Конечно аддитивное расширение Марковских операторов и эргодические теоремы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Жданок Александр Иванович

КОНЕЧНО АДДИТИВНОЕ РАСШИРЕНИЕ МАРКОВСКИХ ОПЕРАТОРОВ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

01 01 01 — математичесий анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ииа175267

Новосибирск — 2007

003175267

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики Тывинского государственного университета

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Малюгин Сергей Артемьевич

академик Национальной Академии наук Украины, доктор физико-математических наук, профессор Скороход Анатолий Владимирович

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ченцов Александр Георгиевич

Ведущая организация.

Томский государственный университет

Защита состоится б декабря 2007 года в 15 00 часов на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 при Институте математики им С. Л. Соболева СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан_

• Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или сг-алгеброй его подмножеств £, т е измеримое пространство (X, Е) В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией г и с борелевской алгеброй sd — или сг-алгеброй ёё = х, порожденными топологией т Используются следующие обозначения

В(Х, Е) — банахово пространство всех вещественных ограниченных Е-измеримых функций / X —> R1 с sup-нормой

С(Х) — банахово пространство всех вещественных ограниченных непрерывных функций / X R1 с sup-нормой (для топологического X)

ba(X,T,), са(Х, Е) — банаховы пространства вещественных ограниченных мер /л Е —¥ R1 с вариационной нормой, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных

rba(X, Е), rca(X, Е) — банаховы пространства — подпространства регулярных мер, соответственно в ba(X, Е) и са(Х, Е) (для топологического

X)

На измеримом пространстве (X, Е) задается функция двух переменных р X х Е —> R1, р (х, Е), которая является Е-измеримой по первой переменной и счетно аддитивной мерой по второй переменной р I х Е Ч [0,1], р{,Е) е B(X,Z), v.߀ Е, р{х, ) е са(Х, Е), Vz € X, р(х,Х) = 1, \/х 6 X Такая функция называется переходной функцией или переходной вероятностью для порождаемой ею классической цепи Маркова (ЦМ) на "фазовом" пространстве (X, Е)

Переходная функция р (х, Е), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора Т и А, которые мы будем называть марковскими операторами

Т В{Х,И) В(Х Е), (Tf)(x) = Tf(x) = f f{y)p(x,dy), f eB(x,E),x ex,

А ca(X, E) ca(X, E), (Aß)(E) = Aß(E) = fp(x, E)/n(dx), ß £ ca(X, E), BeE

В рамках настоящей »работы цепи Маркова отождествляются с итерационной процедурой (in = Aiin-i при той или иной начальной счетно аддитивной вероятностной мере ßo Описание ЦМ на языке случайных величин (элементов) в работе не используется

Марковский оператор А может быть продолжен (расширен) с сохранением своего аналитического вида с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер (сохраняем обозначение)

A ba(X, Е) ->- ba(X, Е), (А/х)(Е) = fp(x, E)n(dx) Поскольку сопряженное пространство В*(Х, Е) = ba(X, Е), то продолженный оператор А является топологически сопряженным к оператору Т Т* = А (этим свойством не обладает исходный оператор А на са(Х, Е))

Переходная функция р(х, Е) также может рассматриваться как конечно аддитивная мера по второму аргументу ) € ba(X,T), Vre е X Она также порождает пару марковских операторов Т и А с тем же интегральным видом, причем Т В(Х, Е) -4 В(Х, Е), А ba(X. Е) 6а(Х, Е) и Т* — А Конечно аддитивной переходной функции соответствуют конечно аддитивные цепи Маркова, также понимаемые как итерационные процедуры цп — Afin_i, где р0 € ba(X, Е), ß0 > 0, ßo(X) = 1

Предметом изучения в работе являются марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологических измеримых пространствах (X, Е) Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова (ЦМ) на фазовом пространстве (X, Е)

Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани1 в 1941 году

Задачей настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространствах мер К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях

Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для марковских операторов, т е для цепей Маркова, а конкретные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими или предельными

Эргодические теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях Типичными являются следующие ограничения

1 Ограничения на фазовое пространство - конечность, счетность, топологические свойства и т п

2 Условия на марковские операторы - компактность, квазикомпактность, феллеровость и т п

3 Предположение о существовании инвариантной вероятностной

1 Yosida К , Kakutani S Operator-theoretical treatment of Markoff's process and mean ergo die theorem - Ann Math , v 42, № 1, 1941 P 188-228

меры Это предположение присутствует почти во всех основных эргоди-ческих теоремах, полученных Феллером и Иосидой2, и у многих других авторов "Априорная" инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры /л позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега LP(X, £, ß) Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см , например, статьи Хоровица3'4)

В настоящей работе в основных результатах почти нет ограничений на фазовое пространство Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа Что же касается предположений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования

В работе ставится и в определенной степени решается задача изучить асимптотическое поведение итераций от марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных счетно аддитивных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер

Цель работы

Разработать новые методы исследования марковских операторов, базирующихся на активном использовании общей теории конечно аддтив-ных мер

Научная новизна.

1 Проведено продолжение марковских операторов со счетно аддитивным ядром основных классов счетно аддитивных цепей Маркова с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер и установлен методологически общий для всех таких операторов факт о существовании инвариантных конечно адитивных мер Данный результат обобщает подобные полученные ранее результаты других авторов

2 Рассмотрены марковские операторы с конечно аддитивным ядром и соответствующие им конечно аддитивные цепи Маркова Доказаны новые общие теоремы о существовании инвариантных конечно аддитивных мер у всех таких операторов

2Иосида К Функциональный анализ М , Мир, 1967 — 624 с

3Horowitz S Loo - Limit theorems for Markov processes — Israel J of Math V 7, N 1, 1969 P 60-62

4Horowitz S Transition Probabilities and Contaction of Loo - Z Wahr und verw Geb В 24, H 4, 1972 Р 263-274

3 На основе известного представления банаховой алгебры

В(Х Е) через пространство C(Q), где Q — ее пространство максимальных идеалов (или множество двузначных конечно аддитивных мер), введена гамма-компактификация ТеХ произвольного измеримого пространства (X, £) Исследовано топологическое строение гамма-компак-тификации исходного пространства Изучены особенности продолжения измеримых ограниченных функций до непрерывных и конечно аддитивных ограниченных мер до счетно аддитивных при расширении исходного измеримого пространства до его гамма-компактификации В частности, даны условия выметания носителей исходных мер в нарост гамма-компактификации при продолжении мер

4 Введено новое понятие — гамма-расширение точки (не имеющее аналогов в общей топологии) при вложении топологического борелев-ского пространства в его гамма-компактификацию Изучено устройство гамма-расширения точки и ее гамма-нароста для различных топологий в исходном пространстве, дано их представление в терминах двухзначных мер, и исследованы другие свойства При некоторых условиях доказано, что гамма-компактификация исходного топологического пространства совпадает с объединением гамма-расширений всех его точек тогда и только тогда, когда X компактно.

5 Произвольной конечно аддитивной цепи Маркова на общем, вообще говоря, нетопологическом фазовом пространстве поставлена в соответствие некоторая феллеровская цепь Маркова на компакте - "гамма-цепь Маркова на гамма-компактификации" исходного фазового пространства Переход от исходной цепи к феллеровской и обратно хорошо оснащен набором соответствующих отображений, дающих явные формулы перехода Полученная конструкция позволяет трансформировать различные утверждения, верные для феллеровских цепей Маркова на компакте, в соответствующие утверждения для произвольных цепей

6 Доказано, что классу всех феллероских цепей со счетно аддитивной переходной функцией на гамма-компактификации произвольного измеримого пространства биективно соответствует класс всех цепей Маркова на данном измеримом пространстве с конечно аддитивной переходной вероятностью, подкласс которого образуют классические цепи со счетно аддитивной переходной вероятностью В терминах классов марковских операторов указанное соответствие является изометрическим изоморфизмом

7 В рамках разработанного автором подхода доказан набор теорем эргодического типа с альтернативными условиями, в которых асимптотическое поведение в различных топологиях средних по Чезаро от марковских последовательностей мер при всевозможных предположениях

увязывается со свойствами инвариантных конечно аддитивных мер марковских операторов

8 Введено понятие семейства конечно-осредненных цепей Маркова (и их операторов) для исходной цепи Это позволило на основе полученных автором теорем эргодического типа для произвольных цепей Маркова доказать ряд новых теорем об условиях сильной сходимости средних по Чезаро для конечно-осредненных и исходных цепей Маркова

В частности, доказана эквивалентность следующих двух условий

1)для произвольной цепи Маркова ее конечно-осредненная цепь удовлетворяет условиям Дуба-Деблина (те соответствующие марковские операторы квазикомпактны),

2)все инвариантные конечно аддитивные меры (они всегда существуют) исходного марковского оператора счетно аддитивны (одновременно доказано, что в этом случае существует лишь конечное число линейно независимых инвариантных мер)

9 В последних теоремах работы даются необходимые и достаточные условия слабой сходимости средних по Чезаро для марковских операторов к счетно аддитивной вероятностной мере Суть условий при тех или иных предположениях сводится к тому, чтобы все инвариантные конечно аддитивные меры попадали в один класс эквивалентности в слабой топологии с данной предельной счетно аддитивной мерой

При этом учтены марковские операторы, не имеющие инвариантных счетно аддитивных мер Их асимптотическое поведение (средних по Чезаро) характеризуется свойствами инвариантных чисто конечно аддитивных мер

Методика исследований

В работе используются методы теории линейных операторов в банаховых пространствах, теории компактных расширений топологических и измеримых пространств, общей теории меры, элементы теории банаховых алгебр и ряда других разделов функионального анализа

Теоретическая и практическая значимость.

Представленная работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем развитии теории марковских операторов и теории компактных расширений Доказанные теоремы эргодического типа могут быть применены в эргодической теории цепей Маркова

Апробация Полученные в диссертации результаты докладывались автором в разное время на следующих научных семинарах и конференциях на семинаре в ТашГУ по функциональному анализу (Ташкент, 1978,

рук академик АН УзССР Т А Сарымсаков), на семинаре в Институте математики АН УзССР по теории вероятностей (Ташкент, 1978, рук академик АН УзССР С. X Сираждинов), на IV школе по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск, 1979), на семинаре Института прикладной математики и механики АН Укр-ССР "Поведение систем в случайных средах" (Донецк, 1980, рук член-корреспондент АН УкрССР И И Гихман), на семинаре Института математики АН УкрССР по теории вероятностей (Киев, с 1980 по 1992 г, рук академик АН УкрССР В С Королюк), на семинаре Института математики и кибернетики АН ЛитССР по теории случайных процессов (Вильнюс, 1981, рук член-корреспондент АН ЛитССР В И Гри-гелионис), на III Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), на семинаре МГУ по общей топологии (Москва, 1985, рук д ф -м н , профессор В И Пономарев), на Всесоюзной школе-семинаре (первой) по эргодической теории марковских процессов (Кызыл, 1987), на семинаре Института математики АН УкрССР "Вероятностные распределения в бесконечномерных пространствах "(Киев, 1987, рук академик АН УкрССР А В Скороход), на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1988), на выездной сессии Научной комиссии АН СССР по теории вероятностей и математической статистике (Юрмала, 1988, преде академик АН СССР Ю В Прохоров), на V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989), на II Всесоюзной школе-семинаре по эргодической теории марковских процессов (Черновцы, 1989), на семинаре Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР по экстремальным задачам (Свердловск, 1989, рук дф-мн, профессор, А Г Ченцов), на семинаре Рижского технического университета по теории вероятностей (Рига, 1991, рук дф-мн, профессор, Е Ф Царьков), на семинаре Института математики СО РАН по теории вероятностей и математической статистике (Новосибирск, 1998, 2000, 2006, рук академик РАН А А Боровков), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 2000), на семинаре Института математики СО РАН по математическому анализу и геометрии (Новосибирск, 2006, рук академик РАН Ю Г Решетняк)

А также неоднократно докладывались на других различных семинарах и конференциях в разное время в Латвийском госуниверситете, Рижском техническом университете, Киевском госуниверситет, Тывинском госуниверситете

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[11] Более или менее полное изложение результатов автора, представленных в диссертации, а также исследования по ряду смежных вопросов, представлено в монографии автора [12] (рецензенты д ф -м н С Г Фосс и д ф -м н А Е Гутман - ИМ СО РАН) Список публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и приложения Нумерация определений, лемм, теорем и следствий тройная (номер главы, номер параграфа, порядковый номер внутри параграфа отдельно для определений, лемм, теорем и следствий) Библиография содержит 124 названия Объем работы 217 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описывается предмет изучения в диссертации, цель исследования и формулируется основная решаемая в работе проблема Подробно обсуждаются предпосылки и мотивы разрабатываемой в диссертации методологии решения поставленных задач Дается исторический экскурс и анализ по уже существующим подходам в исследованиях в выбранном направлении В неформальном виде приводятся основные результаты работы

Во Введении даются также основные определения, обозначения и общеизвестные факты, часть из которых (в дополнение к указанным выше) нам понадобится в автореферате

Чисто конечной аддитивной мерой Л 6 Ьа(Х, Б), А ^ 0, называется такая мера, что из 0 ^ ц ^ Л, ц 6 са(Х, Е), следует ц = 0 Знакопеременная мера чисто конечно аддитивна, если обе ее компоненты в разложении Жордана чисто конечно аддитивны Конечно аддитивная мера единственным образом разлагается в сумму счетно аддитивной и чисто конечно аддитивной составляющих

р/а(Х, Е) — подпространство чисто конечно аддитивных мер в Ьа(Х, Е)

Если М — некоторое пространство мер, то 5м = {ц € М ц(Е) ^ О, 1Е 6 Е, ц(Х) = 1}

Если Н — топологическое векторное пространство, то Н* обозначает пространство, сопряженное к нему (или изоморфное Н*) Имеют место изометрические изоморфизмы В*(Х, Е) = Ьа(Х, Е) для произвольного (X, Е), С*{Х) — гЬа{Х, я?) для нормального топологического X,

С*(Х) = гса{Х, Щ для компактного хаусдорфового X Если М некоторое пространство мер, то обозначим Дм класс всех инвариантных для ЦМ мер Ам = {ß £ М. ß ^ О, ß(X) = 1, ß — Aß}.

