Применение теоретико-функциональных и аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.9

Кочергин Андрей Васильевич

Применение теоретико-функциональных и

аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор C.B. Конягин

Доктор физико-математических наук, профессор В.И. Оселедец

Доктор физико-математических наук, профессор Б.А. Сатаев

Ведущая организация

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится "18" февраля 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "18" января 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 доктор физико-математических наук, профессор

MW?!-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Свойства перемешивания и слабого перемешивания были выделены как особые свойства динамических систем практически одновременно с введением понятия эргодичности. Будучи более сильными, эти свойства являются также и более тонкими в том отношении, что эргодичность зависит только от разбиения фазового пространства на траектории, а свойства перемешивания — также и от скорости движения по ним. При «замене времени», когда в одних местах движение ускоряется, а в других замедляется, свойства перемешивания могут измениться.

Активное изучение спектральных и перемешивающих свойств потоков на двумерном торе и изоморфных им специальных потоков (или надстроек, см. стр. 8) над поворотом окружности было стимулировано работой А.Н. Колмогорова1 и его докладом на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г. (этими вопросами интересовался и Дж. фон Нейман2). А.Н. Колмогоров показал, что гладкий поток без неподвижных точек с гладкой инвариантной мерой и числом вращения, достаточно плохо аппроксимируемым иррациональными числами, гладко сопряжен с линейным потоком, т.е задает условно периодическое движение и имеет дискретный спектр. Если число вращения хорошо аппроксимируется рациональными дробями, то поток в определенных случаях может быть слабо перемешивающим или, что то же самое, иметь непрерывный спектр.

Вопросу приводимости потока к линейному, изучению слабого перемешивания и спектральных свойств в связи с гладкостью и арифметикой числа вращения были посвящены работы многих авторов, например А.Б. Катка, A.M. Степина, Р.В. Чакона, У. Перри, М. Эрмана, Б. Фай-ада, A.B. Рождественского.

Было обнаружено наличие эффектов, которые можно получить в линейном потоке на торе заменой времени, в ряде случаев противоре-

'А.Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральным инвариантом на торе, Докл. АН

СССР, 93 (1953), 763-766.

3 J von Neumann, Zur Operatorenmethoie »n Лег klassischen Mechanik, Ann. of Math , 33 (1932), 587-602.

рос.....—

i

чивших интуиции А.H. Колмогорова. Например, А.Б Крыгин3 построил непрерывный поток, имеющий всего одну образующую в дискретной компоненте спектра, а недавно был построен и гладкий поток с аналогичным свойством.4 Можно назвать также ряд работ, обобщающих результаты А.Н. Колмогорова на случай торов большей размерности, например, работы М. Эрмана5 и Б. Файада6. Кроме того, М. Эрман7, а также Я.Г. Синай и K.M. Ханин8 исследовали проблему существования у гладкого потока на торе инвариантной меры (тогда как А.Н. Колмогоров предполагал наличие у потока гладкой инвариантной меры в качестве условия). Р.В. Чакон9 получил довольно общие результаты о существовании замены времени, превращающей поток в слабо перемешивающий. Позднее А.Т. Таги-Заде10 доказал типичность таких замен.

Ряд работ, в которых потоки исследовались методом циклических аппроксимаций, опубликовали А.Б. Каток, В.И. Оселедец и A.M. Степин (см., например11).

В свете результатов А.Н. Колмогорова возникал естественный вопрос о существовании (сильно) перемешивающих потоков на двумерном торе. Для произвольных потоков П. Халмош12 доказал типичность слабого перемешивания, а В.А. Рохлин13— нетипичность (сильного) перемешивания.

В работе автора14 дан отрицательный ответ на вопрос о существовании гладких перемешивающих потоков без неподвижных точек на торе. В ней показано, что специальный поток, построенный по повороту

*А.Б. Крыгин, Пример непрерывного потока на торе со смешанным спектром. Матем. заметки, 1S (1974), №2, 235-240.

4В. Fay ad, A. Katok, A. Windsor, Mixed spectrum reparametnzations of linear flows on T2. Mose. Math. J., 4, (2001).

'M.R. Herman, Exemples de flots hamUtoniense dont aucune perturbation en topologie C°° n'a d'orbites périodiques sur un ouvert de surfaces d'énergies. C.R Acad. Sei. Paris, J12 (1991), 989-994.

*B. Fayad, Weak mixing for reparametemed linear flows on the torus. Ergodic Theory Dynam. Systems, » (2002), №1, 187-201.

TM.R. Herman, Sur la conjugation différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sei., 4» (1979), 5-233.

•Я.Г. Синай, K.M Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности. Фунюшон. анализ и его прилож., 26 (1992), №3, 1-21.

»R.V. Chacon, Change of velocity m flows. J. Math. Mech., 16 (1966), №5, 417-431.

,0A.T. Таги-Заде Замена времени в специальных потоках. Матем заметки, 25 (1979), №5, 725-732

"А.Б. Каток, A.M. Степин, Аппроксимации » зргодической теории. УМН, 5 (137), (1967), №5, 81106.

"P.R. Haimos, In general, a measure-preserving transformation is mixing Ann. of Math., ser 2, 45 (1944), №4, 784-792.

"B.A. Рохлин, Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. ДАН СССР, <0 (1948), »3, 349-351.

14A.B. Кочергин, Об отсутствии перемешивания у специальных потоков над поворотом окружности и у потоков на двумерном торе. Докл. АН СССР, 205, (1972), 515-518.

окружности и функции ограниченной вариации, не перемешивает. Недавно аналогичный результат был сформулирован М. Леманчиком15 в терминах коэффициентов Фурье «крыши» потока.

В другой работе автора16 доказано, что любой апериодический непрерывный поток на компактном метрическом пространстве, эргодиче-ский относительно борелевской меры, можно сделать перемешивающим сколь угодно малой непрерывной заменой времени. Изящно модифицировав эту конструкцию, Б. Файад (2000) построил перемешивающий аналитический поток на трехмерном торе.

Для гладкого потока с неподвижными точками на поверхности, эр-годического относительно гладкой инвариантной меры, в работе автора17 установлено свойство перемешивания в предположении вырожденности неподвижных точек потока.

В работе В.И. Арнольда18 естественным образом возник поток на двумерном торе, фазовое пространство которого распадается на ячейки, ограниченные замкнутыми сепаратрисами невырожденных особых точек и заполненные периодическими траекториями, и эргодическую компоненту. Последняя изоморфна специальному потоку, построенному по повороту окружности и функции с логарифмическими особенностями. В специальных случаях эта функция может быть в определенном смысле симметричной, и для такой ситуации в работе автора19, показано, что замедления движения в окрестностях невырожденных неподвижных точек, вообще говоря, недостаточно для возникновения перемешивания. В общем случае функция является асимметричной за счет того, что с одной стороны от особой точки траектория проходит вдвое чаще, чем с другой, и В.И. Арнольд, в частности, поставил вопрос о перемешивании для таких потоков, а Я.Г. Синай и К.М. Ханин20 доказали свойство перемешивания для некоторого класса диофантовых углов поворота. Для других иррациональных чисел вращения вопрос о перемешивании оставался открытым.

15М Lemanczyk, Sur l'absence de mélange pour des flots spéciaux au dessus d'une rotation trraitonelle. Colloq. math., 84/85, (2000), 2^-41.

"A В Кочергин, Замена времени в потоках и перемешивание. Изв АН СССР, сер матем , 37 (1973), 1275 1298

17А.В Кочергин, О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в гладких потоках на поверхностях Матем. сб , вв (138), (1975), №3, 471 502

18В И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами. Функц. анализ и его прилож., 2S (1991), №2, 1-12.

"А В. Кочергин, Невырожденные седла и отсутствие перемешивания. Матем. заметки, It (1976), №3, 453-468.

'"Я Г. Синай. К.М Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности Функцион анализ и его прилож , 26 (1992), №3, 1-21

Проблема изоморфизма потоков при замене времени, теория монотонной эквивалентности Амброза и Какутани21, (см. также22) тесно связаны с разрешимостью функционального уравнения f{x) — д(х) = ip(Tx) — <р(х) (Т — эргодический автоморфизм пространства Лебега (X, ц), f,g € Ll(X, (i)) относительно измеримой функции ¡р. Для случая, когда Т — поворот окружности, А.Н. Колмогоров доказывал его разрешимость в классе гладких функций, используя разложение в ряд Фурье. Д.В. Аносов23 показал, что даже для аналитических / и д решение tp может быть всего лишь измеримым и с расходящимся рядом Фурье (что, впрочем, достаточно для метрического изоморфизма соответствующих надстроек). В настоящей диссертации нашел отражение естественный в теории монотонной эквивалентности вопрос о свойствах гладкости или непрерывности, которые может иметь замена времени, эквивалентная данной.

Результаты настоящей диссертации являются естественным развитием более ранних результатов автора.

Цель работы. Исследовать свойства биркгофовых сумм для различных функций над поворотом окружности и установить связь этих свойств с перемешивающими свойствами специальных потоков. На основе этого доказать существование почти лишпицевых перемешивающих потоков на двумерном торе, оценить скорость перемешивания для некоторого класса таких потоков, а также доказать свойство перемешивания (в связи с вопросом В.И. Арнольда) для новых классов потоков с невырожденными неподвижными точками на торе и на других поверхностях.

Целью работы является также доказательство того, что требование непрерывности не накладывает никаких ограничений на метрические свойства потоков, которые можно получить из произвольного апериодического эргодического потока заменой времени.

Научная новизна. Показано, что для любого (в определенном смысле регулярного) условия непрерывности, более слабого, чем условие Липшица, существует перемешивающий специальный поток, построенный по некоторому повороту окружности и функции, удовлетворяющей данному условию непрерывности. Аналогичное утверждение доказано при ограничении на функцию, формулируемом в терминах ее коэффициентов

"W. Ambrose, S Kakuktani, Structure and continuity of measurable flows Duke Math. J (1942), 9, 25-42.

32 А Б Каток, Монотонная эквивалентность в эргодической теории. Изв. АН СССР, сер матем , 41 (1977), 104-157.

