Гирлянды в линейных группах, связанные с кольцами нормирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНШРСШТ

На правах* рукописи

Абдель Хаиид АЛЬХАМАД.

ГИРЛЯНДЫ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ, СВЯЗАННЫЕ С КОЛЬЦАМИ НОРМИРОВАНИЯ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учезой степени кандидата физико-математических-наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чиоел Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧШЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор йизико-математических наук,

. профессор БОРЕВШ ЗЕНОН ИВАНОВИЧ ООИЦИАЛЬШЕ ОШЮНЕНГЫ- член-корреспондент АН Беларуси,

доктор <Шзико-математических наук, профессор ШЕТКОВ ЛЕОНИД АЛЕКСАНДРОВИЧ

кандидат йизико-математичеоких наук, доцент КОЙБАЕВ ВЛАДИМИР А1ЭТШ0ВИЧ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургское отделение Математического института им.В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " " Опл)е,1992 года в 16 часов на заседании Специализированного с/овета К 053.57.45 по присувдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-мехаяический факультет). т

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург,

Наберекяая реки Фонтанки, 27, 3-й втаж, зал заседаний ЗИ.

С диссертацией колко ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Автореферат разослан " ¿7 " МарТс* 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, допент

Р.А.ШИЕГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Изучение расположения подгрупп в линейных группах является одним из классических направлений в теории линейных групп. Этому направлению посвящены многочисленные исследования. Уже в работах Зэрдана, Дьедонне, Диксона интенсивно изучалось нормальное строение линейных групп над полями и тела-ни, и это привело к открытию первых серий классических простых групп. В последние 20-30 лет началось интенсивное изучение подгрупп в линейных группах над кольцами. Так, в 1960 году в работах Клингенберга были изучены нормальные делители в линейных группах над локальными кольцами. В дальнейшей, благодаря усилиям Басса, Вильсона, Абе, К.Судзуки, И.3.Голубчика, Л.Н.Васерв-тейна вопросы нормального строения линейных групп над кольцами получили значительное развитие. Ряд исследований посвящены описанию подгрупп линейных групп малых степеней (Диксон, Хартли, Митчел, Блум). Изучались подгруппы, порожденные элементами некоторого специального вида (например, трансвекциями, псевдоот-разениями). По этим вопросам внесли вклад А.Е.Залесский, В.Н. Сереккин, Кантор, А.Вагнер к многие другие. Классификационные вопросы в линейных группах различных специальных классов широко исследовались в Минской алгебраической школе - Д.А.Супрукен-ко, А.Е.Залесский, В.С.Консх, В.Н.Сереаккн, И.Д.Супруненко. Параболические подгруппы в полной линейной группе изучали Ж.Тите, Н.С.Романовский, З.И.Бореэич, Н.А.Вавилов, К.Судзуки и др. В 1976 году в полной линейной группе над полем была описана решетка проиехуточных подгрупп, содержащих группу диагональных патриц (работа З.И.Боревича [2] ). В дальнейшем это направление получило развитие в серии работ З.И.Боревича, Н.А.Вавилова,В.А. Койбаева, Е.ВДыбковой, Р.А.Шмидта, Е.Е.Плоткина, И.Хамдана, С.Л.Крупецкого, Буй Суан Хая, Чан Нгок Хоя (см.[2],[3], [5], [6], [7],Гю]ДП]). В большой серии статей Н.А.Вавилова для групп Шевалле всех типов до конца реиается задача описания подгрупп, содержащих вполне расцепимый максимальный тор.

- Ч -

В настоящей диссертации исследуются особенности в расположении промежуточных подгрупп в полков линейной группе над полей, содержащих группу диагональных матриц над кольцом нормирования некоторого подполл с двухэлементним полей вычетов. Таким образом, проводимые в диссертации исследования входят в общее русло современных исследования по расположение подгрупп в линейных группах, что и определяет ее своевременность и актуальность.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной келье работы является построение гирлянд г реиехке подгрупп полной линейкой группы, связанных с кольцами нормирования. £ случае, когда поле вычетов нормирования состоит из двух элементов эти построения приводят к гирляндам различных рангов и неограниченных сверху и снизу.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются как общие методы теории групп, так и некоторые более специальные методы теории линейных групп.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые научные результаты.

1. В общем случае получено описание всех ограниченных снизу гирлянд. Доказано, что они находятся в биективном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами.

