Целые формы алгебраических торов и их числа классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

# .........

^ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ФОМИНА Татьяна Владимировна

ЦЕЛЫЕ ФОРМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ И ИХ ЧИСЛА КЛАССОВ

01.01.06—математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Самарского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Воскресенский Валентин Евгеньевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Меркурьев Александр Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор Панин Иван Александрович.

, Ведущая организация—Математический институт Р.А.Н.

Защита состоится 1997г. в часов на заседании

Диссертационного совета К063.57.45 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная. реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал заседаний 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан - ; 1997г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандитат физико-математических наук Р.А.Шмидт

Общая характеристика работы. Актуальность темы.

Многие классические теоретико-числовые задачи наиболее естественным образом формулируются на языке алгебраических групп, что существенно обогащает их содержание. В связи с этим встаёт задача определения объектов, приспособленных к разрешению разнообразных вопросов арифметического характера. Это вопросы редукции алгебраических групп по простому модулю, проблемы вычисления числа классов, практического применения формул Зигеля-Тамагавы и др.

При рассмотрении линейных алгебраических групп над чисдовым полем к естественно возникает вопрос о существовании модели этой группы над кольцом целых элементов поля А. Вопрос о классификации О-форм данной А-группы в представляет собой интересную и непростую проблему. Результатов в этой области пока не очень много. Оказывается, как и в ряде других арифметических вопросов, классификация может быть редуцирована к локальному случаю, а затем к изучению редукции локальной модели по простому модулю. Далее наличие набора локальных целых форм позволяет . при соблюдении стандартных условий согласованности, получать групповые формы, определённые над кольцами целых алгебраических чисел, формы, обладающие оптимальными р-адическими слоями. Для связных односвязных разложимых полупростых А-групп такая классификация была проделана Рольфсом [4].

Также известно, что всякая связная полупростая А-группа типа Шевалле обладает гладкой О-формой [5]. Это же верно и для разложимых редуктивных групп. Нетривиальный вопрос заключается в существовании такой целой формы, чтобы редукция зависела бы только от самой группы в, а не от выбора случайного вложения группы в в полную линейную группу. В [2] для алгебраических торов предлагается конструкция локальных целых моделей, определённых внутренним образом и обладающих оптимальными свойствами. Существование канонических целых моделей для алгебраических торов было доказано Воскресенским В.Е. [2]. Редукции канонических моделей описаны там же.

В диссертации построены канонические целые модели торов вида Нр/к(Ош) и йт/кСОт) и изучены их редукции по простым

з

модулям. Аналогичные результаты приводятся в статье [3], но конструкция целых моделей в [3] совершенно иная.

Ещё одной важной характеристикой алгебраического тора является его группа классов. В диссертации получена индекс-формула для числа классов норменной гиперповерхности.

В общем случае получение оценок для числа двойных классов редуктивных групп, является очень трудной проблемой, содержащей в качестве частных случаев классические задачи о числе классов в роде квадратичных форм (Гаусс) и о числе классов идеалов числовых полей [1].

Таким образом, наличие интересных и многообещающих проблем делает данную тематику актуальной для изучения.

Литература:

1. Воскресенский В.Е. Целочисленные структуры в алгебраических торах и группы классов числовых полей // Семинар по арифметике алгебраических многообразий. Саратов; СГУ, 1979, с. 8-15

2. Воскресенский В.Е., Фомина Т.В. Целые структуры в алгебраических торах // Изв. Р.А.Н., Сер. матем., 1995, т.59, №5.

3. Nait Е., Xarles X. Additive reduction of algebraic tori // Arch. Math. 57,1991, p.460-466.

4. Rohlfs J. Uber maximate arithmetisch definierte gruppen II Math. Ann., 234, p.239-252.

5. Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973. (

6. Воскресенский В.Е. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

7. Алгебраическая теория чисел // под ред. Дж.Касселса и А.Фрёлиха, М.: Мир, 1969.

8. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.:Наука,1985.

9. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии: в 2-х т. М.: Наука, 1988. >

Цель работы

Построить канонические модели торов специального вида, определённых над полными неархимедовыми расширениями поля алгебраических чиоел. Изучить строения этих моделей.

Построить минимальные модели торов специального вида над кольцами целых полей алгебраических чисел и вычислить число классов некоторых моделей.

Основные результаты работы

1. Построены канонические целые модели торов Яр/л(От) и Оо ), определённых над локальными полями. Описаны редукции этих моделей по простому модулю.

