Асимптотические задачи теории чисел в секториальных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

1 п ш

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЖАНБЫРБАЕВА Улшт Бегялпевпа

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзпко-математпческпх наук

Алматы -1995

Работа выполнена в - Одесском государственном университете

имели М.Мечникова

Научше руководители: кандидат физико-математических наук,

профессор П.Д.Варбанец.

Ведущая организация: Институт математики Академии Наук

Белоруссии.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Омаров;

кандидат физико-математических наук, доцент С.Кенжебаев.

Защита состоится " IS95 г. г, " часов на

заседании Специализированного совета Д 53.04.02 при Институте теоретической и прикладной математики HAH FK ( 480021, г. Алматы, ул. Душкина, 125 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH PK ( г. Алматы, 21, ул. Шевченко, 28 ).

Автореферат разослан " " (^"ХЭ95 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор технических наук, ВНС

■dlfafi^T А.Н.Казангапов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одним из основных разделов аналитической теории чисел является теория мультипликативных и аддитивных функций. Исследование этого вопроса далеко продвинуто для случая кольца целых рациональных чисел 2. Для алгебраических полей степени г&2 соответствующие теории менее разработаны, ввиду более сложной арифметики этих полей. Тем не менее, ряд труднейших задач классической теории чисел получили свое разрешение благодаря методам, развитым в многомерной аналитической теории чисел. Первые важные результаты в многомерной аналитической теории чисел были получены в работах Э.Гекке, Х.Радемахера, К.Зигеля. Много новых результатов принадлежат Й.П.Кубилюсу и его ученикам. Но в большинстве исследований, касающихся распределения значений мультипликативных и аддитивных функций целых алгебраических чисел в арифметических прогрессиях, разность прогрессии предполагалась фиксированной. Поэтому можно считать актуальной разработку методов построения асимптотических формул для сумм значений мультипликативных или аддитивных функций целых гауссовых чисел, принадлежащих узким секторам и арифметической прогрессии с растущей по модулю разностью прогрессии.

Цель работы. Исследование распределения значений мультипликативной функции делителей х(а) и аддитивной функции ю(а), представляющей собой число различных простых делителей а, в кольце целых гауссовых чисел. Для функции %(а) изучается распределение ее значений в арифметической прогрессии с растущей нормой разности прогрессии и в узких секторах. Для функции ш(а) рассматривается распределение ев значений в узких и коротких секториальшх областях.

Научная новизна. При исследовании распределения значений мультипликативных функций мнимого квадратичного поля в арифметических прогрессиях, как правило, используется аппарат ¿-функций Гекке с характером группы классов идеалов по модулю некоторого идеала А. Поэтому для выделения данной арифметической прогрессии вводится дополнительное суммирование по всей группе характеров mod А, а это при отсутствии достаточно хороших-оценок сумм характеров обычно существенно ухудшает остаточный член асимптотической формулы для сумматорной функции изучаемой мультипликативной функции. В диссертации с помощью обощенной 2-функции Гекке

emiarg(w+Q) %lSp(Q

Г"4 %lSp(Q Z(a,\,Q,bn) = > --- e 0 , Бе э > 1

0 ZL Ne(m6)

VI

V} Ф-Ь

возникает возможность исследовать доведение ряда мультипликативных функций гауссовых чисел в арифметических прогрессиях ч в узких секторах без дополнительного суммирования по характерам. Этим методом в работе изучается только функция делителей ч(а), но этот подход применим для достаточно широкого класса мультипликативных функций, производящие, ряды которых могут быть выражены через Z-функции Гекке. Функциональное уравнение для обощенной Z-функции Гекке не обладает свойством симметричности (что ипет место для обычной 2-функции Гекке); но это осложнение удается обойти с помощью сумм Клостермана для поля гауссовых чисел.

Практическая значимость. Развитыми в диссертации методами можно построить асимптотические формулы для сумматорной функции делителей произвольного мнимого квадратичного поля, а также исследовать локальное и интегральное поведение целого класса аддитивных функций g(n) в узких секторных слоях, если только произво-

дящие ряды для соответствующих мультипликативных функций геО[П, г - постоянное число, удовлетворяют аналогу теоремы Рама-чандры, о которой идет речь в приложении диссертации.

