Марковские сплетающие операторы, джойнинги и асимптотические свойства динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.9

Рыжиков Валерий Валентинович

МАРКОВСКИЕ СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ, ДЖОЙНИНГИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппонеты:

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор

Р.С.Исмагилов, В.И.Оселедец, Е.Т.Шавгулидзе.

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 15 октября 2004г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 сентября 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратимые сохраняющие меру ц преобразования (автоморфизмы) пространства Лебега (X, В, ц) являются основным объектом исследования в эргодической теории. Динамическая система (Тя, X, В, ц) - это групповое действие, где время д является элементом некоторой группы и для любых автоморфизмов Tgi,TSl выполнено TgiTgi — Tgm. Особое место среди динамических систем занимают каскады (действия группы Z) и потоки (непрерывные действия группы R).

Асимптотические свойства динамических систем отражают поведение систем для больших значений времени. В диссертации рассматриваются такие свойства как кратная возвращаемость, слабое и строгое перемешивание, наличие полиномов в замыкании степеней автоморфизмов, частичное кратное перемешивание на последовательностях. Основным асимптотическим свойством, которое изучается в работе, является кратное перемешивание. Следуя Рохлину1, говорим, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Ло,..., А^ £ В имеет место предел

1*{Ао П Т-'Лг... П Tni+"+nMn) »(¿oM^i) ■ • • и{Ак)

при Вопрос об эквивалентности свойств перемешивания,

разных кратностей известен как проблема Рохлина о кратном перемешивании. Недавний прогресс в исследовании этой проблемы связан с использованием понятия джойнинга.

Пусть ТиТг,...,Тя : X —► X - набор автоморфизмов вероятностного пространства (Х,В,ц), fi(X) = 1. Мера v, инвариантная относительно преобразования Ti х ... х Тп, действующего в кубе -X'(i) X ... х -V(n), называется джойнингом этого набора, если выполнено условие: проекция меры v на каждый сомножитель Хщ совпадает с мерой у.. В случае, когда Ti являются копиями одного автоморфизма Т, мера называется самоприсоединением (self-joining) порядка п.

При п > 2 особо интересны самоприсоединения со свойством парной независимости: проекции на двумерные грани в декартовом кубе Xjj) х совпадают с мерой Тривиальными самоприсоединениями

являются произведения мер. Если автоморфизм допускает только тривиальные самоприсоединения с парной независимостью, он является тензорно простым (см. ниже). Перемешивающий тензорно простой автоморфизм Т обладает свойством кратного перемешивания.

'Рохлин ВА Эндоморфизмы компактных коммутативных групп. Изв. АН СССР. сер. матем. 13(1949).

Lj§1Ц

Вопрос «является ли заданный автоморфизм тензорно простым?» представляет не только интерес для теории джойнингов, но также связан с упомянутой проблемой Рохлина и с проблемой Колмогорова о групповом свойстве спектров динамических систем. Если спектральная мера автоморфизма взаимно сингулярна с ее сверточным квадратом, то автоморфизм является тензорно простым 2. Свойство взаимной сингулярности спектральной меры и ее сверточного квадрата было обнаружено А.М.Степиным 3 при решении проблемы Колмогорова, которой посвящены также работы В.И.Оселедца 4, 5 и А.М.Степина 6, 7.

Связь между бистохастическими мерами (полиморфизмами) и марковскими операторами использовалась А.М.Вершиком 8 для изучения многозначных отображений. Операторный подход к изучению джойнингов, предложенный автором в работах [1],[5],[14], приводит к понятию марковского оператора, сплетающего динамические системы. Это дает новые возможности в исследовании самих джойнингов.

С целью построения различных примеров сохраняющих меру преобразований Д.Рудольф 9 рассмотрел преобразование со свойством минимальных самоприсоединений, обозначаемым MSJ как аббревиатура от «minimal self-joinings». Неформально говоря, свойство MSJ означает, что автоморфизм допукает только те самоприсоединения, которые «заведомо существуют». Такой автоморфизм служит элементом различных интересных конструкций в эргодической теории. Как показали М.Леманчик и А. дель Юнко 10, аналогичную роль играют преобразования со свойством взаимной сингулярности сверточных степеней спектральной меры, существование которых установил А.М.Степин ll.

Джойнинги сохраняющих меру преобразований - одно из современных

'Host В. Mixing of all orders and pairwise independent joinings of systems with singular spectrum. Israel J. Masth. 76 (1991). 289-298.

sStepin A.M. Les spectres des systemes dynamique. Actes, Congres Intern. Math. 2(1970), 941-946.

"Оселедец В.И. О спектре эргодических автоморфизмов. ДАН СССР. 168(1966) No 5. 1009-1011.

5Оселедец В. И. Автоморфизмы с простым непрерывным спектром без группового свойства. Матем. заметки. 1969. 5(1969). No 3. 323-326.

'Степин A.M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем. ДАН СССР. 169 (1966). No 4. 773-776.

7Степин AM. Применения метода аппроксимаций метрических автоморфизмов периодическими в спектральной теории. Диссертация ... канд. фиэ.-мат. наук. МГУ. 1968.

8Вершик AM. Многозначные отображения с инвариамной мерой (полиморфизмы) и марковские процессы. Зап. rajrç. сем. ЛОМИ. 72(1977). 26-62.

'Rudolph D. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings, and applications. J.d'Analyse Math. 35 (1979). 97-122.

I0del Junco A., Lemaifczyk M. Generic spectral properties of measure-preserving maps and applications. Proc. Amer. Math. Soc. 115 (1992). 725-736.

"Степии A.M. Спектральные свойства типичных динамических систем. Изв. АН СССР. сер. матем. 50(1986). 801-834.

направлений в эргодической теории, раззитие которого стимулируется как сложившейся внутренней проблематикой так и приложениями (некоторым из них посвящен обзор Ж.-П.Тувено 12). Джойнинги применяются для исследования унипотентных потоков (М.Ратнер 13, А.Н.Старков 14), гауссов-ских автоморфизмов (М.Леманчик, Ф.Парро, Ж.-П.Тувено15), преобразований положительного локального ранга (Дж.Кинг 16, А.А.Приходько 17, автор 18). Джойнинги оказались также удобным инструментом в энтропийной теории.

