Числовые функции на обобщенных арифметических прогрессиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Предисловие

Обозначения

Глава 1. Простые числа в антье-последовательности специального вида.

§ 1. Вспомогательные утверждения.

Приближение иррациональных чисел рациональными

§ 2. Основная теорема для иррациональных чисел а

§ 3. Следствия из основной теоремы и частные случаи.

§ 4. Случай рационального а

§5. Равномерные оценки

Глава 2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле

§ 1. Вспомогательные утверждения.

§ 2. Лемма о сумме значений функции на обобщенной арифметической прогрессии

§3. Лемма об оценке тригонометрической суммы

§4. Доказательство теоремы.

§ 5. Результаты вычислений

Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций

§ 1. Задача о функции Мангольдта

§ 2. Задача о функции Эйлера

§ 3. Случай растущих коэффициентов.

Обобщенными арифметическими прогрессиями называются последовательности вида [cm + /?], где а — вещественное нецелое число, (3 — произвольное вещественное число, а переменная п пробегает натуральный ряд чисел (функция [х] обозначает целую часть числа х). Простые числа образуют мультипликативный базис множества натуральных чисел, поэтому в рассматриваемом круге задач важнейшей проблемой является изучение законов распределения простых чисел в такого рода последовательностях.

Исследование распределения простых чисел в различных целочисленных (или арифметических) последовательностях является актуальным направлением аналитической теории чисел. Простейшим примером такой последовательности является сам натуральный ряд чисел. Еще Евклид доказал бесконечность множества всех простых чисел, но точные количественные результаты, связанные с функцией к(х), были получены лишь в XIX в. Отметим, что предположение JI. Эйлера 7г(х) = о(х) было доказано А. Лежандром, который, в свою очередь, в 1798 г. выдвинул гипотезу1 о том, что km тг(х)-= 1. (1) z-э-оо X

Впервые точные результаты в этом направлении были получены П. JI. Чебышевым [1], [2] на рубеже 1840-х—1850-х гг. В частности, для всех достаточно больших значений х была доказана оценка X а-— < 7т(х) < Ъ

1п х In х' где а,Ъ — положительные постоянные, 0 < а < 1 < Ь. Кроме того, П. JI. Чебышев исследовал приближение функции тг(х) интегральным логарифмом. Он ввел понятие «количества порядка j^r^» для обозначения такой величины А, что при m > п имеем Нт^-хзоЛ : logmх = оо, а при действительности, предположение Лежандра было несколько иным, см., например, [28, с. 9]. т < п имеем lim^oo-A : logmх = 0, и доказал [3, т. 1, с. 184], что «если функция тг(х). может быть выражена верно до количества порядка включительно алгебраически в х, log ж, е*, то такое выражение ее есть х lx 1-2х [ 1 • 2 • 3 . (п log ж log2 a; log3 сс log" х

Нестрого говоря, было показано, что лучше, чем интегральным логарифмом /2 j^, функция 7г(х) приближена быть не может.

Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел (1) было получено еще через полвека. Б. Риман развил метод, использовавший теорию функций комплексной переменной. Несмотря на то, что носящая его имя функция £(s) была впервые введена Эйлером (см. [4, с. 129]), именно Риман рассмотрел ее как функцию комплексного аргумента. В своей работе 1859 г. [5] Риман привел набросок доказательства асимптотического закона. Полное доказательство предложили в 1896 г. Ж.Адамар [6] и (независимо от него) Ш. Валле-Пуссен [7]. Оба автора использовали созданную Адамаром [8] теорию целых функций.

Вопрос о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях был впервые исследован Л.Дирихле, который в 1837г. установил, что в любой арифметической прогрессии 1,1-\-к, 1-\-2к,.где натуральные числа к, I взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. После того, как был доказан асимптотический закон распределения простых чисел, Адамар при помощи рассмотренных Дирихле L-функций доказал теорему о простых числах в арифметической прогрессии:

Km тг(х; k,l)—= 7гт. (2) ж->00 х (р[к)

При фиксированном к количество членов рассматриваемой арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, имеет порядок х. Возникает вопрос о распределении простых чисел в более редких последовательностях. Например, если положить к = In я, то количество членов арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, будет уже иметь порядок х/\пх. В 1935 г. К. Зигель доказал теорему о нулях L-рядов, из которой в 1936 г. А. Вальфиш вывел равномерную при см. лемму 1.14).