2. Исследовано строение нижней и верхней гирлянд в ресе-тке подгрупп полной линейной группы, содержащих нерасщепимыЯ тор.

3. В полной линейной группе над полем построены с использованием нормирования бесконечно возрастающие цепочки последовательных нормализаторов всех возможных рангов, что дало возможность установить существование обильного многообразия неограниченных в обе стороны гирлянд.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях решеток промежуточных подгрупп в линейных группах над полями и кольцами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы представлены "на У1 Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990) и на международной конференции по алгебре

(Барнаул, 1991). Они докладывались также на алгебраическом семинаре им.Д.К.Фаддеева (СПГУ и СП01Ш).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации имеется три публикация [15], [16], [171.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 20 параграфов и списка литературы. Общий ее объем -

159 страниц машинописного текста. Библиография содержит 35 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации служит введением в теорию расположения промежуточных подгрупп. В ней изложены ухе устояваиеся известные понятия и определения, относящиеся к решеткам промежуточных подгрупп. Новыми здесь является результаты: об ограниченных снизу гирляндах .(§ 4) и об одном достаточном условии ограниченности гирлянды сверху (§ 6).

В § I напоминается понятие гирлянды (см.[7]). Пусть 6 -группа и б, - некоторая ее подгруппа. Основной объект, изучающийся в диссертации, - это решетка

{н ! е. <Н< в } (I)

всех промежуточных подгрупп. На ресетке (I) вводится структура графа. Его вершинами являются все Н. Две вершины и Н2 соединятся ребром тогда и только тогда, хогда одна из них - нормальные делитель в другой. Введенный граф называется графом нормальности решетки (I). Каждая связная компонента графа нормальности решетки Ьа{ (во > в) называется гирляндой этой решетки. Сама решетка является дизъюнктным объединением всех ее гирлянд, поэтому изучение решетки сводится к перечислению всех ее гирлянд, а затем к изучению строения каждой гирлянды в отдельности. Нижняя гирлянда П - это гирлянда, содержащая подгруппу в« а верхняя Г* - это гирлянда, содержащая б. В следующем § 2 приведены примеры разложений решетки (I) в объединение гирлянд. В частности, приведены примеры из работ ШД2] и [7].

На решетке (I) вводятся (§ 3) две унарные операции: подъем Н1—H*11 « Nq(H) (взятие нормализатора) и спуск

H H, ,= (J1* = ^ (3^ : h 6 H У " ВЗЯ1ие нормального замыкания подгруппы б. в Н. Итерирование этих операций приводит к возраставшим цепочкам последовательных нормализаторов и к убывающим цепочкам последовательных спусков. Эти цепочки могут обрываться и строго продолжаться до бесконечности. Ыож-но говорить, следовательно, об ограниченности гирлянды сверху или снизу. Понятию самонормализуемой подгруппы (H=NG(H)) соответствует двойственное понятие полной промежуточной подгруппы, для которой Н<1> = H •

В § 4 устанавливается следующий результат. lEOHIliA. Пусть G - группа и Go - некоторая ее подгруппа. В каждой гирлянде Г решетки Loi (G0,G) содержится не более одной полной промежуточной подгруппы. Для того, чтобы гирлянда Г была ограниченной снизу необходимо и достаточно, чтобы в Г содержалась полная промежуточная подгруппа. Если Г - неограниченная снизу гирлянда, то для всякой подгруппы из этой гирлянды цепочка спусков строго убывает до бесконечности.

Из этой теоремы вытекает, что все ограниченные снизу гирлянды решетки (I) находятся в естественном биективном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами.

В работе [81 (см.также [I]) было введено понятие поликор-мальной подгруппы: подгруппа б0 называется полинормальной в G, если для любого хе G подгруппа G*" - полная. В 5 5

изложены некоторые известные сведения об этих подгруппах и дополнительно к ним доказывается следующая теорема.

ТЕОЕЕМА. Если G0 - полинориальная подгруппа в G, то все гирлянды решетки Lot (G0 « G) находятся в биективном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами F. Именно, каждая гирлянда Г имеет вид

Г -Let(F.Neir)) ,

где Г* - некоторая полная промежуточная подгруппа.

Ыы говорим, что операция подъема H —* Н(1> = N(j(H) удовлетворяет условию монотонности на гирляндах решетки

Ьа1(б0,Сг)» если ляя произвольной пары подгрупп К и Ь > содержащихся в одной и той же гирлянде справедлива импликация:

В § 6 доказывается теорема, являющаяся двойственным аналогом теоремы из § правда, при выполнении приведенного условия монотонности. Это условие имеет место, например, для решеток, рассмотренных в статье [7].