ИД В Аносов, Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с зргодиче-ским поворотом окружности. Изв. АН СССР, сер иатем., S7 (1973), 1259-1274.

Фурье. Получена степенная оценка скорости перемешивания для некоторого класса специальных потоков над поворотом окружности с функцией, удовлетворяющей условию Гельдера.

Получены новые результаты о перемешивающих свойствах специального потока, построенного по повороту окружности на иррациональный угол и асимметричной функции с логарифмическими особенностями (такое представление допускает эргодическая компонента потока на двумерном торе с невырожденными гиперболическими неподвижными точками, описанного В.И. Арнольдом). Существенно ослаблены условия Я.Г. Синая и K.M. Ханина на диофантов угол поворота, при которых доказано перемешивание. Установлено свойство перемешивания в случае произвольного иррационального угла и сильно асимметричной функции (т.е. функции, у которой асимметрии всех особых точек направлены в одну сторону). Показано, что при отсутствии некоторых вырождений типа специальных соотношений между коэффициентами особенностей функции, задающей надстройку, существует такой класс хорошо аппроксимируемых углов поворота (зависящий от данных коэффициентов), что для любого угла из этого класса специальный поток перемешивает.

Доказано, что всякая суммируемая функция когомологична над произвольным апериодическим эргодическим автоморфизмом ограниченной, непрерывной и даже почти дифференцируемой (если эти понятия совместимы в определенном смысле с мерой).

Методы исследования. В диссертации используются методы тео-» рии функций, теории меры, эргодической теории, в частности аппрок-

симационные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в эргодической теории и спектральной теории динамических систем. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико - математического факультета МГУ: на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова и профессора A.M. Степина, на семинаре под руководством профессора Б.М. Гуревича и профессора В.И. Оселедца. Результаты представлялись также на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа под руководством члена-корреспондента РАН профес-

сора П.Л. Ульянова и члена-корреспондента РАН профессора Б.С. Кашина. Кроме того, они были доложены в Математическом институте имени В.А. Стеклова на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова и профессора Ю.С. Ильяшенко.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях в МГУ: конференции, посвященной 100 - летию А.Н. Колмогорова в 2003 г., конференции, посвященной И.Г. Петровскому в 2004 г.; на международной конференции в МИАН, посвященной 70-летию В.М. Алексеева в 2002 г. Кроме того, они были представлены в выступлениях автора на межуниверситетском семинаре в Мериленде (США) в 2002 г., на международном коллоквиуме "Эргодическая теория и динамические системы" в университете Париж-13 в 2001 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложности на 27 параграфов, списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 244 страницы. Библиография содержит 80 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

Во введении дается обзор работ, в которых исследуются метрические свойства потоков на торах, обсуждаются мотивировки постановок задач, решаемых в диссертации, вводятся необходимые понятия и опреде- ' ления.

Глава 1. Перемешивание

§ 1.1. Специальные потоки и перемешивание. Специальный поток Б* (или надстройка), построенный по автоморфизму Т пространства с мерой (Х,ц) и положительной функции / £ 1}{Х,ц) (по-другому — спецпоток над автоморфизмом Т с функцией /) — это поток в пространстве

{(я, у) : х € X, 0 < у ^ /(х)} с естественной мерой,

причем геометрически можно представлять себе действие потока как движение с единичной скоростью по вертикальной прямой (при фиксированном х) с переходом из точки (х,/(х)) в точку (Тх, 0). Функция / иногда называется «крышей» специального потока.

Описывается механизм перемешивания в специальном потоке над поворотом окружности. Оно возникает из-за того, что точки соседних траекторий, проходя вертикальные отрезки от основания фазового пространства до «крыши» за различные промежутки времени, через некоторое время разбегаются достаточно далеко вдоль траекторий. В результате маленький горизонтальный отрезок сильно растягивается по вертикали и оказывается почти равномерно по фазовому пространству. Это растяжение описывается с помощью биркгофовых сумм f = /С^*1) Введем необходимые обозначения и определения.

Для почти каждого х € X и t > 0 через Jt(t, х) обозначим число скачков, которое совершит точка (х, 0) под действием потока S* за время t. Для любого множества F С X обозначим %(t, F) = {$(<, х) : х £ F}. Этот набор (диапазон) номеров необходимо рассматривать при описании распределения по фазовому пространству множества S'F.

Доказана лемма, позволяющая оценивать ширину диапазона %(t, F) через колебание f\F.

Пусть С С S1, ip : S1 —► R, ipfC — ограничение ip на множество С.

Определение. Функцию tp\C назовем е-равномерно распределенной (е-р.р.) в отрезке [а, Ь], если для любого отрезка [с, d] С [а, 6] выполняется неравенство

(M) ПС) > /х(С)£=^(1 - s).

b — а

Пусть е > 0, Я > 0.

Определение. Функция tp\С называется (е, Я)- равномерно распределенной, если существует такой отрезок [о, 6], что Ь - а > Я и <ç\C является е-р.р. в отрезке [а, 6].

В § 1.2 (Достаточное условие перемешивания) доказывается следующая

Теорема 1.1 (Достаточное условие перемешивания). Пусть для некоторого io > 0 и для любого t > tç, заданы-.

— конечное частичное разбиение Çt окружности S1, элементами которого являются отрезки или интервалы: & = {С^}, причем

lim max Icf'l = 0, lim = 1,

(через [£f] обозначено объединение элементов \C\ — длина отрезка

с);

— положительные функции е(£) —> О, Я (<) —> +оо при Ь —> +оо.

Пусть также существует такое О £ (1,2), что при каждом Ь > ¿о ^ля любого номера г 6 [&]) П (£/0,в£), а также для любого С € биркгофова сумма /Т\С является («:(<), Я(£)) -равномерно распределенной. Тогда специальный поток, построенный по повороту окружности Т и функции /, перемешивает.

Приведенное достаточное условие сочетает идеи из прежних работ автора с модификациями Б. Файада для случая непрерывной «крыши» специального потока. Кроме того, в нем более жестко учитывается диапазон 3£(<, [4]) номеров рассматриваемых биркгофовых сумм.

§ 1.3. Модификации достаточного условия перемешивания.

Один из вариантов достаточного условия (лемма 1.3.1) относится к случаю, когда биркгофовы суммы гладкие на элементах разбиения и сформулирован в терминах их производных, (е, Я)-равномерная распределенность /г|С получается за счет того, что на каждом элементе С € & функция (/г)' представляется в виде

[П'{х) = М{г,С){\ + 1{г,х)), (1.3.1)

\С\\М(г,С)\>Н(Ь), |7(г,«)| <£(*), где величина М(г, С) постоянна на С.

Другая модификация (теорема 1.2) относится к случаю, когда биркгофова сумма аппроксимируется (е, #)-равномерно распределенной функ- < цией.

В § 1.4 (Орбиты поворота окружности) приводятся необходимые для дальнейшего обозначения и сведения о поворотах окружности на иррациональный угол, вводится понятие стандартного разложения натурального числа г по знаменателям дп подходящих дробей иррационального числа р: при </„ ^ г <

т = 1л» +----V 1пЯп----Но9о,

где целые неотрицательные определяются из условия 1пдп • • ■ + /о9о < <?п+1 для всех п < в. Формулируются и доказываются необходимые леммы.

Публикации автора по теме главы 1: [3], [4], [5], [6].

Глава 2. Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией

§ 2.1. Формулировка результатов и описание механизма растяжения биркгофовых сумм. Рассмотрим функцию Ф: (О, <5) ->■ К, удовлетворяющую условиям:

Ф > О, Ф' > О, Ф" < О, Ф(+0) = О, Ф'(+0) = +оо. (2.1.1)

определение. Будем говорить, что функция /: S1 —> R имеет модуль непрерывности типа Ф, если существует такое М, что для любых различных достаточно близких xi,x2 € S1

\f(x1)-f(x2)\^M*(\x1-x2\).

Условию Гельдера соответствует Ф(х) = ж7, а функции вида Ф(х) = -х\пх, х 1п(— Im) и т.д. задают условия непрерывности слабее липши-цевых, но более сильные, чем гельдеровские.

Сформулируем основные теоремы этой главы.

Теорема 2.1. Для любой Ф, удовлетворяющей (2.1.1), существуют функция /: 81 —>• R с модулем непрерывности типа Ф и коэффициентами Фурье вида fn = О (Ф(|п|-1)), а также поворот окружности S1 на некоторый угол р, для которых специальный поток, построенный по этому повороту и функции f, перемешивает.

ТЕОРЕМА 2.2. Для любой Ф, удовлетворяющей (2.1.1), на двумер-* ном торе существует перемешивающий поток без неподвижных точек

с модулем непрерывности Ф.

Функция / и связанный с ней угол поворота р строятся следующим % образом. Положим

и(х) = min({x}, {1 - х}) -\j4, и„(х) = —и(д„х),

Яп

п

/п=1 + 5>, / = lim /„.

1' П-УОО

k=1

({х} — дробная часть числа х), где qn — последовательность знаменателей подходящих к р дробей, причем число р, последовательность ап и некоторая последовательность tn (моментов «переключения оценок», см. следующий абзац) можно выбрать так, что при п —» оо

antn ___On+ltn n tn „

--► +oo,-->• и,--► О,

Яп Чп+l Яп

— \0,

«п+1 Яп

Показано, что р и последовательности а„ и £п, удовлетворяющие данному набору условий, существуют. Именно этот набор условий обеспечивает нужный модуль непрерывности и условие на убывание коэффициентов Фурье функции / (теоремы 2.3 и 2.4), а также требуемое растяжение биркгофовых сумм.

