Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СЕДАЛИЩЕВ ВЛАДИМИР

На правах рукопиа

щ

ВИКТОРОВИЧ

КОНСТАНТЫ ОЦЕНОК СКОРОСТИ сходимости В ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМАХ ФОН НЕЙМАНА И БИРКГОФА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 б ЯНЭ 20(2

Новосибирск - 2011

005009546

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Новосибирского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Качуровский Александр Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Малюгин Сергей Артемьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Рубан Анатолий Альбертович

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится " февраля 2012 г. в К': С С на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан "У5 "января 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть (Я, А) — пространство с вероятностной мерой, на котором в случае рассмотрения дискретного типа времени определён эндоморфизм Т, а в случае непрерывного — полупоток {Т4}(ек+. Для / € Ь\ (Л), ш 6 Г2 введём эргодические средние:

для случаев дискретного и непрерывного параметра времени 4 соответственно.

Через 1/.у обозначим изометрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве Ь2(П) по формуле — / о Ть. Выражение Ы — (ВД /) в случае дискретного параметра времени £ определяет корреляционные коэффициенты, а в случае непрерывного — корреляционную функцию. Через o¡ будем обозначать соответствующую спектральную меру, отвечающую /.

В случае / е 1/1 (П) индивидуальная теорема Биркгофа утверждает существование А-п.в. предела:

и равенство f f(üj)dX(u>) = f /*(ш) dA(cj). Статистическая эргодическая

теорема фон Неймана гарантирует в случае / 6 1<2(П) существование того же предела lim Atf в смысле нормы пространства ЬгШ), причём

t—»оо

этот предел А-п.в. равен /*.

Скорость сходимости будем измерять для эргодической теоремы фон Неймана как скорость сходимости к нулю при t —* оо числовых величин ||Atf — /*Щ> Для эргодической теоремы Биркгофа — как скорость

сходимости к нулю числовых величин Pte = А < sup \Asf — f*\ > е >, по-

скольку сходимость для любого £ > 0 при t —* оо величины Pi к нулю эквивалентна сходимости п.в. Atf к /*.

Известно1, что впервые вопрос о скоростях сходимости в эргодиче-ских теоремах рассматривался Дж. фон Нейманом2 в 1932 г. Было замечено, что оригинальное доказательство статистической эргодической

1Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.

2Neumann, J. von. Physical applications of the ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1932. V. 18, N 3. P. 263-266.

/'H= lim Atf(u),

t—*oo

s>t

теоремы даёт возможность «численно оценить скорость сходимости», в то время как из доказательства Дж. Биркгофа индивидуальной эрго-дической теоремы подобная информация не извлекается.

В 1975 г. В. Ф. Гапошкин показал3, что скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем, за исключением тривиального случая / — /* =0 п.в., не может быть быстрее квадратичной, в тоже время квадратическая скорость достигается только4 на когомологич-ных нулю функциях / - /*, т.е. функциях вида / -/* = g оТ - д, где g е 1/г(Г2). Несмотря на ограниченность диапазона скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана, специалистам хорошо известно5, что «невозможно получить сколько-нибудь общие, т.е. зависящие только от усредняемой функции /, оценки этих скоростей». Первые примеры в этом направлении были построены во второй половине 1970-х годов Г. Халашем и У. Кренгелем.

Это привело к необходимости получения оценок зависящих от пар (/,Т) при разумных постановках вопроса. В 1970-1980 гг. В.В. Петров и В.Ф. Гапошкин оценивали асимптотику \Anf — f*\ по скорости убывания корреляционных коэффициентов {Ьп(/ - f*)}%Lц а также по тесно с ней связанной скорости убывания \\Anf — /* Впоследствии у В.Ф. Гапошкина6 оценки В.В. Петрова приобрели законченный вид: была оценена асимптотика \Anf - /*| для пар (/, Т), удовлетворяющих условию bn(f - /*) = 0(n_a(lnn)-/3(lnlnn)-7), а также для пар (/,Т), удовлетворяющих условию ||Лп/-/*||^ = 0(n~a(lnn)~^(lnlnn)~7). Отметим также, что в начале 1960-х В.П. Леоновым приводились оценки7 с точностью о(п~2) скорости сходимости в теореме фон Неймана для

оо

пар (/, Г), удовлетворяющих условию ]Г) |kbk{f - /*)| < оо.

fc=-оо

В 1996 г. А.Г. Качуровским5 при / б 1/2(П) были получены оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем по следующим характеристикам пары (/, Т): особенности в нуле спектральной меры оэлемента / — /* относительно соот-

3Гапошкин В. Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 6. С. 1366-1392.

4Browder F. On the iteration of transformations in noncompact minimal dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9, N 5. P. 773-780.

5Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.

6Гапошкин В. Ф. О зависимости скорости в усиленном законе больших чисел для стационарных процессов от скорости убывания корреляционной функции // ТВП. 1981. Т. 26, № 4. С. 720-733.

7Леонов В.П. О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // ТВП. 1961. Т. 6, № 1. С. 93-101.

ветствующей динамической системы, корреляционным коэффициентам {Ьп(/ — а в случае оценки скорости сходимости в эргодиче-

ской теореме Биркгофа, помимо упомянутых характеристик, ещё и по последовательности {|| А„/ - /"ШК^ц измеряющей скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана. Таким образом, информацию о скоростях сходимости в эргодических теоремах удаётся извлекать из свойств меры <7/—/* (например, из её концентрации в окрестности нуля) и свойств её коэффициентов Фурье, т.е. корреляционных коэффициентов (например, по скорости их убывания к нулю).

