О некоторых разложениях в неархимедовских нормированных кольцах и полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.36+511.37

Сухарев Иван Юрьевич

О НЕКОТОРЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ

В НЕАРХИМЕДОВСКИХ НОРМИРОВАННЫХ КОЛЬЦАХ И ПОЛЯХ

01.01.Об — математическая логика, алгебра и теория чисел

.с

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Москва-2011 и

4854907

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Чирский Владимир Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Архипов Геннадий Иванович кандидат физико-математических наук, Поповян Илья Ардашесович Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится «14» октября 2011 г. в 1С ч. 45. м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан «14» сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертационная работа является исследованием по вероятностной и аналитической теории чисел. В ней рассмотрены задачи об аналогах разложения Оппенхайма в кольце ^-адических чисел Qs, где g - составное число.

06 обобщении понятия кольца полиадических чисел и получени теорем о метрических свойствах разложений в рассматриваемых кольцах.

Поле Q рациональных чисел можно пополнить по метрике, порожденной обычной абсолютной величиной, и получить поле К действительных чисел. Пополняя поле Q по метрике, порожденной р-адической нормой, получим поле Qp р-адических чисел.

Р-адические числа являются постоянным объектом современных исследований, так как они имеют многочисленные приложения не только в теории чисел, но и в других разделах теоретической и прикладной математики, а также естественных науках1: физике, химии, генетике.

Известны различные способы представления действительных чисел: позиционные системы счисления, непрерывные (или цепные) дроби различных классов (регулярные, по ближайшему целому, ветвящиеся)2'3'4. Также известны разложения Энгеля, Люрота, Сильвестра, Кантора5. Эти разложения были обобщены А.Оппенхаймом6. Свойства этих разложений, в основном, метрические, исследовал А. Оппенхайм6, Я. Галамбош7'8, Ю. By9'10 и другие.

Для р-адических чисел также существуют различные представления: помимо канонического представления известны разложения в р-адические

'Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И., р-адический анализ и математическая физика Москва. «Фиэматлит». 1991

1 Хинчпн А.Я. Цепные дроби // Noordhoff, Groningen, M. «Наука», 1978. Gylden H. Quelques remarques relativement à la représentation des nombres irrationels par des fraction continues // C. R. Acad. Sei. Paris. V.107. 1888. p. 1584-1587

VViman A., Über eine Wahrscheinlichkeits auilage bei Kettenbruchetwicklunecn // Akad. Föhr. Stockholm. V.57. 1900. p. 589-841

°Perrou О., Irrationalzahlen. Chelsea. New York. 1951.

Oppenheim A., The representation of real numbers by infinite series of rationals // Acta Arith 21 1972, p. 391-398. '

7 Galambos J., The crgodic properties of the denominators in the Oppenheim expansion of real numbers mto infinite series of rationals // Quart. J. Math. Oxford (2) 21. 1970, p. 177-191

Galambos J., Reprentations of real numbers by infinite series // Lecture Notes in Math. 502 Sprincer Berlin, 1976. '

* Wu J., The Oppenheim series expansions and Hausdorf dimensions // Acta Arith. 107.4. 2003.

Wu J., A problem of Galambos on Engel expansions /'/ Acta Arith. XCH.4 (2000), p. 383-386

непрерывные дроби,11,12,13:14 и исследованы их свойства.12Д4'15,16 Естественной задачей было получение аналогов разложений в полях р-ади-ческих чисел. А. и Дж. Кнопфмахерами17,18'19'20 предложены такие аналоги: разложение «типа Люрота», «типа Энгеля», «типа Сильвестра». Они являются частными случаями полученного А. и Дж. Кнопфмахера-ми аналога18 разложения Оппенхайма для поля Qp.

Одним из важных направлений теории чисел является вероятностная теория чисел. Эта теория получила значительное развитие в трудах российских и советских математиков. Работы по данному направлению представлены у Й.П. Кубилюса21, А.Г. Постникова22'23, М.П. Минеева24, В.Н. Чу-барикова25'26, Архипова Г.И.26, Карацубы A.A.26

В направлении исследования метрических и асимптотических свойств разложений чисел были получены некоторые результаты. В частности, Ягер и де Вроедт27, а также Салат28 получили результаты для разложений Люрота действительных чисел, П. Эрдеш, А. Репьи и П. Шуц29

u Rub ал A., Some metric properies of p-adic numbers // Siberian Math. J. 11. 1970. p. 176-180

12 Laohakosol Y., A characterization of rational numbers by p-adic Ruban continued fractions // J. Austral. Math. Soc. Scr. A 39. 1985., p. 300-305

"Schneider Th., Über p-adische Kettenbrüche // Symposia Math. 4 .1970. p. 181-189

14 Mahler K., Zur Approximation p-adischer Irrationalzahlen // Nieuw Arch. Wisk. N 18. 1934. p. 22-34

15 Laohakosol Y., Ubolsri P., p-adic continued fractions of Liouvilie type // Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), p. 403-410

16 Ruban A., Some metric properies of p-adic numbers // Siberian Math. J. 11. 1970, p. 176-180

17Knopfmachcr A. and J., A product expansion in p-adic and other non-archimcdcan fields // Proc. Amer.

Math. Soc. 104, 1988, p. 1031-1035.

18 Knopfmacher A. and J., Series expansions in p-adic and other non-archimedian fields // Journal of number theory. 32, 1989, p. 297-306

19 Knopfmacher A. and J., Metric properties of some special p-adic series expansions // Acta Arith. LXXVI.l. 1996., p. 11-19

20 Knopfmacher A. and .1., Infinite series expansions for p-adic numbers // ibid. 41, 1992, p. 131-145

21Кубилюс Й.П.. Вероятностные методы в теории чисел. Вильнюс. 1962.

