Неравномерные усреднения в эргодической теореме

Королев, Александр Владимирович

Неравномерные усреднения в эргодической теореме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Королев, Александр Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Неравномерные усреднения в эргодической теореме»

Автореферат диссертации на тему "Неравномерные усреднения в эргодической теореме"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.2

Королев Александр Владимирович

НЕРАВНОМЕРНЫЕ УСРЕДНЕНИЯ В ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЕ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

1 7 КЮН 2010

004604044

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Кириллов Андрей Игоревич,

кандидат физико-математических наук Толмачев Николай Андреевич

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится "18 июня" 2010 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "18 мая" 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор и н СерГеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Центральное место в эргодической теории занимает хорошо известная теорема Биркгофа-Хинчина, которая состоит в следующем. Для всякой интегрируемой функции / на измеримом пространстве X с конечной мерой, инвариантной относительно полугруппы измеримых преобразований X, существует конечный предел средних

при Т —► +оо для почти всех х € X. Индивидуальная эргодиче-ская теорема была установлена Г. Биркгофом1 в 1931 году для более специального случая динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладких многообразиях. Аналогичное утверждение, сформулированное в терминах унитарных операторов, сопряженных с динамической системой, было получено Дж. Нейманом2. В отличие от теоремы Г. Бирхгофа, в эргодической теореме Дж. Неймана речь идет о сходимости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости почти всюду.

В 2003 году В.В. Козловым и Д.В. Трещевым была представлена новая форма эргодических теорем Г. Биркгофа и Дж. Неймана (см. работы3,4). Ими было установлено, что для всякой вероятностной меры и на [0, +оо) с плотностью относительно меры Лебега и всякой ограниченной измеримой функции / на измеримом пространстве X средние

при Т —> +оо сходятся к тому же пределу, что и средние из теоремы Бирхгофа-Хинчина. В первой главе диссертации продолжено изучение этого вида усреднений. Здесь выяснено, что для неограниченных функций / это утверждение теряет силу, однако при некоторых

'Birkhoff G.D. Proof of the ergodic theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1931. V. 17, N. 12. P. 656-660.

2Neumann J.V. Proof of the quasi-ergodic hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sci. 1932. V. 18, N. 1. P. 70-82.

3Kozlov V.V., Treschev D.V. On new forms of the ergodic theorem. J. Dynam. Control Syst. 2003. V. 9, N 3. P. 449-453.

4Козлов В.В., Трещев Д.В. Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамилъ-

тоновых систем. Теор. и матем. физ. 2003. Т. 136, N 3. С. 496-506.

•+00

соотношениях между характерами интегрируемости / и плотности меры V имеются положительные результаты. Также здесь введены некоторые новые объекты, связанные с указанными усреднениями, приводящие к вопросу о слабой сходимости мер на фазовом пространстве.

Среди различных обобщений индивидуальной эргодической теоремы следует особо выделить классический результат Н. Винера и А. Винтнера (см. работы5,6 и монографию И. Ассани7). С середины прошлого века возникло целое направление развития весовых эргодических теорем, современное изложение этих результатов дано в монографиях У. Кренгеля8 и К. Петерсена9 (см., также работу А. Белов и В. Лозерт10).

Идеи теории полугрупп оказались весьма плодотворными при изучении марковских процессов. Эргодическая теория таких процессов впервые изложена в монографии Дж. Дуба11. Современное развитие этой теории изложено в работах A.B. Скорохода12 и X. Куниты13.

В диссертационной работе рассматривается аналог эргодической теоремы в форме Козлова-Трещева для диффузий. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.

Рассматривая эргодическую теорему в новой форме, предложенной В.В. Козловым и Д.В. Трещевым, следует упомянуть о другого рода обобщениях, полученных сравнительно недавно. Речь идет о проблеме унификации мартингальных и эргодических средних. Задача изучения их общего поведения ставилась и обсуждалась в работе С. Какутани14 и упомянутой выше монографии Дж. Дуба. С тех пор было разработано несколько различных подходов к этой пробле-

6Wiener N., Wintner A. On the ergodic dynamics of almost periodic systems. Amer. J. Math. 1941. V. 63. P. 794-824.