В 1940г. И. М.Виноградов [9] с помощью своих оценок тригонометрических сумм с простыми числами вида где а — постоянная величина, 0 < а < 1, р пробегает простые числа и т — некоторое целое число, вывел асимптотический закон распределения дробных долей функции {ра}. Используя оценки подобного рода, в 1953 г. И. И. Пятецкий-Шапиро [10] доказал асимптотический закон распределения простых чисел в последовательности вида [пс] при 0 < с < cq =

12/11 = 1,0909Тем самым впервые была установлена регулярность в распределении простых чисел в редких последовательностях, логарифмическая плотность которых меньше единицы. Г. А. Колесник [И] увеличил границу изменения параметра с до значения cq = 10/9 = 1,1111----В дальнейшем большое количество работ было посвящено отысканию новых значений со- Наиболее существенные продвижения в этой проблеме были сделаны Хис-Брауном (со = Щ = 1,1404., [12]), Колесником (со = || = 1,1470., [13]), Лю и Риватом (с0 = |f = 1,1538., [14]), Риватом (со = = 1,1544., [15]). Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков в 1999 г. доказали следующий результат [16]. Пусть х ^ 1 — вещественное число и 7гс(ж) — количество простых чисел вида [п°] при п ^ х. Тогда при 1 < с < 22/19 = 1,1578. имеет место асимптотическая формула

В 2001 г. значение cq было вновь увеличено Риватом [17] (см. также [18])

Особое место в исследовании распределения простых чисел в ариф

1 ^ к ^ 1пл х оценку остаточного члена в асимптотической формуле ^ g2mmpa р^Х

А°со = Ш= 1,16117. метических последовательностях занимают метрические результаты, связанные с получением оценок количества простых чисел в параметрических последовательностях, где параметр пробегает множество некоторой меры. В 1975г. Д. Лейтман и Д. Вольке опубликовали статью [19], в которой, в частности, было рассмотрено асимптотическое поведение суммы

7TC(N) = £ 1, p^N р=[пс], лем где символ р пробегает простые числа. Авторы доказали, что для почти всех с £ (1; 2) при N -» оо справедлива асимптотическая формула

Кроме того, в той же статье было изучено асимптотическое поведение суммы тr(N,a) = J2E1' № p^N пеN р—[ап] где символ р пробегает простые числа, и установлено, что для почти всех положительных чисел о; и любого е 6 (0; 1/8) при N —> оо справедлива асимптотическая формула

В 1994 г. Р. Бейкер и Г. Харман доказали [20] (см. также [21]), что для почти всех с > 1 последовательность [ср] (р пробегает простые числа) содержит бесконечно много простых чисел. Отметим, что К. Хооли доказал [22, теорема 9, с. 127], что количество простых чисел Каллена п2п +1 при п ^ х есть о(х) при х оо, а А. Мильуоло установила [23], что количество простых чисел вида 2Р ± р, не превосходящих х, есть о(7г(х)) при х —> оо.

Ряд математиков обращались к проблеме распределения простых чисел в последовательности [стс], где с > 1 и а — положительное иррациональное число. Д. Нордон [24] установил бесконечность множества простых чисел в таких последовательностях при с = 2. Аналогичное утверждение для случая 1 < с < 2 было доказано Е. Р. Сиротой [25].

В главе 1 «Простые числа в антье-последовательности специального вида» настоящей работы продолжено исследование суммы (3). Доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть положительное иррациональное число а таково, что для всех рациональных чисел a/q при достаточно больших значениях знаменателя q справедливо неравенство

1 а 1 a q qv где — некоторый фиксированный показатель. Тогда для любого s > 0 справедлива асимптотическая формула тг(N, а) = ^ + О (N"+£) , а 4 где х — max (l — 0,8).

Установлено, что для почти всех положительных вещественных чисел а справедлива асимптотическая формула

Этот результат справедлив и для положительных иррациональных алгебраических чисел а (теорема 2) и является следствием из основной теоремы для иррациональных значений а. Отметим, что для положительных алгебраических иррациональных чисел а в статье [19] получена асимптотическая формула ir(N,a) = 7r(N) (о;-1 + 0(e"c(a)^)).

