Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем

Тихонов, Сергей Викторович

Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Тихонов, Сергей Викторович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем»

Автореферат диссертации на тему "Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем"

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ИМ.

А.А. ХАРКЕВИЧА

На правах рукописи УДК 517.518.5

Тихонов Сергей Викторович

ТИПИЧНОСТЬ, ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Ось ^р^

янв т

Москва — 2013

005544650

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Российский государственный торгово-экономический университет"

(РГТЭУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических ішук

доктор физико-математических паук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Качуровский Александр Григорьевич Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Лаборатория функционального анализа, ведущий научный сотрудник

Оселедец Валерий Иустипович "Финансовый Университет" при Правительстве Российской Федерации, кафедра Теории вероятностей и математической статистики, профессор

Рыжиков Валерий Валентинович Механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, кафедра ТФФА, профессор

Обнинский институт атомной энергетики — филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Защита состоится 18 февраля 2014 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при Федеральном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН. Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета. Автореферат разослан «. ,51кА|рЛ- 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.077.03 при ИППИ РАН, кандидат физико-математических наук

А. Н. Соболевский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Работа относится к эргодиче-ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих меру, к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодическая теория рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразований (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так называемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С.Улама1' (для гомеоморфизмов), В.А.Рохлина2' и П.Халмоша3' (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопросах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффективны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразованиями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В.А.Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о существовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложеннн преобразования в поток потребовали дополнительных топологических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразований, то и в этом направлении аппроксимационпый подход оказался достаточно эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина4' (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спектра) и А. М.Степина и А. Б. Катка5': была показана, в частности, зависимость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппроксимировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому моменту вопросы. В дальнейшем аппроксимациопный подход развивался в работах

^ Oxtoby J., Ulam S. Measure-preserving homeomorphisms and metrical transitivity // Ann. of Math. 1941. Vol. 42, no. 2. Pp. 874-920 .

Рохлин В. А. Общие преобразования с инвариантной мерой не есть перемешивание // ДАН СССР. 1948. Т. 60, № 3. С. 349—351.

3) Haimos P. In general a measure preserving transformation is mixing // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 55, no. 1. Pp. 1-18 .

Степип A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, № 4. С. 773—776 ; Степип А. М. Спектр и аппроксимации метрических автоморфизмов периодическими преобразованиями // Фупкц. анализ и его прил. 1967. T. 1, № 2. С. 77-80.

5) Каток А. Б., Степип А. М. Об аппроксимациях эргодических динамических систем периодическими преобразованиями // ДАН СССР. I960. Т. 171, № 6. С. 1268—1271 ; Каток А. Б., Степин А. М. Аппроксимации в эргодическоП теории // УМН. 1967. Т. 22, Л'« 5. С. 81—106.

А.

/Ч

Vе

А. Б. Катка6', А. М. Степина7', Д. В. Аносова и А. Б. Катка8', В. И. Оселедца9', С. А. Юзвинского10', О.Н.Агеева11' и многих других.

Вопросы существования преобразований с теми или иными свойствами, возникающие в эргодической теории, естественно рассматривать для нескольких основных классов: эргодических, слабо перемешивающих и перемешивающих. Кроме того, в последнее время также рассматриваются "категорные" и групповые формулировки. Первая формулировка означает "типичны ли преобразования с выбранным свойством?", вторая — "обладают ли этим свойством групповые действия?". Если преобразования с выбраным свойством типичны, то существуют эргодические и слабо перемешивающие преобразования им обладающие. Совсем иначе обстоит дело с перемешивающими преобразованиями: типичное среди всех преобразований свойство может не выполняться ни для одного перемешивающего преобразования. Всвязи с этим, перемешивания лишены такого важного способа изучения их свойств, как ка-тегорный подход. Один из общих рассматриваемых в этой работе вопросов звучит так:

Какими свойствами может обладать перемешивающее преобразование?

Конечно, такая формулировка вопроса слишком общая; мы будем рассматривать более специальные вопросы, например, "перемешивающий" вари-

Katok А. В. The special representation theorem for multi-dimensional group actions // Dynamical Systems I, Warsaw, Astérisque. 1977. Vol. 49. Pp. 117-140 ; Каток А. Б. Энтропия и аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1, № 1. С. 75-85.

71 Степип A. M. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. Москва, 1967. Т. 176, .V 5. С. 1023—1026 ; Stepin A. Les spectres des systèmes dynamiques // Actes du Congr. Inter, des Math.(Nice, 1970), Tome. 1970. Vol. 2. Pp. 941-946 ; Степин A. M. О связи аппроксимативпых и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Матем. заметки. Москва. 1973. Т. 13, .V 3. С. 403— 409 ; Стешш А. М. Аппроксимируемость групп II групповых действий // УМН. 1983. Т. 38, 6(234). С. 123— 124 ; Stepin A. M. New versions of the approximstions method // International conference "Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" dedicated to the memory and the 70th birthday of V. M. Alekseyev (1932 - 1980), Moscow State University, Steklov Institute of Mathematics, Center for Dynamical Systems at PENN State, Moscow, December 23-28. M. : MSU, 2002. Pp. 30-31 ; Степип A. M. Новый прогресс в эргодической теории аппроксимаций // Колмогоров и современная математика. Тезисы докладов. M. : МГУ, 2003. С. 802.

Аносов Д. В., Каток А. Б. Новые примеры эргодических диффеоморфизмов гладких многообразий // УМН. 1970. Т. 25, 4(154). С. 173-174.

Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Матем. заметки. 1969. Т. 5, .V 3. С. 323—326 ; Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прпл. 1971. Т. 5, № 3. С. 75—79.

10) Юзвинский С. А. О метрических автоморфизмах с простым спектром // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 5. С. 1036-1038.

Агеев О. Н. О сопряженности группового действия своему обратному // Матем. заметки. 1989. Т. 45, № 3. С. 3—11 ; Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширснием для любой конечной абслевой группы G // ДАН. 2000. Т. 374, № 4. С. 439—442 ; Агеев О. Н. Динамические системы с произвольной функцией кратности спектра // УМН. 1998. Т. 53, Xa- 5. С. 223—224 ; Агеев О. Н. Динамические системы с четнократной лебеговской компонентой в спектре // Матем.сборник. 1988. Т. 136, № 3. С. 307-319.

ант вопроса Рохлина об однородном непрерывном спектре:

Существуют ли перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности п G N?