'Wiener N., Wintner A. Harmonic analysis and ergodic theory. J. Math. Phys. 1939. V. 63. P. 415-426.

7Assari I. Wiener Wintner ergodic theorems. World Scientific, Singapore, 2003.

8Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin, 1985.

"Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1983.

"Below A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the Individual ergodic theorem along subsequences. Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 288, N 1. P. 307-345.

пДуб Дж.Л. Вероятностные процессы. M., ИЛ. 1956.

12Скороход A.B. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Наукова Думка, Киев, 1987

13Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge University Press, 1990.

"Kabutani S. Ergodic theory. Proc. Int. Congr. of Math. 1950. V. 2. P. 128-142

ме, однако в 1998 году А.Г. Качуровским была предложена дискретная мартингально-эргодическая теорема, содержащая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, дающая унифицирующую структуру и унифицированную формулировку теорем сходимости мартингалов и эргодических средних. Аналог этой теоремы для непрерывного случая рассмотрен в работе16.

Цель работы. Исследовать сходимость неравномерных эргодических средних в форме Козлова-Трещева для неограниченных функций. Исследовать слабую сходимость мер, соответствующих этим усреднениям. Обобщить теорему Козлова-Трещева на случай операторных полугрупп и диффузий.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана поточечная эргодическая теорема в форме Козлова-Трещева с вероятностной плотностью д для неограниченных функций / при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости /ид. Построен пример, показывающий, что отказаться от дополнительных условий нельзя.

2. Доказана слабая сходимость семейства мер, порожденных усреднениями в форме Козлова-Трещева, на вполне регулярных пространствах с метризуемыми компактами. Установлена равномерная плотность указанного семейства мер на суслинских пространствах.

3. Доказано обобщение теоремы Козлова-Трещева для усреднений с операторной полугруппой и получена максимальная оценка для неравномерных средних в 1?. Установлена поточечная теорема сходимости эргодических средних в форме Козлова-Трещева и слабая сходимость связанных с ними семейств мер для случая диффузионных процессов. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.

Методы исследования. В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, эргодической теории, элементы

15Качуровский А.Г. Мартингально-эргодическая теорема. Мат. заметки, 1998. V. 64, N. 2. С. 311-314

"Подвигни И.В. Мартингалъно-эргодическис и эргодико-мартингалъные процессы с непрерывным временем. Матем. сб., 2009. V. 200, N. 5 С. 55-70

теории стохастических процессов, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, теории вероятностей и теории динамических систем.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева и С.В.Шапошникова (20042009 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в университете города Билефельда (Германия, 2005-2008 гг.), на семинаре в университете города Лулео (Швеция, 2010 г.) и на международной конференции „Стохастический анализ и случайные динамические системы", посвященной 100-летию со дня рождения H.H. Боголюбова (Львов, Украина, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора (две из них в соавторстве), из них 4 в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [1]- [3] из перечня ВАК; сообщения сделаны в работах [4], [5]. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 6 параграфов, и списка литературы из 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

В первой главе диссертации исследуются общие свойства усреднений следующего вида:

для эргодической динамической системы {Тг}^ на вероятностном пространстве (X, /х), где д - вероятностная плотность на [0,+оо), а / - Д-измеримая функция. Равномерное усреднение из классиче-

Краткое содержание диссертации Глава 1.

ских эргодических теорем соответствует случаю, когда д - индикатор отрезка [0,1].

Пусть функция / ограничена. В работах В.В. Козлова и Д.В. Тре-щева3'4 было показано, что для всякой абсолютно непрерывной вероятностной меры и на [0, +оо) с плотностью д относительно меры Лебега функции

roo

ВД:=/ f(Tts(x))u(ds) Jo

для /i-почти всех х при t —► +00 стремятся к пределу /(я), где / — условное математическое ожидание / относительно Т — а -алгебры Tt -инвариантных множеств. Согласно эргодической теореме Биркгофа-Хинчина17 функция / также является пределом, к которому для д-по чти всех х при t —► +00 стремятся временные средние

±£f(Ts(x))ds.

Если рассматриваемая динамическая система эргодична, то / есть постоянная, равная интегралу от / по мере ¡л, т.е.