Основными средствами, которые были применены авторами для доказательства этого соотношения, являлись лемма И. М. Виноградова о разложении в ряд Фурье функции, «сглаживающей» характеристическую функцию промежутка ([26, лемма 2, с. 22]), аналогичное утверждение для коэффициентов ряда Фурье функции, приближающей дробную долю, а также оценка И. М. Виноградова для тригонометрической суммы по простым числам ([27, теорема 1, с. 63], см. также [28, теорема 6.1, с. 214]). Возникающие в доказательстве тригонометрические суммы по простым числам, не превосходящим N, были разбиты на «С N7 сумм по простым числам р из промежутков Nv < р ^ Nv+1, где 0 < 7 < 1/8 — некоторая постоянная, а последовательность {Nv} задана рекуррентно: Щ = 10, Nu+i = Nv + Nl'1, v ^ 0, при этом на каждом из промежутков применялись указанные выше леммы.

Кроме того, в работе [19] доказано, что если положительное число а иррационально, то справедлива асимптотическая формула ^(1 + 0(1)), причем какова бы ни была функция /, монотонно стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании аргумента, на любом интервале (c*i, <22), где 0 < «1 < ai2, найдется такое трансцендентное число что будет выполняться неравенство

Мы покажем, что для некоторых трансцендентных чисел возможно получить явную нетривиальную оценку этой разности (теорема 3).

При рассмотрении случая иррационального числа а автор настоящей работы отходит от схемы, предложенной Д. Лейтманом и Д. Вольке. Поскольку оценки тригонометрических сумм по простым числам, где в показателе находится иррациональное число Л = 1/а (см., например, лемму 1.2), зависят от величины знаменателя рационального приближения к числу Л, нам необходимо знать границы изменения этого знаменателя. Для этого мы пользуемся оценкой степени иррациональности числа Л (т. е. такого числа is, что для любого 5 > 0 неравенство 1 справедливо при всех достаточно больших q\ см. определение на с. 19).

Кроме того, вместо примененных Д. Лейтманом и Д. Вольке лемм, содержащих оценки коэффициентов рядов Фурье, мы пользуемся, по существу, лишь леммой 1.1. Наконец, для оценки суммы по простым числам применяется лемма 1.2 (принадлежащая И.М.Виноградову). Это позволяет получить степенное понижение порядка остаточного члена, а также равномерные оценки рассматриваемой суммы ir{N, ad) на основании равномерных по d оценок знаменателей рациональных приближений к числам Ас? и A fd, где 1 ^ d ^ L, L — растущий параметр (теорема 5).

В работе [19] показано, что при положительном рациональном а формула вида

TT(N)

7г (iV, а) а

1 + о(1)) имеет место лишь тогда, когда а = 1/q, q 6Е N. На самом деле при указанном а имеет место точная формула:

TT(N)

7r(iV, а) = а

Далее, для а = a/q, а (a,q) = 1 в статье [19] получена формула где сp(q, а) = р(а) ar

I Я a)= 1

Доказательство основывалось на теореме о простых числах в арифметических прогрессиях. Мы уточняем этот результат (теоремы 4, 5), применив теорему Зигеля. Заметим, что если а = a/q, а > 1 и а \ q — 1, то при N ^ а имеет место точная формула тг(N, a) = ?—^7r(N) + R{a), а где

R(a) =

1, если а — простое число; О в противном случае.

Во второй главе «Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле» настоящей работы получена асимптотическая формула при N —> оо для количества решений в натуральных числах х,у,п уравнения ху = [an + /3] при условии п ^ N. Задача нахождения асимптотической формулы для суммы чисел делителей, распространенной на последовательности вида [an 4- Р], относится к широкому кругу проблем теории чисел, в которых изучаются средние значения арифметических функций. Некоторые из этих проблем допускают простое геометрическое истолкование. К ним прежде всего следует отнести проблему Гаусса об асимптотической формуле для количества точек целочисленной решетки («целых точек») на плоскости, лежащих внутри круга растущего радиуса R с центром в начале координат (см., например, [29, с. 11]). Эта знаменитая классическая задача носит название «проблема круга». Другой классический пример подобной задачи — проблема делителей Дирихле о количестве целых точек под гиперболой, или, что то же самое, о среднем значении числа делителей натурального аргумента (см., например, [29, с. 12]). Отметим, что под окончательным решением проблем типа проблемы круга или проблемы делителей обычно понимают получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле. Эти классические проблемы допускают и многомерное обобщение. Пусть тк(п) обозначает количество представлений натурального числа п в виде произведения к натуральных чисел с учетом порядка множителей. А. А. Карацуба [30] получил асимптотическую формулу для суммы Tk(x) = равномерную по параметрам х и к:

Тк(х) = хРк-i(lnrc) + 6>ж1^(с1пж)Л, где Pk~i — многочлен степени, не превосходящей к — 1, а 7 — некоторая абсолютная постоянная.