Сам вопрос был поставлен Рохлиным устно для эргодических преобразований. В печатном виде он присутствует в обзоре А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степипа12'. "Перемешивающая" формулировка (при п > 2) имеется в работах А. И. Даниленко13' и В. В. Рыжикова14'. А. Б. Каток15' показал, что в типичном случае спектральные кратности декартового квадрата преобразования содержатся во множестве {2,4} и высказал гипотезу, что число 4 не реализуется, то есть такие квадраты имеют однородный спектр кратности 2. Эта гипотеза подтверждена (независимо) О.Н.Агеевым16' и В. В. Рыжиковым17'. Позднее, В. В. Рыжиков, отвечая на вопрос Ж.-П. Тувеио, получил тот же результат для перемешивающих преобразований18'. Для случая п > 2 в эрго-дической постановке вопроса положительный ответ получен О. Н. Агеевым19'. Доказательство этого факта существенно отличается от случая п = 2 применением соображений типичности групп преобразований, а его адаптация на перемешивающий случай требует разработки соответствующего математического аппарата. Эта разработка проведена диссертантом20' и будет изложена в настоящей работе. Следует упомянуть также результат А. И. Дапиленко и А. В. Соломко21' о существовании эргодических действий некоторых абелевых групп с однородным спектром любой кратности.

Важным применением аппроксимационных методов является спектральная теория эргодических (перемешивающих) преобразований. Мы остановимся па одном вопросе Колмогорова, сыгравшем существенную роль в возникновении и развитии теории аппроксимаций, — вопросе о групповом свой-

Каток А. Б., Синай Я. Г., Степип А. М. Теория динамических систем и общих групп преобразовать с инвариантной мерой // Итоги науки и техн. Сер. Мат. апал. 1975. Т. 13. С. 129—262. стр. 203.

13) Danilenko А. (С, F)-Actioris in Ergodic Theory // Geom.&Dynamics of Groups & Spaces, Progress in Mathematics. 2008. Vol. 265. Pp. 325-351 .

14) Рыжиков В. В. Слабые пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1 // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 5. С. 137—159.

15) Katok А. В. Combinatorial constructions in ergodic theory and dynamics, RI : Amer. Math. Soc., Providence, 2003. (University Lecture Series ; 30) .

16' Agcev O. N. On ergodic transformations with homogeneous spectrum // JDCS. 1999. Vol. 5. Pp. 149-152 .

17) Ryzhikov V. V. Transformations having homogeneous spectra // JDCS. 199U. T. 5, № 1. C. 145—148.

L8J Ryzhikov V. V. Homogeneous spcctrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-namical sytems // Selected Russian Math. 1999. Vol. 1, no. 1. Pp. 13-24 .

I9) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory // Invent. Math. 2005. Vol. 160. Pp. 417-446 .

20' Тихонов С. В. Персмешиващие преобразования с однородным спектром // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 8. С. 139—100.

21' Danilenko A. I., Solomko А. V. Ergodic Abelian actions with homogeneous spectrum // Contemp. Math. 2010. Vol. 532. Pp. 137-149 .

стве спектра сохраняющего меру преобразования. Он эквивалентен тому, что свертка максимального спектрального типа преобразования подчинена этому спектральному типу. А. Н. Колмогоров (по аналогии с дискретным случаем) полагал, что это так, см. работу Я. Г. Синая22'. В. А. Рохлин и С. В. Фомин23' исследовали все известные на тот момент динамические системы и выяснили, что групповое свойство для них выполняется. Я. Г. Синай24' получил условие, гарантирующее групповое свойство спектра, и доказал его выполнение для широких классов преобразований вероятностного происхождения. Напротив, развивая теорию аппроксимаций, А. М. Степнн25' показал, что спектральный тип преобразования в типичном случае не подчиняет свой сверточный квадрат, более того, взаимно сингулярен с ним. Заметим также, что вопрос Колмогорова имел и другую (несколько более слабую) трактовку; в этой трактовке контрпример получил В. И. Оселедец26'. Он также построил первый пример преобразования без группового свойства с непрерывным спектром27'. Для перемешивающих преобразований отсутствие группового свойства доказал В. В. Рыжиков28'.

Сингулярность спектрального типа преобразования со своим сверточ-ным квадратом оказалась связана с следующим вопросом Рохлина (о кратном перемешивании):

Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

Одним из самых заметных результатов в этом направлении, получил Б. Ост29', доказавший, что взаимная сингулярность максимального спектрального типа и его сверточного квадрата гарантирует перемешивание любой кратности.

Вопрос о кратном перемешивании и его различные вариации исследовались многими авторами. Этот инвариант ввел В.А.Рохлин, установив крат-

22' Сипай Я. Г. Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодических динамических систем // УМН. 1963. Т. 18, 5. С. 41-54.

233 Рохлин В. А., Фомин С. В. Спектральная теория динамических систем 3. Т. 3. М.: АН СССР, 1956. С. 284—292.

21> Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем //Докл. АН СССР. 1963. Т. 150, № 6. С. 1235-1237.

2,J' Stepin A. Les spectres des systèmes dynamiques // Actes du Congr. Inter, des Math.(Nice, 1970), Tome. 1970. Vol. 2. Pp. 941-946 ; Степии A. M. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. ыатем. 1986. Т. 50, № 4. С. 801-831.

26) Оселедец В. II. О спектре эргодических автоморфизмов // ДАН СССР. 1966. Т. 168. С. 1009—

1011.

27j Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Матем. заметки. 1969. Т. 5, № 3. С. 323-326.

28' Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-namical sytems .

2''' Host B. Mixing of all orders and pairwise independent joinings of systems with singular spectrum // Isr. J. Math. 1991. Vol. 76. Pp. 289-298 .

ное перемешивание для эргодических эндоморфизмов компактных групп30', С. А. Каликов31' рассматривал преобразования ранга 1. Ф. Ледрапье32' построил перемешивающее действие группы Z2 не перемешивающее кратно.

B.П.Леонов33' показал, что перемешивающие гауссовские системы обладают перемешивапием всех кратностей, Б. Маркус34' доказал, что свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. А. Н. Старков35' установил аналогичный факт для однородных перемешивающих потоков, ТТТ Мозес36' для широкого класса групп Ли. В серии работ В. В. Рыжикова доказано кратное перемешивание для перемешивающих преобразований конечного ранга37', Мл-действий положительного /З-раига38', из-простых систем39', перемешивающих К."-действий все элементы которых сопряжены40'. Р. А. Яссави41' обобщала результаты Рыжикова для действий с положительным /З-рангом на коммутативные группы.

