Среднее значение функции Чебышева с экспоненциальным весом в коротких интервалах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Обозначения.

Введение

1 Оценка средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Теоремы об оценке средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле по всем примитивным характерам данного модуля.

2 Среднее значение функций Чебышева с квадратичным экспоненциальным весом в коротких интервалах

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Теорема о среднем значении функции Чебышева с весом е(Ап2) в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля.

2.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами в коротких интервалах

Обозначения га, п,к,с1 - целые числа

Л(п) - функция Мангольдта п) - функция Мёбиуса х(п) - характер Дирихле по модулю д

Х<1{п) - примитивный характер Дирихле по модулю й е(а) = е2ж{а

Ф^) -функция Эйлера т(п) -число натуральных делителей п тг(п) -число решений уравнения х\.хг = п в натуральных числах XI, ., хг

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения е-положительные сколь угодно малые постоянные; 1п х —

§ х -натуральный логарифм х I = \iixq, Ь = 1п хС}

Запись А <С В означает, что существует с > 0 такое, что \А\ < сВ

При решении ряда задач теории простых чисел возникает вопрос о поведении средних значений функций Чебышева в коротких интервалах по всем характерам Дирихле. В круг таких задач входят: оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами, тернарная проблема Гольдбаха с почти равными слагаемыми, тернарная проблема Эстермана с почти равными слагаемыми, задача о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых чисел и квадрата простого числа, когда слагаемые почты равны, проблема Хуа Ло-Кен о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы пять квадратов простых чисел, когда эти простые почты равны.

В данной диссертации изучаются средние значения функций Чебышева с квадратичным экспоненциальным весом в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля, то есть сумм вида

Я, 2/, А) = Л) ~ ~ у'х' Л1' х где ^Л(п)х(п)е(Ап2),

1<Х и их приложения к оценкам квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из интервалов малой длины.

Напомним коротко о методах исследования ¿2(24 <7, У, А) и близких к нему сумм и тех приложениях, которые получаются из оценок сверху.

И.М. Виноградов [1]-[3] в 1937 г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. С помощью этого метода он впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм с простыми числами.Он доказал:

Если \а — а/q\ < , (а, д) = 1 и Н = е-о.5-\ЛгГа:^ тогда справедливы оценки

5(а, ®) = X) Л(п)е(ап) « (жд"1/2 + ж4/5 + я?1'2)®6, п<х в{а:х) < (®9-1/2 + я?Я-1(1пд)°-5 + ®1/2д1/2(Ьд)1/2) Ы21п2 хШпх.

Полученная оценка для 5(о;, х), в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде

N = Р1 + Р2 + Рз

Ю.В. Динник [4]-[5] исследовал средние значения функции Чебышева для вывода нетривиальной оценки линейной тригонометрический суммы с простыми числами. Он с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда [6], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L-рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Тем самым Ю.В. Линником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков [7]-[8] также предложил подобный метод исследования линейных тригонометрических сумм с простыми числами с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L-рядов Дирихле в критической полосе. A.A. Карацуба [9] разработал метод решения мультипликативных тернарных задач и в соединении с методом И.М.Виноградова - оценок сумм с простыми числами, оценил самый простой случай величины t(x\ q). Следствием этой оценки является теорема о распределении чисел вида р(р -f- а) в коротких арифметических прогрессиях.

В.Н. Чубариков [10] построил теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, с помощью которой решил проблему Гильберта-Камке в простых числах.

В 1989 г. З.Х. Рахмонов [11], опираясь на метод A.A. Карацубы, элементарно доказал, что t(x-,q) = (х + x5^q1/2 + х1,2)х5

Xrnodq

Этим же методом Пан Чен-доп и Пан Чен-бьяо [12] доказали, что

T{X-Q)= £ -^XWh^'X)! ^{x + x^Q + x^Q^Ü t^n те) V q<Q x где ~ означает, что суммирование ведется по всем примитивным характерам Дирихле по модулю q.

Следствием последней оценки является теорема Бомбьери-Виноградова о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в "среднем", на возможность получения которой этим методом было указано А.А.Карацубой в [9].