Глава I. Конечно аддитивные меры

Основная часть Главы I содержит разрабатываемый автором технический аппарат, необходимый для исследований, представленных в последующих главах Новые результаты из Главы I опубликованы в работах автора [4], [5}, [7], [10]

§ 1.1 Чисто конечно аддитивные меры и интеграл по конечно аддитивной мере В параграфе приводятся известные определения и сведения из общей теории меры и интеграла по конечно аддитивной мере, используемые в диссертации Акцент делается на свойствах чисто конечно аддитивных мер, недостаточно освещенных в литературе

§ 1.2 Регуляризация конечно аддитивных мер. В параграфе вводится новый объект (Теорема 1 2 2 и Определение 12 5) каждой конечно аддитивной мере А ставится в соответствие некоторая единственная регулярная мера Ä, называемая ее регуляризацией, неотделимая от исходной меры в слабой тс-топологии Устанавливаются общие свойства регуляризации меры

§ 1.3 Регуляризация меры и граничные множества. Разложения меры. В параграфе проводится детальное исследование специальных свойств введенной выше регуляризации меры, доказывается ряд теорем. В частности, исследуется "концентрация" регуляризации меры на граничных множествах Результаты здесь опускаем Приведем лишь определение, которое будем использовать в дальнейшем

Определение 1.3.2. Пусть ß € rba(X, s>/), ß>0 Множество

K(ß) = {А <£ Ьа{Х, Зё) А > 0,JfdX = J fdju, V/ € С(Х)}

= {А € Ьа(Х,Щ \>0,X = ß} будем называть классом С-эквивалентных мер для ß

§ 1.4 Банаховы пределы числовых последовательностей. Конструкция банаховых пределов является одним из основных технических средств при исследовании марковских операторов в пространствах мер в настоящей работе Этим и обусловлено то, что банаховым пределам специально посвящено два больших параграфа работы (этот и следующий) Известно, что конструкция банахова предела Lim ап числовой последовательности {а„}, понимаемого как некоторый (неедин-

ственный) продолженный линейный функционал на тех или иных пространствах последовательностей, допускает самые различные реализации Один из таких вариантов определения Lim ап, удобный для наших целей, строится и исследуется в настоящем параграфе, для него доказывается ряд утверждений, которые мы здесь опускаем

§ 1.5 Слабо предельные точки последовательностей мер и банаховы пределы.

На основе конструкции банахова предела числовых последовательностей, изученной в предыдущем параграфе, получаем следующее утверждение, приводящее к соответствующему определению

Теорема 1.5.1. Пусть (Х,£) произвольно, ßn 6 ba(X,'E), \\/лп\\ < М < оо; п = 1,2, Тогда существует ß € Ьа(Х,!У) такая, что для каждого Е 6 Е выполняется

1m.ßn{E) < ¡л{Е) < hmßn{E)

Определение 1.5.1. Пусть {X, Е) произвольно, 6 ba(X, Е), Wßn\\ < М < оо, п = 1,2, Любую меру ß 6 ba(X, Е), построенную в теореме 151, будем называть банаховым пределом последовательности мер {ßn} и будем обозначать ЫМ(цп) Множество всех банаховых пределов последовательности {ßn} будем обозначать L{/jn}

Далее в параграфе проводится детальное исследование свойств банаховых пределов последовательностей мер В частности, доказывается ряд теорем о взаимосвязях множества L{fj,n} и множеств Ш1{цГ1} и предельных точек последовательности мер цп в тв - и Тс - топологиях соответственно

Глава II. Гамма-компактификация измеримых пространств.

Гамма-компактификация произвольного измеримого или топологического борелевского пространства является одним из основных изу чаемых в диссертации функциональных (или топологических) объектов И, хотя гамма-компактификация первоначально и разрабатывалась автором для ее дальнейшего использования в теории марковских операторов, в конечном итоге она превратилась в самодостаточный и оригинальный объект, имеющий самостоятельное значение в функциональном анализе (и в настоящей диссертации)

Полученные автором новые результаты для гамма-компакти-фикации пространств и составляют содержание Главы II Все эти результаты опубликованы в работах автора [2], [5], [61, [7], [8), [9], [10], [11]

§2.1 Общие замечания.

В параграфе делается небольшой обзор предыдущих работ других авторов, посвященных цепям Маркова и порождаемым ими марковским операторам, в которых естественным образом возникала необходимость расширения исходного измеримого пространства до некоторой его ком-пактификации Это, прежде всего, работы Jle-Кама, Фогеля, Шура, Нагаева, Нумелина, Боровкова и других Даны также некоторые замечания по поводу построения различных компактификаций топологических пространств в общей топологии

§ 2.2 Компактные расширения и банаховы алгебры В качестве необходимой для наших целей компактификации измеримого пространства мы выбираем одну из известных конструкций в теории банаховых алгебр (или нормированных колец)

Определение 2 2.6. Пусть дано произвольное измеримое пространство (X, £), где алгебра Е содержит все одноточечные множества Назовем гамма-компактификацией пространства (X, Е) множество у^Х = уХ всех максимальных идеалов банаховой алгебры В(Х, £) с тихоновской топологией, или, что эквивалентно, множество всех мультипликативных функционалов в пространстве В* {X, Е) в *- слабой топологии

Будем употреблять также сокращенную запись " -у-компактифика-ция" При взаимно однозначном вложении s X —> уХ будем отождествлять X и s(X) С уХ Топологию в уХ обозначим т7 = tiX

Поскольку вложение s X -4 уХ не гомеоморфно, а само X может быть не топологическим, то компактификацию уХ в общей топологии, подробно не изучают Отметим еще раз, что если топологическое пространство X имеет бесконечное число точек и недискретно, то компактификация уХ, как множество, строго больше, чем стоун-чеховская компактификация ßX, которую в общей топологии называют максимальной

Тем не менее, расширение уХ можно описать и в рамках гомеоморф-ных вложений даже и для нетолологических X В частности, это делается при помощи уолмэн-шанинской компактификации Бандтом5 Уолм-эновскую компактификацию шХ (в ее первоначальном определении) для совершенно нормальных пространств X использовал А Д Александров6 для распространения регулярных конечно аддитивных мер с (X, ¿г/) до регулярных счетно аддитивных мер на (и>Х, 3BJ)

5Bandt С On Walman-Shanm-compactiflcation - Math Nachr, 77 1977 P 333-351

6AIexandroff A D Additive set-functions m abstract spaces I - Матем сборник , 8(50), 2, 1940 С 307-348

Некоторая компактификация, сходная с нашей уХ, для изучения конечно аддитивных мер используется в работе Иосиды и Хьюитта7, чьими результатами мы постоянно пользуемся Близкие к уХ компактифика-ции используются в работе Кирка 8 В теории экстремальных задач А Г Ченцовым (см , например, 9) развивается новое направление, в котором основным инструментом исследований являются конечно аддитивные меры, продолженные на компактификации, частично близкие к нашей уХ Компактификации, подобные гамма-компактификации, рассматриваются для упорядоченных АТ-пространств в книге А В Канторовича, Б 3 Вулиха, А Г Пинскера 10 , а также в книге Б 3 Вулиха11 Основные теоремы для представлений пространств максимальных идеалов были получены одним из создателей общей теории нормированных колец И М Гельфандом еще в 1940-ые годы

§ 2 3 Конструкция гамма-компактификации измеримого пространства.

Пусть дано произвольное измеримое пространство pi, Е) и у^Х = уХ - его гамма-компактификация Вначале приведем общие сведения о построении расширения уХ, ориентируясь на Данфорда и Шварца12 (Гл IV, 6, 9) ), где изометрический изоморфизм г В(Х,И) —> С(уХ) сопровождается двумя естественными отображениями

Первое, - уже описанное в предыдущем параграфе взаимно однозначное плотное вложение s X —> уХ Его можно трактовать как сопоставление каждому х 6 X меры Дирака 6Х = s(x) € ba(X, Е) = В*(Х, Е), вырожденной в точке В т7-топологии s(X) = уХ Для недискретного топологического (бесконечного) X и Е = 38 отображение s X —t уХ разрывно и расширение уХ строго больше /ЗХ

Изометрия г В(Х, Е) —> С(уХ) является также и алгебраическим изоморфизмом, те г(Д + /2) = г(/г) + г(/2) и г(/а /2) = i*{fi) r{f2) Следовательно, изоморфизм г порождает некоторое отображение t множеств Е € S из X в класс открыто-замкнутых множеств Af^x При этом

7Yosida К , Hewitt Б Finitely additive measures - Trans Amer Math Soc , 72, I, 1952 P 46-66

sKirk R В Algebras of bounded real-valued functions, I—II — Indag Math , 34, Mathematics, (1972) P 443-463

8Ченцов А Г Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач Ека-

теринбург, Наука, 1993 - 232 с

10Канторович Л В , Вулих Б 3 , Пинскер А Г Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах М -Л , Физматгиз, 1950 — 548 с

11 Вулих Б 3 Введение в теорию полуупорядоченных пространств М , Физматгиз, 1961 - 408 с

12Данфорд Н , Шварц Дж Линейные операторы Общая теория, М , ИЛ, 1962 — 896 с

Нхе) = хцв) для всех Ее Е

Там же доказывается, что отображение £ является алгебраическим изоморфизмом ст-алгебры Е (или алгебры) на весь класс М7х, который оказывается алгеброй в уХ и, более того, базой топологии г7 в ■уХ Таким образом, гамма-компактификация (уХ, т7) является вполне несвязным (экстремально несвязным) пространством

Для сопряженных пространств функций имеем изоморфизмы В*(Х,1.1) = Ьа(Х, Е), С*(7Х) = г с а("/Х,&7х) Сопряженным к изоморфизму г В(Х, Е) —С{-уХ) является изоморфизм г* С* (7Х) —> ¿?*(X. £). т е г* гса(уХ, М1Х) —> Ьа(Х, Е) Следовательно, изоморфизм г*-1 осуществляет единственное продолжение конечно аддитивных мер /« £ Ьа(Х, Е) с пространства (X, Е) до регулярных счетно аддитивных мер = г*-1^ € гса(7Х, на пространстве ("уХ,

Теперь, после изложения известных конструкций, мы переходим к своему исследованию интересующих нас дальнейших вопросов по устройству гамма-компактификации В частности, в Теореме 2 3 1 устанавливаются топологические свойства отображений з и £ и их взаимосвязь, доказываются и другие утверждения (опускаем)

В этом же параграфе вводится и изучается новый объект, позволяющий исследовать локальные свойства гамма-компактификации

Определение 2.3 2. Пусть X топологическое пространство с топологией тих о € X Обозначим 2А = и(х0) класс всех открытых окрестностей точки х0 К(хо) = {I/ 6 г х0 £ Щ Определим в ус$Х

множество у(хо) П которое назовем гамма-расширением

иеЩхо)

точки хо (относительно пространства (X, г)), а множество 7(я:о)\ {^о} назовем гамма-наростом точки Хо

Доказывается ряд теорем о свойствах у(х) § 2.4 Продолжение мер на гамма-компактификацию. В настоящем параграфе изучается процедура продолжения конечно аддитивных мер с исходного измеримого пространства на его гамма-компактификацию и устанавливаются свойства продолженных мер

Свойства мер, продолженных на стоун-чеховскую компактификацию РХ, при тех или иных условиях изучались, например, в13'14, а для уолм-эновской компактификации -АД Александровым Начало изучения

13Варадарайн В С Меры на топологических пространствах - Матем сборник 1961 55(97), I С 35-100

14Терпе Ф , Флаксмайер Ю О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры - УМН, XXXII, 5(197), 1977 С 125-162

мер на близкой к уХ компактификации было положено, как уже отмечалось, Иосидой и Хьюитом

Пусть X - топологическое пространство и ¡л 6 са{Х,3§), /л > О Замкнутое множество Кц — К^ С X будем называть носителем меры ¡1, если ц{Х \ К^) — 0, и для любой открытой окрестности и (х) произвольного х € Кр выполняется ц{11 (ж)) > О

Если X локально компактно, то для любой ц € са(Х,Щ, ц > О, существует носитель. В частности, существует носитель Кп для любой

Приведем основные результаты, полученные автором в §2 4 Теорема 2.4.1. Пусть г) 6 гса(гуХ,&1х), V > 0, и К^ - носитель меры г} Тогда 1]({х}) > 0 для любого х 6 Кп ПХ, и множество Кп П X не более чем счетно

Теорема 2.4.2. Пусть (Х,Е) произвольно, ¡л € Ьа(Х, £), ¡л > О, ¡л(Х) = 1, Д — и Кр - носитель меры /3 в уХ Тогда, если К € Т.,

ц{К) = 1, г = {х € К = 0}, то

в{К \ Я) с с í(^;f) \ з(£) Если при этом 2 € Е, то

Теорема 2.4.3. Пусть [л € Ьа(Х,£), (л > 0 и ¡5 = [г*]-1д Равенство ]2(уХ \ X) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда ц чисто атомична

Следствие 2.4.3. Пусть X = Я", п € ЛГ, ы ^ е Ьа{В!г, ¡л), ¡л > 0, и мера ¡л - абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на (Яп, 38) Тогда носитель меры /л целиком содержится в наросте уВ.п \ Ип гамма-компактификации пространства (Л", 38).

Определение 2.4.6. Назовем измеримое пространство (X, Е) пространством Дирака, если любая двузначная счетно аддитивная мера на (X, Е) является мерой Дирака, т е вырождена в некоторой точке хеХ

Теорема 2.4.6. Гамма-компактификация у%Х произвольного измеримого пространства (X, Е) изоморфна множеству двузначных мер т(Х, Е) в тв-топологии Если (X, Е) - пространство Дирака, то при этом изоморфизме X соответствует т(Х, Е) П са(Х, Е)

Теперь мы можем дать еще одно представление для гамма-компакти-фикации 7аХ измеримого пространства (X, Е) Множество у^Х - это множество всех одноточечных носителей (атомов) всех двузначных мер Дирака из гса(у-^Х, 33.,) (детали опускаем)

§ 2.5 Дальнейшие сведения о гамма-расширении точки. Теорема 2.5.1. Пусть (X, т) нормально Для любой х0 £ X ее гамма-расширение у{%о), рассматриваемое как подмножество в {уХ, т7),

изоморфно множеству т{хй) всех двузначных конечно аддитивных мер в Ьа(Х, рассматриваемому в *-слабой топологии, и удовлетворяющих условию- для всех ц 6 т(х0) и любой окрестности (7(хо) точки хо в т-топологии (1(11 (хо)) = 1

При этом точке хо € 7(ж<>) соответствует счетно аддитивная мера Дирака 6Хо> а каждой точке х € 7(ж0)\{жо} соответствует двузначная чисто конечно аддитивная мера (при у(жо) Ф {^о})-

Теорема 2.5.3. Пусть (Х,т) хаусдорфово пространство Если X

компактно, то выполняется 'уа^Х = и ~у(х) ■

хех

Обратить утверждение Теоремы 2 5 3 нам удается только при дополнительном условии

Теорема 2.5.4 Пусть (Х,т) нормально и обладает счетной базой своей топологии (те X - пространство со второй аксиомой счетно-сти) Если выполняется тд$Х — У 7(2;), то X - компактно

х€Х

Теорема 2.5.5. Пусть (X, т) нормально и точка хо € X такая, что замыкание X \ {ж0} = X Обозначим & суждение а-алгебры 38 в X па

X \ {ж0}, те ёЗ = ЗВ\{ж0} = {Е \ {ж0} • Е е Щ

Тогда -у@Х = -у^{Х \ {х0}} и {х0}, 1<%Х \ X = \ {ж0}] \ X;

Фо) \ {ж0} С {а;0}]

Другими словами, гамма-нарост т(аго) \ {яо} такой точки появляется в гамма-компактификации 1с@Х независимо от того, включаем мы хо в X, или исключаем

Глава III. Расширение марковских операторов на пространство конечно аддитивных мер.