/•+00 г

lim / f(Tts(x))u(ds) — / f(y)fi(dy). (1)

t->+00 J о jx

В первом параграфе рассмотрены различные важные примеры усреднений Ft. Перейдем к точным формулировкам.

Пример 1. Пусть X — единичная окружность с нормированной мерой Лебега /х и Tt — поворот окружности на угол — t. Существует такая безатомическая сингулярная вероятностная борелевская мера v на [0,1], что для функции f(z) = z, где z = ехр(гб), в € [0,27т), ни при каком z £ X величины Ft{z) не имеют предела при í —> оо.

Приводимый ниже пример показывает, что отказаться от ограниченности / без дополнительных условий нельзя, даже если плотность д имеет ограниченный носитель.

Пример 2. Пусть р и % — те же, что и в предыдущем примере. Существуют такие /¿-интегрируемая борелевская функция / на X и абсолютно непрерывная вероятностная мера v с носителем в отрезке [0,1], что для всех г имеем limsupn_>00 Fn(z) = +00.

17Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В.Эргойическая теория. Наука, М., 1980.

= 0

Л>(А)

Следующее утверждение является критерием, дающим сходимость рассматриваемых эргодических средних в Ц'(ц) на п-мерном торе с нормированной мерой Лебега и полугруппой поворотов. В частности, отсюда следует существование таких сингулярных безатомических вероятностных мер, для которых есть сходимость средних в

Теорема 1. Пусть {Х,Х) — произведение п окружностей с нормированной мерой Лебега, а {Х^.....8п} — п-параметрическая полугруппа сдвигов на X, т.е. Гв1г..)впа; := (ТВ1х\,... ,Тепхп), где — поворот г-й окружности на угол — Пусть и — произвольная вероятностная мера на К.", имеющая преобразование Фурье V. Равенство

■ г, И?\ II I ^.....^„(х)Ж^) - / /(х)А(&)

выполнено для всякой функции / € -^(А) при р € [1, +оо] в точности тогда, когда при р|| —► +ос выполнено соотношение ^(Т) —> 0.

При исследовании усреднений вида представляется естественным рассмотрение семейства мер заданных как образы меры V при отображении

: [0, +оо) -» X, ^(в) := Ти(х).

Целью второго параграфа является изучение характера сходимости мер к мере ц. В частности, оказывается, что имеет место слабая сходимость. Сформулируем основные результаты.

Теорема 2. Пусть ц — радоновская вероятностная мера на вполне регулярном топологическом пространстве X, причем все компакты в X метризуемы. Предположим, что полупоток {Т(} эргоди-чен. Пусть мера и абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на [0, +оо). Тогда для ц-почти всех х меры слабо сходятся к ц при £ —» оо.

Теорема 3. Предположим, что X — суслинское (или метрическое) пространство и ¡1 — радоновская вероятностная мера, причем полупоток {Т1} эргодичен. Пусть мера V абсолютно непрерывна. Тогда для всякого е > 0 найдется такое компактное множество ХЕ С X, что р{ХЕ) > 1 — е и семейство мер щ,х сЬ>еих€:Х€ равномерно плотно.

В третьем параграфе получены положительные результаты о сходимости средних Рь для неограниченных функций. Основная теоре-

ма дает сходимость для функций из пространства Орлича. Напомним, что непрерывная неотрицательная выпуклая функция М, определенная на [0,+оо), называется N-функцией, если справедливы равенства

limM(í)/í = 0 и lim M(t)/t = +00.

t—»О í—>-foo

Через Laí(jlí) обозначим класс Орлича всех таких /¿-измеримых функций (р на. X, что

Мо\<р\ еЬ\ц).

Говорят, что N-функция М удовлетворяет Дг-условию, если при некоторых к > 0 и í0 > 0 имеем М(2í) < kM(t) для всех t > to.

Теорема 4. Пусть f — Л-измеримая ^-интегрируемая функция, М - N-функция с / 6 Ьм(ц), удовлетворяющая Д2-условию. Если плотность в меры и имеет носитель в отрезке [а, Ь] и g Е где А — мера Лебега на [а, Ь], то для ц-почти всех х € X имеем

р+оо

lim / f(Tts(x))e(s)ds=^Erf(x),

t-*+со Jо

где Ег - условное математическое ожидание относительно а-ал-гебры Т, введенной выше. В частности, если полупоток {7¿} эрго-дичен, то выполнено равенство (1).

