Управление некоторыми тепловыми процессами с сингулярными возмущениями. Вопросы устойчивостидинамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ЛНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Летавин Михаил Иванович

Управление некоторыми тепловыми процессами с сингулярными возмучениями. Вопросы устойчивости динамических систем.

01.01.II - системшй: анализ к автоматическое

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Р Г Б

2 7 ФЕВ 1г

На правах рукописи Ш 517.5:517.9

управление

Санкт - Петербург - 1993 г.

Работа выполнена на факультете прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант:

■член-корреспондент АЕ СССР, доктор физ.-мат. наук, профессор Зубов В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук Бутузов Валентин Федорович

доктор техн. наук Олейников Виктор Алексеевич

доктор физ.-мат. наук Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация:..,

московский институт сталеЁ и сплавов

Защитаесостоится 199^"г. в часов на заседа-

нии сшшализированного совета £-063.57.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора дгзико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: С.-Петербург, Васильевские остров, 10-я линия, док 33, атд.^

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГУ им. АЛ.!. Горького (С.-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9).

Автореферат разослан " £?"фг£рсЬМ> 1£з£"г.

Ученый секретарь спецнализировашюго совета А.П. Жабко

Общая характеристика работы.

Актуальность теми. В настоящее время достаточно полно развиты методы исследования сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений ( А.Н.Тихойов, А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов, Дмитриев и др.), а так se для линейных-уравнений с частными производными (ы.П.Вишник, Л.А.Лгостерник, О.А.Олейник, А.Б.Васильева, Б.Ф.Бутузов, Е.-Л.Лионс, А.М.Ильин, С.А.Ломов, Е.А.Троногик, 3..о7Бабкч и др.),в том числе и задач оптимального управления. Новые случаи квазилинейных уравнений либо нелинейных граничных условий представляет специальны! интерес. Особенно интересны применения методов сингулярных возмущений в задачах, где удается довести асимптотические рёнения до представлений, поддающихся физической интерпретации (например с вопросах тепловой работы деталей различных нашил).

Б теории обыкновенных дифференциальных уравнений (и дифференциальных включений) с однородными правыми частями накоплен большой опыт изучения устойчивости систем (Н.Н.Красовский, Б.П.Зубов, A.A. Шестаков, А.Ф.Филиппов и др.). Представляется ванным перенос накопления результатов в область динамических систем в банаховых пространствах.

Теорема Б.Н.Зубова о функционалах, описывающих область асимптотической устойчивости инвариантного мнолества динамической системы, нашла широкое применение в конкретных исследованиях систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Представляется ванным выяснение особеносгей применения этой теоремы к динамическим системам, списываемым уравнения!.® с частными производным:!

Объект исследования и цель работы. Объектами исследования являются - сингулярно возмущенное эллиптическое уравнение второго порядка с нелинейными граничными условиями третьего рода, связанное с процессом тепловой работы вращающегося цилиндра,

- сингулярно возмущенное квазилинейное параболическое уравнение второго порядка' с нелинейными граничными условиями третьего рода, связанное с процессом нагрева заготовок i методических нагревательны:-: печах с канальным подог.:,

- однородные полугруппы в банаховом пространстве,

- область асимптотической устойчивости динамической системы е мет-

рическом пространстве.

Цель работы заключается в том, чтобы

- построить сингулярное разложение решения задачи о температуре вращающегося цилшщра и на его основе дать алгоритмы управления температурой цилиндра,

- построить сингулярное разложение решения задачи о температуре . нагрева заготовок и на его основе дать алгоритмы управления температурой заготовок в ходе нагрева,

- дать определение однородных полугрупп в банаховом пространстве, охватывающее известные случаи решений обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями, и перенести на такие полугруппы теорию, развитую в конечномерном случае,

- проанализиррвагь особенности функционалов Ляпунова, описывавших область асимптотической устойчивости динамических систем с параболическими уравнениями состояния.