Предлагаемый взгляд на марковские операторы, а также все новые результаты Главы III представлены в работах автора [7], [10], а также в более ранних публикациях [1], [2], [3], [5], [6]

§ 3.1 Двойственные пары марковских операторов. В настоящем параграфе мы вначале излагаем в нужной для нас форме известные конструкции, а затем их достраиваем и развиваем

В классической, уже упоминавшейся работе Иосиды и Какутани (1941 г), рассматривается пара марковских операторов Т В(Х, Е) В(Х, £) и А са(Х,Т.I) са(Х, £), те привлекаются только счетно аддитивные меры Естественно, и в последовавших затем работах других авторов, использующих операторный подход при изучении цепей Маркова, как правило, изучался оператор А именно на счетно аддитивных мерах

Эти марковские операторы достаточно хорошо изучены Они являются линейными, ограниченными, положительными и ||Т|| = ||Л|| = 1

Любой марковский оператор Т имеет в конусе неотрицательных функций Кв внутреннюю неподвижную точку /(ж) = 1 > О для всех х 6 X, Tf = / Опреатор А изометричен в конусе К"1, т.е если ß > 0, то ||AjLt|| = ||д|| = ß(X) Оператор А может не иметь неподвижных точек в конусе Кт, те инвариантных мер

Пусть ßo 6 Ssa и цп = Anßо = Aßn-i,n =1,2, . ЦМ можно отождествить с последовательностью вероятностных мер {ßn} = {ßn{ßo)}, зависящей от начальной меры До, как от параметра Таким образом, любую цепь Маркова можно рассматривать как некий итерационный процесс, порождаемый линейным нормированным положительным оператором в пространстве мер. Такой трактовки ЦМ мы и придерживаемся в настоящей работе

Первые распространения (расширения) марковского оператора А на пространство конечно аддитивных мер появились в работах Фогеля15 (1962 г), 16 (1966г) , и Шидака 17 (1962 г) В дальнейшем идея о самоценности конечно аддитивных мер в теории вероятностей вообще, и в теории марковских операторов, довольно медленно пробивала себе дорогу в соответствующих исследованиях

Следующее утверждение относится к разряду общеизвестного фольклора Измеримое пространство (X, Е) считаем произвольным

Теорема 3.1.1. Для любой счетно аддитивной ЦМ марковский оператор А однозначно продолжим (расширяем) с пространства са(Х, Е) до линейного оператора А на пространстве ba(X, Е) с сохранением положительности, изометричности в конусе, ограниченности, нормы и аналитического вида При этом оператор А является топологически сопряженным к оператору Т, m.e Т* — А, причем В*(Х, Е) = ba(X, Е)

Определение 3.1.4. Назовем оператор А, являющийся продолжением марковского оператора А из теоремы 311, конечно аддитивным расширением оператора А и также будем называть его марковским Далее мы часто будем отождествлять операторы А = А, не уточняя область их задания

Пусть [¿о 6 Ьа(Х, £), ßo € Sf,a- Тогда оператор А порождает последовательность конечно аддитивных мер /х„ = A ¿in_i = А 6 Бьа при п € N Следуя нашей идеологии, такой итерационный процесс мож-

15Poguel S R Existence of invariant measures for Markov processes - Proc Amer Math Soc , 13, 6,1962 P 833-838

ieFoguel S R Existence of invariant measures for Markov processes II - Proc Amer Math Soc , 17, 2, 1966 P 387-389

17Sidak Z Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space - Czechoslovak Math J , 12 (87), 4, 1962 P 492-522

но также трактовать как счетно аддитивную ЦМ, расширенную на пространство конечно аддитивных мер

Определение 3.1.5. ЦМ, заданую на топологическом (X, 38) назовем феллеровской, если выполнено условие ТС(Х) С С{Х) Соответствующие феллеровской ЦМ марковские операторы также будем называть феллеровскими

Следующее утверждение, аналогичное теореме 311, также можно считать известным и несложно проверяемым (но нигде не представленным в деталях)

Теорема 3.1.2. Для любой счетно аддитивной феллеровской ЦМ марковский оператор А однозначно продолжим (расширяем) с прост-

Ri

ранства са(Х, 3§) = rca(X, 3S) до линейного оператора А на пространстве rba(X, с сохранением положительности, изометричности в конусе, ограниченности, нормы и аналитического вида При этом, оператор А является топологически сопряженым к оператору Т С(X)

Ri _

С(Х), me Т* — А Кроме того, оператор А из теоремы 311 является

Ri

продолжением оператора А с пространства rba(X, ¿г/) на пространство Ъа{Х,38)

Ri

Определение 3.1.6. Оператор А будем называть регулярным конечно аддитивным расширением феллеровского оператора А и отождествлять его с А

§ 3.2 Инвариантные меры конечно аддитивных расширений марковских операторов ("Основные теоремы")

На основании того, что оператор Т • В(Х, Е) —> В(Х, Е) имеет в конусе Кв внутреннюю неподвижную точку f(x) = 1, из теоремы Крейна-Рутмана18 (Теорема 3 1) сразу же (без каких-либо вспомогательных рассуждений) следует, что и сопряженный к нему оператор А имеет в конусе К^ неподвижную точку Для нас это ключевой факт, что мы особо и выделим

Теорема 3.2.1. Основная теорема I.

Для любой ЦМ на произвольном измеримом пространстве (X, Е) существует инвариантная конечно аддитивная мера А € ba(X, Е) А > О.АрО = 1,А = АХ

Настоящая теорема 3 2 1 была доказана Шидаком в работе19 (1962 г),

18Крейн М Г, Рутман М А Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха - УМН, III, I (23), 1948 С 3-95

195idak Z Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space - Czechoslovak Math J , 12 (87), 4, 1962 P 492-522

который первый использовал продолжение традиционного марковского оператора на пространство конечно аддитивных мер Однако, доказательство в этой работе довольно сложное и не использует положительность марковских операторов

Указание на то, что Теорема 3.2 1 есть простое следствие теоремы Крейна-Рутмана, было сделано первый раз автором настоящей работы в статье [2] (1981 г), а затем использовано в последующих его публикациях

Рассмотрим теперь Феллеровскую ЦМ Применяя к сопряженной паре операторов Т С(Х) -> С{Х) и А : rba(X, si) rba(X, 8?) уже упомянутую теорему Крейна-Рутмана, получаем как прямое следствие следующее важное утверждение

Теорема 3.2.3. Основная теорема II.

Для любой фвллеровской ЦМ, заданой на нормальном топологическом пространстве (X, 3§), существует инвариантная регулярная ко-

RJ

нечно аддитивная мера• А € гЪа(Х,&•/), А > О, А(Х) = 1, А = АХ

Этот результат в явном виде отсутствует и у Шидака и в указанных выше работах Фогеля Однако, он может быть получен как небольшая модификация результатов Фогеля и, фактически, им учитывается

Указание на то, что теорема 3 2 3 также есть простое следствие теоремы Крейна-Рутмана было сделано также автором настоящей работы первый раз в [2] и в других публикациях

Точно так же, как и для предыдущих двух "Основных теорем", из теоремы Крейна-Рутмана автоматически получаем следующее утверждение

Теорема 3.2.5. Основная теорема III.

Для любой фвллеровской ЦМ, заданой на хаусдорфовом компакте {Х,Ш), существует инвариантная регулярная счетно аддитивная мера- А е гса{Х, 38), А > О, Х(Х) = 1, Х = АХ

Данное утверждение следует напрямую из "Основной теоремы И" Содержание теоремы 3 2 5 восходит к одной работе Крылова и Боголюбова (1937 г), и доказано (довольно сложно) для метрического компактного пространства Бебутовым20 (1942 г)

§ 3.3 Конечно аддитивные цепи Маркова. В предыдущих двух параграфах рассматривались цепи Маркова со счетно аддитивной переходной вероятностью р(х,Е) по второму аргументу И хотя мы и расширяли марковские операторы, т е. цепи Маркова

20Бебутов М В Цепи Маркова с компактным пространством состояний - Ма^ тем сборник, 1942 № 10 С 231-238

на пространства конечно аддитивных мер, сами переходные вероятности и цепи Маркова оставались счетно аддитивными

В 1965 году вышла книга Дубинса и Сэвиджа21 , в которой, по-видимому, впервые, конечно аддитивные меры получили смысловую "вероятностную" нагрузку В книге конечно аддитивные меры рассматриваются на счетном произведении дискретных пространств и играют роль стратегий в задачах теории игр Сама идея и ее обоснование принадлежит Карлину22

Вполне закономерным было появление в 1981 году работы Раммак-ришнана23 , в которой в рамках развития идей Дубинса и Сэвиджа уже в названии впервые появился термин "Конечно аддитивные цепи Маркова" В этой работе на языке стратегий рассматриваются весьма специфические цепи Маркова с конечно аддитивной переходной функцией Фазовое пространство там является дискретным и для ряда утверждений счетным В дальнейшем появился еще ряд работ в рамках подхода Раммакришнана , в тч его же статья 24 Отметим, что методы работ Раммакришнана и примыкающих к ней довольно специфичны и не предусматривают их перенесение на более общие цепи Маркова, уже не связанные с теорией игр

Автор настоящей работы еще в [1} (1981 г ) использовал конечно аддитивные меры для изучения ЦМ в качестве вспомогательного объекта, а собственные результаты непосредственно для конечно аддитивных ЦМ были позже представлены им в ¡5], [6], а также в [7], [8] и [10], (11] Ниже мы распространяем операторный подход предыдущих двух параграфов на произвольные конечно аддитивные ЦМ Сразу отметим, что для таких ЦМ возникают некоторые проблемы уже на стадии их определения, которые мы и решаем

Определение 3.3.1. Конечно аддитивной переходной функцией (переходной вероятностью) р(х,Е) на измеримом пространстве (X, Е) назовем отображение р X <g> Е —[0,1], удовлетворяющее условиям

р{,Е)еВ(Х,Ц, V£e Е, р(х, ) б 6а(Х,Е), Vare X,

21Dubms L Е , Savage L I How to Gamble if You Must Inequalities for Stohastic Processes Mc Graw-Hill, New York, 1965

22Karhn S Operator treatment of imnimax principle — Contributions to the theory of games, 1, Princeton (1950), P 133-154

23Ramaknshnan S Finitely additive Markov chains - 1>ans Amer Math Soc V 265(1), 1981 P 247-272

24 Ramaknshnan S A finitely additive generalization of Birkhoff's ergodic theorem -Proc Amer Math Soc , v 96, № 2, 1986 P 299-305

p(x,X) = I, Vzex

Конечно аддитивная переходная функция р(х, Е) определяет два интегральных оператора

(Т/)(х) = Tf(x) = / f(y)p(x, dy) при / € В(Х, Е), хеХ, (.Ац){Е) = A/j,(E) = f р(х, E)n(dx) при ц е ba(X, Е), Ее Е При этом выполняется Т В(Х, Е) В(Х, Е), Л ba(X, Е) -»• ba(X, Е), операторы Г и Л являются линейными, положительными, ограниченными, ||Г|| = р|| = 1 и Т* = А

Операторы Т и А будем называть конечно аддитивными марковскими операторами

Определение 3.3.3. Пусть X произвольное множество и Е некоторая алгебра его подмножеств, содержащая все одноточечтные множества На (X, Е) задана конечно аддитивная переходная функция р(х, Е) и ей соответствует марковский оператор А Ьа(Х, £) —> ba(X, Е)

Пусть ¡m¡ е Sba, ¡¿п = Ацп-1 = An¡Ms G Sba, п = 12, Конечно аддитивной цепью Маркова (ЦМ) на (X, Е) будем называть итерационный процесс {/!„} — (рп(ро)}; зависящей от начальной меры fio как от параметра Конечно аддитивную ЦМ будем отождествлять с самой итерационной процедурой, не учитывая начальную меру цо

Обратимся теперь к вопросу об инвариантных мерах для конечно аддитивной ЦМ Соответствующий оператор Т имеет неподвижную точку f(x) = 1, являющуюся внутренней в конусе Кв в В(Х, Е) Если ЦМ феллеровская, то f(x) = 1 является внутренней неподвижной точкой оператора Гив конусе Кс Следовательно, как и для счетно аддитивных ЦМ, из той же теоремы Крейна-Рутмана автоматически получаем следующие утверждения ("основные теоремы").

Теорема 3.3.3. Для любой конечно аддитивной ЦМ A¿a ф 0 Теорема 3.3.4. Для любой феллеровской конечно аддитивной ЦМ КыФ®

Теорема 3.3.5. Для любой феллеровской конечно аддитивной ЦМ на компакте Дгсо Ф 0

В упоминавшейся работе Раммакришнана утверждение теоремы 3 3 3 доказывается лишь для частного случая дискретного фазового пространства в технике банаховых пределов

§ 3.4 Свойства множеств инвариантных мер марковских операторов.

В параграфе доказывается ряд утверждений, из которых укажем лишь на следующие

Пусть X произвольно и Е - некоторая <т-алгебра его подмножеств, содержащая все одноточечные множества Всюду в параграфе на (X, Е)

задана счетно аддитивная ЦМ с переходной функцией р(х,Е)

Теорема 3.4.5. Если dim Дса — оо, то в /асл существует счетная последовательность {fin} попарно сингулярных мер При этом существует последовательность измеримых множеств {Кп} такая, что Кп П Кт = 0, п Ф т, ¡лп(Кп) — 1 и р(х, Кп) = 1 для каждого х € Кп при п = 1,2,

В Теореме 3 4 3 доказывается такой же по смыслу результат для случая dimAca — п < оо

Теорема 3.4.6. Пусть ß € Aja и для некоторой последовательности {Мп}, Мп € Е, Mi Э М2 Э , limMn ■ ПМп — 0 выполняется ß(Mn) =■ 1 при всех п е N. Тогда для произвольных чисел {еп}, О < €n < 1, n = 1,2, , существует множества {Кп}, Кп € Е, п = 1,2, , такие, что К\ Э К2 D . , lim Кп = 0, ß{Kn) = 1, р(х, Кп) > 1 — е„ для каждого х С Кпл-1 всех ti — 1,2,

Мера ß в условиях теоремы 3 4 6 автоматически является чисто конечно аддитивной В следующем параграфе будет дано некоторое обращение теоремы 3 4 6

§ 3.5 Слабо предельные точки средних по Чезаро и инвариантные меры.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ.

