Промежуточные подгруппы, содержащие нерасщепимый тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г Б ОД

На правам рукописи

60НДАРЕНК0 Ал»кгсв|"| Анатольевич

ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ПОДГРУППЫ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕРАСЩЕПИГЫИ ТОР, В П0ЯНО11 ЛИНЕ11Н01Ч ГРУППЕ СТЕПЕНИ 2 НАД

локальном числами полем.

01.01.06 - математическая логика, алгейра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко-иатематичоски* наук

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ

199-1

Работа выполнена н« кафедре высшей алгебры vi теории чисел Санкт-Петербургского государственного университет*.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор фиэико-математическик наук» профессор СОРЕВИЧ Зенон Иванович

ОФИЦИАЛЫ tJE ОППОНЕНТЫ ~ доктор ^и»1№:о-мдгеи4Тическик наук,

профессор МИХАЛЕВ Александр Васильевич, кандидат фиэико-натеиатических »«а у к, доцент КОИБАЕВ Владимир Амуркамивич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Петербургское отделение Математического института ин. В. А. Стеклоеа РАН.

Зашита состоится »994 г, • № часов

на» заседании Специализированного Совета К 063.57,45 по присуждению ученой* с тепени кандидата физико~ма i ематических наук в Санкт-Петербургском государетвеммом университете <адрес совета» 19Q904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, натематико-механический факультет СПбГУ).

Защита будет- проводиться по адресу г Санкт-Петербург, наб. р .Фонтанки, 27, этаж, зал 3t 1 (помещение ПОМИ),

С диссертацией можно ознакомиться а научной библиотеке ин. А.И. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

.. <Г »

Автореферат разослан "_" _

Учёный секретарь Специализированного сонет«, кандидат физико-натенатическик наук,

доцент P.A. Шиидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАС-ОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМН. Важную роль в теории линейным групп играют вопросы описания подгрупп. Среди многочисленным исследований, посвященных этому направлению, имеется работы о нормальных делителям (X.Басе, Л.Вассерштейн), работы о подгруппах, порожденным элементами некоторого специального вид«» (А.Е.ЗалесскиД, В.Н.Серёжкин). В дальнейшем появились работы о подгруппам в линейным группам над кольцом, содержащим некоторую фиксированную подгруппу. Дл» случа* полной линейно»^ группы 0Ып,1г> над полем 3. И.ворееичем С13 был«* описана решётка подгрупп, содержащим группу обратимым диагональных матриц , т.е. вполне расщепимый максимальный тор. Это направление было рлв-вито в серии работ Э. И. Боревича, Н. А. Вавилова, В. А. Койбаева, Р. А. Шмидт л, С. Я. Крупецкого, Е. В. ДыбковоД, Е. ГТлоткина V* »др. для классическим линейным групп над полем, а также для некоторым классов колец (см» С21ДЗЗ).

Более трудной окажалась эадача описания подгрупп в С1Лп,к), содержащим мерасцепнмыД максимальный тор. К настоящему времени она решена для случая конечного поля V п работе Кантора С73 и для сл>чая поля рациональны* чисел к» О и не-расщепимого тора Т(с1) в (31.(2, ), соответствующего квадратич-иону полю (3 ),- в работе З.И.Боревича, В.А.Койбаева и Чаи

Нгок Хоя С 33.

В настоящей диссертации получено описание вс*»м подгрупп в полной линейной группе Си(2,к) над локальный числовым полей к, содержащим нерасщепимый максимальный тор 7»Т(с1>, соответсеую-щий нерадаетвлённому квадратичному расширению V <г{б )/к. Выделение максимальны* торов, связанных г. нераэе&тьленными расширениями числового поля к, (нераэвётвлеиные торы) связано с гипотваой 3.И. Е-оревича, согласно которой та» ие торы яеляк>тся полинормальными подгруппами (см.М1> в <51.(п,1> при п ^ 2. Таким образом, тематика диссертации является своевременной 41 актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Главной целью работы является описание решетки подгрупп в полной линейной группе Си<2,Ь> с^епеии 2 над лекальным числовым полем Ь , содержащих иггразе ет влеммыД макс и-