Общие методы исследования. Теория сингулярных возмущений, оптимального управления, устойчивости динамических систем.

Научная новизна. Б работе

- строится асимптотическое разложение в сингулярно-возмущенном эллиптическом уравнении ггорого порядка с замкнутыми траекториями характеристик вырожденного уравнения первого порядка с нелинейными граничными условиями третьего рода,

- получено эффективное Фурье-представление температуры в сечении вращающегося цилиндра находящегося под действием конвективного и лучистого теплообмена с внешней средой при больших значениях критерия Предводителева,

-разработав методика восстановления коэффициентов теплообмена по замерам температуры на границе цилиндра,

-разработана методика управления температурой цилиндра при помощи теплообмена на границе с внешней средой,

- строится асимптотическое разложение в сингулярно возмущенном кв зилинейном параболическом уравнении второго порядка с нелинейным! граничными условиями третьего рода,

- на основе анализа асимптотического приближения в задаче о натре металлических заготовок в методической нагревательной печи с канальным подом получен вывод о целесообразности термостатирования в конце зоны нагрева и о целесообразности переменной по длине пе* теплопровдности подовой плиты, построен алгоритм оптимального выбора теплопроводности подовой плиты по длине печи, ;

- построена теория однородных полугрупп в банаховых пространствах и характеризации их устойчивости е терминах собственных чисел полугрупп к порождающих их операторов,

- вь'яглена особенность функционалов A.M. Ляпунова, характеризующих область асимптотической устойчивости инвариантных множеств динамических систем, не обладающих свойством равномерного притяжения, что характерно для параболических уравнений.

Практическая ценность. Результаты работы, касающиеся те г,я ера тур-ноге режима Еразяюшегося пилинлра, использованы р. работах по стойкости роликов МНПЗ листопрокатных пехов ЧерМК,

- результаты работы, касающиеся нагрева заготовок использованы при реконструкции нагревательной печи проволочного стана сортопрокатного пеха ЧерМК.

Аптообапия работы. Результаты диссертации

- обсуждались на семинаре Б.II. Зубова на факультете ПМ-ПУ СПбГУ е марте 1990 г., на семинаре i-.Il. Васильева на факультете ШК МГУ в Феврале 1990 г., на семинаро А.Е. Васильевой и З.Ф. Буту зова на физическом факультете МГУ в марте 1991 г., на семинаре K.S. Кпри-на на факультете ПМ-ПУ СП61У в марте и апреле 1991 г., на семинаре З.А. Якубовича на математико-механическом факультете СП61У в мае 1991 г.,

- докладывались на всесоюзной конференции "Поверхности раздела, структурные дефекты и свойства металлов и сплавов" в г. Череповце в 1988 г., на всесоюзном семинаре "Автоматизация и механизация средств нагрева" в г. Москве в 1990 г., на всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возиушенных уравнений и некорректно поставленных задач" в г. Бишкеке е 1991 ц не международной конференции "Технология непрерывной разливки стали и горячей листовой прокатки" в г. Вологде в I9SI г.

Публикации. По диссертации опубликовано 2В работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 247 страницах машинописного текста г. состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 90 наименований.

Содержание тгнссетггапии Первая глава диссертации посвящена применению метода сингулят нкх возмущений для исследования квазистапионарного температурного режима е сечении вращающегося цилиндрического тела.