В теории джойнингов заметную роль играют так называемые простые системы. Их определение следующее. Действие называется п-простым (или простым порядка п > 2) если любое его эргодическое самоприсоединение V ф ц®п обладает свойством: проекция v на одну из двумерных граней в X х ... х X (п сомножителей) является сдвигом Д$ = (Id X S)А. диагональной меры для некоторого автоморфизма коммутирующего с действием. Действие, обладающее n-простотой всех порядков, называется простым. Свойство минимальных самоприсоединений эквивалентно свойству простоты при выполнении условия тривиальности централизатора автоморфизма.

Тензорная простота определяется следующим образом. Положим L = Ь2(Х,ц), a H — Li2(X,n) - пространство функций с нулевым средним. Пусть марковский оператор Р : L —► L®n сплетает Т и Т®" ( здесь Т -обозначает унитарный оператор, отвечающий автоморфизму Т):

jyji _ у®пр

Условие марковости (или бистохастичности) состоит в том, что Р и Р* переводят константы в константы и сохраняют неотрицательность функций. Свойство тензорной простоты порядка п + 1 означает, что условие для сплетающего марковского оператора влечет за собой РН = 0. Если сказанное выполнено для любого п > 1, автоморфизм называется тензорно простым.

Thabenot J.-P. Some properties and applications ofjoinings in eigpdic theory. Egodic Theoy and Its Cbmeclions with Harmmc Amhsis: Ltaceedres of the Abandria 1993 Corfaence, KE Petasen and LA Sa1ama, eds., LMB Lecture Note Seajes 205. 1995.207 - 235.

"Rtner M. Hoocycle llows, joinmgs and rigi^dity ofproducts. Annals of Mathematics. 118 (1983). 277-313.

"Старков А.Н. Динамические системы на однородных пространствах. М.: ФАЗИС. 1999.

"Lemanczyk M., Parreau F., Thouvenot J.-P. Gaussian automorphisms whose ergodic self-joinings are Gaussian. Fundamenta Math. 164(2000). 253- 293.

leKing J.L. Joining-rank and the structure of finite-rank mixing transformation. J. Analyse Math.. 51. 182-227 (1988).

17Приходько А.А. Стохастические конструкции перемешивающих систем положительного локального ранга. Матем. заметки. 69(2000). No 2. 316-319.

"Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой. Матем. сборник. 183(1992). No 3. 133-160.

В терминах джойнингов свойство, эквивалентное свойству тензорной простоты, ввели в рассмотрение Рудольф и дель Юнко 19: всякий джой-нинг набора п >3 копий динамической системы при условии их попарной независимости является произведением мер. Задача о тензорной простоте - одна из центральных в теории джойнингов. Она связана со следующими задачами. Может ли тензорная степень динамической системы с нулевой энтропией обладать фактором, независимым с координатными? Влечет ли свойство минимальных самоприсоединений порядка 2 свойство минимальных самоприсоединений всех порядков? Влечет ли простота порядка 2 простоту всех порядков?

Задачи о факторах, об изоморфизме преобразований, о кратном перемешивании непосредственно связаны с джойнингами. В диссертации показано, что джойнинги могут быть полезными в решении некоторых других задач, когда такой связи не видно. Вычисление или оценка локального ранга декартовых произведений автоморфизмов извлекается из структуры их самоприсоединений. Вопрос о тензорной простоте слабо перемешивающих автоморфизмов с нулевой энтропией остается открытым. В главах 2-4 мы даем положительный ответ для классов динамических систем, общим свойством которых является достаточно простая структура их марковского централизатора (иначе говоря, простая структура самоприсоединений второго порядка).

Цель работы. Целью настоящей работы является развитие методов марковских сплетений в теории джойнингов и их применение для исследования свойств динамических систем. Основная цель диссертации - установить свойство кратного перемешивания как следствие свойства тензорной простоты для динамических систем с минимальным, простым и квазипростым марковским централизатором, для перемешивающих систем конечного и положительного локального ранга. В работе также изучаются новые взаимосвязи алгебраических и асимптотических свойств систем, исследуются спектральные свойства декартовых квадратов автоморфизмов и вычисляется их ранг методами, разработанными в диссертации.

Научная новизна. Свойство тензорной простоты устанавливается для систем с минимальным марковским централизатором в классе двукратно перемешивающих систем. В случае потоков доказано совпадение свойств простоты порядка 2 и простоты всех порядков, что дает положительный ответ на вопрос Рудольфа и дель Юнко. Для некоторых некоммутативных действий обнаружено различие четной и нечетной тензорной простоты и

(••^l'deljjlUnCOTA., RrICph D. On egcdc action whce sf-piriirgs aie gaphs. Bgxl Th. Dynm Sys. 7

показано, что MSJ{2) ф MSJ(Z) ф MSJ(A) (классы систем с минимальными самоприсоединениями порядка 2,3,4 различны). Решена проблема Рохлина для потоков положительного локального ранга, для систем конечного ранга, что обобщает теорему С.Каликова о кратном перемешивании автоморфизмов ранга 1.

Тензорная простота установлена для перемешивающих автоморфизмов конечного ранга, гп-действий локального ранга /3 > 2-п, а при условии двукратного перемешивания для Ъп-действий положительного локального ранга.

Установлена бесконечность ранга эргодического автоморфизма Т х Т. Получена точная оценка локального ранга Т х Т. В случае, когда локальный ранг Р(Т х Г) принимает максимальное значенифоказано, что Т обладает свойством ае-перемешивания.

Дано положительное решение задачи Рохлина об однородном спектре конечной кратности для неперемешивающих и перемешивающих автоморфизмов. Предложен асимптотический инвариант (частичное кратное возвращение), который может различать некоторые автоморфизмы с их обратными. Изучен новый класс расширений типа (Г, Т~х)-расширений, сохраняющих свойства тензорной простоты и кратного перемешивания.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории меры, эргодической теории.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в эргодической теории и спектральной теории динамических систем. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались (1991-2003гг.) на семинарах механико-математического факультета МГУ под руководством академика Д.В.Аносова, профессора Р.И.Григор-чука, профессора А.М.Степина, а также под руководством профессора Б.М.Гуревича и профессора В.И.Оселедца. Результаты докладывались на Лузинском семинаре кафедры теории функций и функционального анализа, на семинарах под руководством профессора М.И.Дьяченко, члена-корреспондента РАН профессора Б.С.Кашина, профессора М.К.Потапова, члена-корреспондента РАН профессора П.Л.Ульянова, на семинарах под руководством профессора Р.С.Исмагилова и профессора Ю.Н.Неретина, под руководством профессора О.Г.Смолянова и профессора Е.Т.Шавгулидзе. под руководством профессора А.Я.Хелемского.

