О некоторых задачах эргодической теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 511.36+517.524+511.336.6

Шкредов Илья Дмитриевич

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ЧИСЕЛ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук Н.Г. Мощевитин

доктор физико-математических наук, профессор C.B. Конягин, доктор физико-математических наук, А.И. Нейштадт

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН

Защита диссертации состоится 20 мая 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, профессор В. Н. Чубариков

<//í>dT

тзыв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена изучению вопросов возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы, а также приложениям этих вопросов к теории чисел. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых конечных множеств.

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А.Пуанкаре, Г.Вейлю, Э.Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я. Хинчин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А.Г.Постников, С. В. Конягин, А. Шаркози, X. Фестенберг, М. Кац, В. Шмидт, Г. А. Фрейман, А. Реньи.

Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А.Г.Постникова1, X.Фестенберга2, JI. Кейперса и Г. Ниддерейтера3, М.Дрмоты и Р. Тихого4, А.Я.Хинчина5, С. В. Конягина и И. Шпарлинского6 и других.

Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А. Пуанкаре7. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем8. X. Фестенберг обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.

Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан9 и независимо от него Н. Г. Мощевитин10 в 1999 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей

1 Постников А. Г. Арифметическое моделирование случайных процессов / Труды Математического института АН СССР, Т. 57,1960.

2Purstenberg Н. Recurrence in ergodic theory and combinatotial number theory / Princeton (N J ), 1981

2 Kmpers L , Niederretter H. Uniform Distribution of Sequences / New York' Wiley 1974.

*DrmotaM, TtchyR Sequences, Discrepancies and Applications / Springer, Berlin-Heidelberg-New

York, 1997.

sХинчин А. Я. Цепные дроби / M • Наука, 1978

*KonyaginS., Shparlmsh I. Character sums with exponential functions / Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

7 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды T 2. M • Наука, 1972

8КасМ On the notion of recurrence in discrete stochastic processes //Bull AMS,v 53,1947,1002-1010

9Boiherrutzan M D Quantitative recurrence results // Inventiones mathematicae, Vol 113, Fase 3, 1993, p. 617-631.

10Мощевитин H. Г Об одной теореме Пуанкаре // УМН, 53, вып 1, 1999, с 223 - 224

Рос ¡( 5 i - с ,<л 1 ьít

I IKitpójpi 2¡!!>_j"p К

\

диссертации теоремы M. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитина уточняются и обобщаются.

Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная распределенность Теория равномерной распределенности последовательностей действительных чисел берет начало в работе Г. Вейля11. Вопрос о критерии равномерной распределенности орбиты конкретной точки в динамической системе, связанной с разложением чисел по фиксированному основанию, был впервые поставлен и решен И И. Пятецким-Шапиро12. Для произвольной динамической системы подобный критерий был найден А. Г. Постниковым13. В нашей работе мы доказываем теорему, обобщаю-1цую указанные критерии. Кроме того, мы получаем точные результаты о нормальности орбиты точки в динамических системах, связанных с конечными цепями Маркова, /-расширениями, цепными дробями и обобщенным сдвигом Бернулли.

Вопрос о представлении произвольного числа в виде суммы элементов из некоторого множества является, возможно, одним из самых старых и популярных в теории чисел. Например, знаменитая теорема И. М. Виноградова14 о представлении всех достаточно больших нечетных чисел в виде суммы трех простых как раз относится к этой проблематике. Мы доказываем ряд теорем о представлении почти всех элементов мультипликативной группы вычетов Г в виде суммы двух элементов некоторого подмножества Г.

Научная новизна работы.

Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

— Найдена неулучшаемая верхняя оценка среднего значения функции возвращаемости, а также функции iV-возвращаемости точки в динамической системе. Найдено точное значение константы возвращаемости для топологического случая. Доказана теорема о повторяемости неполных частных у цепных дробей и найдена точная по порядку оценка длины повторяющегося отрезка неполных частных.

и Wey/Я. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mon Eins // Math. Annalen, 77, 1916, p 313-352.