Отметим, что все обсуждавшиеся до этого результаты по скоростям сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа были доказаны только в терминах "О" и "о" и носили характер указания связей между скоростями (измеряемыми как "О" и "о" от функций, выбранных из каких-либо соображений удобства) стремления к нулю различных характеристик динамических систем {bt(f - /*), Р4е, \\Atf - ¡*\\1 и др.). В силу одного из эквивалентных определений символа Э. Ландау "О", оценка Ф(£) = 0(</?(£)) равносильна выполнению неравенства |Ф(£)| < Л | с некоторой положительной константой А при соответствующих смыслу исследуемой задачи ограничениях на Тогда рассмотренные ранее результаты гарантируют наличие функциональных связей между константами (возникающими из упомянутого определения символа "О") оценок скоростей сходимости в эргодических теоремах, а также константами оценок скорости стремления к нулю принятых к рассмотрению параметров динамических систем, ответственных за скорости сходимости.

Цель работы. Диссертация посвящена нахождению разумных функциональных связей между теми или иными константами оценок, возникших у предшественников автора при исследовании скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа. «Разумность» здесь понимается в том смысле, чтобы можно было удовлетворить естественным образом возникающую потребность в переходе от асимптотических оценок к алгебраическим для получения возможности численной оценки скорости сходимости в эргодических теоремах. Получение неравенств, позволяющих численно оценить скорости сходимости — ещё одна цель этой работы.

Научная новизна. Полученные в диссертации новые результаты можно разделить на следующие группы:

1) В случае динамических систем с дискретным временем в спектральном критерии Качуровского степенной скорости сходимости в эр-

годической теореме фон Неймана были найдены две функциональные связи (число связей для анализа равно числу импликаций в формулировках первоначальных теорем предшественников в терминах "О" или "о") между соответствующими константами, возникшими из определения "О", причём было показано, что одна из этих связей не улучшаема. Тем самым критерий Качуровского был уточнён в сторону перехода от "О" и "о" к алгебраическим неравенствам, одно из которых в общем случае не улучшаемо. Также было доказано, что эти функциональные связи констант носят абсолютный характер, в том смысле, что явным образом не зависят от функции /, по которой производится усреднение. Был разобран и общий (не обязательно степенной) случай: получено двойное неравенство, связывающее \\Ап/ — /"Щ и поведение в нуле меры а}-{'•

2) Получены уточняющие результаты В.П. Леонова неравенства, связывающие \\Ап/ — /*\Ц и {&„(/ - при различных предположениях относительно {Ьп(/ — Эти соотношения позволяют оценивать скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем при наличии информации о корреляционных коэффициентах. Применение полученных соотношений в важных для потенциальных приложений частных случаях степенного и экспоненциального убывания корреляций позволило получить численные оценки скорости сходимости в статистической теореме.

3) Для случаев дискретного и непрерывного времени получены неравенства, связывающие соответствующие константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах, которые позволили оценить скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа по известной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана. Эти неравенства являются уточнением соответствующих результатов В.Ф. Гапошкина, в направлении перехода от "О" и "о" к неравенствам с конкретными константами, с дальнейшим их переносом на случай непрерывного времени. Это позволило в совокупности с результатами из предыдущих глав указать путь получения численных оценок скорости сходимости в индивидуальной теореме при наличии знаний о поведении корреляций Ь{(/ — /*) или характере поведения в нуле меры Все основные результаты диссертации имеют очевидные точные аналоги для стационарных в широком смысле стохастических процессов.

Методы исследования. В работе используются методы эргодической теории, теории меры, гармонического анализа, теории стохастических процессов, а также общих разделов функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в эргодической теории и смежных областях знания.

Апробация. Результаты диссертации докладывались:

— на Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (сентябрь 2009 г.);

— на XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете (апрель 2010 г.);

— на Международной конференции по эргодической теории в Университете Северной Каролины в г. Чапел-Хилл, США (март 2011 г.);

— на семинаре «Динамические системы и эргодическая теория» под руководством Д.В. Аносова и A.M. Стёпина в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (апрель 2011 г.);

— на семинаре «Теория вероятностей и эргодическая теория» под руководством Б. М. Гуревича и В. И. Оселедца в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (апрель 2011 г.);

— на Международной школе-конференции по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (июнь 2011 г.);

— на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством И. А. Тайманова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (ноябрь 2011 г.);

— на семинаре отдела анализа и геометрии под руководством Ю. Г. Решетняка в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (декабрь 2011 г.).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены: стипендия имени член-корреспондента А. А. Ляпунова (2009 г.), диплом первой степени XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 2010 г.), стипендия имени академика О. А. Ладыженской (2011 г.), грамота за представление лучшего доклада на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 2011 г.), а также диплом Лаврен-тьевского конкурса студенческих и аспирантских работ по математике и механике (2011 г.).

Публикации. Имеются семь публикаций автора по теме диссертации: [1]-[7], из них четыре — в соавторстве с А. Г. Качуровским: [3]-[4] и [6]-[7]. Вклад авторов в упомянутых четырёх работах равноценен и не делим.

Структура и объем диссертации. Структурно работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на разделы. Каждый из разделов при необходимости делится на пункты. Нумерация теорем, лемм и замечаний сквозная. Нумерация формул также сквозная, и нумеруются только формулы, которые считаются наиболее важными и на которые в дальнейшем в тексте есть ссылка.

Объем работы - 64 страницы; библиография - 42 наименования. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается проблематика, приводятся необходимые для дальнейшего определения и даётся краткий обзор результатов, полученных в диссертации.

Глава 1. Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере

Скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана не может быть произвольной: соотношение \\Atf — /* \\\ — о(£-2) при Ь —» оо может иметь место лишь при / — /* =0 Л-п.в. В случае дискретного времени это было доказано В.Ф. Гапошкиным8 в 1975 г. В случае непрерывного времени доказательство можно провести похожим на дискретный случай способом9. Таким образом, степенной скорости сходимости с показателем степени а > 2 не бывает, за исключением упомянутого вырожденного случая / — /* =0 Л-п.в.