22 Постников А.Г., Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофаптовых приближений // Тр. МИАН СССР, 82 (1966),стр. 3-112.

23 Постников А.Г., Усиленный закон больших чисел для выборки из равномерно распределенной случайной величины // Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, 22, № 3, стр. 433-438.

24 Минеев М.П., Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргоднчсской суммы /У Изо. АН СССР. Сер. матем., т. 22, № 5 (1958), стр. 585Ц-598.

25Жимбо Э.К.. Чубариков В.Н., О распределении арифметических функций по простому модулю // Дискрет, матем., т. 13, № 3 (2001), стр. 32-41.

26 Архипов Г.И.,Карацуба A.A., Чубариков D.H., Распределение дробных долей многочленов от нескольких псрсмсппых // Матсы. заметки, т. 25. № 1 (1979), стр. 3-14.

27 Jager Н. and de Vrocdt С., Luroth series and their ergodic properties // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 72. 19C9, p. 31-42

28 Salat Т., Zur metrischen Theorie der Lürothschen Elitwicklungen der reellen Zahlen // Czechoslovak Math, J. 18. 1968, p. 489-522

29 Erdös P., Rcnyi A. and Szüsz P., On Engel's and Sylvester's series. /'/ Ann. Univ. Sei. Budapest. Eötvös

Sect. Math. 1. 1958, p. 7-32

— для разложений Энгеля и Сильвестра. Репьи30 — для бесконечного произведения Кантора, и Галамбош8 — для более общих случаев, названных р-адическим разложением Оппенхайма. Рубан10 исследовал р-адические метрические теоремы, аналогичные предложенным Хинчиным2 для действительных цепных дробей. Соответствующие результаты для р-адического разложения «типа Энгеля» и «типа Люрота» были получены А. и Дж. Кнопфмахерами19. а также Грабнером совместно с А. Кнопфма-хером31 соответственно, свойства р-адического разложения Оппенхайма исследовали Ю. Ву32.

Объектами исследования этой работы являются прямые суммы и произведения некоторых совокупностей р-адических полей. В первой части работы рассматриваются аналоги разложений Оппенхайма в кольце Qg g-адических чисел. В лемме 7 показано, что если применить алгоритм р-адического разложения Оппенхайма для позиционной системы счисления по степеням составных чисел (в кольце Qg, где число g — составное), то р-адический алгоритм18 Оппенхайма, откажется работать на некотором шаге с вероятностью, стремящейся к единице с ростом числа его шагов. В работе предлагается многомерный аналог разложения Оппенхайма, опирающейся на то, кольцо д-адических чисел представляет собой прямую сумму полей р-адических чисел Q9 = n_QPi, д=р1---рк (теорема Малера33). i=i,t

Вторая часть работы посвящена исследованию прямых произведений бесконечной совокупности колец целых р-адических чисел.

Опишем вначале конструкцию, которая провела к понятиям р-адических и полиадических чисел.

Рассмотрим некоторую последовательность натуральных чисел {pj} и некоторую комплексную переменную г. Для каждого числа к € N верно следующее полиномиальное тождество

(1 + 2 + ... + z^Xl + zPl + ... + 2pi(p2_1))(l + zPiP2 + ... + ¿PiKfo-1))... = = 1 + z +z2 + z3 + ... + zPlP2'"Pk~l.

В частности, если последовательность pj постоянная, то есть pj = р для

■"'Reuyi A., On Cantor's product // Colloq. Math. G. 195S, p 135-139

Grabner P. and Kuopfnia£her A, Arithmetical and metric properties of p-axlic Engel scries expansions // Publ. Math. Debrecen. to appear.

32 Wu J., Metric properties for p-adic Oppenheim sériés expansions // Acta Arith. 112.3. 2001., p. 247-261

Mahlcr K., Introduction to p-adic numbers and their functions // Cambridge Univcrsity press. 1973.

всех j, то тождество примет вид

к-1 /Р-1 \

г=0 \i/=0 / п=0

означающее, что каждое неотрицательное число п < рк может быть представлено единственным образом в виде ряда

п = iso(n) ■p° + u1(n)-pl + ... + uk-i (п) ■ рк~\ (1)

где цифры vr(n) удовлетворяют следующим условиям: 0 < vT(n) < р. Если мы возьмем pj = j, то pi.. ,рт = г! и искомое тождество примет вид

*-1 1 Дг+1 )! к-\ ( т \ W-1 г—0 г—0 \v=0 / п=0

означающее, что каждое неотрицательное число п < к\ может быть представлено единственным образом в виде суммы

п = 1/1 (п) • 1! + и2{п) • 2! + ... + рк-г{п) • {к - 1)! (2)

где цифры v(n) удовлетворяют неравенству: 0 ^ i/г(п) ^ г.

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (1), приводит к р-адическому анализу (К. Гензель 34).

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (2) приводит к полиадическому анализу. М. Д. Ван Дантзиг35 и позже Е. Новоселов36'37 привели подробные исследования в этой области. Описание конструкции полиадических чисел также дано в книге А.Г. Постникова38.

Кольцо полиадических чисел находит приложения в теории чисел, а именно, с помощью теории интеграла и меры на полиадических числах были вычислены некоторые асимптотические плотности, а также получен новый вывод ряда известных формул для функций теории чисел39. Поэтому, естественным является дальнейшее изучение его свойств и его обобщение.

34 Hensel К. Theorie der algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig, 1908.

35 Van Dantzig M.D., Nombres universels i/!-adiques avec une introduction sur l'algbbrc topologiquc // Ann. Sei. de l'École Norm. Sup., N 53. 1936, p. 275-307.

36 Новоселов E.B., Новый метод в вероятностной теории чисел. Изв. акад. наук СССР. Серия математика. № 28. 1964. стр. 307-364.

