Проблема суммирования арифметических функций по числам, свободным от ƙ-ых степеней тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

□ОЗОБЗ131

ОРЛОВА Светлана Викторовна

ПРОБЛЕМА СУММИРОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ЧИСЛАМ, СВОБОДНЫМ ОТ А-ЫХ СТЕПЕНЕЙ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико,-математических наук

Москва - 2007

003053131

Работа выполнена на кафедре теории чисел математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор МИТЪКИН Дмитрий Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ДОБРОВОЛЬСКИЙ Николай Михайлович кандидат физико-математических наук ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ Сергей Николаевич

Ведущая организация - Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН.

Защита диссертации состоится « 19 » марта 2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г.Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Mill У по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан « л » сСИ*2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Карасёв Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К числу основных в аналитической теории чисел относится задача изучения асимптотического поведения величины ]Г/(и), при х-»оо с мультипликативной функцией /: N С.

»Sx

Первый результат в этом направлении для функции Эйлера был получен Мертенсом [1], а для функции суммы делителей о(и) от натурального числа и - Дирихле [2]. Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и А.Н. Салтыков [4] улучшили оценку остаточного члена для функции Эйлера. Кроме того оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а(п).

Изучение трудов известных исследователей в этой области показало, что интересные результаты были получены не только при поиске асимптотики сумм значений мультипликативных функций, но и при замене суммирования по всем натуральным числам, не превосходящим х, на суммирование по некоторому подмножеству множества натуральных чисел. Проследим развитие научной мысли на примерах рассмотрения в качестве такого подмножества множества натуральных чисел, свободных от £-ых степеней1. Обозначим его через Мк.

Так, в 1885 г. Гегенбауэр [5] нашел асимптотическое представление количества бесквадратных чисел, не превосходящих х. Также известна асимптотика количества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х.

В конце сороковых годов XX века JI. Мирский [6], [7] нашел асимптотику количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа n+li,...tn+l, свободны от Аг-ых степеней, где ¡¡,...,1, различные целые положительные числа. Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, P.P. Хелл [8] получил асимптотическую формулу

1 Натуральное число л называется числом, свободным от i-ых степеней (при к>2), если для любого простого р выполняется условие рк / п.

количества тех натуральных чисел п, не превосходящих х, для которых числа п+1],...,п+1, являются бесквадратными. Хелл более точно оценил остаточный член в формуле Мирского при к=2. Результат этого вида с более точной оценкой остаточного члена получил К.М. Тсанг [9].

В 1932 г. Л. Карлиц [10] решил задачу нахождения асимптотики количества бесквадратных чисел и, не превосходящих х, и таких, что и+1 также бесквадратно. Позднее Д.Р. Хиз-Браун [11] усилил этот результат. Т.К. Иконниковой [12] была решена более общая задача, а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от ¿-ых степеней, и таких, что (и+1) свободно от /-ых степеней.

Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от к-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [13] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа и в виде суммы двух слагаемых а и Ъ, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Более точную оценку остаточного члена получил Е. Коен [14] в асимптотической формуле Эстермана при к=2. Позднее Г. Ригер привел в работе [15] более общий результат, доказав асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа и в виде суммы двух слагаемых а и Ь, где а свободно от ¿-ых степеней и Ъ свободно от /-ых степеней.

В 2001 г. Т.К. Иконникова [14] рассмотрела проблему делителей Ин-гама на множестве чисел без ¿-ых степеней. Ею были получены асимптотики сумм значений функции т{п) • т(п +1), на множестве натуральных чисел п, свободных от ¿-ых степеней, а также на множестве тех натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, для которых (к+1) свободно от /-ых степеней (£¿2, Ш).

Автору представляется интересным найти асимптотики сумм значений функций <р(п), <р{п)-(р(г& 1), а(п), о(н)-о(и+1) на множестве чисел, свободных от к-ых степеней и на множестве тех натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, для которых (и+1) свободно от /-ых степеней (кк2, 1>2).