ТЕОРЕМА. Если в решетке (I) операция подъема удовлетворяет условии монотонности, тогда справедливы: I) 3 каждой гирлянде Г содержится не более одной самонормализуемой подгруппы; 2) гирлянда Г ограничена сверху тогда и только тогда, хогда в ней содержится самонормализуемая подгруппа; 3) если Г - неограниченная сверху гирлянда, то для всякой подгруппы из этой гирлянды цепочка последовательных подъемов строго возрастает до бесконечности.

Условие монотонности.в последней теореме весьма существенно. Без него гирлянды могут содержать сколько угодно самонормализуемых подгрупп.

В главе П рассматривается некоторые вопросы расположения подгрупп в полной линейной группе. Наше внимание будет сосредоточено на полной линейной группе над полем, однако в отдельных случаях вводимые конструкции имею смысл и в полных линейных группах над кольцами. В связи с этим в §, 7 нами приведены основные положения теории Ианиса о нормированиях в коммутативных кольцам [13], [И]. В §§ 8-9 мы напоминаем известные сведения о сетях и сетевых подгруппах. Эти сведения взяты нами из работ [2],[3],[5],[б]. Для сети б=(б^) аддитивных подгрупп произвольного кольца с единицей напоминается определение хорошо известных подгрупп (3(б),Б(б), Е(б),N(6), вводится понятие подобия и сопряженности сетей. Несколько подробнее останавливаем внимание на треугольных сетях (под главной диагональю - нули). Если И - кольцо нормирования поля к , то можно говорить об Я-модулях в к. Описываются все И «подмодули в к. Отмечаются особенности в строении сетей Я -подмодулей.

В § 10 в качестве (г мы берем полную линейную группу

а * (ЗгЪ(п,К) над полем К. От поля К мы требуем, чтобы в нем существовало подпиле к, на которой существует дискретное нормирование V ранга 1. Кольцо этого нормирования, т.е. совокупность тех ссек, для которых 1ЯсО>О , кы обозначаем через Я.

Задача описания решетки

Ьа*(В(п.!У ,ОЬ(п.К» (2)

представляется весьма сложной и в настоящее время не видно подходов к ее решение. В § 10 определяется нихняя гирлянда решетки (2).

1Е0ЕЕИА. Нормализатор подгруппы В(т>,Т1) в группе Й.(п,К) совпадает с группой Моп(п,К) моноииальных матриц над полек К. Нихняя гирлянда решетки (2) совпадает с интервалов!

Ьа*(В(п.Ю,Моп(п,К;)) .

В следуодем § II доказывается аналогичный результат для следущей ситуации. Пусть к - поле и К/к - конечное расой-рение степени п. Мультипликативная группа К* поля К допускает естественный мономорфизм в группу К) всех автоморфизмов линейного пространства К над полем к. .Последняя группа, как хорошо известно, изоморфна группе (}Ь(п,К)-Образ группы К* при указанном вложении обозначается через В терминах теории алгебраических групп группа Т является максимальным нерасщепимым тором. 'Хор Т(К/к) как подгруппа в совпадает сАи^кС^)- ^ и в § 10 здесь такхе мы долхпы констатировать, что задача описания реаетки

ЬаЦТ(К/к), Аа^(К)) (3)

является чрезвычайно трудной и к настоящему времени она решена для конечных полей, для поля вещественных чисел к = и в [7] для случая, когда к = С - поле рациональных чисел и и = 2. Следующая теорема дает описание нихней гирлянды решетки (3).

ТЕОГОНА. Пусть к - бесконечное поде. При введенншс обозначениях нормализатор тора Т(К/к) в группе Аи^(К)"(} совпадает с полупрямим произведением TA(Jal(K/k) тора

Т на группу всех автоморфизмов расширения К/к. Нижняя гирлянда решетки (3) совпадает с интервалом Lat(T,N<y(T)).

К последней теореме в § II делается следующее дополнение: если характеристика поля к отлична от 2 или порядок группы Галуа Gal (К/к) нечетен, то группа Ng(T) не содержит трансвекций.