В частности, отсюда следует, что для всякой измеримой функции / 6 плотности Q меры и с ограниченным носителем и в е Lq(jj) средние Ftf(x) сходятся к ЕTf(x) для ß почти всех х £ X.

Глава 2.

В этой главе усреднения Козлова-Трещева исследуются в более общих ситуациях, когда выполнена индивидуальная эргодическая теорема. В первом параграфе рассматривается случай усреднений с операторной полугруппой, действующей на пространстве L}(ii). Кроме того, здесь получены дополнительные условия, усиливающие теорему 1 о сходимости средних из предыдущей главы. Случай классических равномерных усреднений для полугруппы операторов был рассмотрен в работах18'19. Основной результат этого раздела распространяет максимальную оценку на случай усреднений с плотностью.

"Данфорд Н., Шварц Дж.Линейные операторы.. I. Общая теория. ИЛ, М., 1962.

19Dunford N., Schwartz J.T. Convergence almost everywhere of operator averages. J. Rational Mech. Anal. 1956. N 1. P. 129-178.

Теорема 5. Пусть — сильно измеримая полугруппа положительных операторов на Ь1{ц), причем

||гца < 1 и иг!!«, < 1.

Кроме того, пусть в £ где А — мера Лебега на М+, д > О

и существует невозрастающая функция ¡3 £ А) такая, что

для некоторого ¿о > О имеем

< при я € [£0,+оо).

Тогда для всякой / € где р~г + д-1 < 1 и р, д € (1, +оо],

выполнено неравенство

sup / Tta{f{x))g{s)ds il t Jo

< с{р)(Сч 'llebaw) + WßlMWfW^y

gCg-l)-11

В качестве применения полученного результата доказывается утверждение о поточечной сходимости усреднений Козлова-Трещева для полугруппы операторов.

Теорема 6. Пусть Tt — сильно измеримая полугруппа положительных операторов на Lx(/1), причем ЦГЦх < 1 и ЦТЦ«, < 1. Пусть f € и ß 6 Lg(А) — вероятностная плотность, где А — мера Лебега на Ж+, + g"1 = 1 и р, q £ [1,-foo]. Предположим, что выполнено одно из условий:

(i) плотность q имеет ограниченный носитель в отрезке [а, Ь];

(ii) р > 1 и существует невозрастающая функция ß на [0, +оо), для которой ß > 0, ß G L9[0,+оо) и g(t) < ß(t) на [¿0)О°) для некоторого to.

Тогда для ¡л-почти всех х £ X выполнено равенство

г+оо

lim / Ttaf(x) q(s) ds = ETf(x).

t-*+00 J Q

Второй параграф посвящен изучению неравномерных усреднений и связанного с ними семейства мер, порожденных диффузионными процессами. Основное отличие стохастического случая от детерминированного заключается в отсутствии полугруппового свойства по времени. Пусть А = (аи) - непрерывное отображение на со значениями в пространстве линейных операторов в Rd, b = (bl) -

борелевское векторное поле на Rd, w(t),t > 0, - d-мерный винеров-ский процесс на (W,B(W),P), где W := С([0, +oo),Rd), Р - мера Винера.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

= A{$)dwt + b(tf)dt, $ = х, (2)

формальный генератор диффузии которого имеет вид Lf = ^trace(AA*D2f) + (b, V/).

Предположим, что выполнены следующие условия:

(i) а'-7 6 Rd), где Wf£(ß.d) - класс Соболева функций из Lfoc(R<0 с производными первого порядка, АА* > cl, где р = 2d, с > 0, отображение Ь локально ограничено;

(ii) существует такая функция V 6 C2(Md), что множества {V < с} компактны и

LV(x) —» —оо при |х| —► оо.