В §1 приводятся уравнения для температуры О в сечении цилиндра радиуса Я , вращающегося Еокруг оси с постоянной угловой скоростью С^ , при стационарных граничных условиях конвективного с л: чистого теплообмена

- ТМ) *ё(ч>)1$>1в)= О,

<д в

■ г*-.....(2)

Б (1).(2) обозначено £ = ±/~/РсР, Рс{-иэЯг/с1 - критерий Предводит лева, СС - коэфйншент температуропроводности материала цилиндра, §(<Р)-о!.('Р) Я /Я - критерий Био конвективного теплообмена поверх стп цнлищфг с внешней средой, оС (Р) - коэгагаиент конвектсвног теплообмена, .Я -коэ$?лпиент теплопроводности пплиндра, <р)я¿1 * Д /Л , - коэффициент лучистого теплообмена, 7^6

- температура средь:, с которой происходит конвективный теплообмен Тд - температура среды, с которой происходит лучистый тепле обмен. Параметр Рс1 в случае валков и роликов металлургического оборудования составляет от десятков до сотен тысяч, поэтому пара?.' £ в уравнении (I) является малым параметром. Функция (&) (2) имеет вид ф> (&)= \ 6\* &

Б параграфе 2 рассматриваются вопросы существования и единен нности-решения задачи вида (1),(2). Введем декартовы координаты Л хг=$ ъ» </> , область = < £} с границей Г={Х: + £} , оператора (&) = -£

производная по направления внеаней нормали к границе П . Тогда задача (I),(2) примет вид

1±£(е)=о, о)

¿(в)= ¿Ы+ , яеГ, (4)

где функции ? заменяют . Для обобщенного решения

задачи (3),(4) доказывается теоремы существования п единственности и необходимые оценки нор« Соболева и Гельдера.

В параграфе 3 вводится класс допустимых управлений как множество вектор-функций и.^) =(&(*), ¿С^)) Н2 Р > удовлетворявших условия?.:

¿(х)>, $(х)>Лм*о, ¿(х)* О, (5)

г,

$ £С») = > о, (в)

Г _ _

где В; & , 4> , & ^ ¿с» (Г7) > определяется функционал г

где ^"г ? квадратичные функции на У7 и по аргументам

. Доказывается тэореглг сушествования оптимального уппа-вления для функционала (7) на решениях задачи (3),(4)

т(и) и еХГъ. (е)

Б заключение параграфа формулируется необходимое условие оптимальности в форме принципе максимума Понтрягина.

В §4 строится асимптотическое разложение решения задач!: (I), (2) е виде

?,¥>)= £ б ^ + £ ег^ с*, <р), (о)

гдеконстанты, ~Ь - (¿~9)/£ - погранслойная переменная. Для определения постоянных ¿^получены уравнения

<Ш+ ¿Щ'МХЪ (п)

где угловые скобки означают усреднение величины по

27Г) .

Если ¿) £ Ц?) (условия (5),(6)), то ясно, что < -¿(Ч>)> + + > О, < $(<Р)>Ъ О, <&(Ч>)>ъО> следовательно уравн-

ение (10) разрешимо единственным образом. Считая пслоглтельнымл, получим из (10) СО0>О . Поэтом?!' < **" + '(с00)> > О и следовательно разрешимы все уравнения (II).

Пог^йслойные функции ^ определяется из уравнение

Ор" (12)

и краевых услов1

Aí где

вычисляются через , при 4 = *.

Из приведенных соотношений члены асимптотических рядое ¿^/й/з находятся в такой последовательности: и)с из уравнения (10), ^(Ь^) из уравнения (12) щ>г: £ ; бс^ из уравнения (II) яри = ± ,

^г 1:3 Уравнения (12) при Д=<2. и т.д. В заключение парагра-

фа доказывается теорема, сходимости построенного разложения.

В §5 полученное асимптотическое представление температуры применяется к исследованию конкретных вопросов, связанных с эксплуатацией роликов малин непрерывного литья заготовок. В примере I выводится формула восстановления коэффициента теплопередачи на участке контакта ролика со слябом по замерам температуры в граничных точках ролика вне зоны контакта. 3 примере 2 выводятся Формулы восстановления коэффициентов лучистого и конвективного теплообмена на границе ролика с внешей средой по граничны?' значения*: температуры. В примере 3 рассматривается задача мшшшзатпш среднепнтегральной температуры ролика при помож коэффициентов теплообмена (ё, ¿>) С 17д. Доказано существование единственного оптимального управления в приближенно* асимптотической задаче управления, построены эффективные методы численного отыскания оптимальных коэффициентов теплопередачи.