мальный тор T(d>.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ, В работе применяются нетолы и результаты общей теории линейнык групп и теории модулей мал коммут атинныи кольцом, а т акже нетод« теории локальных полей »

НАУЧНАЯ НОВИЗНА, D диссертации изучено строение решетки подгрупп группы GL(2,k>f содержащих неразьм»тилеммый тор T<d>. Получены следующие основные результаты«

2. Ontic¿ны все промежуточние подгруппы.

2. Перечне лсиы и описаны все гирлянды решёт ки L з t i Т < d ), GL(Г,К)).

3. Доказана полпнормальмость тора T(d) е GL(?,k).

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носиг теоретический характер. Вё методы »-» результаты могут быть использованы при дальнейшее исследоеамии полных линейных групп над бесконечным полем.

АПРОСЛЦИЯ PACQTLf. Основные результаты докладывались на совместном семинаре лаборатории Алгебры Петербургского отделения Математического института РАН и «сафедрь* оысшеЛ ««лгрбры и теории чисел СПбГУ.

ПУБЛИКАЦИЯ. По теме диссертации опубликовано 3 работ.

OEVEH PABQTU. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Общи»"« объем работы - 137 странны машинописного текста. Список литературы включает 77 наименований.

СОДЕР#АНПГ PAEOTU

Обитая постановка задачи, рассматриваемой в диссертации

состоит в следующем. Пусть к - произвольное поле и К/1. - его

расширение конечной степени п. Зафиксируем • К некоторый базис

ц.

над к и каждому элементу К сопоставим матрицу линейного

отображения в выбранном базис». Тем самым по-

лучим вложение К*—* Б " образ которого будет нерасше-

пиным максимальным тором 8 полной линейной группе С1_(п,к). Проблема состоит • описании решётки промежуточный подгрупп И группы С, содержащих подгруппу Т, Т { Н £ В диссертации ат<* проблема решается для случая, когда т>"2, к локальное числовое поле, Т * Т(К/к) - мералаетеленный максимальный тор, т.е. нерасщепимый тор, соответствующий неразветелённому квадратичному расширению К«к ) .

Первая глава диссертации посвящена вопросам расположение промежуточных подгрупп и имеет подготовительный кара*тер. Пусть В - группа, 0о- ее фиксированные* подгруппа. На решение - [ Н: Н $ (1)

введём структуру графа, еэяв в качестве его вершим все промежуточные подгруппы Нт а е качестве ребер - отиошеиив нормальности между ними|И^^ Н^. Пoлyv^внныГl граф наэывается графой норна ль нос; Т^ решётки !_а£(С0,6), а его свэяные компоненты - ей гирляндами. Такой подход к изучение решётки (1> был предложен 3. И. Борееичвм, Он позволяет свести это изучение к с>пис*нию множества всех гирлянд, а затем исследоеани* каждой гирлянды в отдельности. 0 6 1 доказывается

ТЕОРГМА 1. Всяк** гирлянда Г решетки является

А - полурешеткой.

Параграф 2 посвяшён ограниченным снизу гирляндам» указано биективное соответствие между ними и полными промежуточны»-«« подгруппами. В § 3 напоиинаются некоторые основные свойства пол^я-юрмальнык подгрупп. В 5 4 рассматривается свяэь между факторизацией группы П по выделенной подгруппе Я0и промежуточными подгруппами Н, Н в.

В последующмх параграфам мы переходим к ситуации, когда О » Ои(п,к> — полная линейная группа, а Т * Т <4 - ив-

рас*»епимыЛ максимальный тор. Р § 5 указывается следующая факторизация группы С по тору Т»

1 О К г-

DL(n,k>«T(K/k> * | GL <п~1» к >"

Параграф Ь посвящём изложение некоторым свойств трансеекцим обшего вида в групп«? G, а в §§ 7 и Q приводится описание миж-н«?Л и верхней Г гирлянд решрт*'и Lat(T,ß), где Г^эТ, Г aG.

