Эргодические теоремы и усиление зоны больших чисел на перемешивающихся однородных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ I. Статистические и индивидуальные эр-годические теоремы и усиленные законы больших чисел

§ 2. Краткое содержание работы

§ 3. Предварительные сведения

ГЛАВА I. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ НА ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ I. Afcr-пространства

§ 2. Примеры /Сг-пространств^

§ 3. Об усреднении одного класса векторнозначных функций

§ Эргодические свойства Mix-пространств

ГЛАВА II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И ЯДЕР ОДНОРОДНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА I И ПРОСТРАНСТВЕ ЕВКЛИДА

§ I. Асимптотическое поведение зональных сферических функций

§ 2. Асимптотические свойства ядер пространств ранга I

§ 3. О скорости убывания корреляционных функций случайных полей на пространстве Евклида и некомпактных неприводимых римановых симметрических пространствах ранга I

ГЛАВА III. КРИТЕРИИ УСИЛЕННОГО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ

ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА Г

§ I. Специальное представление средних однородного поля

§ 2. Критерии усиленного закона больших чисел

§ 3. Критерии локального усиленного зако

§ I. Статистические и индивидуальные эргодические теоремы и усиленные законы больших чисел

Основным объектом изучения данной работы является класс однородных в широком смысле случайных полей на локально компактных однородных пространствах.

Пусть (Q, Р) - вероятностное пространство, с^ Р) гильбертово пространство всех комплекснозначных Р -измеримых случайных величин fiiw), с Е (l^l2) < 00;

Х- локально компактное однородное пространство, В~ ^-алгебра борелевских множеств из Ху ^J^n,* N] - сеть (обобщенных) мер jjL^ , определенных на В, N - направленное множество; хеХу " однородное в широком смысле случайное поле.

Сеть обобщенных мер fjU^, /ге/Vj называется статистически усредняющей, если для любого однородного в широком смысле случайного поля £(') на X имеет место следующее равенство:

U f Z(x)llAcLx) = I,

2 tveN Jx ™ ' л где £ - инвариантная относительно сдвигов поля £(') случайА ная величина (точное определение £ дано в пЛ § 3 Введения). С каждой обобщенной мерой ju на В и каждым множеством А е В » для которого О <| можно связать меру

При этом для любого f(') на Xj))A^(dx) ^jjjj) f^U)jx(oLx). Сеть x)jx(otx). Сеть измеримых

X J A множеств {A^^fl, £ N) называется статистически усредняющей, если О < \jjl (А^) I < 00 и сеть мер { ^ , /г € N } является статистически усредняющей. Статистическими эргодичес-кими теоремами обычно называют предложения, устанавливающие условия, при которых сеть мер , п, е N] или, как частный случай, сеть множеств {Ап , п € N] является статистически усредняющей.

Сходимость случайных величин вида f £(х)fi^dx) естественно рассматривать не только в смысле сходимости в L2 , но и с вероятностью I. Пусть Q - некоторый класс однородных в широком смысле случайных полей £(') на X . Будем говорить, что сеть мер {jl^ !ъ £ N} индивидуально усредняет класс (или, короче, является Q- индивидуально усредняющей), если для любого поля £(') из Q с вероятностью Г существует предел ш

Cim, f £ (х) // (dx) = t. rveN Jx T th Сеть измеримых множеств {А 5 /г е N} называется Q-индивидуально усредняющей (относительно меры jm ), если О < и сеть мер jL0,ri£ N) является индивидуально усредняющей. Предположения, устанавливающие условия, при которых сеть мер {JL^ , П, е N} или сеть множеств {Ал, neN} является индивидуально усредняющей, обычно называют индивидуальными эргодическими теоремами (для класса Q ). С индивидуальной эргодической теоремой тесно связан усиленный закон больших чисел. Если для любого входящего в класс Q случайного поля сделано некоторое предположение о "слабой зависимости" его значений (такое условие может быть, например, выражено в терминах скорости стремления к нулю корреляционной функции ft,it) этого поля при t —> 00 или поведения его спектра в нуле), то индивидуальную эргодическуга теорему для та' кого класса обычно называют усиленным законом больших чисел. (При этом из указанных условий "слабой зависимости" вытекает,