2. Получена индекс-формула для числа классов норменной гиперповерхности.

Методика исследования

В диссертации приходится работать с аффинными групповыми схемами, определёнными над конечными, локальными и глобальными полями, а также над кольцами. При подсчёте чисел Тамагавы алгебраических торов наобходимо строить формы объёма, обладающие оптимальными свойствами. Применяются методы гомологической алгебры, а также общие методы алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Идеи построения канонических целых моделей могут быть применены к произвольным аффинным группам, определённым над локальными полями. Индекс-формула для норменной гиперповерхности позволяет получать некоторые оценки для числа классов поля, а также судить о свойствах норменных отображений.

Апробация результатов диссертации

Результаты работы докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фадаеева и на научном семинаре кафедры алгебры Самарского Государственного университета. Работа была представлена на Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Чеботарева Н.Г. (г. Казань).

Публикации

По теме диссертации автором опубликованы четыре работы, указанные в конце реферата.

Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на 20 параграфов, списка литературы, содержащего 29 позиций.

Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведётся отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 89 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы

Желание дать замкнутое изложение материала определяет содержание диссертации.

Первая глава носит вводный характер. Изложение начинается с обзора необходимых сведений об аффинных схемах, определённых над числовыми полями или кольцами и о линейных алгебраических группах (§§ 1,2).

Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, Х=3рес А — множество простых идеалов кольца А, снабжённое топологией Зарисского, Ох — структурный пучок. Аффинной схемой называется окольцованное пространство (X, Ох), где Х=Брес А [9]. Далее, если имеется морфизм схемы X в фиксированную аффинную схему Б=5рес]1, то схема Б играет роль основного поля, и говорят, что X—аффинная Б-схема.

Пусть теперь 0=5ресА— аффинная Б-схема, на которой задана групповая структура, то есть имеются морфизмы умножения, обращения, единичный, определённые над Б и удовлетворяющие стандартным групповым аксиомам. Групповая структура по двойственности определяет структуру алгебры Хопфа на координатном кольце А. Обратно, структура алгебры Хопфа на А однозначно определяет групповую структуру на схеме С=Брес А.

Аффинная Б-схема С=5ресА с заданной групповой структурой, определённой над Б, называется аффинной групповой Б-схемой.

Важнейшей аффинной группой является полная линейная группа, которая над любым коммутативным кольцом В с единицей определяется как

Ои.в=5ресВ[хп, ... .ХшьУ-1], у=с!е1(Ху)

Пусть к :— поле. Замкнутая по Зарисскому подгруппа полной линейной группы называется линейной алгебраической группой, определённой над полем к.

Имеют место следующие фундаментальные теоремы.

Теорема (К. Шевалле, М. Розенлихт):

Пусть G — аффинная групповая схема конечного типа над к. Тогда G; изоморфна линейной алгебраической группе.

Теорема (Картье):

Пусть G — линейная алгебраическая А:-группа, к — поле характеристики нуль. Тогда в алгебре Хопфа группы G нет нильпотентных элементов.

В параграфе 3 определяются диагональные группы. С любой коммутативной абстрактной группой М связывается коммутативная групповая схема D(M)=Spec Z[M], называемая диагональной группой. Важнейший пример диагональной группы представляет мультипликативная группа Gm=D(Z). Рациональным характером группы называют гомоморфизм групп %■. D(M) ->Gm.

Категория диагональных S-групп конечного типа над связной схемой S=Spec R является абелевой категорией, двойственной категории абелевых групп с конечным числом образующих [6] (М -> DS(M)).

В параграфе 4 определяется форма линейной алгебраической йнгруппы G. Если G=Spec А, то на &5-схеме G<S>*As действует группа Галуа Gal (kjk). Группа G мультипликативного типа определяется как форма диагональной группы: G®/Jcs = Di (М). Группы мультипликативного конечного типа разлагаются над некоторыми конечными сепарабельными расширениями L поля к. Все группы мультипликативного типа описываются множеством эквивалентных непрерывных представлений топологической компактной группы Gal (АД) в дискретную группу Aut (М)

Групповая Л-схема Т называется алгебраическим тором. если Тa D^(Zn). Координатное кольцо тора выписывается в явном виде £[Т] = L[T)n, L—расширение Галуа, над которым гор разлагается, n=Gal(L/ft), Т—П-модуль рациональных характеров.

В параграфе 5 определяется функтор Вейля ограничения основного поля и описываются его свойства.