Апробация. Полученные в диссертации результаты докладывались на семинаре по теории чисел в Московском государственном университете, на Всесоюзной конференции по теории трасцендентных чисел и ее приложениям (Москва, 1983), на Всосоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), на Всесоюзной школе по теории чисел и ее приложениям (Минск, 1989), на Республиканской конференции по теории чисел (Ташкент, 1990), на Республиканской конференции, посвященной 125-летию со дня рождения А.М.Ляпунова (Одесса, 1982), на семинаре по теории чисел Одесского государственного университета, на семинаре по теории чисел в Институте математики АН Б, на общегородском семинаре "Алгоритмические и структурные вопросы алгебры и теории моделей" в Алматинском государственном университете им. Абая.

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ, из них семь выполнены в соавторстве. Список публикаций приводится в конце реферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и напечатана на 109 страницах машинописного текста, включая список литературы из 44 названий. Приложения помещены на 19 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В области Не з >1 рассмотрим функцию £СзДт,6,80), задаваемую рядом

--- ехрО^БрСб.ю;,

№"(вН1)) 0

ш

ш И-8

здесь и> пробегает все целые гауссовио числа; б,б0 - гауссовыо числа (на обязательно целые); Ер,''«,) - след а из ОШ в 0. Функция ССяД совпадает с обычной 2-функциой Гокко г(8,т) поля га-

уссовых чисел при &=80-0. Зту функцию назовем обобщенной ¿-функцией Гокко. В первой главе работа показали, что для Не е >1 имеет место

__7714 ырд. 2т{аг-е7_

V-' т (а)в е V ' а. а,,

(1))----) . СГоД п,-1оК(в,Хш,^,0)

V ""(*> г'ы ^(т0гГ<)

а=а0(толу) а а1а (той1)

афо 1 и

Соотношение (1) с помощью метода "стаканчиков" И.М.Виноградова

позволяет построить асимптотическую формулу для суммы

(2) > -с (а)

У

КСаКаг а

Ф;<агеа «р2

Аналогичную сумму исследовал Лай Дык Тхинь (О число делителей в угле. - ДАН СССР, 1962, т.143, Ш, с.23-30), но у него знаменатель прогрессии 7 не был растущей по норме величиной. В настоящей работе рассматривается случай, когда Н(1[)-оо вместе с г-»®.

Изучение сумм (2) имеет важное значение для исследования поведения ^-функции Гекке в критической полосе, в частности, для получения средних значений второго и четвертого моментов Е(а,т).

Приведем основные результаты, полученные в главе I.

. Лемма 1.2.2. Функция ССоДт,5,5о; аполитична во всей комплексной ^-плоскости, кроме случая т=0 и С0 - целое гауссовое, когда точка з--7 является простим полюсом с вычетом Справедливо Функциональное уравнение

г[|+о] СГ8Дж,в,80) =

%~а-в) rg+i_aJ z(1-3,\m,-Q0,Q) expi -%t Sp(d0Q) )

Лемма 1.3.7. Пусть a, P'- целые гауссовые, p - простое га-уссовое, причем (а,р,р)=1. Тогда для любого п i Z

|Kfpm;a,p;| = |) expect Sp[ ]J| « зе Я2(р),

i(mod pmJ Pm

{2, если p jt 1+1

4, если p = 1+1 1 f

Следствие. |кГ7.-а,р;[ < 2Uw(t} /(j) /((а,р,у)), где t»f7) - число различных простых делителей 7. Суша K(7;a,pj -это- суша Клостермана в поле гауссовых чисел.

Теорема I.4.I. Для =1 справедлива асимптотическая

формула

Г ' ч?х logr г—)*г <•»

> - П К Н +

р|7

a sa0(mo6.-()

■—,*, , L'(1,XJ г- * log N(p)

+ - П \1-JT1 (P)]\-U2{E + -i- + у -11 +

NCr) I L ■ Л L(1,%J N(p) - 1 JJ

PIT . PIT

> 1

2+e - ^ 5 5

+ ofr N W)

Теорема 1.5.1 Пусть 7=Г1 Pp• Тогда

P17

I

YZ?(a) = co(Vm)logmi>+ ci(VMi)* j'

N<a)& -

где с (7J = %гГ\*(1+1„ ~ IjrUp)). Pit

(3) с.ет; - JlW - 7 гг'грлГа^в - ^ + 8%ъ<(1,хл) +

р|7 1

г-. * i log ггср; I—I * -j

V _2- I (m _ i r'f!)) ,

Nfp) q]i 4 4 J

PIT . q*p

E - постоянная Эйлера; знак * означает, что в произведении (соответственно, в сумме) р (соответственно, q) пробегает ноассоцииро-ванные простые делители 7-

Теорема 1.5.2 Пусть (ал,7.)=р, причем р - собственный де-

2

S

литель т. Тогда при 11 (-у) « зР справедлива ассиптотическая формула

__3 2

\---5 е ~5

\ tW - o0fa0,T^;logj^j; + о/с^.т)^} + 0{х N (у)},

asa0(7) ь-( аКх

* Т

где cQ(ao,'0 - тс2 »YP; JT'W ф( - ] тГР;,

?г г L'd.xJ г-* log Wfp)

(4) ' c.fa_,7; » Тс2 У Ггя - 1 + г--+ 2) -— j

' 0 ¿-L" Iff.Yj ВД - i J

QIP 4 p|7/8

* nV^'H-

pl7/5 .