Наряду с рассмотренными выше "глобальными" индивидуальной и статистической эргодическими теоремами рассматриваются "локальная" статистическая эргодическая теорема, то есть и "локальная" индивидуальная эргодическая теорема: с вероятностью I существует предел

В отличии от "глобального" усиленного закона больших чисел для "локального" усиленного закона больших чисел условия "слабой зависимости" заменяются условиями на поведение корреляционной функции поля в нуле или его спектра на бесконечности.

Основополагающими работами в области (глобальных) статистических и индивидуальных эргодических теорем явились работы Неймана [52], Биркгофа [36] и Хинчина [42] . Теорема, доказанкак правило, равенство f = £ £ п.н.)

L0) &лг / ип (doc) = f (jcn), г /ie/V v ^ J К и 7 ная Нейманом, утверждает по существу, что сеть промежутков является статистически усредняющей на Z (относительно считающей меры) и на ^ (относительно меры Лебега); теорема Биркгофа - Хинчина утверждает, что для класса стационарных в узком смысле процессов (с Е\ £(0)\ < 00 ) сеть множеств {(~Г, Т)} при Г—>оо является индивидуально усредняющей на Z и J? . Первое обобщение указанных теорем для других однородных пространств было дано Винером [58] и Данфордом Г44] , которые показали, что сеть концентрических шаров {Л#} ( радиус) в евклидовом пространстве Я/1^является статистически и индивидуально (для однородных в узком смысле случайных полей) усредняющей при Ji 00 . Питт

53] обобщил этот результат, доказав, что усреднение возможно не только по сетям концентрических шаров, но и по более широкому классу "регулярных" сетей множеств. Дальнейшее обобщение статистических и индивидуальных эргодических теорем принадлежит Кальдерону Г4Я , который на некотором классе аменабельных унимодулярных локально компактных групп нашел статистически и индивидуально усредняющие семейства множеств (относительно инвариантной меры). В последующих работах эргодические теоремы были распространены на общие аменабельные группы, причем были найдены весьма широкие классы усредняющих сетей мер и множеств. В этих обобщениях фигурируют "эргодические" сети мер и множеств, существующие на аменабельных группах и только на них. Наиболее просто, например, определяются эргодические последовательности множеств для локально компактной группы £ : последовательность измеримых множеств {/)} на ^ и называется эргодической, если О < J^iA^ < °о? /г= /929 .,и а* -О■

Темпельман [22], [23] доказал, что на аменабельной локально компактной группе последовательность множеств {Ап} удовлетворяющая (I), является статистически усредняющей; в работах Темпельмана [24], [25] и Эмерсона [45] доказано, что при дополнительных условиях:

S) jilA^Aa)t Cjm{AJ, п'1,2,-, Сконстанта

Ад} является и индивидуально усредняющей. Некоторые другие обобщения индивидуальной и статистической эргодических теорем рассмотрены в работах Аккоглу и Кренгель [33], [34J , Гаронас Гаронас и Темпельман 111].

Классические усиленные законы больших чисел распространены на некоторые классы стационарных в широком смысле процессов в работах Хинчина

46] , Блан-Лапьера и Брара [3£] Блан-Лапьера и Тортра [38] Вербицкой [5} и некоторые классы однородных в широком смысле случайных полей на ЯГ1 в работах Гапошкина [6J, и Юринского

32].