3,1 > Рохлин В. А. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1949. Т. 13, № 4. С. 329—340.

31 ! Kalikow S. Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1984. Vol. 4. Pp. 237-259 .

:î2' Ledrappier F. Un champ inarkovien peut être d'entropie nulle et mélangeant // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B. 1978. Vol. 287, no. 7. A561-A5G3 .

33' Леонов В. П. Применения характеристических функционалов и семиинвариантов в эргодиче-ской теории стационарных процессов // ДАН СССР. 19G0. Т. 133, 3. С. 523—52G.

34> Marcus В. The horocycle flow is mixing of all degrees // Inv. Math. 1978. Vol. 4G. Pp. 201-209 .

3 Старков A. H. О кратном перемешивании однородных потоков. // ДАН СССР. 1993. Т. 333, № 1. С. 28-31.

36' Mozes S. Mixing of all orders of Lie group actions // Invent. Math. 1992. Vol. 107. Pp. 235-241 .

37' Рыжиков В. В. Джойпинги и кратное перемешивание действий конечного ранга // Функц. анализ и его прил. 1993. Т. 27, К' 2. С. 63-78.

38' Рыжиков В. В. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в классе действий положительного локального ранга // Фупкц. анализ и его прил. 2000. Т. 34, 1. С. 90—93.

39) Рыжиков В. В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем // Матем. сб. 1997. Т. 188, Л'« 2. С. 67—94.

10' Рыжиков В. В. Связь перемешивающих свойств потока с изоморфизмом входящих в него преобразований // Матем. заметки. 1991. Т. 49, № 6. С. 98—106.

41) Yassawi R. A. Multiple Mixing of Local Rank Group Actions. McGill University, 1998 .

42' Степип A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. 19G6. Т. 169, ,\> 4. С. 773—776 ; Степин А. М. Об энтропийном инварианте убывающих последовательностей измеримых разбиений // Фупкц. анализ и его прил. 1971. Т. 5, № 3.

C. 80—84 ; Stepin A. Amenability and ergodic property of transformations group // Operator algebras and group representations: proceedings of the international conference held in Neptun (Romania) September 1-13, 1980. Vol. 2. Boston : Pitman Advanced Pub. Program, 1984. Pp. 151-162. (Monographs and studies in mathematics, 17-18.)

431 Степиir A. M. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным

преобразований, О. H. Агеев доказал типичность преобразований, являющихся Z2-paciHiipeHiMMii44\ существование преобразований ранга 1, изоморфных своему квадрату45) и преобразований, имеющих однородный спектр произвольной кратности46^, В. В. Рыжиков47' и А. И. Даниленко48' использовали групповые действия для получения эргодических преобразований с нетривиальными наборами спектральных кратностей.

Многие свойства преобразований (например, слабое перемешивание, неизоморфность обратному, существование корней) имеют естественные аналоги для групповых действий. Однако, в силу исторических причин и более важной роли преобразований в приложениях, типичность таких свойств лучше изучена именно для преобразований. Естественным образом возникает вопрос о возможности "переноса" утверждений о типичности на группы преобразований и обратно. Более общо, нас будет интересовать ответ на следующий вопрос:

Как связаны между собой типичные свойства элементов в различных метрических пространствах?

Этот вопрос перекликается с категорной формулировкой ряда известных проблем эргодической теории ("категорная формулировка" вопроса о каком-нибудь свойстве действий означает вопрос о типичности действий с этим свойством). Вот некоторые из них:

вопрос Халмоша о существовании квадратного корня49';

вопрос Рохлина о вложении преобразования в поток и о количестве этих потоков50' ;

вопросы де ла Рю и де Сэм Лазаро51' о вложении Ъп-действия в инъек-тивное К"-действие и о вложении й2-действия в поток;

уже упомянутый вопрос Рохлина о существовании перемешивающих преобразований разной кратности52'.

временем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, 4. С. 773—776.

44) Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширепием для любой конечной абелевой группы G // ДАН. 2000. Т. 374, .V 4. С. 439—442.

45' Agcev О. N. Spectral Rigidity of Group Actions: Applications to the Case gr < f, s: ts = St2 > // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 134. Pp. 1331-1338 .

46* Agcev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory .

47* Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 12. С. 107—120.

48) Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2006. Vol. 26, no. 5. Pp. 1467-1490 .

49) Халмош П. P. Лекции по эргодической теории. Москва : Изд. Иностр.Литературы, 1959.

50 ) Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // УМН. 1949. Т. 30, JVS 2. С. 57—128 ; Стешш А. М., Еременко А. Неединственность включения в поток и обширность централизатора для типичного сохраняющего меру преобразования // Матем.сборник. Москва, 2004. Т. 195, У* 12. С. 95-108.

Rue T. D. L., Lazaro J. D. S. Une transformation générique peut être insérée dans un flot // Annalles de l'IHP. 2003. Vol. 39, no. 1. Pp. 121-134 .

52) Рохлин В. A. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп.

Заметим также, что построенная диссертантом для ответа на рассматриваемый вопрос теория сохраняющих типичность отображений впоследствии развивалась в работах Ж. Миллерея и Т. Цапкова53', Ж. Миллерея54' и О.Н.Агеева55'.

Одно из главных направлений работы — исследование типичных групп перемешивающих преобразований.

Направление представляется важным в двух аспектах.

Во-первых, типичность является хорошим средством для доказательства теорем существования. Например, типичность любых двух свойств сохраняющих меру преобразований гарантирует существование слабо перемешивающего преобразования с обоими этими свойствами. Последние исследования56' показывают, что преобразования с нетипичными свойствами можно получать, извлекая их из типичных групп преобразований. Общую теорию аппроксимаций групп преобразований развивал А.М.Стешш57'. В его работах также изучаются связи между аппроксимациями групп и их действий58'.

Во-вторых, исследование перемешивающих групп преобразований сдерживает отсутствие некоторых методов, применимых к общим преобразованиям. В первую очередь это отсутствие предельного перехода, сохраняющего перемешивание (фактически, для этого нужна метрика, превращающая множество перемешивающих преобразований в полное пространство, и метрика слабой топологии для этого не подходит). Другим важным методом является использование нетривиальных предельных операторов у степеней преобразования. Этот метод применяется во многих работах59', но напрямую не применим к перемешивающим преобразованиям, у которых только один предельный оператор. В этой связи уместно заметить, что решение проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектра для эргодических преобразований

53) Melleray J., Tsankov Т. Generic representations of abelian groups and extreme amenability // arXiv preprint arXiv:1107.1698. 2011 .