Глава 2 посвядена исследованию системы дсР<"сриатгелюп: уравнений, спискеею::-п: совместно* изменение температуры заготовок и ян-1,.овых г£зог в методической нагревательной печи с каналькыг подо:.:.

ем процессов окалпнообрезогаЕУ: на тепловое ре~дм квазистациокарная температура Э в точке сеч-зкня заготовки с координатами

в

где: е(0)= $ с[% - внутренняя энергия, С, <?,% - те-

о

пдоФпзпчссм::. характеристики материале заготовки (коэффициенты теплоемкости, плотности, теплопроводности), зГ - скорость двикекия заготовок, Ь - длине печи, - высота заготовки. Заготовка поступает в печь с начальной температурой 0(Х,О)=<р, 0<Х<А,

и нагревается сверху за счет гревпих газов

где сС - коэффициент теплопередачи прг конвективном теплообмене, о - коэффициент лучистого'теплообмена,

температура греющих газоЕ. Снизу происходит нагрев заготовок за счет дымовых газов, проходящих по каналам в поде печи,

где (%■) - элективный коэффициент теплопередачи мезду дымовыми газами к нагреваемой заготовкой, - температур дымовых га-

зов, удослетворялгаая уравнению

где Сг , ^р - теплоемкость г плотность дымовых газов, 6у» - объемный расход дымовых газов, - пприна подовых каналов. Поскольку деловые газы двигается в противотоке с движением заготовок, то начальная температуре, задается при ; - ¿, В качестве оптимизируемого параметра взбирается среднеднтетральная

темпетэатутза в к окне натоева * &

о

причем г качестве управляющей пункции выбирается эффективный коэ£-фипиэкт теплопередачи (у-) . Таки- образом задача (13) имеет смысл увеличения температуры за счет выбора переменной теплопроводности пола, определяющей коэффициент

В доказыгаптся теоремы существования п единственности решения задачи о нагреве заготовок, необходимые опенки ресэний при естественных предположениях об основных параметрах, причем на величину - длину печи - ограничений не накладывается. Дале-- доказы-

вается существование оптимального управления в задаче (13) на классе функций ТГ= { Uly) : ч £ ¿„((0,4), О^-оС £ Иф-с

и выводятся необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

В §3 строится асимптотическое разложение решения задачи о-нагреве заготовок. При помощи замены переменных и обозначений

V/¿С, £ = ■&¿/Xj

где С у $ } Л ¿С характерные значения удельной теплоемкости, плотности, коэффициента теплопроводности и коэффициента теплопередачи, перепишем уравнения в виде

= УСъ), о<^< d,

Здесь обозначено ¿¿-¿/4., =ё/(С $) f Л£=Л/Л, d^oi/J-j оС£Э = cL^/Z, fc = ¿L&y, ¿t = 6 / ¿С • Величина £ в приведенных уравнениях является критерием Био и при реальных значениях величин, входящих в ее определение, является малым параметром. Асимптотическое разложение решения ищется в ввде формальных рядов

=£ ¿я (и^ +^ i)), (и)

. eA fcM = £ + i (15)

где регулярные члены разложения,

- погранслойные члены при ^¿'О , экспоненциально убывающие по переменной ~Ь . Функции, входящие в разложение (14),(15) определяются в такой последовательности: Но (у*) = £0 (у-*), определяются из уравнений

4 ^ = Ы-и» (сф)), (16)

при 11=0 и

^ = Ш-Со(&)+^ (ог - с &))+

+ ^ (р (6Г(^)) - (Р(С0(^))) , (17)

с условиями

518)

при п-4. И и*(о) = Со(0)=Е( ) , где £ обратная функция к : Е [&£.(&)) - ® • Для определения функции 2Т0 имеем уравнение

