Специальные представления, конструкции и алгебраические свойства действий с инвариантной мерой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Специальные представления многомерных каскадов.

§1.1. Лемма Рохлина-Халмоша и теорема Альперна.

§1.2. Специальные представления Z^-действий.

§1.3. Случай размерности 1.

§ 1.4. Леммы о Р-упаковках.

§1.5. Доказательство теоремы о существовании специального представления.

Глава 2. Конструкции потоков ранга 1.

§2.1. Универсальная конструкция потока ранга 1.

§2.2. Стохастическая конструкция.

§2.3. Пример семейства перемешивающих потоков ранга 1.

§2.4. Схема доказательства основной теоремы.

§2.5. Леммы о больших уклонениях.

§2.5. Некоторые предельные теоремы.

§2.6. Доказательство свойства перемешивания.

Глава 3. Джойнинги группы автоморфизмов тора.

§3.1. Структурная теорема о джойнингах группы GL(n,Z).

§3.2. Классификация эргодических джойнингов.

Подход к изучению динамических систем как действий группы G на пространстве с мерой (X, А, ц) был заложен в классических работах Пуанкаре, фон Неймана, Колмогорова, Рохлина и др. (см., например, [3], [7] и [19]).

Свойства динамических систем, формулируемые на языке действий с инвариантной мерой, называются метрическими. Исследование метрических свойств динамических систем составляет одну из основных задач эргоди-ческой теории.

Для приложений актуальным является изучение действий групп 7L (каскадов) и Е (потоков). Исследование действий групп и действий некоммутативных групп также имеет большое значение, в частности, для изучения свойств классических динамических систем (каскадов и потоков) (см. [1], [7]). Одним из примеров применения действий общих групп является спектральный анализ геодезических потоков на замкнутых поверхностях постоянной отрицательной кривизны (см., например, [1]). Теория действий групп с инвариантной мерой имеет и другие важные приложения в современной математике; например, хорошо известны приложения теории динамических систем на однородных пространствах к теории чисел.

Дисертация посвящена изучению некоторых комбинаторных, алгебраических и статистических свойств действий с инвариантной мерой.

При исследовании многих проблем эргодической теории возникает необходимость в получении информации о комбинаторных свойствах и структуре динамической системы. Знание свойств такого типа позволяет применять при изучении системы различные комбинаторно-геометрические методы (см., например, [5], [7] и [19]).

Одним из разделов современной эргодической теории, широко использующим комбинаторные методы, является теория аппроксимации динамических систем, вклад в развитие которой внесли Каток, Колмогоров, Кин, Оселедец, Сатаев, Стёпин и многие др. (см. [5], [1], [7], [4], [6], [8], [9], [17], [30]). Метод теории аппроксимации состоит в приближении заданного действия с инвариантной мерой (каскада, потока и т. д.) действием с прострой структурой, например, периодическим. Данный метод оказывается очень полезен в спектральной теории динамических систем, например в вопросах, связанных со спектральной кратностью (см. [5], [9]), а также с введенным Колмогоровым групповым свойством спектра (см., например, [9], [40]). Недавно Агеевым и Рыжиковым методами теории аппроксимации была решена проблема Рохлина о существовании преобразования с однородным спектром кратности 2. Еще одной иллюстрацией к сказанному служит исследование ряда метрических свойств потоков на поверхностях родар ^ 1 ([17], [4]) с помощью сведения к изучению перекладываний отрезков — систем, обладающих хорошими аппроксимационными свойствами (см. [30], [31]).

В основе теории аппроксимации динамических систем лежит известная лемма Рохлина-Халмоша (см. [19]), утверждающая, что, если автоморфизм Т пространства Лебега (X, А, р) является апериодическим, то для любых е > 0 и h G N существует В 6 А такое, что множества В,ТВ,. .,Th~lB дизъюнктны и ц(В U ТВ U . U Th~lB) > 1 — е. Множество вида U = = В U ТВ U . U Th~lB называют башней Рохлина-Халмоша высоты h.