12 ПятецкиО-Шапиро И И О распределении дробных долей показательной функции // Ученые записки Московского Государственного Педагогического института им. В И Ленина, т 58, в 2, 1957, С 312-322.

13Постников А. Г Арифметическое моделирование случайных процессов / Труды Математического института АН СССР, Т. 57, 1960.

14 Виноградов И M Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР, 16, 1937, с. 131-132.

— Получены неулучшаемые аналоги критерия нормальности Пятецкого Шапиро для конечных цепей Маркова, /-растяжений, цепных дробей, обобщенного сдвига Бернулли. Доказана теорема обобщающая классические критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.

— Решена задача о представимости почти всех чисел мультипликативной групы вычетов Г в виде суммы элементов произвольной подгруппы, задача о представлении почти всех элементов Г в виде суммы и разности степеней первообразного корня, а также задача о представимости почти всех чисел Г в виде произведения двух элементов множества с пропущенными цифрами.

Методы исследования.

В работе используются методы теории динамических систем, теории вероятностей, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, теории размерности Хаусдорфа, а также результаты о тригонометрических суммах.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в эргодической теории, метрической теории чисел, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, аддитивной теории чисел.

Апробация работы.

Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мотцевитина, А. Б. Шидловского, (2002—2004 гг.),

2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина,

A. М. Райгородского (2002-2004 гг.),

3. 'Тамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством

B. В. Козлова, Д. В. Трещева, (2003, 2004 гг.),

4. "Динамические системы и эргодическая теория" под руководством Д.В.Аносова, А.М.Степина, Р.И.Григорчука, (2004 г.)

5. 'Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова, (2002-2004 гг.)

6. 'Теория функций и ее приложения" под руководством С В.Конягина, (2004, 2005 гг.),

а также на международных конференциях

"Modem Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" (Москва, 23-28. XI. 2002),

"Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),

"XXIII-rd Journée Arithmétiques" (Graz, Austria, 6-12. VII. 2003),

"Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 58 наименований. Общий объем диссертации 68 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Пусть X пространство с сигма-алгеброй измеримых множеств Ф и мерой fx, а Т измеримое эргодическое отображение пространства X в себя.

Определение 1. Отображение Т : X -¥ X называется сохраняющим меру, если для любого /¿-измеримого множества Е выполнено ц(Т~1Е) =

Пусть отображение Т сохраняет меру ¿t. Основным объектом наших исследований будет четверка (X, Ф,/х,Т), которая называется динамической системой.

Рассмотрим точку хо из X.

Определение 2. Орбитой или траекторией точки хо £ X называется множество хо, Тхо, Т2хо,....

1. Содержание главы 1.

Пусть X — метрическое пространство с метрикой d(-,-). Говорят, что точка хо € X возвращается, если для любого е > 0 и для всякого натурального К существует такое натуральное t, t > К, что d^Fxо, xq) < е. Другими словами, точка хо возращается, если ее орбита попадает в произвольную окрестность хо бесконечное число раз.

В первой главе диссертации доказываются результаты о скорости возвращения точки х в свою е-окрестность.

Для формулировки соответствующих теорем рассматривается понятие Хаусдорфовой меры.

Определение 3. Пусть Е некоторое подмножество X. Пусть h(t) неотрицательная (h(0) = 0) непрерывная возрастающая функция действительного аргумента. Хусдорфовой мерой Hh(E) множества Е называется величина

Нк(Е) = ЪтН*(Е),

О—УУ)

где

= (1)

причем инфинум в формуле (1) берется по не более чем счетным покрытиям Е открытыми множествами {Bj}, diam(j3,) — 83 < 5.

Нам понадобится следующее определение

Определение 4. Меры /х и Яд согласованы, если любое ¿¿-измеримое множество является Яд-измеримым.

Рассмотрим функцию

С{х) = liminf{n • h{d(Txt х))} .

П-» 00

Величина С(х) называется константой возвращения точки х. Сформулируем основной результат первой главы.

Теорема 1. Пусть X — метрическое пространство, имеющее Hh(X) = С < оо , а Т — отображение X в себя, сохраняющее меру ц. Будем считать, что ц и Яд согласованы.

