Кратное перемешивание и аппроксимации джойнингов динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. гб о;;

1 5 НОЛ 1393

московский государственный университет

имени. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.9

РЫЖИКОВ ВАЛЕРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

КРАТНОЕ ПЕРЕМЕШИВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИИ ДЖОПНИНГОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Степин. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.И.Оселедец

доктор физико-математических наук Е.А.Сатаев

Ведущая организация - Московский авиационный институт

Защита диссертации состоится " " 1993 г.

в 16 час. 05 мин на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу : 119899,ГСП,Москва.Ленинские горы, МГУ, механико математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан »5 1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.04 при МГУ

доктор физико-математических наук Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность теин. Один из общих вопросов теории действий с инвариантной мерой - это вопрос об изоморфизме, иначе проблема метрической классификации динамических систем. Такие классические инварианты изоморфизма как спектр и энтропия доставляют примеры неизоморфных систем.1' Аппроксимационные методы в конструировании систем с сингулярным спектром (и нулевой энтропии) также показали многообразие различных действий с инвариантной мерой в этом классе*'

Плодотворным оказался в указанном аспекте подход, связанный с понятием джойнинга и минимального самоприсоединения ( minimal self-Joinings ) сохраняющих меру преобразований. Пример преобразования с минимальным самоприсоединением предложен в 1979 г. Д.Рудольфом.3' Это преобразование не сопряжено своему обратному, обладает тривиальным централизатором и тривиальной структурой факторов. При использовании его как элемента конструкции строятся примеры автоморфизмов пространства Лебега с необычными свойствами.

Дкойнинги динамических систем связаны также и с различными статистическими свойствами систем и, в частности, со свойством кратного перемешивания - это дает возможность для широких классов действий исследовать проблему В.А.Рохлина о кратном перемешивании методами теории джойнингов.

1) И.П.Корфельд.Я.Г.Синай,С.В.Фомин. Эргодическая теория. МП980.

2) А.В.Каток, A.M.Стенин. Аппроксимации в эргодической теории// УШ(19б7),т.12,вып.5,с.81-106.

3) D.Rudolph. An example of measure-preserving map with minimal self-Joinings, and applications. J.d'Analyse Math.(1979),V.35,

P.97-122.

Если перемешивающее пребразование Т вероятностного простран Лебега удовлетворяет условию: ^хрхр - единственная Т*Т*Т-

инвариантная мера на кубе ХхХ*Х, имееющая стандартные (совпадают с м*м) проекции на грани куба ХхХхХ ( такие инвариантные меры называются джойнингами ), то преобразование Т обладает свойством перемешивания кратности 2:

и(А{\ГВ{\Г*"С) -» ц(А) и(В) и(С), тп,п -Основным объектом изучения в проблеме Рохлина являются дейс с нулевой энтропией. Примерами классических динамических систем I нулевой энтропией являются потоки орициклов Я.Г.Синаем в 196; была высказана гипотеза о том, что они обладают свойством крат] перемешивания. Эта гипотеза доказна Б.Маркусом 3>. Техника джо] нингов, удобная в изучении свойства кратного перемешивания поток» на однородных пространствах, дает возможность дать новое доказан ство гипотезы Синая и обощить теорему Маркуса.

Цель работы. Исследование даойнингов и свойства ратного перемешивания действий с циклической аппроксимацией и многомерш потоков с условием изоморфизма входящих в него действий дискретш груш.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми I. Доказано, что п-параметрический перемешивающий поток удовлетворяющий условию сопряженности его дискретных подгрупп ранга п, обладает кратным перемешиванием всех порядков.

4) Гуревич Б.М. Энтропия потока орициклов. Докл.АН СССР(1961), 136, №4, С.768-770.

5) Marcus В., The horocycle now Is mixing ol all degrees. Inv.Math.(1978), V.46, P.201-209.

2. Для перемешивающих автоморфизмов с циклической аппроксимацией установлено свойство кратного перемешивания и свойство минимального самоприсоединения всех порядков. Этот результат обобщает теорему Каликова о двукратном перемешивании действий с циклической аппроксимацией ( их также называют действиями ранга I).

3. Упомянутые результаты получены новыми методами, также в диссертации даны новые доказательства теоремы Дж.Кинга о виде централизатора преобразования ранга I 7> и теоремы об оценке локального ранга преобразования, имеющего корень!'

Метода исследования. В диссертации используется аппроксимаци-онный подход в изучении джойнингов сохраняющих меру действий и общие методы метрической теории динамических систем.

Практическая в теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в эргодической теории.

Аппробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах по эргодической теории и динамическим системам, работающих на механико-математическом факультете МГУ под руководством Д.В.Аносова и А.М.Степина; Б.М.Гуревича и В.И.Оселедца; Я.Г.Синая, а также на конференции ( МГУ, 1992 г.).

Публикации. Основные результаты опубликовании в 3-х работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и шести параграфов, объем диссертации GO страниц.

6) Kalikov S.A. Twofold mixing Implies threefold mixing for rank one transformations// Ergod. Th.& Dynam. Sys.,1984,V.4,P.237-259.

7) King J., The commutant is the weak closure of the powers,

for the rank-1 transformation //Ergod. Th.& Dynam. Sys. (1986), V.6, P.363-384.

8) King J., Joinings-rank and the structure of finit rank mixing transformation// J.d'Analyse Math. (1988), V.51, P.182-227.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан краткий обзор исследований по теме диссерта! сформулированы основные результаты о кратном перемешивании иссле; емых действий и изложен план диссертации.

В 51 даются определения джойнингов, показана их связь с дру1 ми инвариантами динамических систем (структурой факторов действш его статистическими свойствами). Приведем необходимые определен Предполагется, что фазовое пространство X является компака р(Х) = I, алгебра в борелевских подмножеств X инвариантна относ» тельно рассматриваемого действия.

Пусть Т1, Гр,..., г - некоторые обратимые сохраняющие меру преобразования борелевского пространства ("Х.в.аО.

Джойнингои набора динамических систем 1=1.....п,

называется борелевская мера г> на декартовом произведении фазовых пространств (х(п1\в(п))= П^СХ{,в{;, удовлетворящая следующим

условиям: 1. для кавдого I проекции п^ меры V на СХ{

совпадает с^ , 2. мера V инвариантна относительно декартова произведения Т1 х т2.х...хтп . Самоприсоединением ( ае1^о1Штщ ) порядка п преобразования Т называют джойнинг п экземпляров - в дальнейшем будем

говорить для краткости , джойнинг где декарт

степень преобразования Г.

Будем писать «= Щт,п),1 < т < п, если мера V на удовлетворяет условию :для любого набора множеств А^ Д^,... .А^ ш среди которых не более, чем т множеств отличны от X , выполняете

равенство »( А^ к2 х.-.А^ = П^ ^(А^

А -

( т.е. проекции меры к на т-мерные грани куба стандартны ).

Таким образом, джойнинг Т^ - это Г^-инвариантная мера класса Щ1,п).

Мера а на Х^ называется диагональной .если для любых множеств А^.Ар е в выполняется равенство а(А1хА2)=^(А1(]А2).

Определение классов М5У(тг), тг >1. Преобразование Т обладает минимальным самоприсоединением порядка 2, если эргодический

джойнинг х. второго порядка есть мера или сдвиг диагональной меры

Ш, Пр

(т 'хТ £г)д. Класс таких преобразований обозначается

При п > 2 пишем Т е ЫSJ(n), если Т е ЫЫ(2) и единственный эргодический джойнинг принадлежащий классу Щп-1,п) .

Будем писать Т е 1В(т,п) , I < т < п , если ^п^ - единственный (эргодический) джойнинг Т^ класса М(т,п).

В работе используется понятие сходимости борелевских мер. Предполагаем без ограничивая общности, что X = [0,1]. Говорим, что последовательность мер на (Х^е^; сходится к мере к и пишем V , подразумевая слабую сходимость:

V С(Х(п)) / / X / & , (1) где ССХ^Ъ - пространство непрерывных функций на

Если е м(1,п) , то сходимость (1) эквивалентна сходимости на

декартовых произведениях :

V А = • (»¿(А) ■* »СА)) .

В 52 устанавливается свойство кратного перемешивания для сохраняющих меру действий групп кп на пространстве Лебега, удовлетворяющих условию изоморфизма г"--действий, входящих в поток.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть (Т^), 1ск" - п-параметрический поток к пространстве Лебега ( X, в, ц ), сохраняющий меру р . Пусть

Р = ( ё], е2.....ёп } - некоторый базис в геп, где т - мера Лес

на и выполнены условия:

а) существует множество I) с геп , т(В) > 0 , и семейстЕ автоморфизмов Г <р- I г е в }, для которых при р имеет место равенство

^ ТТ ъ1 = ти где тТ обозначает вектор (т^ , т212____«тпгп

б) { Т^ } - слабо перемешивающий поток ,

тогда поток ( Т^ } обладает перемешиванием любой кратности.