51' Melleray J. Extensions of gencric measure-preserving actions // arXiv preprint arXiv:1201.4447. 2012.

55) Ageev O. N. On extensions of typical group actions // arXiv preprint arXiv:1212.2660. 2012 .

56) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory ; Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications ; Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой.

57> Степип А. М. Применение метода периодических аппроксимаций в спектральной теории динамических систем: дис. ... канд. фпз.-мат. наук : 01.01.01 / Степип А. М. М. : МГУ им. М.В. Ломоносова, 1908.

58' Стешш А. М. Аппроксимируемость групп и групповых действий // УМН. 1983. Т. 38, 6(234). С. 123—124 ; Стешш А. М. Замечания об аппроксимациях групп // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1984. № 4. С. 201-204.

59) Степнн А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, X» 4. С. 801—834 ; Lemanczyk М., Junco A. D. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Proc. of AMS. 1992. Vol. 115, no. 3. Pp. 725-736 ; Рыжиков В. В. Слабьте пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1 ; Рыжиков В. В. Спектральные кратности н асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой ; Рыжиков В. В. Простой спектр тензорного произведения степеней перемешивающего автоморфизма // Тр. MMO. 2012. Т. 73, .Ys 2. С. 229—239.

опиралось на наличие у типичного преобразования предельного оператора особенного вида. Отсутствие такого предела у перемешивающих преобразований отодвинуло решение перемешивающего варианта вопроса Колмогорова на три десятка лет. Для того, чтобы обойти эту проблему, В. В. Рыжиков60' рассматривал преобразования с более сильными, чем отсутствие группового свойства, ограничениями, причем это ограничения продолжали выполняться при подходящей аппроксимации перемешивающего преобразования слабо перемешивающими конструкциями ранга 1. Мы будем использовать несколько иной подход, связанный с типичностью и не ограниченный рамками ранговых конструкций.

Резюмируя выше сказанное, нас интересуют следующие вопросы:

Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типичны?

Заметим, что для изучения типичности требуется, чтобы метрика была полной.

Цели и задачи. Основной целью работы является создание категор-ных и аппроксимационных методов исследования перемешивающих преобразований, а также перемешивающих и неперемешивающих групп.

К целям работы также относятся:

• исследование типичных свойств 2п-действий;

• исследование типичных свойств перемешивающих преобразований и перемешивающих Жп-действий;

• исследование спектральных свойств индивидуальных перемешивающих преобразований.

Рассматриваются следующие вопросы:

I. Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типичны?

II. Как связаны типичные свойства в различных метрических пространствах?

III. Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

IV. Какие наборы спектральных кратностей могут быть у перемешивающего преобразования?

В рамках поставленных вопросов изучаются следующие проблемы и задачи:

60' Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of di-namical sytems .

1. Задача построения полной метрики на множестве перемешивающих преобразований. Желательным свойством этой метрики является сепарабельность получившегося пространства и связь с метрикой на пространстве всех преобразований.

2. Проблема Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного 1?-действия в поток.

3. Задача о плотности классов сопряженности прямого произведения перемешивающих действий группы Q в пространстве перемешивающих Q-действий.

4. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке.

5. Проблема Рохлина о существовании преобразований с однородным спектром кратности п > 2 в классе перемешивающих преобразований.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

• Введена метрика, относительно которой множество перемешивающих преобразований становится полным сепарабельным метрическим пространством. Аналогичная метрика введена для перемешивающих действий широкого класса локально-компактных групп.

• Введено понятие сохраняющих типичность отображений, получены достаточные условия сохранения типичности. Как следствие, получен ответ па вопрос Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2-действия в поток и доказано сохранение типичности для отображений ограничения К"-действий на группу Ъп.

• В классе перемешивающих преобразований получен положительный ответ на вопрос В. А. Рохлина о реализуемости однородного спектра кратности п € N.

• Изучены свойства типичных перемешивающих преобразований. Доказано, что типичное перемешивающее преобразование имеет нулевую энтропию, дизъюнктно своему обратному, имеет простой спектр. Получен ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке: установлено, что типичное перемешивающее преобразование обладает перемешиванием любой кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные методы могут быть применены для исследования перемешивающих и сохраняющих меру преобразований в эрго-дической теории и теории динамических систем. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и эр-годической теории, а также в научно-исследовательской работе математиков, работающих в этих направлениях.

Методология и методы исследования. В работе используются ка-тегорные и аппроксимационные методы исследования. Положения, выносимые на защиту:

• На множестве перемешивающих преобразований введена структура полного сепарабелыюго метрического пространства.

• Типичное Z2-действие не может быть вложено в поток.

• Типичное перемешивающее преобразование перемешивает кратно.

• Для любого натурального числа п, существуют перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности п.

Степень достоверности и апробация результатов. С материалами диссертации автор выступал на следующих научных семинарах:

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством академика Д. В. Аносова, профессора Р. И. Григорчука, профессора А. М. Степина;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора Б. М. Гуревича, профессора В. И. Оселедца и доктора физико-математических наук С. А. Пирогова;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора А. М. Степина;

ИАТЭ: семинар под руководством профессора Р. В.Плыкииа и профессора Е. А. Сатаева;

ИППИ РАН: Семинар Добрушинской математической лабратории под руководством профессора Р. А. Миплоса и гл.н.с. М. JI. Бланка.

Диссертационные результаты были представлены на следующих научных конференциях:

российско-французская конференция "Lyapunov Exponents and Related Topics in Dynamics and Geometry" в Независимом Московском Университете (2005г.);

конференция "Современные проблемы математики, механики и приложений посвященной 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского" (МГУ, 2011г.);

международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011г.);

международная конференция анализ и особенности, посвященная 75-летшо со дня рождения В.И.Арнольда ( Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2012г.);

Научная конференция "Ломоносовские чтения" в МГУ (2013г.).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 10 личных и одной совместной работе, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК.

Полный список работ приведен в конце автореферата. Основные положения, выносимые па защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 217 страниц текста, из которых 13 отведено на библиографию. Структура диссертации включает введение, четыре главы, разбитые на 14 параграфов, заключение, предметный указатель и список литературы, включающий 118 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цели и задачи исследования, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1.