Рассмотрим подробнее то, что известно об оставшемся диапазоне а е [0,2]. Для а е [0,2) выполнен критерий А.Г. Качуровского, т.е. эквивалентность соотношения \\Atf — /"Щ = 0{Ь~а) при Ь —> оо соотношению а}-]>{—5,5] = 0(5а) при <5 —> 0. Для а = 2 эта эквивалентность не имеет места для обоих типов времени.

8Гапошкин В.Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 6. С. 1366-1392.

9Джулай Н. А., Качуровский А. Г. Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 5. С. 1039-1052.

Сосредоточимся далее на случае дискретного времени. Следующая ниже теорема показывает зависимость между скоростью сходимости в

теореме фон Неймана с дискретным временем и поведением в нуле меры af-f ■

Теорема 4 ([4]). Положим Sk = f]> = Sk - Sk+i =

<T/_/»{(-f;-^j;] U (щ^; f j}. Тогда для всех натуральных п справедливо двойное неравенство:

< Ш-ni < i (si W) = Sn+^J2{k+lfak.

n n \ k=l / fe=i

Отметим, что похожие неравенства, с другими константами, использовались ранее в работах В.Ф. Гапошкина10. В случае непрерывного времени справедливо аналогичное утверждение, доказанное в 2011 г. H.A. Джулаем и А.Г. Качуровским11.

Если в критерии А.Г. Качуровского воспользоваться одним из определений символа "О", то получим эквивалентность существования двух констант Л и В, для которых одновременно справедливы неравенства:

1) (W е [0, я-]): <t/_/.(-J, J] < А6а;

2)(VneN): \\Anf-r\\22<Bn-a.

Естественным образом возникает вопрос о характере функциональной связи между константами А и В, т.е. о характере зависимостей А = А (В) и В = В(А). То, что такие зависимости существуют, следует из упоминавшейся эквивалентности существования констант А а В в силу критерия А.Г. Качуровского.

Следующая ниже теорема в случае дискретного времени предъявляет в явной форме зависимости А = А(В) и В = В(А), оказывающиеся достаточно «разумными», причём представленная в теореме зависимость А = А(В), оказывается в определённом смысле не улучшаемой — в общем случае, при фиксированной константе В, константу А = А(В) нельзя уменьшить. Данную теорему можно рассматривать как уточнение критерия А.Г. Качуровского в направлении перехода от "О" и "о" к алгебраическим неравенствам. Никакие ограничения на спектральные меры (абсолютная непрерывность и т.п.) здесь не накладываются.

Теорема 6 ([4]). Пусть а е [0,2). Тогда:

10Гапошкин В.Ф. О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 3. С. 366-372.

11 Джулай H.A., Качуровский А.Г. Константы оценок скорости сходимости в эр-годической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 5. С. 1039-1052.

1. Если спектральная мера oj-f* имеет степенную особенность в нуле, т.е. если для некоторой положительной константы А при всех 5 € (0, 7г] выполняется неравенство сг/-/»(—5, <$] < А5а, то скорость сходимости эргодических средних Anf — степенная с тем же показателем степени, т.е. для всех п

при а € [0,1) : II Anf - Щ < Аяа +

- + т^ -2) п~2 ~ п~2~а) < А*а п~а + гЬ»-1-0);

при а = 1: II Anf - /* Щ < Атг (2гГ1 + ^ - п~3) < Aw{2n~1 + при а € (1,2); ||Л„/ - /* 111 < Атг« (з^гГв + (4 - ^ + гГ2-

" (2 + " П~2~а) < ^ (ЙТ»'" + (4 " + ^Т)"-2) *

2. Если скорость сходимости эрзодических средних А.п f — степенная, т.е. если для некоторой положительной константы В при всех натуральных п выполняется неравенство ||Ап/ — /*||| < Вп~а, то спектральная мера o'f-f имеет степенную особенность в нуле (с тем же показателем степени), т.е. для любого 5 6 (О, ж]

причём константа С неулучшаема в том смысле, что её нельзя уменьшить.

Как известно, в случае абсолютной непрерывности меры <?/-/> с непрерывной в точке 0 плотностью р, справедливо асимптотическое соотношение

\\Anf - ПИ = 1К(/ " /*)||а = D Ап(/ - Г) = 2тгр^п"1 + о^"1). (1)

Как очевидное следствие теоремы 6, получаем следующий аналог этого утверждения.

Замечание 1. Если мера <т/_/* абсолютно непрерывна с плотностью р е ¿оо(-тг,тг], то ||Л„/ - /Ц < 2к\\р\\00{2п~1 + Ь?) для любого натурального п.

Глава 2. Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях

Как уже подробно обсуждалось в предыдущей главе, скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана полностью определяется поведением меры а/_/* в окрестности нуля, а так как определение этой

меры вводится через корреляционные коэффициенты {6П(/ ~ /*)}^=о (для случая дискретного времени) или через корреляционную функцию М/ ~ У*) (в случае непрерывного времени), то не вызывает удивления факт возможности получения оценок скорости сходимости в зависимости от рассматриваемого типа времени через корреляционные коэффициенты {Ь„(/ - /*)}£=<> или корреляционную функцию Ц/ - /*).

Отметим, что в этой главе для получения оценок || Ап/ - /* ||| скорости сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем будет использоваться формула, явно выражающая \\А„/ - /* Цз через последовательность {Ь„(/ _ 1*)}п=0-

\к\<п

Следующая ниже теорема даёт либо оценки для ||ЛП/ - /'Щ, либо даже тождества, оценивающие или выражающие ||А„/- ¡*\\1 через всю совокупность {Ьк{1 - /*)}ь=о корреляционных коэффициентов при тех или иных предположениях о свойствах этих коэффициентов, уточняя тем самым ряд теорем предшественников соискателя.