Приведём некоторые обобщения данной леммы. Следующее усиление леммы Рохлина-Халмоша часто используется в энтропийной теории динамических систем (см., например, [47]).

Теорема 1. Для любых h Е N, е > 0 и конечного разбиения Р пространства (Х,А,ц) существует башня U высоты h с основанием В, такая, что fi{U) > 1-е и VA € Р ц(А\В) = ц{А).

Суть этого утверждения заключается в том, что множество В может быть взято "независимым" от разбиения Р. Ещё одним уточнением леммы Рохлина-Халмоша является следующая теорема.

Теорема 2 (Jlepep, Вейс [35]). Пусть Т — вполне эргодическое преобразование. Тогда для любых h € N и множества Е С X, ц(Е) > 0, сущеi-i ствует башня U = |1 Т3В такая, что U ~D Х\Е. з= о

Альперн в работах [22] и [23] получил следующее обобщение леммы Рохлина-Халмоша.

Теорема 3. Пусть заданы конечное или бесконечное множество IP С N и вероятностное распределение т = {ть : h G Р}7 ть, > 0, YlheFmh = 1-И пусть НОД{/1 G Р} = 1. Тогда существует семейство дизъюнктных башен Uh высоты h, обладающих свойством //(Uh) = ть

Множество {Uh • /г G Р}, таким образом, является измеримым разбиением пространства X. Такое разбиение естественно назвать специальным (Р, т)-представлением автоморфизма Т.

Сорфмулированная теорема была существенно использована при решении задач аппроксимации преобразования Т пространства Лебега автоморфизмами, сопряженными к заданному преобразованию S. В частности, были доказаны следующие два утверждения:

1) Пусть Т и S — два автоморфизма X, причём S является апериодическим; и пусть 21 — конечная подалгебра Л такая, что не существует А Е 21 со свойством 3п ТпА = А. Тогда найдется автоморфизм S = 9~1S9 такой, что SA = ТА для всех А Е 21.

2) Пусть Т и S — автоморфизмы X, и F G A, fJ>(F) < 1, причем S — апериодический, а Т — апериодический на F (F не содержит периодических точек). Тогда, если либо (а) Т эргодичен и fi(F U TF) < 1, либо (b) Т слабо перемешивающий, то существует автоморфизм S — 9~lS0 такой, что Sx = Тх для ji-n. в. х 6 F.

Альперном применил данные утверждения для доказательства типичности свойства эргодичности в классе сохраняющих меру Лебега гомеоморфизмов Ж4 (см. [24]).

Частный случай теоремы 3, состоящий в предположении Р = {р,р + 1}, был использован Рыжиковым в [13] для доказательства следующего утверждения о структуре группы сохраняющих меру преобразований:

Для любых т ^ 2, п ^ 3 автоморфизм Т пространства Лебега допускает представление Т — PQ, где Р и Q — автоморфизмы, удовлетворяющие условию Рт = Qn = Id (Id — тождественное преобразование.)

Отметим также, что теорема 3 может рассматриваться как "дискретный" аналог теоремы Рудольфа о представлении эргодического потока в виде специального потока с двузначной функцией (см. подробнее [42], а также [44]). Теорема Рудольфа утверждает возможность разбиения фазового пространства потока на две башни "высот" р и д, где р, q > 0, если выполнено условие p/q 0 Q, аналогичное условию взаимной простоты высот, фигурирующему в теореме Альперна.