Следующий § 12 является приложением к § II. Б нем утверждение о нормализаторе тора Т обобщается на случай алгебр. Пусть S - ассоциативное кольцо с единицей и R - содержащееся в его центре унитальное подкольцо. Предположим, что S аддитивно порождается своими обратимыми элементами. Аддитивную группу кольца S мы можем рассматривать и как R-модуль SR и как правый ¡S -модуль S¿ • Утверждается, что нормализатор подгруппы Св =Aut ($д) в группе Ct-AuíCSr) совпадает с полупрямым произведением Ли! (S/R )/. б0 » где

Aut(£í./R) - группа кольцевых автоморфизмов кольца S, не меняющих элементов из R .

В § 13 приводится пример вычисления верхней гирлянды.

ТЕОНИА. Пусть Or-GrL(n,k) - полная линейная группа над ' полем к. Предполагается, что и , если только

п- 2. Пусть (So - группа в (J, не содержащаяся в группе скалярных матриц. Тогда верхняя гирлянда реоетки Lai (G0, (?) совпадает с интервалом Lot (G0® , G ) / ПРИ этом

(if "Cr»SL(n,k)- полная промежуточная подгруппа.

Заключительный § I') главы П содержит доказательство одной теорсми, которая используется в главе Ш, хотя она может ииетьи самостоятельный интерес. Пусть n«r+á , и пусть А 4 GL (r,K) . B¿6L(4,K). Предположи!», что подгруппы А и В удовлетворяют следующим четырем условия»:

Io. А содержит хотя 'бы одну нетривиальную скалярную матрицу ¿e , ¿ еК 1 .(здесь е - единичная матрица порядка г >;

2°. Группа В действует транзитивно на множестве всех ненулевых строчек над полек К (или на множестве всех ненулевых столбцов);

3°. Для любого £ , | < } < г. в группе А существует хотя бы одна нетривиальная трансвекция

¡1°. Если Гш1, ю подгруппы А и В не сопряжены в бЬ(г.К).

ТЕОРЕМА. При введенных условиях нормализатор клеточно диагональной подгруппы ^А 0 ^ в группе 6Ь (п,К) совпадает У.0 В/

, где А' и В' - нормализаторы групп

А и В в бЬ(г,К) и 61,(4,К) соответственно.

Перейден к изложению содержания главы Ш, которая.в диссертации является центральной. В ней доказывается, по существу, единственная теорема - теорема о цепях нормализаторов, обеспечивающая существование гирлянд, неограниченных и сверху и снизу. В главе Ш используются обозначения § 9 с дополнительных предположением о поле вычетов нормирования V. Именно, К" поле, к - некоторое его подполе, на котором существует дискретное нормирование V ранга 1 с полем вычетов ^ из двух элементов. Ясно, что в качестве К| может быть взято любое поле нулевой характеристики или поле характеристики 2 степени трансцендентности » 1. В первом случае роль к может играть поле рациональных чисел ф , а во втором - поле рациональных функций от одной переменной над полем Т2 •

ТЕ0Н2МА О ЦЕПЯХ НОРМАЛИЗАТОРОВ. Пусть к - поле, на кото-рои существует дискретное нормирование ранга 1 с полем вычетов из двух элементов, и Я - кольцо этого нормирования. Пусть, далее, К - произвольное расширение поля к , б = 6Ь(п,К) -полная линейная группа степени п над К я б,» 0(п,Я)-группа обратимте диагональных матриц над кольцом И. Тогда для любого р удовлетворяющего неравенствам

1 < р < £

в решетке Ьз4(<л., б) существуют неограниченные в обе стороны цепи подгрупп

группой ГА'

- а -

1т

являются элементарный!! ¿Селевыми 2-группами ранга р •

Число р, фигурирующее в формулировке теоремы, называем рангом цепи нормализаторов { Нт } •

В основе доказательства теоремы о цепях нормализаторов (§§ 15-20) леяаг подходящие сетевые группы (5(6) для специальным образом подобранных сетей й.-подмодулей 6« (вц) в поле к. Используются при этом только верхние треугольные сети (для которых =0 при \>3- ).

2 § 15 приводятся некоторые достаточные условия, при которых нормализатор в б треугольной сетевой подгруппы б (б) содержится также в треугольной группе матриц.

В § 16 теорема доказывается для рангов р удовлетворяющих условиям 1 4 р^п-1. Используются "придиагональные" сети б = (б(; ), ДЛЯ которых

Отметим, что для р«1 теорема была установлена также в работе [9].

В § 17 исследуется случай п < р^2п-4. Здесь достигают цели "периферийные" треугольные сети, в которых ненулевые ячейки б^ (помимо главной диагонали = Я ) находятся только в первой строчке и в последнем столбце, при этом б1г, = к. С помощью этих сетей удается построить нужную цепь нормализаторов для р=2п-5 и р = 2п-4.