Метод большого решета впервые был применен Ю.В.Линником [13] в 1945 г. к проблеме И.М. Виноградова о величине наименьшего квадратичного невычета. Развивая метод большого решета, А. Реньи [14] показал, что достаточно большое четное натуральное число представимо в виде

Р + Р1Р2-Рг, где г не превосходит некоторой абсолютной величины, и заметил, что большое решето можно использовать для оценок средних значений сумм с весами. Подобного рода результаты были получены позднее в работах [15]- [16]. Наиболее важным приложением большого решета является теорема Бомбьмери-Виноградова о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем [17]-[18].

Г. Монтгомери [19], пользуясь своей плотностной теоремой о нулях Ь-рядов Дирихле, доказательство которой опирается на метод большого решета, показал, что:

Т{х] (Э) < (ж<Э2/3 + х^2Я2)Ьп.

Этот результат уточнил Р. Вон [20], который с помощью метода большого решета в варианте Галлахера и специального представления логарифмической производной L-функции доказал, что t{x\ q) < xl3 + x3^8l23/& + x^ql7'2, T(s; Q) < xL3 + x3/4QV4L23/8 + xWQW2.

3.X Рахмонов [21]-[22] пользуясь методом A.A. Карацубы - решения мультипликативных тернарных задач, в сочетании с новым аналитическим вариантом метода И.М. Виноградова-оценок тригонометрических сумм с простыми числами, методом работы Н.М. Тимофеева [23], в которой он исследует распределение арифметических функций в коротких интервалах в среднем по прогрессиям, с последующим применением теоремы Г. Монтгомери [19] о четвертом моменте L-рядов Дирихле доказал, что t(x- q) < xl3 + а;4'5?1/¥4 + xl'2ql3\ (1)

Т(х- Q) < xL3 + ж4/5!,34 + xV2Q2Lc, (2) где с = 34, если Q < \/ж(1пж)-5/6 и с = 3,5 в противном случае.

Оценки (1) и (2) являляются наилучшими из всех перечисленных оценок для величин t{x\ q) и Т(ж; Q).

Примененный в [21]-[22] подход в сочетании с работой М. Ютилы [24] о четвертом моменте L - рядов Дирихле в коротких интервалах критической прямой позволили З.Х. Рахмонову также исследовать средние значения функций

Ф(и,Х, А) = ^Л(п)х(п)е(Лгг), п<и по всем характерам Дирихле данного модуля в коротких интервалах. Он доказал,что если х > хо, х1!2 < у < х, \\\ < х¡у2, 1 < <? < х/у, е - любое фиксированное положительное число, е < 10~6? я; д, = |Ф{х, X, А) - ф{х - у, х, А)|, х то справедлива оценка t(x; г/, Л) < (у -I- х

З/Иу/2^85 + (дя.1/2 +

В первой главе диссертации доказываются теоремы 1, 2, 3 и 4 об оценках средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле по всем примитивным характерам данного модуля, то есть оценивается сумма вида т+н

Л(д,Г,Я)= У |ИЪ(0.5 + й,х)|Я,

X у где ^^ - означает, что суммирование ведется по всем примитивным ха-х рактерам по модулю с1, к

А*>х) = 53 Мт)х(т)т~в>

В этих теоремах соответственно доказываются средние значения интеграла от модулей сумм И^(0.5 4- И,х) в интервале [Т, Т + Н] по всем примитивным характерам по модулю ¿2, сГ\д, если : сумму И^(0.5 + И, х) можно представить в виде произведения двух сумм, близких по порядку; длины >1 и сумм ^(в, х) и 52(в,х) достаточно большие и интеграл является коротким то есть Н < Т; длины У\ и >2 сумм 51 (в, х) и 52(5, х) достаточно большие и Н — Т; длина У1 суммы 5х($, х) достаточно большая и интеграл является коротким то есть Н <Т:

Основным результатом второй главы является исследование среднего значения функций Чебышева с квадратичными экспоненциальными весами:

Ми> = Л(п)х(п)е(Ап2), п<и по всем характерам Дирихле данного модуля в коротких интервалах.