Неформально можно сказать, что механизм растяжения биркгофовых сумм основан на эффекте «резонанса» функции / и угла поворота р. Растяжение и почти равномерное распределение биркгофовых сумм /г при г 6 (£п/2, 2£п+1) обеспечивается слагаемым ип, поскольку оно при г ^ 2^+1 (которое много меньше, чем дп+\) «почти резонирует» с поворотом окружности на угол р: период слагаемого ип равен 1/дп, где qn — знаменатель подходящей к р дроби, поэтому ип(х + р) и ип(х). Тем самым, биркгофовы суммы растут практически линейно вместе с

г: « ги„(х), причем условие у1 +ос обеспечивает сильное ра-

стяжение при больших п, так как амплитуда итп приблизительно равна

ТОп

4 Яп

Однако бесконечно долго растяжение не может обеспечиваться одним слагаемым: при г, достаточно близких к дп+1/2, сдвиги «„(Т^ж) попадают в «противофазу» с игп(х), амплитуда биркгофовых сумм итп(х) уменьшается. Значит на следующем промежутке г € (£п+1/2,2<„+2) за растяжение по вертикали «должно отвечать» следующее слагаемое ип+1, причем при г яз £п+1 слагаемое ы£+1 должно быть уже достаточно велико и его уже необходимо учитывать при оценках. Иными словами, требуется, чтобы функция (игп + и^+1)|Д (Д — элемент разбиения) была почти равномерно распределенной в достаточно большом отрезке при г е (*„/2,2*п+1).

Оформление этой идеи составляет предмет В § 2.2 (Свойства е-равномерно распределенных функции) и § 2.3 (Разбиение я е - равномерная распределенность биркгофовых сумм). Для Ь 6 [<п, ¿п+1) в качестве разбиения & рассматривается разбиение окружности на интервалы монотонности слагаемого и„. К функциям и игп+1 применяется теорема 2.5 об е-р.р. суммы и доказывается (е, #)-р.р. функции на каждом элементе разбиения для достаточно большого Н (лемма 2.3.4), откуда и следует выполнение достаточного условия перемешивания в формулировке теоремы 1.2.

Публикации автора по теме главы 2: [2], [8], [9].

Глава 3. Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе

В этой главе получена степенная оценка скорости перемешивания для некоторого класса специальных потоков над поворотом окружности с «крышей», удовлетворяющей условию Гельдера.

§ 3.1. Формулировка результатов и построение потока.

Теорема 3.1. Для любых 7 е (0,1) и в > 0, любого угла поворота р, удовлетворяющего условию дп+х существует такая строго положительная функция / € С7^1), что специальный поток в1, построенный по повороту 81 на угол р и функции /, перемешивает со степенной скоростью, а именно: существуют показатель степени /3 > 0, константа М и такой момент времени £*, что для любых прямоугольников (¿1, <5г и любого £ > выполняется неравенство

П Я2) - < МГ0.

В качестве следствия получаем соответствующее утверждение для тора.

Теорема 3.2. Для любого 7 6 (0,1) на двумерном торе существует поток без неподвижных точек, удовлетворяющий условию Гельдера с показателем 7 и перемешивающий со степенной скоростью.

I Пусть задан угол поворота р со свойством дп+1 ж Выберем по-

следовательность ап, удовлетворяющую условию а„ х Далее функция / определяется так же, как в главе 2. Построенная функция / удовлетворяет условию Гельдера с показателем 7 (теорема 3.3).

В заключение параграфа доказываются две леммы, уточняющие эр-годическую теорему Биркгофа для поворота окружности на угол р со свойством дп+1 х и функции / € С.

§ 3.2. Схема оценки скорости перемешивания. Пусть <3ь <?2 — прямоугольники. Оценка разности ^гО^Фх П <5г) — /•Ы'ЗО/ЫФг)!, которую мы условно назовем «качеством перемешивания», приведена в формулировке леммы 3.2.1 (¿¿2 — мера на фазовом пространстве специального потока). Эта оценка складывается из нескольких составляющих, зависящих от «растяжения» биркгофовой суммы, степени «неравномерности» этого растяжения, отклонения от теоретической частоты попадания траектории точки в заданный интервал и биркгофовых средних

функции /, и т.д. В конечном итоге, как показано в этом параграфе, каждая из составляющих зависит от параметров 7 и в, а также от моментов tn «переключения оценок» (см. § 2.1), которые мы ищем в виде tn = q*. От каждой из составляющих мы требуем, чтобы она не превосходила const и таким образом получаем некоторую систему неравенств. Показатель степени /3 для оценки скорости перемешивания и число х, с помощью которого описывается последовательность моментов времени tn = определяются одновременно из этой системы неравенств. Показано, что эта система разрешима любых 7 £ (0,1) и 9 > 0. В принципе, можно решить задачу нахождения максимального ¡3 при заданных 7 и в.

С помощью теоремы Фубини доказательство леммы 3.2.1 сводится к оценке «качества размешивания» элемента разбиения, которое описывается разностью ИД П S~TQ) - ц(А)ц2{Я)\- Оценка приведена в формулировке основной технической теоремы 3.4 (о размешивании элемента разбиения).

Доказательство этой теоремы составляет содержание остальных параграфов главы 3. Оно связано с более тонким вариантом понятия равномерной распределенности (§ 3.3. (е, 5) - равномерно распределенные функции), в котором более строго учитывается отклонение от равномерного распределения.

Определение. Функцию <р\А назовем (е, 5)-равномерно распределенной ((г, i)-p.p.) в отрезке [А, В], если существует такое множество Е С Л, что f

М(Е) > /г(Д)(1 - S)

и для любого отрезка [с, d\ С [А, В] выполняется неравенство *

- /*(¥>-1 (fc d]) n Е) < + е).

Множество Е будем называть существенным множеством функции у|Д, множество Z = А \ Е— неконтролируемым.

Изучаются свойства (е, <5) - равномерного распределения, доказывается лемма об (е, <5)-равномерной распределенности суммы (лемма 3.3.2). Эта лемма аналогична лемме об е-равномерной распределенности суммы из главы 2, но ее формулировка и доказательство значительно сложнее, поскольку в ней учитываются оценки для отклонений от равномерного распределения сверху и снизу, а также взаимное расположение существенных и неконтролируемых множеств для слагаемых и суммы.

В § 3.4, § 3.5 обсуждаются свойства (е, 5)- равномерной распределенности биркгофовых сумм для указанной в § 3.1 функции /. Сначала в § 3.4 оценивается «качество размешивания» элемента используемого разбиения, а затем доказывается окончательная техническая теорема 3.4 о размешивании элемента разбиения, которая в каком-то смысле повторяет некоторые этапы оценок в доказательстве достаточного условия перемешивания (теорема 1.1) с учетом полученных оценок для факторов, влияющих на «качество перемешивания». При этом имеются как усложнения, связанные с двусторонними и более точными оценками, так и упрощения, обусловленные тем, в данном случае имеются леммы, уточняющие оценки теоремы Биркгофа.

Публикации автора по теме главы 3: [5], [8], [9].

Глава 4. Невырожденные седла и перемешивание в потоке на двумерном торе

§ 4.1. Определения и формулировка результатов. Как отмечено выше, В.И. Арнольд описал поток на двумерном торе, фазовое пространство которого распадается на ячейки, ограниченные замкнутыми сепаг ратрисами невырожденных особых точек и заполненные периодическими траекториями, и эргодическую компоненту, в которой траектория проходит вблизи неподвижной точки с одной стороны чаще, чем с другой (на рисунке приведен пример такого потока).

Эргодическая компонента потока изоморфна специальному потоку, построенному по повороту окружности S1 = R/Z на иррациональный угол и функции с логарифмическими (строго логарифмическими) особенностями. В общем случае функция является асимметричной за счет того, что с одной стороны от особой точки траектория проходит вдвое чаще, чем с другой. В исключительных случаях функция может быть симметричной (точные определения см. ниже).

Будем говорить, что функция /: S1 —^ K-f., по которой строится специальный поток, имеет логарифмические особенности, если она удовлетворяет следующим условиям.

1) / имеет К особых точек х\,...,хк\

2)/€С1(81\изв,);

3) существует такое с > 0, что для любого х из области определения /(«) 5= с > 0;

4) для каждого г = ... ,К

/'(*) = -/v)

{х - х{} 1

(Л + о(1)) при X хг + 0,

{х< - ж}

(Д + о(1)) при х хх — О,

причем Л,, Д 0.

В определении строго логарифмических особенностей в п. 4) накладывается следующее более строгое условие на о(1) из последних формул Рассмотрим функцию Ф: (0,1] —> Ж класса С2(0,1] (в точке ж = 1 определены левые производные), удовлетворяющую условиям

Ф > О, Ф' > О, Ф" < О, Ф(+0) = 0.

(4.1.1)

Этим условиям удовлетворяют, например, функции Сх" при С > 0, 0 < V < 1, Сх(С\ - 1пж) при С > 0, Сх > 1 и т.д.

Особенность функции / в точке ж, назовем строго логарифмической, если существует такая функция Ф, удовлетворяющая (4.1.1), что в некоторой правой полуокрестности точки ж,

А

{х - ж,}

а в некоторой левой полуокрестности точки ж,-

д

{ж, - X}

< Ф'({жг- - ж}).

Обозначим А — А,, В = Д. Функцию / назовем симметричной, если А = В ф 0, асимметричной, если А ф В и сильно асимметричной, если для каждой особенности, не являющейся строго логарифмической, выполняется неравенство > 0, а для строго логарифмической ^ 0. Особенность функции / в точке ж, назовем симметричной, если А, = В,, и асимметричной в противном случае.

Приведем формулировки основных теорем настоящей главы (теоремы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4).

Теорема 4.1. Если / — асимметричная функция с логарифмическими особенностями, а иррациональный угол р удовлетворяет условию

то специальный поток, построенный по повороту Тр и функции f, перемешивает.

Как уже отмечалось, у Я.Г. Синая и K.M. Ханина на р наложено более сильное условие kn+i ^ const п1+7, где 0 < 7 < 1. Нетрудно показать, что если для некоторого 7 > 0, может быть и большего единицы, при всех п выполнено неравенство kn+\ ^ const п1+7, то число р удовлетворяет условию (*).

ТЕОРЕМА 4.2. Если для всех особых точек функции /, кроме строго логарифмических, выполнено неравенство (В{ — А,)/(В — А) > 0, а для строго логарифмических особых точек — неравенство (В,- — At)/(B — А) ^ 0 ( т.е. / — сильно асимметричная функция), то для любого иррационального угла р специальный поток, построенный по повороту Тр и функции f, перемешивает.