0 5 9 определяется клмчевое понятие модуля трАмсвРкщ*й промежуточной подгруппы, предложенное в общем виде В. А. Койбаевым, а т«кжв его кольцо множителей. Пусть И ~ промежуточная подгруппа. В силу факторизации <2) имеет место разложение где ТЛИ ■ J. В S 10 исследун»тс ч промежуточные подгруппы, у ко-

- ь -

торы* фактор Н^раскладмвается • по/» у прямо о произведение модуля трансмекциЛ А и некоторой дополнительной подгруппы Д . Дока-эыеаетс.*, что множество L*t(T,G> все* тйкин noArpyjvi с полу-rtp«мым фактором, л также множество l_atefA> тлкип подгрупп с фиксированным А обрлэунт в Lat<Tt6) полные подреыётки. Параграф 11 содержит вспомогательные результаты, **спо ль эуемые в fift 5 и 7. В частности, имеет место

ТЕОРЕМА 2 <С93). Пусты S - ассоциативное» «гол*»цо с «¿димицеЛ и R - унмтальное подкольцо hi его »центра, ЕГслм S аддитивно порождена своими о0ратиммг*и элементам»*, то нормализатор подгруппы Aut Б^ автоморфизмов правого S - модул« S в группе Aut fj^aaro-морфизмов R - моду л« 5 совпадает с полупр ямым произведением нормального делителя Aut S^ и подгруппы Aut(G/R) кольцееык ав-томорфианов расширения S/R.

Во втором главе мы перекоднм к рлссмотреми* ситуации T<d> ^ Н ^ GL(2,ic>, где T(d> - ►♦ерасщег^имыЛ максимальный тор, соответствуют»^ квадратичному расшнрени»« (/"d> оротиольного поля к нечётной характеристики. Приводимые результаты *»л*«тся развитием и углублением при п-2 начатого в S* 5-10 главы 1. Установлено (9 9), что решетка l_at <T<<j) ,G> рас к ладыедетс я в дизъюнктное объединение множеств L.at^(A>, состоящим и» веек промежуточных подгрупп Н с модулем трансеекций AtH)"A и коль-ион множите R(H)~R. При вюи • ряде случаев указанное раз-ложен^*е согласуется с разложением решетки в объединение своим гирлянд. Множества tat д <А> исследуется » в а допустимые

кольца и модули, т.«. кольца и модули вида R<H> и А(Н) соответственно, - ч В 5.

На решетке Lat (Т >, D), как и в общем случае на решетке

<1), можно «вести операции подъема Нн'^и спуска Н где

<*> Й И » N^iH) - нормализатор Н в G, * H^j» Т - нормальное ааныкание

Т в И. Ясно, что гирлянды остается инвариантными относительно •тим операций. Им посвящены S9 7 и в. В § 10 результаты пред~ «вестеуммции параграфов применяйте я к случаям конечного и вещее га вммого поле»*-». Здесь же приводите я необ к од »-«мое ус лов ие до** пуст%^и>ст%^ подколеи локального числового поля.

Главы J и 4 содержат со6ст»еимо описание промежуточным подгрупп, содержащим »*ера зветнлёмный максимальный гор Г, в полной линейной группе 6«*GL<?,W степени 2 над локальным числовым полем к. Результаты главы 3 является в основном примене-

ни«м результатов главы 2 к случаю медиадичеекого локального пол« к, т.». КОГДА рараКТериСТИКа р по/т вычетов последнего нечётнаI р / 2. В главе 4 действуем по аналогичной схеме, однако существенной особенностью диадического случае является чётность характеристики пол« вычетов локального числового пол« к и» как следствие, отсутствие промежуточный подгрупп с полупрямым фактором, что является полной противоположность« случаи главы 3. Ровниквы«цме трудности преодолеваете* использование* особых свойств элемента б , порождающего мерацветелёнмое квадратичное расин+рение пол« (>, которому соответствует нераявете-лёмный тор Т-ТМ). Так что нмеют место следун»»«ив теоремы.