Цель работы. Найти асимптотики сумм

2Ж")> 1>(и), !>(«)■ <»(и+1), !>(«)■

TliX П&С Я» И«Х

n*Mt rt*Mt nsKft леА/«

и+laA/; л+lcM/

1Ф). 1>(и), 5>(и)-(т(п + 1), 2>(и)-сг(и + 1).

JlSJC Л£* "Si Д5Х

neMj rtf.v, 1кМк

и+leW, n+leW,

Методы исследования. Доказательства основаны на представлении характеристической функции множества чисел, свободных от fc-ых степеней, формулой хЛп) = Также в доказательствах применяются К

производящие ряды Дирихле, используются известные оценки сумм некоторых функций.

Научпая новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Получены асимптотики сумм

2>("), 2>("). X>(«)-?>(«+i), 2>("ЖИ+1),

п£х nix я£х niX

леМк л лМ/, пяМк

л+1ем, Я+IQW,

Ео-(и), 2>(л)> 5>(и)-ст(и + 1), J]a(n)-a(n + l).

ли я ¿г nsLr bsjc

netfj мЛ/^ ваЛ/^ п&Мк

n+UAf, n+imMi

Также получены более точные оценки остаточных членов в асимптотиках сумм > Х^М в предположении, что верна гипотеза Римана

nix и&х

яеЛ/д леЛ/4

для C(s). Кроме того, в оценках остаточных членов сумм <Р(п). S " +1) > X ст(") > X • +!) произведена замена хс

nix nix д&к nir

яеЛ/4 neA/t пеЛ/* леА/4

я+leAi/ n+leM,

на log2x, а в оценках остаточных членов сумм ]Г <р(п) • +1),

nix И€

л+1«Л/,

£а(и)-сг(л+1) на log4x. Доказано, что во всех суммах постоянные при

nix л+leM,

главных членах отличны от нуля.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании вопросов аналитической теории чисел, в частности при изучении асимптотического поведения сумм значений арифметических функций на различных множествах. Кроме того, их можно использовать в учебном процессе при чтении специальных курсов по теории чисел в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры теории чисел МПГУ под руководством профессора Д.А. Митькина; на Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула, 19-25 мая 2003 г.); на Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, одна из которых выполнена в соавторстве. Список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 91 страница. Библиография включает 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Мы будем придерживаться той же нумерации глав, параграфов и утверждений, что и в тексте диссертации.

Во введении излагается краткая история вопросов, изучаемых в диссертации, даны основные определения и формулируются основные результаты.

В главе I получены асимптотические формулы для сумм значений функции Эйлера (р(п) и функции <р{п)-(р{п^\) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от &-ых степеней и (и+1) свободно от 1-ых степеней.

В §1 производится формулировка и доказательство всех необходимых в дальнейшем лемм.

Используя вспомогательные утверждения §1, в §2 доказываются теорема 1 и теорема 2.

Теорема 1. Для любого натурального к>2 при х-»а> выполняется асимптотическое равенство

nix 2.

пьМк

где

\ J__J_ p2~pk+pMJ

f (togiT Л

>0, Rw(x) = 0

с некоторой константой с(к)>0.

Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. В теореме 2 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для ф).

Теорема 2. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для ф). Тогда

с некоторой константой c¡(k)>0.

В §3 доказана теорема 3, в которой получена асимптотика суммы значений функции Эйлера на множестве натуральных чисел и, свободных от к-ых степеней, и таких, что (и+1) свободно от 1-ых степеней.

Теорема 3. Для любых натуральных к>2 и t¿2 при выполняется асимптотическое равенство

1 ( ±£1. i ][>(«) =О * log2 х I,

тх 2 I J

nsMk 4 у

n+lsM,

где

v Р2 Рк Р' Р"

В §4 доказана теорема 4, в которой получена асимптотика суммы значений произведения функций Эйлера <р(п) и <р (п+1) на множестве натуральных чисел и, свободных от £-ых степеней.