С помощью результатов работы20 можно показать, что существует сильное решение £f указанного уравнения. Известно также (см., на-пример21,22,23), что полученный процесс обладает единственной инвариантной вероятностной мерой fi, которая имеет положительную непрерывную плотность класса W^(Rd) относительно меры Лебега, причем порожденная процессом полугруппа Tt в L1^) является сильно феллеровской, а мера ß эргодична относительно Tt. Обозначим через Рх образ меры Винера под действием отображения Фх, заданного формулой Фх(ги)(£) = (ги). Определим вероятностную меру Pß на (W, B(W)) равенством

Pß(B) := [ Px{B)n{dx), Jx

где X = Rd.

20Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений. Матем. сб. 1980. Т. Ill, N 3. С. 434-452.

21 Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений.Матем. сб. 1980. Т. Ill, N 3. С. 434-452.

22Богачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасьминского о существовании инвариантных мер для локально интегрируемых сносов. Теория вероятн. и ее примен. 2000. Т. 45, N 3. С. 417-436; исправление: ibid., 2001. V. 46, N 3. С. 600.

23Богачев В.И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб. 2002. Т. 193, N 7. С. 3—36.

Определим аналог усреднений Козлова-Трещева для действия процесса Пусть V - произвольная абсолютно непрерывная вероятностная мера на [0,+оо) с плотностью д относительно меры Лебега. Для всякой функции / € Ь1{ц) определим средние

при Р-почти всех -ш. Получен следующий результат для усреднений являющийся аналогом теоремы В.В. Козлова и Д.В. Тре-щева для детерминированного случая.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (11). Тогда для всякой ограниченной измеримой функции f на X при каждом х Е X выполнено равенство

для Р-почти всех ъи € W. Сформулируем основной результат, утверждающий сходимость средних для функций из 1/(ц) для стохастического случая.

Теорема 8. Пусть выполнены условия (¡) и (п). Пусть -решение уравнения (2), /л - соответствующая Т^инвариантная вероятностная мера, / € ^(м), V = дАв, где д Е Ьч[0, +оо) -вероятностная плотность. Предположим, что выполнено одно из условий:

(1) плотность д имеет, ограниченный носитель в отрезке [а, Ь];

(2) р > 1 и существует неубывающая функция ¡3 на [0, +оо), для которой ¡3 > 0, /3 Е Ьд[0,+оо) и д(1) < (3({) на [¿о, оо) для некоторого ¿о-

Тогда для каждого х Е X для Р-почти всех ги Е \¥ выполнено равенство

Как и в случае детерминированной полугруппы, рассмотрим семейства мер щ^х,™ на X, заданных как образы меры и при отображениях

[О, +оо) X, б^Дя) := ££(ги).

Получены утверждения о слабой сходимости и равномерной плотности семейства мер щ,х,и>, аналогичные детерминированному случаю, рассмотренному выше. Приведем точные формулировки.

Теорема 9. Предположим, что выполнены условия (i), (ii), -решение уравнения (2), ц - соответствующая Tt-инвариантная вероятностная мера. Пусть вероятностная мера v абсолютно непрерывна. Тогда для каждого х € X при Р-почти всех w меры ut,x>w слабо сходятся к ¡1 при t —> оо.

В третьем разделе исследуется вопрос о сходимости средних Ftf(x) в LP(ij), а так же рассматриваются некоторые применения результатов, полученных в предидущих разделах. В частности, речь идет об аналоге эргодической теоремы Винера-Винтнера. В отличие от предыдущих результатов, в ряде утверждений этого раздела наложено условие слабого перемешивания полугруппы. Приведем точные формулировки.

Теорема 10. Пусть {7t}t>o — слабо перемешивающая полугруппа преобразований пространства X, причем соответствующая ей операторная полугруппа Ut сильно непрерывна, a v — произвольная вероятностная мера на [0, +оо), имеющая преобразование Фурье и. Если u(t) —> 0 при t —► +оо; то для всякой функции / <Е ZZ'(A) при р £ [1, +оо) выполнено равенство

II Г+ОО /■

\ f{Ttsx)u(ds)- f(x)n(dx) I Jo Jx

~ 0.