"Новоселов Е.В., Введение в полиадический анализ: Учебное пособие по спецкурсу. Петрозаводск. 1982.

33 Постников А.Г., Введение в аналитическую теорию чисел. Москва. «Наука». 1971.

39 Новоселов Е.В.. Об интегрировании на одном бикомпактном кольце и его приложениях к теории чисел. Изв. высших учеб. заведений. Математика. 1961. № 3 (22), стр. 66-79

Прямое произведение колец Жр. по всем простым числам рг, как отмечалось выше, изоморфно кольцу полиадических чисел Для полиадических чисел существует каноническое представление в виде бесконечного

оо

ряда вида £ атт\. Элементы этого кольца также можно представить ря-

т= 1

дами специального вида. На их множестве вводится теория меры и интегрирования. Исследуются некоторые метрические свойства этих рядов.

Естественно рассмотреть некое обобщение понятия полиадических чисел, а именно, рассмотреть бесконечные прямые произведения колец целых Р;-адических чисел по некоторой бесконечной совокупности простых чисел

Р' = Ы с р.

Этому подмножеству соответствует некоторая топология, как и в случае кольца полиадических чисел. Поэтому, обобщение понятия полиадических чисел (названное нами кольцом полуполиадических чисел) можно строить аналогичным образом, как топологическое кольцо, через пополнение метрического пространства. Кольцо полуполиадических чисел также можно построить как обратный предел по системе конечных коммутативных колец, порядок которых делится только на простые числа из заранее фиксированного подмножества простых чисел Р'. В работе предложены две указанные конструкции и показано, что такие построения эквивалентны и приводят к одному и тому же понятию. На данном кольце также строятся классические конструкции: теория меры и интегрирования, определяется измеримый изоморфизм в отрезок [0,1], сохраняющий интегралы, вычисляются меры различных множеств. Для кольца полуполиадических чисел доказывается теорема о равномерности распределения множества натуральных чисел в данном кольце.

Цель работы

• Построить аналог разложения Оппенхайма. в кольце ^-адических чисел. Исследовать арифметические и метрические свойства указанного аналога.

• Изучить методы построения кольца полиадических чисел и обобщить данное понятие, предложив различные конструкции этого обобщения. Исследовать структуры, возникающие на указанном обобщении кольца иолиадических чисел: построить теорию меры, интегрирования. Для данного обобщения вычислить меры некоторых множеств.

• Получить для рассматриваемого обобщения аналог канонического

разложения (аналогично кольцу полиадических чисел) и исследовать его арифметические и метрические свойства. Решить вопрос о равномерной распределенности множества натуральных чисел в полученном кольце.

Научная новизна

1. Построен аналог разложения Оппенхайма в кольце д-адических чисел, учитывающий наличие ненулевых необратимых элементов. Получены метрические свойства указанного разложения, аналогичные свойствам р-адического разложения Оппенхайма. В частности, вычислено математическое ожидание некоторой характеристики коэффициентов указанного разложения. Доказана теорема о нормальности распределения значений этой характеристики.

2. Предложено естественное обобщение кольца полиадических чисел (названного кольцом полунолиадических чисел) и даны две его конструкции. Вычислены меры различных множеств в кольце полуполиадических чисел. В частности, вычислена мера обратимых элементов кольца полуполиадических чисел и доказано, что мера делителей нуля равна нулю. Вычислена мера подмножества полуполиадических чисел, у которых соответствующие коэффициенты ряда в каноническом виде фиксированы. Как следствие, доказано, что коэффициенты разложения полуполиадического числа в каноническом виде — независимые случайные величины.

3. Построено отображение /г полуполиадических чисел в отрезок [0,1], сохраняющее меру. Доказано, что при отображении /г интегрируемая вещественнозначная функция на кольце полуполиадических чисел переходит в интегрируемую функцию на отрезке [0,1] и интегралы от этих функций равны. Доказано, что множество натуральных чисел равномерно распределено в кольце полуполиадических чисел.

4. На множестве натуральных чисел построена инвариантная мера. Даны два ее описания: как индуцированная с кольца полуполиадических чисел и с помощью асимптотического распределения простых чисел. Благодаря этой связи вычислены меры некоторых подмножеств натуральных чисел.

Основные методы исследования

В работе используются методы вероятностной и аналитической теории чисел, классические результаты из теории чисел про распределение простых чисел. Также используются методы коммутативной алгебры, методы теории меры и интегрирования на компактных абелевых группах, методы теории множеств, методы теории вероятности.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для теории чисел, алгебры, теоретической и математической физики.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2011». Москва, апрель 2011 года;

• на Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ. Москва, март 2011 года;

• на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. Тула, май 2010 года;

• на научном семинаре по аналитической теории чисел. МГУ, февраль 2011 года;

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел. МГУ, ноябрь 2010 года.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах. Список работ приводится в конце автореферата [1, 2, 3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Список литературы включает 54 наименований. Общий объем диссертации составляет 68 страниц.

Краткое содержание работы

Введение содержит краткое описание истории вопроса и обзор посвященной этому вопросу литературы.

В первой главе сведены основные факты о разложениях Оппенхайма в поле действительных чисел и в поле Qp. Приведены важные для дальнейшего использования свойства р-адических чисел.

Во второй главе строится обобщенное разложение Оппенхайма в кольце Q9. где д = Pit • • ■Pi„, и исследуются его свойства; установлена соответствующая теорема о нормальности распределения некоторой характеристики коэффициентов разложения. Использование обычного разложения Опенхайма для кольца д-адических чисел не всегда возможно, как показывает следующая лемма.

Лемма 7. Вероятность того, что р-адический алгоритм Оппенхайма в кольце Qg, где число g составное, перестанет работать, равна

1 - Ш/д)п

и стремится к 1 при п —> оо.