Теорема 8 ([4]). Справедливы следующие утверждения:

1. \\Anf - ГШ < Ш - ЛИ + £ X) М/ - Л

к=1

2. Если {Ък{f - е для некоторого р € [1, +оо], то

\\Ап/-Г\\22<2\\{Ьк(1-Г)}\\рП-^

3. Если ряд bk(f-f*) сходится абсолютно, то мера а¡-¡- ао-

к=—оо

солютно непрерывна с непрерывной (неотрицательной) плотностью

+О0

р; при этом р{х) = ^ £ Ьк(/ - Г)е'кх для всех х 6 (—7Г, 7г], и, сле-

к~—оо

+оо

довательно, ]Г) Ьк (/ — /*) = 27гр(0). Справедливо асимптотическое

к=—оо

соотношение (1), причём для любого натурального п

иАп/ - г щ - 2мо)п~1 = -Л Е - л -1 Е ~ л-

|к|<п |к|>п

+оо

4. Если, более того, ряд £ кЪк{! - /*) сходится абсолютно,

к=-оо

то, более того, плотность р меры непрерывно дифференциру-

ема; при этом р'(х) = ^ ikbktf - f)elkx для всех х 6 (—7Г, 7г],

fc=—оо

+оо

и, следовательно, Y1 - /*) = 2тг(р')с(0), где (р')с(х) =

к——оо

+оо

i \k\bk{f — f*)etkx — сопряжённая функция к р'(х). Справедливо

k=—too

асимптотическое соотношение

\\Anf - f* \Ц = 2ттр(0)п~1 - 2тг(р')с(0)п-2 + о(п~2) при п оо, причём для любого натурального п

Unf - Г\\\ ~ 2ър{Ъ)п~1 + 2п(рГ(0)п~2 = ^ Е (W - '

|fc|>n

Замечание 4. Отметим, что В.П. Леоновым выписано12 интегральное представление

»==-00 2

(в условиях и обозначениях п. 4 предыдущей теоремы). Из этого представления следует, в частности, что оба коэффициента ( 2т:р(0) и 2тг(р')с(0) ) в асимптотическом соотношении п. 4 теоремы 8 зануляются одновременно тогда и только тогда, когда р = 0, т.е. когда / — /* еО п.в. (и сходимости ||.АП/ - /*||2 со скоростью о(п~2) при п —> оо даже в условиях п. 4 предыдущей теоремы не бывает — ср. с предыдущими замечаниями об ограниченности диапазона скоростей).

Для некоторых типов динамических систем (например, системы бильярдного типа, системы Аносова) при надлежащем выборе функции /, по которой производится усреднение, удаётся получить оценки на скорости убывания корреляционных коэффициентов, оказывающиеся степенными или экспоненциальными. Теорема из предыдущего раздела с учётом таких частных случаев убывания {&&(/ — приводит нас

к следующей ниже теореме. Известно13, что оценки этой теоремы необратимы, т.е. здесь отсутствует критерий степенной скорости сходимости в терминах убывания корреляционных коэффициентов.

12 Леонов В.П. О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // ТВП. 1961. Т. 6, № 1. С. 93-101.

13Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.

Теорема 9 ([4]). Пусть корреляционные коэффициенты со степенной скоростью стремятся к нулю, т.е. для некоторой положительной константы С при всех натуральных п выполнено неравенство \Ьп(/-П\<Сп-У. Тогда:

1. Если 0 < 7 < 1, то для всех п

IIA«/ - ПИ < II/ - Г WW1 + < (\\f\\l + п-\

2. Если 7 = 1, то для всех п

IIAnf - П\1 < II/ - ЛИ»-1 + 2Clnn + ^ < (II/III + 2C)

n n

Если 7 > 1, то мера er¡-f абсолютно непрерывна с непрерывной (неот-

+оо

рицательной) плотностью р\ при этом Е — Г) = 27гр(0), т.е.

к=—оо

оо

27гр(0) = ||/ — Г Iii + Е h(f-n< \к\=1

оо

<11/-Г 111+ Е с\к\--> <11/111+ \к\=1

и справедливо асимптотическое соотношение (1), причём:

3. Если 1 < 7 < 2, то для всех п> 2

\\\Anf - Г Щ - 2М0)п->\ < 2С + (l -

4. Если 7 = 2, то для всех п> 2

1 .—2

| \\Anf - Г III " 2пр(0)п-11 < 2С (\пп + 2 + ^¿^у)

п

5. Если 7 > 2, то, более того, плотность р меры анепрерыв-

+оо

но дифференцируема; при этом 2п(р')с(0) = Е \Щк{1 — /*)> т-е-

к=—оо

оо

|27г(р')с(0)| < 2С Е < 2С^зо- Справедливо асимптотическое со-к=1

отношение

\\Anf - Г Щ = гтг^СО)^1 - 2тг(/?')с(0)п-2 + о(п~2) при п — оо,

причём для всех п > 2

|||А„/ - ГШ - 2тгр(0)п-1 + 27г(р')с(0)п_2| < ^ (г ~ ^У"'7"

б. Если, более того, корреляционные коэффициенты убывают экспоненциально, т.е. \bnif — /*)| < Ае~Вп для некоторых положительных констант А и В при всех натуральных п (что эквивалентно аналитичности плотности р), то

^ 9А

2пр(0) = II/ - п\1 + £ ьки - п < 11/Ш + 1*1=1

2А

2тг(р')с(0)= £ \kMf-f), т.е. |2тг(/)с(0)| < , в и для всех п \l\Anf - Г\\1-2тгр(0)п-1'+2тт(р')с{0)п-2\ <

Глава 3. Неравенства, связывающие между собой скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа

Возможность получения численных оценок скорости сходимости в теореме Биркгофа при наличии степенной оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана следует из асимптотических результатов14 для дискретного времени А.Г. Качуровского и уточняющих их результатов15 В.Ф. Гапошкина.