Теорема 4. Для любого натурального к>2 при х-><» выполняется асимптотическое равенство

X Р(и) • (Pin +1) = -Hwx3 + 0(хы'1 log2 х\ nix 3

где

я(4)=П

V Р Р Р

При доказательстве теорем 3 и 4 проведены действия по замене хс на log2;c в оценке остаточного члена.

В §5 доказана теорема 5, в которой получена асимптотика суммы значений произведения функций Эйлера <р(п) и <р (п+1) на множестве натуральных чисел и, свободных от к-ых степеней, и таких, что (и+1) свободно от /-ых степеней.

Теорема 5. Для любых натуральных k¿l и l¿2 при х-»оо выполняется асимптотическое равенство

С ы-г X»-1 log4 л: L

л&г n+leM,

где

vltJ)=Y\

1-

1 i

i

i

>0.

р р р Р р При оценке остаточного члена проведены действия по замене хе на

log4*.

Доказательства теорем 3,4 и 5 основаны на представлении характеристической функции множеств А4 и М в виде формулы Хк (п) = ХМ^) •

В главе П получены асимптотические формулы для сумм значений функций ст(и) и ст(«)-о(и+1) на множестве чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что и свободно от к-ых степеней и (и+1) свободно от 1-ых степеней.

В §1 производится формулировка и доказательство всех необходимых в дальнейшем лемм. Используя вспомогательные утверждения §1, в §2 доказываются теорема 6 и теорема 7.

Теорема 6. Для любого натурального К22 при х-*» выполняется асимптотическое равенство

5>(и) = ^(7 li)x2+0

r _c(t) СП'Г.

(loglogxi"

где

рк рк*

1

>0,

с(к) - некоторая положительная константа.

Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. В теореме 7 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для £(s).

Теорема 7. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для ф). Тогда

log* ^

П£Х

пеМл

1+-2— —с, С*> д. <*+lg log log*

с некоторой константой С1(к)>0.

В §3 доказана теорема 8, в которой получена асимптотика суммы значений функции суммы делителей натурального числа на множестве нату-

ральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (и+1) свободно от /-ых степеней.

Теорема 8. Для любых натуральных к>2 и !>2 при х-*х> выполняется асимптотическое равенство

_2 ( Ы-i. N

£сг(и) = — Z^V + 0\х log2 X , «я 12 I )

ягМ, '

H-f]eAf|

где

£><*■" = П

'l_L_! 1 1 N P P P P

>0.

В §4 доказана теорема 9, в которой получена асимптотика суммы значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней.

Теорема 9. Дня любого натурального k¿2 при дс-»оо выполняется асимптотическое равенство

£ <т(и) • а(п +1) = — Е1к)х> + 0{хып log2 4

Hix 18

где

р\ Р Р Р )

В §5 доказана теорема 10, в которой получена асимптотика суммы значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (и+1) свободно от /-ых степеней.

Теорема 10. Для любых натуральных к>2 и при х-*» выполняется асимптотическое равенство

2 ст(и) • cr(n +1) = ^~F(iJ)x} + dxu-' log4 х

п&х 18 v^

neMt л+leMi

где

P P P P P P

1___1_+J___l___l_+_

>0.

Доказательства теорем 8, 9 и 10 основаны на представлении характеристической функции множеств М* и М/ в виде формулы %к(п) = Т//(с?), а

также на полученной в [16] А.И. Виноградовым и Ю.В. Линником оценке суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии,

в оценках остаточных членов.

Во всех теоремах доказано, что постоянные при главных членах отличны от нуля.

1. Mertens F. Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie // J. reine und angew. Math. 1874. 77. № 4. S. 289-338.