Результаты диссертации докладывались на Ломоносовских чтениях в

МГУ (1998, 2003гг.), на семинарах МИРАН и на международной конференции в МИРАН (2002г.), посвященной памяти В.М.Алексеева, в Техническом университете Эйндховена (Голландия, 2002г.), неоднократно докладывались в VI Парижском университете им. Пьера и Марии Кюри (1996, 1999, 2000, 2002гг.), XIII Парижском университете (1999, 2000гг.), университете Марн-ля-Вале (1999г.) и Математической Лаборатории им. Р.Салема университета Руана (2000, 2002гг.).

Ряд результатов диссертации лег в основу спецкурсов по эргодической теории, которые автор прочитал на механико-математическом факультете МГУ (1994 - 2003гг.) и лекций, прочитанных им в Лаборатории Вероятностей VI Парижского университета (2002г.) и Математической Лаборатории им. Р.Салема (2002г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 19 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Эти работы выполнены без соавторов.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложности на 26 параграфов, списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 166 страниц. Библиография содержит 108 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

Во введении дается обзор работ и результатов по теории джойнингов и проблеме Рохлина о кратном перемешивании, обсуждаются мотивировки задач, решаемых в диссертации. Вводится понятие внутренних сплетающих операторов и определяется свойство тензорной простоты.

Глава 1. Марковские сплетающие операторы и тензорная

простота.

§1.1. Несколько методологических принципов теории сплетений. Определены естественные полугруппы операторов, в терминах которых выражаются многие известные свойства динамической системы. Введены алгебраические операции над сплетающими операторами: композиции, сопряжение, изменение типа сплетения. Далее излагается ряд приемов, названных принципами, которые наиболее часто используются в диссертации. К ним относятся сплетения слабых замыканий, разложимость и неразложимость сплетений, принцип симметризации, дополнительная симметрия, и принцип индуцированных джойнингов (последние два принципа вынесены в отдельные параграфы).

§1.2. Дополнительная симметрия. В параграфе излагаются некоторые приложения дополнительной симметрии и, в частности, дано новое доказательство теоремы Фюрстенберга о кратном перемешивании в среднем на прогрессиях и достаточные условия кратного перемешивания потока, вложимого в действие группы Гейзенберга.

§1.3. Индуцированные джойнинги. В простейшей модельной ситуации показано, как работают индуцированные джойнинги. Они определяются следующим образом.

Пусть для перемешивающих автоморфизмов Я,8,Т выполнено тождество (условие эквивариантности)

J{Rx) з Т\7(х)5,

где О' : X Л4, - операторнозначная функция, отвечающая некоторому джойнингу (автоморфизмы и отвечющие им операторы

обозначаются одинаково):

у{А х В х С) = ^(Л*)ХВ'ХС)М*)'

Для семейства операторнозначных функций шределенных

равенством

Пт(х) = Т(х)ЛНтх) = х)Т'тЛх)8т,

выполнено

Пт(Ях) = 5"Нт(х)5.

Функции сопоставим меру

г,т(А х В х С) = ^(«т(*)ХВ.ХсЖ*)-

Таким образом, мы определили меры г]т - джойнинги набора (Яр,8), которые называем индуцированными.

Индуцированные джойнинги используются в главах 2, 4 в решении задачи о тензорной простоте рассматриваемых действий.

(Публикации автора по теме §1. 1 ,§ 1.2,§ 1.3: [1], [3],[5],[7],[10],[14].)

§1.4. Примеры тензорно простых систем. В этом параграфе (следуя ([4],[5]) рассмотрены примеры тензорно простых систем. Доказано, что 2-простое действие, коммутирующее со слабо перемешивающим непереме-шивающим автоморфизмом, являются тензорно простыми.

§1.5. Связь типов тензорной простоты. Дж.Кинг доказал, что свойство тензорной простоты порядка 4 влечет за собой свойство тензорной простоты порядка к (обозначаемое S*). В этом параграфе автором получено следующее обобщение этого результата:

для любых q> 2 ик> 3 свойство S2? влечет свойство S*.

Отметим, что некоторые некоммутативные системы, рассматривающиеся в главе 2, обладают тензорной простотой всех нечетных порядков, но не обладают тензорной простотой четных порядков. Результаты этого параграфа опубликованы в [3].

Глава 2. Минимальные самоприсоединения, простота и квазипростота групповых действий.

§2.1. Простые системы с несчетным централизатором.

ТЕОРЕМА 2.1.2. ([10],[13]) Слабо перемешивающий 2-простой поток лвллетсл простым всех порядков. Перемешивающий 2-простой поток перемешивает с любой кратностью.

Отметим также, что из теоремы вытекает, что ([1]) для потоков свойство минимальных самоприсоединений порядка влечет за собой свойство минимальныхсамоприсоединений всехпорядков.

Таким образом, для потоков дан положительный ответ на вопрос Рудольфа и дель Юнко о совпадении свойств простоты и минимальных самоприсоединений порядка 2 с соответствующими свойствами высоких порядков.

§2.2. Наследственная независимость и квазипростота действий.

Джойнинг и пары {Т,Т) называется квазидиагональной мерой, если для почти всех гг, у условные меры vz и vv, возникающие в представлении

Говорят, что действие 1 квазипростое порядка п, если для любого его эр-годического самоприсоединения порядка п, кроме ¿4®", выполнено: одна из

имеют вид:

его проекций на двумерную грань в X х ... х X являеся квазидиагональной мерой. Приведенное определение автоматически распространяется на произвольные групповые действия. Результат Глазнера, Оста и Рудольфа 20 о том, что для автоморфизмов свойство простоты порядка 3 влечет простоту всех порядков, обобщается в этом параграфе на случай квазипростых систем. ([13]) Если слабо перемешивающее Ъ-действие обладает свойством

квазипростоты порядка 3, то оно является квазипростым всех порядков.

§2.3. Минимальные самоприсоединения и кратная возвращае-мость. По определению автоморфизм Т обладает минимальными самоприсоединениями порядка n (AfSJ(n)), если он коммутирует только со своими степенями и является простым порядка п.