Переход от изучения автоморфизмов пространства Лебега к исследованию действий групп (многомерных каскадов) сопряжён с большими техническими трудностями. Более того, теория многомерных каскадов уже в размерности d = 2 существенно отличается от теории действий группы Z. Одной из иллюстраций к этому тезису является наблюдение, сделанное Рыжиковым в [12] и состоящее в том, что для I? -действии утверждение, аналогичное лемме Лерера-Вейса, не выполнено. А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть Т — свободное действие группы 1?, порождённое коммутирующими автоморфизмами Т\ и Тг пространства Лебега (X, A,fi), и пусть

ТП — 1 п — 1 и = U U т?т*с а=0Ь=0 башня размера (m,n); причём m ^ 2, п ^ 3. Предположим, что

U U T\U = U U T2U = X. Тогда энтропия действия Т относительно разбиения {U,X\U} равна нулю. В частности, если Т — действие с вполне положительной энтропией и А — произвольное множество такое, что ц(А) < 1 и A U Т\А = A U Т2А = X, то не существует башни U со свойством А С U.

В работе [12] строятся конкретные примеры действий, удовлетворяющих условиям сформулированной теоремы.

Другим примером, подтверждающим нетривиальность теории многомерных каскадов, является оригинальный контрпример Ледрапье к проблеме Рохлина о кратном перемешивании (см. ниже) для действий группы Z2 (см. [34]).

В первой главе диссертации полностью решается задача обобщения теоремы Альперна на случай свободного действия решётки 7/1, d ^ 2. А именно, вычисляется класс конфигураций Р С для которых верен следующий аналог теоремы 3: действие обладает (Р. т)-представлением для любого невырожденного вероятностного распределения га. Решение данной задачи оказывается существенно сложне, чем доказательство теоремы Альперна и требует развития существенно новой аппроксимационной техники и использования таких нетривиальных геометрических методов, как техника тайлингов (см. [25], [2] и [50]).

Пусть Т = {Т9 : g G — свободное действие группы ЪЛ на пространстве Лебега. Башней высоты h (Е Nrf относительно Т будем называть множество U вида

U = [J ТаВ, где В £ А, П = {а : 0 ^ а* < h1}, оеп где а = (а\ .ad) и h = (/г1,., hd).

Теорема 5 [50, 52]. Рассмотрим множество Г С Nd и распределение га = = {rrik : h £ Р}; причём тд > 0 и Х^/геРrrLh = Предположим, что для любого г выполнено НОJ\{hl : h £ Р} = 1. Тогда существует множество башен Uh высоты h, образующее измеримое разбиение X и удовлетворяющее условию fi{Uh) = гпь

Скажем, что конфигурация Р обладает свойством R, если любое свободное действие Т обладает (Р, ?тг)-представлением для любого распределения т. Доказывается, что d-мерная конфигурация Р обладает свойством R тогда и только тогда, когда НОД{^г : h G Р} = 1 для всех г.

Изучение аппроксимационных свойств динамических систем естественно приводит к исследованию систем ранга 1. Говорят, что автоморфизм Т является преобразованием ранга 1, если существует последовательность разбиений £n = {Cn, ТСп, T2Cn,., Th~lCn, Yn} пространства X, сходящаяся к разбиению на точки (это означает, что любое измеримое множество сколь угодно точно приближается ^„-измеримыми множествами). Автоморфизмы ранга 1 впервые были рассмотрены Орнстейном [36], а затем Чаконом [27] (см. также [37]). Действия ранга 1 включает множество классических динамических систем, таких как системы с чисто точечным спектром (см. [29]). Автоморфизмы ранга 1 также лежат в основе многих конструкций, в частности, контрпримеров в эргодической теории. Например, известно, что перемешивающие преобразования ранга 1 коммутируют лишь со своими степенями Тк и, как следствие, не имеют корней.

В теории джойнингов системы ранга 1 и их обобщения — системы конечного и локального ранга — представляют собой один из наиболее хорошо изученных классов действий. Джойнингом (второго порядка) действия {Т9}дес группы G на пространстве (Х,А,ц) называется мера и на прямом произведении X х X, инвариантная относительно преобразований Т9 х Т9, д Е G, и обладающая следующим свойством: проекции и на прямые сомножители совпадают с ц. В современной эргодической теории понятие джойнинга является одним из наиболее эффективных инструментов исследования динамических систем (см. [46], а также [32] и [33]).

Например, джойнинги естественно возникают в исследованиях, связанных со знаменитой проблемой Рохлина о кратном перемешивании [14].