Тогда С(х) интегрируемая (по мере ц) функция и для любого ц измеримого А выполнено

J C{x)dn < Hh(A).

Если же Hh(A) = 0, то JAC(x)dfi = 0 без условия согласованности мер (1 и #д.

Эта теорема уточняет результаты работ М. Д. Бошерницана15 и Н. Г. Мощевитина16.

Кроме того, в первой главе диссертации, применяя теорему М. Бошерницана о количественной возвращаемости почти всех точек, к динамической системе, связанной с преобразованием Гаусса, мы доказываем теорему о повторяемости неполных частных почти всех цепных дробей.

16Boshernitzan М. D Quantitative recurrence results//Inventiones mathematicae, Vol 113, Fasc 3, 1993, p. 617-631.

16 Мощевитин H. Г. Об одной теореме Пуанкаре // УМН, 53, вып. 1, 1999.

2. Содержание главы 2.

Пусть теперь X произвольное (не обязательно метрическое) пространство с сигма-алгеброй измеримых множеств Ф и конечной мерой ¡л. Пусть снова Т — измеримое, сохраняющее меру ¡1 отображение X в себя.

Определение 5. Измеримое множество Е С X называется Т инвариантным, если Т~1Е = Е.

Определение 6. Измеримое отображение Т пространства X в себя, сохраняющее меру /х называется эргодическим, если для любого Т-инвариантного множества Е либо ц(Е) = 0, либо /1(Х \ Е) = 0.

Предположим, что Т эргодичтю Для произвольной измеримой функции /(ж) рассмотрим сумму

т-0

Пусть XI ~ характеристическая функция измеримого множества I. Точка жо € X называется нормальной, если для произвольного измеримого множества I выполнено условие

Ию^о,Х/)= (/) (2)

У-ЮО V

Хорошо известно17, что почти всякая точка динамической системы (X, Ф, Т, ц) является нормальной.

Во второй главе диссертации изучается вопрос о необходимых условиях для того, чтобы для точки хо было выполнено условие (2). Определим понятие множества анормальных точек.

Определение 7. Пусть 8 > 0 любое действительное число и I произвольное натуральное. Пусть также / некоторая интегрируемая функция Рассмотрим множество

А,(Т,/,6) = А,(/,6) = {х€Х : - / > <*}•

Множество А[(Т, /, <5) называется множеством анормальных точек динамической системы (X, Ф, (1, Т), относительно функции /

"Каток А Б , ХасселблатБ Введение в современную теорию динамических систем / М. издательство "Факториал", 1999

Дадим определение Хаусдорфовой меры, относительно некоторого семейства множеств {Сп}.

Определение 8. Пусть {С„} не более чем счетное семейство измеримых подмножеств X, а <р(£) — монотонно возрастающая положитель-нозначная функция аргумента г € 11+. Определим меру Я^(-) для множества Е относительно этого семейства, как > гДе берется по не более чем счетным покрытиям Е.

Обозначим через Г семейство /х — измеримых множеств {V}, которые с любой точностью аппроксимируются множествами семейства {Сп}. Иными словами для произвольного V из Г и любого е > 0 существуют наборы непересекающихся множеств {М,} и из семейства {Сп}, так что, иМ СУСУ^И Ем(^) - е < !л(У) < 1>(М<) +е.

Сформулируем наш основной результат второй главы.

Теорема 2. Пусть точка Хо € X. Если для произвольного множества I из семейства {Сп} выполнено

Ишвир Б,/{Х0,Х1) <<рШ)

1/-Ю0 V

и для любого 5 > 0 выполнено Н^А^хий)) —> 0, при I —> оо, то для произвольного множества I из Г имет место асимптотическое равенство

ЦтЯ(»о,Х/)= (/) (3)

1/-ЮО I/

Также в главе 2 рассматриваются приложения теоремы 2 к конкретным динамическим системам, таких как конечные цепи Маркова, /растяжения, цепные дроби и обобщенный сдвиг Бернулли.