Таким образом, получено следуещее обобщение теоремы Маркуса:

если для одномерного потока {Т^} при t>0 автоморфизм Т± метричесн

изоморфен Т^ , то поток (Т^} обладает перемешиванием всех порядке

Примеры п-параметрических потоков, удовлетворяющих условиям

теоремы, строятся следующим образом.

Пусть группа б = действует правыми сдвигами на X

множестве левых смежных классов по некоторой дискретной подгруппе такой, что мера Хаара на б индуцирует на X конечную меру и . В качестве г можно взять группу целочисленных матриц с определителе равным I. Обозначим через Н подгруппу С, образованную матрицами в

• 1 ' ■г1 О ■ 1 ! г2 о

. п

1 О

• О 1

( на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах кроме (п+1)-го столбца - нули ).

Действие Н левыми сдвигами на X является п-параметрическим потоком, удовлетворяющим условиям теоремы.

В {3 доказываются две леммы о сходимости последовательностей "почти инвариантных" мер к эргодической мере, которые будут использованы в изучении джойнингов действий с циклической аппроксимацией. Выражения вида ь> = ст +... означают V = ст +(1-с)т', где т -положительная нормированная мера.

ЛЕММА 3.1. Пусть Т - некоторое борелевское преобразование (Х,\в), V - Г-инвариантная эргодическая мера и задана последовательность множеств Су, для которых выполнены условия :

1. »(СуЬТС^ ■* О, / -» оо (почти инвариантность),

2. »(Ср = с с > О, J со .

Пусть последовательность мер Vj определена равенством

»/у; = »<тп ср.

Тогда последовательность VJ сходится к а>.

Следующая лемма является усилением предыдущей, а ее неформальное содержание следуещее: если последовательность сумм почти инвариантных мер сходится к эгодической мере, то можно выбрать последовательность ( из элементов сумм ), также сходящуюся к эргодической мере.

ЛЕША 3.2. Пусть г- счетное множество; последовательность

чисел (а{), (ег, а > О, удовлетворяет условию 1 ,

Е а) -*■ 1, J -> «>

¿еш, 1е г} - множество мер на X, таких, что для каждого с >0 и любого борелевского множества для всех £ег при достаточно больших . выполняется

I \{(ТА)-\{(А)1 < * .

Если >•»= Е а-! х-! сходится к эргодической Г-инвариантной мере и, J 11

то найдется последовательность мер , сходящаяся к мере V .

В §4 доказывается►лемма о "крыше" над аппроксимирующей башней Рохлина-Халмоша для перемешивающего преобразования ранга I. "Крыша' ( проще говоря, дополнение к башне ) определяет характер возвращения основания башни в себя. Свойство перемешивания требует, чтобы возвращение происходило "постепенно". Перейдем к формальным определениям.

Пусть некоторой последовательности натуральных чисел hj -» <*> соответствует последовательность разбиений :

hJ

= I f.....,¥}, EJ= X \ U^ Ek ,

таких, что TlH¿Q и стремится к разбиению на точки с):

v^eíb vs>0 э/ vj>/ assf 0,...,h>} v(A M U < «

/ leS 1

тогда ( по определению ) преобразование Т имеет ранг I (Те Rank 1, Кратко говорят так: преобразование Г имеет ранг I, если найдется последовательность башен, стремящаяся к разбиению на точки.

Для fE^J - последовательности оснований башен преобразования ' ранга I определим последовательность чисел aj= t>0.

ЛОМА Если преобразование Т обладает перемешиванием , то

max Сal} '■* О , J-* <». I 1

Эта лемма применяется в §6 в доказательстве одного из основных результатов диссертации ( теорема 6 ).

В §5 показано, как джойнинг íK2^ можно аппроксимировать частя» сдвигов диагональной меры в случае, если преобразование Г принадлежит Bank 1.

Обозначим через Llm(2,A,T) замыкание множества мер {"д{J, t<=z, где д{ = (Т1 х ld)A , а - диагональная мера на

■Ь -

ТЕОРЕМА 5.1. Если v - эргодический джойникг Т^ и преобразование Г s Rank 1, то для некоторой меры \ е Ыт(2,ь,Т), выполняется х = а \> + ... > а > i/2 . Поскольку для любого перемешивающего Г выполняется: ( если х е Llm(2,A,T), то х = Ат или = mx/j ), перемешивающие преобразования ранга I принадлежат классу MSJ(2).

В §5 также даны новые доказательства двух теорем, принадлежащих Дк.Кингу .