Для того, чтобы сформулировать теорему для хорошо аппроксимируемых углов, введем новые обозначения.

Пусть J — подмножество множества {1,2,... , К} номеров особых точек. Обозначим

Если 1 = 0, то положим Д/ = 0. Через 1С обозначим множество номеров строго логарифмических особенностей, через Зк — множество номеров особенностей, не являющихся строго логарифмическими, = {3: 3 П

Теорема 4.3. Пусть асимметричная (но не обязательно сильно асимметричная) функция / с логарифмическими особенностями такова, что для любого непустого 3 и любого целого I ^ 0

lnfen+i = o(lng„),

J, Ф 0}.

(4.1.3)

специальный поток, построенный по повороту Тр и функции /, перемешивает.

Если все особенности / являются строго логарифмическими, то достаточно выполнения (4.1.3) для всех натуральных I.

(Через [я] обозначена целая часть х, а через {ж} —дробная часть.)

Получена также модификация теоремы для функции, имеющей как строго логарифмические, так и просто логарифмические особенности.

Теорема 4.4. Пусть асимметричная функция / такова, что для любого 3 и любого натурального I

А/ ф -I, (4.1.3)

и, кроме того, для любого 3 € 0И

А/ Ф О-

Тогда справедливо заключение теоремы 4.3.

Доказательство сформулированных теорем опирается на достаточное условие перемешивания, записанное через производные (/г)' (лемма 1.3.1). Тем самым, для достаточно больших £ мы должны построить е(() и #(<) с надлежащими свойствами. Этому посвящены оставшиеся параграфы главы.

§ 4.2. Геометрия множества особых точек. В этом параграфе исследуется множество X = Х(хо, г) точек вида Т~кх0, — поворот окружности на угол р). Если функция и имеет единственную особую точку хо, то Х(хо,г) — множество особых точек функции иг.

Вводится понятие сгустка особых точек ранга п. Пусть г = 1,дв + ----1- ¡оЯо — стандартное разложение по знаменателям подходящих дробей, гп = Н-----Ь 1пд„. Тогда

иг(х) = и'-я'(х) + ... + и1пЧп{ТГп+1х) + ... + «'»»(Т^ж).

Множество Х^ = Х^(г) особых точек функции ■иг"'"(ТГп+1х) распадается на подмножества вида

х(п) = {т-^'-'-^хо, з = о,... , 1п - 1} , г - 0,... , дп - 1.

Эти подмножества будем называть сгустками п-го ранга. Каждый сгусток состоит из 1п точек, образующих арифметическую прогрессию с

шагом ân = qnp — Pn■ Через обозначим минимальный отрезок, со-

держащий Х-п\ [X(n)] = U,[^,(n)]. Длина каждого отрезка равна |Х,(п)| = (i„ —1)|<$„|, и при большом кп+1 « 1п/кп+1. Отрезки [Х,'"'] попар-

но не пересекаются. Множество особых Х(г) точек функции иг является объединением сгустков ргшгов от 0 до s.

Отрезки [X;•"'], играют важную роль при описании разложения бирк-гофовой суммы (/г)' на «эргодическую» и «резонансную» компоненты. По-существу, сдвиги этих отрезков являются носителями резонансных слагаемых. Подробно свойства сгустков описаны в леммах 4.2.1 и 4.2 2.

§ 4.3. Биркгофовы суммы «идеальных» логарифмических функции. В этом параграфе рассматриваются вспомогательные функции и,

v: S1 —> Ж, являющиеся производными «идеальных» логарифмических функций. Они определяются как функции Е ч R с периодом 1 следующим образом:

и(х) = \/х, если х 6 (0,1],

= 1/(1 - х), если х G [0,1).

Эти функции имеют единственную на S1 особую точку xq = 0.

Здесь же определяются основные «измерители». Если задано стандартное разложение г = laqs +----К ¿одо, то

в

е(г) = ^InÇntoÇn-

П=1

Кроме того, определенным выбирается последовательность ап, п £ Z+, зависящая от р и удовлетворяющая условиям

<?п \ 0, lng„ /■ +оо, ап > (lng„)"1/4( при п > 1).

Фиксируем достаточно большое t и выберем такое m = m(t), что V2qm < t < \/2<?m+i- Очевидно, что m(t) -»■ -foo при t -4 -foo. «Существенное» множество V(t), на котором оцениваются ur и vT при t/>/2 < г < \/2t, получается путем исключения некоторым специальным образом окрестностей особых точек этих функций.

Лемма 4.3.7. Пусть у/2дт < t < >/2gm+i. Тогда для любого г €

{t/лД, t) и любого X е V(t)

m+2

ur(x) = е(г)(1 + SlUr(x)) + £ Zn (x)' IW*)! < "m,

n=0 m+2

</(*) = e(r)(l + ¿it/(x)) + £ Z+(x), |<W(x)| < "mi

n=0

г6\ur и 8\vr — относительные погрешности оценок.

Величину e(r) можно назвать эргодической компонентой в иТ и vr. Эта компонента не зависит от точки х и растет вместе с г. Слагаемые Z„(x) мы условно называем резонансными; они существенным образом зависят от расположения точки х по отношению к множеству особых то- е

чек и от точности приближения угла поворота р подходящими дробями.

Резонансные слагаемые Z*(x) определяются следующим образом. Пусть г = lsqs + • ■ • + 1оЯо — стандартное разложение. Для каждого п i

разобьем и на два слагаемых: положим

йп(х) = и(х), й„(х) = 0 при х е (0,1 /qn),

ип(х) = 0, йп(х) = и(х) при х 4- (0,1/<7п)-

Тогда

uUn(T"+1x) = vf^(T"+1x) + «jl"i"(Tr"+,x).

Функция Z^ (х) (зависящая также от г) получается из биркгофовой суммы ufc4n(Tr"+1x), грубо говоря, путем исключения слагаемого с ближай- < шей к х слева особенностью. Аналогично определяется Z+(x).

§ 4.4. Теорема о «главном резонансном слагаемом». В этом параграфе исследованы свойства резонансных слагаемых и доказана теорема 4.5, которая утверждает, что в каждый момент времени из всех «резонансных» слагаемых, входящих в разложение ит(х), при г € (i/v/2, л/21) и х 6 V(t) достаточно учитывать не более одного, «главного». Сумма остальных имеет значение, малое по сравнению с е(г). Номер s «главного резонансного слагаемого», определяется некоторыми арифметическими соотношениями, которые выделяют «скачок» знаменателя подходящей дроби. При этом возможны три ситуации: ситуация 1 — «главного резонансного слагаемого» нет, ситуация 2 — его номер тп (напомним, что у/2qm < t < %/2?m+i)i ситуация 3 — его номер s < т.

«Главное резонансное слагаемое» проявляет некоторые дискретные свойства. Его график, если абстрагироваться от «дырок» в V(t), имеет

вид набора почти идеальных прямоугольных «импульсов», слегка искаженных на краях, носителями «импульсов» являются отрезки [X,'4'], содержащие сгустки особенностей соответствующего ранга; высота «импульса» равна qa+i In ks+\; она не зависит от ширины сгустка, а зависит от плотности точек в сгустке.

В § 4.5 (Предварительная оценка биркгофовых сумм (/г)') показано, что вклад (9i + h.[)r(x) каждой особой точки функции / в биркгофову сумму (f)' хорошо оценивается линейной комбинацией сдвигов функций ит и vT (теорема 4.6):

(д[ + К)т{х) « -AiUr{x - х{) + Bivr{x - if),

причем для строго логарифмической особой точки погрешность мала по сравнению с е(г), а для «просто» логарифмической оценка погрешности делается относительно ит(х) и vT{x).

§ 4.6. Построение частичного разбиения и разложения (/г)'. Пусть у/кт ij t < ^/2qm+i) и m достаточно велико. Специальным образом определяются бесконечно большая (при t +оо) H(t) и бесконечно малые ee(t) и eL{t).

Как следует из теоремы о «главном резонансном слагаемом» и леммы 4.3.7, при достаточно больших t в ситуации 1 для любой особой точки xi, любого г 6 (t/V2, V2t) и любого х £ V(t) 4- Xi

иТ(х - Xi) = е(г)( 1 + 8ит{х - Xi)), \Sur\ < 21 <xm, vT(x - xt) = e(r)(l + Svr{x - x,)), \5vr\ < 21<jm,

В этом случае в качестве элементов разбиения ft возьмем те отрезки (компоненты связности) множества Di^ii^M + длина которых не меньше некоторой величины (зависящей от t), так что

min min \C\\B-A\e(r) ^ Hit).

Ceii T>t/y/2

При этом для любого X е и любого Г £ справедливо

разложение

(Г)'(х) = (В-А)е(г)(1 + Ъ(г,х)), |7е(г,х)| < ee(t).

В ситуациях 2 и 3 для любого г £ (t/V2, y/2t) при х £ V(t) + за исключением краев сгустков ранга s, справедливы соотношения:

ит(х - xt) = е(г)(1 + 8иг) + \(х - Xi)qs+i lnfcä+i, |Äur| < 18am,

vT(x - хг) = е(г)(1 + 6vT) + x(x - xt)q,+i lnfce+b |(5vr| < 18am,

где в — номер «главного резонансного слагаемого», х характеристическая функция множества [Х^], которое состоит из отрезков, содержащих сгустки особых точек ранга в (лемма 4.6.1).

Трудность построения разбиения в ситуациях 2 и 3 состоит в том, что необходимо выбросить из рассмотрения окрестности концов сгустков и их сдвигов на ж, (г = 1,... , К) для всех номеров г 6 ^<)) П \/2г), а ширина сгустка может существенно меняться при изменении г в интервале (£/\/2, \/2£). Эта проблема решается с помощью оценки ширины диапазона [£(]). Оказывается, что можно «привязаться» к одному из номеров г, а для остальных г 6 записать г = г + Аг и (/г)'(ж) = (/^'(х) + (/Дг)'(х + гр). А г относительно

к

мало, и поэтому для любого х 6 П (Ут + хг) справедливо неравенство

Х=1

|(/Дг)'(з:)! < {А + В)сгте(г), что показано в следующем § 4.7 (Оценка диапазона [&]).