Во второй главе описывается способ построения минимальных целых моделей алгебраических торов,

определённых над полными неархимедовыми расширениями полей алгебраических чисел и их редукции по простому модулю.

Определение

Целой формой группы О называют групповую О-схему X такую, что существует групповой изоморфизм А-групп ХФо^гО.

Имея О-форму X, мы получаем набор групповых схем Хр=Х®0ор, определённых над локальными кольцами Ог

Определение

Редукцией формы X группы в по простому модулю р называют групповую ^-схему Хр=Хр®о ^р, где Рр—поле классов вычетов 0,/р.

Редукцию называют хорошей. если Рр-схема Хр приведена, иначе редукцию считают плохой.

В первом параграфе, используя точное линейное представление <р А-группы в в полную линейную группу вЦ-Сп), строится групповая О-форма 0=ЭресА группы в, А=чр*(0[хц,... .Хм,, с1е1(ху)-1). Все О-формы вида в, имеют конечный тип над О, они приведены и строго плоские над О.

Основная цель второго параграфа — построение и изучение свойств минимальной модели алгебраического тора, определённого над локальным полем. Пусть к — поле р-адических чисел, Т — алгебраический Л-тор. Выберем в кольце й[Т] О-порядок А, состоящий изо всех функций, принимающих на максимальной компактной подгруппе и группы Т(к) значение в кольце О. Структура алгебры Хопфа кольца Л[Т] индуцирует строение алгебры Хопфа на А, А®о к = /¡А = £[Т]. Схема Х= БресА называется канонической О-формой тора Т. Предложение / устанавливает существование групповых О-форм Тт тора Т со свойством ТП1(0) = Кег [Т(О)] ->Х(0/рт)]. Групповые О-формы Тю представляют примеры неизоморфных целых моделей тора Т при различных т 2 0.[1]

Предложение 2 описывает свойства минимальных моделей. Пусть Ь — минимальное поле разложения тора Т, П=<}а1 (Ь/Л), Т — П-модуль рациональных характеров Т. Имеются включения ОьА => ОьЙ, А з Оь['Г]п. Если Ык неразветвлено, то А=Оь[Т]п, 5рес(А®оРр) есть тор над конечным полем вычетов Ря= Ор/р.[\]

В параграфе 4. используя регулярное представление группы Р* над полем к, записанное в целом базисе, строятся локальные

к

канонические модели торов IW{Gra) и R^Gra)- Относительно этих моделей доказываются следующие основные факты.

Предложение 3: Пусть F— конечное расширение поля р-адических чисел к, (F:A) = п = е-}, е — индекс ветвления, Е — максимальное неразветвлённое подполе, к с Е с F, (Е:А)~/. Если X— минимальная целая модель тора Rr/i(Gm), то редукция X имеет вид X=R,t/rii(Gm)x:U, где rE, rt — поля классов вычетов, U — унипотентная г*-группа размерности (е-1 )/.

Заметим, что для е>1 редукция X не является тором.

В параграфе 5 для минимальной модели X тора Rw(Gm) устанавливается следующее:

а) если е-1, то редукция X есть тор

б) если е>1, р/е, то редукция хорошая, т.е. X есть алгебраическая группа над п, связная компонента Хо есть произведение Rr /r (Gm)xN, N — уннпотентна, размерности (е-1)/,

Б А.

в) если е> 1 и p/s, то редукция плохая, схема X не является приведённой;

г) если F/A чисто разветвлено, e=(F:A)>l, то Ji^xN, Х0 — уннпотентна.

Здесь r^=OJpt, Ге=Ое/Ре, гт=Ор!р?—конечные поля вычетов.

В параграфе б рассматривается редукция минимальной модели в случае произвольного тора Т, определённого над локальным полем. Основной результат здесь таков: если р не делит дискриминанта D минимального поля разложения Т, то редукция Хр снова тор. В случае, когда p/D могут представиться различные возможности. Редукция может оказаться плохой, т.е. схема Хр не приведена. Редукция может оказаться снова алгебраической группой, но не обязательно связной. В том случае, когда для минимального поля разложения тора Т индекс ветвления е>1, редукция тора по простому модулю содержит нетривиальную унипотентную подгруппу.