В этой главе определяются рассматриваемые объекты, устанавливаются связи между типичными свойствами в различных метрических пространствах, вводится полная метрика для пространств перемешивающих £/-дей-ствий, то есть исследуются вопросы I и II.

Под преобразованием в работе понимается обратимое сохраняющее меру преобразование пространства Лебега с непрерывной нормированной мерой. Множество всех таких преобразований обозначим через А.

Преобразование Т называется перемешивающиль (или перемешиванием), если для любых измеримых множеств А, В и £ > 0 существует число п € N такое, что

\ц(Т!АПВ)-»(А)ц(В)\<е,

при всех \д\ > п.

Действием Т группы Q называется отображение д н-> Т9 из Q в А, сохраняющее групповую структуру и такое, что для любых измеримых множеств А и В отображение д ц (Т3А П В) непрерывно. В разных частях

работы рассматриваются действия различных групп и условия, наложенные на группы, будут сформулированы несколько позднее.

Действие Т называется перемешивающим на неограниченнолг множестве Г С {?, если для любых измеримых множеств А, В И £ > 0 существует ограниченное множество С С 0 такое, что

\ц(Т°АПВ)-ц(А)р(В)\<е,

при всех д € Г\С. Если в качестве Г можно взять всю группы О, то действие Т называется перемешивающим.

На протяжении работы изучаются следующие пространства:

• множество А всех обратимых сохраняющих меру преобразований пространства Лебега;

• множество М. всех обратимых сохраняющих меру перемешивающих преобразований;

• множество Ад действий группы 0, то есть непрерывных отображений О в А, сохраняющих групповую структуру;

• множество Л4д перемешивающих действий группы <?;

• множество Л4д,г действий группы Я, перемешивающих на неограниченном множестве Г.

После введения основных понятий изучаются топологии и метрики рассматриваемых пространств. Изучаются две метризуемых топологии: слабая топология, введенная П.Халмошем и поводок-топология, введенная диссертантом. Для определения соответствующих метрик фиксируется счетное плотное подмножество {Лг} сг-алгебры измеримых множеств (плотность означает, что для любых измеримого множества А и числа е > 0, найдется такой номер г, что ц(А А Л;) < е). Слабая топология в пространстве А задается любой из метрик

а (Г, 5) = ^ (ц {ТА1 Д БА{) + Ц (Г-Ч д Я-Ч))

ИЛИ

а (Т, 5) = £ ^ ^ (ТЛг П ~ » П I *

ьз

Относительно метрики <1 множество А является польским пространством, относительно метрики а множество А не полно.

Для поводок-топологии также рассматриваются две метрики: метрика \у задается формулой

(Г, 5) =зира(Т!7,5'3),

гем

а поводок-метрика т — формулой

т (Т, 5) = а (Г, 5) + V (Г, 5).

Множество Л4 перемешивающих преобразовании является подмножеством А и на него индуцируются все приведенные метрики и топологии.

Основным результатом здесь является решение задачи 1:

Теорема 1.1. Множество ЛЛ с метрикой ш является польским пространством.

Заметим, также, что относительно метрик а, с1, множество Л4 не полно, более того, по теореме Александрова об абсолютной С/>61\ множество ЛЛ не может быть полным пространством, относительно любой метрики, порождающей слабую топологию. Поводок-топология имеет два важных качества: она сравнима со слабой топологией (точнее, она сильнее чем слабая топология) и множество Л4 с этой топологией является сепарабельным пространством. Эти качества позволяют считать введение поводок-топологии разумным шагом для изучения перемешивающих преобразований.

Введенные понятия обобщаются на случай локально-компактных некомпактных хаусдорфовых групп со счетной базой окрестностей. Для этого фиксируется покрытие множества образующих группы не более чем счетной системой компактов {Й'г}.

Метрика слабой топологии с! в пространстве Ад задается формулой

V 2 в^к,

Таким образом, метрика слабой топологии в пространстве Ад определяется с помощью метрики слабой топологии, взятой из пространства А.

Задать слабую топологию можно также с помощью метрики

а (Г, 5) = £1 вир а (7* Я»).

Метрика определяется формулой

(Т, 5) =8ира(Т3,5а), дед

гл' Александров П., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Москва : Наука, 1973.

а формула для поводок-метрики m не меняется. Пространства Ад и Мд являются польскими относительно метрик dum соответственно.

Если Г — неограниченное подмножество Q, то в Мдх также можно ввести поводок-топологию, задаваемую любой из метрик

w (Т, S) = а (Г, S) + sup а (Т9, S9)

збГ

m(T, S) = d(T, S)+w(T,S).

Следующая теорема дает ответ на вопрос I в групповой формулировке:

Теорема 1.3. Л4д,г является польским пространством относительно метрики т.

Результаты для пространств А и Ад не являются новыми (хотя, некоторые из них можно найти в литературе лишь в виде упоминаний) и в общих чертах известны с 60-х годов прошлого века. Результаты, связанные с поводок-метрикой, получены автором62'.

Еще одна тема, рассматриваемая в первой главе, — связь между типичными свойствами в различных польских пространствах. Она изучается в §1.5. Напомним, что множество в польском пространстве называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных открытых множеств и существенным, если оно содержит массивное подмножество. Дополнение существенного множества называется тощим множеством. Свойство называется типичным, если оно выполнено для элементов существенного множества.

В пункте 1.5.1 рассматриваются связи между типичностью в польском пространстве и некотором его подпространстве. Точнее, рассмотрим пару где Ä — полное метрическое пространство, относительно метрик d' и т', а Л/( — его подпространство, полное относительно метрики m ; пара обладает свойством В, если для любых Т 6 М. , S G Л и £ > 0 найдется Р е М' такое, что d' (5, Р) < £ и m' (Т, Р) < ш' (Г, S) + е.

Теорема 1.4. Пусть пара (Л',М') удовлетворяет условию В и {VJ — счетный набор G¡-подмножеств Л, замыкание каждого из которых в ш'-метрике содержит М.'. Тогда пересечение П; И П М — массивное подмножество Л4 .