ТЕОРеИА 3 <4 1 гл.З, » 2 гл.4 Допустимыми подколь-

иами локального числового поля к являются только само поле к и его кольио нормирования (Г. Допустимыми модулями в к являются <0),к и ^ < - простой идеал кольца ), где 1^0 при р I* 2

* г

е, если к/вполне рааветелено е+1 в противно'-« случае

при рв2, - и только они.

ТСОРЕПА 4 <» 2 гл.З, « 3 гл.4>. Если р ^ 2, то

Ьв^С) - > - ^Я" , 1 > I.

Если р"2 , то

«-"У*''

для ¿«¿(е,е+1} и шпаг^<о разветвленного к/, и в остальным случвяи. При атом

- ^И^

0 соответствующих параграфам группы Р" и N вычислены

явно.

ТЕОРЕИА 3 <% Э гл.З, • ¿> гл.4). Если р ^ 2, то гирлянды реи»*тки (_а<:<Т<сП,0> исчерпываются множествами

Lat, (0) « <к>, 1иа*<1р1> X 0> .

к к СГ 6 '

Сели р"2, то гирлянды исчерпываются множествами

1.а1 ^ (к>, а также множествами <1> е> для мевполне рав-

ее те ленного пол« к над полем и множествами ^ > (1>е*П

и

*

- о -

и L*tg/<fe )U J для «полна разветвленного

Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 5 и подтерждает указанную ранее гипогиъу З.И. Боревича • рассматриваемо»» нами случае.

ТЕОРЕМА 6. Hepалеетеленный максимальный тар T»T(d) является полинормальной подгруппой в полной линейной группе G-GL<2,k>.

В заключение автор выражает искренни» благодарность своему научному руководители З.И, Боревичу sa постановку задачи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Борееич З.И« Описание подгрупп полной линейной группы, содержащим группу диагональным матриц // Зап. науч. семимарое ЛОМИ. 1976. Т.64. С.12-29. 2« Борееич З.И., Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы нлд полулокальным кольцом , содержащие группу диагональным ъатрии // Тр. Пат. ии-т* АН СССР. 1978. Т.148, С. 43-57.

3. Борсвич З.И., Вавилов H.A. Расположение подгрупп в полной линейной группе «ад коммутативным кольцом //Тр. Мат. ии-та АН СССР. 1984. Т.165. С.24-42.

4. Борееич З.И., Мацедонская О.Н. О решётке подгрупп // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1980. Т.103. С.13-19.

3. Борееич Э.И., Койбаев В.А., Чан Нгок Хой. Решётки подгрупп • SL <2,<Ц> >, Содержащих нерасщепимый тор // Зап. науч. семи-нарое ЛОМИ. 1991. Т.191. С.24-43.

6. Койбаев В.А. Подгруппы группы GL(2,Q>, содержащие нерасще-пнмый максимальный тор //Докл. АН СССР. 1990. Т.312, N 1. С.36-38.

7. Kantor W.M. Linear group* containing a Singer cycle // J. Algebra. «980. Vol.62, N 1. P.232-234.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

8. Алы Хама д А.Х., Бонд арен«: о A.A.* Борееич З.И. 0 мормалиэа-

торе групп« "дивгомальныии автоморфизмов в алгебрам над коммутативным кольцом // VI Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщ. Львов. 1990. С.Э.

9. Аль Хамад А.Х., Бомдаремко A.A., Боревич З.И. Нормализатор группы "диагональных * автоморфизмов в алгебрах над коммутативным кольцо»« // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1991. Т.191» С.3-0.

10. Бомдаренко А.А. Расположение подгрупп, содержащих нераэ-ветвлённый квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р f 2) // Зап.науч.семинаров ПОМП . 1994. Т. 211. С. 67- TS.

11. бомдаренко А.А. Расположение подгрупп, содержашик нврав-ветвлённый квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р - 2) // Зап.науч.се-Mi4Hapoe ПОМИ . 1994 . Т. 211. С. 80-90.

12. Бомдаренко A.A. Расположение подгрупп, содержащим разветвлённый квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем <р ^ 2) // Вести. С.-Петербург. ун-та. Сер.1. 1993. Вып.4, N 22. С. 7-15.