Приведем, к примеру, результат о конечных цепях Маркова.

Пусть матрица Р — {Рц}!,;=-о.....п-1 _ стохастическая, то есть такая, что

рХ] > 0 и — 1. Р называется транзитивной, если для некоторого

т все элементы матрицы Рт положительны. Тогда18 существует вектор

7Г — (7Гх, . . . , 7Г„) С ПОЛОЖИТеЛЬНЫМИ КОМПОНеНТаМИ, ЧТО Р*7Г = 7Г (Р* -транспонированная матрица).

Рассмотрим пространство бесконечных вправо последовательностей П, составленных из знаков 0,...,п — 1. Меру ц элементарного цилиндра, то есть множества, у которого фиксировано какое-то количество первых

иКаток А В, Хасселблат Б Введение в современную теорию динамических систем / М • издательство "Факториал", 1999 ; Ширяев А Н. Вероятность / М.- Наука, 1989

знаков положим равной тг^ если фиксирован первый знак и равной KSiPSA ■ ■ ■ ps.-гб, если фиксированы знаки ..., Ss. Мера пустого множества равна 0, всего пространства — 1. Эту меру можно продолжить на минимальную а - алгебру, содержащую алгебру цилиндрических множеств. Легко проверить, что полученная таким образом мера fi, будет инвариантна относительно сдвига влево Т. Хорошо известно19, что это преобразование эргодично.

Теорема 3. Пусть xq е П. Пусть также ф{£) невозрастающая функция, так что для всякого положительного rj выполнено ip(t) = 0(t~v),t —» 0. Если для любого элементарного цилиндра I выполнено

v-too V

то для произвольного множества У из Г имеет место асимптотическое равенство

limS,(*o .xv) (П

к-Юо V

3. Содержание главы 3.

Для простого числа р обозначим через Zp кольцо вычетов по модулю р, а через Z* - группу обратимых элементов Zp. Пусть А некоторое подмножество Z*. Поставим вопрос о представлении произвольного элемента п группы Z* в виде суммы нескольких элементов А.

Пусть А некоторая подгруппа Z*. В книге С В. Конягина и И. Шпар-линского20 был получен следующий результат

Теорема 4. Пусть А — подгруппа Z*. Если для некоторого натурального I > 2 выполнено |Л| > pll2+ll21, то для произвольного b £ Z* существуют xi,..., xi 6 R, что

b = xi -I-----1- xi (mod p). (4)

В главе 3 мы докажем теорему 5, аналогичную теореме 4.

19 Каток А. В , Хасселблат Б Введение в современную теорию динамических систем / М.: издательство "Факториал", 1999.

20KonyaginS, Shparhnshl Character sums with exponential functions / Cambridge University Press,

Cambridge, 1999

Теорема 5. Для любого натурального I > 2, любого е > О существует Се > 0, что для любой подгруппы А С Z* мощности > С^р^2'-1', количество igZJ

х = aii Н-----h zj (mod р), 11,...,1|£й (5)

больше, чем (1 - е)р.

Таким образом, теорема 5 представляет собой результат о представлении почти всех чисел Z* в виде суммы элементов подгруппы А.

Пусть g некоторый первообразный корень группы Z* Пусть N натуральное число, N < р. Случай, когда А является множеством вида

А := {gn (mod р) : 1 < п < N) .

был разобран в работах А. Захареску, 3. Рудника и М. Ваджаиту21.

В главе 3 мы получим несколько несложных утверждений о представлении почти всех чисел Z* в виде суммы и разности элементов А. Приведем, к примеру, следующий результат.

Теорема 6. Для любого натурального I > 2, любого е > 0 и любого набора ... ,bi € Z* существует Се > 0, что для N > Се1//( я-i) количество х е Z; представимых в виде

х = bigni + ■■■+ bignk (mod р), 1 < пь..., щ < N (6)

больше, чем (1 — е)р.