ТЕОРЕМА 5.2. . Пусть v = д<, - сдвиг диагональной меры Д на Х^под действием SxlcL, причем S коммутирует с преобразованием Те Rank 1, тогда

V е Llm(2,&,T),

nt

т.е. Т -» S для некоторой последовательности тг^ ■* ® .

Если для преобразования Т найдется последовательность разбиений, стремящаяся к разбиению на точки, а разбиение содержит башню

Рохлина-Халмоша , такую, что ее мера равна Р,(ХР<1,

то говорим, что преобразование Т имеет локальный ранг р.

Для перемешивающих преобразований имеется связь между локальным рангом и существованием корня у преобразования.

ТЕОРЕМА 5.3. Если перемешивающее преобразование Г имеет корень р-той степени , р > 1, то локальный ранг Т не больше, чем р .

Таким образом, если локальный ранг перемешивающего преобразования Т больше, чем 1/2, то преобразование Т не имеет корней. Впервые пример такого преобразования ( ранга I ) привел Д.Орнстейн?'

9) Ornsteln D. On the root problem In ergodic theory. Proc. Sixth. Berkley Symp. Math. Stat. Prob.II, 1967, P.347-356.

В §6 доказана

ТЕОРЕМА 6. Перемешивающие преобразования ранга 1 обладают кратш перемешиванием и минимальный самоприсоединением всех порядков.

Обозначение. Пишем 1>«= М(п-1,п), если мера г> на кубе обладает стандартными проекциями на (п-1^-мерные грани куба размерности п.

Известно, что перемешивающие преобразования ранга 1 обладают минимальным самоприсоединением поряда 2. Поэтому для доказательст! теоремы 6 достаточно установить ( используя индукцию по п ), что джойнинг Т^ класса Ы(п-1,п) единственный, т.е. совпадает с меро!

Доказательство теоремы 6 разбито на две части и использует следуещее понятие распределения меры г>.

Определение Ы(г> ). Пусть г> - борелевская мера на Х^= Кх и фиксирована (к j} - последовательность разбиений X :

? .....е1 и\, Л■-*«>.

01 к=1 й У

Обозначим через т> проекцию меры » на у

Пусть ej = hCSq), определим множество для ^>0 в1= С z* io,hjln | г>(Ър < с ej }

Положим

Di(r>) =Dt(U ,(zf})=inf( lim ( E ffE{))} J e>0 J-?«> Zern/ £

УТВЕРЖДЕНИЕ 6.1. Если t> - джойнинг T^ и преобразование Т принадлежит классу Utxf\Bank-1 и v «= М(п-1,п), то Di(v) > О.

В доказательстве утверждения 6.1 существенно используется лемма 4.1.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6.2. • Пусть v - зргодический джойнинг

Т е MÍX П ЙОЛ^ 1, г> е Ы(П-1 ,П) И Dt(v) > О, ТОГДЭ v = ¿ПК

Доказательство этого утверждения использует аппроксимации джойнингов ( высоких порядков ) сдвигами диагональной меры и следующее обобщение теоремы Блюма-Хансона10\

ТЕОРЕМА. Пусть последовательность чисел íeZ ,JeSN , удовлетворяет условиям;

1- Т.а{= 1, а{ > о , 1 J

2. m(J) = max { О, .

í

Если Т - перемешивающее преобразование и I^fX.B.p.), то для

последовательности F. = е а/ f(Tlx) выполняется J i

где Р(х) = J /(у)Ф(у). X

Таким образом, установлено, что перемешивающее преобразование с циклической аппроксимацией ( иначе говоря, ранга I ) принадлежит классу MSJ(co) и, следовательно, обладает свойством кратного перемешивания всех порядков. Д.Рудольф в цитируемой статье впервые привел пример такого преобразования и использовал его как источник контрпримеров.

10) Blum J.R., Hanson D.L., On the mean ergolc theorem for

subsequences// Bull. Amer. Math. Soc.(1960),V.66, P.308-311.

Автор благодарит научного руководителя за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Автор также обязан Д.В.Аносову, Б.М.Гуревичу и В.И.Оселедцу зг замечания и полезные обсуждения.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I Рыжиков В.В. Замечание о кратном перемешивании// УМН,198Э, Т.44, Вып.1(265) С.205-206.

2. Рыжиков В.В. Связь перемешивающих свойств потока с изоморфизмо

входящих в него преобразований//Матем.заметки, 1991, Т.4-9, Вып.6, С.98-106.

3. Рыжиков В.В.Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединени

действий с инвариантной мерой// Матем.сб. 1992, Т.183, вып.З, С. 133-160.