В этой главе переработкой доказательства В.Ф. Гапошкина будет доказана теорема 13, уточняющая упомянутые результаты в направлении перехода от асимптотических оценок скорости сходимости в терминах "О" к алгебраическим неравенствам, дающим численную оценку этой скорости. В виде теоремы 14 будет получен также соответствующий аналог для случая непрерывного времени. Таким образом, теоремы 13 и 14 с учётом результатов обсуждавшегося в предыдущих главах позволяют получить численные оценки скорости сходимости в эргодической

14Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.

15Гапошкин В.Ф. Несколько примеров к задаче об е-уклоиеииях для стационарных последовательностей // ТВП. 2001. Т. 46, № 2. С. 370-375.

теореме Биркгофа по известному поведению в нуле меры <7/_/-, либо по известной скорости убывания корреляций.

Теорема 13 ([7]). Пусть для любого натурального п выполнено неравенство \\A„f - /* |Ц < Вп~а, где В - некоторая положительная константа, a G (0,2]. Тогда для любого е > 0 при всех натуральных п > 2 выполнено неравенство:

Р® = A (sup\Akf — /*| > е} < ip{a,n)Be~2, U>n )

причём в зависимости от а:

1. Если а е (0,1), то <р(а,п) = + ^Li^J п~а.

2. Если а = 1, то <р{а,п) = 8(1+1^")Ч3.

3. Если а 6 (1,2], то ф, п) = 8 ( 1 + T(i-+2^-°)0 п~1' Замечание 5. В условиях предыдущей теоремы при а— 2 для всех

п > 2 справедливо неравенство: Л < sup \Akf — /*| > е f < Вп 1е 2.

U>" >

Теорема 14. Пусть для любого t> 0 выполнено неравенство || Atf-< Bt~a, где В — некоторая положительная константа, а е (0,2]. Тогда для любого е>0 при всех t > 2 выполнено неравенство:

PÎ = Л (sup |A.f - f*\ > Л < 4>{att)Be~2, U>t J

причём в зависимости от а:

1. Если a G (0,1), то <р{а, t) = (б + (1_2^)а) Г"■

2. Если а — \, то <р(а, t) = 12(1+log|t)4r ■

3. Если а е (1,2], то y(a,t) = 12 (б + ^

Глава 4. Связь полученных результатов с теорией стационарных в широком смысле стохастических процессов

В главе 4 приводятся определения необходимых стохастических процессов (стационарных в узком и широком смысле) и обсуждается взаимосвязь этих процессов с результатами предыдущих глав: оказывается, что теоремы 4, 6, 8, 9 и 13 имеют точные аналоги в классе стационарных в широком смысле стохастических процессов с дискретным временем. В классе стационарных в широком смысле стохастических процессов с

непрерывным временем можно привести аналог теоремы 14, а также ряда теорем других авторов16, играющих в случае непрерывного времени роль аналогичную роли теорем 4, 6, 8, 9 и 13 в случае дискретного времени.

В качестве примера приводится аналог теоремы 6 для стационарных в широком смысле процессов.

Теорема 15 ([4]). Пусть {Хп,п еЩ — стационарный в широком смысле процесс (с конечным вторым моментом), ЕХП = О, -Р(Л) —

п-1

спектральная функция, 5П = 2 и пусть а 6 [0,2). Тогда:

к=о

1) Если для некоторой положительной константы А при всех 6 € (0,7г] выполняется неравенство Р{д) - Р(-5) < А5а, то для любого натурального п

при а 6 [0,1) : 05п < Атта п2~а + ^п-

- 2) - п~°) < + т^п1-«);

при а = 1: < Лтг(2п + 1пп - п-1) < Атт(2п + \пп)-, при а € (1,2) : Э 5П < Атта п2~а + (4 - ^ +

-(2 + ¿тУ~а ~ п~а) < М** + (4 " + ¿Т)) •

2) Если для некоторой положительной константы В при всех натуральных п выполняется неравенство 05п < Вп2~а, то для любого 5 е (0, тг]

Г т^-В, 0 < а < 1

причём константа С неулучшаема в том смысле, что её нельзя уменьшить.

Аналог теоремы при а = 2 не имеет места, ни с какими константами, а степенного убывания Овп (случай а >2) при Хп ^ 0 просто не бывает.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Григорьевичу Качуровскому за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

16Джулай H.A., Качуровский А.Г. Константы оценок скорости сходимости в эр-годической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, X! 5. С. 1039-1052.

Работы автора по теме диссертации

[1] Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эр-годической теореме фон Неймана // Материалы Междунар. конф. «Совр. проблемы анализа и геометрии 2009». Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. С. 102.

[2] Седалищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эрго-ди ческой теореме фон Неймана // Материалы XLVIII Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2010. С. 88.

[3] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 5. С. 756-763. Англ. пер.: Kachurovskii A.G., Sedalishchev V. V. On the constants in the estimates of the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem // Math. Notes. 2010. V. 87, N 5. P. 720-727.

[4] Качуровский А.Г., Седалищев B.B. Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа / / Матем. сб. 2011. Т. 202, № 8. С. 21-40. Англ. пер.: Kachurovskii A. G., Sedalishchev V. V. Constants in estimates for the rates of convergence in von Neumann's and Birkhoff's ergodic theorems // Sbornik: Mathematics. 2011. V. 202, N 8. P. 1105-1125.

[5] Седалищев В. В. О неравенствах, связывающих между собой скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Материалы Междунар. молодёжного научного форума «JIOMOHOCOB-2011» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2011. - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM); 12 см.

[6] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Неравенства, позволяющие оценивать скорости сходимости в эргодических теоремах // Тезисы докладов Междунар. школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 19-26 июня 2011. [Электронный ресурс] — Кемерово: КемГУ, 2011. Номер гос. per. 0321102235.