Как показано в дальнейшем, свойство В выполнено для пары (Л, Л4) и, при некоторых условиях на Q и Г, для пар (Ag, Mg) и (Ад,г,А4дх) (с

Тихонов С. В. Полная метрика па множестве перемешивающих преобразований // УМН. 2007. Т. 62, .V 1. С. 209—210 ; Тихонов С. В. Однородный спектр и перемешивающие преобразования // ДАН. 2011. Т. 436, .V 4. С. 448—451 ; Тихонов С. В. Перемешиванию преобразования с однородным спектром ; Тихонов С. В. Полная метрика во множестве перемешивающих преобразований // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 4. С. 135—158 ; Tikhonov S. Complete metric on actions of general groups // JDCS. 2013. Vol. 19, no. 1. Pp. 17-31 .

естественными метриками этих пространств (1 и т). Таким образом, ко всем этим парам применима теорема 1.4.

В пункте 1.5.2 приводятся примеры типичных и нетипичных свойств преобразований. Эти результаты получены различными авторами в разное время; приведены ссылки на соответствующие работы. В дальнейшем они используются для доказательства аналогичных утверждений для действий группы Л1.

В пункте 1.5.3 также рассматривается связь между типичными свойствами в польских пространствах, но в отличии от пункта 1.5.1 никаких условий на используемые метрики не накладывается. Для этого вводится следующее понятие: непрерывное отображение V называется сохраняющим типичность, если полный прообраз и полный образ каждого существенного множества при отображении V также является существенным множеством. Будем говорить, что польское пространство В обладает свойством плотности образов (СПО), если существует счетный набор {/?;} гомеоморфизмов В в себя таких, что для типичного Ь е В множество всюду плотно в В. В этом слу-

чае В будем называть СПО-пространством, а набор гомеоморфизмов {/3;} выделенным. Мы доказываем (теорема 1.5), что для сохранения типичности непрерывным отображением V : В —>• С двух СПО-пространств с выделенными множествами гомеоморфизмов {¡3{\ и {7;}, достаточно выполнения следующих условий:

1. = {7¿иЬ} для всех Ъ е В;

2. ДЛЯ ТИПИЧНОГО С € С множество {/ЗгИ-1 (с)} всюду плотно в В.

Все пространства Л,Лд,Л4,Л4д,Л4дх являются СПО-пространствами относительно сопряжений счетным плотным в Л множеством преобразований.

Далее, устанавливается типичность (или нетипичность) отображений ограничения 7Гд,г : {Т9}дед >-» {713}аег действий группы я на группу Г. В частности, отображение 7гКп сохраняет типичность для п ^ к и не сохраняет в противном случае (Утверждение 1.32). Некоторые дополнительные соображения позволяют получить следующий результат:

Утверждение 1.33. Типичное й"+,г-действие не вкладывается в К"-дей-ствие при к € N.

При п = 1 и к = 2 это — решение проблемы 2. Теория СПО-пространств развивалась в работах автора63'.

Глава 2.

Тихонов С. В. О связи метрических и спектральных свойств ¿.^-действии // Фундам. и прикл. математика. 2002. Т. 8, № 4. С. 1179—1192 ; Тихонов С. В. Типичное действие группы вкладывается в действие группы К* // ДАН. 2003. Т. 391, № 1. С. 26-28 ; Тихонов С. В. Вложение действий евклидовой решетки в потоки с многомерным временем // Матсм. сб. 2006. Т. 197, .V 1. С. 97—132.

В этой главе изложены основные аппроксимационные утверждения для перемешивающих действий и решена задача 3. Основная цель — получить некоторый аналог леммы Халмоша о сопряжении для пространств перемешивающих действий и преобразований.

Действие Т группы Я называется свободным, если мера множества

У {ж | Т9х = а;} реа\{0}

равна нулю. При Я = Ъ соответствующее преобразование Т1 называется апериодическим.

Лемма (Лемма Халмоша о сопряжении). Класс сопряженности {и~гТи}и(_Л апериодического преобразования Т всюду плотен в слабой топологии пространства А.

Группа Я является моноблочной аменабелъной, если она имеет (фельне-ровскую) последовательность блоков, то есть возрастающую последовательность конечных подмножеств исчерпывающую Я и такую, что

1. Для любого д € 0, имеем 1 при I оо, где "#" означает количество элементов в группе.

2. Для каждого ^ 6 найдется набор {с,-} элементов группы для которого Я = \JjFcj.

Полный аналог леммы Халмоша о сопряжении выполняется для действий дискретных амеиабельных моноблочных групп. Мы будем называть их АМ-группами.

Так как поводок-топология сильнее слабой, то изучение аналогов леммы Халмоша о сопряжении в пространствах Л4д естественно ограничить случаем, когда Я — АМ-группа. Также, с этого момента в качестве Г мы будем рассматривать только неограниченные подгруппы Я. Заметим также, что сопряженные типичному перемешивающему (/-действию любой дискретной группы плотны в поводок-топологии в пространствах Л4д и Л4дх- Однако, нам нужны конкретные, легко проверяемые условия, при которых класс сопряженности действия всюду плотен. В этой главе рассматриваются классы сопряженности декартовых произведений свободных ¿/-действий.

В § 2.1 определяется вспомогательное (5-действие У. Оно является частным случаем косого произведения (предложенного Аизаи64'), определяется некоторым набором параметров в том числе счетным или конечным набором элементов С Я■ Подбор этих параметров — основной инструмент в дальнейших аппроксимационных конструкциях.

64' Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J. 1951. Vol. 3, no. 1. Pp. 83-99 .

Конструкция действия У различается в абелевом (когда набор {д{\ лежит в центре 2 ((/) группы 0) и не абелевом случае (когда не лежит в центре 2 (0)).

В пункте 2.1.1 рассматривается абелев случай. Для (¿-действий Т и ІЇ, набора непересекающихся множеств Е = {Еі}, набора элементов {<?,•} С Я ((/) и числа А; Є N строится (/-действие У такое, что

а У9) ^ ^ а Тд'~д'+9) ц (Т»Я< П £,),

і,І

для любого 0-действия Б.

В пункте 2.1.2 рассматривается неабелев случай.

Для (/-действий Т и Я, набора непересекающихся множеств Е = {Еі}і€і, индексированного множеством I С ¿7, конечных множеств Е, {д¿}, {сг-} С О таких, что \JiFci = I, строится (/-действие У, для любого (/-действия Р удовлетворяющее неравенству

\ц{РяАПВ) -ц{УяАГ\В)\ <

< £

ц (Р°А П В)-II пв) д (ТаЕНс1 П Е1С]) .