Индивидуальная локальная эргодическая теорема для стационарных в узком смысле случайных процессов с Е\£, (6)1 < была доказана Винером [58]}ее обобщения получены в работах Данфорда и Шварца [15], Кренгеля Г4£],Кубокавы [50],[51], Сато [541, ^Террела [5Л. Аккоглу и Кренгель [33]у [34] доказали аналогичную теорему для однородных в узком смысле супераддитивных случайных функций множеств на Я , Бокле [391, [40] для однородных в узком смысле случайных полей на общих группах, Гаронас и Темпельман Г/ZJ для однородных в узком смысле случайных мер на группах. В.Ф.Гапошкин [9J доказал локальный усиленный закон больших чисел для однородных в широком смысле случайных полей в

Ят

Настоящая работа посвящена распространению эргодических теорем и законов больших чисел на широкий класс "перемешивающих" пространств, которые включают в себя важные неаменабельные однородные пространства и группы.

1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. - М.: ИЛ, 1965.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Типе pre ометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965.Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. М.: ИЛ, 1950.

4. Вербицкая И.Н. Об условиях применимости усиленного закона больших чисел к стационарным в широком смысле процессам. -Теория вероят. и ее примен., 1966, т.II, с.715-719.

5. Гапошкин В.Ф. Критерии усиленного закона больших чисел для классов стационарных процессов и однородных случайных полей.- ДАН СССР, 1975, т.223, 0.1044-1047.

6. Гапошкин В.Ф. Критерии усиленного закона больших чисел для классов стационарных процессов и однородных случайных полей.- Теория вероят. и ее примен., 1977, т.22, с.295-319.

7. Гапошкин В.Ф. Одна теорема о сходимости почти всюду последовательности измеримых функций и ее применения к последовательности стохастических интегралов. Матем.сб., 1977, т.104, с.3-21.

8. Гапошкин В.Ф, Локальная эргодическая теорема для групп унитарных операторов и стационарных процессов второго порядка. Матем.сб., 1980, т.III, с.249-265.

9. Гаронас Э.А. Эргодическая теорема для однородных в широком смысле случайных мер. Лит.матем.сб., 1984, т.24, N°. I, с. 35-43.

10. Гаронас Э.А., Темпельман А.А. Эргодические теоремы для однородных случайных мер на группах. Лит.матем.сб., 1984, т.24, № I, с.19-34.

11. Гельфанд И.М. Сферические функции римановых симметрических пространств. ДАН СССР, 1950, т.70, с.5-8.

12. Гихман И.!., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

13. Гринлиф Ф. Инвариантное среднее на топологических группах. М.: Мир, 1973.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962, т.1.

15. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

16. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.

17. Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения. М.: Наука, 1979, Труды Матем.института им.В.А.Стеклова, т.144.

18. Савичев А.О. Об усиленном законе больших чисел для однородных в широком смысле случайных полей на пространстве Лобачевского. Применение теории вероятностей и математической статистики, Вильнюс, 1983, вып.5, с.161-163.

19. Савичев А.О., Темпельман А.А. Эргодические теоремы на' перемешивающих однородных пространствах. Лит.матем.сб., 1984,т.24, № 4, с.167-175.

20. Савичев А.О. Критерии усиленных законов больших чисел для однородных в широком смысле случайных полей. Статистические проблемы управления, Вильнюс, 1985 (в печати).

21. Темпельман А.А. Некоторые вопросы эргодической теории однородных случайных полей. Канд.дисс., Вильнюс, I96X.

22. Темпельман А.А. Эргодическая теория для однородных в широком смысле случайных полей. ДАН СССР, 1962, т.144, с.730-733.

23. Темпельман А.А. Эргодические теоремы для общих динамических систем. ДАН СССР, 1967, т.176, с.790-793.

24. Темпельман А.А. Эргодические теоремы для общих динамических систем. Труды Московского матем.общества, 1972, т.26, с. 95-132.

25. Темпельман А.А. Сходимость и состоятельность регрессионных оценок. Докт.дисс., Вильнюс, 1975.

26. Темпельман А.А. Эргодические и перемешивающие однородные пространства. ДАН СССР, 1983, т.269, с.1045-1049.

27. Темпельман А.А. Эргодические теоремы на группах. Вильнюс: Мокслас (в печати).

28. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. -М.: Физматгиз, 1963, т.2.

29. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

30. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972, т.1.