[7] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Неравенства, позволяющие оценивать скорости сходимости в эргодических теоремах // Вестник КемГУ. 2011. № 3/1. С. 250-254.

Подписано в печать 23.12.2011 г. Формат 60 х 84 1/16. Заказ №331 Офсетная печать. Объём 1 п.л. Тираж 100 экз. Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

61 12-1/592

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЕДАЛИЩЕВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ

КОНСТАНТЫ ОЦЕНОК СКОРОСТИ сходимости В ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМАХ ФОН НЕЙМАНА И БИРКГОФА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, доцент А. Г. Качуровский

Новосибирск — 2011

Содержание

Введение 4

1 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере 21

1.1 Предварительные замечания ......................21

1.2 Вспомогательные утверждения.....................23

1.3 Зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана и поведением в нуле меры с/-/*.................25

1.4 Критерий А.Г. Качуровского степенной скорости сходимости

в теореме фон Неймана в форме алгебраических неравенств . 26

2 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях 32

2.1 Предварительные замечания ......................32

2.2 Оценки при достаточно общих предположениях о поведении корреляционных коэффициентов....................33

2.3 Оценки при предположениях о степенном и экспоненциальном характере убывания корреляционных коэффициентов...... 37

2.4 Оценки для случая непрерывного времени в теореме фон Неймана ...................................... 41

3 Неравенства, связывающие между собой скорости сходимости в эр-

годических теоремах фон Неймана и Биркгофа 44

3.1 Предварительные замечания ......................44

3.2 Случай дискретного времени......................45

3.3 Случай непрерывного времени..........................................50

4 Связь полученных результатов с теорией стационарных в широком

смысле стохастических процессов 56

4.1 Предварительные замечания .........................................56

4.2 Границы применимости результатов предыдущих глав к теории стационарных в широком смысле процессов ..................57

Список литературы 60

Введение

Эргодическая теория на сегодняшний день представляет собой достаточно активно развивающийся в течение вот уже почти 80 лет раздел математики, поэтому не удивительно, что даже среди специалистов существуют различные взгляды на основные цели и задачи эргодической теории. Например, Я.Г. Синай в вводной части монографии [18] приводит две возможные точки зрения. Согласно одной из них, эргодическая теория изучает статистические свойства детерминированных динамических систем, где под статистическими свойствами понимаются свойства, выражающиеся через поведение средних по времени от различных функций, вычисляемых вдоль траекторий динамических систем. «Детерминированность» подразумевает, что в уравнения, задающие закон движения, не входят никакие случайные возмущения, шумы и т. п. Тем самым возникающая статистика определяется исключительно свойствами динамики. Согласно другой — эргодическая теория изучает категорию пространств с мерой и их морфизмов — сохраняющих меру преобразований.

Так или иначе, но отправной точкой для развития эргодической теории послужили некоторые соображения, относящиеся к статистической физике. В своём учебнике [19] П.Р. Халмош даже делает сравнение, что задача изучения газа сыграла для рождения эргодической теории такую же роль, какую сыграла задача о семи Кёнигсбергских мостах для топологии. Основная суть этих соображений статисти-

ческой физики XIX в. сводилась к необходимости приравнять предел временных средних некоторой физической величины пространственному среднему этой же величины. Именно математическое обоснование возможности такого приравнивания привело к появлению эргодических теорем, т.е. математических утверждений о существовании предела временных средних вдоль траектории динамической системы, а также о возможности замены этого предела на пространственное среднее.

Дальнейшее изложение истории вопроса вплоть до 1990-х годов будет близко следовать тексту введения работы [10]. Первые попытки обоснования упомянутой замены для реальных физических систем, т.е. решения так называемой «эргодической проблемы» (на уровне строгости статистической физики своего времени) были предприняты Л. Больцманом и Дж. Максвелом во второй половине XIX в. Эти попытки опирались на «эргодическую гипотезу» (см., например [26]) о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Очевидная (теперь) математическая некорректность такого предположения долго была не очевидна даже для выдающихся современников — например, для А. Эйнштейна (см. [14] , с. 62, 72). По-видимому, первым на эту некорректность обратил внимание А. Пуанкаре, заложивший впоследствии основы математической модели эргодической проблемы. Строгое доказательство принципиальной невыполнимости «эргодической гипотезы» было дано в 1913 г. А. Розенталем [35] и М. Планшере-лем [34].

В 1920-е годы происходило постепенное становление понятийного аппарата эргодической теории, вбиравшего в себя современные ему достижения теории меры и формирующейся тогда же теории операторов. В 1931 г. происходит прорыв в построении содержательной математической модели эргодической проблемы: сначала Дж. фон Нейман, а затем Дж. Биркгоф доказали ставшие классическими эргодиче-ские теоремы, носящие имена их авторов: «статистическую» эргодическую теорему

Дж. фон Неймана и «индивидуальную» теорему Дж. Биркгофа. Дж. фон Нейман опубликовал в [32] свой результат позже доказательства Дж. Биркгофа в [25], однако то, что статистическая теорема была доказана раньше индивидуальной отмечено самим Биркгофом в [25]. Сам термин «эргодическая теорема» впервые появился, по-видимому, в [25] (и взят там в кавычки); в [32] он ещё не употреблялся. Именно некоторым аспектам скоростей сходимости в этих теоремах и будет посвящена настоящая работа. Поэтому приведём всё необходимое для формулировки упомянутых классических теорем и задач по оценке скоростей сходимости в них.