с краевыш условиями - Ол =0,

1Ь > О и начальным условием О) — ) — ¡/о^о)^ здесь использовано обозначение

На следующем шаге определяем функции > У 1

(Хл, ? -Для фикций С* , ЫЛМ мы имеем уравнение (16) при ± , уравнение

при £ , где функции вычисляются черезС£ при

-0,1,..п-^ условия (18) при П-= £ и условия

^ (г<3 О) = ^ 21_ (■&) Л .где {¿) известная экспоненциально убывающая функция, а вычисляется по формуле х± <х'

^ ={5 $ /г " -

° о - (&) -XI } + С *

при К - ± , где функции вычисляются через

функциичерез СЛд^ (/4 ^ О,. Для определения функции ^ -Ь ) имеем уравнение

(е* (4°(**>*))а*V)-

при , начальное условие , й< °£*<±>

и краевые условия

при ц - £ , где функции вычисляются через /Я»

Ы^СуО), ¿3, И-£. Наконец функция ) находи-

тся по формуле = -¿>

при )Ь-£ , где Нл (Ъ) вычисляются через функции т?^ при

имеет экспоненциальное убывание на бесконечности. В такой же последовательности на следующем шаге вычисляются функции С.2, ? > Е т- Доказана корректность всех задач,

определящих функции разложений (14),(15) на кадиом шаге.

В §4 доказана теорема о сходимости асимптотических приближений к решению задачи.

В §5 на основе нулевого и первого асимптотических приближений анализируется температура в сечении заготовки в процессе нагрева.

На основе первого приближения сделан вывод о целесообразности тер-мостатирования в конце нагрева для выравнивания температуры по высоте заготовки. На основе нулевого приближения проведен анализ задачи управления среднеинтегральной температурой заготовки в конце нагрева. С помощью необходимых условий оптимальности для управляющей функции } формулируется определение экстремали и доказывается, что при определенных условиях, тлеющих место в нагревательных печах, экстремальное управление имеет только одну точку переключения. Это позволяет свесги оптимизационную задачу к отысканию максимума функции одного переменного.

В §6 приводится конкретный пример нахождения оптимального распределения теплопроводности пода печи.

В третьей главе рассматриваются некоторые вопросы асимптотического поведения полугрупп е банаховых пространствах.

В §1 приведены необходимые определения и факты.

В §2 вводится понятие однородной полугруппы в банаховом пространстве и собственного элемента однородной полугруппы. Найдены условия, при которых траектории полугрупп имеют степенной порядок убывания аналогичный поведению решений обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями. Показано, что наличие собственного элемента у полугруппы позволяет доказывать точность показателя степени б оценке степенного убывания в случае отсутствия оценки снизу для траекторий. Последнее обстоятельство типично в бесконесномерных пространствах. В заключение параграфа приводится пример, поясняющий понятие собственного элемента полугруппы и его связь с собственным элементом порождающего полугруппу оператора.

В §3 рассматривается вопрос о характеризации устойчивости однородных операторов с иоыоаыо собственных'чисел. Доказано, что дал

однородных потенциальных операторов, удовлетворяющих некоторым уело виям, гарантирующим энергетическое тождество для порожденной полугруппы и существование собственных чисел, отрицательность собственных чисел является необходимым и достаточным условием устойчивости.

В §4 рассматривается нестационарные возмущения однородных" операторов и доказана теорема об оценках решений возмущенного уравнения. Приводится пример квазилинейной параболической системы уравнений иллюстрирующий теорию параграфов 3, 4.