Исходя из этого, разбиение & строится почти так же, как в ситуации 1, только дополнительно выбрасываются некоторые малые окрестности концов сгустков ранга я (при фиксированном г) и их сдвигов на хг. Для любого элемента С € и любого г = 1,... , К функция х(х ~ х>) постоянна на С, откуда и получается разложение

(ГУ(х) = (В — А)(е(г)( 1 + 7е(г, х)) + ЦС)( 1 + 1ь(г, х)),

* д. _ д. _ Ь{С) = DJ(C)9S+1 1п *:,+!, Б^о = ' _ - ®<).

1=1

|7е(г,х)| < ее(<), |7г(г,г)| < £¿(4),

которое служит основой для доказательства теорем этой главы. § 4.8. Доказательство основных теорем.

Теорема 4.1 следует из того, что в случае 1п кп+\ — о(1пд„) «главного резонансного слагаемого» нет, и для всех достаточно больших t реализуется ситуация 1.

Для сильно асимметричной функции всегда Ь(С) > 0, поэтому, записав

(ГУМ - (В - А)Ш + НО) (1 + ъ^Ур. + «^¡ёу»).

легко проверить выполнение достаточного условия перемешивания.

В условиях теорем 4.3 и 4.4 показано, что отношение Ь(С)/е(г) при достаточно больших £ всегда отделено от —1. Это является следствием

«дискретного характера» резонансных слагаемых, из-за чего набор возможных значений L(C) сохраняется на протяжении больших промежутков времени. Поэтому существует такое 9 > 0, что |е(г) + Ь(С)\ > Ое(г), откуда и следует выполнение достаточного условия перемешивания.

Публикации автора по теме главы 4: [3], [4], [6], [7], [8],[9], [10].

Глава 5. Когомологичные функции и непрерывность

§ 5.1. Предварительные замечания. Пусть (X, р) — пространство Лебега с нормированной мерой р, Т : X —> X — сохраняющий меру р, автоморфизм, G — топологическая абелева группа. Измеримые функции м f,h:X—>G будем называть (Т, С)-когомологичными, если существует

измеримая функция ip : X -» G, удовлетворяющая почти всюду уравнению

I, /(*) - h(x) = <р(Тх) - <р(х). (5.1.1)

г (*

В этом случае мы будем писать / ~ h или просто / ~ h. Функцию ip иногда называют функцией переноса. Уравнение (5.1.1) называется когомологическим. (Может использоваться и мультипликативная форма записи групповой операции.)

Приведены некоторые задачи, в которых возникают когомологические уравнения.

§ 5.2. Неравенства и когомологическое уравнение. Следующая основ" ная теорема параграфа справедлива для случаев G — R и G — Ъ.

Теорема 5.1. Пусть f, 9 € LXG и ||/||i < ||ff||i. Тогда существует

Т G

такая функция h € Lq, что |/i| ^ почти всюду и h ~ /. Кроме того, если f неотрицательна, то h и функцию переноса ip также можно выбрать неотрицательными.

Следствия 1 и 2 справедливы для G = Z и G = R.

Следствие 1. Каждая функция f е Lq (T,G) - когомологична ограниченной.

Следствие 2. Если f,g& Lq, f f dp. = 0u ||g||i > 0, то существу-

x

em такая функция h € Lq, что h ~ / и почти всюду |/i(x)| < |<?(х)|. Следующее утверждение справедливо для вещественных функций.

Следствие 3 (Плотность множества когомологичных функций). Если f,J 6 ¿д и f fdß = f fdß, то для любого е > 0 существует

X

такая функция h в что h ~ / и почти всюду

\h{x)-J(x)\^e.

Более того, можно потребовать, чтобы h совпадала с f на наперед заданном множестве меры, меньшей 1.

Следующее утверждение справедливо для функций с целыми значениями.

следствие 4. Если f € L\ и J fdß = К, то существует такая

х

Т Z

функция h, что h ~ / и h принимает только три значения К — 1, К и К+1, если К — целое, и только два значения [К] и [К Л-1], если К — нецелое.

Доказана теорема, которая позволяет делать выводы о сходимости последовательности функций переноса. Как и прежде, G = R или Z.

ТЕОРЕМА 5.2 («о переносе из-под зонтика»). Пусть f, g £ Lq и ll/lli < llfflli- Тогда для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любой функции f £ L\j, удовлетворяющий условиям |/| ^ |/| и ||/||м < 5, существуют функции h, ф: X G, для которых |/i| ^ g почти всюду, f-h = фоТ-ф и < £.

§ 5.3. Когомологичность и непрерывность. Пусть X — компактное метрическое пространство, р. — нормированная неатомарная борелев-ская мера, Т — сохраняющий меру ц зргодический автоморфизм, G = R.

ТЕОРЕМА 5.3. Каждая функция f G Ll(X, ß) (Т, К) - когомо-логична непрерывной функции. Более того, если h € С(X), fx fdß — Jx hdß, А — замкнутое множество в X, ß(A) < 1, то для любого е > О существует такая непрерывная функция h, что h ~ /, h\A — h\A и для любого х £ X выполнено неравенство — < е.

Рассмотрим теперь случай, когда X является гладким компактным многообразием с нормированной мерой борелевской ß. Пусть xq — фиксированная точка, каждая окрестность которой имеет положительную меру, Т — зргодический автоморфизм, сохраняющий меру ß, никаких предположений о гладкости Т не делается.

ТЕОРЕМА 5.4. Для любой функции f е Ll{X, ß) существует дифференцируемая функция h, когомологичная /, причем дифференциал Dh

непрерывен всюду, кроме, быть может, точки xq. Кроме того, для любой функции h 6 С*(Х) можно потребовать, чтобы h(x) = h(x) вне любой наперед заданной окрестности точки Xq.

Доказательство этих теорем опирается на теорему «о переносе из-под зонтика» и на следующую лемму.

Лемма 5.3.1 (об аппроксимации «под зонтиком»). Пусть А — открытое множество в X, ц{А) > О, F € L1, ||F||i > О, |F| ^ М почти всюду, supp(F) С А. Тогда существует «зонтик», т.е. функция Ф 6 L1, удовлетворяющая условиям

вирр(Ф) с А, ||Ф||1 ^ 2||F||b |F| < |Ф|,

*

под которым функцию F можно аппроксимировать по мере непрерывной функцией с любой точностью, т.е. для любого S > 0 существует [ функция Fg G С(Х), удовлетворяющая условиям

supp(Fi) С A, ||F - F,||„ < 6, jF-Fal^.

В гладком случае, если А имеет гладкую границу, то можно потребовать, чтобы Fs 6 Сх{Х).

В качестве следствий из теорем 5.3 и 5.4 легко получаются две теоремы о замене времени в потоках, в которых утверждается, что для всякой замены времени в эргодическом апериодическом потоке существует * эквивалентная ей (в смысле изоморфизма получаемых потоков) непре-

рывная и даже «почти дифференцируемая» замена времени (если можно вести речь о непрерывности или дифференцируемости, совместимой с , мерой).

Публикация автора по теме главы 5: [1].

Автор выражает глубокую признательность руководителям научной школы и семинара, в рамках которых выполнена работа, академику РАН Д В. Аносову и профессору A.M. Степину за их постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации

[1] О гомологичности функций над динамическими системами. Докл. АН СССР, 231, (1976), 795-798.

[2] Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией. Матем. сб., 193 (2002), №3, 51-78.

[3] Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе. Матем. сб., 194 (2003), №8, 83-112.

[4] Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе II. Матем. сб., 195 (2004), N«3, 15-46.

[5] Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе. Труды МИР АН, 244 (2004), 216-248.

[6] Некоторые обобщения теорем о перемешивающих потоках с невырожденными седлами на двумерном торе. Матем. сб., 195 (2004), №9, 19-36.

[7] Well approximable angles and mixing for flows on T2 mth nonsingular fixed points. Electronic research announcements of AMS, 10 (2004), №10, 113-121.

[8] Перемешивание в потоках на торе. В сб. тезисов докладов на Международной конференции «Колмогоров и современная математика», М., МГУ, 2003, 101-102.

[9] Mixing flows on surfaces J. Dynam. and Contr. Syst., 10:1 (2004), 121122 (в отчете о Межд. конф. «Современная теория динамических систем и приложения к теоретической небесной механике», посвященной В.М. Алексееву.)

[10] *Дискретные» эффекты в гладких потоках с невырожденными седлами на двумерном торе. //Тезисы докладов на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, Москва, 16-22 мая 2004, с. 107.

8

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать //.О/.О-^ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /5

Тираж 100 экз. Заказ 03

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

iftj

РНБ Русский фонд

2006-4 1914

0. Введение

§ 0.1. Свойства потоков на двумерном торе.

§ 0.2.Перемешивание в потоках на поверхностях.

§ 0.3.Когомологическое уравнение.

§ 0.4.Структура и основные результаты диссертации

1. Перемешивание

§ 1.1. Основные понятия и некоторые леммы.

§ 1.2.Достаточное условие перемешивания.

§ 1.3.Модификации достаточного условия перемешивания

§ 1.4.Орбиты поворота окружности.

2. Пер вмешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией

§ 2.1. Формулировка результатов и описание механизма растяжения биркгофовых сумм

§ 2.2.Свойства £ - равномерно распределенных функций

§ 2.3.Разбиение же- равномерная распределенность биркгофовых сумм.

3. Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе

§ 3.1. Формулировка результатов и построение потока

§ 3.2. Схема оценки скорости перемешивания.

§ 3.3. (е, - равномерно распределенные функции

§ 3.4. (е, 5) - равномерная распределенность биркгофовых сумм

§ 3.5.Доказательство теоремы 3.4 о размешивании элемента разбиения.

Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе

§ 4.1. Определения и формулировка результатов.

§ 4.2. Геометрия множества особых точек.

§ 4.3.Биркгофовы суммы «идеальных» логарифмических функций.

§ 4.4. Теорема о «главном резонансном слагаемом».

§ 4.5.Предварительная оценка биркгофовых сумм (/г)'.

§ 4.6.Построение частичного разбиения и разложения (/г)'

§ 4.7. Оценка диапазона Ji(t, [£t]) и величины (/Лг)'.