Введем обозначения средних по Чезаро для меры ß € М, где М некого

торое пространство мер А„ = = ~ Akß, п € N

k=1

Теорема 3.5.1. Пусть X нормально и на (Х,£$) задана феллеров-ская ЦМ, ß 6 rba(X,s/), ß € 5rj0 Тогда каждая re-предельная мера последовательности {А£} в тЬа(Х, sé) является неподвижной точкой оператора А, т е 91{А£} С АТьа, множество таких мер непусто и тс-компактно

Теорема 3.5.2. Пусть на произвольном (X, Е) задана произвольная ЦМ, ß € Ъа{Х, Е), ß 6 Sba Тогда каждая Тв -предельная точка последовательности {А£} в ba(X, Е) является неподвижной точкой оператора А, т.е 9Я{А£} С A¡,a, множество таких мер непусто и Тв-компактно Теорема 3.5.3. Пусть на произвольном (X, Е) задана произвольная

п

ЦМ, ßn € ba(X, Е), ßn € Sba U Ая = ¿ £ -¿Vn, п е N

k=1

Тогда каждая Тв-предельная точка последовательности {Ап} является инвариантной для А, т.е. SDÍ{A„} С Aia, множество таких мер непусто и Тв-компактно

Теорема 3.5.4. Пусть на топологическом (X, 88) задана феллеров-ская ЦМ, ßn 6 rba(X, sé), ßn € STba, и X„. построены также, как в Теоре-

ме 3 5 3 Тогда каждая тс -предельная точка последовательности {Ап} является инвариантной для А, т е 9Т(АП) С АТьа, множество таких мер непусто и тс-компактно

Теорема 3.5.6. Пусть на (X, £3) задана феллеровская ЦМ и fx = А/л 6 Srba Тогда А(П(р)) С П(р)

Теперь мы можем дать обещанное некоторое обращение теоремы 3 4 6 Теорема 3.5.8. Пусть на произвольном (X, Е) задана ЦМ и выполнены условия Зе„ > 0, еп 0 при п —»• оо, 3Кп € Е, Кп ф 0 при п £

оо

N, Ki D К2 Э , f) Кп = 0, такие, что р(х, Кп) > 1 — еп при х £

Я=1

Кп+1,п € N Тогда для ЦМ существует инвариантная чисто конечно аддитивная мера ¡л, £ Аьа, причем fJ,(Kn) — 1 при п = 1,2, § 3.6 Размерность множеств инвариантных мер. Все теоремы принадлежат автору, не имеют прототипов, и опубликованы им в первой версии в [1] и [5J В нынешнем виде результаты опубликованы автором в [7], [8] , а также в [10], [11] Рассматриваются только счетно аддитивные ДМ

Теорема 3.6.1. Пусть на произвольном (X, Е) задана произвольная ЦМ Тогда если dim Дса = оо, то множество Ар/а непусто и dim Ар/а = ос

Следующее утверждение является прямым следствием доказаной теоремы, но, подчеркивая его важность для дальнейшего, употребим слово теорема

Теорема 3.6.2. Пусть на некотором (X, Е) задана, произвольная ЦМ Тогда, если А С са{Х, Е), то dim А < оо

Ниже приводим обращения этой теоремы для п — 1 Теорема 3.6.3. Пусть на некотором (X, Е) задана произвольная ЦМ Если dim А = 1, то А С са(Х, Е), т е инвариантная мера ¡л счетно аддитивна При этом для любой меры г] € Sba имеет место сходимость Х^ —> /л в тв-топологии

Глава IV. Эргодические теоремы для марковских операторов.

Эргодическая теория для феллеровских цепей Маркова на компакте достаточно хорошо развита, чего нельзя сказать о произвольных цепях на произвольном фазовом пространстве

В § 4 1 мы построим некий изоморфизм между произвольными ЦМ и феллеровскими ЦМ на компакте Эта конструкция позволяет в последующих параграфах главы некоторые факты из теории феллеровских ЦМ трансформировать в соответствующие утверждения для произвольных ЦМ В результате будут получены эргодические теоремы нового типа с активным использованием чисто конечно аддитивных мер

Основные результаты главы получены автором настоящей работы и опубликованы в его статьях [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], а также в [10], [11] § 4.1 Построение для произвольной конечно аддитивной цепи Маркова ее феллеровского продолжения на гамма-компак-тификацгао фазового пространства.

В Главе II была построена гамма-компактификация (уХ. 33^) исходного фазового пространства {X, Е) При этом устанавливался изометрический изоморфизм между пространствами В(Х Е) = С(уХ), Ьа(Х, Е) = гса(уХ, Изоморфизмы гиг* описаны выше в § 2 3 Следовательно исходная произвольная конечно аддитивная ЦМ, в т ч классическая счетно аддитивная ЦМ может быть продолжена с исходного произвольного фазового пространства (X, Е) на компактное пространство

Реализация этой программы и составляет основную методологическую идею настоящей работы

Определение 4.1 1 Пусть на некотором (X, Е) задана конечно аддитивная ЦМ с операторами Т и А и переходной функцией р(х, Е) Определим два оператора Т7 й= гТгА1 а= [г*]_1Аг*, которые по построению действуют

Операторы Т7 и А7 будем называть у-операторами или операторами у-ЦМ (которая еще не определена)

Теорема 4.1.4. Для любой конечно аддитивной ЦМ на (X, Е) существует такая функция двух переменных д уХ ® —¥ [0,1], что

д(х,-) € гса{уХ,ЗВ1), Мх е уХ, д(,Е)е В(уХ, %), \/Е € ЯяЬХ), д( Е) € С(уХ), УЕ € Я7х, д(х,уХ} = 1 УхеуХ

При этом операторы Т7 и Ау интегрально представимы через ядро д{х,Е)

(Т7/)(Ж) =Т7/(Ж) = 11(у)д(х,ду), /еС(уХ), хеуХ,

Определение 4 1.2. Для произвольной конечно аддитивной ЦМ на (X, Е) соответствующую ей ЦМ на (уХ, с переходной функцией д(х,Е) и марковскими операторами Т7 и А7 из теоремы 414 будем на-

(уХ,

Т7 С{уХ) ->■ С{уХ), А7 гса(уХ, гса(уХ, Щ)

(А7ц)(Е) = А7р,{Е) д(х, Е)^{дх), ц € гса{уХ,ЗВ7), Е € Зёу

зыватъ у-ЦМ или феллеровским 7-продолжением ЦМ на гамма-компак-тификацию

Обозначим Vca - класс всех счетно аддитивных ЦМ, Vba ~ класс всех конечно аддитивных ЦМ, Vp/a - класс всех чисто конечно аддитивных ЦМ на исходном фазовом пространстве (X, Е)

Очевидно, Tea С Vba Поскольку при каждом х € X переходная функция как мера однозначно раскладывается в сумму р(х, ) = Р\(х, ) + р2(ж, ) своих счетно аддитивных и чисто конечно аддитивных составляющих, то можно говорить и о некотором разложении класса Vba в "некую" сумму классов Vса и Vv¡a (здесь не конкретизируем)

Рассмотрим на борелевском (ут.Х, 38класс yV всех счетно аддитивных феллеровских ЦМ со счетно аддитивными переходными функциями q(x, Е) и соответствующими марковскими операторами Т7 и А7 (формально, пока без связи с р(х, Е), Т и А)

Теорема 4.1.6 Для любой счетно аддитивной фел/ьеровской ЦМ из класса yV, определенной на (у^Х, с переходной функцией q(x, Е) и операторами Т7 и А7, существует такая функция двух переменных р X <g> Е -4 [0,1], что

р(х, ) е Ъа(Х, Е), Vs € X, р(,Е) е В(Х,Е), УЕеЕ, р(х,Х) = 1, VxeX

При этом операторы Т = r~lTyr и А — г*^47[г*]-1 действуют, следующим образом Т В{Х, Е) -4 В(Х, Е), A ba(X, Е) ba(X, Е) и Т* = А

Операторы однозначно интегрально представимы через ядро р(х, Е)

(Tf)(x) = Tf{x)=* J f(y)p(x,dy), feB(X,E), x€X,

x

(Ар)(E) = Ap.(E) = Jp(x,E)fj.(dx), ц € ba(X E), E € E x

Таким образом, теорема 416 является обратной к теореме 4 15 Объединяя их, мы пол\чим следующее окончагельное утверждение, играющее центральную методологическую роль в настоящей работе

Теорема 4.1.7. Пусть (X, Е) произвольное измеримое пространство Между всеми конечно аддитивными ЦМ из класса Тьа на (X, Е) и всеми счетно аддитивными феллеровскими ЦМ из класса yV на гамма-компактификации существует взаимнооднозначное (биектив-

ное) соответствие При этом между всеми марковскими операторами конечно аддитивных ЦМ на (X, Е) и всеми марковскими операторами счетно аддитивных феллеровских ЦМ на (у^Х,3§7) существует изометрический и алгебраический изоморфизм

В Теореме 4 18 дается набор конкретных формул, связывающих две переходные функции р{х, Е) на (X, Е) и q(z, G) на (7s-X', 3§7) § 4.2 Эргодические альтернативы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, Е) Теорема 4.2.1 Пусть на некотором (X, £) задана произвольная ЦМ Для любого Е € S выполняется

rll{E)=rl{E)=rl{E)=ri{E),

при п = 1,2, , где

rn(E) = sup Л£(£), r*(E) = sup ДО),

iJ-eSba Мея«

sup ^¿/(z,^), г£(Я)

1 ™ nt=i

В(Х, Е)

Для топологического пространства X вводятся также аналогичные величины г^(Е) и г®(2?), формулы для которых мы опускаем

Теорема 4.2.3. Пусть X нормальное пространство и на (X, 3§) задана феллеровская ЦМ Тогда для любого замкнутого множества Р С X всегда выполняется либо (А1), либо (В 1) (А1) Ур е вгЬа, А*{Е) 0, п -> оо (В1) е 5г4а, р = > О

Теорема 4.2.4. Пусть X нормальное пространство и на (X, 38) задана феллеровская ЦМ Тогда для любого компактного множества Е С X условие (Ж) эквивалентно условию (^42), и всегда выполнено либо (А1)-(А2), либо (В2)

(А2) ггп(Е) 0, п оо, г = 1, ,6, (для Уг = 1, , 6), \В2) Зр е 5ГСа, Р = Ар, р{Е) > О

Утверждения последней доказанной нами теоремы частично содержатся в работах Фогеля25 и 26 В этих статьях устанавливается эквивалентность условий (Ж) и (А2) при г = 3 и формулируется альтернатива (В2) для компактного бэровского множества Однако, приведенные там доказательства содержат некорректность подразумевается, что тс- предельная мера для последовательности мер {А„} является тс-пределом для некоторой подпоследовательности {А„г} Но это может быть не так

26Foguel S.R Existence of invariant measures for Markov processes II - Proc Amer Math Soc , 17, 2, 1966 P 387-389

26FoguelSR Positive operators on C(X) -Proc Amer Math Soc , 22, 1, 1969 P 295297

даже для плотной последовательности мер, если на компакты не накладывается никаких дополнительных условий (теорема Прохорова справедлива не для всех пространств) Поэтому требуется специально доказывать, что гс-предельные меры средних (вообще говоря, не являющиеся пределом какой-либо подпоследовательности {А£}) будут инвариантными Этот факт доказан у нас в теореме 3 5 1, которая опосредованно используется в доказательстве теоремы 4 2 4

Гамма-компактификация "уХ пространства (X, Е) является хау-сдорфовым компактом и, следовательно, нормальным пространствдм Изоморфная ЦМ является феллеровской на ("уХ, Это обстоятель-

ство позволяет использовать доказанные теоремы 4 % 3 и 4 2 4 для изучения общего случая, что и делается при доказательстве следующих теорем

Теорема 4.2.5. Пусть на некотором (X, Е) задана произвольная ЦМ Тогда для любого Е € Е условие (АЗ) эквивалентно условию (А4), и всегда выполнено либо (А3)-(А4), либо (ВЗ).

(АЗ) Vм € Х£(Е) 0, п -4 оо,

(А4) г1п{Е) ->• 0, п оо, г = 1,2,3,4, (В3) Э/х 6 Бьа, ц = Ар, ц(Е) > О

Теперь мы можем для произвольной ЦМ выделить в X аналог дис-сипативной части Из теоремы 4 2 5 сразу получаем следующее утверждение

Следствие 4.2.2. Пусть на (X, Е) задана произвольная ЦМ и К € Е такое множество, что ц(К) = 1 для каждой р € А Тогда при п оо

sup ХЦХ \К) = sup ХЦХ \ К) = vssba v eSce

О

Теорема 4.2.11. Пусть X нормально, ЦМ произвольна, р, € Srca и

г] - тв-пределъная точка для {А£} (а значит, г) 6 АЬа) Тогда существует С 6 Srba такая, что £ = fj и £ является тс-предельной точкой для {А£} Если при этом ЦМ феллеровская, то С, — А(, me (£ Arba

Теорема 4.2.12. Пусть X метрическое, ЦМ произвольна, ¡jl е STca и последовательность мер {А£} плотна Тогда для любой тв-предельной (а значит, принадлежащей Аьа) меры r¡ существуют {п,} и база 8 исходной топологии пространства X такие, что X%t{E) —¥ Т)(Е) для каждого Е € 0 При этом регуляризация fj £ гса(Х. Щ является tq-предельной для {А£} и —► fj в Тс-топологии Если ЦМ феллеровская, то fj — Afj

§ 4.3 Сильные предельные теоремы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, Е) С момента появления работ Деблина в 1930-е годы не прекращаются поиски удобных условий на произвольные ЦМ, при которых они обладают достаточно хорошим асимптотическим поведением марковские последовательности мер или их средние сходятся в метрической топологии к комбинациям инвариантных мер Наиболее общим и известным условием такого рода является условие (D) Дуба-Деблина (см Дуб Дж Л 27) Позже, Иосида и Какутани28 и другими авторами, была установлена эквивалентность условия (D) условиям квазикомпактности (Kl) (КЗ) марковских операторов Напомним, что оператор Т называется квазикомпактным (квази-вполне непрерывным), если существуют такие компактный (вполне непрерывный) оператор Tj и целое число k > 1, что ||Tfc - TjU < 1 Отличное изложение этого вопроса на языке функционального анализа в рамках операторного подхода дано в книге Дан-форда и Шварца29

Сформулируем упомянутые эквивалентные условия для произвольной ЦМ на произвольном фазовом пространстве (X, Е)

(D) 3ф е са(Х, Е), ф > 0, Зе > 0, 3k > 1, такие, что из ф(Е) < е,

Е £ Е, следует рк(х, Е) < 1 - е, Vx е X, (К 1) оператор Т В(Х, Е) —> В(Х, Е) квазикомпактен, (К2) оператор A ba(X, Е) -> Ьа(Х, Е) квазикомпактен, (КЗ) оператор А са(Х, Е) —> са(Х, Е) квазикомпактен Если на (X, Е) задана ЦМ с переходной функцией р(х, Е) и марковскими операторами Г и Л, то для любого m > 1 можно определить новую ЦМ с переходной функцией qm(x,E) и огшряторами З^тг И А.т по правилам

771 - m - m

qm(x,E)=-y]pk(x,E), Tm=-W, Am = ~Y/Ak mti mt=t mJti

Назовем определенные выше ЦМ конечно-осредненными ЦМ Сформулируем условия (D) для семейства конечно-осредненных ЦМ (D) 3ф € са(Х, Е), ф > 0, Зе > 0, Это > 1, такие, что из ф(Е) < е, ЕеЕ, следует qm{x, Е) < 1 - е, Vx е X

27Дуб Дж Л Вероятностные процессы М , ИЛ, 1956 — 606 с

28Yosida К , Kakutani S Operator-theoretical treatment of Markoff's process and mean ergodic theorem - Ann Math , v 42, № 1, 1941 P 188-228

29Данфорд H , Шварц Дж Линейные операторы Общая теория, М , ИЛ, 1962 — 896 с

Очевидно, что (D) является условием Дуба-Деблина (D) для конечно-осредненной ЦМ (при фиксированном т > 1) с параметром к ~ 1 Следовательно, если выполнено условие (D), то операторы Тт и Ат квази-компактны, те для них выполнены условия (К1) (КЗ)