ТЕОРЕМА 2.3.1.([13]) Если преобразование обладает минимальными самоприсоединениями порядка 2и перемешивает с кратностью 2, то оно обладаетминимальными самоприсоединениями всех порядков и кратным перемешиванием всехпорядков.

Эта теорема показывает нетривиальность гипотетического контрпримера к вопросу о совпадении классов MSJ{2) и M5J(3), так как он дал бы отрицательное решение проблемы Рохлина о кратном перемешивании.

Теорема 2.3.1 вытекает из более общего утверждения, доказванного в этом параграфе.

([Щ)Пустъ перемешивющий автоморфизмТ 6 MSJ(2) обладает свойством кратного возвращения: для любого множества А положительной меры илюбойпоследовател ьност и

к(т) со, |&(т) — т| оо, для всех больших т выполнено условие р(Т-кЫА л Т-тА п Л) > с > 0.

Тогда Тобладает свойством кратного перемешивания и свойством ми-нимальныхсамоприсоединений всехпорядков.

§2.4. Четная и нечетная тензорная простота.

В этом параграфе даны примеры действий некоммутативной группы, которые обладают свойствами тензорной простоты нечетных порядков, но не обладают аналогичными свойствами четных порядков. Это приводит к понятию нечетной тензорной простоты.

20Glasner E., Host В., Rudolph D. Simple systems and their higher order self-joinings. Israel J. Math. 78(1992). 131-142.

Показано ([12]), что для действий некоторых некоммутативных групп, вообще говоря,

MSJ{2) ф MSJ{Z) ф М57(4).

Глава 3. Кратное перемешивание и тензорная простота потоков.

§3.1. Гладкие джойнинги и внутренние сплетения потоков.

М.Ратнер доказала, что любой эргодический джойнинг унипотентного потока в X являются гладким: он сосредоточен на гладком подмногообразии У С Хп и абсолютно непрерывен относительно меры Лебега на Y. Назовем потоки с таким свойством 8-потоками.

Следующий результат позволяет модифицировать доказательство Старкова о кратном перемешивании однородных потоков.

([4],[9]) Слабо перемешивающий S-поток является тензорно простым.

§3.2. Кратное перемешивание ,№-простых потоков. Поток {Т,}

называется простым, если он квазипростой, а число его неэквивалентных эргодических самоприсоединений порядка 2 не более, чем счетно. Самоприсоединения v и и' эквивалентны, если I/' = (Ы X Т,)и для некоторого времени 5. Доказано следующее утверждение ([3]):

слабо перемешивающий и-простой поток является тензорно простым.

Таким образом, перемешивающий w-простой поток является перемешивающим всех порядков.

§3.3. Тензорная простота потоков положительного локального ранга. Понятия рангов преобразований и групповых действий, используемых в 3 и 4 главе диссертации, тесно связаны со свойством циклической аппроксимации, активно изучавшейся в А.Б.Катком, В.И.Оселедцем, А.М.Степиным 21, а системы локального положительного ранга являются естественным подклассом класса стандартных систем, введенных А. Б. Катком и Е.А.Сатаевым 22. Системы положительного локального ранга имеют конечную спектральную кратность, оценка которой вычисляется методом, предложенным А.М.Степиным (6). Первые примеры систем с конечнократ-ным непростым спектром построил В.И.Оселедец (4), его примеры имеют конечный ранг.

"Каток А.Б , Степин А М. Аппроксимации в эргодический теории. УМН. 22 (1967). N0 5. 81-106.

"Каток А.Б., Сатаев Б А. Стандартность автоморфизмов перекладываний отрезков и потоков на поверхностях. Матем. заметки 20 (1976). N0 4 479-488.

Автоморфизм Я пространства Лебега (X,ц), ц(Х) = 1, обладает локальным рангом /3(5), если /3(5) есть максимум чисел @ > 0 таких, что для некоторой последовательности конечных разбиений пространства X вида

выполнено: любое фиксированное измеримое множество аппроксимируется ^-измеримыми множествами при ] -ьоо (пишем —► е), причем —>

Такие пары (Ся^') называются в диссертации аппроксимирующими башнями.

Для потока {7}} определение докального ранга аналогично, здесь разбиения имеют вид

= {Дп Т^В;, Т^В],Тн^В],...},

причем накладывается естественное требование

ТЕОРЕМА 3.3.1.([1],[18]) Перемешивающий поток {Тг}, г € К", п >

положительного локального ранга ((5({ТГ}) > 0) обладает свойством тензорной простоты и перемешиванием всех порядков.

Глава 4. Джойнинги и кратное перемешивание действий' конечного и положительного локального ранга.

Говорят, что автоморфизм 5 имеет ранг г — Яапк(8), если г есть минимальное число такое, что найдется последовательность разбиений —> е вида

й = (В), 52В].....Зк1в},... В], 5В;, £2в;,... „ у;-}

(условие -> £ влечет за собой Л], Л]..оо и -> 0).

§4.1. D-свойство перемешивающих автоморфизмов конечного ранга.

Будем говорить, что автоморфизм Т обладает Б-свойством, если найдутся последовательности аппроксимирующих башен

(ад. (ВД).

где = {Ej, TEj,... ТЩ), $ = {Щ, ТЩ,... Th'E'},

Z'j — {Ej,TE'-t. ..T^E'j}, причем для некоторой последовательности mj,

rrij > hj, выполняются следующие условия:

MmniUj) = а > 0, »{Ej) = =

Щ = Tm'Eh ^(T^'U'jAUJ) ->• О, maxn{TmE'j | Щ) -> 0.

Результат, параграфа гласит: ([2])Перемешивающий автоморфизм ко-нечногоранга обладаетВ-свойством'.

§4.2. D-свойство перемешивающих г"-действий и локальный, ранг. По аналогии с D-свойсгвом для действий группы Z вводится D-свойсгво 2п-действий, п > 1.

([18]) Если Zn-действие{Т,} обладаетсвойствомперемешиванияи Р\Тг} > jr, тодействиеобладаетВ-свойством.

§4.3. Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством.

В этом параграфе применяется техника индуцированных джойнингов и техника аппроксимаций джойнингов для доказательства следующего результата.

ТЕО РЕМА 4.3.1.([2],[18]) Перемешивающей^ ■ 'действие, обладающее В-свойством, лвллетсл тензорно простым и, следовательно, обладает перемешиванием всехпорядков.

