Полинормальные подгруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДКНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШСОВСКИХ Виталий Иванович

УДК 519.46

ПОЛИНОРМАЛЬнЫЕ ПОДГРУППЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград - 1990

Работа кшолнена на кафедре высаей алгебры и теория чисел Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета .

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физкко-аагеиатических наук, профессор БОРЕВИЧ Зенон Иванович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - член-корреспондент АН БСС^, доктор

Физико-математических наук, профессор ¡ПЕШКОВ Леонид Александрович

- кандидат физико-математических наук, доцект СУЕЦНСКйй Виталий Иванович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Ленинградское отделение Математического института ии.в.А.Стеклоза АН СССР

Защита состоится в » ча-

сов на заседании Специализированного совета К 063.57.^5 в Ленинградской государственном университете (.адрес совета: 19890^, Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, иааецатико-иеханичсскиЯ факультет ЛМ).

Зашита будет проводиться по адресу: 191011, Ленинград, Набережная Фонтан ¡си 27, 5-й этак, зал заседаний 311 (помещение лоаи).

С диссертацией цоано ознакомиться в библиотеке иа.А. 1!.Горького Ленинградского университета.

Автореферат разослан "¿З» " с Р^

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Р.А.Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В настоящей работе рассматриваются вопросы располоаения промежуточных подгрупп в абстрактных группах.

Задачи на описание всех подгрупп и нормальных делителей заданной группы градационны в теории групп. Б то же время, в сложных ситуациях частичную информацию о подгруппах группа (г мояно получить описанием решетки , ¿}-) промежуточных

подгрупп, где (х0 - некоторая фиксированная подгруппа в Строение этой решетки определяется как внутренними свойствами группы (тб » и способом ее влоаешт в . Характерный пример - картеровские подгруппы конечной разрешимой группы: их хороиее поведение определено нильпотентностью (внутреннее свойство) и самонормалпзуемостыо (характеристика способа вло-сеяия). Одно из свойств картеровских подгрупп впоследствии было назвало абнормальностью. По своей природе абнормальные подгруппы противоположны нормально.'.!. Позднее ф.Холлом был введен класс лронормалышх подгрупп, содержащий нормальные и абнормальные подгруппы. К настоящему времени теория пронормальных подгрупп в абстрактных группах получила значительное развитие. Она наила отражение в монографии Л.А.Шеметкива "Формации конечных групп".

В целях изучения и классификации промежуточных подгрупп З.И.Боревичеы были введены понятия полинормальной и паранормальной подгрупп. Они обобщают упоминавшиеся вше про нормальные подгруппы. Полинормальность и паранормальность и являются основными объектами исследования данной работы. Таким образом, рассматриваемые в диссертации вопросы связаны с актуальными задачами теории групп.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является построение теории полинормальных и паранормальных подгрупп. Изучался вопрос о свойствах и взаимосвязи этих понятий в различных классах групп, кроме того, в работе рассмотрены естественно возникающие при исследовании репетки промежуточных подгрупп (даге в неполинорцальнои случае) объекты - граф.отношения нормальности и гирлянды (его связные компоненты).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следуюгде новые научные результаты: найдено необходимое и достаточное условие полинормальности в конечных сверхразрешшявс группах, доказана паранормальность знакопеременных и симметрических групп в сплетениях к полупрямых произведениях, построек призер паранормальной подгруппы конечной группы с неполинориальныи нормализатором, указано необходимое условие полинормальности для подгрупп симметрической группы. В связи с последним из этих результатов»доказано отсутствие полинормальности у регулярной циклическо;, подгруппы в симметрической группе 3 при четных п-ФЬ,*/. Кроне того, исследован вопрос о взаимосвязи гирлянд и букетов, классифицированы гирлянды. Получено такке положительное решение вопроса С.М.Возси о существовании бесконечных цепей нормализаторов в полной линейной группе над бесконечным полем. Исследованы все подгруппы симметрических групп не выые седьмой степени и подгруппы степени восемь, отличные от примарки... •

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе использовались-различные методы теории групп. Среди них - построение коммутаторных формул, метод перечисления смежных классов Коксетера-Тод-да, обычная и трансфинитная индукция, применение ряда известиях теорем и свойств субнормальных подгрупп. При построении бесконечных цепей нормализаторов использована теория показателей (нормирований) полей и общие методы теории линейных групп.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННиСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в различных разделах теории групп, связанных с исследованием подгрупп. Б частности, классификация гирлянд может быть с успехом использована при изучении линейных групп. Приведенное в конце работы таблицы с исследованием свойств подгрупп симметрических групп не выше восьмой степени могут быть применены в различных о -ластях науки.