IS(ll)

В работах Винера и Винтнера5,6 был получен результат, обобщающий эргодическую теорему Биркгофа-Хинчина, согласно которому для всякой эргодической полугруппы 7} и интегрируемой функции / 6 Ь1{р) найдется множество А £ X с /¿(Л) = 1 такое, что при х £ А и А £ [0, 27г) существует предел средних

при Т —* + со, причем если полугруппа 7} является слабо перемешивающей и А Ф 0, то этот предел равен 0. В работе рассмотрены неравномерные средние

Л+ОО

Я.А = / еш7(ЗД «/(&), Н

для которых оказывается справедливым следующее утверждение о поточечной сходимости средних ^д.

Предложение 1. Пусть Тг — слабо перемешивающая полугруппа. Тогда для всякой функции / € №{р) и всякой вероятностной плотности д 6 Ь9(Х) с ограниченным носителем на [0,+оо), где р~г + д"1 = 1 и р, д € [1, +оо], найдется такое множество А € X, что ц{А) = 1 и для всех х Е А и А 6 (0,2п) выполнено равенство

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Богачеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

[1] Богачев В.И., Королев A.B. Об эргодической теореме в форме Козлова-Трещева. Доклады РАН. 2007. Т. 412, N 3. С. 295-301.

В работе [1] диссертанту принадлежат теорема 1, теорема 2, предложение 1, примеры 1, 3; В.И. Богачеву принадлежат общая постановка задач, теорема 3, пример 2.

[2] Богачев В.И., Королев A.B., Пилипенко А.Ю. Неравномерные усреднения в эргодической теореме для стохастических потоков. Доклады РАН. 2010. Т. 432, N 4. С. 439-442.

В работе [2] диссертанту принадлежат теоремы 2, 3, 4, следствия 1, 2; В.И. Богачеву принадлежит общая постановка задач; А.Ю. Пилипенко принадлежит теорема 1.

[3] Королев A.B. Об эргодической теореме в форме Козлова-Трещева для полугруппы операторов. Украинский математический журнал. 2010. Т. 62, N 5. С. 702-707.

[4] Korolev A.V. Non uniform averages in ergodic theorems. Abstracts of the International Conference "Stochastic analysis and random dynamics", 14-20 June, 2009, Lviv, Ukraine, pp. 121-122.

[5] Королев A.B. О сходимости неравномерных эргодических средних. Мат. Заметки. 2010. Т. 87, N 6, С. 945-948.

lim / eiMsf(Ttsx)e(s) ds = 0.

Работы автора по теме диссертации

Подписано в печать /^,¿75! ЗОЮ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Iо Тираж {2й экз. Заказ 23

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Королев, Александр Владимирович

Введение.

ГЛАВА 1. Усреднения в форме Козлова-Трещева.

1.1. Примеры.

1.2. Слабая сходимость мер

1.3. Сходимость для функций из пространства Орлича и из

ГЛАВА 2. Усреднения для операторных полугрупп и стохастических уравнений.

2.1. Неравномерные усреднения для операторных полугрупп

2.2. Неравномерные усреднения для стохастических потоков

2.3. Сходимость в If и теорема Винера-Винтнера.

Введение диссертация по математике, на тему "Неравномерные усреднения в эргодической теореме"

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Центральное место в эргодической теории занимает хорошо известная теорема Биркгофа-Хиичина, которая состоит в следующем. Для всякой интегрируемой функции / на измеримом пространстве X с конечной мерой, инвариантной относительно полугруппы Tt измеримых преобразований X, существует конечный предел средних при Т —> +оо для почти всех х 6 X. Индивидуальная эргодичсская теорема была установлена Г. Биркгофом1 в 1931 году для более специального случая динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений па гладких многообразиях. Аналогичное утверждение, сформулированное в терминах унитарных операторов, сопряженных с динамической системой, было получено Дж. Нейманом2. В отличие от теоремы Г. Бирхгофа, в эргодической теореме Дж. Неймана речь идет о сходимости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости почти всюду.

В 2003 году В.В. Козловым и Д.В. Трещевым была представлена новая форма эргодических теорем Г. Биркгофа и Дж. Неймана (см. работы3'4). Ими было установлено, что для всякой вероятностной меры v на [0, +оо) с плотностью относительно меры Лебега и всякой ограниченной измеримой функции / на измеримом пространстве X средние

1Birkhoff G.D. Proof of the enjodic theorem. Pioc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1931. V. 17, N. 12. P. G5G-GG0.