2. Dirichlet // Abhandl. Akad. Berlin. 1849. P.69-83. (Werke, ii. 49-66)

3. Walfisz Arn., Weyische Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Deutsch. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.

4. Салтыков А.И. О функции Эйлера // Вестник Москов. ун-та, сер. ма-тем., мех. 1960. №6. С. 34-50.

5. Gegenbauer L. Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie // Denkschriften der Akademie der Wissenschaften zu Wien. 1885.49. Abt. 1. P. 37-80.

6. Mirsky L. Aritmetical pattern problems relating to divisibility by r-th powers //Proc. London Math. Soc. (2). 1949. V.50. P. 497-508.

7. Mirsky L. Note on an asymptotic formula connected with r-free integers // Quart. J. Math. (Oxford). 1947. V. 18. № 71. P. 178-182.

8. Hall R.R. Square-free numbers on shot intervals // Mathematika. 1982. V. 29. P. 7-17.

9. Tsang K.-M. The distribution of /--tuples of square-free numbers // Mathematika. 1985. V. 32. № 2. P. 265-275.

что позволило заменить xs на log2* (теоремы 8 и 9) и на log4* (теорема 10)

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

10. Karlitz L. On a problem in additive aritmetic // Quart. J. Math. (Oxford) Ser. 3.1932. P. 273-290.

11. Heath-Brown D.R. The square sive and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 1984. V. 266. № 3. P.251-259.

12. Иконникова Т.К. Проблема делителей Ингама на множестве чисел без fc-ых степеней: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Моск. пед. гос. ун-т. М., 2001. -66 с.

13. Estermann Т. On the representations of a number as the sum of two numbers not divisible by fc-th powers // J. London Math. Soc. 1931. V. 6. Part. 1. №21. P. 37-40.

14. Cohen E. The number of representations of an integer as a sum of two square-free numbers // Duke Math. J. 1965. V. 32. № 1. P. 181-185.

15. Rieger G.J. Einige Sätze über ¿-freie Zahlen // Math.Nachr. 1963. Bd.25. № 3. S. 159-168.

16. Виноградов А.И., Линник Ю.В. Оценка суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии // Успехи математических наук. 1957. Т. 12. №4. С. 277-280.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Орлова С.В. Арифметические функции и числа, свободные от к-ых степеней // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -Тула: Изд-во ТулГУ. Вып. 1. 2006. С. 214-221. (0,5 п.л.)

2. Орлова С.В. Суммирование значений функции Эйлера на множестве чисел без k-тых степеней. // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. V Междунар. конф. (Тула, 19-24 мая 2003 г.). -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. С. 168-169. (0,06 п.л.)

3. Орлова С.В., Юрченко А.Л. Суммирование значений функции Эйлера на множестве чисел без k-тых степеней. // Чебышевский сборник. Тру-

ды V Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Том IV, вып. 2(6), 2003. С. 100-108. (0,7 п.л.) (вклад автора 50%)

4. Орлова C.B. О суммировании значений арифметической функции на множестве чисел без k-ых степеней // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. VI Междунар. конф., посвященной 100-летию И.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004 г.) -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 86. (0,05 пл.)

5. Орлова C.B. Суммирование значений арифметической функции на множестве чисел без k-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Том VI. Вып. 1(13). 2005. С. 157-162. (0,46 п.л.)

6. Орлова C.B. Асимптотическое представление суммы, содержащей произведение функций Эйлера <р(т)фп+1}, где m свободно от к-ых степеней, т+1 свободно от 1-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Том VI. Вып. 3(15). 2005. С. 127-138. (1 п.л.)

7. Орлова C.B. О среднем значении функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от £-ых степеней II Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Том VI. Вып. 3(15). 2005. С. 139-150. (1 п.л.)

8. Орлова C.B. Суммирование значений функции с(п) на множестве натуральных чисел, свободных от k-ых степеней. —Деп. в ВИНИТИ 20.04.2006. №537-В2006. 31 с. (1,2 п.л.)