Легко видеть, что для произвольной ЦМ выполнение условия Дуба-Деблина (D) влечет выполнение условия (D) Если исходная ЦМ квази-компактна, то квазикомпактны и все ее конечно-осредненные ЦМ начиная с некоторого номера

Следующее утверждение является одним из наиболее интересных в настоящей работе _

Теорема 4.3.2. Для произвольной ЦМ условие (D) эквивалентно следующему условию

A¡«Cca(Jí,S), (*)

т е конечно-осредненная ЦМ (при некотором т > 1) квазикомпакт-на тогда и только тогда, когда все инвариантные конечно аддитивные меры исходной цепи являются счетно аддитивными, или, другими словами, когда исходная ЦМ не имеет инвариантных ненулевых чисто конечно аддитивных мер

Следствие 4.3.2. Пусть для ЦМ выполнено условие (D) Тогда для нее выполнено условие (*)

Из доказаной теоремы и теоремы 3 6 3 сразу вытекает следующая Теорема 4.3.3. Пусть для произвольной ЦМ dim Ajtt = 1 Тогда выполнено условие (D), т е конечно-осредненная ЦМ квазикомпактна начиная с некоторого номера т, причем АЬа = Аса = {/i} с са(Х, Е)

В книге Ревуза30 (Гл 6, § 3, Теорема 3 10) приводится результат, восходящий к Хоровицу31 , в котором предельное поведение ЦМ также увязывается с инвариантными конечно аддитивными мерами Однако, в указанной работе на ЦМ заранее накладываются жесткие условия на сепарабельном (X Щ задана цепь Харриса с уже имеющейся инвариантной счетно аддитивной мерой Доказывается, что в этом случае квазикомпактность ЦМ эквивалентна отсутствию у него инвариантных чисто конечно аддитивных мер (при этом имеющаяся инвариантная мера оказывается единственной) Как видим, в наших теоремах 4 3 2 и 4 3 3 не предполагается выполнения ни одного из перечисленных условий

Теорема 4.3.4. Пусть на произвольном (X, Е) задана произвольная ЦМ Для того чтобы конечно-осредненная ЦМ не являлась квазиком-

30Revuz D Markov Chains Amsterdam- Oxford North Holland, Math Libr 1975 — 338 p

31 Horowitz S Transition Probabilities and Contaction of Loa ~ Z Wahr und verw Geb В 24, H 4, 1972 Р 263-274

пактной (при любом т), необходимо и достаточно выполнения следующих условий, при любом т € N

существуют е„ > 0, еп О при п —> оо,

существуют Кп 6 £, Кп Ф 0 при п 6 2У, ^ Э К2 Э , р| Кп = 0,

такие, что дт(х,> 1 -еп при х € Кп+Ъ и€ N Следствие 4.3.3. Пусть для ЦМ выполнено условие (-1*) Тогда ЦМ не является квазикомпактной

В конце данного параграфа приводятся комментарии по поводу работы Э Ю Емельянова32, чьи результаты (опубликованные позже наших) имеют точки соприкоснования с нашим исследованием, но с ними не пересекаются

§ 4.4 Слабые предельные теоремы.

Рассматриваются только счетно аддитивные ЦМ на исходном (X, Е) Сходимость ЦМ в гс-топологии, т е. слабая сходимость в вероятностной терминологии, тесно связана с инвариантными чисто конечно аддитивными мерами В настоящем параграфе приводятся соответствующие результы Следующая теорема имеет столь же важное значение для слабой сходимости ЦМ, какое имеет теорема 4 3 2 для сильной сходимости Глазной особенностью теоремы 4 41 является то, что в ней не предполагается существование у ЦМ инвариантной счетно аддитивной меры, те классической "вероятностной"

Теорема 4.4.1. Пусть X нормальное топологическое пространство, на (X, 38) задана произвольная ЦМ и ц € Бьа некоторая счетно аддитивная вероятностная") мера Для того, чтобы для любой начальной конечно аддитивной меры г\ € 5ьа, последовательность средних {А^} "слабо" сходилась к ц, т е в Тс-топологии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

или в других символах, А С Т1(р), т.е все инвариантные меры £ имеют ц своей регуляризацией

Следствие 4.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4 41 Для того, чтобы для любой начальной счетно аддитивной (" вероятностной")

32 Емельянов Э Ю Условия регулярности марковских полугрупп на абстрактных

I,1 -пространствах - Математические труды, 2004, Т 7, № 1 С 50-82

00

меры г] € Srca последовательность {AJ} слабо сходилась к счетно аддитивной ("вероятностной") мере р, € STca, достаточно, чтобы было выполнено условие (**)

Если ЦМ феллеровская, то из (**) следует ц 6 Дгса те р является инвариантной мерой

В общем же случае теоремы 4 4 1, мера р, может быть и "точкой вы-броса"для оператора А, те не инвариантной

Теорема 4.4.2. Пусть X - хаусдорфов компакт, са(Х, 3§) =

= гса(Х, 38) и на (X, 3§) задана феллеровская ЦМ Тогда следующие три условия эквивалентны

1° dim Дса — 1, т е ЦМ имеет единственную инвариантную счетно аддитивную меру р, £ Srca,

2° существует р, € STCa такая, что А^ —р, в Тс-топологии для всех Tj £ Srca,

3° существует р, € Srca, удовлетворяющая условию (**), те Ас Л(р,), или, иными словами, £ = р. для всех f 6 А

Напомним, что феллеровская ЦМ, заданная на хаусдорфовом компакте, всегда имеет инвариантную счетно аддитивную (вероятностную) меру

Следствие 4.4.3. Пусть выполнены условия теоремы 4 4 1 Если для любой Tj 6 Srca /л в тс-топологии и хотя бы для одной 7} € Srca

А^ ■/¥ р, в одной из тв-, тьа*- или тьа-топологии, то ЦМ имеет инвариантную чисто конечно аддитивную меру

В Приложении даются анонсы ряда работ автора, имеющих отношение к основной тематике диссертации, но находящихся несколько в стороне от ее основной линии Упоминаемые там результаты не выносятся на защиту диссертации

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Жданок А И Инвариантные конечно аддитивные меры и предельное поведение марковских процессов с дискретным временем - ДАН Укр ССР, N 3, 1981 С 11-13

[2] Жданок А И Эргодические теоремы для негладких марковских процессов - В сб Топологические пространства и их отображения Рига, изд-во ЛатвГУ, 1981 С 18-33

[3] Жданок А И Необходимые и достаточные условия квазикомпактности марковскогоо оператора — В сб VIII Всесоюзная школа по

теории операторов в функциональных пространствах Тезисы докладов Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983 С 84-85

[4] Жданок А И Регуляризация конечно аддитивных мер - Латвийский матем ежегодник, вып 28 Рига, "Зинатне", 1984 С 234-248

[5] Жданок А И Конечно аддитивные меры и метод расширения в эргодической теории // Распределение на функциональных структурах - Препринт 87 27 Киев, Институт математики АН УССР, 1987 С 19-37

[6] Жданок А И Конечно аддитивные меры и метод расширения в теории цепей Маркова - В сб Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике Тезисы докладов, том 3 Вильнюс, изд-во АН ЛитССР, 1989 С 217218

[7] Жданок А И Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова I - Математические труды Том 4, N 2, июль-декабрь,

2001 (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН) С 5395

[8] Жданок А И Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова II - Математические труды Том 5, N 1, январь-июнь,

2002 (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН) С 4665

[9] Жданок А И Гамма-комлактификация измеримых пространств — Сибирский математический журнал, том 44, N 3, 2003 С 587605 (Английский перевод Zhdanok A I Gamma-Compactificaticm of Measurable Spaces - Siberian Mathematical Journal v 44, N 3, 2003 P 463-476 (USA, Kluwer Academic/Plenum Pyblishers))

[10] Zhdanok A I Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains I - Siberian Advances m Mathematics v 13, N 1, 2003 P 87125 (USA, Allerton press mc )

[11] Zhdanok A I Finitely additive measures m ergodic theory of Markov chains II - Siberian Advances m Mathematics v 13, N 2, 2003 P 108125 (USA, Allerton press mc )

[12] Жданок А И Конечно аддитивное расширение цепей Маркова и эргодические теоремы (монография) Кызыл, изд-во ТывГУ, 2005 - 219 с

Жданок Александр Иванович

Конечно аддитивное расширение марковских операторов и эргодические теоремы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 11 09 2007 г Формат 60 х 84 1/16 Офсетная печать Уел -печ л 1,9 Тираж 100 экз Заказ № 337

отпечатано в редакционно-издательском отделе Тывинского госуниверситета, 667000, Россия, Республика Тыва, г Кызыл, ул Ленина, 5

Введение.

§ 0.1 Основные обозначения и определения.

§ 0.2 Постановка проблем.

§ 0.3 Предпосылки методологии.

§0.4 Замечания по поводу конечно аддитивных мер.

§ 0.5 Основные результаты работы.

Глава I. Конечно аддитивные меры.

§1.1 Чисто конечно аддитивные меры и интеграл по конечно аддитивной мере

§1.2 Регуляризация конечно аддитивных мер.

§ 1.3 Регуляризация меры и граничные множества. Разложения меры.

§ 1.4 Банаховы пределы числовых последовательностей.

§ 1.5 Слабо предельные точки последовательностей мер и банаховы пределы.

Глава II. Гамма-компактификация измеримых пространств.

§2.1 Общие замечания.

§ 2.2 Компактные расширения и банаховы алгебры.

§2.3 Конструкция гамма-компактификации измеримого пространства.

§ 2.4 Продолжение мер на гамма-компактификацию.

§ 2.5 Дальнейшие сведения о гамма-расширении точки.

Глава III. Расширение Марковских операторов на пространство конечно аддитивных мер.

§3.1 Двойственные пары Марковских операторов.

§ 3.2 Инвариантные меры конечно аддитивных расширений

Марковских операторов ("Основные теоремы").

§ 3.3 Конечно аддитивные цепи Маркова.

§ 3.4 Свойства множеств инвариантных мер Марковских операторов.

§3.5 Слабо предельные точки средних по Чезаро и инвариантные меры.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3.6 Размерность множеств инвариантных мер.

Глава IV. Эргодические теоремы для Марковских операторов

§4.1 Построение для произвольной конечно аддитивной цепи Маркова ее феллеровского продолжения на гамма-компактификацию фазового пространства

§ 4.2 Эргодические альтернативы.

§4.3 Сильные предельные теоремы.

§4.4 Слабые предельные теоремы.

0.1 Основные обозначения и определения.

Большая часть обозначений и терминологии ориентирована на книгу Данфорда и Шварца [22].

X,Y, Z - множества, пространства, х, у, z,. - элементы (точки) множеств;

N - множество натуральных чисел,

N={1,2,3,.};

Z - множество целых чисел,

Z={.,- 2,-1,0,1,2,.};

R = R1 - множество действительных чисел, числовая прямая;

Q - множество рациональных чисел в R1]

- "алеф нуль", обозначение счетной мощности множества; с = tti - "континуум", обозначение континуальной мощности множества, 2**° = с = Ni;

Е = TjX - произвольная алгебра или а-алгебра подмножеств пространства X (считаем, что все алгебры содержат одноточечные подмножества из X); сг(£) - сигма-алгебра, порожденная алгеброй Е;

Т = Тх ji/=z srfx = gs = двх = ®Z == ®z{X) Е о

Е = Е = Int Е Fr(E) = ЕГ)(Х \ Е) dimX

X С С У X* кх атХ = аХ

13тх = рх

1т,Х = 7X исходная топология в X (считаем, что все топологические пространства Т\ -отделимы, т.е. все их одноточечные подмножества замкнуты); борелевская алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тх\ борелевская сг-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тх; бэровская <т-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденном "нулевыми множествами" непрерывных функций на X; замыкание множества Е С X в (Х,т)] внутренность множества Е С X в (X, т); граница множества Е С X в (X, г); размерность (по Гамелю) линейного пространства X; означает, что нормированное пространство X является замкнутым линейным подпространством в нормированном пространстве Y; пространство, топологически сопряженное к пространству Х\ конус неотрицательных элементов в полуупорядоченном пространстве X; александровская компактификация топологического пространства (X, г); стоун-чеховская компактификация топологического пространства (X, т); гамма-компактификация измеримого пространства (X, £);

Хе

В(Х) Н(Х, Е)

В(Х, Е)

В(Х, Е)

С{Х)

Ъа(Х, Е), са(Х, Е) р/а(Х, Е) rba(X, Е), rca(X, Е) характеристическая функция множества Ее Е: банахово пространство вещественных ограниченных Е-измеримых функций f : X R1 с равномерной sup-нормой; нормированное пространство конечных линейных комбинаций характеристических функций ХЕ) Е € Е, т.е. простых функций; банахово пространство, замыкание в равномерной норме пространства Н(Х, Е) в пространстве В(Х), Н(Х, Е) = В(Х, Е) С В(Х); банахово пространство всех вещественных ограниченных Е-измеримых функций / : X —» R1 с равномерной sup-нормой в случае, когда Е является а-алгеброй; банахово пространство вещественных ограниченных непрерывных функций / : X —» R1 с равномерной sup-нормой; банаховы пространства вещественных ограниченных мер \л : Е —» R1, с нормой, равной полной вариации, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных мер (конечно аддитивные меры называют также зарядами); линейное нормированное подпространство в ba(X, Е) чисто конечно аддитивных мер; банаховы пространства - подпространства регулярных мер, соответственно в ba(X, Е) и са(Х, Е) (для топологического

Var(/i, Е) - вариация меры /л на множестве Ее Е;

M = Var (jm,X)i

Sx - мера Дирака в точке х Е X:

Интеграл функции / по мере /J на всем пространстве X будем обозначать: А) = (/, М) = /Ы = МЛ = / № = / f(x)n(dx) = f f(x)dfj,(x). х

Пусть М - одно из используемых пространств мер: тм - сильная метрическая топология в М\ тм* - слабая топология в М, порожденная сопряженным пространством М*; тв - слабая топология в М, порожденная пространством В(Х, Е); тс - слабая топология в М, порожденная пространством С(Х) (для топологического

X).

Перечисленные топологии для фиксированного М (для топологического X) сравнимы: тс -< тв -< тм* -< тм- Все топологии тм*, тв, тс задаются тихоновской базой топологии с системой окрестностей точки (j, Е М вида: = {г)ЕМ\ < е, г = l,2,.,n}; п Е N, е > 0.

Здесь ,., £п - линейные функционалы из соответствующих пространств М*, В(Х, Е), С(Х). В последних двух пространствах & - это любая функция / Е В(Х, Е) или / Е С{Х), понимаемая как линейный функционал на ba(X, Е) вида /(д) = (/,/л) = / fdfi. def

Sm — {/л Е М : /л > 0, /л(Х) = 1}, в частности:

SCa d— {/л G са(Х, Е) : уи > 0, /л(Х) = 1} - это все счетно аддитивные вероятностные меры на измеримом пространстве (X, Z); мы будем также называть вероятностными и конечно аддитивные меры из 5'ьа;

ЫМ{цп} L{nn)

Щ^п] Д ад

Для обозначения марковского процесса принято сокращение: МП.