Следовательно, для того чтобы получить обобщенный алгоритм, нам нужно заменить операцию взятия обратного а а~1 и операцию взятия «дробной части р-адического числа» (о).

Для обобщения операции взятия обратного, мы пользуемся теоремой Малера33, из которой следует, что Q9 является регулярным по фон-Нойману40. В таком кольце для любого элемента а существует единственный элемент а*, такой что а = а2а* и а* = (а")2а. Более того, если элемент а обратим, то а* = а-1.

В работе устанавливается, что некоторым аналогом взятия дробной части в описанном выше разложении Оппенхайма является операция a i—J- (а), для которой справедлива

40 Larnbek J., Lectures oil rings and modules 11 Blaisdell publishing company, Massachusetts, Toronto, London. 1966.

теорема 10. Пусть задано некоторое х е и тп и эп некоторые последовательности ненулевых рациональных чисел. Тогда ряд

оо ^

«о + а\ + V ' ' " " ■ <+1, (3)

где а0 = (х), А\ = х - а0, ап = (А*), Ап+1 = (Ап - а*)— сходится при

Тп

выполнении следующего условия:

и(Ап+0 ^ 2р{Ап) + 1 + 1/(в„) + и(г-1). При этом сумма ряда равна х.

Следует отметить, что если число д, рассматриваемое в теореме, простое, то числа ап и Ап строятся в точности как в алгоритме Опенхайма, а ряд 3 совпадает с разложением Опенхайма. Таким образом, разложение, описанное в теореме выше является непосредственным обобщением разложения Опенхайма для р-адических чисел. Более того, условия сходимости ряда таковы, что в р-аднческом случае дают обычные условия сходимости.

Для каждого простого числа р введем обозначение Хр = рЪр. Это есть подмножестпо р-адических чисел х порядка огёрх > 0.

В книге В.Г. Спринджука41 дается определение меры в поле {])р. Если С = С(х,р~т~1) = {уе «2Р : ||у-х||р = р-т-1} - диск радиуса р""1"1, то мера Р этого множества равна Р[С) = р~т.

В дальнейшем мы предполагаем, что произвольный элемент х € <0>9 имеет при изоморфизме Qg = <0>Р1 х ... х <2Рдг координаты, обозначенные через Х{. Координаты элементов ап, Ап будут обозначаться через а'п, Агп соответственно. Тогда для коэффициентов разложения {агп : п ^ 0} верны следующие леммы

лемма 9. Последовательность случайных величин {а,гп : п ^ 1} образует цепь Маркова с переходной вероятностью

РЛап+1 = ^гИ-11 ап = к'п} = где числа к\,..., кгп+1 6 г = 1, ЛГ, удовлетворяют

г/,(М) < -1. _

Ц{к)+1) = - 1 + 1/;(Г;) - ф}),^ = 1 ,п.

41 Спринджук В.Г.. Проблема Малера в метрической Теории Чисел. Мшгск. 1007.

I п!р

12' +1 о

п

Для ц € ХР1 введем обозначение : п ^ 0} — последователь-

ность случайных величин, таких что

До(*0 = ".-(а!)

КЫ = - 2щ{ап) - фп) + фп)

для п ^ 1. При этом, для вектора х £ обозначим

«л«

ДЙЧА^),-^^)).

Для рассматриваемой величины верна Лемма 11.

PilS

Я(Д^З) = ( - Pi

, i = 1, N

Р<-1,

Теорема 11. Пусть х € П^^р. и х{ е Хр.. Для алгоритма разложения числа х, описанного выше, верно:

'п-1

у/п { - 7П => V, где г) € JV(0, С),

ij=0

где ß = E(KJx)) = (--5Ц.), i=T,

Pi - 1

, N.

Р1 ■

а С — диагональная матрица ковариации

(Уаг{ Д](ц))

\ о

В третьей главе изучается обобщение кольца полиадических чисел, которое получается, как пополнение кольца целых чисел по топологии, заданной идеалами кольца целых чисел. В диссертации рассмотрено пополнение по несколько другой топологии. При этом возникает кольцо, называемое кольцом полуполиадических чисел. Для него мы строим теорию меры и интегрирования, аналогичные тем, что построены для кольца полиадических чисел. Мы доказываем основные свойства полуполиадических чисел и теорему о равномерности распределения последовательности натуральных чисел в кольце полуполиадических чисел.

Пусть X — некоторое подмножество произвольного кольца 72. Введем следующее обозначение:

М(Х) = {ц ... хп\ х{ вХ,пе М}.

Пусть Р С N — множество простых чисел и пусть Р' С Р — некоторое фиксированное подмножество Р.

Введем на Ъ топологию с помощью окрестностей вида тЪ, где т € М(Р'). Получим топологическое кольцо.

В этом случае кольцо целых чисел также может быть снабжено метрикой, метризующей нашу топологию:

*.»>- £ М^)- «>

теМ{Р') 4 У

где (£) — расстояние от £ до ближайшего к нему целого числа.

Данное метрическое пространство не полно. Определим полуполиадические числа Хц как пополнение этого метрического пространства. Данное пополнение также является кольцом, содержащем Ъ.

Кольцо полуполиадических чисел можно определить чисто алгебраически через обратный предел системы конечных колец. В случае полиадических чисел мы использовали специальную базу окрестностей нуля, заданную последовательностью т\. Для полуполиадических чисел надо ввести специальную функцию, которую мы будем обозначать через П(п).

Пусть функция П(п) : N N удовлетворяет следующим свойствам:

1. П(1) = 1;

3. (а) \/к € М(Р') 3п : к | П(п): (Ь) \/1?М{Р')Уп:ЦП{п).

Определим Жп, как обратный предел

\ип1/Щп)г.