В работах П. Эрдеша, С.В. Конягина, Н.Г. Мощевитина и других22 исследовались свойства чисел с ограничениями на цифры. Пусть s > к > 2 - натуральные числа, D = {¿о, d\,..., dk} С No = N U {0} , 0 = do < di < ¿2 <•■■< dk < s - некоторое фиксированное множество цифр в системе счисления по основанию s. Рассмотрим множества чисел с пропущенными цифрами

Л

К? = {хе N : I = SjeD},

i=o

21 Rudmck Z., Zaharescn A The distribution of spacings between small powers of a primitive root // Israel JMath. 120 (2000), p 271-287 , VajaituM, ZahareecuA Differences between powers of a primitive root // Int. J.Math. Sci. 29 (2002), p. 325-331.

22 Erdos P, Maudutt С, S&rkozy A On arithmetic properties of integers with missing digits. I. Distribution in residue classes //J Number Theory 70 (1998), p 99-120 , Erdos P , Maudrnt С, Sarkozy A On arithmetic properties of integers with missing digits II: Prime factors // Discrete Math. 200 (1999), p. 149-164. ; Konyagin S. Arithmetic properties of integers with missing digits: distribution in residue classes / / Periodica Math. Hung Vol 42 (1-2), 2001, p. 145-162. , МощевитинН Г. О числах с ограничениями на цифры // ДАН, 2002, т. 384, N 2, с. 167-170.

и

Kf{N) = {х е К? : X < ЛГ}, K*(N) = K*j)(N) = {iG Kf : x фй (mod p), x < N} .

В работе Н.Г. Мощевитина23 был доказан результат о числе сравнений.

Теорема 7. Пусть р — простое число, s > 3, (р, s) — 1, I > 1 и (А,р) = 1. Для любого положительного е найдется натуральное т% -Г2(з,е) такое, что при N > jf2 для числа решений сравнения

ai... а/ = A (mod р), oi,..., aj € K^(N), имеет место формула

4f(N) = J^M +

В третьей главе настоящей диссертации мы рассмотрим вопрос о о представлении почти всех чисел из Z* в виде произведения двух элементов Kf{N) и докажем следующий результат.

Теорема 8. Для любого е > 0 существет такое натуральное го = ro(s, с) и такая константа С£, что для всех простых р, (р, s) = 1, р > s и любого N > рг° количество вычетов А € Z* не представимых в виде

А = од (mod р), аь а2 G K°{N), (7)

меньше, чем CepF.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Н.Г. Мощевитину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Шкредов И. Д. О возвращаемое™ в среднем. // Математические заметки, т. 72, вып. 4, 2002, с. 625-632.

2. Шкредов И. Д. Повторяемость неполных частных у цепных дробей. // УМН, Т. 57, N. 4, 2002, с. 189-190.

23МощевитинН Г О числах с ограничениями на цифры //ДАН, 2002, т 384, N 2, с 167-170.

3 Шкредов И. Д. О некоторых аддитивных задачах связанных с показательной функцией. // УМН, Т. 58, N. 4, 2003, с. 165 166.

4. МощевитинН. Г., Шкредов И. Д. О критерии нормальности Пятецкою Шапиро. // Математические заметки, Т. 73, N. 4, 2003. с. 577 589. (Мощеяитину Н.Г. принадлежат идеи доказательств, Шкредову И.Д.

сами доказательства )

5. Shkredovl. D. On the Piatetzki-Shapiro normality criterion. ' ; Abstracts of Contributed talks, '.'Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics", Moscow, 2002.

6. Шкредов И. Д. О критерии нормальности Пятецкого-Шаииро. , Тезисы докл. V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные ni облемы и приложения", Тула. 2003.

7. Shkredovl. D. On recurrence in the average. // Abstracts of Contributed talks, XXIII-rd Journées Arithmétiques, Graz, Austria, 2003.

Отпечатано в копицентре Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ru тел. 939-3338 тираж 100 экз. Подписано в печать 13.04.2005 г.

o/.ûf- Û/.ОЗ

РНБ Русский фонд

2005-4 41925

19 Mi й 7005

г г

391

Введение

0.1 Актуальность темы.

0.2 Содержание работы.

Глава 1. Количественная возвращаемость

1.1 Понятие возвращаемости в эргодической теории.