Развитие этой тематики состоит в получении асимптотический формул для суммы значений арифметических функций в том случае, когда суммирование распространено на различного рода последовательности натурального ряда. Здесь обычно постановка задачи сводится к получению асимптотики для возможно более редких последовательностей из рассматриваемого класса (см. [31]-[36]). В 1966г. А. Ф.Лаврик [33] получил асимптотическую формулу для распределения среднего значения многомерной функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, растущей степенным образом относительно длины прогрессии. Эти исследования были продолжены М. М. Петечуком [34], который в случае прогрессии с разностью, равной степени нечетного простого числа, получил существенное улучшение результатов Лаврика и Едгорова, в котором показатель степенной зависимости разности прогрессии от ее длины не зависел от размерности функции делителей. Было доказано, что при D = рп, (I, D) = 1, D ^ х«~£ справедлива формула

5 т*(п)=^(ог+ (т)' п=1 (mod D) где Qk{z) — многочлен степени к — 1 от переменной 2 с коэффициентами, зависящими от к и р, к = min -j^j, причем положительная постоянная /3 зависит от р. В 1985 г. Дж. Б. Фридлендер и Г. Иванец [35], [36] уточнили результат Лаврика, а также получили асимптотическую формулу для суммы

2^73 (п)т(п + к) п^х с остатком < ж1^, где 5 — некоторое положительное число.

С другой стороны, в работе [37] доказано, что если 1 < с < то при iV —У оо справедлива формула N

Гг(И) = cNlnN + (27- c)N + О ( — где 7 — постоянная Л. Эйлера. Обобщение этой задачи на многомерный случай рассмотрено в статье [38].

Ряд математиков исследовали также задачи, связанными с нахождением асимптотики и оценкой остаточных членов для сумм

X>(n2 +1), J>K» + i)), 1>№))п^х п^х п^х тг^х где Р(п) — некоторый целозначный многочлен (см. [22], [39], [40]).

Основным результатом второй главы настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть а — положительное иррациональное число и действительное число /3 лежит в промежутке [0;а). Тогда справедливо равенство

Y^ т([ап + (3]) = NlnN + (27 - 1 + Ina)N + Дaj(N), где 7 — постоянная Л. Эйлера, причем если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при N —>• оо справедлива оценка

АаАЮ < In3 N, если число а алгебраическое, то имеет место соотношение

АаАЮ «е причем для почти всех положительных а выполнено неравенство

АаАЮ <е №'5+^ln4+eN число е > 0 сколь угодно мало).

Для доказательства этой теоремы развит математический аппарат, позволяющий свести рассматриваемую задачу к оценкам тригонометрических сумм определенного вида (лемма 2.10). Отметим, что Гаусс первым стал рассматривать тригонометрические суммы и первым показал пользу этих сумм как средства решения задач теории чисел. Особое место в настоящей работе занимает получение оценок тригонометрических сумм с иррациональными числами, непрерывная дробь которых имеет неполные частные, ограниченные в совокупности. Аналогичные оценки справедливы и для сумм с иррациональными алгебраическими числами, однако в первом случае удается получить также и явные значения констант в верхних оценках этих сумм (см., например, лемму 2.12).

В третьей главе «О распределении значений сумм мультипликативных функций» продолжено исследование распределения сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях. Здесь следует отметить интересные результаты, связанные с распределением средних значений мультипликативных функций, которые изменяются в пределах, имеющих порядок ниже степенного, например, <р(п)/п и а(п)/п. Доказано следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть а — положительное иррациональное число. Тогда справедливы равенства n^N и bt, [««+т п

V + Я) К2 v ,т a {[an + /?]) тг" n^N причем если неполные частные непрерывной дроби числа о; ограничены, то при N —> оо справедлива оценка

AaAN) ^ Nlnln"+ln2 In4 iV, если число а алгебраическое, то имеет место соотношение

Да,/? (Л0 N*, причем для почти всех положительных а выполнено неравенство

Aa#{N) <£ №ninM-in2 ln5+e N число е > 0 сколь угодно мало), и, кроме того, для A'ap{N) справедливы точно такие же оценки.