I- I >

Теорема, 1.7.1. При x 2 N (-у), Z ff (^Jx спра-

ведливо асимптотическая формула

х---Ь~ч>1

weaKsc а (mo<i7)

0,1%,v^)] * О

х

I

N О)

где

с0(%,1) =

т^ГТи^ - ljr1(p)), если a sOCmodT;, 7=rVp: PIT р р Pl7

Лср; , у,

-Ф - тгр;, если fa ,тг;=р, a *OfmodT.);

NY7J 1 р J и и

<?;Га0,7; задается фэрмулами (3), (4).

Во второй главе также применяется аппарат 2-функции Гекке к исследованию распределения значений функции ю(а), означающей ко-, личество неассоциированных простах делителей целого гауссового числа а.

Пусть яеОШ, \г\<2. Введем обозначения: Лк(х;ц)1,<р2) = у ^ 1; вь(х,П;д>, ,<рг) = ^ ^ 1;

Н(аКх х<Н(а.)£г+П

Ф(<агва Ф,<агва «р2

(штрих у суммы означает, что суммирование ведется по всем неассо-циированным а, а * 0)

М0(х,г) = £ ' ¿»(й); окнсаКх

+

U(x;ф,,<p2;z) = y zw(a> ш 1 + ^

cp7 carga «p2

B¡t(x,h;<91 ,<p2; ,ф2;

0. (я.П.-ф ,<р ) ----;

л ¿ ?г . дт

оо

E(xfh;<(>r<t)2) = £ ,<р2;.

Во второй главе доказаны следующие утверждения: Теорема 2.3.1 Пусть z - комплексное число, \z\=1. Тогда

® Г <Sn(z) y.(z) 7P(z)

Un(x,z) =

)'-2 L rfz; + lo&c + (lo&r)2 J

(1оес)'~* I. Т(г) 1оег (1о&)'

+ 0 ^сехр(-а1о^/5х(1оо1оос)~1 .)] ,

где а - положительная постоянная; "/¡(г), у2(г) - вычис-

ляемые и ограниченные по модулю абсолютной постоянной функции для |г| < 2 .

Теорема 2.3.2 Существует абсолютная постоянная а > О , такая, что при

Ф2 - <Р, ехр[-а,1о£3/Бх( 1о£1озг)~']

справедлива асимптотическая формула 2Сф2-ф,;х

М(х;ч?.,Ц1р;г) =

" y,(z) t тgfzJ ( +

Гбг; logx dogrj2

+ O^xerpf-alo^^xdoglogpcf1 /] . Из теоремы 2.3.2 и аналога теоремы Рамачандры, доказываемой в приложении, следует

Теорема 2.3.3 Пусть Nm(a,T) означает число нулей '¿(а,т.) в прямоугольнике о < Re а ^ 1, |Jm з| < Г и пусть BQ и В таковы, что для всех т е Z

В (1-0)

N0(a,T) «Т log Г ,

В(1-0)

NJa,T) « (Т+\т\) log°Т ,

где с > О - абсолютная постоянная. Положим для фиксированного в > О :

0о = 1 - во + s ' Ро = 1 - 2Во + 6 '

_ 4 t 4

Р = i - В + s , p=i - 2В'1 + в .. Тогда для О < ф; - ф2 < р под условием

Ф2 - <р( > ехр[- ^log3/5xrioglogr;~T]

имеем

E(r,h;<p1 ,<р2) « f<p2-<pJJ2aogrr2i,loglosrr,/2 ,

л: ^ Ь < х для ф 1 = О , ф2 = тс/2

Р+е

г < Н < г в остальных случаях.

Кроме того,

2К

Г1 X Е(х,П;<?1 ,Фг№ « ГФ2-<Р,;2Г1О^Г2ГЮ51О^Г'/2 X ,

если только

Ро+Е

X < 1г $ X для ф( = О , ф2 = и/2

X < /г ^ X в остальных случаях.