§ 4.8. Доказательство основных теорем.

Когомологичные функции и непрерывность

§ 5.1.Предварительные замечания.

§ 5.2.Неравенства и когомологическое уравнение.

§ 5.3. Когомологичность и непрерывность

0.1. Свойства потоков на двумерном торе Большая часть настоящей диссертации посвящена изучению перемешивающих свойств потоков на двумерном торе Т" M/Z с инвариантной мерой и изоморфных им специальных потоков над поворотами окружности S R/Z. Изучается взаимосвязь между гладкостью потока без неподвижных точек и возможными перемешивающими свойствами, а также перемешивающие свойства потоков с неподвижными точками. Кроме того, исследуются свойства непрерывной замены времени в абстрактных эргодических апериодических потоках на компактных метрических пространствах и многообразиях. Введем необходимые понятия и обозначения. Рассмотрим пространство Лебега (X, /х) с нормированной мерой /i и сохраняющий меру ji автоморфизм Т: X X. Пусть G L{X, /z), /(х) с О (почти) при всех х X. Фазовым пространством специального потока служит множество Yf {ix,y):xeX, 0y<f{x)}, мера fi2 на Yf порождается прямым произведением d/xdy, причем она нормируется так, что /Л2() 1- Мы для определенности будем считать, что /gi f{x)dfi{x) 1, Специальным потоком, построенным по Т и функции (или специальным потоком над автоморфизмом Т с функцией называется однопараметрическая группа преобразований {ЗЛ пространства У/, сохраняющая меру //2 и действующая при О по формуле п-1 STj{x,y)=[T-x,y tY.f{Tx) к=0 Свойство слабого перемешивания эквивалентно непрерывности спектра потока или, что то же самое, отсутствию собственных функций [14]. Гладкий поток без неподвижных точек на торе, сохраняюш;ий меру с гладкой плотностью, представляется (с точностью до умножения скорости потока на константу) как специальный поток над поворотом окружности с гладкой функцией. Для этого достаточно провести замкнутую гладкую трансверсальную кривую к траекториям потока. Отображение первого возвращения (последования) [19] сохраняет индуцированную на кривой меру и изоморфно повороту окружности, а время возвращения (умноженное на постоянный множитель) задает Гладкость зависит от гладкости потока и гладкости плотности инвариантной меры. Обратно, всякий специальный поток, построенный по повороту окружности и ограниченной измеримой функции можно реализовать как поток, получаемый заменой времени (или репараметризацией) из линейного потока на торе, задаваемого системой уравнений х р, у 1, где (ху) циклические (с периодом 1) координаты на T. В данном случае замену времени можно представить как домножение векторного поля на измеримую функцию {x,y), причем эту функцию можно сделать бесконечно гладкой вдоль траекторий потока. Если непрерывная, гладкая или аналитическая, то ф можно сделать той же гладкости (для аналитического случая это более нетривиальное утверждение [1]). Понятие замены времени легко обобщается на случай произвольного измеримого потока пространства с мерой [66], [14]. Если гладкий поток на поверхности с абсолютно непрерывной инвариантной мерой имеет конечное число неподвижных точек, то он представляется в виде специального потока над перекладыванием отрезков с функцией, имеющей особенности. Иногда это перекладывание отрезков является поворотом окружности. На торе могут быть либо вырожденные неподвижные точки (типа «крошки»), либо он не эргодичен. В главе 4 мы будем рассматривать поток, эргодическая компонента которого представляется в виде специального потока над поворотом окружности с функцией, имеющей логарифмические особенности. Активное изучение спектральных и перемешивающих свойств потоков на двумерном торе было стимулировано работой А.Н. Колмогорова [12, (1953)] и его докладом на Международном математическом конгрессе в 1954 г. [13]. Используя разложение в ряд Фурье, он показал, что аналитический поток без неподвижных точек, сохраняющий меру с аналитической плотностью, с диофантовым (т.е. достаточно плохо аппроксимируемым рациональными) числом вращения р аналитически сопряжен с линейным потоком. Тем самым он задает условно периодическое движение, имеет дискретный спектр с двумя образующими и не обладает свойством перемешивания (ни слабого, ни сильного). Доказательство А.Н. Колмогорова основано на представлении потока без неподвижных точек с аналитической (гладкой) мерой в виде специального потока, построенного по повороту Т окружности и аналитической (гладкой) функции Гладкая сопряженность потока линейному следует из гладкой сопряженности указанного специального потока и специального потока, построенного по Т и постоянной функции, которая в свою очередь следует из существования аналитического (гладкого) решения (/Р S R уравнения f{x)-c ip{Tx)-ip{x). (0.1.1) Решение находится с помощью разложения в ряды Фурье функций и (р. Это доказательство переносится также и на случай меньшей гладкости с соответствующими ограничениями на скорость аппроксимации р. Здесь обнаружилась зависимость свойств потока от его гладкости и числа вращения. А.Н. Колмогоров сформулировал утверждение о том, что в различных ситуациях, в частности, в зависимости от угла поворота, сопряжение может быть аналитическим, бесконечно дифференцируемым, но неаналитическим, дифференцируемым лишь конечное число раз или вообще разрывным. Более того, можно так подобрать аналитическую функцию и угол поворота, что измеримого сопряжения не сутцествует и .спектр потока будет непрерывным.специальный поток над поворотом окружности с данной функцией не изоморфен линейному потоку на торе. Для углов поворота с ограниченными неполными частными А.В. Рождественский [20] доказал сопряженность специального потока с линейным для любой «крыши» из некоторого пространства Орлича. Отметим, что слабо перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с разрывной кусочно гладкой функцией был построен еш;е в 1932 г, Дж. фон Нейманом [58]. Он доказал, что специальный поток над поворотом окружности на иррациональный угол с функцией, у которой алгебраическая сумма скачков в точках разрыва отлична от нуля, имеет непрерывный спектр. Существование замены времени, делающее произвольный эргодический апериодический поток слабо перемешивающим, доказал Р.В. Чакон [37]. Другое доказательство существования такой замены привел A.M. Стенин [26], опираясь на свою теорему об когомологиях групп автоморфизмов. Никакого утверждения о непрерывности замены в этих работах нет. Имеется ряд работ, обобщающих результат А.Н. Колмогорова на случай тора большей размерности. М. Эрман [47] показал, что если р 6 R /3-диофантов вектор, р G R+U{-boo}, а функция ср е С++Т), то специальный поток, построенный по сдвигу Т на р и функции непрерывно сопряжен специальному потоку с постоянной функцией. Следует отметить недавний, в определенном смысле, дополняющий результат Б. Файада [38], [40]: если р Ж ке является /3диофантовым вектором, то для плотного Gj-множества положительных функций ip Е С"(Т) специальный поток, построенный по сдвигу Т на р и функции (р, слабо перемешивает. Аналогичный результат доказан и для аналитических функций. М. Эрман [48] исследовал вопрос существования у гладкого потока на торе инвариантной меры, что равносильно достаточно гладкой сопряженности диффеоморфизма окружности с поворотом. Он показал, что если диффеоморфизм окружности принадлежит классу С", 7 О, производная диффеоморфизма не обращается в ноль, а его число вращения диофантово, то сопряжение с поворотом окружности принадлежит классу С, откуда и следует существование инвариантной меры с непрерывной плотностью. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [52], наоборот, доказали существование инвариантной меры и вывели отсюда гладкую сопряженность. 0.2. Перемешивание в потоках на поверхностях В свете результатов А.Н. Колмогорова возникал естественный вопрос о существовании (сильно) перемепхивающих потоков на двумерном торе. Для абстрактного пространства Лебега П. Халмош [45] показал, что слабое перемешивание типично в пространстве со слабой топологией автоморфизмов или потоков с инвариантной мерой мерой, т.е. слабо перемешивающие автоморфизмы или потоки образуют множество II категории Бэра, в то время, как согласно В.А. Рохлину [21] (сильное) перемешивание не типично, типично отсутствие перемешивания. Аналогичный результат позднее был получен А.Т. Таги-Заде [27] для замен времени в эргодических потоках: типичны замены времени, делающие поток слабо перемешивающим, но при этом перемешивание не типично. Для функций класса С и достаточно хорошо аппроксимируемых углов поворота окружности А.Б. Каток [7], используя метод циклических аппроксимаций, разработанный совместно со A.M. Стениным [10], доказал отсутствие перемешивания, а также сингулярность и простоту спектра специального потока. Кроме того, он построил целый класс слабо перемешивающих специальных потоков над поворотом окружности с функциями класса В работе автора [65] (1972) дан отрицательный ответ на вопрос о существовании перемешивающих специальных потоков над поворотом окружности с гладкими функциями. В ней показано, что специальный поток, построенный по повороту окружности и функции ограниченной вариации, не перемепшвает. Это означает, любой гладкий поток на двумерном торе без неподвижных точек независимо от гладкости инвариантной меры, не перемешивает. Более того, никакая замена времени (изменение скорости), удовлетворяющая условию Липшица, не может сделать его перемешивающим. 10 в этой же работе впервые была приведена идея построения перемешивающего потока над поворотом окружности. Эта идея была реализована в работе автора [66] (1973), где доказано, что перемешивающий специальный поток с непрерывной «крышей» можно построить над любым эргодическим автоморфизмом (если мера борелевская и неатомарная), а в любом апериодическом непрерывном потоке на компактном метрическом пространстве, эргодическом относительно борелевской меры, можно добиться перемешивания непрерывной сколь угодно малой заменой времени. Эта замена времени может бытъ глад- кой вдоль траекторий и сосредоточена в любой окрестности положительной меры. (Примерно тогда же Н. Фридман и Д. Орнстейн [42] доказали существование перемешивающего производного автоморфизма для всякого эргодического автоморфизма.) В настоящей работе область возможного перемешивания для специальных потоков над поворотом окружности пододвинута ближе к липшицевым функциям, а именно показано, что для любого в определенном смысле регулярного условия непрерывности функции более слабого, чем условие Липшица, (в частности, для условия Гельдера) существует перемепшваюпщй специальный поток, построенный по некоторому повороту окружности и функции удовлетворяющей данному условию непрерывности. Это же утверждение верно для любого условия убывания коэффициентов Фурье функции более слабого, чем 0(1/п), что является дополнением к результату М. Леманчика [55] (2000), который сформулировал достаточное условие отсутствия перемешивания в специальном потоке над поворотом окружности в терминах коэффициентов Фурье «крыши». А именно, он доказал, что если ее коэффициенты Фурье 0(1/п), то специальный поток, построенный по повороту окружности и функции не перемешивает. Заметим, что отсутствие перемешивания для гладких потоков без неподвижных точек является свойством, присущим именно двумерному тору. Для торов большей размерности Б. Файад [38], [39] построил класс аналитических перемешиваюпщх потоков. Другой вид перемешивающих потоков на поверхностях это потоки с неподвижными точками. 