Меед

В параграфе 2.2 эти конструкции применяются для решения задачи 3. При этом, окончательной формулировкой можно считать следующую:

Теорема 2.5. Пусть 0 — АМ-группа, Г ее неограниченная подгруппа иТ,Я — свободные, перемешивающие на Г, действия группы (/. Тогда множество [и~1 (Т х Я) Ь}и А всюду плотно в Мд,г-

В параграфе 2.3 доказывается, что если 0 — дискретная АМ-группа, а Г — ее неограниченная подгруппа, то пара (Ад,т,Мдх) обладает свойством В. Это позволяет применять теорему 1.4 для изучения типичных свойств в Мд, г-

Результаты параграфов 2.2 и 2.3 получены диссертантом65'.

Глава 3.

В этой главе продолжается аппроксимационное исследование поводок-метрики. В отличии от второй главы, осуществляется аппроксимация перемешивающих действий неперемешивающими. Как следствие, получен ответ на проблему 4 о типичности перемешивающих преобразований, обладающих кратным перемешиванием.

С каждым обратимым, сохраняющим меру преобразованием Т связан (купмановский) унитарный оператор II, действующий по формуле / н> /оГ.

Тихонов С. В. Вложение действий евклидовой решетки в потоки с многомерным временем // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 1. С. 97—132 ; Тихонов С. В. Однородный спектр и перемешивающие преобразования // ДАН. 2011. Т. 436, № 4. С. 448—451 ; Тихонов С. В. Перемешиващие преобразования с однородным спектром.

Мы будем обозначать его той же буквой. Через 0 обозначим ортопроектор на подпространство констант в L2 Р0-

Оператор Р = Р (Т) назовем я-полиномом, если

Р = q9 + а_кТ~к + ... + a_i Т"1 + а01 + а1Т + ... + акТк,

причем коэффициенты {a¿} неотрицательны и a¿ = 1 — а ^ х.

Пусть Р = {Pi}i<t — конечный упорядоченный набор ^-полиномов. Будем говорить, что преобразование Т обладает Р-пределом (по неограниченной подпоследовательности {g¿}), если при i —> 00 имеют место сходимости в слабой операторной топологии:

Тэ' Pi (Т), Т2з> ->• Р2 (Т),..., Ttgi Pt (Т).

Понятие Р-предела (без использования этого названия) использовалось, например, в работах66' для установления различных свойств преобразований.

В § 3.2 доказывается следующий результат:

Теорема 3.3. Пусть S — перемешивающее преобразование и {.Ki}jgN

— бесконечные наборы натуральных чисел. Зафиксируем положительные числа А и к удовлетворяющие условию А > х и множество наборов te-полиномов {Р5 | #PS < ¿}seN- Тогда в (т, Д)-окрестности S найдется преобразование Y, для каждого s обладающее Р3-пределом по некоторой подпоследовательности набора Ks.

Опираясь на полученный результат, в § 3.3 доказывается обобщение этой теоремы на случай 2п-действий.

Теорема 3.4. Пусть S — перемешивающее Zn-deucmeue и {.fQ}i6N

— бесконечные наборы векторов. Зафиксируем положительные числа А и х, удовлетворяющие условию А > >е, и множество наборов te-полиномов {Ps I #PS ^ ¿}seN- Тогда в (ш, А}-окрестности S найдется действие Y, для каждого s обладающее Р3-пределом по некоторой подпоследовательности набора Ks.

В § 3.4 эти результаты применяются для установления типичных свойств перемешивающих преобразований и 2™-действий. Основным результатом здесь является ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в кате-гориой формулировке (вопрос III, проблема 4):

Теорема 3.7. Типичные перемешивающие преобразования кратно перемешивают.

66! Степпн А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, .V 4. С. 801—834 ; Katok А. В. Combinatorial constructions in ergodic theory and dynamics, Lemanczyk M., Junco A. D. Generic spectral properties o£ measure-preserving maps, and applications // Proc. of AMS. 1992. Vol. 115, no. 3. Pp. 725-736 ; Рыжиков В. В. Простой спектр тензорного произведения степеней перемешивающего автоморфизма // Тр. MMO. 2012. Т. 73, .V 2. С. 229—239.

Результаты главы 3 получены автором67'. Заметим, что многие категор-ные результаты §3.4 можно получить из наличия метрики m, теоремы 2.5 и существования перемешивающего преобразования с нужным свойством. В случае преобразований, преимущество теоремы 3.4 перед теоремой 2.5 состоит, в первую очередь, в том, что она позволяет вместо перемешивающих преобразований с нужным свойством использовать неперемешивающие.

Глава 4.

Эта глава посвящена спектральным приложениям построенной выше теории.

Спектральными кратностями Т называются существенные (то есть, принимаемые на множестве положительной спектральной меры) значения функции кратности максимального спектрального типа купмановского оператора, построенного по Т. Если функция кратности принимает только одно значение, спектр называется однородным.

§4.1 изучается вопрос IV о возможных спектральных кратностях перемешивающего преобразования. На этом пути решена проблема 5:

Теорема 4.1. Для любого п € N существуют перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности п.

Доказательство базируется на теории ■Мдд—пространств для некоммутативных групп Ç, в частности на наличие в таких пространствах метрики т. Идея и реализация (в неперемешивающем случае) однородного спектра с помощью групп преобразований принадлежит О.Н.Агееву68'. Мы рассматриваем некоторую модификацию использованной им группы, примененную В. В. Рыжиковым69'. Также, теорема 4.1 существенно опирается на результаты §3.1 о приближении действия семействами близких (в слабой топологии) прямых произведений.

В §4.2 продолжается изучение вопроса IV.

В последнее время в изучении возможных спектральных кратностей достигнут заметный прогресс, в первую очередь для эргодических преобразований. Множество Е С N U {оо} называется реализуемым, если существует эргодическое преобразование, набор спектральных кратностей которого совпадает с Е. В. В. Рыжиков и А. И. Даниленко показали, что для преобразований пространства с бесконечной мерой любой набор Е реали-

67' Тихонов С. В. Полная метрика на множестве перемешивающих преобразований // УМН. 2007. Т. 62, № 1. С. 209—210 ; Тихонов С. В. Аппроксимация перемешивающих преобразований // Матем. заметки. 2013. № 6 ; Тихонов С. В. Проблемы Рохлина и перемешивающие групповые действия // Международная конференция, посвященная 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского. Тезисы докладов. Новые печатные технологии., 2011. С. 363—364 ; Тихонов С. В. Полная метрика во множестве перемешивающих преобразований // Матем. сб. 2007. Т. 198, ,\s 4. С. 135—158.