3 §5 рассматривается область асимптотической устойчивости абстрактной динамической системы в метрическом пространстве. Теорема Зубова об области асимптотической устойчивости формулируется таким образом, чтобы подчеркнуть роль равномерного притягивания в свойствах функционала Ляпунова, характеризующего границу области. При работе с автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений свойство равномерного притяжения всегда есть для ограниченных инвариантных множеств в виду наличия компактной окрестности. В случае динамических систем определяемых уравнениями с частными производными свойство равномерного притяжения обычно не имеет места. В качестве примера рассматривается класс так называемых полулинейных параболических уравнений. Для описания этого класса вводится понятие линейного секториального оператора, его дробных степеней и дробных пространств. Доказывается, что если дифференциальное уравнение с таким оператором определяет решения, обладающие свойством равномерного притяжения, то этот оператор ограничен. Так что для полулине йных параболических уравнений свойство равномерного притяжения отсутствует. На примерах показано, что |ункционалы, описывающие область асимптотической устойчивости имеют различную силу. Поэтому нельзя использовать их для построения областей, вписанных е область

асп'лптоткческой устойчивости, так как это делается для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы е работах: К главе I.

1. Летавин ГЛ. И. О сингулярной задаче управления температурой вращавшегося цилиндра в квазистационарном режиме. Деп. в БИНИТК 29.II. 1988, 8396 - В88. - 18 с.

2. Летавин Ki.II. О сингулярной задаче управления температурой вращающегося цилиндра в квазистационарном режиме II. Деп. в

: ВИНИТИ 09.02.1989, & 895 - В89. - 38 с.

3. Летавин 1Л.И. О задаче граничного управления резением эллиптического уравнения с нелинейным граничным условием. Деп. : ВИНИТИ 11.05.1989, й 3083 - В89. - 22 с.

4. Летавин М.П. О пограничном слое в задаче нагрева вращающегося цилиндра // Диф(*ереш. уравнения с частными производными Межвуз. сб. научн. трудов. - Л.: ЛГПК, 1989. - с. 58-66.

5. Запенкова Г.К., ЛетаЕИн М.И., Шестаков Е.И. Температурное и ле вращающегося цилиндра // Инг..-физ. журнал. - 1990, т. 59 Н I. - с. 169-170.

6. Летавин ?/..К. Асимптотическое разложение решения краевой зад чи теплопроводности для врааакшегося цилиндра // Дийференц. уравнения. - 1990. - т. 26, .''-12. - с. 2088-2093.

7. Егоров Б.П., Летавин Ы.П., Шестаков Н.И. Температурное поле Братающегося полого цилиндра // Инк. - физ. журнал. - 1991. т. 61, .'5 4, - с. 691-692.

8. Тишков В.Я., Шестаков Н.И., Летавин М.И. и др. Управление тепловым режимом ролика машины непрерывного литья заготовок Технология непрерывной разливки стали и горячей листовой пр катки. Материалы международной конференции. Вологда, 1991. с. 57-50.

9. Шестаков Н.И., Тишков В.Я., Летавин М.К. и др. Влияние режи внутреннего охлаждения ролика МШ13 на его тепловое состояни

// Изв. ВУЗов. Черная металлургия. - 1991. - £ 5. - с. 91-93

Ю. Летавин М.И, О сингулярной задаче нагрева врашашегося шшн-дра. - В кн.: Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач: Тез. докл. всесоюз. конф., г. Бишкек, 10-12 сент. I9SI / АН Республики Кыргызстан, Ин-т математики. - Бишкек: Илим, 1991. - с. 71.

11. Летавин М.И., Мишурис Г.С. Нестационарный температурный пог-ранслой в сечении Ерашаетегося цилиндра // Диф*. уравнения. - 1991. - т. 27, Jfi S. - с. 1596 - 1603.

12. Шестаков Н.К., Тишков В.Я., Летавин М.И. и др. Термонапряженное состояние роликоЕ машины непрерывного лптья заготовок // Изв. ЗУЗое. Черная металлургия. - IS92, JS 5. - с. 24-27.

13. ЛетаЕИн ГЛ.И., Шестаков Е.И., Егоров З.П. Расчет температурных полей // Тепловые процессы при непрерывной разливке стали. Ц.: Черметинйорчапия. - I9S2. - с. 147-155.