Говорят, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью г, если fi{TtoA0 П ThAx П . П TtrAr) ''' когда — tj\ —>• оо. Проблема Рохлина формулируется следующим образом: следует ли из простого перемешивания перемешивание всех порядков? Доказано, что для автоморфизмов конечного ранга ответ на вопрос Рохлина положителен (см. [15]). Более того, для автоморфизма ранга 1 из свойства перемешивания следует свойство минимальности джойнингов второго порядка, состоящее в том, что все такие джойнинги исчерпываются мерами jii х // и (I х Tk)A, где Д — диагональный джойнинг,

Д(Л х В) = 1л(АпВ).

Обобщением этого понятия является свойство простоты (введенное Вичем, Рудольфом и дель Юнко, см. [48] и [28]), отличающееся тем, что допускается существование джойнингов вида (I х 5)Д, где S — произвольный коммутирующий с Т автоморфизм. Рыжиков в [16] рассмотрел ещё более общее свойство о;-простоты: действие называется ш-простым, если все его эргодические джойнинги второго порядка, отличные от меры /i х д, являются мерами, сосредоточенными на графиках конечнозначных измеримых отображений, коммутирующих с действием, причём число таких отображений не более, чем счётно; и показал, что для w-простых потоков проблема Рохлина также решается положительно (см. [16]). Решение проблемы Рохлина в этом случае следует из того, что w-простые системы обладают свойством тензорной простоты, состоящем в том, что не существует нетривиальных (отличных от fi х . X fi) джойнингов и, все двумерные проекции меры которых тривиальны (равны fi х /л).

Во второй главе диссертации предлагается конструкция перемешивающих потоков ранга 1. Таким образом, устанавливается существование таких потоков и приводятся новые примеры простых, а значит, и ы-протых потоков.

За основу конструкции берётся универсальная конструкция потоков ранга 1, которая подробно определяется в разделе §2.1. Эта конструкция задаётся следующими параметрами: последовательностью высот hn аппроксимирующих башен и множеством положительных чисел snj, О ^ 3 ^ Чп- Предлагаемая в диссертации конструкция перемешивающих потоков ранга 1 является стохастической в следующем смысле. Параметры snj выбираются как реализации независимых случайных величин (эта мысль уточняяется в §2.1). Таким образом, строится случайное семейство (ансамбль) потоков {Т^}, где и> пробегает соответствующее вероятностное пространство Q (являющееся пространством Лебега). Устанавливается, что при определённых ограничениях на последовательности hn и snj-, поток {Тявляется перемешивающим почти наверное.

Сформулируем основной результат. Автоморфизм Т называется перемешивающимесли для любых А, В £ Л имеет место сходимость

ТЬАПВ) ^(А)д(В) при t оо.

Пусть qn = hn+i/hn, а\ — D£n < оо, кп = h2n/(j^. Предположим, что О ^ in ^ hn и случайная величина обладает плотностью рп, являющейся функцией ограниченной вариации. Пусть рп — преобразование Фурье функции рп. Тогда верна следующая теорема.

Теорема 6. Пусть поток (Т*) является результатом приведенной в §2.2 конструкции, зависящей от параметров hn, £п. И пусть для некоторых констант 0 < х < 7; Сь > 0 выполнены следующие условия:

1) ||(1 + С^х^ши 1; (2) j<n

3) ||СЛРп11оо 0; (4) Kn/qln-x-< 0.

Тогда поток (Ть) является перемешивающим с вероятностью 1.

Результат и конструкции будут использованы в дальнейших исследованиях, связанных с построением перемешивающих систем конечного и локального ранга, новых примеров в теории джойнингов, а также гладких моделей динамических систем. Несколько таких результатов анонсироаны автором в [54].

Известно (см. [16] и [10]), что для действий некоммутативных групп из и-простоты не следует свойство тривиальности джойнингов со свойством попарной независимости факторов. Одним из примеров такого действия является действие группы GL(2, Z) автоморфизмами на 2-мерном торе, подробно исследованное в [39].