В теореме 9 исследуется остаточный член в задаче о сумме значений функции а на обобщенной арифметической прогрессии. Отметим, что в данном случае главный член имеет квадратичный порядок по сравнению с длиной промежутка суммирования, а для остаточного члена получено корневое понижение.

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову за постановку задач и внимание к работе и профессору Г. И. Архипову за полезные обсуждения.

Обозначения

Если не оговорено противное, то символы a, d, к, I, m, n, г, s, i, L, М, iV обозначают натуральные числа, р — простые числа. Действительные числа обычно обозначаются через с, х, у и буквами греческого алфавита. Значения положительных чисел 5 и е предполагаются малыми и не всегда сохраняются в ходе доказательства.

В настоящей работе используются устоявшиеся обозначения для теоретико-числовых функций р(п) d\n d\n

1 (функция Эйлера), d^n, (d,n)~ 1

А(п)

In p, если n = pk; 0 функция Мангольдта), в противном случае

1, если п = 1; р{п) — 1)г если п — Pi ■ ■ -Рп где pi < . < рг — простые числа; О в противном случае функция Мёбиуса).

Количество простых чисел, не превосходящих х, обозначается через 7г(х). Подобное количество в арифметической прогрессии кп +1 — через

7г(х, к, I).

Для сокращения записи вместо обозначения f = 0(g) обычно используется знак И. М. Виноградова: / «С д.

1. Чебышев П. J1. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины // Теория сравнений. СПб, 1849. 209-229.

2. Чебышев П.Л. Sur les nombres premiers (О простых числах) // J. Math. (1) 17. 1852. 366-390.

3. Чебышев П. JI. Полное собрание сочинений (тт. 1-5). — М.—Л.: ГТТИ, 1944-51.

4. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. — Л.: Наука, 1972. — '360 с. (2-е издание, стереотипное — М.: УРСС, 2003. 359 с.)

5. Риман Б. Сочинения: Пер. с нем. М.-Л.: ГТТИ, 1948. - 543 с.

6. Hadamard J. Sur la distribution des zeros de la fonction £(s) et ses consequences arithmetiques // Bull. Soc. Math. France. 24. 1896. 199220.

7. De la Vallee-Poussin Ch. Recherches analytiques sur la theory des nombres (I part.) // Ann. Soc. Sci. Bruxelles. 20, no. 2. 1896. 183-256.

8. Hadamard J. Etude sur les proprietes des fonctions entiers //J. Math. (4) 9. 1893. 171-215.

9. Виноградов И. M. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Матем. сб. 1940. 49. 365-372.

10. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательностях вида /(п)] // Матем. сб. 1953. 33. 559-566.И. Колесник Г. А. Распределение простых в последовательности вида пс] // Матем. зам. 1972. 2. 117-128.

11. Heath-Brown D. R. The Pjatecki-Shapiro Prime Number Theorem // Number Theory. 1983. 16. 242-246.

12. Kolesnik G. Primes of the form nc] // Pacific Journal of the Math. 1985. 118. no. 2. 437-447.

13. Liu H.-Q., Rivat J. On the Piatecki-Shapiro prime number theorem // Bull. London Math. Soc. 1992. 24. 143-147.

14. Rivat J. Autor d'un theorem de Piatecki-Shapiro // Thesis, Universite de Paris Sud. 1992.

15. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О распределении простых чисел в последовательности вида \п°] // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1999. №6, 25-35.

16. Rivat J., Sargos P. Nombres premiers de la forme nc] // Canad. J. Math. 2001. 53, no. 2. 414-433.

17. Rivat J., Wu J. Prime numbers of the form nc] // Glasgow Math. J. 2001. 43, no. 2. 237-254.

18. Leitmann D., Wolke D. Primzahlen der Gestalt /(n)] // Math. Z. 1975. 145, No. 1. 81-92.

19. Baker R. C., Harman G. Primes of the form с?] // Math. Z. 1996. 22. 73-81.

20. Harman G., Rivat J. Prime numbers of the form \pc] and related questions II Glasgow Math. J. 1995. 37, no. 2. 131-141.

21. Хооли К. Применение методов решета в теории чисел: Пер. с англ. — М: Наука, 1987. 134 с.

22. Милъуоло А. О простых числах в редких последовательностях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1987. №2, 75-77.

23. Nordon D. Nombres premiers de la forme un2] // Arch. Math. 1977. 28, no. 4. 395-400.

24. Сирота E. P. Распределение простых чисел вида ип1+1]. Владимир, гос. пед. ин-т. 1981. — 13 с.