СЛЕДСТВИЕ. ([2]) Перемешивающие автоморфизмы конечногоранга обладают перемешиванием всехпорядков.

Таким образом, получено решение проблемы Рохлина для действий конечного ранга, что обобщает теорему Каликова23.

§4.4. Локальный ранг и кратное перемешивание. Пусть Т - перемешивающий автоморфизм, предположим, что он не обладает перемешиванием кратности 2. Фиксируем А, В, С - некоторые измеримые множества. Определим л-отклонение от кратного перемешивания:

Der(e,A,B,C) =

"Kalkw SA Tweffl mXing impfes talffl mXing fcr lark ens transOnmalieris. Eged Th. Dyram. Sys 4 (1984). 237-239.

= {М е : ЫА[\Т'Вр\Т"С) - (г(АЫВЫС)I > £},

Положим сЦИ) = Щ}ег(е, А,В,С)//1. (Аналогичным образом d(h) определяется для действий групп Zn.)

Имеет место следующий факт: если Т - перемешивающий автоморфизм, то d(h) - ограниченная последовательность. Если же действие {Гх} перемешивает двукратно, то d(h) = 0 начиная с некоторого h.

Следующее свойство является промежуточным между однократным и двукратным перемешиванием. Говорим, что действие обладает свойством (1 4- г) -перемешивания , если для любых измеримых множеств А,В,С и йвыполнено

£*(Л) ->• 0.

В этом параграфе доказано, что ([8]) (1 + е)-перемешивание для 2п действия положительного локального ранга влечет его тензорную простоту.

Следствие: ([2]) перемешивающий с кратностью 2автоморфизм поло-жителъного локального ранга является тензорно простым и перемешивает с любой кратностью.

§4.5. Ранги и джойнинги ТхТ.

Примеры автоморфизмов Т с положительным локальным рангом произведения ТхТ были предъявлены А.Катком в связи с изучением спектральной кратности автоморфизмов пространства Лебега. В этом параграфе автором получен следующий результат.

([19])Ранг декартового квадрата автоморфизмаравен бесконечности: Яапк{Т х Т) = оо.

Локальный ранг /3 (Тх Т) не превосходит

Если локальныйранг эргодического автоморфизма ТхТ равен 5, то Тобладаетге-перемешиваниемпри ае = 5.

Последнее утверждение вместе с конструкцией А. Катка перекладывания Т трех отрезков со свойством /3(Т хТ) = | подтверждает гипотезу В.И.Оселедца (5) о существовании перекладываний конечного числа отрезков, обладающих свойством ае-перемешивания

Глава 5. Некоторые спектральные, алгебраические и асимптотические свойства динамических систем.

§5.1. Проблема Рохлина об однородном спектре. Вопрос о существовании эргодической динамической системы с однородным непро-тым спектром - давняя задача спектральной теории динамических систем. Этой проблеме посвящена брошюра Д.В.Аносова 24. А.Каток в 80-х годах высказал гипотезу, что для типичного преобразования Т его декартов квадрат обладает однородным спектром кратности 2. Гипотеза была подтверждена автором.

([16],[17]) Пусть Т - эргодический автоморфизм, и для некоторой последовательности ki—ьоои числа а £ (0,1) выполнено Тк< -»• (а/ + (1-а)Т). Тогда

1) для спектральной меры а автоморфизма Т выполнено а * а J. <7/

2) если Т имеет простой спектр, то (Т х Т) имеет однородный спектр кратности 2.

Приведенный выше результат независимо получил О.Н.Агеев 25. Отметим, что автоморфизмы Т со свойством

fb рассматривались

в работе А.Б.Катка и А.М.Степина 2б.

В следующей теореме предлагается класс автоморфизмов, обладающих лучшими перемешивающими свойствами (если параметр а близок к 1).

ТЕОРЕМА 5.1.2. ([16],[17])Яуспп> для эргодического автоморфизмаТ для некоторой последовательности Л,- оо и числа а 6 (0,1) выполнено ?*■-> (l-a)(/ + af + a2f2+ ...)• Тогда

1) для спектральной меры а автоморфизма Т выполнено

2) еслиТ имеет простой спектр, то автоморфизм R, R(xy) = (у,Тх), имеет простой спектр, а автоморфизм (ТхТ) имеет однородный спектр кратности 2.

§5.2. Перемешивающие автоморфизмы с однородным непростым спектром. Оказывается, что, улучшая перемешивающие свойства автоморфизма со свойством «ТхТ имеет однородный спектр кратности

"Аносов Д.В. О спектральных кратностях в эргсринескойтеории. Современные проблемы чин-чашки. Выпуск 3. М.: МИРАН. 2003.

MAgeev О N. On ergodic transformations with homogeneous spectrum. J. Dynamical and Control Systems. 5 (1999). No 1. 149-152.

"Каток А.Б., Степик AM. Метрические свойства гомеоморфизмов, сохраняющих меру. УМН. 25 (1970). No 2. 193-220.

2», сохраняя это свойство, в пределе можно получить перемешивающий автоморфизм. Таким образом, проблема об однородном спектре получает решение в классе перемешивающих систем.

ТЕОРЕМА 5.2.1. ([17]) Существует перемешивающий автоморфизм Т, обладающий свойством: симметрическое произведение TQT имеет простой спектр, а прямое произведение Т хТ имеет однородный спектр кратности 2.

§5.3. Изоморфизм декартовых степеней преобразований и ае-перемешивание. Для типичных автоморфизмов Т дан положительный ответ ([11]) на вопрос Тувено «влечет ли изоморфизм Г х Т и S х S за, собой изоморфизм преобразований Т и S?» В доказательстве используется результат А.М.Степина о типичности свойства ае-перемешивания.

§5.4. Асимметрия прошлого и будующего динамической системы. Примеры преобразований, не изоморфных своему обратному, известны давно (обсуждение этой проблематики имеется в статье Д.В.Аносова 27). Цель этого параграфа - предложить асимптотический инвариант, который может различить автоморфизм Г и Т~В роли такого инварианта рассматривается свойство кратной возвращаемости на последовательностях.