т

Произвольное полуполиадическне число х можно представить в виде ряда

ОС п/ , -1 \

I = атП(ш), 0 ^ ат < - 1, (5)

который мы будем называть каноническим видом полуполиадического числа х.

Обозначим с помощью обратимые элементы в £п. Справедлива

теорема 16. Мера обратимых элементов кольца полуполиадических

чисел равна = П (1--)•

реР' Р

Обозначим с помощью Б множество делителей нуля в кольце полуно-лиадических чисел

Теорема 17. Мера делителей нуля в кольце полуполиадических чисел равна г)(0) = 0.

С помощью конструкции полуполиадических чисел через функцию П(п) можно посчитать меру подмножества полуполиадических чисел с некоторыми фиксированными коэффициентами.

^ Теорема 18. Обозначим через подмножество чисел из

у которых соответствующие коэффициенты ряда (5) с номерами Ч, Ч-. ■ ■ ■ ,гь фиксированы. Тогда

„(Х- ■ ■)- . м

Следствие 5. Таким образом,

если

отП(т), 0 < ат ^ - 1,

т=1

то коэффициенты ап(х) данного разложения - независимые случайные величины, равномерно распределенные на множестве своих значений. При этом, их математическое ожидание равно

т?-о-

На 2П существует инвариантная относительно сложения мера Хаара, которую мы будем обозначать через Т).

Определим отображение Л : 2П [0,1] по следующему прави-

гг Л х

лу. Пусть х е Ъп представлен в виде ряда х = £ атЩтп), тогда

ос

Н(х) = £

ал

т=1

ЙП(т + 1)'

теорема 15. Введенное отображение обладает следующими свойствами:

1. К сюръективно;

2. Точки из множества [0.1] \ <0> имеют единственный прообраз;

3. У точек из [0,1] п существует ровно два прообраза;

4- Ограничение отображения к на множество 2п\<0! является гомеоморфизмом.

Как следствие, отображение Н индуцирует изоморфизм а-алгебр измеримых множеств. Более того, отображение Н сохраняет меру, то есть мера Хаара на Жц переходит в меру Лебега р, на отрезке [0.1].

Так как на введена мера, то для любой измеримой вещественнознач-ной функции определено понятие интеграла Лебега и можно рассматривать интегрируемые по Лебегу функции.

теорема 19. При отображении Н : 2п [0,1] интегрируемая веще-ственнозначная функция переходит в интегрируемую

теорема 20. Пусть /(х) — ограниченная, почти всюду непрерывная на Жп вещественнозначная функция. Тогда

То есть в кольце полуполиадических чисел последовательность натуральных чисел также является равномерно распределенной.

Мера, построенная на кольце полуполиадических чисел, задает некоторую внешнюю меру на множестве натуральных чисел. Применяя общую теорию построения кольца измеримых множеств, мы получаем с-алгебру измеримых относительно внешней меры подмножеств в N. Пусть М — некоторое подмножество N. Определим М' = М — замыкание М в кольце

/€¿1(0,1] <=>/оА€ ¿1(гп)

и интегралы от этих функций равны

[с

Zn полуполиадических чисел^М — замыкание А/ в N в индуцированной топологии (то есть М = N П М).

Назовем функцию ж*(М) = rjJJtf) внешней мерой множества М, где, как и раньше г/ — мера Хаара на Zu- Функцию nt(M) = 1 -Т](М') — внутренней мерой М. Как нетрудно видеть, заданная функция действительно удовлетворяет всем аксиомам внешней меры.

Для произвольной внешней меры на множестве можно определить измеримые множества. Напомним определение: назовем множество М натуральных чисел измеримым, если 7Г*(М) = 7Г«(Д/) = ж(М). Функцию 7г(М) назовем мерой М.

Таким образом, мы можем говорить об измеримых множествах и их мере, которые обладают обычными для меры свойствами. Помимо них данная мера обладает следующим свойством согласованности с кольцевыми операциями: если М измеримо, то множества а + М и тМ также измеримы,

причем 7г(а + М) = п(М), п(тМ) = -г^—-.

а(т)

Теперь мы построим на множестве натуральных чисел асимптотическую меру, основанную на комбинаторных свойствах распределения простых чисел.

Введем дополнительный объект - функцию d{m) : N м- М(Р') по следующему правилу: если

где Pil, pi2,... 6 Р', и Vk ,ph,...€P\P', то d(m) = ... рга;, то есть

множитель, состоящий только из выбранных в Р' простых чисел.

Введем следующие обозначения: М(га) — число членов подмножества М П М(Р'). меньших или равных п. М^п) — число классов вычетов mod d(n), в каждом из которых лежит хотя бы один элемент . М0(п) — число классов вычетов mod d(n), каждый из которых целиком состоит из элементов М.

Следующие формулы показывают связь введенных асимптотических характеристик с определенной выше внешней мерой на множестве натуральных чисел. Для произвольной последовательности щчО существуют пределы:

= lim =

А:-+оо d(Tlk) k-+tx> Щ

Определим следующие величины:

п-юо п п->оа п

— асимптотические меры множества.

Теорема 21. В указанных выше обозначениях верно следующее условие:

7Г,(М) ^ 7г(А/) sj 7Г(т) ^ тг'(М).

Таким образом, в случая измеримого множества 7г(М) = 7Г,(М) = 7Г*(М) есть не что иное, как асимптотическая мера М. В дальнейшем обозначение 7г(М) используется для асимптотической меры.

Введем некоторые классы последовательностей. Для данной последовательности натуральных чисел {ш^} будем говорить, что простое число р стабилизируется в последовательности {т,t}, если все члены {тл*}, начиная с некоторого, делятся на р. Будем говорить, что простое число р стабилизируется в степени $, если все члены {т*}, начиная с некоторого, делятся на р$, но не делятся на ps+l. Будем говорить, что р стабилизируется в {ink}-, в степени ^ s, если все члены {тк}, начиная с некоторого, делятся на р в степени > s.