25. Виноградов И. М. Применение метода тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е издание. — М: Наука, 1980. — 144 с.

26. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М: Наука, 1976. — 119 с.

27. Прахар К. Распределение простых чисел: Пер. с нем. — М: Мир, 1967. 511 с.

28. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е издание. — М: Наука, 1983. 239 с.

29. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1972. 36. №3, 475483.

30. Едгоров Ж. Задача делителей в специальных арифметических прогрессиях // Изв. АН УзССР. 1977. №2, 9-13.

31. Барбан М. Б., Линник Ю. В., Чудаков Н. Г. О распределении простых чисел в коротких прогрессиях mod рп // Докл. АН СССР. 1964. 154. №4, 751-753.

32. Лаврик А. Ф. Функциональное уравнение для L-функций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. 30. 433-448.

33. Петечук М. М. Сумма значений функций делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени нечетного простого числа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. 43. №4, 892-908.

34. Friedlander J. В., Iwaniec Н. The divisor problem for arithmetic progressions // Acta Arith. Ser. 2. 1985. 26. no. 1. 1-14.

35. Friedlander J. В., Iwaniec H. Incomplete Kloosterman sums and a divisor problem // Ann. Math. 1985. 121. no. 2. 319-350.

36. Закзак А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях. Диссертация на соиск. . канд. физ.-матем. наук, МГУ. 1993. — 80 с.

37. Архипов Г. И., Солиба X. М., Чубариков В. Н. О сумме значений многомерной функции делителей на последовательности вида пс] // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1999. №2, 28-35.

38. Iwaniec Н. An additive divisor problem //J. London Math. Soc. Ser. 2. 1982. 26. no. 1. 1-14.

39. Линник Ю. В. Избранные труды. Теория чисел: Х-функции и дисперсионный метод. — JI: Наука, 1980. — 373 с.

40. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 3-е издание. — М.: Дрофа, 2003. — 638 с.

41. Хинчин А. Я. Цепные дроби. 4-е издание. — М: Наука, 1978. — 111 с. (Стереотипное переиздание: М.: УРСС, 2004. — 111 с.)

42. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений: Пер. с англ. М: ИЛ, 1961. - 212 с.

43. Mahler К. On the approximation of 7Г // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Wet, Ser. A. 1953. 56, No. 1. 30-42.

44. Apery R. Irrationalite de C(2) et £(3) // Asterisque. 1979. 61. 11-13.

45. Mignotte M. Approximations rationelles de ir et quelques autres nombres // Bull. Soc. Math. France. 1974. 37, Suppl. au No. 1-4. 121-132.

46. Mahler K. On rational approximations of the exponential function at rational points // Bull. Austr. Math. Soc. 1974. 10, No. 3. 325-335.

47. Davies C. S. Rational approximations to e // J. Austr. Math. Soc. 1978. A25, No. 4. 497-502.

48. Davies C. S. A note on rational approximations // Bull. Austr. Math. Soc. 1979. 20, No. 3. 407-410.

49. Данилов JI. В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках // Матем. зам. 1978. 24, №4. 449-458.

50. Alladi К., Robinson М. L. On certain irrational values of the logarithm 11 Lect. Notes Math. 1979. 751. 1-9.

51. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math. 1990. 407, No. 1. 99-125.

52. Hata M. Rational approximations to 7Г and some other numbers // Acta Arith. 1993. 63, No. 4. 334-349.

53. Brisebarre N. Irrationality measures of log 2 and 7г/\/3 // Experiment. Math. 2001. 10, No. 1. 35-52.

54. Davies C. S. A note on the irrationality of £(2) and £(3) // Bull. London. Math. Soc. 1979. 11, No. 3. 268-272.

55. Vaughan R. С. An elementary method in prime number theory // Acta Arithm. 1980. 37. 111-115.

56. Walfisz A. Weylishe Exponentialsummen in der neuren Zahlentheorie. Berlin Deutscher Verl. der Wissenschaften. 1963. 231 S.

57. Бегунц А. В. О простых числах в одной антье-последовательности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. №2, 71-74.

58. Бегунц А. В. Асимптотическая формула для количества простых чисел в обобщенной арифметической прогрессии с растущей разностью // Тезисы VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». 2004. 17-18.

59. Бегунц А. В. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. №6, 52-56.