В связи с этим представляет интерес изучение джойнингов действия группы GL(n, Z) на n-мерном торе. В третьей главе диссертации проводится исчерпывающее исследование джойнингов этого действия и, в частности, даётся классификация эргодических джойнингов всех порядков.

Группа G = GL(n, Z) = Aut(Tn) обратимых матриц t = с целочисленными коэффициентами и определителем, равным ±1, действует на n-мерном торе X = Тп — {х = (ж1,. -,хп)} преобразованиями п qt. jn ^ Tn) (ytxy ^2tjkxk (mod 1). к=1

Автоморфизмы сохраняет нормированную меру Хаара на Тп.

Джойнингом порядка т данного действия называется мера и на X х 171 — ^п^ хт^ инвариантная относительно преобразований Фг х . хФ4и имеющая стандартные проекции на прямые сомножители. Пространство Ххт = {(a?i,., хт)}, где Х{ = (xj,. .,xf) £ Tn, можно представить в виде Iw = ^jpn^xn (аз1^. х71)}, где символом ж-7 обозначен вектор (х{,. .,х3т). Тогда т

Ф* х.хфу = ^2t{xk (modi). г = 1

Основным результатом главы 3 диссертации является следующая теорема.

Теорема 7. Любая эргодическая Ф-инвариантная борелевская мера и на (Хш)хп является мерой, равномерно распределённой на многообразии вида:

Он + Uxn, Он = {(/\.,Г) G (Д.,/") = F}, г<9е Н — собственная замкнутая подгруппа Тт такая, что F — H/U имеет п образующих элементов, где U — связная компонента нуля в Н.

В частности, v — эргодический джойнинг порядка т действия Ф группы GL(n, Z) на Тп тогда и только тогда, когда v является мерой, равномерно распределённой на многообразии вида (2.1) таком, что все одномерные проекции U совпадают с Т1.

Данная теорема может быть переформулирована следующим образом: любой джойнинг действия группы GL(n, Z) на Т1 есть (возможно счетная) линейная комбинация мер, равномерно распределенных на подгруппах вида Нхп, где Н — подгруппа Тт со стандартными одномерными проекциями.

1. Рыжиков В. В. Представление преобразований, сохраняющих меру Лебега, в виде произведения периодических преобразований. Матем. заметки, 1985, т. 38, № 6, 860-865.

2. Рыжиков В. В. Перемегивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой. Матем. сборник, 1992, т. 183, №3, 133-160.

3. Рыжиков В. В. Джойнинги и кратное перемешивание действий конечного ранга. Функц. анализ и его прил., 1993, т. 27, №2, 63-78.

4. Рыжиков В. В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем. Матем. сборник, 1997, т. 188, № 2, 67-94.

5. Сатаев Е. А. О числе инвариантных мер для потоков на ориентируемых поврехностях. Изв. АН СССР. Сер. математическая, 1975, т. 39, № 4, 860-878.

6. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 2: Трансцендентные функции. М.: ГИФМЛ, 1963.

7. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. М.: Изд-во ин. лит.,1959. Регулярная и хаотическая динамика, т. 12, 1.999.20. el Abdalaoui Н. Etude spectral des transformations d'Ornstein. These del'Universite de Rouen.

8. Adams T. Smorodinsky's conjecture. Submitted, 1993.

9. Alpern S. Generic properties of measure preserving homeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math., 1978, №729, 16-27.

10. Alpern S. Return times and conjugations of antiperiodic automorphism. Ergod. Th. and Dynam. Syst., 1 (1981), №2, 135-143.