Теорема стремящаяся к

2.3.4 Пусть с(х) - вещественнозначная функция, со медленнее -I loglogr . Тогда

V • ' агСф--Ф.; пoglogr)ll~, А(х;ц>ц>) * ) 1 =-----:----

шгсо=й Н(аКт

равномерно для 1 < г? ^ 1ой1о&г + сСдЫ 1о£1о§.т ,

Ф2 - Ф, » ехр[- з1о£3/5з:(]щ1о&с) ']

если только

Р+е

Теорема 2.3.5- Пусть х Ь, < х и о(х) - вещественная функция, стремящаяся к а> медленнее Ло^Хойт™'. Тогда

Р (х,П;<р ,Ф ; = -----

к ' ^ тс1о©с (Ь-1)!

+ о[гг3/гао81о8г)~2)] + о[кфг-ф; ,)1ой " 'хг ] орДоехГ'/4 /)

Следствием этих теорем является утверждение:

Пусть х* " < 71 $ х , Ф2 - Ф, ^ ехр[-а1о^,3/5г'Г1он1е®з:Г'] •• Тогда при х - оо

--# | а е Ш7 I х < 11(а) ^ х ■> П, ф <агеа

I 1

<оГа.Ыо£1оег 1 0

< У = ®(у)(1+о(1)) ,

4ЮЙ1о8Г

где, ®(у) - функция распределения нормальной случайной величины с пулевым сродним и единичной дисперсией.

Результаты второй главы обобщают исследования И.Катей ., для

функции ю(п) в поло рациональных чисел.

В приложен™ робота доказаны следующие тоореми:' Тоорома I В of? пасти 1/2 й Re а ^ 1 , |t| 2 2 справедлива оценка

3/2

Z(s,m) « (tp-m2)a(1-Q) 1 og4(t2m2) . гдо a > 1 - абсолютная постоянная.

Теорема 2 (плотиостная). Для о > 1/2, Т > 2 существует абсолютная постоянная с $ 1 , так, что выполняется

(T\m\)3a-°hogc(T \п\) если |т|М ;

N (о,Т) «

1 Р

Т~ logJT если m =0 .

Тоорома 3 (аналог теоремы Рамачандры). Пусть в области Re а > 1 для рядов Дирихле V afaJ

F (з) = )--expC4miarga; , m = О, ±1, ±2.....

{j- II (a)

имеет место представление ~ (Z(s,m))zAm(s,z) ,

гдо z е QUI, \z\ <2, z по зависит от т; А (а,г) задается рядом Дирихле, абсолютно сходящимся при Re а > 1/2 . Пусть Nm(a,T) - число нулей Z(o,m) в прямоугольнике a < Re а < 7, |Jm з| < Т , и пусть В , В и dQ, D' числовые постоянные, независящие от т. такие, что

NJa.T) « №;Df'""°-YiogRf;D , т Ф 0 ,

за- a j d KQ(o,T) «Т ГlogТ) 0 .

Пусть

Р0 = 1 - в0 * с ' , = 1 - 23о + 5 •

П = 1 - Б'1 У- € , р' = 1 - 2В~1 t £ .

где в > 0 - произвольная, но фиксированная постоянная.

Обозначим

S(x,h;<f>r<{)e;z) = ) а<а)

•I

x<N(a)<x+h

fb

I(x,h;z) = — J ^ J F0(a)(v+x)s-'<Ja

dv ;

О CQ(r)

r = cIog~2/5x(loglcgxy

имеем

Тогда для О 4 <pt < ц>2 < %/2 , Ф2~Ф( » схр^о1о^'/лхГ1ойТО(5гГ'] л

S(x,h;4>r4>2;z) = 2(<p2-q>1)%~1I(x,h;z) +

О ^Пехр (-clog '/5хП oglo&c)'' j] + О(хР);

Г1 Г - ——-I(x,h;z)\ dx =

X ' г г

= o[^exp(-clog'/3XrioglogZJ""'j] + 0(Х$)

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: I. Канбырбаева У.Б., ФугелО H.A. Функция Лиувилля на квад-ратнополных числах гауссового поля. - Известия АН КазССР, сер.физ.-мат., 1982, JSI, с.60-64.

. 2. Варбанец П.Д., Жанбцрбаева У.Б. Обобщенная функция Гекко в критической полосе. - В кн.: Третий Республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям: Тез.докл.Республиканской коиф., Одесса, 1982, с.101-102.