Любая последовательность натуральных чисел попадает в один и только в один из следующих пяти классов:

• Т\. Никакое простое р € Р' не стабилизируется в последовательности.

• Тг- В последовательности стабилизируется конечное число простых чисел из Р'.

• Тз. В последовательности стабилизируется бесконечное число простых чисел из Р', каждое из которых стабилизируется в степени 1.

• Т4. В последовательности стабилизируется бесконечное число простых чисел из Р'; из них в степени ^ 2 стабилизируется конечное число простых чисел.

• Т5. В последовательности в степени > 2 стабилизируется бесконечное число простых чисел из Р'.

Напомним, что обратимые элементы кольца полуполиадических чисел (то есть делители единицы) обозначаются с помощью Zjf[, а с помощью D

обозначаются делители нуля. Пусть I = Ц \ у - множество свободных от квадратов полуполиадических чисел. к=1

Теорема 22. Пусть {тп,*} фундаментальная последовательность натуральных чисел, а число а = Кт {т*}. Тогда если {тк} имет тип:

• Ть тоае

• Т2, то ос € по2д или а е Б;

• 7з, то а € Ь;

• 74, то а £ ПцЬ или а 6 Э;

00

• Т5, то а £ 2П \ О

П=1

Здесь п0 = п0(а) - некоторое фиксированное натуральное число.

Определим в кольце полуполиадических чисел аналог дзета-функции (от целых чисел) следующим образом:

СИ«) = £ 4

— 71 пеМ(Р')

Также определим аналог функции Эйлера в полуполиадическом случае следующим образом: фп{т) = |(2п/пг£п)*|.

Теорема 23. Во введенных выше обозначениях верно следующее:

Приведем еще несколько примеров, иллюстрирующих общую теорию меры на кольце полуполиадических чисел.

Предложение. Пусть и{т) = {а е £п|(а,т) = (1)} есть все взаимно-простые с т полуполиадические числа. Тогда

= па-1)-

рб Р'

Замечание. Так как

|(2п/тгп)*| = |(гМт)г)*|,

ТО

Фп(т) = ф{й{т))>

где ф{т)— функция Эйлера.

В случае полиадических чисел (при Р' = Р) получаем

где ри г = 1, п — простые делители числа т.

предложение. Во введенных выше обозначениях выполнено следующее равенство:

То есть мера обратимых элементов в кольце полуполиадических чисел равна нулю тогда и только тогда, когда (р'(1) расходится, и не равна нулю в противном случае. При этом всегда мера обратимых элементов меньше единицы: 0 < г} < 1.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Чирского Владимира Григорьевича за постановку задач и внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности. Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук, профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу и члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Нестеренко Юрию Валентиновичу за интерес, проявленный к работе и полезные обсуждения. Особую благодарность автор выражает к.ф,-м.н. Трушину Дмитрию Витальевичу за знакомство с методами коммутативной алгебры. Автор благодарит всех сотрудников кафедры математического анализа и кафедры теории чисел за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Сухарев И.Ю., О некотором обобщении понятия полиадических чисел// Чебышевский сборник, том 10, выпуск 2, Тула, 2009, стр. 109-122.

[2] Сухарев И.Ю., Разложение Оппепханма в кольце <?-адических чисел <39 // Чебышевский сборник, том 11, выпуск 1, Тула, 2010, стр. 248-254.

[3] Сухарев И.Ю., Обобщение разложения Оппенхайма для прямого произведения полей с неархимедовским нормированием // Вестник Московского Университета, серия 1, "Математика. Механика № 3, 2011, стр.5052.

Подписано в печать 12.09.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1135 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Обозначения.

1 История вопроса

1.1 Разложения Оппенхайма для действительных чисел.

1.1.1 Алгоритм Оппенхайма.

1.2 Разложение Оппенхайма в поле р-адических чисел.

1.2.1 Поле р-адических чисел.

1.2.2 Алгоритм разложения Оппенхайма в <0^.

1.2.3 Свойства р-адического разложения Оппенхайма

1.2.4 Доказательства свойств р-адического разложения Оппенхайма

2 Разложения Оппенхайма в кольце <0>р

2.1 Проблема формального использования алгоритма в кольце <0>д

2.2 Структура кольца <0>д (Теорема Малера).

2.3 Аналог разложения Оппенхайма для кольца <0>р.

2.4 Доказательства теорем для аналога разложения Оппенхайма в кольце

3 Полиадический анализ и его обобщение

3.1 Обзор результатов про полиадические числа.

3.1.1 Кольцо полиадических чисел.

3.1.2 Другое построение кольца полиадических чисел.

3.1.3 Меры и интегралы для полиадических чисел.

3.2 Кольцо полуполиадических чисел.

3.2.1 Построение кольца полуполиадических чисел.

3.2.2 Другое построение полуполиадических чисел.

3.2.3 Меры и интегралы для полуполиадических чисел

3.2.4 Измеримые множества в кольце полуполиадических чисел, асимптотические меры и примеры.

Поле Q рациональных чисел можно пополнить по метрике, порожденной обычной абсолютной величиной, и получить поле R действительных чисел. Пополняя поле Q по метрике, порожденной р-адической нормой (определения даны в главе 1.2.1), получим поле Qp р-адических чисел.