11 в работе автора [68] (1975) было показано, что эргодический относительно гладкой меры поток на торе или другой ориентируемой поверхности рода 2, имеющий только вырожденные неподвижные точки, перемешивает. Время прохождения точки в окрестности вырожденной неподвижной точки зависит степенным образом от расстояния, на котором она проходит, поэтому гладкий поток на двумерной поверхности с гладкой инвариантной мерой и вырожденными неподвижными точками можно представить как специальный поток, построенный по перекладыванию отрезков и функции, гладкой всюду, за исключением степенных особенностей. Если перекладывание отрезков эргодично, то специальный поток перемешивает. В гладком эргодическом потоке на Т перемешивания можно добиться, «вклеив» в поток вырожденную неподвижную точку. (Примером такой точки может служить точка (0; 0) в потоке, задаваемом функцией Гамильтона Н{х,у) 2/(а: у)). Заметим, что различия во времени прохождения точек в окрестности невырожденного седла, вообш;е говоря, не хватает для перемешивания, что показано в работе автора [69]. Зависимость времени нахождения точки в окрестности описывается логарифмом расстояния, на котором траектория проходит от неподвижной точки, поэтому поток на поверхности с невырожденными неподвижными точками, сохраняюш;ий меру с плотностью, удовлетворяюш;ей условию Гельдера, изоморфен специальному потоку, построенному по перекладыванию отрезков окружности S и функции вида т Мх) J2 (А, In j в.. In Щ) (0.2.1) где Ai,Bi О, Х{, (г 1,... ,К) концы перекладываемых отрезков, /о функция ограниченной вариации на S, имеющая непрерывную производную всюду, кроме особых точек. Если поток на поверхности эргодичен, то перекладывание отрезков тоже эргодично и Yi-i Ai i=i Bi. Мы говорим, что эта функция симметрична. В отдельных случаях это перекладывание отрезков является поворотом окружности (А.А. Блохин в [5] построил такой пример на поверхности рода д 2] аналогичный пример приведен в учебнике [18, гл. 4, §2, 12 пример 11].) Если угол поворота допускает аппроксимацию рациональCOnst /л л N ными дробями со скоростью.--;—, а функция имеет вид (0.2.1), то qlnq специальный поток не перемешивает [69]. Доказательство опирается на следующее общее достаточное условие отсутствия перемешивания для специального потока, построенного по автоморфизму Т пространства Лебега {X,fj,), сохраняющего меру fi, и функции Пусть существует возрастающая последоват.ельность натуральных чисел Qn, последовательность мнооюеств An d X и числа М и с О такие, что Т" сходится к тоэюдественному автоморфизму в слабой топологии, для любого номера п выполняются неравенства 1{Ап) с О и |Я"(а;) /"(у)! М при всех х,у е An. Тогда специальный поток, построенный по автоморфизму Т и функции f, не перемеиливает. Аналогичное достаточное условие использовал позднее А.Б. Каток [50] при доказательстве отсутствия перемешивания для перекладывания отрезков и для специального потока, построенного по перекладыванию отрезков и функции ограниченной вариации (такие потоки возникают при исследовании биллиардов в многоугольниках). Независимо аналогичный результат получил В.В. Рыжиков [22]. М. Леманчик [55] слегка расширил класс функций, для которых справедлив результат из [69], но рассматриваемый класс углов поворота в его работе тот же. Автору не известно доказательство отсутствия перемешивания для углов, разложение которых в цепную дробь удовлетворяет условию кп+1 o(lngn). Нет также и примера перемешивающего специального потока над поворотом с симметричной функцией с логарифмическими особенностями. В общем случае эргодического перекладывания отрезков тоже не известно доказательство отсутствия перемешивания такого специального потока, точно так же, как не известны примеры перемешивающих специальных потоков, построенных по перекладыванию отрезков, отличному от поворота окружности, и симметричной функции с логарифмическими особенностями. В работе В.И. Арнольда [2] естественным образом возник по13 ток на двумерном торе, фазовое пространство которого распадается на ячейки, ограниченные замкнутыми сепаратрисами невырожденных особых точек и заполненные периодическими траекториями, и эргодическую компоненту. Эргодическая компонента изоморфна специальному потоку, построенному по повороту окружности S R/Z на иррациональный угол и функции с логарифмическими особенностями. В общем случае функция является асимметричной за счет того, что с одной стороны от особой точки траектория проходит вдвое чаще, чем с другой. В исключительных случаях функция может быть симметричной. В работе В.И. Арнольда, в частности, поставлен вопрос о перемешивании для таких потоков в асимметричном случае. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [23] доказали свойство перемешивания для некоторого класса диофантовых углов. В главе 4 получен ряд новых теорем, существенно дополняющих их результаты. Перемешивание это сильное статистическое свойство, которое называют иногда свойством убывания корреляций. Такое название обусловлено тем, что перемешивание можно определить с помощью группы W L(У,/2) LOi) сопряженных с 5* операторов, задаваемых формулой {UF){x) F{S*x). Поток S* перемешивает тогда и только тогда, когда для любых F,G Е L{Y, 2) I—* 00 lim(C/F,C?> (F,l>(G,l> скалярное произведение). Скорость убывания корреляций (на некотором всюду плотном множестве функций), которая называется также скоростью перемешивания, тесно связана со свойствами спектра потока 5*, т.е. спектра группы С/*. Специальные потоки над поворотом окружности это потоки с относительно медленным перемешиванием. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [23] оценили скорость перемешивания для специального потока над поворотом окружности с функцией, имеющей логарифмические особенности, которые они рассматривали и получили оценку для тех углов, которые они рассматривали, порядка (Int), где в 1/2, и оно зависит от угла поворота. Для некоторого потока над поворотом окружности с функцией, имеющей одну степенную особенность, Б. Файад получил степенную 14 оценку скорости перемешивания, однако показатель степени очень маленький (порядка 1/100). В главе 3 дается оценка скорости перемешивания для некоторого специального потока над поворотом окружности с функцией, удовлетворяюп];ей условию Гельдера. 0.3. Когомологическое уравнение Уравнение f{x) д{х) (р{Тх) ip{x) относительно ср иногда называется когомологическим (раньше оно называлось также гомологическим), функция f д в случае разрешимости уравнения называется кограницей, а решение (р иногда называется функцией переноса. Происхождение последнего термина мы попытаемся объяснить ниже. Когомологические уравнения (как в аддитивной, так и в мультипликативной форме) возникают и в различных других задачах, например, в связи с проблемой изоморфизма косых произведений, специальных и производных автоморфизмов, нахождения (или доказательства отсутствия) собственных функций и собственных значений для специальных потоков, автоморфизмов и косых произведений и т.д. [51]. Как уже отмечалось, А.Н. Колмогоров исследовал вопрос о когомологичности (он, правда, не использовал такого термина) заданной функции и постоянной, решая уравнение (0.1.1) с помош;ью разложения в ряд Фурье. При этом он высказал предположение о том, что если ряд, с помоп];ью которого получается решение уравнения (0.1.1), расходится, то уравнение неразрешимо. Однако, как выяснилось позднее, не для всякого решение (р уравнения (0.1.1) может быть найдено в виде ряда Фурье. Д.В. Аносов [1] (1973) показал, что существует аналитическая функция и поворот Т окружности на иррациональный угол, для которых ср измерима, но не суммируема. При этом ряд Фурье, получаюп];ийся при решении уравнения с помощью разложения, расходится. Естественно, специальный поток, построенный по Т и изоморфен линейному потоку на торе. 15 Мы рассмотрим когомологическое уравнение с чуть более широких позиций: существует ли функция д с заданными свойствами (например, непрерывная или гладкая), когомологичная Такая постановка связана, в частности, с вопросом о соотношении метрических свойств потока с его гладкостью. В работе автора [71] (1976) был предложен «почти геометрический» метод последовательных приближений для параллельного построения функции с требуемыми свойствами и соответствуюп],ей функции переноса. Этот метод излагается в главе 5 в доказательстве теоремы о том, что всякая суммируемая функция когомологична над произвольным эргодическим автоморфизмом ограниченной, непрерывной и даже почти дифференцируемой (если эти понятия совместимы в определенном смысле с мерой). Несколько позднее чуть более слабый результат опубликовали Д. Орнстейн и М. Смородинский [60] (1978). Похожая техника используется в работе У. Кренгеля [53], предложившего подробное доказательство теоремы Д. Рудольфа [62] о том, что любой эргодический специальный поток над автоморфизмом Т изоморфен специальному потоку над Т с функцией принимаюш;ей лишь два значения р и q с любым наперед заданным иррациональным отношением p/q и любым наперед заданным соотношением мер множеств f{p) и f{q) (см. также [14]). В дальнейшем аналогичный метод последовательных приближений с различными модификациями использовали А.Б. Каток, А. Уиндзор и Б. Файад [41] (2001) при построении «крыши» потока и собственных функций специального вида, а также ряд авторов в работах по исследованию так называемых косых сдвигов Анзаи, о которых пойдет речь ниже. Отметим терминологическое, а иногда и техническое сходство в исследованиях потоков и косых сдвигов Анзаи [34], [44] на двумерном торе, задаваемого формулой T,j{x, у) {{х {у или в мультипликативной записи 1Ш), 16

1. Д.В. Аносов, Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с эргодическим поворотом окружности. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1259-1274.