/ 3. Варбанец П.Д., ЗКанбырбаева У.Б. Задача делителей гауссовых, чисел в арифметичоской прогрессии. - Известия АН КазССР,

сер.физ.-мат., 1983, J®, с.18-21.

4. Варбанец П.Д., Жанбырбаева У.Б. О делителях гауссовых чисел.- В кн.: Тез. докл. Всесоюз. конф;, Москва, 1983, с.14-15.

5. Жанбырбаева У.Б. Задача делителей гауссовых чисел в секторах и в арифметической прогрессии. - Одесса, Одео. ун-т, 1983. - 43 с. - Рук. доп. в УкрНИКНТИ, №320Ук-Д84.

6. Жанбырбаева У.Б. О числе простых делителей гауссовых чисел в секторном слое. - Вестник АН КазССР, 1985, №4, с.79-81.

7. Жанбырбаева У.Б. Простые делители гауссовых чисел в сек-ториальной области. - В кн.: Тез. докл. Всесоюз. конф. "Теория чисел и ее приложения", Тбилиси, 1985, с.77-78.

8. Варбанец П.Д., Жанбырбаева У.Б. О числе простых делителей гауссовых чисол в секторном слое. - Одесса, Одес. уи-т, 1986. -27 с. - Рук. дел. в УкрШШГга, №2151-Ук.

9. Жанбырбаева У.б! О число простых делителей гауссовых чисел. - Одесса, Одес. ун-т, 1988. - 23 с. - Рук. деп. в УкрНШНТИ, ЛРЯ50-УК.

ТО. Жштбчрбаова У.Б., Заржицкий П.А. Несимметрическая функция делителей г, кольце. - В кн.: Тез. докл. Бсосоюз. школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", Минск, 1989, с.52.

II. Белозоров Г.С., Жанбирбаова У.Б. Функция делителей 13(а) в арифметической прогрессии. - В кн.: Тез. докл. Респ. конф. "Теория чисел и ее приложения", Ташкент, 1990, с.13.

Жанбырбаева YMiT Бегалыкызы

"Сандар теориясынын секторлык облыстардагы асимптотикалык ecernrepi" такырыбынан 01.01.06 "Математикалык логика, алгебра жэне сандар теориясы" мамандыгы бойынша физика-математика гылыыынын кандидаты дэ-режесiн коргау диссертациясы.

Бутш гаусс тык сандары белгimiepiHiH мультипликативтж функ-циясы жэне TYP-fii жай белгштер1 санынын аддитивтж Функциясы мэн-дершш таралуы зерттелген. Мундай сандар белгштер1нш функциясы ушн онын таралуы а'йырма нормасы есет;н арифметикалык прог-рессияда жэне тар секторларда каралыстырылган. Сондай сандардын турл1 жай белг1штер1 болыл табылатын функция уипн онын мэндер1 тар да кыска секторлык облыстарда таралуы тексер1лген. Бутш га-усстык сандар бвлНштерппн функцияларын зерггеу эд1с! туындайтын катарлары Геккенщ Z-функциясы аркылы ернектелет1н мультипликативтж функцияларынын б1ршама кен кластары уипн колданылады. Осы-лай дамытылган 9д1стерд1 пайдаланып кез келген жорымал квадратгьк epic белНштершщ косындысы болатын функция ушн асимптотикалык формулаларды куруга, тар секторлык ещрдег! аддативт1к функция-лардын белг1л1 6ip класстарынын локальдык жэне интегралдык каси-еттерш зерттеуге болады.

Zhanbyrbaeva Uinyt Begaliyevna

Dissertation on the theme "Asymptotic tasks of numbers theory In sectorial domain", submitted for candidate's degree of physios-mathematics sciences on speciality 01.01.06 "mathematical logics, algebra and theory of numbers".

In the presented dissertation we have investigated distributions of multiplicative function values of divisors and additive function of a number of differential prime divisors of Gauss integer numbers. For function of divisors of Gauss integer numbers the distribution of its values in arithmetical progression with increasing rate of difference and in narrow sectors was studied. For function representing the number of different prime divisors of Gauss integer numbers the distribution of its ■ ¿lues in narrow and short sectorial domain was considered. The method of investigation of divisors functions of Gauss integer numbers may be applied for considerably wide class of multiplicative functions derivative series of which may be expressed through GeMte ^-function. Ey using improved methods it is possible to construct asymptotic formulas for the summarising function of divisors of arbitrary imaginary quadratic field, to study local and integral behaviour of definite class of additive functions in narrow sectorial layers.