Для р < 2п - б (и для р$п-2 в § 16) необходим использование теоремы § 14.

В последних §§ 18-20 завершается доказательство теоремы о цепях нормализаторов, в конструкциях используются сети О, в которых все ненулевые Я-модули Оу. ({ ф].) образуют в пра-

г О , если < 0 <

Л , если - г = 0 . Р^Я , если ¿-г«1 , ^ к , если > 2 .

вом верхнем углу прямоугольник с г строчками и i столбцами, г + S ■ n , г > 2 » 4 > 3 • Если г > 3, то в последней строчке прямоугольника модули <ST$ могут совпадать с к (кроме, по крайней мере, одного).

Во всех случаях последовательность подгрупп {Hm указанная в формулировке теоремы однозначно определяется равенством Н0 еДб(в) , где А - группа всех скалярных матриц над полей К и б - надлежащим образом подобранная сеть R-модулей в поле к.

В заклвчение автор выражает свои искреннею благодарность профессору З.И.Боревичу за научное руководство и внимание, которым он окружил меня.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ба 1!.С.,Боревич З.И. О расположении промежуточных подгрупп// Кольца и линейные группы. Сб.науч.трудов. Краснодар. 1988. C.I4-4I.

2. Боревич З.И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап.науч.семинаров ЛОМИ. 1976. Т.64. С.12-29.

3. Боревич З.И. О подгруппах линейных групп, богатых транезек-циями // Зап.науч.семинаров ЛОМИ. 1978. Т.75. С.22-31.

4. Боревич З.И. О расположении подгрупп // Зап.науч.семинаров ЛОМИ. 1979. Т.94. С.5-12.

5. Боревич 3.И.,Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц // Тр.Мат.ин-та АН СССР. 1978. Т.148. С.43-57.

6. Боревич З.И.,Вавилов H.A. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр.Мат.ин-та АН СССР. 1984. 1.165. С.24-42.

7. Боревич З.И.,Койбаев В.А.,Чан Нгок Хой. Реаетки подгрупп в

GL(2,Q)' содержащих нерасщепимый тор // Зап.науч.семинаров ЛОМИ. 1991. Т.191. С.24-43.

8. Боревич З.И.,Мацедонская О.Н. О решетке подгрупп // Зап. науч.семинаров ЛОМИ. 1980. I.I03. С.13-19.

9. Борсвич З.И.,Цысовских В.И. Бесконечпие цепи последова-шльных нормализаторов в полной линейной группе над полем // Зап.науч.семинаров ЛОМИ. 1991. Т.191. С.44-48.

. 10. Вавилов H.A. ,Хамдан И. О подгруппах полной линейной

группы над локальным полем // X Всесоюзн.симп.по теории групп. Тезисы докл. Гомель. 1986. С.35.

11. Койбаев В.А. Подгруппы группы GL(2,Q)» содержащие не-расцепимый максимальный тор // Докл.АН СССР. 1990. Т.312, № I. С.36-38.

12. Хамдан И. О подгруппах специальной линейной группы над локальным кольцом главных идеалов // Кольца и линейные группы. Сб.науч.трудов. Краснодар. 1988. C.II9-I26.

13. Kanis L'.S. Extension of valuation theory // Bull.Atter. Alatli.Soo. 1967. Vol.75, Я 5. P.735-736.

14. Lanie Ч.Е. Valuations on.a commutative rinse // Proa, Ar.er.lat3i.Soc. 1959. Vol.23, Ii I. ¡P. 193-193.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

15. Аль Хамад А.Х. Бесконечные цепи последовательных нормализаторов в полной линейной группе // Международная конф. по алгебре. Тезисы докл. по теории групп. Новосибирск. 1951. С.4.

16. Аль Хамад А.Х.,Еондаренко А.А.,Боревич З.И. О нормализа- ■ торе группы "диагональных" автоморфизмов в алгебрах над коммутативным кольцом // У1 Симпозиум по теории колец, алгебр и модуле;:. Тсзисц сообщ. Львов. 1990. С.5.

17. Аль Хамад А.Х.,Бсндареш:о А.А.,Боревич З.И. Нормализатор группы "диагональных" авхоморфизиов с алгебрах над коммутативным кольцом // Зап.науч.семинаров Л01Ш. 1921. Т.191. С.5-В.