([ 1Ь]) Существуетя автоморфизм Т, обладающий свойством: для некоторой последовательности n(t) со для. любого множества &В

tHm ^(А ПТпМАПТ3п('')Л) > ^(Л),

при этом длл некоторого множества А', р{А') > 0, имеет место .lim р(А' П Т~п^А' П Т~3"',Ы') = 0

( в качестве такого множества А' годится любое множество, удовлетворяющее условию ц(А! П ТА') = ¡г[А' П Т*А') =0).

§5.5. Расширения, сохраняющие тензорную простоту и кратное перемешивание.

Тип расширений, который приведен ниже, сохраняет свойство тензорной простоты даже в случае, когда автоморфизм Т этим свойством не обладает. В случае бернуллиевского Т косое произведение R обладает континуальной системой факторов, что контрастирует с традиционными примерами тен-зорно простых систем.

27Аносов Д В. О вкладе Н Н. Боголюбова в теорию динамических систем. УМН. 49(1994) No 5. 5-20.

([4]) Пусть Я,Т - перемешивающие преобразования, где Я есть косое произведение над ^ следующего вида:

Если автоморфизм ^ перемешивает с кратностью к, то косое произвел дениеЛ также обладает перемешиванием кратности к. Если автоморфизм ^ лвллетсл тензорно простым, то Я также является тензорно простым.

Доказательство этой теоремы использует результат А.Б.Крыгина о консервативности цилиндрического каскада, ассоциированного с косым произведением Я при f п(х)йц = 0.

Автор благодарен профессору А.М.Степину за его постоянное внимание к работе и плодотворные обсуждения.

Автор также глубоко признателен всем руководителям упомянутых семинаров и обязан коллективу кафедры теории функций и функционального анализа МГУ во главе с членом-корреспондентом РАН профессором П.Л.Ульяновым за интерес к работе и поддержку.

1. Рыжиков В.В. Джойнинги, сплетения, факторы и перемешивающие свойства динамических систем. Изв. АН СССР. сер. матем.57(1993).Мо 1. 102-128.

2. Рыжиков В.В. Джойнинги и кратное перемешивание действий конечного ранга. Функц. анализ и его прил. 27(1993). N0 2. 63-78.

3. Рыжиков В.В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем. Матем. сборник. 188(1997). N0 2. 67-94.

4. Рыжиков В.В. Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем. Функц. анализ и его прил. 31(1997). N0 2. 45-57.

5. Рыжиков В.В. Стохастические сплетения и джойнинги динамических систем. Матем. заметки. 52(1992). N0 3. 130-140.

6. Рыжиков В.В. Джойнинги динамических систем. Аппроксимации и перемешивание. УМН. 46(1991). N0 5. 177-178.

7. Рыжиков В.В. Косые произведения и кратное перемешивание динамических систем. УМН. 49(1994). N0 2. 163-164.

Основные публикации автора по теме диссертации

8. Рыжиков В.В.' Кратное перемешивание и локальный ранг динамических систем. Функц. анализ и его прил. 29(1995). No 2. 88-91.

9. Рыжиков В.В. Функциональный взгляд на. теорему Семереди. Замечание о кратном перемешивании потоков. УМН. 50(1995). No б. 213-214.

"с 10. Ryzhikov V.V. Stochastic intertwinings and multiple mixing of dynamical systems. J. Dynamical and Control Systems. 2(1996). No 1. 1-19.

11. Рыжиков В.В. Типичность изоморфизма преобразований при изоморфизме их декартовых степеней. Матем. заметки. 59(1996). No 4. 630-632.

12. Рыжиков В.В. Четная и нечетная простота динамических систем с инвариантной мерой. Матем. заметки. 60(1996). No 3. 470-473.

13. Ryzhikov V.V. Around simple systems. Induced joinings and multiple mixing. J. Dynamical and Control Systems. 3(1997). No 1. 111-127.

14. Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение сохраняющих меру преобразований. Препринт ВИНИТИ. 1991. 1-68.

15. Рыжиков В.В. Об асимметрии каскадов. Труды МИРАН. 216(1997). 154-157.

16. Ryzhikov V.V. Transformations having homogeneous spectra. J. Dynamical and Control Systems. 5(1999). No 1. 145-148.

17. Ryzhikov V.V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dynamical systems. Selected Russian Mathematics. 1(1999). No 1. 13-24.

18. Рыжиков В.В. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в классе действий положительного локального ранга. Функц. анализ и его прил. 34(2000). No 1. 90-93.

19. Рыжиков В.В. О рангах эргодического автоморфизма ТхТ. Функц. анализ и его прил. 35(2001). No 2. 84-87.

»16447

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать ОЛ

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л {, 25

Тираж 100 экз Заказ 26

Лицензия на издательскую детальность ИД В 04059, от 20 02 2001г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им АМ Ляпунова

ВВЕДЕНИЕ.

§0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании.

§0.2. Теория джойнингов и ее приложения.

§0.3. Теория марковских сплетающих операторов.

§0.4. Структура и основные результаты диссертации

Глава 1. МАРКОВСКИЕ СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§1.1. Несколько методологических принципов теории сплетений.

§1.2. Дополнительная симметрия.

§1.3. Индуцированные джойнинги.51'

§1.4. Примеры тензорно простых систем.

§1.5. Связь типов тензорной простоты.

Глава 2. СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ, ПРОСТЫМ

И КВАЗИПРОСТЫМ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ

§2.1. Простые системы с несчетным централизатором

§2.2. Наследственная независимость и квазипростота действий.

§2.3. Минимальные самоприсоединения и кратная возвращаемость.

§2.4. Четная и нечетная тензорная простота.

Глава 3. ДЖОЙНИНГИ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА НЕКОТОРЫХ ПОТОКОВ.

§3.1. Гладкие джойнинги и тензорная простота потоков.

§3.2. Тензорная простота ^-простых потоков.

§3.3. Перемешивающие потоки положительного локального ранга.

Глава 4. ДЖОЙНИНГИ ДЕЙСТВИЙ КОНЕЧНОГО И ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЛОКАЛЬНОГО РАНГА

§4.1. D-свойство перемешивающих автоморфизмов конечного ранга.

§4.2. D-свойство перемешивающих Z"-действий и локальный ранг.

§4.3. Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством.

§4.4. Кратное перемешивание и локальный ранг.

§4.5. Ранги и джойнинги автоморфизма ТхТ.

Глава 5. НЕКОТОРЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§5.1. Проблема Рохлина об однородном спектре.