В параграфе 7. используя принцип аппроксимации, строится глобальная групповая схема X над кольцом целых алгебраических чисел, такая, что Х®0Р=ХР — локальная минимальная модель. Изложение вопросов параграфов 6.7 основано на результатах Воскресенского В.Е. [1]

Одним из инструментов исследования арифметики алгебраических групп являются группы аделей, свойства

которых описываются в первом параграфе третьей главы. Здесь же вводится важная арифметическая характеристика алгебраического тора — число классов его кайбнической формы X. Поскольку группа Х(АК) внутренне определяется самим -тором, то фактор-группу Н(Т) = Т(А) / Х{А*) Т(А) называют группой классов тора Т. При вычислении числа классов используется канонически выбранная мера Хаара, называемая мерой Тамагавы.

В параграфе 2. исходя из инвариантной плотности определённой на аффинной группе G, строится мера Хаара на адельной группе G(A). Эта мера определяется как произведение локальных мер р = П»/« а)» П Ср<йр с привлечением системы множителей сходимости {С?}.

Оказывается, что систему множителей сходимости можно выбрать каноническим образом, используя свойства L-функции >• Артина. Подробно о свойствах L-функций Артина можно прочитать в параграфе 3.

В параграфе 4 определяется мера Тамагавы на группе аделей G(A). Объём однородного пространства G'(A) / G(A) относительно меры Тамагавы называют числом Тамагавы группы G. Вычисления чисел Тамагавы простейших групп приводятся в параграфе 5: x(Ga) = 1, т(Сш) = 1.

В параграфе 6 определяется группа Шафаревича-Тейта. Здесь же приводится результат Т. Оно для чисел Тамагавы алгебраических торов:

|н'(п,т)| ;;

х(Т)=-.

|Ш(Т)1

В параграфе 7 речь ведётся о существовании канонической формы объёма на G, относительно которой локальные объёмы вычисляются по формуле:

а в точках хорошей редукции:

оф{ОрУ) = |G(FP)| N/Г, m = dim G.

В случае, когда О — кольцо главных идеалов, такая форма существует. В этом же параграфе приведена формула для анизотропного тора Тд определённого над Q и канонической формы со: ' ^ , "

т (Т) = A(T)L(1 ^'(««.(TÍR )АГ(г))П^ЬД1 ,%Xo¿.X(ZP)),

ю

где D—дискриминант минимального поля разложения тора Т.

В параграфе 8 вычисляется число классов тора Т = RF/I(Gm). возникающего как ядро норменного гомоморфизма ер : RFrt{Gm)->Gm,i.

Принцип вычисления состоит в следующем. Сначала переходим к торам RF/Q(Gm}, R«q(T), Rwo(Gm), используя ограничение основного поля. Далее, используя факт существования целых базисов A/Q и F/Q, строятся минимальные целые модели X, У* указанных торов, выписываются

канонические формы объёма р и а на торах RF/Q(Gm) и Rt/o(Gm) соответственно. Форму объёма со на Rf/q(G„0 выбираем так. чтобы ф*(а) асо = р. Способ вычисления вещественного объёма основан на классической формуле Дирихле [8] и

¿(F)[(ft®QR)*:NF/lt(F®QR)*]

L(l, Ç, L/k) » caK(T(R)/X(Z)) --

A(£)[E(A):Nra(E(F))]

Вычисление локальных объёмов приводит к соотношению

Применяя формулу Т.Оно и проводя в ней вычисления, получаем

|Н'(*,Т)| [F0:A]

t(T)=---,

| Ш(Т) | | Ш(Т) |

Fo — максимальное абелево расширение поля к, содержащееся в F.

Теорема: Пусть F/A — конечное расширение числового поля К, Т = RF/!(Gra). Тогда справедливо соотношение: КF) |Ш(Т)| [J/°:NF/i(JF~)]

ктт [Ро:А] [Е(А):ЫРЛ<Е(10)]

В заключении автор выражает глубокую благодарность

доктору физико-математических наук, профессору

Воскресенскому В.Е. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

и

Список работ автора по теме диссертации.

1. Фомина Т.В. Группа классов норменной гиперповерхности // Арифметика и геометрия многообразий, Самара, СамГУ, 1992. с. 140—146.

2. Фомина Т.В. Алгебраические торы над локальными полями и их < редукции // Международная конференция "Алгебра и анализ", Тезисы докладов, 4.1. Казань, 1994, с. 98.

3. Воскресенский В.Е., Фомина Т,В. Целые структуры в алгебраических торах. // Изв. Р.А.р. Сер. матем.. 1995, т.59, №5,стр. , ,, X

4. Фомина Т.В. Целые формы линейных алгебраических групп // Математические заметки, т.61, №3, 1997, с. 424-430.