Подл, к печ. 18.01.2007 Объем 0.75 п.л. Заказ №. 22 Тир 100 экз. I

I

Типография МПГУ !

Обозначения

Введение

ГЛАВА I. Функция Эйлера и числа, свободные от £-ых степеней.

§1. Вспомогательные утверждения.

§ 2. Суммирование значений функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней.

§ 3. Суммирование значений функции Эйлера на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от 1-ых степеней.

§ 4. Суммирование значений произведения функций Эйлера <р(п) и (р (п+1) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней.

§ 5. Суммирование значений произведения функций Эйлера <р(п) и (р{п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел пи п+1, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от 1-ых степеней.

ГЛАВА II. Функция суммы делителей натурального числа и числа, свободные от к-ых степеней.

§ 1. Вспомогательные утверждения.

§ 2. Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней.

§ 3. Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от 1-ых степеней.

§ 4. Суммирование значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней.

§ 5. Суммирование значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и п+\, одно из которых свободно от А:-ых степеней, другое от 1-ых степеней.

Одной из основных задач в аналитической теории чисел является задача изучения асимптотического поведения величины п<х при х —> оо с мультипликативной функцией / : N -» С.

Первый результат в этом направлении для функции Эйлера = „£ (1) d\n принадлежит Мертенсу [1], доказавшему в 1874 г., что

N IN2

Y/<f(n) = — + 0(N\ogN).

7Г n=1

Первый результат для функции суммы делителей натурального числа d\n принадлежит Дирихле [2], доказавшему в 1849 г., что

N 2

J2a(n) = ^N2 + 0(NlogN). п=1

Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и А.Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде

О (iV(logiV)2/3(loglogiV)1+e) .

Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а(п) с оценкой остаточного члена в виде

О (jV(logiV)2/3) •

В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы

Ел»), п<х п£М где f(n) - заданная арифметическая функция, М - некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.

В настоящей работе в качестве функции /(п) рассматриваются функции <р(п), <р(п) -<р(п +1), <т(п), а(тг) -cr(n+1). В качестве множества М -множество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней (при к > 2). Обозначим его через Мк- А также в роли М выступает множество таких натуральных чисел п, что п свободно от к-ых степеней и (n-f-1) свободно от 1-ых степеней (при к > 2 и I > 2).

Натуральное число п называется числом, свободным от к-ых степеней (при к > 2), если для любого простого р выполняется условие рк \ п.

Приведем некоторые утверждения о числах, свободных от к-ых степеней.

Доказано (см., например, [5]), что характеристической функцией множества Мк является функция

Х*(п) = £>(<0- (2) dk\n

Определим величину

Qk(x) = 1 п<х

- количество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х. Применяя формулу (2), получим х = £ Е м

П<х dk\n d<xl/k ldk\ d<xVk ъ V ' где £(s) - дзета-функция Римана. Первый результат на эту тему опубликовал Гегенбауэр [6] в 1885 г., который доказал, что при к = 2 6

Q2{x) = ^х + О (у/х).

В асимптотической формуле для Qk(x) можно получить более точную оценку остаточного члена в виде с некоторой константой с(к) > 0, применив оценку суммы значений функции Мёбиуса

ЕМп) = о(£), (3) где возрастающая функция д(х) согласно [3] (см. также [7]) имеет вид с fog г)3/5 д(х) = е (loglogx)1/5 (с > о). (4)

В конце сороковых годов XX века Л.Мирский [9], [10] рассматривал арифметическую задачу, которая состоит в следующем. Пусть даны s различных целых положительных чисел li,.,ls. Найти асимптотику величины F(x) - количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + li, .,п + ls свободны от к-ых степеней. Мир-ский получил асимптотическую формулу для F(x), главный член которой имеет порядок х, а остаток оценил как 0{x2^k+v>+e). Доказательство основано на представлении характеристической функции множества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней в виде формулы (2).

Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, P.P. Хэлл [И] получил асимптотическую формулу количества тех натуральных чисел п, не превосходящих х, для которых числа п + h, .,71 + ls являются бесквадратными. Остаточный член при s > 2 был

В 1932 г. Л. Карлиц [13] рассматривал несколько иную задачу, а именно нахождение асимптотики количества бесквадратных чисел п, не превосходящих х, и таких, что п+1 также бесквадратно. Элементарным ме

14] посредством метода решета усилил результат Карлица с оценкой

Т.К. Иконниковой [5], а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от к-ых степеней, и таких, что п + 1 свободно от 1-ых степеней. Главный член асимптотики также имеет порядок х, а остаточный член оценен как О

Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от к-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [15] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Эта асимптотика имеет вид тодом он оценил остаточный член как 0(х2/3+6). Позднее Д.Р. Хиз-Браун остаточного члена в виде 0(х7/и(log ж)7). Более общая задача решена с* = П (! ~ 2Р"*) • р

Более точную оценку остаточного члена в виде 0(n2/3 log2 х) получил Е.

Коен [16] в асимптотической формуле Эстермана при к = 2. Позднее Г. Ригер привел в работе [17] более общий результат, доказав асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, где а свободно от к-ых степеней и b свободно от 1-ых степеней. При к < I асимптотика имеет вид

Е °(-***). n=a+b Р |П о емк,ьем1 где cv = Y[(i-p-k-p-1). р

Таким образом, исследованиями в данной предметной области занимались в разные годы многие авторы, получившие интересные результаты. В тоже время, на взгляд соискателя, при изменении отдельных условий могут быть получены результаты, которые будут иметь важное значение для дальнейших исследований в данной предметной области. Изложенное обусловливает актуальность проведенного исследования.

Целью работы является поиск асимптотик сумм п<х п<х п<х п<х пемк п€Мк п€Мк «еМд.

П+16ЛГ; П+16М; п<х п<х п<х п<х пемк пеМк п€Мк пе~Мк n+i£M[ n+ieMi

Методы исследования. Доказательства основаны на представлении характеристической функции множества чисел, свободных от к-ых степеней формулой (2). Также в доказательствах применяются производящие ряды Дирихле, используются известные оценки сумм некоторых функций.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Получены асимптотики сумм п<х п<х п<х п<х пеМь пбЛ/д. п£Мк "бТЦ.

П+16Л/; п+1бЛ/г

П<1 п<х п<х п<х п€Мд. п€Мк п€Мк п+1 €М[ п+1бМ(

Также получены более точные оценки остаточных членов в асимптотиках сумм п<х п<х п&Мк пбМд. в предположении, что верна гипотеза Римана для £(s). Кроме того, в оценках остаточных членов сумм п<х п<х п<х п<х п£Мк п£Мк п€Мк п€ Мк п+1€М[ п+16М; произведена замена х£ на log2 ж, а в оценках остаточных членов сумм <р(п)-<р(п+ 1), XI сг(п) • 67(n+ 1) п<х п<х п€Мк

П+1€М( П+16М; на log4 х. Доказано, что постоянные при главных членах во всех суммах отличны от нуля.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании вопросов аналитической теории чисел, в частности при изучении асимптотического поведения сумм значений арифметических функций на различных множествах. Кроме того, их можно использовать в учебном процессе при чтении специальных курсов по теории чисел в высших учебных заведениях.

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 91 страница. Библиография включает 26 наименований.

В первой главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций <р(п) и (р(п)-<р(п+1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n + 1) свободно от £-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 1 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера на множестве М&.

ТЕОРЕМА 1. Для любого натурального к >2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство п<х n£Mj. где с некоторой константой с(к) > 0.

Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. Это позволило улучшить оценку остаточного члена, полученную ранее в работе [18] в виде О (х1+1/к+е). В теореме 2 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для £(s).