Р-адические числа являются актуальным объектом современных исследований, так как они имеют многочисленные приложения не только в теории чисел, но и в других разделах теоретической и прикладной математики, информатике, а также других естественных науках: физике, химии, генетике, (например, см. [4])

Известны различные способы представления действительных чисел: позиционные системы счисления, непрерывные (или цепные) дроби различных классов (регулярные, по ближайшему целому, ветвящиеся) (см. [27, 48]). Также известны разложения Энгеля, Люрота, Сильвестра, Кантора (см. [41]). Эти разложения были обобщены А. Оппенхаймом [40], [23]. Свойства этих разложений, в основном, метрические, исследовал А. Оппенхайм [40], Я. Галамбош [23, 24], Ю. Ву [50], [51] и другие.

Для р-адических чисел также существуют различные представления: помимо канонического представления известны разложения в ^адические непрерывные дроби (см. [44, 35, 46, 37]), свойства которых исследовались, например, [35, 36, 37, 44]. Естественной задачей было получение аналогов разложений в полях р-адических чисел. В [30, 31, 33, 32] А. и Дж. Кнопфма-херами предложены такие аналоги: разложение «типа Люрота», «типа Энгеля», «типа Сильвестра». Они являются частными случаями полученного А. и Дж. Кнопфмахерами аналога разложения Оппенхайма для поля Qp [31].

Одним из важных направлений теории чисел является вероятностная теория чисел. Эта теория получила значительное развитие в трудах российских и советских математиков. Работы по данному направлению опубликовали Й.П. Кубилюс [6], А.Г. Постников [15,16], М.П. Минеев [9], Э.К. Жим-бо, В.Н. Чубариков [5], Архипов Г.И., Карацуба A.A. [2].

В направлении исследования метрических и асимптотических свойств разложений чисел были получены некоторые результаты. В частности, Ягер и де Вроедт [29], а также Салат [45] получили результаты для разложений Люрота действительных чисел, П. Эрдеш, А. Реньи и П. Шуц [22] — для разложений Энгеля и Сильвестра, А. Реньи [43] — для бесконечного произведения Кантора, и Галамбош [24] — для более общих случаев, названных р-адическим разложением Оппенхайма. Рубан [44] исследовал р-адические метрические теоремы, аналогичные доказанным Хинчи-ным для действительных цепных дробей. Соответствующие результаты для р-адического разложения «типа Энгеля» и «типа Люрота» были получены А. и Дж. Кнопфмахерами [33] и Грабнером и А. Кнопфмахером [26] соответственно, свойства р-адического разложения Оппенхайма исследовал

Объектами исследования этой работы являются прямые суммы и произведения некоторых совокупностей р-адических полей (см. работы автора [53, 54]). В первой части работы рассматриваются аналоги разложений Оппенхайма в кольце 0>5 д-адических чисел. В пункте 2.1 показано, что если применить алгоритм р-адического разложения Оппенхайма для позиционной системы счисления по степеням составных чисел (в кольце <0где число д — составное), то алгоритм, представленный в [31], откажется работать на некотором шаге с вероятностью, стремящейся к единице с ростом числа его шагов (см. стр. 26). Поэтому в главе 2.3 предлагается многомерный аналог разложения Оппенхайма, опирающийся на то, кольцо д-адических чисел представляет собой прямую сумму полей р-адических чисел ^ = П О1»» 9 =Рі-"Рк (теорема Малера [38, гл.5]).

Вторая часть работы посвящена исследованию прямых произведений бесконечной совокупности колец целых р-адических чисел.

Опишем вначале конструкцию, которая провела к понятиям р-адических и полиадических чисел.

Рассмотрим некоторую последовательность натуральных чисел {р^} и комплексную переменную г. Для каждого числа А; € N верно следующее полиномиальное тождество

1 + г + . + + 2?1 + . + 2Рі(Р2~1))(1 + 2Р1Р2 + . + ••• = 1 + 2 + 22 + г3 + . +

В частности, если последовательность р^ постоянная, то есть р^ = р для всех у ^ то тождество примет вид

Ю. Ву [49]. г=1,А: означающее, что каждое неотрицательное число п < рк может быть представлено единственным образом в виде ряда п = щ{п) - р° + Уі{п) • р1 + . + щ-1 (п) • рп \

1) где цифры иг(п) удовлетворяют условиям: 0 ^ иг(п) < р. Если мы возьмем Pj = 3-) ТО = г! и искомое тождество примет вид означающее, что каждое неотрицательное число п < к\ может быть представлено единственным образом в виде ряда где цифры у(п) удовлетворяют неравенству: 0 ^ уг{п) ^ г.

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (1), приводит к р-адическому анализу (К. Гензель [28]).

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (2) приводит к полиадическому анализу. М. Д. Ван Дантзиг [21] и позже Е. Новоселов [12,13] привели подробные исследования в этой области. Описание конструкции полиадических чисел также дано в книге А.Г. Постникова [14, глава 3.5].

Кольцо полиадических чисел находит интересные приложения в теории чисел, а именно, в [11, стр. 72] с помощью теории интеграла и меры на полиадических числах были вычислены некоторые асимптотические плотности, а также получен новый вывод ряда известных формул для функций теории чисел. Поэтому естественным является дальнейшее изучение его свойств и его обобщение.

Прямое произведение колец Zpi по всем простым числам р{, как отмечалось выше, соответствует кольцу полиадических чисел Ъц. Для полиадических чисел существует каноническое представление в виде бесконечного ряда вида атш\. Элементы этого кольца также можно представить рят=1 дами специального вида, как показано в главе 3.2.2 настоящей работы. На этом кольце вводится теория меры и интегрирования. В разделе 3.1.3 главы 3.1 исследованы некоторые метрические свойства этих рядов. п = 1/1 (п) • 1! + іу2(п) • 2! + . 4- ук-1 (п) • (кі)!

2)

00

Естественно рассмотреть некое обобщение понятия полиадических чисел, а именно, рассмотреть бесконечные прямые произведения колец целых Рг-адических чисел по некоторой бесконечной совокупности простых чисел Р' = {рг} С Р (см. работу автора [52]).