1.2 Доказательство теоремы 1.3.

1.3 Некоторые следствия из теоремы 1.3.

1.4 N - возвращаемость.

1.5 Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Формулировка основного результата.

1.6 Вспомогательные утверждения.

1.7 О пространстве последовательностей.

1.8 Доказательство теоремы 1.8.

Глава 2. Критерии нормальности траектории точки в динамической системе

2.1 Критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.

2.2 Общая постановка задачи.

2.3 Случай конечного начального разбиения.

2.4 Теорема Пятецкого для марковских цепей.

2.5 Теорема Пятецкого для динамических системах с ф-перемешиванием. /-растяжения.

2.6 Примеры со счетным разбиением. Цепные дроби.

2.7 Примеры со счетным разбиением. Обобщенный сдвиг Бернулли.

Глава 3. Аддитивные задачи с показательной функцией

3.1 Постановка задач и формулировка результатов.

3.2 Доказательство теорем.

0.1 Актуальность темы.

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к эргоди-ческой теории чисел.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению феномена возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых множеств.

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А. Пуанкаре, Г. Вейлю,Э. Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я. Хинчин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Г. Постников, С. В. Конягин, А. Шаркози, X. Фестенберг, М. Кац, В. Шмидт, Г. А. Фрейман, А. Реньи.

Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А.Г.Постникова [30], X.Фестенберга [16], JI. Кейперса и Г. Ниддерейтера [20], М.Дрмоты и Р. Тихого [21], А. Я.Хинчина [35], С. В. Конягина и И. Шпарлинского [44] и других.

Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А.Пуанкаре [9]. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем [34]. X. Фестенберг [16] обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.

Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан [10] и независимо от него Н. Г. Мощевитин [11] в 1997 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей диссертации теоремы М. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитина уточняются и обобщаются.

Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная распределенность. Теория равномерной распределенности последовательностей действительных чисел берет начало в работе Г. Вейля [22]. Вопрос о критерии равномерной распределенности орбиты конкретной точки в динамической системе, связанной с разложением чисел по фиксированному основанию, был впервые поставлен и решен И. И. Пятецким-Шапиро в [29]. Для произвольной динамической системы подобный критерий был найден А.Г.Постниковым [30]. В нашей работе мы доказываем теорему, обобщающую указанные критерии. Кроме того, мы получаем точные результаты о нормальности орбиты точки в динамических системах, связанных с конечными цепями Маркова, /-расширениями, цепными дробями и обобщенным сдвигом Бернулли.

Вопрос о представлении произвольного числа в виде суммы элементов из некоторого множества является, возможно, одним из самых старых и популярных в теории чисел. Например, знаменитая теорема И. М. Виноградова [17] о представлении всех достаточно больших нечетных чисел в виде суммы трех простых как раз относится к этой проблематике. Мы доказываем ряд теорем о представлении почти всех чисел мультипликативной группы вычетов Г в виде суммы двух элементов некоторого подмножества Г.

Научная новизна. Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Найдена неулучшаемая верхняя оценка среднего значения функции возвращаемости, а также функции TV-возвращаемости точки в динамической системе. Найдено точное значение константы возвращаемости для топологического случая. Доказана теорема о повторяемости неполных частных у цепных дробей и найдена точная по порядку оценка длины повторяющегося отрезка неполных частных.

Получены неулучшаемые аналоги критерия нормальности Пятецкого-Шапиро для конечных цепей Маркова, /-растяжений, цепных дробей, обобщенного сдвига Бернулли. Доказана теорема обобщающая классические критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.

Решена задача о представимости почти всех чисел мультипликативной групы вычетов Г в виде суммы элементов произвольной подгруппы, задача о представлении почти всех элементов Г в виде суммы и разности степеней первообразного корня, а также задача о представимости почти всех чисел Г в виде произведения двух элементов множества с пропущенными цифрами.

Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, теории вероятностей, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, теории размерности Хаусдорфа, а также результаты о тригонометрических суммах.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в эргодической теории, метрической теории чисел, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, аддитивной теории чисел.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,

2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина,

A. М. Райгородского,

3. "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством

B. В. Козлова, Д. В. Трещева,

4. "Динамические системы и эргодическая теория" под руководством Д. В. Аносова, А. М. Степина, Р. И. Григорчука

5. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,

6. "Теория функций и ее приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях

Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" (Москва, 23-28. XI. 2002),

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),

XXIII-rd Journee Arithmetiques" (Graz, Austria, 6-12. VII. 2003), "Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 68 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 58 наименований.

1. OxtobyJ. Ergodic sets // Bulletin of the American Mathematical Society 58 (1952), 116 136.

2. Кас М. On the notion of recurrence in discrete stochastic processes // Bull. AMS, v. 53, 1947, 1002-1010.

3. Furstenberg H. Recurrence in ergodic theory and combinatotial number theory / Princeton (N.J.), 1981.

4. Виноградов И. M. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР, 16, 1937, с. 131-132.

5. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач / М.: Издательство МГУ, 1989.

6. Falconer К. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications / New York: Wiley 1990.

7. KuipersL., Niederreiter H. Uniform Distribution of Sequences / New York: Wiley 1974.

8. DrmotaM., TichyR. Sequences, Discrepancies and Applications / Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1997.

9. WeylH. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mon Eins // Math. Annalen, 77, 1916, p. 313-352.

10. AfraimovichV., Chazottes J. R., SaussolB. Pointwise dimensions for Poincare recurrence associated with maps and special flows // Disc. Cont. Dyn. Syst., A 9, 2003, p. 263-280.

11. BarreiraL., PesinY., Schmeling J. Dimension and product structure of hyperbolic measures // Ann. of Math., 2, 149, 1999, p. 755-783.

12. BarreiraL., SaussolB. Hausdorff dimension of measures via Poincare recurrence // Commun. Math. Phys., 219, 2001, 443-463.

13. BarreiraL., SaussolB. Product structure of Poincare recurrence // Ergod. Th. and Dynam. Sys, 22, 2002, 33-61.

14. SaussolB., Troubetzkoy S., Vaienti S. Recurrence, dimensions and Lya-punov exponents //J. Stat. Phys., 106, 2002, p. 623-634.

15. Пятецкий-Шапиро И. И. О законах распределения дробных долей показательной функции // Известия АН СССР, сер. матем.,Т. 15, 1951., с. 47 52.

16. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении дробных долей показательной функции // Ученые записки Московского Государственного Педагогического института им. В.И. Ленина, т. 58, в. 2, 1957, С. 312 322.

17. Постников А. Г. Арифметическое моделирование случайных процессов // Труды Математического института АН СССР, Т. 57, I960.

18. Постников А. Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Математического института АН СССР, Т. 82, 1966.

19. Schmidt W. М. Badly approximable numbers and certain games // Trans. Amer. Math. Soc. V. 123, 1966, p. 178 199.

20. Neumann J. Physical applications of the ergodic hypothesis // Proc. N.A.S., v. 18, 1932, p. 263-266.

21. КачуровскийА. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН, т. 51, вып. 4, 1996, с. 73-124.

22. ХинчинА. Я. Цепные дроби / М.: Наука, 1978.

23. Khintchine A. Zur metrischen Kettenbruchtheorie // Compos. Math., v. 3, 1936, p. 276-286.

24. Philipp W. Some metrical theorems in number theory II // Duke Math. J., v. 37, 1970, p. 447-458.

25. SzilszP. Uber einen Kusminschen satz // Acta Math. Acad. Sci. Hung., v. 12, 1961, p. 447-453.

26. Каток А. Б., ХасселблатБ. Введение в современную теорию динамических систем / М.: изд-во "Факториал", 1999.

27. Ширяев А. Н. Вероятность / М.: Наука, 1989.

28. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / М.: Наука, 1977.

29. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова / М.: Гостехиздат, 1949.

30. СаулисЛ., СтатулявичусВ. Предельные теоремы о больших уклонениях / Вильнюс: Мокслас, 1989.