ТЕОРЕМА 2. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для С(s). Тогда с некоторой константой с\(к) > 0.

Эти результаты получены автором в работе [19]. В теореме 3 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера ip(n) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (n + 1) свободно от 1-ых степеней.

ТЕОРЕМА 3. Для любых натуральных к > 2, I > 2 при х -» оо выполняется асимптотическое равенство <р(п) = \в^х2 + О log2 х) ,

Z \ /

П< X nZMfc n+i ел/( где

П ^ р2 pk pi рк+1 ^

Доказательство основано на представлении характеристической функции множества Мк в виде формулы (2). Также произведены действия по замене х£ на log2 х в оценке остаточного члена. Этот результат получен автором в [20].

В работе [5] Т.К. Иконникова рассмотрела проблему делителей Инга-ма на множестве чисел без к-ых степеней. Ею были получены асимптотики сумм значений функции т(п) • т(п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней. Доказано, что при любых натуральных к > 2,1 > 2 и при х —> оо выполняются асимптотические равенства

Y^ г(п) ■ т(п + 1) = А^х In2 х + В®х In х + С(к)х + О , п<х п€Мк

J2 т[п) • т(п + 1) = D^x In2 ж + E^l)x lnx + F^x + О , n< I neMj. n+16M( где h = min(k,l), B{k\C[k\ E[k*\F<-w> - постоянные, nfi-1- —+ — -—)><>,

11 \ утр/ pk pk-^-2 J ' и

11 ^ pk pk-^-X pk-\-2, pi pl-{~2, J

В данной работе вместо функции т(п) • т{п + 1) рассмотрена функция ip(n) • (р(п + 1) и в теоремах 4 и 5 доказываются асимптотики сумм значений этой функции на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней.

ТЕОРЕМА 4. Для любого натурального к >2 при х -> оо выполняется асимптотическое равенство ф) • <р(п + 1) = хг + О (x2+1'k log2 я) , п< X пемк где р

ТЕОРЕМА 5. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х -» оо выполняется асимптотическое равенство

Y, Ч>(*) • ¥>(" + 1) = V + О log4я), п<х n£Mf. n+ieMj где flYl - - - — - I + J- + > п

11 р2 pk pi ^ pk+1 Т pl+l j ^

Доказательство теорем основано на представлении характеристических функций множеств Мк и Mi в виде формулы (2). Произведены действия по замене х£ на log2 х и log4 ж в оценках остаточных членов. Результаты теорем 4 и 5 получены автором в [21] и [22] соответственно.

Во второй главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций а(п) и а(п) • <т(п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n +1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 6 доказывается асимптотика суммы значений функции а(п) на множестве Мк.

ТЕОРЕМА 6. Для любого натурального к > 2 при х сю выполняется асимптотическое равенство *lG{k)x2 + о ,

ПбМд, где ) = П ~ ^k ~ + > с(к)~ некоторая положительная константа.

Применение производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса позволило в оценке остаточного члена вместо множителя х£ получить g v ' (log log z)1^

В теореме 7 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для £(s).

ТЕОРЕМА 7. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для ф). Тогда а(п) = ^G^x2 + О , п<х п£М). с некоторой константой с\(к) > 0.

В теореме 8 доказывается асимптотика суммы значений функции а(п) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (п + 1) свободно от 1-ых степеней.

ТЕОРЕМА 8. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х оо выполняется асимптотическое равенство а(п) = tDmx2 + о log2^ j п<х nEMfc п+1€М[ где

В теоремах 9 и 10 доказаны асимптотики сумм для функции а(п) • <т(п + 1) на множестве чисел без k-ых степеней.