14. Летавин М.И., Шестаков Е.И., Егоров В.П. Теркоудругие напряжения // Тепловые процессы при непрерывной разливке стали. М.: Черметинформания. - I9S2. - с. I56-I6I.

15. Летавин М.И., Шестаков Е.И. Решение уравнений гермоупругости в сеченип Еращагаегося цилиндра методом сингулярных возмущений // ПММ. - 1993. - т. 57, 2. - с. 149-157.

К главе 2.

16. Луканик Ю.В., Шестаков Е.И., Летавин М.И. Инженерная методика расчета методических нагревательных печей толкательного типа с канальным подом. - : ЦНИИ информации и технико-эконо-мическпх исследований черной металл:,тргии Мин. Мет. СССР, 1990. - 51 с.

17. Луканик Ю.В., Шестаков Е.И., Летавин М.И. Совершенствование режима нагрева заготовок в методических нагревательных печах // Изв. ВУЗов. Черкая металлургия. - 1990, J; II. - с. 109.

18. Луканик Ю.В., Шестаков Е.И., Летагин М.И., ЕгороЕ В.П. Модернизация методических нагревательных печей толкательного типа. 3 кн.: Прогрессивная технология и оборудование дж нагрева заготовок под ковку, штамповку, термообработку. Автоматизация и механизация срэдстЕ нагрева. Материалы всесоюзного семинара. ЦНИИ Ж и ТЭИ. - М., 1990. - с. 38-40.

19. Луканин 10.3., Шестаков Е.И., Летавин М.И. и др. Динамика

роста окалины на поверхности металлической заготовки. В кн.:

Поверхности раздела, структурные деффектк и свойства металлов i:

сплавоЕ. Тезисы докладов всесоюзной конференции. - Череповец,

1938. с, 164.

20. A.C. 1688087 СССР. Нагревательная печь / Луканин Ю.В., Шес-таков Н.И., Рослякова Н.Е., Летавин М.И. и др. // Открытия. Изобретения. 1991, % 40. - с. 159.

21. A.C. 1668426 СССР. Способ нагрева заготовок / Луканин Ю.В., Рослякова Н.Е., Шестаков Н.И., Летавин ''.11. // Открытия. Изобретения. 1991, Js 29. - с. 115.

22. Луканин Ю.В., Шестаков E.H., Летавин И.II. и др. .Методика

• расчета термического сопротивления пода, оснаиенного сегме] тообразнымк каналаг,1и: // Изв. БУЗов. Черная металлургия. -1991. - Я 7. - с. 97-98.

23. Шестаков Н.И., Летавин il.II., Егоров В.П. и др. Термическое сопротивление рабочей стенки кристаллизатора с Еодоохлажяа-екыми каналами /,/ Проблем машиностроения и надежности мал: - I9S2. - J? I. - с. 66-70.

24. Летавин М.И. Об одной спнгулярно-возмушенной задаче нагрев, металла // ГШ и MS - I9S2. - т. 22, !'■ 9. - с. I476-I49I.

К главе 3.

25. Летавин М.И. Об устойчивости эволгдионных уравнений с нелп нейнда первым приближением. 3 сб.: Функциональный анализ. Ульяновск: УШИ, 1987. - стр. I08-II7.

26. Летавин М.И. Об устойчивости однородны?: полугрупп // Дифф. уравнения. - 1988. - т. 24, J"; 3. - с. 393-398.

27. Летавин М.К. О харантеризаиип асимптотической устойчивостг однородных потенциальных операторов с помопьг собственных чисел /,/ Дифф. уравнения. - 1988. - т. 24, !э 8. - с. 13471351.

28. Летавин М.И. Об области асимтотпческой устойчивости инвар: антного множества динамической системы, не обладающего сво! ством равномерного изменена.«; расстояния // Дифф. уравнения, - 1988, - т. 24, 1С. - с. Г70Г~та.