11. Alpern S. Nonstable ergodic homeomorphisms of R4. Indiana Univ. Math. J., 32 (83), №2, 187-191.

12. Barnes F.W. Algebraic theory of brick packings II. Discrete Math., 42 (1982), №2, 129-144.

13. Bourgain J. On the spectral type of Ornstein's class one transformations. Israel J. Math., 84 (1993), 53-63.

14. Ferenczi S. Systems of finite rank. Colloquium Mathematicum, 73 (1997), no. 1, 35-65.

15. Keane M. Interval exchange transformations. Math. Z., 141 (1975), №1, 25-31.

16. Keane M. Nonergodic interval exchange transformations. Israel J. Math., 26 (1977), №2, 188-196.

17. King J. L. Joining rank and the structure of finite rank mixing transformations. J. d'Analyse Math., 51 (1988), 182-227.

18. King J.L., Thouvenot J.-P. A canonical structure theorem for finite joining-rank maps. J. d'Analyse Math., 56 (1991), 211-230.

19. Ledrapier F. Un champ Markovien peut etre d'entropie nulle et melangeant. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.A, 287 (1978), 561-562.

20. Lehrer E., Weiss B. An £>free Rohlin lemma. Ergod. Th. and Dyn. Syst., 2 (1982), 45-48.

21. Ornstein D. S. On the root problem in ergodic theory. Proc. Sixth Berkley Sympos. Math. Statist. Probab., Univ. of California Press, 1970, 347-356.

22. Ornstein D. S., Rudolph D. J., Weiss B. Equivalence of measure preserving transformations. Mem. Amer. Math. Soc., 262 (1982).

23. Ornstein D. S., Weiss B. Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups. Bull. Amer. Math. Soc., 2 (1980), 161-164.

24. Park K. GL(2,Z) action on a two torus. Proc. Amer. Math. Soc., 114 (1992), no.4, 955-963.

25. Prikhod'ko A. A., Ryzhikov V. V. Disjointness of the convolutions for Chacon's automorphism. Colloquimum Math., 2000, v. 84/85, part 1, 67-74.

26. Ratner M. Horocycle flows, joinings and rigidity of products. Ann. Math., 18 (1983), 277-313.

27. Rudolph D. A two-valued step-coding for ergodic flows. Proc. Intern. Conf. Dyn. Syst. Math. Phys., Rennes, 1975.

28. Rudolph D.J. An example of a measure preserving map with minimal self-joinings and applications. J. d'Analyse Math., 35 (1979), 97-122.

29. Rudolph D. J. Markov tilings of Mn and representations of Reactions. Con-temp. Math., 94 (1987), 271-290.

30. Shields P. Ergodic theory of discrete sample path. Univ. of California Press, 1997.

31. Thouvenot J.-P. Some properties and applications of joinings in ergodic theory. In: Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, London Math. Soc., 1995, 207-235.

32. Thouvenot J.-P. Quelques proprietes des systemes dynamiques qui se decomposent en un produit de deux systemes dont l'un est un schema de Bernoulli. Israel J. of Mathematics, 21 (1975), №2-3.

33. Veech W. A. A criterion for a process to be prime. Monatsh. Math., 94 (1982), 335-341.Работы автора по теме диссертации

34. Приходько А. А. Специальное представление апериодического автоморфизма пространства Лебега. Матем. заметки, 1995, т. 58, № 2, 314-316.

35. Prikhod'ko A. A. Special representations of ^"-actions. J. Dyn. and Control Systems, 2 (1996), 239-253.

36. Приходько А. А. Джойнинги действия групы GL(n, Z) на n-мерном торе. Матем. заметки, 1998, т. 63, № 2, 306-308.

37. Приходько А. А. Разбиения на башни фазового пространства Ъй-действия, сохраняющего меру. Матем. заметки, 1999, т. 65, № 12, 212— 227.

38. Prikhod'ko A. A. Ergodic joinings of GL(n, Z)-action on n-torus. J. Dyn. and Control Systems, 1999, т. 5, №3, 385-395.

39. Приходько А. А. Стохастические конструкции перемешивающих систем положительного локального ранга. Матем. заметки, 2000, т. 69, №2, 316-319.РОССИИ'.' * ^ I ГОСУДА"- VcHf^aJ ЧЬЛИОТ^Ш J