Теорема 5. Пусть х > хо, ж1/2 < у < х; |А| < 1 /у2, 1 < < х/у, е - любое фиксированное положительное число, е < 10~6;

Л) -ф2(х -у,х, А)|, х

Тогда справедлива оценка (,(*; г/, А) « (у + х^т12)^ + (я*1'2 + *2/У/21

Основные этапы доказательства таковы:

Переходя в сумме t2(x;q,y, X) к примитивным характерам, найдем д, у, А) = ]Г" X, А) - ф2(х - у, х, А)| + 0((у + д)/2) (3) х

Применяя новый вариант решета И.М. Виноградова и тождество Перрона, представляем ^-функцию Чебышева в виде

4 ¿2 к 0.5+гТо Ук(з,х)^з + П2(щх), (4) fc1 0.5-гТо где

Vk(s, х) = Gris, х)-" Gk(s, x)SÍ(8, x)S!(s, Х) ■ • • х), Е V(m)x{m)m-S,

Mj<m<2Mj

Sí(s>x) = Е

JVi <n<2Ni Nj<n<2Nj

R2(U,X) « ^Го"1, T = T0 = maoc(x0-5+£,xy\\\x0-5+£).

Пользуясь преобразованием Абеля в интегральной форме, формулой (4) и оценкой для i^^x), в (4) найдем:

Ф2&, X, А) - - 2/, X, А) =

4 /2* 0.5+¿To ж ¿(-l)*Cf¿¿ / Vk{s,x) f us-le(\u2)duds+ fc=1 0.5-¿To ат-у + (5)

Преобразуя S}(s,x) в Vfc(s,x), находим: к

Vk(s, x)l < Wk[a,X) =

3=1

3Ж8>х) = х(п)п

Далее, переходя в (5) к оценкам, имеем: 4

IЫх, X, А) - ф2(х - у, Х, Л) | < /9 ^ + ж1/2, (б) к=1

Т0

А(к) = ! 1^(0.5+ й,х)||В(*)|Л,

-То X

В(г) = I и^е (\и2 + ¿и. х-у

Пусть Т\ = тах(ж/у, 87г|А|ж2), Т\ < Т0, тогда

А(к) = А'{к)+А"(к), (7)

Тг

А'(к)= I |ИЪ(0.5 + й,х)||В(*)|Л>

-Г1

Т1<Щ<То

Тригонометрический интеграл -В(£), входящий в А"(к), оценивая величиной В(Ь) «С ж1/2!«!"1, затем разбивая интервал интегрирования Т\ <

I < То на не более <С / интервалов вида (Тг, 27г], получим 2Г2 ж1/2/ г

А"(к) « — у |^(0.5 + 7\ < Т2 < Т0. т2

При А > 0 в интеграле А'(к), разбивая интервал [—71,71] на подин-тервалы

А = [ 7*1, —47гАж2 - ж/у],

Б2 = [—477Аж2 - ж/г/, -4ттА(ж - у)2 + ж/у],

3 = [-4тгА(ж - у)2 + х/у, Т\[ и обозначая через А[(к), А'2(А;) и Аз(к)' интегралы от функции соответственно по интервалам , 1^2 и £)з, имеем + + (8) Каждое слагаемое в (8) оценим отдельно.

Если £ е Г>1, то для функции /(гл) = Хи2 + ¿1пи/27Г, х — у < и < х выполнятся соотношение шт \Г{и)\ = - шах /'(и) =-/'(*)• х—у<и<х х—у<и<х

Поэтому для интеграла В(Ь) найдем: х~1/2

Следовательно,

Г1/2^ /• . X1'2 &

СГ~ ' ш" Г Г1!

Далее интервал Иг разобъем на подинтервалы к у следующим образом: в класс 1 < п < А; отнесем такие для которых выполняется условие: пх А л 9 (п + \)х < 4тгАж2 < ^

У У

Поэтому

Тз+х/у тах^ | |ИЪ(0.Б + «,х)|Я.

Длина интервала D2, ввиду Л < 1/у2, не превосходит 8ттХху — 47тХу2 + xfy <x/j/, поэтому, пользуясь тривиальной оценкой для интеграла B(t), найдем:

Тз+х/у

J |Wifc(0.5 + ti,x)|ctt.

Тз

Если i G -Оз) то для функции /(и) = Аг/2 + £1пад/27г, х — у < и < х выполняются условия: mjn l/'WI = тЛ = тт{/'(ж), f'(x - у)}. х—у<и<х х-у<и<х

Поэтому, пользуясь оценкой интеграла B(t), имеем:

4,«« / |W*(0-5 + it,+ / +

Пользуясь приемом, который был использован при оценке А[(к), найдем: max [ \Wk(0.5 + it,X)\dt.