§5.2. Перемешивающие автоморфизмы с однородным непростым спектром.

§5.3. Изоморфизм декартовых степеней преобразований и ае-перемешивание.

§5.4. Асимметрия прошлого и будущего системы и кратная возвращаемость.

§5.5. Расширения, сохраняющие кратное перемешивание и тензорную простоту

§0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании

Основным объектом исследования в диссертации является обратимое сохраняющее меру fi преобразование Т пространства Лебега (X, В, /г), которое называют автоморфизмом. Динамической системой называется четверка (Т, X, /и) или, в более общей ситуации, сохраняющее меру действие некоторой группы. Среди свойств Т, которые представляют интерес для эргодической теории, особую роль играют асимптотические свойства (свойства систем для больших значений времени). Рассмотрим пример такого свойства, который является ключевым для нашей работы.

Кратное перемешивание. Говорят, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Ло,., Ak £ В и любых последовательностей п\,., nk —> со выполнено: fi(A0 Г\ТП1А\. П Tn>+-+nkAn) -> /i(Ao)M^i) • • • »(Ak).

В.А. Рохлин в работе [21] ввел понятие кратного перемешивания и доказал, что эргодический эндоморфизм компактной коммутативной группы обладает кратным преме-шиванием всех порядков. Проблема эквивалентности свойств перемешивания разных порядков, получившая название проблемы Рохлина о кратном перемешивании, стала популярна после выхода книги Халмоша [58]. Напомним историю результатов.

В.П. Леонов [13] показал, что перемешивающие гауссов-ские системы обладают перемешиванием всех кратностей. Ф. Ледраппье [71] обнаружил контрпример к проблеме о кратном перемешивании для действий группы Z2. Он построил перемешивающее действие группы Z2, которое не обладает перемешиванием кратности 4. Это действие образовано коммутирующими сдвигами (автоморфизмами) подгруппы Н группы 2z2, где Н состоит из всех последовательностей {^(2)}, 2 G Z2, h(z) G Z2, таких, что условие h(zi +1, z2) + h(zi, z2 +1) + h(zi -1,22) + h(zi, z2 -1) = h(z\, z2) выполнено для всех 2 = (21,2:2). Идея Ледраппье позволяет варьировать результаты: для каждого к найдется коммутативное действие, обладающее перемешиванием кратности к, но не обладающее перемешиванием кратности (к + 1). Однако проблема Рохлина о кратном премешивании, поставленная для Z-действий, остается открытой более полувека.

Упомянем результаты, дающие положительный ответ для некоторых классов динамических систем. Я.Г. Синай высказал гипотезу о том, что орициклический поток является перемешивающим всех степеней, которую подтвердил Б. Маркус, доказавший более общее утверждение: свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. Ряд обобщений теоремы Маркуса был получен позднее в [23], где автор применил метод джойнингов, а также Ш. Мозесом [74] и А.Н. Старковым [29],[30]. Так, например, в [29] доказано свойство кратного перемешивания для однородных перемешивающих потоков. Ряд общих результатов и наблюдений о кратном перемешивании получены авторами [22], [48], [81], [84]. Проблема Рохлина о кратном перемешивании допускает модификации. Например, влечет ли слабое перемешивание за собой слабое перемешивание всех порядков? [22].

Один из наиболее общих результатов принадлежит Б. Осту [59]: перемешивающие автоморфизмы с сингулярным спектром не допускают нетривиальных самоприсоединений с парной независимостью и по этой причине обладают перемешиванием бесконечной кратности. Вывод из теоремы Оста: контрпримеры к проблеме Рохлина следует искать в классе систем с быстрым перемешиванием кратности 1.

В [67] С. Каликов установил свойство перемешивания кратности 2 для перемешивающих автоморфизмов ранга 1. Результат Каликова был несколько неожиданным, так как здесь свойство кратного перемешивания получено для систем со слабыми статистическими свойствами. Автор в [24] привел обобщение теоремы Каликова для всех кратностей, основанное на технике джойнингов, показав, что перемешивающие автоморфизмы ранга 1 не допускают самоприсоединения с парной независимостью. В диссертации эквивалентное свойство, сформулированное в терминах сплетающих операторов, называется тензорной простотой (определение приводится ниже). Но интерес к этому свойству связан не только с тем, что тензорная простота перемешивающей системы влечет за собой кратное перемешивание.

Тензорную простоту можно рассматривать как аналог свойства взаимной сингулярности спектральной меры автоморфизма и ее сверточного квадрата (первое указание на это появилось в работе Оста [59]). Упомянутое спектральное свойство в относительном варианте было обнаружено A.M. Степиным [31] для групповых действий при решениии проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектров динамических систем (этой проблеме посвящены также работы В.И.Оселедца [15] и А.М.Степина [34]). Таким образом, свойство тензорной простоты, появившееся внутри теории джойнингов [64], оказалось замечательным образом связанным с проблемами Колмогорова и Рохлина.

Предположим, что контрпример к проблеме Рохлина найден. Тогда можно задать меру v на кубе Xn+1, определяя значения v(Aq х А\. х Ап) как предел выражений вида l2(A0nTniAi. .ПТП1+-+ПкАп). Такая мера является самоприсоединением: она инвариантна относительно прямого произведения Т(о) х Т(!). х Т(п), а ее проекции на двумерные грани куба Xn+l стандартны, т.е. совпадают с мерой р, 0 /i. Говорим, что такие самоприсоединения обладают попарной независимостью. Причем мера v нетривиальна, т.е. v ф fji® fi.

Хотя наш пример для действий группы Z является гипотетическим, для упомянутого действия Z2 из работы Ледр-аппье мы получим нетривиальное самоприсоединение.

Если же будет доказано, что рассматриваемая система не допускает таких нетривиальных джойнингов, мы установим кратное перемешивание (или слабое кратное перемешивание, когда система обладала только слабым перемешиванием). В этом и состоит подход в изучении проблемы Рохлина, использующий джойнинги. 1 Последние, как мы увидим позже, тесно связаны с понятием марковского сплетающего оператора.

1. Аносов Д.В. Геодезические потоки на римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды МИАН. Т.90. 1967.

2. Аносов Д.В. О вкладе Н.Н. Боголюбова в теорию динамически х систем. УМН. 49(1994) No 5. 5-20.

3. Аносов Д.В. О спектральных кратностях в эргодиче-ской теории. Современные проблемы математики. Выпуск 3. М.: МИР АН. 2003.

