаков Н.Г. On Goldhach - Yinogradof's theorem. Ann. of Math (2), 48, 3 (1947), 515-545.

5. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях. ДАН СССР, 1970, т.192,

Л 4, 724-727.

6. Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо "Основы аналитической теории чисел". Пекин, 1991 (на китайском языке).

7- Монтгомери Г.Мультипликативная теория чисел. Москва,Мир,1974

8. Yaughan R.C. Mean value theorems in prime number theory-J.London Math. Soo.(2), 10(1975), 153-162.

9. Тимофеев H.M. Распределение арифметических функций в коротких интервалах в среднем по прогрессиям. Изв. АН СССР, сер.матем., 1987, т.51, № 2, 341-362.

10 Jutila М. Mean value etetimates for exponential sums with applications to L-functions.Aota Arith.,57(1991),no.2,93-114

11. Huxley M.N.The distribution of prime numbers. Oxford,1972.

12. Карацуба А.А. Распределение простых чисел. УМН, 1990, Т.45, В.5 (275), 81-140.

13- Selberg A. On the zeros Riemanns zeta funktion. - Skr. orske Vid. Akad., Oslo, 1942, v.10, p.1-59-

14. Карацуба A.A. О нулях функции C(S) в окрестности критической прямой. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т.49,

№ 2, 32S-333.

15- Heath-Brown D.R. The fourth power moment of the Riemann zeta function. Proc. London, Math. Soo. (3), 1979, v.38, 385-422.

16. Zhan Tao. The mean square value of Diriohlet L-sunotionB. Chinese Adv. Math. 2(1989).

17. Graham S.W. Kolesnik G. Yander Corputs Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991.

18. Heath-Brown D.R., Huxley M.N. Exponential sums with a ditterenoe. Proo. London Math .Soc.(3), 61 (1990), 227-250.

19. Карацуба A.A. О нулях функции C(S) на коротких промежутках критической прямой.-Изв.АН СССР,сер. мат.,1984,48,369-584.

20. Haselgrove С.В. Some theorems in the analytic theory of number. J.London Math. Soo., 26 (1951), 273-27721. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммой трех

почти равных простых чисел. Вильнюс. Ученые труды университета. сер. маг., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23. 22. Pan Cheng-dong, Pan Chend-biao. Estimations of trigonometric sums over primes in short interval (II) - Science in China, ser k, 1989, vol. 32, >6 6, 641-653. 23- Jia Chao-h.ua. Three primes theorems in a short interval. Acta Math. Sinica (4), 1989, 464-473, Chinese.

24. Jio Chao-hau. Tnree primes theorems in a short interval II. Proceeding of the meeting for memorializing Professor Hua Luo-geng Pekin 1990.

25. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Estimations of trigonometric sums over primes in short intervals III. Chinese Ann. of Math, ser.B, 1990, H 2, 138-142.

26. Чудаков Н.Г. On the difference between two mighboring prime numbers. Matem., сб., 1 (1936), 794-814.

27. Zhan Tao .On the Representation of Large Odd integer as a Sum of Three Almost equal Primes. Acta Math Sinioa, new ser., 1991 v.7,No.3, 135-170.

28. Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to theory of numbers. Oxford at the clarendon press. 1954.

29- Бабаев Г.Б. Замечание к работе Дэвенпорта и Хейлброна. УМН, 1958, Т. 13, В.6, (84), 63-64.

Публикации по теме диссертации:

30 Рахмонов З.Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях. Изв. АН СССР, сер.матем., 1989, т.53, Я I. 211-224.

31. Рахмонов З.Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях. Тезисы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов, сек. матем., Душанбе, 1990, 7S-79.

32. Рахмонов З.Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории чисел. Минск, 1990, стр. 74.

33. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. Труды МИРАН, 1994, т.207, стр..286-296.

34. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении Ф(х, %) и ее приложения. Изв. АН России, сер. матем., 1993, т.57, J6 4, 55-71.

35. Рахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышева; Докл; АН России, 1993, т. 331, J6 3, 281-282.

36. Рахмонов З.Х. Средние значения функций Чебышева. Тезисы

докладов Международной конференции "Современные проблемы теории чисел", Россия, Тула, 1993, стр.

37. Рахмонов 3-Х. Теорема о среднем значении функций Чебышева. Изв. АН России, сер.мат.,1994, т.53, Л 3, стр.127-139.

38. Рахмонов 3-Х. Теорема о среднем значении в теории простых чисел. Докл. АН России, 1996, т.349, Л 539. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета функции Римана.

УМН, 1994, т.49, вып.1, стр.161-162.