А1Ш0БАЦДЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладываясь на совместим семинаре лаборатории алгебраических методов Ленинградского отделения Математического института АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛИ, на науч-

ной конференции математико-механического факультета ЛГУ в апреле IS8S г. tfpoae того, тезисы одного из результатов работы опубликованы на У1 Всесоюзной пколе по теории многообразий алгебраических систем (Магнитогорск, 1990).

ПУБЛИКАЦИИ. По тепе диссертации ощбликозано пять работ.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения и занимает (вклячая библиографии) II? страниц машинописного текста. Библиография содержит 44 найме: 1вапия работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глаза диссертации слузит введением в теория расположения промежуточных подгрупп. Здесь собраны необходимые в дальнейшем определения и теоремы о полинормальных псдгрзи-пах и некоторых их разновидностях: паранормальных, пронорма-льных и слабо пронормальных, абнормальных и слабо абнормаль-ных, а так!:е о слабо нормальных (в смысле К.Г.Мюллера) подгруппах. приведено определение и свойства полных подгрупп и букетов - ключевых понятий для изучения полинормальности. Под полной (относительно ) промекуточной подгруппой понимается подгруппа р : Сс0 6 F 6 6, У которой нет собственных нормальных делителей, содсраацих Gr0 • Букет есть класс эквивалентных относительно подгрупп, причем две под-

группы считаются эквивалентными, если у них совпадавт наибольшие полные подгруппы, в них содеркаэдеся.

Рассмотрены такнее веерные подгруппы, введенные 3.Игоревичем в работе*К Полинормальные и особенно паранормальные подгруппы можно рассматривать как наиболее хорошие разновидности веерных подгрупп, поскольку для них букетное разлозе-ние совпадает с разложением веера на интервалы и аеео единственен. Паранормальные подгруппы характеризуют^ существованием так называемого стандартного вевра. Таким яе свойством обладают упоминавшиеся зыше пронорнальные подгруппы, учитывая, что из пронор^альности вытекает паранормальность.

^Боревич З.И. О распололещи подгрупп//Зап.науч.семинаров Леникгр.отд.Мат.ин-та АН СССР.1979.Т.94. С.5-12.

- б -

С ренеткой промежуточных подгрупп тесно связа-

ны граф отношения нормальности и гирлянды, такке введенные З.И.Боревичем. Именно, под графом нормальности понимаем граф, вершины которого - все промежуточные подгруппы, а ребра выражают отношение нормальности мехду ними. Под гирляндой понимаем связную компоненту этого графа. Кроме того, на промежуточных подгруппах Ц : Н — ¿г определены две операции: подъем - взятие нормализатора. ( Н) и спуск - взятие нормального замыкания . Изучение графа нормальности и гирлянд позволяет описать решетку промежуточных подгрупп даже в тех случаях, когда имеем дело с неполинормальными и дано с невеерными подгруппами, т.е. когда решетка имеет суцествокко более сложное строение. Первоначальные сведения о гирляндах и близких понятиях танке приведены в первой главе данной работы.

Большую часть первой главы составляют известные в литературе факты, приведенные, как правило, без доказательства. Из результатов автора сюда включены утверждения пунктов 3 и 4 теоремы 'к 2, предложений 7.5, 7.$ и некоторые примеры.

Представляет интерес вопрос о связи понятий полинормальности и паранормальности. В работе ^ показано, что всякая паранормальная подгруппа обязательно полинормальна. Обратное утверждение не справедливо, имеется соответствующий пример. З.И.Боревичем высказана гипотеза, что в случае разрешимых групп понятия полинормальносги и паранормальности совпадают. Эта проблема оказалась весьма сложной и до настоящего времени не решена.

Во второй главе данной работы мы приводим результаты в подтверждение этой гипотезы. В восьмом параграфе изучены полинормальные подгруппы в конечных сверхразрешимых группах. Результаты сформулированы в терминах слабой нормальности, введенной К.Г.Мюллером. Мы получили следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 8.1. Всякая полинормальная подгруппа конечной сверхразреаишой группы слабо нормальна (в смысле К.Г.Миллера).