4. Вершик A.M. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские процессы. Зап. науч. сем. ЛОМИ. 72(1977). 26-62.

5. Вершик A.M., Корнфельд И.П., Синай Я.Г. Общая эрго-дическая теория групп преобразований с инвариантной мерой. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. Т.2. М.: ВИНИТИ, 5-111 (1985).

6. Гуревич Б.М. Энтропия потока орициклов. ДАН СССР. 136(1961). No 4. 768-770.

7. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. УМН. 7 (1952). No 1. 118-137.

8. Каток А.Б., Сатаев Е.А. Стандартность автоморфизмов перекладываний отрезков и потоков на поверхностях. Матем. заметки. 20 (1976). No 4. 479-488.

9. Каток А.Б., Степин A.M. Аппроксимации в эргодиче-ской теории. УМН. 22 (1967). No 5. 81-106.

10. Каток А.Б., Степин A.M. Метрические свойства гомеоморфизмов, сохраняющих меру. УМН. 25 (1970). No 2. 193-220.

11. Каток А.Б., Синай Я.Г., Степин A.M. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой. «Итоги науки». Математический анализ. Т.3.(1985). М.: ВИНИТИ. 5-111

12. Крыгин А.Б. Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами. Вестник МГУ сер.1. 1975. No 5. 26-32.

13. Леонов В.П. Применения характеристических функционалов и семиинвариантов в эргодической теории стационарных процессов. ДАН СССР. 133 (1960). No 3. 523526.

14. Оселедец В.И. О спектре эргодических автоморфизмов. ДАН СССР. 168(1966). No 5. 1009-1011.

15. Оселедец В.И. Автоморфизмы с простым непрерывным спектром без группового свойства. Матем. заметки. 5(1969). No 3. 323-326.

16. Оселедец В.И. Две неизоморфные динамические системы с одинаковым простым непрерывным спектром. Функц. анализ и его прил. 5(1971). No 3. 75-79.

17. Парасюк О.С. Потоки гороциклов на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. УМН. 1953. 8(1953). No 3. 125-126.

18. Пинскер М.С. Динамические системы с вполне положительной и нулевой энтропией. ДАН СССР. 133(1960). No 5. 1025-1026.

19. Kalikow S.A. Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations. Ergod. Th. Dynam. Sys. 41984). 237-259.

20. King J.L. Joining-rank and the structure of finite-rank mixing transformation. J. Analyse Math. 51. 182-227 (1988).

21. King J.L. Ergodic properties where order 4 implies infinite order. Israel J. Math. 80(1992). 65-86.

22. King J. L., Thouvenot J.-P. A canonical structure theorem for finite joining-rank maps. J. Analyse. Math. 56(1991). 211-230.

23. Rudolph D.J. Fundamentals of Measurable Dynamics. Oxford University Press. Oxford. 1990.

24. Schmidt K. Mixing automorphisms of compact group and a theorem by Kurt Mahler. Pacific J.Math. 137 (1989). 371385.

25. Stepin A.M. Les spectres des systemes dynamique. Actes, Congres Intern. Math. 2(1970), 941-946.

26. Thouvenot J.-P. Une classe de systemes pour lesquels la conjecture de Pinsker est vraie. Israel J. Math. 21(1975). 208-214.

27. Thouvenot J.-P. Les systems simples sont disjoints de ceux qui sont infiniment divisibles et plongeabls dans un flot. Colloq. Math. Vol 84/85 (2000). part 2. 481-483.

28. Veech W.A. A criterion for a process to be prime. Monat-shefte Math. 94 (1982). 335-341.Работы автора по теме диссертации

29. Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение сохраняющих меру преобразований. Препринт ВИНИТИ. 1991. 1-68.

30. Рыжиков В.В. Джойнинги динамических систем. Аппроксимации и перемешивание. УМН. 46(1991). No 5. 177-178.

31. Рыжиков В.В. Стохастические сплетения и джойнинги динамических систем. Матем. заметки. 52(1992). No 3. 130-140.

32. Рыжиков В.В. Джойнинги и кратное перемешивание действий конечного ранга. Функц. анализ и его прил. 27(1993). No 2. 63-78.

33. Рыжиков В.В. Джойнинги, сплетения, факторы и перемешивающие свойства динамических систем. Изв. АН СССР. сер. матем. 57(1993). No 1. 102-128.

34. Рыжиков В.В. Косые произведения и кратное перемешивание динамических систем. УМН. 49(1994). No 2. 163-164.

35. Рыжиков В.В. Кратное перемешивание и локальный ранг динамических систем. Функц. анализ и его прил. 29(1995). No 2. 88-91.

36. Рыжиков В.В. Функциональный взгляд на теорему Се-мереди. Замечание о кратном перемешивании потоков. УМН. 50(1995). No 6. 213-214.

37. Ryzhikov V.V. Stochastic intertwinings and multiple mixing of dynamical systems. J. Dynamical and Control Systems. 2(1996). No 1. 1-19.

38. Рыжиков В.В. Типичность изоморфизма преобразований при изоморфизме их декартовых степеней. Матем. заметки. 59(1996). No 4. 630-632.

39. Рыжиков В.В. Четная и нечетная простота динамических систем с инвариантной мерой. Матем. заметки. 60(1996). No 3. 470-473.

40. Ryzhikov V.V. Around simple systems. Induced joinings and multiple mixing. J. Dynamical and Control Systems. 3(1997). No 1. 111-127.

41. Рыжиков В.В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем. Матем. сборник. 188(1997). No 2. 67-94.

42. Рыжиков В.В. Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем. Функц. анализ и его прил. 31(1997). No 2. 45-57.

43. Рыжиков В.В. Об асимметрии каскадов. Труды МИ-РАН. 216(1997). 154-157.

44. Ryzhikov V.V. Transformations having homogeneous spectra. J. Dynamical and Control Systems. 5(1999). No 1. 145-148.

45. Ryzhikov V.V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dynamical systems. Selected Russian Mathematics. 1(1999). 13-24.

46. Рыжиков В.В. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в классе действий положительного локального ранга. Функц. анализ и его прил. 34(2000). No 1. 90-93.

47. Рыжиков В.В. О рангах эргодического автоморфизма Т х Т. Функц. анализ и его прил. 35(2001). No 2. 84-87.