Пусть (£2, Зг, Л) — пространство с вероятностной мерой. Напомним, что эндоморфизмом пространства £2 называется отображение Т : £2 —> £2 такое, что для всех А € £ множество Т~ХА € и Х(А) — А(Т-М). Автоморфизмом пространства £2 называют его Л-п.в. взаимнооднозначный эндоморфизм. Будем называть динамической системой с дискретным временем пару из пространства (£2, Л) и какого-либо его эндоморфизма Т. Динамической системой с непрерывным временем будем называть пару из пространства (£2, А) и какого-либо его полупотока, т.е. такой однопарамет-рической полугруппы эндоморфизмов Ть пространства £2, что для любой измеримой функции /(о;) на £2, функция }{ТЬш) измерима на прямом произведении £2 х К+. Потоком будем называть такую однопараметрическую группу {Т4}4еК автоморфизмов пространства (О, А), что для любой измеримой функции /(ш) на £2 функция /(Т4ы) измерима на прямом произведении £2 х Ж. Очевидно, что пара из пространства и потока на нём тоже будет определять динамическую систему с непрерывным временем.

Для / € (Г2), ш € £2 введём эргодические средние:

г-1 г

1 1 С

^/И = 7 Е Я7^) . ^ е N и Л/Н = - / /(Тти) йт , < е

к—О

для случаев дискретного и непрерывного параметра времени I соответственно.

Рассмотрим подробней случай / € Ьг(£2). В случае динамической системы с дис-

кретным временем мы можем связать с ней изометрический (а в случае,

если Т — автоморфизм, то унитарный) оператор замены переменной 1/т : Ь2(0.) —> £2(!Г2), определяемый по формуле 17т/ = / о Г для всякой / £ Ь2(Р). Иногда этот изометрический оператор также называют оператором Купмана. Для случая полупотока {Т*}гек+ свяжем с динамической системой полугруппу изометрических операторов где элементы полугруппы задаются формулой £/£/ = / о Т* для всякой / 6 В случае потока, по аналогии, можно связать с динамической системой группу унитарных операторов {[/^¿ем- Использование введённых операторов в случае / € 1/2(П) позволяет записать эргодические средние в виде:

для случаев дискретного и непрерывного параметра времени Ь соответственно. В случае дискретного времени введём корреляционные коэффициенты Ьк/ = ((/£/, /) при к > 0 и Ьк/ = Ь-А;/ при к < 0. Тогда в силу теоремы Герглотца корректно определена (единственная) спектральная мера ст/ усредняемой функции относительно динамической системы, связанной с эндоморфизмом Т, т.е. такая конечная борелевская мера на единичной окружности, что

(— 7Г,7Г]

для всех целых к. Если у динамической системы время непрерывно, то введём по аналогии для полупотока корреляционную функцию — (£/£/,/) для

£ > 0 и = при I < 0. Тогда по теореме Бохнера-Хинчина корректно определена (единственная) спектральная мера 07, т.е. такая конечная борелевская мера на прямой, что

В случае / £ (Г2) индивидуальная теорема Биркгофа утверждает существова-

¿-1

(1)

—оо

ние А-п.в. предела:

/» = lim А/И,

¿—>00

и равенство J f(u>)dX(u) = / /*(ш) dX(uj). Статистическая эргодическая теорема фон ц и

Неймана гарантирует в случае / 6 L2{Q) существование того же предела lim Atf

t—»00

в смысле нормы пространства ¿2(0), причём этот предел Л-п.в. равен /*. Заметим, что приведённая формулировка эргодической теоремы фон Неймана является частным случаем более общей операторной теоремы, также связываемой с именем фон Неймана.

«S

Теорема 1 ([16]). Если {Uf} — полугруппа сжатий в комплексном гильбертовом пространстве Н и Р — ортопроектор на подпространство неподвижных векторов полугруппы {U1}, то для любого / G Н имеет место сходимость по норме к Pf эргодических средних Atf, определённых по формулам (1).

Отметим, что изначально фон Нейман доказал в [32] эту теорему только при предположении унитарности. В дальнейшем она была обобщена Ф. Риссом с упрощением доказательства на случай изометричности входящих в {Ьп} операторов (см., например [19]), а позднее (см. [16]) и на случай сжатий, как в приведённой выше теореме. Поскольку в диссертации оценка скоростей сходимости в индивидуальной теореме, формулируемой с использованием понятия сохраняющих меру преобразований, будет производиться (как станет ясно из дальнейшего изложения) по известной скорости сходимости в статистической теореме и до сих пор не решена задача реализуемости спектров, т.е. задача нахождения условий на спектр изометрического/унитарного оператора, при которых найдётся динамическая система сопряжённая с этим оператором (см., например, [23]), то всюду в дальнейшем будет использоваться самая первая — не операторная (и от этого наименее общая из приведённых) формулировка статистической теоремы.

Скорость сходимости будем измерять для эргодической теоремы фон Неймана как скорость сходимости к нулю при £ —> оо числовых величин \\Atf — /*Цг1 для эргодической теоремы Биркгофа — как скорость сходимости к нулю числовых величин

= А < вир\Аа} — /*]>£>, поскольку сходимость для любого € > 0 при £ —> оо

I )

величины Р* к нулю эквивалентна сходимости п. в. к /*.

Как отмечено в [9] впервые вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах начал рассматриваться Дж. фон Нейманом в 1932 г.: в своей работе [33] он заметил, что его собственное доказательство статистической теоремы (для случая непрерывного времени) в статье [32] позволяет «численно оценить скорость сходимости».

В 1975 г. Гапошкин В.Ф. показал, что скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем, за исключением тривиального случая, не может быть быстрее квадратичной: асимптотическое равенство ||ЛП/ — /*\Ц = о(п~2) при п —> оо может иметь место только при /—/* = 0 п.в. (см. следствие 5 в [2]). Этот же результат оказался справедлив и в случае непрерывного времени, причём доказать его можно используя идею из упомянутого доказательства Гапошкина В.Ф. для случая дискретного времени (см. [б]). Отметим, что предельная скорость \\Ап/ — /""¡Ц = 0(п~2) достигается на когомологичных нулю функциях / — /* (см. [27] и [13]), т.е. функциях вида / - /* = д о Г - д, где д € Ь2{9,).