Боревпч З.И., Ыацедонская О.Н. О решетке подгрупп//Зал. науч.семинаров Леиингр.отд.Мат.ин-та АН СССР. 1980. Г. 103.

Отсюда извлекается удобн&ч характеризация полинормальных подгрупп в сверхразрештих группах.

ТЕОРЕМА 8Л. В конечной сверхразрешимой группе подгруппа полинормальна тогда и только тогда, когда все полные относительно (х0 промежуточные подгруппы £ (т.е. такие, что Сс^ — Р ) слабо нормальны а (д- .

В §§ 9 и 10 построены две большие серии паранормальных подгрупп, рассмотрим произвольную (не обязательно конечную) группу Н . В § 9 получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 9.1. Пусть Р = симметрическая группа степени ц. , причем . Рассмотри« группу Сг = Н 1 Р - сплетение группы Н с р . Тогда подгруппа Р паранормальна в

Сг .

Как следствие получаем, что при п, 3 симметрическая группа а паранормальна в мономиальной группе Иоп(п,Л), где _/[_ - произвольное ассоциативное кольцо с единицей. В этой же параграфе получено следующее утверздекие.

ТЕОРЕМА 9.3. Расщепимое расширение произвольной группы Н при помоги симметрической группы £> ^, где и. ъ- 3 содержит последотю группу в качестве паранормальной подгруппы.

Представляется естественным вопрос о расположении подгруппы р в группе О- = Н Ъ Р » где р - некоторая подгруппа в 5 в § Ю ш рассматриваем случай, когда Р ~АЛ~ знакопеременная группа степени п* . Здесь приведена следующая

ТЕОРЕМА 10.1. Пусть Р = А п. - знакопеременная группа, И - произвольная группа. Рассмотрим сплетение (г - Н ^ р . При П, 5 подгруппа Р паранормальна в (г .

В этом ие параграфе приведен пример, показывавший, чао для произвольной (даже транзитивной) подгруппы Р^ аналогичное утверждение не имеет места.

3 § б приведен известный в литературе факт о том, что нормализатор пронормальной подгруппы обязательно абнормален и, в частности, пронормален. Естественно возникает вопрос, нот ли аналога этого"утверадения для паранормальных подгрупп, т.о. по будет ли нормализатор паранормальной подгруппы паранормален. В 5 II выясняем, что ответ отрицательный даже в массе конечных

сверхразрвдкмых групп. При этой существенно используются результаты § 9. В построенной примере нормализатор паранормальной подгруппы даже не полиноркален.

В § 12 призедено легко проверяемое необходимое условие полинормальностн для подгрупп конечных симметрических и знакопеременных групп. Рассматриваем конечное мнонестзо SL = -{1,1,u-J и Cf - либо сипиетрическан, либо знакопеременная группа на SL. . Вводим число [-^З ** нелУи часть числа . Под степенью X (Н) произвольной группы подстановок Н поплмаем число точек, действительно передвигаемых элементами из И • Получено следующее утверждение.

ТЕОРЕМА I2.I. Если Сг0 - нетривиальная полинормальная подгруппа в (г , то ев степень удовлетворяет неравенству

* (Н) > м. .

В этои ке параграфе доказано, что регулярная циклическая подгруппа в симметрической группе 5 ^ при четных значениях к , П. Ф ¡1 не полинормаль„л. Это показызает, что упомянутая выше теорема дает необходимое, но не достаточное условие полинормальностн в симметрических и знакопеременных группах.

Третья глава диссертация посвящена исследованию типов •гирлянд. Один из саьшх первых вопросов, которые здесь возникают, явл-ется вопрос о взаимосвязи гирлянд и букетов. В. § 13 получено следующее утверждение на эту тему.

ТЕОРЕМА 13.2. Пусть С? - группа, Сто - подгруппа в Gr . Тогда каздая гирлянда f целиком леяит в некотором букете.

Из этой теоремы вытекает, что каадый букет есть объединение попарно не пересекающихся гирлянд. Кроме того, извлекаем и другое следствие.