Этому подмножеству соответствует некоторая топология, как и в случае кольца полиадических чисел. Поэтому, обобщение понятия полиадических чисел (названное кольцом полуполиадических чисел) можно строить аналогичным образом, как топологическое кольцо, через пополнение метрического пространства. Кольцо полуполиадических чисел также можно построить как обратный предел по системе конечных коммутативных колец, порядок которых делится только на простые числа из заранее фиксированного подмножества простых чисел Р'. Две указанные конструкции предложены в главе 3.2 и показано, что такие построения эквивалентны и приводят к одному и тому же понятию. На данном кольце также строятся классические конструкции: теория меры и интегрирования, определяется измеримый изоморфизм в отрезок [0,1], сохраняющий интегралы, вычисляются меры различных множеств. Для кольца полуполиадических чисел доказывается теорема о равномерности распределения множества натуральных чисел в данном кольце.

Перечислим основные результаты, полученные в настоящей работе.

• Построен аналог разложения Оппенхайма в кольце д-адических чисел (см. главу 2.3, стр. 30).

Установлены метрические свойства указанного разложения, аналогичные свойствам р-адического разложения Оппенхайма. В частности, вычислено математическое ожидание некоторой характеристики коэффициентов указанного разложения. Доказана теорема о нормальности распределения значений этой характеристики (см. лемму И, теорему 11, стр. 33).

• Предложено естественное обобщение понятия кольца полиадических чисел, названное кольцом полуполиадических чисел. Предложены две конструкции данного кольца (см. главу 3.2, стр. 44).

Вычислены меры различных множеств в кольце полуполиадических чисел. В частности, вычислена мера обратимых элементов кольца полуполиадических чисел и доказано, что мера делителей нуля равна нулю (см. теоремы 16, 17, стр. 52-53).

Вычислена мера подмножества полуполиадических чисел, у которых соответствующие коэффициенты ряда в каноническом виде фиксированы (см. теорему 18, стр. 54). Как следствие, доказано, что коэффициенты разложения полуполиадического числа в каноническом виде — независимые случайные величины (см. следствие 5, стр. 54).

Построено отображение к полуполиадических чисел в отрезок [0,1], сохраняющее меру (см. стр. 48). Доказано, что при отображении к интегрируемая вещественнозначная функция на кольце полуполиадических чисел переходит в интегрируемую функцию на отрезке [0,1] и интегралы от этих функций равны, (см. теорему 19, стр. 55)

Доказано, что множество натуральных чисел равномерно распределено в кольце полуполиадических чисел, (см. теорему 20, стр. 56)

В первой части работы используются методы теории множеств, теория меры, теорема Малера, методы теории вероятности.

Во второй части работы используются методы коммутативной алгебры, методы теории меры и интегрирования на компактных абелевых группах, методы теории множеств. Используются классические результаты из теории чисел про распределения простых чисел, их распределения в последовательностях.

Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Введение содержит краткое описание истории вопроса и обзор посвященной этому вопросу литературы.

В первой главе сведены основные факты о разложениях Оппенхайма в поле действительных чисел и в поле <0>р. Описаны важные для дальнейшего свойства р-адических чисел.

Во второй главе рассматриваются векторное разложение Оппенхайма в кольце <0>р, где д = Рг! • "Рг„- Установлена соответствующая теорема о нормальности распределения некоторой характеристики коэффициентов разложения.

В третьей главе описывается конструкции кольца полиадических чисел, которое представляет собой прямое произведение колец Zp по всем простым числам р. Вводимое в работе понятие кольца полуполиадических чисел представляет собой прямое произведение колец по некоторой бесконечной совокупности простых чисел. Строится аналогичная теория меры и интегрирования, доказываются основные свойства полуполиадических чисел и теорема о равномерности распределения последовательности натуральных чисел в кольце полуполиадических чисел.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Чирского Владимира Григорьевича за постановку задач и внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности. Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук, профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу и члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Нестеренко Юрию Валентиновичу за интерес, проявленный к работе и полезные обсуждения. Особую благодарность автор выражает к.ф.-м.н. Трушину Дмитрию Витальевичу за знакомство с методами коммутативной алгебры. Автор благодарит всех сотрудников кафедры математического анализа и кафедры теории чисел за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Обозначения

В диссертации используются следующие обозначения: А = lim ап(р) число А является пределом последовательности {ап\ при п-» оо п —> оо в метрике поля Qp (в более общем случае - кольца Qg), ТО есть порожденной нормой | |р.

И Множество делителей нуля. т) идеал кольца Д, порожденный его элементом т £ II, то есть множество {гтгг|г 6 Я}

М\ число элементов во множестве М.

М замыкание подмножества М некоторого топологического пространства.

М(Х) множество произведений {П\П2 . . . Пк\щ € X}, где X — произвольное подмножество кольца К.

N множество {1,2,3,.} натуральных чисел. ог(1рХ порядок числа х по простому основанию р.

Р множество простых чисел.

0> поле рациональных чисел.

0>р поле р-адических чисел по простому основанию р.

0>5 поле д-адических чисел по составному основанию

9 = р?Р?.Р7

М поле действительных чисел.

Хр = рЪр подмножество р-адических чисел х порядка огйрх ^ 1

Ъ кольцо целых чисел.

Ър кольцо целых р-адических чисел.

Zп кольцо полиадических чисел.

Zп кольцо полуполиадических чисел (см. стр. 38). |р норма в поле (фр.

П Мг прямое произведение множеств (абелевых групп, колец, ге полей и т.д.) М{ из семейства, заиндексированого элементами некоторого множества I.

У М{ дизъюнктное объединен множеств М( (Мг- п М] = 0) г

1 История вопроса