2. В.И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами. Функц. анализ и его прилож., 25 (1991), №2, 1-12.

3. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков, Лекции по математическому анализу. М., Высшая школа, 1999.

4. Г.Р. Белицкий, О локальной сопряженности диффеоморфизмов. Докл. АН СССР, 191 (1970), №3, 515-518.

5. А.А. Блохин, Гладкие эргодические потоки на поверхностях. Труды Моск. Матем. Общ., 27 (1972), 113-128.

6. A.M. Вершик, И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, Общая эргодическая теория групп преобразований с инвариантной мерой.Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. (1985) Т. 2. М.: ВИНИТИ, 5-111.

7. А.Б. Каток, Спектральные свойства динамических систем с интегральным инвариантом на торе. Функцион. анализ и прилож., 1 (1967), 45-56.

8. А.Б. Каток, Монотонная эквивалентность в эргодической теории. Изв. АН СССР, сер. матем., 41 (1977), 104-157, 231.

9. А.Б. Каток, Е.А. Сатаев, Стандартность автоморфизмов перекладываний отрезков и потоков на поверхностях. Матем. заметки, 20 (1976), №4, 479-488.

10. А.Б. Каток, A.M. Степин, Аппроксимации в эргодической теории. Успехи матем. наук, 5 (137), (1967), №5, 81-106.

11. А.Б. Каток, Я.Г. Синай, A.M. Степин, Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой. В сб. Итоги науки, Математический анализ, т. 13 (1975), 129-262.

12. А.Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральным инвариантом на торе. Докл. АН СССР, 93 (1953), 763-766.

13. A.N. Kolmogorov, Theorie generate des systemes et mecanique clas-sique, Proceedings of the Internatioal Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1, p. 315-333. Erven P. Nordhoff N.V., Groningen, 1957.

14. И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин, Эргодическая теория. М., Наука, 1980.

15. А.Б. Крыгин, Пример непрерывного потока на торе со смешанным спектром. Матем. заметки, 15 (1974), №2, 235-240.

16. А.Б. Крыгин, Примеры эргодических цилиндрических каскадов. Матем. заметки, 16 (1974), №6, 981-991.

17. А.Б. Крыгин, Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами. Вестник МГУ (1975), сер. 1, №5, 2632.

18. Ж. Пэлис, ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.

19. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГИТТЛ, 1947."

20. А.В. Рождественский, Об абсолютно непрерывных слабо перемешивающих коциклах над иррациональными поворотами окружности. Матем. сб. (готовится к печати).щ

21. В.А. Рохлин, Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. ДАН СССР, 60 (1948), №3, 349-351.

22. В.В. Рыжиков Отсутствие перемешивания у специальных потоков над перекладыванием отрезков. Матем. заметки, 55 (1994), № 6, с. 146-149.

23. Я.Г. Синай, К.М.Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности. Функцион. анализ и его при-лож., 26 (1992), №3, 1-21.

24. A.M. Степин, О гомологическом уравнении теории динамических систем, В сб. Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Издательство Ярославского университета, 1982, 106-117.

25. A.M. Степин, О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов. Матем. заметки, 13 (1973), №3, 403-409.

26. A.M. Степин, О когомологиях групп автоморфизмов пространства Лебега. Функц. анализ и его прилож., 5 (1971), №2, 91-92.

27. А.Т. Таги-Заде. Замена времени в специальных потоках. Матем. заметки, 25 (1979), №5, 725-732.

28. П.Р. Халмош, Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

29. А.Я. Хинчин, Цепные дроби. М., Физматгиз, 1961.

30. М.Д. Шкловер, О классических динамических системах на торе с непрерывным спектром. Изв. вузов, Математика, 10 (1967), 113124.

31. С.А. Юзвинский, О метрических автоморфизмах с простым спектром. Докл. АН СССР, 172 (1967), №5, 999-1002.

32. J. Aaronson, М. Lemanczyk, С. Mauduit, Н. Nakada, Koksma's inequality and group extensions of Kronecker transformationsAlgorithms, Fractals and Dynamics, editedby Y. Takahashi, Plenum Press 1995, 27-50.

33. W. Ambrose, S. Kakuktani, Structure and continuity of measurable flows. Duke Math. J. (1942), 9, 25-42.

34. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus. Osaka math, journal. 3 (1951), №1, 83-99.

35. W. Bulatek, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Constructions of cocycles over irrational rotation. Studia Mathematica, 125 (1) (1997), 1-11.

36. R.V. Chacon, Transformations having continuous spectrum. J. Math. Mech., 16 (1966), 399-415.

37. R.V. Chacon, Change of velocity in flows. J. Math. Mech., 16 (1966), №5, 417-431.

38. B. Fayad, Reparametrage de flots irrationnels sure le tore, PhD Thesis, L'Ecole Polytechnique. Paris, 2000.

39. B. Fayad, Analityc mixing reparametrizations of irrational flows. Ergodic Theory Dymam. Systems, 22 (2002), №2, 437-468.

40. B. Fayad, Weak mixing for reparameterized linear flows on the torus. Ergodic Theory Dynam. Systems, 22 (2002), №1, 187-201.

41. B. Fayad, A. Katok, A. Windsor, Mixed spectrum reparametrizations of linear flows on T2. Mosc. Math. J., 4, (2001), .

42. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, On partially mixing transformations. Indiana Univ. Math. J., 20 (1972), №8, 767-775.

43. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, Ergodic transformations induce mixing transformations. Adv. Math., 10 (1973), №1, 147-163.

44. H. Furstenberg, Strict ergodicity and transformations on the torus. Amer. J. Math., 83 (1961), 573-601.

45. P.R. Halmos, In general, a measure-preserving transformation is mixing. Ann. of Math., ser 2, 45 (1944), №4, 784-792.

46. В. Hasselblatt, A. Katok, Principal Structures, Handbook in Dynamical Systems, v. 1A, Elsevier, 2002, 1-203.

47. M.R. Herman, Exemples de flots hamiltoniense dont aucune perturbation en topologie C°° n'a d'orbites periodiques sur un ouvert de surfaces d'energies. C.R Acad. Sci. Paris, 312 (1991), 989-994.

48. M.R. Herman, Sur la conjugasion differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 49 (1979), 5-233.

49. A. Iwanik, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Absolutely continuous cocy-cles over irrational rotation. Israel J. Math., 83 (1993), 73-95.

50. A.B. Katok, Interval exchange transformations and some special flows are not mixing. Israel. J. Math., 35 (1980), 301-310.

51. A. Katok, E.A. Robinson, Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory, in Smooth Ergodic Theory and its applications, Proc. Symp. Pure Math, AMS, 69 (2001).

52. K.M. Khanin, Ya.G. Sinai, A new proof of M. Herman's theorem, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 89-101.

53. U. Krengel, On Rudolph's representation of aperiodic flows. Ann. Inst. Poincare, 12, 1976 (77), №4, 319-338.

54. J. Kwiatkowski, M. Lemanczyk, D. Rudolph, A class of real cocycles having an analytic coboundary modification. Israel J. Math., 87 (1994), 337-360.

55. M. Lemanczyk, Sur I'absence de melange pour des flots speciaux au dessus d'une rotation irrationelle. Colloquium mathematicum, 84/85, (2000), 29-41.

56. M. Lemanczyk, C. Mauduit, Ergodicity of a class of cocycles over irrational rotation. J. London Math. Soc. (2), 49 (1994), 124-132.

57. M. Lemanczyk, F. Parreau, D. Volny, Ergodic properties of real co-cycles and pseudo-homogeneous Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 348 (1996), 4919-4938.

58. J. von Neumann, Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math., 33 (1932), 587-.

59. D. Ornstein, D. Rudolph, B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Memoirs of AMS, 37 (1982), №262.

60. D. Ornstein, M. Smorodinsky, Continuous speed changes for flows, Israel J. Math., 31 (1978), 161-168.

61. W. Parry, Cocycles and velocity changes, J. London Math. Soc., 5 (1972), №, 511-516.

62. D. Rudolph, A two-valued step-coding for ergodic flows. Proc. of the Intern. Conference on Dynamic Systems in Math. Phys., Rennes, Sept 14-21, 1975.

63. B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Preprint (1976).

64. A. Windsor, Liouville phenomena in smooth ergodic theory. PhD Thesis, Pennsylvania State University, 2002.Работы автора

65. A.B. Кочергин, Об отсутствии перемешивания у специальных потоков над поворотом окружности и у потоков на двумерном торе. Докл. АН СССР, 205, (1972), 515-518.

66. А.В. Кочергин, Замена времени в потоках и перемешивание. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1275-1298.

67. А.В. Кочергин, О перемешивании в потоках на поверхностях, тезисы доклада. УМН, ХХХ:2 (182), (1975), 202-203.

68. А.В. Кочергин, О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в гладких потоках на поверхностях. Матем. сб., 96 (138), (1975), №3, 471-502.

69. А.В. Кочергин, Невырожденные седла и отсутствие перемешивания. Матем. заметки, 19 (1976), №3, 453-468.

70. A. Kochergin, Causes of stretching of Birkhoff sums and mixing in flows on surfaces, в сб. «Recent Progress in Dynamics», Cambridge University Press, 2004, 12 p.Работы автора по теме диссертации

71. А.В. Кочергин, О гомологичности функций над динамическими системами. Докл. АН СССР, 231, (1976), 795-798.

72. А.В. Кочергин, Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией. Математический сборник, 193 (2002), №3, 51-78.

73. А.В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе. Матем. сб., 194 (2003), №8, 83-112.

74. А.В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе II. Математический сборник, 195 (2004), №3, 15-46.

75. А.В. Кочергин, Гелъдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе. Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 244 (2004), 216-248.

76. А.В. Кочергин, Некоторые обобщения теорем о перемешивающих потоках с невырожденными седлами на двумерном торе. Матем. сб., 195 (2004), №9, 19-36.

77. А.В. Кочергин, Перемешивание в потоках на торе. В сб. тезисов докладов на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003), 101-102.

78. A. Kochergin, Well арртохгтаЫе angles and mixing for flows on T2 with nonsingular fixed points. Electronic Research Announcements of American Mathematical Society, 10 (2004), 113-121.