В работе рассматриваются в основном однородные (по временни) марковские процессы с дискретным временем, которые также называют цепями Маркова и обозначают ЦМ.

ЦМ (счетно аддитивная), определенная на произвольном измеримом пространстве {X, Е), задается своей переходной функцией (вероятностью) р(х, Е), удовлетворяющей обычным условиям:

1) р : X х S [0,1];

2) р(;Е)еВ(Х,Е), УЕе Е;

3) р(х,-) е са(Х, Е), Ух е X;

4) р(х,Х) = 1, УхеХ.

В некоторых разделах работы будут рассмотрены также и конечно аддитивные ЦМ с заменой условий 3) на условие

3)'р(х,-) е Ьа(Х, Е), Ух ex.

Марковские операторы - это пара операторов Т и А, определяемых переходной функцией(счетно аддитивной) ЦМ:

- мера, являющаяся банаховым пределом последовательности мер {/-in}]

- множество всех банаховых пределов последовательности мер {/in};

- все тв-предельные меры для последовательности мер {/in};

- все т^-предельные меры для последовательности мер {/in};

- регуляризация меры ц £ Ъа(Х, !Ш), т.е. такая мера Д € rba(X,jrf), что /(д) — /(//.) для любой / € С(Х)\

- класс С-эквивалентных мер для д G rba(X, Е), \х > 0:

7г(/|) {Л € Ьа(Х, Щ : Л > 0, Л = //}.

Т : 5(Х,Е) - В(Х,Е), Tf(x) = (Tf)(x) = f f(y)p(x, dy), /GB(X,E),:r GX;

A : ca(X, £) —> ca(X, £), Ац(Е) = (Ац) (E) = J p(x, E)/j,(dx), ц g ca(X, s),£ge

Инвариантная мера ЦМ - мера fi g Sm, удовлетворяющая условию ^ = Ац. Обозначим Ам = {ц g Sm '■ Ц = A/i}. В частности, A = Аьа = g Sba • M = A^},

Aca {//. g Sca ■ ц = А/л},

Apfa d— {l-1' G Sba '■ A4 = A/i, /i — чисто конечно аддитивна}.

Средние по Чезаро для ЦМ, или эргодические средние ЦМ - это последовательность мер определяемая равенствами: 1 nti

Будем пользоваться следующими условными обозначениями, принятыми в вероятностной литературе: р\х,Е)=р(х,Еу, рк+1(х,Е)= ! pk(y,E)p(x,dy) = (pk(;E),p(x,•)), Л = .

JX

Верхний индекс в выражении рк(х,Е) означает не степень, а интегральную "свертку".

Тогда Акц = Jxpk(x,-)fj,(dx).

В соответствующих разделах настоящей работы мы будем повторять или уточнять приведенные определения и обозначения.

0.2 Постановка проблем.

В этом и последующих параграфах Введения (§ 0.2 - 0.5) мы хотим предварительно и схематично представить читателю основные решаемые на страницах настоящей работы проблемы. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями общей теории меры и с элементами теории линейных операторов. Точные определения многих упоминаемых здесь объектов с комментариями будет дано в § 1.1 и ряде других. Если при чтении введения будут возникать терминологические трудности, то нужно использовать сводку обозначений из §0.1.

В работе рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или (7-алгеброй его подмножеств Е, т. е. измеримое пространство (X, Е). В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией тис борелевской алгеброй ,<г/ или ст-алгеброй 38, порожденными топологией г, т. е. рассматриваются измеримые пространства или (Х,38).

На измеримом пространстве (X, Е) задается функция двух переменных: р\Х х Е —> В}, р(х,Е), которая является Е-измеримой по первой переменной и мерой (конечно аддитивной или счетно аддитивной) по второй переменной.

Для придания функции р(х, Е) вероятностного содержательного смысла потребуем, чтобы 0 < р(х,Е) ^ 1 при всех аргументах и р(х,Х) = 1 при всех х € X. Такую функцию р(х,Е) называют переходной функцией (переходной вероятностью).

Переходная функция р (х, Е) имеет в теории вероятностей конкретную смысловую интерпретацию. На {X, Е), называемым фазовым пространством, задается однородный (по времени) марковский процесс с дискретным временем, который полностью определяется своей переходной вероятностью р(х,Е), дающей вероятность перехода случайного процесса из точки х в множество Е за один шаг (во времени). При этом, обычно, фиксируется произвольная начлаьная точка xq е X, из которой начинается случайное движение (вместо точки xq можно взять и некоторое начальное распределение /г0 на (X, Е), т. е. вероятностную меру). Указанный случайный марковский процесс называют в теории вероятностей (однородной) цепью Маркова, которую далее будем сокращенно обозначать ЦМ. Подчеркнем, что слово "цепь" указывает на дискретность и счетность только "времени", а само фазовое пространство (X, Е) может быть каким угодно и иметь любую мощность или топологическую структуру (в старой литературе иногда термин "цепь" указывал и на счетность множества X, у нас — нет такого ограничения).

В теории цепей Маркова, как и всюду в классической теории вероятностей, рассматриваются только переходные функции р (х, Е), являющиеся счетно аддитивными мерами по второму аргументу, это условие будем пока считать выполненным и мы. Но далее в настоящей работе мы будем рассматривать и конечно аддттивные переходные функции.

Переходная функция р (х, Е), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора Г и Л, действующих в пространствах функций и мер на (X, Е) соответственно. Эти операторы Т и А и будем называть Марковскими операторами:

Т : £(Х,£) - (Tf)(x) = Tf(x) = f f(y)p(x,dy), feB(X, E),xex

A : ca(X, E) ca(X, E), {Ац)(Е) = Ац{Е) = J p(f, E)^{dx), ц e ca(X, E), Ее E.

Эти операторы достаточно хорошо изучены. Они являются линейными, непрерывными (ограниченными) и ||Т|| = ЦАЦ = 1. Оба оператора положительны относительно конусов неотрицательных функций и мер соответственно. Оператор Т имеет в конусе неотрицательных функций Кв внутреннюю неподвижную точку /(ж) = 1.

Оператор А изометричен в конусе Кса, т.е., если /л > 0, то \\А/л\\ = ||д|| = /i(X). Тем самым оператор А переводит вероятностные меры в вероятностные: ASca С Sca. Оператор А может и не иметь неподвижной точки в конусе неотрицательных счетно аддитивных мер. Если же существует /1 = А/1 е Sca (это равносильно условию: Эту = Ar] е Кса), то такая мера называется инвариантной мерой оператора А (т. е. для переходной функции) или стационарным распределением цепи Маркова.

Пусть X является топологическим пространством, Е = 33 - борелев-ская сг-алгебра подмножеств в X, и на (X, задана переходная функция, т. е. ЦМ. Если выполняется Т[С(Х)] С С(Х), то такая цепь, а также ее Марковские операторы называются феллеровскими.

Пусть цо G S^ ид„ = Апцо = А/лп-1, п — 1,2,. ЦМ можно отождествить с последовательностью вероятностных мер {цп} = зависящей от начальной меры как от параметра. Таким образом, ЦМ можно рассматривать как некий итерационный процесс, порождаемый линейным положительным Марковским оператором в пространстве мер.

Предметом изучения в работе являются Марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологически измеримых пространствах (X, £). Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова.

Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани в работе [123] в 1941 году.

Целью настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространстве мер. К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро. Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях. Разумеется, подобные рассмотрения предполагают те или иные условия, накладываемые либо на фазовое пространство, либо на переходную функцию или на операторы Т и А.

Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для цепей Маркова, а конкретные предельные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими (существуют разные точки зрения на то, какие именно предельные теоремы следует называть эргодическими, а какие нет. Мы следуем Хилле и Филипсу [72], стр. 523, где "эргодические теоремы" трактуются наиболее широко).

Эргодическая теория марковских процессов прежде всего, цепей Маркова, как самостоятельная дисциплина существует уже более полувека. Первоначально она развивалась в тесной связи с общей эргодической теорией для точечных преобразований (динамических систем), ориентированной на применения в статистической физике. Соответствующая литература весьма обширна и включает в себя работы многих крупных специалистов не только в области теории вероятностей, но и, в большей мере, в функциональном анализе. В настоящей работе будут упоминаться лишь те работы, которые имеют непосредственное отношение к полученным здесь результатам.

Цель нашей работы сформулирована выше в самых общих словах. Поскольку, многие относящиеся сюда проблемы решены, то указанную цель следует конкретизировать. Для этого необходимо сделать ряд замечаний исторического и методологического характера.

Предельные (эргодические) теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях. Типичными являются следующие ограничения, которые мы формулируем в форме, употребляемой в вероятностной литературе (мы указываем, в основном, монографическую литературу).

1. Ограничения на фазовое пространство. Случай конечного числа состояний для ЦМ, т. е. множества X, изучен практически до конца и изложен во многих монографиях (см., например, Кемени, Снелл [44]). ЦМ со счетным числом состояний устроена существенно сложнее, однако ее предельное поведение исследовано достаточно хорошо, но далеко не до конца (Дуб [23], Чжун-Кай-лай [75], Кемени, Снелл, Кнепп [45]). Не иссякает поток работ по изучению ЦМ на компакте. Предельное поведение ЦМ при различных ограничениях на фазовое пространство в целом представлено в учебнике А.А. Боровкова [12]. Детальный анализ эргодичности ЦМ на числовой прямой и в конечномерных пространствах дан в монографии А.А.Боровкова [13].

2. Условия на марковские операторы. Если предположить, что оператор Т или А, вполне непрерывен или квази вполне непрерывен (в другой терминологии - компактен или квазикомпактен), то из общих теорем функционального анализа следует подробная и полная картина асимптотического поведения ЦМ. Проблема здесь заключается в том, чтобы выразить условие (квази) вполне непрерывности оператора Т или А в терминах переходной функции. Решению этой проблемы посвящено много работ. Одним из самых известных условий такого рода является условие, полученное Деблином, и обобщенное затем Дубом [23]. Подробнее о ранней истории этого большого класса предельных теорем см. в книге Лоэва [53]. Предположение о феллеровости ЦМ также является условием на марковские операторы (условие ТС(Х) С С(Х)), которое позволяет более широко пользоваться топологическими методами при доказательстве предельных теорем (Иосида [41]). Существует еще много подобных условий на марковские операторы типа "гладкости" (см., например, Гирсанов [20], Розенблат [119], Туоминен и Твидэ [121]).

3. Предположение о существовании инвариантной вероятностной меры. Это предположение присутствует почти во всех основных эргодических теоремах, полученных Фе л л ером и Иосидой (Иосида [41]), и многих других авторов. "Априорная" инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике (см. Халмош [71] и Данфорд, Шварц [22]). С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры /х позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега Ьр{Х,И, ц). Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см., например, статьи Хо-ровица [102] и [104]).

В настоящей работе в основных результатах не предполагается счетности пространства состояний, т.е. почти нет ограничений на фазовое пространство. Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа и в соответствующих местах будут приведены более подробные библиографические ссылки. Что же касается предположений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования.

Существует "много" ЦМ, не имеющих инвариантных вероятностных мер. В то же время, есть примеры ЦМ, которые хотя и не имеют таких мер, но ведут себя в асимптотике достаточно "хорошо" (примеры приведены ниже). Этот факт достаточно хорошо известен, и еще Халмош [71] призывал к развитию эргодической теории без предположений такого рода.

Пусть ЦМ имеет инвариантную вероятностную меру /i. Большинство соответствующих эргодических теорем, которые доказываются для марковских операторов в пространствах LP(X, //), гарантируют существование пределов различных средних лишь //-почти всюду или в метрике пространства LP(X, Е, /л).

Это означает, что поведение траекторий ЦМ вне носителя инвариантной меры (в случае топологического X) остается не изученным. В тех же, весьма частых в практике ситуациях, когда инвариантная мера /л = 8Z имеет одноточечный носитель {z}, утверждения таких теорем становятся тривиальными. Важные вопросы о том, сходится ли ЦМ в каком-либо смысле к мере 5Z и как быстро, остаются открытыми.

К аналогичным неудобствам приводит и априорное фиксирование на фазовом пространстве ЦМ какой-либо меры р, (не обязательно инвариантной) и рассмотрение ЦМ почти всюду на (X, Е), т.е. исследование марковских операторов в пространствах типа LP(X,Y,, р), р < оо. В частности, изучение цепей Харриса [99] обычно проводится в пространствах Loo(X, Е,д), где специально введенная некая мера р, формально заранее не предполагается инвариантной (см., например, [98]). В монографии В.М.Шуренкова [78], в той ее части, где рассматривается дискретное время, также делается акцент на цепи, возвратные по Харрису. В этой связи интересно замечание А.А.Боровкова [11]: "Подавляющее большинство работ об эргодичности ЦМ посвящено харрисовым цепям, и можно считать, что последние изучены достаточно полно. Иначе обстоит дело с не харрисовыми цепями. В существующей литературе по ЦМ нам известно совсем мало работ, которые с неприводимостью по Харрису не связаны." В монографии [13] А.А. Боровков развивает свой подход к изучению эргодичности таких ЦМ. Сразу отмечаем, что настоящее исследование ориентировано именно на не харрисовые ЦМ.

Приведем следующий простой пример с инвариантными мерами. Пусть X = [0,1/2], Е = SS, на которых задано три ЦМ при помощи отображений F : X —> X:

Здесь мы полностью убрали стохастичность в вероятностях перехода

ЦМ1: F{x) = x2, х G [0,1/2];

- чем проще, тем лучше будет иллюстрация. Речь идет о детерминированных динамических системах.

Им соответствуют переходные функции рг(х,{х2}) = 1, х е [0,1/2]; р2(х,{х2}) = 1, х е (0,1/2], р2(0,{1/2}) = 1; р3(х1{х2}) = 1, хе (0,1/2), рз(0, {1/2}) = рз(1/2, {1/2}) = 1;

Марковские операторы в пространстве са([0,1/2], 8§) для трех ЦМ обозначим соответственно Л(i), А^) и А^.

Пусть 1Л° е Sca, /Л°((0,1/2)) = 1. Обозначим ^ = Afafi0, = и Дз — Тогда для всех трех ЦМ ^ = $ = $ и 1/2п)) = $((0,1/2п)) = ^((0, l/2n)) = 1 при п = 1, 2,. Легко проверить, что для любой / g С [о, 1/2] выполняется J fd/j,f —> f fd50 = /(0) при n —» oo и г = 1, 2,3, где <50 - мера Дирака в точке ноль, т.е. {/j"} сходятся слабо (в тс-топологии) к <50 (и даже равномерно по из указанного класса). Однако, при этом ЦМ1 имеет инвариантную вероятностную меру ЦМЗ -5i/2, а ЦМ2 вообще не имеет таковых. Если ЦМ не начинаются с отличной от нуля вероятностью из точек 0 и 1/2, то их предельное поведение идентично и никак не связано с отсутствием или наличием инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер и с их "расположением".

Понятно, что предельные теоремы, гарантирующие существование тех или иных пределов почти всюду относительно инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер не могут дать никакой существенной информации о построенных ЦМ. В частности, индивидуальная и статистическая эргодические теоремы (Иосида [41], стр.532-533), заведомо приводят к тавтологии для ЦМ, имеющих инвариантные меры с одноточечным носителем.