31. Юринский В.В. Об усиленном законе больших чисел для однородных случайных полей. Матем.заметки, 1974, т.16, с.141-149.33» Akcoglu M.A., Krengel U. Ergodic theorems for superadditi-ve processes. G.R.Math.Acad., Soc.R.Can., 1979» v.2, p. 175-179.4

32. Akcoglu M.A., Krengel U. Ergodic theorems for superadditi-ve processes. J.Reine Angew.Math., 1981, v.323, p.53-67•

33. Bagget Ь., Taylor K. Riemann Lebesgue subsets of 3C and representations which vanish in infinity. - J.Funct.Analysis, 197S, v.28, p.168-181.

34. Birkhoff G.D. Proof of the ergodic theorem. Proc.Nat. Acad.Sci.USA, 1931, v.17, p.656-660.

35. Blanc-Lapierre A., Brard R. La loi forte des grandes nomb-res pour les fronctions aleatoires stationaires continues. O.R.Acad.Sci.Paris, 1945, v.220, p.134-136.

36. Blanc-Lapierre A., Tortrat A. Sur la loi forte des grandes nombres. C.R.Acad.Sci.Paris, 1968, V.267A, p.740-743.

37. Bocle J. Sur 1*existence d*une mesure invariante par un groupe de transformations. C.R.Acad.Sci.Paris, 1958, v. 247, p.798-800.

38. Bocle J. Theoremes de derivation globale dans les groupes topologiques localement compacts. C.R.Acad.Sci.Paris, 1959, v .248, p.2063-2065.

39. Oalderon A.P. A general ergodic theorem. Ann.of Math., 1953, v.58, I, p.182-191.

40. Chintschin A. Zu Birkhoffs LBsung des Ergodenproblems. -Math.Ann., 1932, v.107, p.485-488.

41. Day M.M. Amenable semigroups. 111 J.Math., 1957» v.l, p.509-544.

42. Dunford Ж. A mean ergodic theorem. Duke Math.J., 1939» v.5, p.635-64-6.

43. Emerson W.R. The pointwise ergodic theorem for amenable groups. Amer .J .Math., 1974, v .96, No 3, P.472-478.

44. Howe R.E., Moore C.C. Asymptotic properties of unitary representations. J.Funct.Analysis, 1979, v.32, Ho 1, p.72-96.

45. Iwanik A. Weak convergence and weighted averages for groups of operators. Collog.Math., 1979, v.42, p.241

46. Khintchine A. Sur la loi forte des grandes nombers. C. R.Acad.Sci.Paris, 1928, v.186, p.285-287.

47. Krengel TJ. A local ergodic theorem. Invent.math., 1969, v.6, p.329-333.

48. Kubokawa Y. Ergodic theorems for contraction semi-groups.J.Math.Soc.Japan, 1975, v.27, p.184-193.. ■ <

49. Kubokawa Y. A general ergodic theorem. Proc.Japan Acad. Sci., 1972, v.48, p.461-465.

50. Neumann J. Proof of the quasi-ergodic hypothesis. Proc. Nat.Acad.Sci.USA, 1932, v.18, p.70-82.

51. Pitt H.R. Some generalizations of the ergodic theorem.1 ■Proc.Cambr.Phil.Soc., 1942, v.38, p.325-343

52. Takahashi R. Fonctions de Jacobi et representations des groupes de Lie. beet .Notes Math., 1975, v.497, p.701-710.

53. Terrell Т.Н. Local ergodic theorems for -parameter semigroups of operators. Lect.Notes Math., 1970, v.160, p.53-63.

54. Wiener N. The ergodic theorem. Duke Math .J., 1939, v.5, p.635-64*6.

55. Yaglom A.M. Second-order homogeneous random fields. Proc. 4th Berkeley Symp.Math.Stat.and Probab., I960, v.2, p.593-622, Berkeley-Los Angeles, 1961.

56. Zimmer R.J. Orbit spaces of unitary representations, ergodic theory, and simple Lie groups. Ann.Math., 1977, v. 106, p.573-588.