ТЕОРЕМА 9. Для любого натурального к > 2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство

Y, • + 1) = ^Л3 + О (®2+1/* log2 , п<х пб Mf. где

ТЕОРЕМА 10. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство г(п) ■ а(п + 1) = + О log4 ж) , п<х n+l€Ml где

J.А. i^pi pk pk+2 pi

Доказательство теорем 8, 9 и 10 основано на представлении характеристических функций множеств и Mi в виде формулы (2), а также на полученной в [23] А.И. Виноградовым и Ю.В. Линником оценке суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии, что позволило заменить х£ на log2 х (теоремы 8 и 9) и log4 х (теорема 10) в оценках остаточных членов. Результаты теорем второй главы доказаны в работах [24] и [25].

Результаты исследования апробированы на семинарах кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета под руководством профессора Д.А. Митькина; на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24 мая 2003 г.); на VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004 г.).

0.

1. Mertens F. Uber einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie //J. reine und angew. Math. 1874. 77. № 4. S. 289-338.

2. Dirichlet // Abhandl. Akad. Berlin. 1849. P.69-83. (Werke, ii. 49-66)

3. Walfisz Arn., Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Deutsch. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.

4. Салтыков А.И. О функции Эйлера // Вестник Москов. ун-та, сер. матем., мех. 1960. №6. С. 34-50.

5. Иконникова Т.К. Проблема делителей Ингама на множестве чисел без к-ых степеней: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Моск. пед. гос. ун-т. М., 2001. -66 с.

6. Gegenbauer L. Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie // Denkschriften der Akademie der Wissenschaften zu Wien. 1885. 49. Abt. 1. P. 37-80.

7. Воронин C.M., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. M.: Физмат-лит, 1994.

8. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

9. Mirsky L. Aritmetical pattern problems relating to divisibility by r-th powers // Proc. London Math. Soc. (2). 1949. V.50. P. 497-508.

10. Mirsky L. Note on an asymptotic formula connected with r-free integers // Quart. J. Math. (Oxford). 1947. V. 18. № 71. P. 178-182.

11. Hall R.R. Square-free numbers on shot intervals // Mathematika. 1982. V. 29. P. 7-17.

12. Tsang K.-M. The distribution of r-tuples of square-free numbers // Mathematika. 1985. V. 32. № 2. P. 265-275.

13. Karlitz L. On a problem in additive aritmetic // Quart. J. Math. (Oxford) Ser. 3. 1932. P. 273-290.

14. Heath-Brown D.R. The square sive and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 1984. V. 266. № 3. P.251-259.

15. Estermann T. On the representations of a number as the sum of two numbers not divisible by k-th powers //J. London Math. Soc. 1931. V. 6. Part. 1. № 21. P. 37-40.

16. Cohen E. The number of representations of an integer as a sum of two square-free numbers // Duke Math. J. 1965. V. 32. № 1. P. 181-185.

17. Rieger G.J. Einige Satze uber k-freie Zahlen // Math.Nachr. 1963. Bd.25. № 3. S. 159-168.

18. Орлова С.В. Функция Эйлера и числа свободные от k-ых степеней. //Сборник материалов по итогам научно-исследовательской деятельности студентов в области гуманитарных, естественных и технических наук в 2002 году. М.: "Прометей"МПГУ, 2002. С. 370-373.

19. Орлова С.В. О среднем значении функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. JI.H. Толстого. Том VI. Вып. 3(15). 2005. С. 139-150.

20. Орлова С.В. Суммирование значений арифметической функции на множестве чисел без к-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Том VI. Вып. 1(13). 2005. С. 157162.

21. Виноградов А.И., Линник Ю.В. Оценка суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии // Успехи математических наук. 1957. Т. 12. №4. С. 277-280.

22. Орлова С.В. Арифметические функции и числа, свободные от к-ых степеней // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -Тула: Изд-во ТулГУ. Вып. 1. 2006. С. 214-221.

23. Орлова С.В. Суммирование значений функции а(п) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней. -Деп. в ВИНИТИ 20.04.2006. ДО537-В2006. 31 с.

24. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.