В работе ставится и в определенной степени решается задача: изучить асимптотическое поведение итераций от Марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер.

В следующем параграфе мы расскажем, как будем решать эту проблему и снова вернемся к примеру с ЦМ1, ЦМ2 и ЦМЗ.

0.3 Предпосылки методологии.

Здесь мы лишь указываем на некие "Основные теоремы", на которые опираются представленные в настоящей работе исследования. Подробно эти теоремы и результаты автора в их развитие будут представлены в §3.2.

Пространства функций и мер находятся в определенной двойственной связи [22]: для произвольного (X, Е) выполняется В*(Х,Т,) — ba(X, Е), для нормального топологического X выполняется С*(Х) = rba(X для компактного хаусдорфового X выполняется С*(Х) = гса(Х. М), где знак равенства означает изометрический изоморфизм, и слева стоят пространства, топологически сопряженные к соответствующим пространствам функций. Отсюда следует, что лишь для феллеровской ЦМ, заданной на хаусдорфовом компакте, оператор А является сопряженным к оператору Т, суженному на пространство С(Х), что хорошо известно.

Используя конструкцию интеграла по конечно аддитивной мере [22], в рамках которой для любых / G В(Х, Е) и ц G ba(X, Е) существует интеграл J fdfi, продолжим (или расширим) оператор А с сохранением его аналитического вида на пространство ba(X, Е). Обозначим временно это продолжение Ах. Подставляя для каждого Ее Е характеристическую функцию / = Хе G В(Х,Е) в тождество f(T*fi) = l^(Tf), верное для всех /л G ba{X,Yi) и / G В(Х, Е), получим Т* = Аг. Таким образом, мы получаем замкнутую в функциональном смысле конструкцию

Т : В(Х, Е) - В(Х, Е), Tf(x) = / f(y)p(x, dy), при / G В(Х, Е), х G X;

Т* = Аг : ba(X, Е) Ьа(Х, Е), Аг/л(Е) = Jр(х, E)/i(dx), при ц G Ъа(Х, Е), Ее Е.

Очевидно, оператор А\ является линейным непрерывным оператором с нормой ||i4i|| = ||Л|| = ЦТ|| = 1. Оператор А\ положителен относительно конуса КЬа неотрицательных мер в ba(X, Е), и изометричен в нем.

Продолжение оператора А позволяет более широко использовать теоремы о неподвижных точках и спектральных свойствах положительных линейных операторов и их сопряженных. Так, из теоремы Крейна-Рутмана ([48] теорема 3.1, стр. 26), и из того факта, что оператор Т имеет в конусе Кв внутреннюю неподвижную точку f(x) = 1, сразу же следует следующее утверждение.

Основная теорема 1. Для любой ЦМ, заданной на произвольном измеримом пространстве (X, Е), существует инвариантная конечно аддитивная мера: л g Ъа(Х, е), л > о, а(х) = 1, а(Е) = /р(х, E)X{dx) ME е е (т.е. ЗА = АгХ g Sba)

Заметим, что из той же теоремы Крейна-Рутмана следует, что и любой Марковский процесс с непрерывным временем и переходной функцией р (t, х, Е) имеет инвариантную конечно аддитивную меру a g Sba

УЕ g е, а(Е) = jp(t, х, E)X(dx), Vt > 0.

Продолжение оператора А на пространство конечно аддитивных мер рассматривалось в работе Шидака [120]. Там же была доказана "Основная теорема I", однако более сложным путем и без использования положительности марковских операторов.

Неотрицательная мера а g ba(X, Е) называется чисто конечно аддитивной [124], если из 0 < /л < A, fj, g са(Х, Е) следует /л = 0. Произвольная мера A g ba(X, Е) называется чисто конечно аддитивной, если в ее разложении Жордана А = А+ — А"~ обе меры А+ и А- чисто конечно аддитивны. Известно [124], что любая конечно аддитивная мера единственным образом представила в виде А = Ai + А2; где Ai счетно аддитивна, т.е. Ai g са(Х, Е), а а2 - чисто конечно аддитивна.

Теорема 0.1. [120]. Пусть на (X, Е) задана некоторая ЦМ u А = А\Х g Sba■ Если А = ai + Аг есть разложение А на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ах = АгХг и Х2 = А\Х2.

Таким образом, достаточно рассматривать лишь счетно аддитивные и чисто конечно аддитивные инвариантные меры.

Аналогичное рассмотрение для феллеровских ЦМ проводилось в работах Фогеля [93], [94], [95], [97], представленное также в его монографин [96]. Пусть X такое топологическое пространство, для которого са(Х,£%) = rca(X, Зё). Для метрического X это всегда выполняется. Пусть на (X, 3$) задана феллеровская ЦМ. Тогда оператор А : гса(Х, 33) —>• гса(Х, 0), вообще говоря, не является сопряженным к оператору Т : С(Х) —> С(Х) (и тем более, к его расширению Т : В(Х, Е) —» В(Х, Е)). Однако, так же как и в общем случае, оператор А можно продолжить с сохранением его аналитического вида на пространство регулярных конечно аддитивных мер rba(X,s</), заданных на борелевской алгебре з/. Продолженный оператор : rba(X, —> rba(X, уже является топологически сопряженным к Т : С(Х) С(Х).

Тот факт, что меры для продолженного оператора определены на борелевской алгебре, а не на cr-алгебре, не должен вызывать особых затруднений. Если Л G rba(X,s$) оказывается счетно аддитивной, то по теореме Хана Л имеет единственное продолжение на 33 и, тем самым, Л G rca(X, 38).

Применяя к положительным операторам Т и теорему Крейна-Рутмана и, учитывая то, что оператор Т имеет в конусе внутреннюю неподвижную точку f(x) = 1, получим следующий результат.

Основная теорема II. Пусть для некоторого топологического пространства X выполняется са(Х,3§) = гса(Х,3§). Тогда для любой феллеровской ЦМ, заданной на (X, 3§), существует инвариантная регулярная конечно аддитивная мера:

Л е гЬа{Х, J2f), А > 0, АрО = 1,

А(Е) = fp(x, E)X(dx) УЕ G srf (т.е. ЗА = А2\ е Srba)•

Заметим, что этот результат отсутствует и у Шидака и в указанных выше работах Фогеля. Однако, утверждение "Основной теоремы II" можно было бы получить простым повторением доказательства Шидака "Основной теоремы I" с очевидными изменениями для феллеровского случая или слегка модифицируя доказательства теорем в работе Фогеля [93] (полагаем, что Фогелю и следует приписывать теорему II, которая у нас является прямым следствием теоремы Крейна - Рутмана).

Если А £ rba(X, то ее счетно аддитивная и чисто конечно аддитивная составляющие также будут регулярны.

Теорема 0.2.[94]. Пусть са(Х,3§) = rca(X,3§) u А = А2А е Srba

Если А = Ai + Л2 есть разложение X на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ai = А2Х\ и X2 = А2Х2.

Появление инвариантных конечно аддитивных мер в работах Ши-дака и Фогеля не повлекло за собой их специального рассмотрения. Более того, использование инвариантных конечно аддитивных мер для интегрального представления специального вида для переходной функции у Шидака, не привело ни к каким существенным отличиям (именно в этом вопросе!) от счетно аддитивного случая. Что касается работ Фогеля, то здесь конечно аддитивные меры рассматриваются лишь как промежуточный этап при построении инвариантных счетно аддитивных мер (см., например, работу Хоровица [103]).

Вернемся теперь к примеру, построенному в предыдущем параграфе. Согласно "Основной теореме I", все три ЦМ должны иметь инвариантную конечно аддитивную меру. Если рассматривать только ЦМ1 и ЦМЗ, то, на первый взгляд, утверждение Основной теоремы I тривиально выполнено, так как меры 50 и 8\/2 инвариантны (они даже счетно аддитивны) для ЦМ1 и ЦМЗ. Однако, для ЦМ2 нужно прибегнуть уже к более специальному рассмотрению. Если Л = А^Х е S)m, то такая мера, как легко проверить, обязана удовлетворять условию А((0,е)) = 1 для любого е > 0. А это как раз и есть "типичное" условие, которому удовлетворяют чисто конечно аддитивные меры. Заметим, что таких мер "очень много" - 22*0. Основная теорема I гарантирует, что среди таких мер есть хотя бы одна, инвариантная для ЦМ2.

Пусть А = л (2) Л € Sba для ЦМ2, т.е. А (Е) = f p2(x,E)X(dx),\/E е т. Поскольку А({0}) = А({1/2}) = 0, то [од/2]

J p2(x,E)X(dx) = J p2(x,E)\(dx), ME e

0,1/2] (од/2)

По построению, переходные функции всех трех ЦМ совпадают при х е (0,1/2) и Ее <%),1/2).

Следовательно, для любого Е £ <^(0,1/2) > i = 1, 2,3,

Л(Е) = А(2)Х(Е)= J p2{x,E)X(dx)= J p2(x,E)X(dx) =

0,1/2] (0,1/2) J Pi(x,E)X(dx) = J Pi(x,E)X(dx) = A{i)X(E), (0,1/2) [0,1/2] т.е. чисто конечно аддитивная мера Л является инвариантной также и для ЦМ1 и ЦМЗ.

Как было установлено в предыдущем параграфе, если /UO((0,1/2)) = 1, ро Е Sca, то последовательность {рп} для всех трех ЦМ слабо (в тс-топологии) сходится к мере 5о, которая, однако, для ЦМ2 и ЦМЗ не является инвариантной. Пусть А - построенная выше инвариантная для всех трех ЦМ чисто конечно аддитивная мера. Тогда, для любой / G С(Х), / > 0, получим для каждого е > 0 inf f{x) < [ f(x)X(dx) = [ f(x)X(dx) < sup f(x). x€(0,e) J J xe(0,e)

0,e) X

Поскольку / непрерывна и s > 0 произвольно, то

J f(x)X(dx) = /(0) = J f(x)60(dx).

X X

Для произвольной / € C(X) это равенство следует из разложения = /+ + Г •

Следовательно, если f fdpn f fd6о, то и J fdpn —> J fdX для любой feC(X).

Таким образом, все три ЦМ имеют общую инвариантную чисто конечно аддитивную меру А, к которой они слабо сходятся при любой начальной счетно аддитивной р0 6 Sca, ро((0> 1/2)) = 1- Заметим, что топология тс неотделима в пространстве Ъа(Х,38), и А и So попадают в один класс слабой эквивалентности.

В разобранном примере инвариантная чисто конечно аддитивная мера оказалась жестко связанной с асимптотическим поведением итераций марковских операторов. В то же время инвариантные счетно аддитивные (вероятностные) меры никакого влияния на асимптотику не оказывали. Такая ситуация и обусловила основную идею нашей работы, состоящую в том, что для общих Марковских операторов, т. е. цепей Маркова," ответственность" за то или иное асимптотическое поведение несут инвариантные конечно аддитивные меры.

По существу, все основные результаты работы служат обоснованием этой гипотезы.

0.4 Замечания по поводу конечно аддитивных мер.

Конечно аддитивные меры более интересны и, возможно, более важны, чем счетно аддитивныё'' - С. Бохнер (по свидетельству Д. Махарам [111]).

Как явствует из рассуждений предыдущего параграфа, особую роль в настоящей работе играют конечно аддитивные меры. Сделаем несколько библиографических и методологических замечаний по этому поводу. В принятой ныне аксиоматике в теории меры аксиома о счетной аддитивности меры является усилением аксиомы о конечной аддитивности. Было бы естественным ожидать, что конечно аддитивные меры, логически возникающие раньше счетно аддитивных, и более хорошо исследованы, чем последние. На самом деле это не так. Когда на рубеже XX века Борель и Лебег наконец построили "интеграл Лебега", то мера, по которой происходило интегрирование, с необходимостью оказалась счетно аддитивной ("мера Лебега"), заданной на "борелевской" 5-алгебре. Только "мера Лебега" позволяла построить интеграл, обобщающий интеграл Римана, а это и было целью Лебега и Бореля.

После этого вполне закономерными представляются работы Радона (1913 г.) и Фреше (1914 г.), в которых строится "интеграл Лебега" для уже произвольных мер, но обязательно счетно аддитивных. И, наконец, в 1918 г. Каратеодори строит счетно аддитивную меру аксиоматически, независимо от определения интеграла. Таким образом, построение и изучение счетно аддитивных мер было следствием конкретных практических нужд (обобщение интеграла Римана). Осознание же того, что конечно аддитивные меры могут рассматриваться не как промежуточный рабочий объект, а как самостоятельный предмет изучения, по-видимому, появилось у математиков существенно позже. Во всяком случае, первые работы, посвященные конечно аддитивным мерам как таковым появились лишь в 30-ые годы.

В 1934 году Фихтенгольц и Канторович [69] и одновременно Гильдебрандт [101] построили интеграл по конечно аддитивной мере, обобщающий интеграл Лебега. С этих работ и начинается развитие теории конечно аддитивных мер. Большая часть результатов для конечно аддитивных мер была получена в основополагающих работах Александрова А.Д. [82], [83], [84] и Иосиды и Хьюитта [124]. Впоследствии эти результаты были дополнены и развиты до единой стройной теории в книге Данфорда и Шварца [22]. Отметим, что многие относящиеся сюда конструкции и результаты получены авторами книги и опубликованы в [22] впервые. Из последующих работ отметим большие статьи Варадарайна [16], Топсо [68] и Терпе и Флаксмайер [67], которые выполнены уже в чисто функциональном духе. Меры здесь изучаются как элементы пространств, топологически сопряженных к некоторым пространствам функций. Аксиоматическая теория конечно аддитивной меры строится в монографии Б.К. Рао и Б.М. Рао [116], в которой такие меры называются зарядами (charges). Там же дается обширная библиография по данной теме.

Из недавних монографий по теории меры отметим книгу В. И. Бо-гачева [9], являющуюся исключительно полным и обстоятельным изложением не только сегодняшнего состояния данной науки, но и содержащим подробнейший экскурс в историю ее создания со всеми ссылками на оригинальные работы. В книге есть интересные примеры чисто конечно аддитивных мер, но основной ее материал излагается только для счетно аддитивных мер (также, как и в классической книге Халмоша [70]).

В отечественной литературе редко появляются работы, посвященные конечно аддитивным мерам как таковым. В этой связи укажем на статью С. А, Малюгина [54], в которой строится два нетривиальных примера чисто конечно аддитивных мер на отрезке ([0,1],^), обладающих весьма необычными свойствами. Другим примером является статья А. Г. Ку-сраева и С. А. Малюгина [50], в которой изучаются векторные конечно аддитивные меры.

Сделаем теперь одно замечание полемического характера. Обычно, ни у кого не вызывает сомнений необходимость изучения свойств конечно аддитивных мер в тех случаях, когда ищутся условия их счетной аддитивности. Под таким углом зрения, например, рассматриваются конечно аддитивные меры в работе Смолянова и Фомина [66]. Однако, после знакомства с некоторыми "экзотическими" свойствами чисто конечно аддитивных мер (т.е. не являющихся счетно аддитивными), нередко задается вопрос: не являются ли чисто конечно аддитивные меры слишком / надуманным математическим объектом? На это есть очень простой ответ.