Neumann J.V. Proof of the quasi-ergodic hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sci. 1932. V. 18, N. 1. P. 70-82. ^Kozlov V.V., Treschev D.V. On new forms of the crgodic theorem. J. Dynam. Contiol Syst. 2003. V. 9, N 3. P. 449-453.

Козлов В.В., Трещев Д.В. Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамилътоновых систем. Теор. и матем. физ. 2003. Т. 136, N 3. С. 49G-50G. при Т —> +оо сходятся к тому же пределу, что и средние из теоремы Бирхгофа-Хинчина. В первой главе диссертации продолжено изучение этого вида усреднений. Здесь выяснено, что для неограниченных функций / это утверждение теряет силу, однако при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и плотности меры и имеются положительные результаты. Также здесь введены некоторые новые объекты, связанные с указанными усреднениями, приводящие к вопросу о слабой сходимости мер на фазовом пространстве.

Среди различных обобщений индивидуальной эргодической теоремы следует особо выделить классический результат Н. Винера и А. Винтне-ра (см. работы0'6 и монографию И. Ассани7). С середины прошлого века возникло целое направление развития весовых эргодических теорем, современное изложение этих результатов дано в монографиях У. Кренгеля8 и К. Петерсена9 (см., также работу А. Белов и В. Лозерт10).

Рассматривая эргодическую теорему в новой форме, предложенной В.В. Козловым и Д.В. Трещевым, следует упомянуть о другого рода

Wiener N., Wintrier A. On the ergodic dynamics of almost periodic systems. Amer. J. Math. 1941. V. G3. P. 794-824.

Wiener N., YVintner A. Harmonic analysis and ergodic theory. J. Math. Phys. 1939. V. G3. P. 415-426.

Assani I. Wiener Wintner ergodic theorems. World Scientific, Singapoie, 2003.

Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin, 1985.

Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1983. l^Below A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the Individual ergodic theorem along subsequences. Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 288, N 1. P. 307-345.

Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ. 195G

1 9

Скороход А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Наукова Думка, Киев, 1987

Kunita II. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge University Press, 1990. обобщениях, полученных сравнительно недавно. Речь идет о проблеме унификации мартингальных и эргодических средних. Задача изучения их общего поведения ставилась и обсуждалась в работе С. Какутани14 и упомянутой выше монографии Дж. Дуба. С тех пор было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, однако в 1998 году А.Г. Качуровским10 была предложена дискретная мартингально-эргоди-ческая теорема, содержащая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, дающая унифицирующую структуру и унифицированную формулировку теорем сходимости мартингалов и эргодических средних. Аналог этой теоремы для непрерывного случая рассмотрен в работе16.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана поточечная эргодическая теорема в форме Козлова-Трещева с вероятностной плотностью q для неограниченных функций / при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и д. Построен пример, показывающий, что отказаться от дополнительных условий нельзя.

14Kakutani S. Ergodic theory. Proc. Int. Congr. of Math. 1950. V. 2. P. 128-142

Качуровский А.Г. Мартингалъно-эргодическая теорема. Мат. заметки, 1998. V. G4, N. 2. С. 311-314

Подвигин И.В. Мартингально-эргодические и эргодико-мартингалыше процессы с непрерывным временем. Матем. сб., 2009. V. 200, N. 5 С. 55-70

3. Доказано обобщение теоремы Козлова-Трещева для усреднений с операторной полугруппой и получена максимальная оценка для неравномерных средних в LP. Установлена поточечная теорема сходимости эр-годических средних в форме Козлова-Трещева и слабая сходимость связанных с ними семейств мер для случая диффузионных процессов. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, эргодической теории, элементы теории стохастических процессов, а также некоторые оригинальные конструкции.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Бо-гачева, Н.А. Толмачева и С.В.Шапошникова (2004-2009 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в университете города Билефельда (Германия, 2005-2008 гг.), на семинаре в университете города Лулео (Швеция, 2010 г.) и на международной конференции „Стохастический анализ и случайные динамические системы", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Н. Боголюбова (Львов, Украина, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора (две из них в соавторстве), из них 4 в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [32]- [34] из перечня ВАК; сообщения сделаны в работах [35], [36]. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих б параграфов, и списка литературы из 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.