СЛЕДСТВИЕ 13.3. Пусть £}-0 - подгруппа группы Gr и Г -некоторая гирлянда. Если в f существует полная промежуточная подгруппа относительно (го, то она единственна.

В предположении существования в гирлянде полной промену- • точной подгруппы получаем следующее описание строения этой гирлянды.

ТЕОРЕМА 13.4. Пусть Geo - подгруппа в (J- , Г - некоторая гирлянда. Если в Г существует полная промежуточная

подгруппа ^ , ю V созладает с совокупность» всех промежуточных подгрупп, в которых р субнормальна.

В связи с этой теоремой представляют интерес условия, достаточные для существования з гирлянде полной промежуточной подгруппы. !.'ы получили следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 13.5. Пусть - подгруппа группы (? . Предположим, что каядая промежуточная подгруппа И : ¡То- Н (г удовлетворяет условию минимальности для своих субнормальных подгрупп, содерзащих Сг0. Тогда в любой гирлянде Г существует и единственная полная относительно (г0 промежуточная подгруппа Г •

Как следствие получаем, что в услови. .с теоремы 13.5 каждая гирлянда является букетом. В частности, это не справедливо для групп с условием минимальности на подгруппы, для конечных групп. Здесь не приводим условие, достаточное для того, чтобы-гирлянда являлась интерзалом з рассматриваемой репетке. )тмече-но, что для полинормальной подгруппы (г0 группы Сг каждая Гирлянда является букетом без предположения каких-либо условий минимальности з .

В § 13 приведено танке несколько примеров к полученным утверждениям. В примере 13.9 указаны гирлянды, не совпадающие с букетами. В примере 13.10 рассмотрена конечная группа, в которой гирляида не является интерзалом. Отмечено, что подгруппа, для которой кандая гирлянда является интервалом, не обязана быть полинормальной.

В § рассматриваем четыре возможных типа гирлянд. Операции подъема и спуска естественным образом приводят к цепям подгрупп (убывающим и возрастающим). В случае полинормальиой подгруппы в (т всякая убывающая цепь состоит не болсо, чем из двух подгрупп. Мы показываем, что существуют гирлянды всех мыслимых типов: конечные "вверх" и "вниз", с бесконечно убывающими, бесконечно возрастающими и бесконечными в обе стороны цепями подгрупп. Построены соответствующие припоры в подгруппах полной линейной группы над полем. Один из этих примеров отвечает на вопрос, поставленный С.К.Вовси в 198? году. Результат формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА ИЛ. иусть К - произвольное поле нулевой характеристики или поле характеристики 2 степени трансцендентности не меньше единицы. Тогда в группе Сг = СхЬ ( и,, К) при ц. > £ существует бесконечная в обе стороны цепь подгрупп

а приложении приведено цсследовайю всех подгрупп симметрических групп степени, ив превосходящей семи и тех подгрупп степени восемь, которые не являются примарккми. Подгрупгл порядка рк , где р - простое, в не ксследозаш!, учитывая, что для них, как отмечено в § 7, полинормальность эквивалентна пронормальности. Под типом подгруппа понимается наиболее сильное из свойств: веернос^ь, полинормальность, паранор-мальность, пронормальность, абнормальность, максимальность, которым обладает данная подгруппа в симметрической группе. Вычисления показали,.что до восьмой степени все полинормальнпе подгруппы паранормальны. Мы приводим в таблицах полную информацию о подгруппах: порокдаюкиа подстановки, число сопряненкых подгрупп, вычисляем нормализатор, устанавливаем тип подгруппы. Эти результаты могут быть использованы и для других целей.

В заключение ав.тор выракает благодарность своему научному руководителю З.И.Бэревичу за постанову задач и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Боретич З.И,Цысовских В.И. О бесконечных цепях нормализаторов в волной линейной группе над полем// Л Всесоюзная школа по теории многообразий алгебраических систем: Тезисы сообщений. Магнитогорск, 1990. С.8-9.

2. Гаврон П.в..Иысовских В.И. Расположение лодгрупп сикмегри-ческг-. групп степени, не превосходящей семи//Кольца и матричные группы. Орджоникидзе, 1984. С.35-42.

3. Макаров Ю.В.,Иысовских В.И. О подинормальности регулярной циклической подгруппы в симметрической группе. Деп. з

ВШШ! 15.08.83, Й 4465-83, 5с

ч