Рассмотрим пространство C(R}) непрерывных ограниченных функций на числовой прямой. Уже в этом простом случае пространство всех линейных непрерывных функционалов на С {В}) (т.е. сопряженное пространство) содержит регулярные чисто конечно аддитивные меры (обобщение теоремы Рисса). Таким образом, чисто конечно аддитивные меры естественным образом возникают на самом деле в самых различных задачах функционального анализа и его приложений. Разумеется, не всегда и не все свойства линейных функционалов при этом используются, что и послужило почвой для разбираемого здесь критического замечания.

Обратимся теперь к нуждам теории вероятностей, в которой одной из важнейших проблем является изучение асимптотического поведения последовательностей "вероятностных", т.е. счетно аддитивных мер. Условия "слабой" сходимости мер занимают при этом центральное место. Под слабой сходимостью в теории вероятностей понимают сходимость мер в тс-топологии в пространстве счетно аддитивных мер. Если X не является бикомпактом, то С*(Х) = rba(X, srf) ф гса(Х, При этом пространство гса(Х,£$) не замкнуто в тс-топологии в rba(X, si). Если {цп} - последовательность вероятностных счетно аддитивных мер на гса(Х,&), то у нее всегда существуют тс-предельные точки в rba(X, £3), которые, вообще говоря, не счетно аддитивны. Поскольку при изучении гс-сходимости последовательности {/in} желательно рассматривать все ее гс-предельные точки, то возникает необходимость выходить из пространства счетно аддитивных мер в пространство конечно аддитивных мер. Этим обстоятельством и объясняется появление конечно аддитивных мер как самостоятельного объекта изучения в уже классических вероятностных работах Прохорова [63] и Боровкова [10]. "Все рассмотрения удобнее проводить не в пространстве мер, а в более широком пространстве зарядов" [10], пишет Боровков. В указанных работах, следуя А.Д. Александрову [82], зарядом называется конечно аддитивная мера.

В теории цепей Маркова конечно аддитивные меры впервые использовались в уже цитированных работах Шидака [120] и Фогеля [94], [95].

Следует отметить, что во всех перечисленных вероятностных исследованиях конечно аддитивные меры являются лишь промежуточным объектом на пути к счетно аддитивным мерам.

Укажем теперь на использование конечно аддитивных мер в ряде смежных наук, имеющих взаимосвязи с теорией вероятностей.

Прежде всего, необходимо указать на бурно развивающуюся сегодня теорию игр. Хорошо известно, что теория игр, по самой своей сути, обязана использовать аппарат теории вероятностей (и его содержательную трактовку), а основные изучаемые ею динамические по времени процессы могут трактоваться как цепи Маркова. Мы здесь не будем упоминать и использовать основные принципы и термины теории игр, но должны сделать лишь несколько замечаний, имеющих прямое отношение к настоящей работе.

Одним из центральных понятий теории игр является "стратегия", понимаемая как некоторая функция множеств, т. е. мера. На первом этапе своего развития в теории игр использовались стратегии, определенные счетно аддитивными мерами. Однако, в 1950 году появляется работа С. Карлина [105], в которой обосновывается необходимость привлечения счетно аддитивных мер к исследованию стратегий. Главный аргумент, если говорить только о чисто математической стороне вопроса, — такой же, как и у нас в настоящей работе. Согласно С. Карлину [105], стратегии, — это элементы сопряженного к С{Х) пространства. Если X — компакт, то С*(Х) действительно будет пространством всех счетно аддитивных мер на X. Если же нет, тогда в С*(Х) войдут и конечно аддитивные меры на X. Приведем цитату из [105]: 11 Игра разыгрывается на всех конечно-аддитивных распределениях, вместо счетно-аддитивных распределений. Идея С. Карлина нашла свое развитие в известной книге Дубинса и Сэведжа [91] (1965 г.), в которой конечно аддитивным мерам (стратегиям) придается конкретный вероятностный смысл. Отметим, что такие меры в [91] определены на счетном декартовом произведении счетных пространств с дискретной топологией (т. е. на №°).

Новые методы книги Дубинса и Сэведжа [91], восходящие к работе Карлина [105], получили очень широкое распространение среди математиков, специализирующихся в теории игр, и способствовали появлению целой серии работ на эту тему (см. например, ранние работы

88], [113], многочисленный список последующих работ мы уже не приводим). Из отечественных работ укажем на статью Е. Б. Яновской [81] опубликованной, особо подчеркнем, в журнале "Теория вероятностей и ее применения" (ТВиП) (1970 год; это чуть-ли не единственная по сегодняшний день публикация в нашей стране, посвященная конечно аддитивным мерам в теории игр).

В рамках этой же проблематики из теории игр в 1981 году появилась работа Рамакришнана [114] с (черезчур) общим названием "Конечно аддитивные цепи Маркова". В ней на языке стратегий рассматриваются весьма специальные цепи Маркова с конечно аддитивной переходной функцией на счетном пространстве (см. также [115]). Замечания по этому поводу у нас будут даны в Главе III.

С начала 1980-ых годов активно используются конечно аддитивные меры в теории экстремальных задач в многочисленных работах А.Г. Ченцова, что привело к созданию им новой методологии при решении экстремальных задач многокритериальной оптимизации. Это новое направление хорошо представлено в монографии А.Г. Ченцова [73]. Развитие метода привело к наделению конечно аддитивной меры вероятностным смыслом [74] и потребовало более детального изучения топологических свойств пространства конечно аддитивных мер [89]. Интересно, что использование конечно аддитивных мер в теории экстремальных задач привело, так же, как и в настоящей работе, к необходимости построения некоторого расширения исходного ("фазового") пространства [73]. Это совершенно независимая отдаленная аналогия свидетельствует о ненадуманности расширений (гамма-компактификаций) в наших иследованиях.

Можно констатировать, что на сегодняшний день конечно аддитивные "вероятности" уже перестали вызывать неприятие или осторожность у многих математиков. Одним из свидетельств тому служит появление в ТВиП статьи Епифани, Лиджой [92] с решением одной из проблем конечно аддитивной "вероятности".

Следует отметить, что изучение проблем "конечно аддитивной теории вероятностей" только начинается, поскольку затруднен прямой перенос конструкции случайных величин из счетно аддитивной теории в конечно аддитивную.

В настоящей работе априори не ставилась цель найти приложения для конечно аддитивных мер в теории цепей Маркова. Возникли они естественным образом на определенном этапе операторного исследования асимптотического поведения цепей Маркова. Первые же результаты, полученные автором в весьма частных случаях, показали, что инвариантные чисто конечно аддитивные меры могут нести существенную информацию об асимптотике цепей Маркова. Это обстоятельство и побудило автора предпринять систематическое исследование относящихся сюда вопросов в рамках функционального операторного подхода.

Отметим, что почти во всех исследованиях по теории конечно аддитивных мер, начиная с работ А.Д. Александрова и Иосиды и Хью-итта, и кончая перечисленными выше вероятностными работами, рассматриваются регулярные конечно аддитивные меры на топологических пространствах. Такие меры счетно аддитивны на любом компакте (это знаменитая теорема А.Д. Александрова). В рамках же развиваемого в настоящей работе подхода необходимо рассматривать инвариантные нерегулярные конечно аддитивные меры даже и для феллеровских марковских операторов. Этим объясняется то, что большая часть работы посвящена конечно аддитивным мерам.

0.5 Основные результаты работы.

1. Проведено продолжение Марковских операторов (со счетным аддитивным ядром) основных классов счетно аддитивных цепей Маркова с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер и установлен методологически общий для всех таких цепей факт о существовании инвариантных конечно адитивных мер. Данный результат обобщает подобные полученные ранее результаты других авторов.

2. Рассмотрены Марковские операторы с конечно ад дитивным ядром и соответствующие им конечно аддитивные цепи Маркова. Доказаны общие теоремы о существовании инвариантных конечно аддитивных мер у таких операторов.

3. На основе известного представления банаховой алгебры В(Х, Е) через пространство C(Q), где Q — ее пространство максимальных идеалов (или множество двузначных конечно аддитивных мер), введена гамма-компактификация X произвольного измеримого пространства (X, Е). Исследовано топологическое строение гамма-компактификации исходного пространства. Изучены особенности продолжения измеримых ограниченных функций до непрерывных и конечно аддитивных ограниченных мер до счетно аддитивных при расширении исходного измеримого пространства до его гамма-компактификации. В частности даны условия выметания носителей исходных мер в нарост гамма-компактификации при продолжении мер.

4. Введено новое понятие — гамма-расширение точки при вложении топологического борелевского пространства в его гамма-компактификацию. Изучено устройство гамма-расширения точки и ее гамма-нароста для различных топологий в исходном пространстве, дано их представление в терминах двухзначных мер, и исследованы другие свойства. При некоторых условиях доказано, что гамма-компактификация исходного топологического пространства совпадает с объединением гамма-расширений всех его точек тогда и только тогда, когда X компактно.

5. Произвольной конечно аддитивной цепи Маркова на общем нетопологическом фазовом пространстве поставлена в соответствие некоторая феллеровская цепь Маркова на компакте - "гамма-цепь Маркова на гамма-компактификации" исходного фазового пространства. Переход от исходной цепи к феллеровской и обратно хорошо оснащен набором соответствующих отображений, дающих явные формулы перехода. Полученная конструкция позволяет трансформировать различные утверждения, верные для феллеровских цепей Маркова на компакте, в соответствующие утверждения для произвольных цепей.

6. Доказано, что классу всех феллероских цепей со счетно аддитивной переходной функцией на гамма-компактификации некоторого измеримого пространства биективно соответствует класс всех цепей Маркова на данном измеримом пространстве с конечно аддитивной переходной вероятностью, подкласс которого образуют традиционные цепи со счетно аддитивной переходной вероятностью. В терминах классов Марковских операторов указанное соответствие является изометрическим изоморфизмом.

7. В рамках разработанного автором подхода доказан набор теорем эргодического типа с альтернативными условиями, в которых асимптотическое поведение в различных топологиях средних по Чезаро от марковских последовательностей мер при всевозможных предположениях увязывается с инвариантными конечно аддитивными мерами Марковских операторов.

8. Введено понятие семейства конечно-осредненных цепей Маркова (и их операторов) для исходной цепи. Это позволило на основе полученных автором теорем эргодического типа для произвольных цепей Маркова доказать ряд новых теорем об условиях сильной сходимости средних по Чезаро для конечно-осредненных и исходных цепей Маркова.

В частности, доказана эквивалентность следующих двух условий:

1) для произвольной цепи Маркова ее конечно-осредненная цепь удовлетворяет условиям Дуба-Деблина (т.е. соответствующие марковские операторы квазикомпактны);

2) все инвариантные конечно аддитивные меры (они всегда существуют) исходного Марковского оператора счетно аддитивны (одновременно доказано, что в этом случае существует лишь конечное число линейно независимых инвариантных мер).

9. В последних теоремах работы даются условия слабой сходимости средних по Чезаро для Марковских операторов к инвариантной счетно аддитивной мере. Суть условий при тех или иных предположениях сводится к тому, чтобы все другие инвариантные конечно аддитивные меры попадали в один класс эквивалентности в слабой топологии с данной предельной инвариантной счетно аддитивной мерой.

10. Рассмотрены Марковские операторы, не имеющие инвариантных счетно аддитивных мер. При довольно общих предположениях доказано, что их асимптотическое поведение (средних по Чезаро) также характеризуется инвариантными чисто конечно аддитивными мерами.

Общим главным результатом работы мы считаем ее методологию, позволившую получить указанные выше и другие "основные результаты". Полагаем, что эта методология формирует новое направление в теории Марковских операторов, которое позволит получать новые результаты и за пределами настоящей работы.

1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Изд. "Эдиториал УРСС" (ИМ СО РАН, Новосибирск), 1999. 470 с.

2. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М., Изд. "Эдиториал УРСС" (ИМ СО РАН, Новосибирск), 1999. -440 с.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., Наука, 1968. 272 с.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, меры на отделимых пространствах. М., Наука, 1977. — 600 с.

5. Варадарайн B.C. Меры на топологических пространствах. Матем. сборник. 1961. 55(97), I. С. 35-100 (Translated in Amer. Math. Soc. Translations (2) 78, P. 161-228 (1965)).

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., Физматгиз, 1961. — 408 с.

7. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М., Наука, 1965. 304 с.

8. Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М., Мир, 1967. 252 с.

9. Гирсанов И.В. Сильно-феллеровские процессы. ТВиП, 1960. V, I. С. 7-28.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962. 896 с.

11. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956. — 606 с.

12. Емельянов Э.Ю. Условия регулярности марковских полугрупп на абстрактных .^-пространствах. Математические труды, 2004, Т. 7, № 1, (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 50-82.

13. Жданок А.И. Эргодическая теорема для нефеллеровских марковских процессов. — В сб.: XIV Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. Тбилиси, "Мецниериба", 1980. С. 14-15.

14. Жданок А.И. Эргодические теоремы для негладких марковских процессов. В сб.: Топологические пространства и их отображения. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1981. С. 18-33.

15. Жданок А.И. Инвариантные конечно аддитивные меры и предельное поведение марковских процессов с дискретным временем. -ДАН Укр ССР, N 3, 1981. С. 11-13.

16. Жданок А.И. Итерационные процессы как цепи Маркова. Латвийский матем. ежегодник, вып.26. Рига, "Зинатне", 1982. С. 153-164.

17. Жданок А.И. Гельфандовская компактификация и двузначные меры. В сб.: Топологические пространства и их отображения. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983. С. 161-164.

18. Жданок А.И. Необходимые и достаточные условия квазикомпактности марковскогоо оператора. — В сб.: VIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983. С. 84-85.

19. Жданок А.И. Регуляризация конечно аддитивных мер. Латвийский матем. ежегодник, вып.28. Рига, "Зинатне", 1984. С. 234-248.

20. Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в эргодической теории. // Распределение на функциональных структурах. Препринт 87. 27. Киев, Институт математики АН УССР, 1987. С. 19-37.

21. Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в теории цепей Маркова. В сб.: Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, том 3. Вильнюс, изд-во АН ЛитССР, 1989. С. 217-218.

22. Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. I. Математические труды. Том 4, N 2, июль-декабрь, 2001. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 5395.

23. Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. И. Математические труды. Том 5, N 1, январь-июнь, 2002. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 46-65.

24. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains I. Siberian Advances in Mathematics, v. 13, N 1, 2003. P. 87125. (USA, Allerton press inc.)

25. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains II. Siberian Advances in Mathematics, v. 13, N 2, 2003. P. 108125. (USA, Allerton press inc.)

26. Жданок А.И. Чисто конечно-аддитивные аналоги меры Лебега на произвольных счетных множествах, плотных на числовой прямой, — Научные труды ТывГУ, выпуск 3, том 1, 2005. Кызыл, изд-во ТывГУ. С. 43-60.

27. Жданок А.И. Конечно аддитивно е расширение цепей Маркова и эргодические теоремы (монография). Кызыл, изд-во ТывГУ, 2005. 219 с.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967. — 624 с.

29. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л., Физматгиз, 1950. 548 с.43 4445