Несмотря на ограниченность возможного диапазона скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана, во второй половине 1970-х годов Г. Халашем и У. Кренгелем было показано, что для отдельно взятого эргодического автоморфизма пространства Лебега (о пространствах Лебега можно прочесть, например, в [17]) нет оценок скоростей сходимости, равномерных по ||/||р даже в классе характеристических функций. А именно, ими доказана в [28] и [29] следующая ниже теорема.

Теорема 2 ([28],[29]). Для любого эргодического автоморфизма отрезка с мерой

Лебега можно подобрать характеристические функции со сколь угодно быстрой, не выходящей за пределы возможного диапазона скоростей, и сколь угодно медленной скоростями сходимости:

1) Для любой (сколь угодно медленно) монотонно стремящейся к бесконечности последовательности а1 > 2, найдётся подмножество А отрезка любой наперёд заданной меры А(А) такое, что \Ап(ха) — М-А)! < ^ А-п.в. для всех п.

2) Для любой (сколь угодно медленно) стремящейся к нулю последовательности положительных чисел {^К^Ц найдётся подмножество В отрезка с мерой А (В) е (0,1) такое, что Пш^оо Ап(хв) ~ = оо А-п.в. и для всех р 6 [1, оо]: ИШп-»оо ¿1 Ип(Хв) ~ *(В)Н р =

Помимо этого отметим, что в работе [9] приводится пример, показывающий, что «нельзя давать оценки скорости в эргодических теоремах, зависящие только от усредняемой функции / и не зависящие от выбора автоморфизма Т (т.е. равномерные по группе автоморфизмов)».

Из-за проблем с равномерностью получаемых оценок скорости сходимости У. Кренгель даже писал в своей монографии (см. §1.2 в [30]), что в эргодических теоремах нет скоростей сходимости и, что одним из немногочисленных положительных примеров решения вопроса о скоростях сходимости является случай независимости случайных величин {/ о Тк}^=0. В самом деле, в этом случае мы находимся в условиях закона повторного логарифма, который гарантирует выполнение А-п.в.

равенства \Ап/— /*| = 0(ц>(п)), где <р(п) = у —Г^- Как попытки избавиться в случае / € от обременительного условия независимости в совокупности {/о Тк}]?=0

можно рассматривать результаты В.В. Петрова [15] и В.Ф. Гапошкина [3], которые в более общем случае стационарных в широком смысле стохастических процессов (последовательность {/' о Тк}р?=0 является стационарным в узком смысле процессом, см. главы 5 и 6 в [21]) оценивали асимптотику |ЛП/ — /*| по скорости убывания корреля-

ционных коэффициентов {&„(/ — /*)}"Li, а также по тесно с ней связанной скорости убывания \\Anf — У*||| . Отметим, что характер связи тут такой: в случае дискретного времени знание последовательности {bt(f — /*)}tez+ корреляционных коэффициентов, а в случае непрерывного — корреляционной функции bt(f — /*), даёт знание

IИг/ — /1Ü, т.к. справедливы формулы (см. теоремы 18.2.1 и 18.3.1 в [8]):

t

1Ип/ - Г Iii = А Е (" - l*DW - л и 11^/ - /На = 3 / (i - М)М/ - Г) л-.

та ifci<« г L

В работе [3] В.Ф. Гапошкина оценки В.В. Петрова приобрели законченный вид: при предположении bn(f — /*) = 0(n-a(lnn)-/3(lnlnn)-7) была выписана достаточно хорошая функция <р{п), зависящая также от (а, /3,7), для которой выполнено Л-п.в. соотношение |Anf — /*| = 0(<р(п)). Было доказано, что в классе стационарных в широком смысле последовательностей оценку \Anf — f*\ = 0(р(п)) нельзя улучшить без дополнительных предположений. Аналогичные результаты были доказаны при предположении \\Anf — f*\\l = О(n"°(lnv)(InInn)~7), а также отмечалась возможность выписать функцию ip(n) в оценке \Anf — f*\ — 0(<р(п)) для случая итерированных логарифмов любого порядка.

На всё это можно смотреть, как и делает А.Г. Качуровский в [9], следующим образом: невозможность получить оценки скорости сходимости в эргодических теоремах, зависящие только от функции /, по которой производится усреднение, приводит к необходимости получения оценок зависящих от пар (/, Т) при разумных постановках вопроса. Тогда результаты В.Ф. Гапошкина — это попытка решения в случае / е ¿г (Г2) задачи по оценке скоростей сходимости в индивидуальной теореме для пар (/,Т), удовлетворяющих условию bn(f — /*) = О(n~a(lnп)(InInп)~7), либо для пар (/, Т), удовлетворяющих условию \\Anf — /*|[| = O(n~a(lnn)_;0(lnlnn)-7). Отметим также более раннюю работу В.П. Леонова [13], в которой приводились оценки с точностью о(п~2) скорости сходимости в теореме фон Неймана для пар (f,T),

оо

удовлетворяющих условию ^ \kbkif — /*)| < оо, причём там же был получен ана-

к=—оо

логичный результат для случая непрерывного времени.

В 1996 г. А.Г. Качуровский (см. [9]) при / € предлагает подход исполь-

зования для оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем следующих параметров пары (/, Т): корреляционных коэффициентов {6П(/ — и определяемой через них спектральной меры сг/-/* элемента / относительно динамической системы, а в случае оценки скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа, помимо упомянутых параметров, ещё и последовательности {|\Ап/ — /'*112}«== 1' измеряющей скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана.

Рассмотрим подробнее результаты реализации �