Гз|<Гх Ж ' J Т3

Подставляя в (8) полученные оценки для А[(к), А'2(к) и А'3(к), имеем:

П+х/у

А'(к) С max[ |Wfc(0.5 +it, х)|Л. (9) п

Теперь, пусть Л < 0, тогда интервал |t| < Ti разобьем на три интервала:

Di = [-Тъ — 47ГЛ(Ж - </)2 - ®/у],

D2 = [-4тгЛ(ж - ?/)2 - ж/2/, -4тгЛж2 + ж/у],

L>3 = [-47rA®2 + ®/y,Ti]. 14

Обозначим через А'^к), А'2(к) и А3(к)' интегралы от функции |И^(0.5 + й, х)||£?(£)| соответственно по интервалам £>1, В2 и £>3. Оценивая эти интегралы аналогично, как в случае Л > 0, покажем, что для А'(к) и в этом случае также справедлива оценка (9).

Подставляя найденные оценки для А'(к) и А"(к) в (7), а затем полученное в (6) и (3), получим: 4

1{х- <?, у, Л) « I10 £(/£(*; у) + 1'1(х- д, у)) + дх1'2, к=1

Т3+х/у

Тз\ <Тг< |Т2| < Т0, Тг = тгх(х/у, ЩХ\х2), Т0 = тах(х1/2+£,у\\\х1/2+£).

Величины Гк(х;д,у) и 1к(х]д^у) связаны с величиной г+я

М1>М2>--->Мк] N1 > > • • • > Щ, к

Д М^з = У, У < X, М} < ж1/4, определенной нами в первой главе, следующими равенствами: У

1'к{х-,д,у) = ~ТтЛ(<7> х/у),

X '

1/2

Оценим /¿(ж; д, у) и 1'1(х\д,у) отдельно для каждого к = 1,2,3,4, пользуясь теоремами 1, 2, 3 и 4.

Одним из приложений этой теоремы является оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами в коротких интервалах, то есть сумм вида: а = а/д + Х, (а, д) = 1, |Л| < 1/дг, 1 < д < т.

Теорема 6. Пусть х > жо, ж1/2 <у<х, | А | < 1 / дт < 1 /у2, е -любое фиксированное положительное число, е < 10~"6. Тогда справедлива

52(а, я, у) < Ы"1/2 + х*110у1,2)1™ + (д1/2х1/2 + Л,1 ^т^/у/V

В заключение автор выражает глубокую благодарность члену-корреспонденту З.Х. Рахмонову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе. х—у<п<х оценка:

Эта оценка становится нетривиальной при

I70 < д < т, у> х4/5+£.

1. HARDY G.H., Littlwood I.E. Some problems of partition numerorum 111. On the expression of number as a sum of primes // Acta Math., 1923, 44, p. 1-70.7. чудаков Н.г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math.,1947, 48, p. 515-545.

2. Чудаков Н.Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947.9. карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // ДАН СССР, 1970, т. 192, №4, стр. 724-727.

3. ЧУБАРИКОВ В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер. матем., 1985, т.49, №5, стр. 1031-1067.

4. VAUGHAN R.С. Mean value theoremns in prime number theory. // J.London Math. Soc.(2), 10(1975), p. 153-162.

5. PAXMOHOB 3.X. Теорема о среднем значении ф(х,х) и ее приложения // Изв. РАН, сер. матем., 1993, т. 7, №4, стр. 55-71.

6. PAXMOHOB З.Х. Теорема о среднем значении функций Чебышева // Изв. РАН, сер. матем., 1994, т.58, №3, стр. 127-139.

7. ТИМОФЕЕВ Н.М. Распределение арифметических функций в коротких интервалах в среднем по прогрессиям // Изв. АН СССР, сер.матем., 1987, т. 51, №2, стр. 341-362.

8. Jutila М. Mean value etstimates for exponential sums with applications to L-functions // Acta Arith., 57(1991), no. 2, p. 93-114.

9. КАРАЦУБА A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

10. RAMACHANDRA К. // Acta Ariphmetica, 1976, №31, p. 313-324.

11. ПРАХАР К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

12. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987, 368 с.