68' Ageev О. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory .

Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой.

зуем эргодическими70', и более того, перемешивающими71' преобразованиями. Уже упомянутым результатам О.И.Агеева, В.В.Рыжикова и автора об однородном спектре, предшествовали работы, дающие оценку на наборы спектральных кратиостей некоторых преобразований. Первый пример эргодических преобразований с непростым спектром конечной кратности был построен В. И. Оселедцем72'. В дальнейшем его методы активно развивал Е. А. Робинсон, который построил примеры эргодических73' и перемешивающих74' преобразований с конечным набором спектральных кратиостей, ограниченных снизу любым заранее фиксированным натуральным числом. О. Н. Агеев, отвечая на вопрос Робинсона, построил для каждого п € N перемешивающие преобразования с максимальным значением функции кратности п. А. М. Степин75' получил некоторые общие аппроксимационные оценки на кратность спектра. Я.Квятковски и М. Леманчик76' доказали реализуемость любого множества Е, содержащего 1. А. И. Даниленко77' построил слабо перемешивающие преобразования, имеющие набор спектральных кратиостей пЕ для любого множества Е, содержащего 1. А. Б. Каток и М. Лемаичик78' показали, что реализуется любое конечное множество Е, содержащее 2. Ограничение на конечность множества снял А. И. Даниленко79'. Он же80' показал реализуемость множеств Е, содержащих 1 или 2 для перемешивающих преобразований. Соответствующий результат для потоков получен А. И. Даниленко в соавторстве с М. Леманчиком81'.

Кроме этих случаев (которые связаны с наличием удобной реализации преобразований с однородным спектром кратности п = 1,2), известны, в основном, отдельные серии реализуемых множеств. В частности,

70) Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. Spectral multiplicities for infinite measure preserving transformations // Funct. Anal. Appl. 2010. Vol. 44. Pp. 161-170 .

711 Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. Mixing constructions with infinite invariant measure and spectral multiplicities // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 2011. Vol. 31. Pp. 853-873 .

72) Оселедец В. И. О спектре эргодических автоморфизмов.

731 Robinson Е. A. Ergodic measure-preserving transformations with arbitrary finite spectral multiplicities // Invent. Math. 1983. Vol. 72. Pp. 299-314 .

741 Robinson E. A. Mixing and spectral multiplicities // Ergod. Th. & Dynam. Sys. 1985. Vol. 5. Pp. 617-624 .

7r,i Степин A. M. Применение метода периодических аппроксимаций в спектральной теории динамических систем.

76) Kwiatkowski(jr) J., Lemanczyk М. On the multiplicity function of ergodic group extensions. II // Studia Math. 1995. Vol. 116. Pp. 207-215 .

771 Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications .

78> Katok A., Lemanczyk M. Some new cases of realization of spectral multiplicity function for ergodic transformations // Fund. Math. 2009. Vol. 206. Pp. 185-215 .

79) Danilenko A. I. On new spectral multiplicities for ergodic maps // Studia. Math. 2010. Vol. 197. Pp. 57-68 .

s0> Danilenko A. I. New spectral multiplicities for mixing transformations // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2012. Vol. 32, no. 02. Pp. 517-534 .

81) Danilenko A. I., Lemanczyk M. Spectral multiplicities for ergodic flows // arXiv preprint arXiv:1008.4845. 2010 .

B. В. Рыжиков82' доказал, что для произвольного набора натуральных чисел реализуется множество Е, состоящее из всевозможных произведений элементов этого набора. Мы получиаем аналогичный результат в случае перемешивающих преобразований и конечного набора чисел Е.

Теорема 4.2. Для любого конечного набора натуральных чисел {¿¿} существуют перемешивающие преобразования с неоднородным спектром и набором кратностей, состоящим из всевозможных непустых произведений чисел набора {в;}.

Доказательство использует теорию .Мд.г-пространств для некоммутативной группы 0 и ее собственной подгруппы Г. Важными для доказательства оказываются теорема 4.1, теория аппроксимации перемешивающих 2*п-действий неперемешивающими, полученная в параграфе § 3.4, а также теорема 1.4 о пространствах действий со свойством В.

Результаты главы 4 получены автором83'.

В Заключении излагаются итоги исследования, перспективы и направления дальнейшей разработки темы.

Заключение

Результаты выполненого исследования позволяют утверждать, что ап-проксимационная теория перемешивающих действий и преобразований является эффективным способом их исследования.

В то же время, представляется необходимым получить точный аналог леммы Халмоша о сопряжении для пространств перемешивающих действий. Для перемешивающих преобразований, опираясь на результаты о попарной є-пезависимости, полученные В. В. Рыжиковым84' и А. И. Баштаиовым85', а также результат автора о плотности в Л4 орбиты прямого произведения перемешивающих преобразований, такой аналог получил А. И. Баштанов86'. Следствием являются несколько интересных фактов, например, типичность перемешиваний ранга 1 и не типичность наличия корней. Аналог этого результата был бы полезен для исследования перемешивающих Z"-дeftcтвий и особенно действий некоммутативных групп.

82' Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой.

Тихонов С. В. Перемешиващне преобразования с однородным спектром ; Тихонов С. В. Однородный спектр н перемешивающие преобразования // ДА1І. 2011. Т. 436, Л'а 4. С. 448—451.

81' Рыжиков В. В. Попарная ^-независимость множеств Т1А для перемешивающего преобразования Т // Функц. анализ и его прал. 2009. Т. 43, .V 2. С. 88—91.

^ Баштанов А. И. Свойство почти независимости образов для эргодических преобразований без частичной жесткости // Дифференциальные уравнения н топология. II. Т. 271. МАИК, 2010. С. 29—39.

86' Баштанов А, И. Типичное перемешивание имеет ранг 1 // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 2.

C. 103-171.

Какими свойствами должна обладать группа, чтобы в пространстве ее перемешивающих действий сопряженные с любым свободным элементом были всюду плотны?

Результаты работы о сохраняющих типичность отображениях, в основном, находят приложения для отображений ограничения87'. В этом случае их можно интерпретировать как результаты о вложении типичного действия одной группы в свободное действие другой. Полный функционал сохраняющих типичность отображений этим, конечно, не исчерпывается и по-видимому еще ждет своего применения. В любом случае, полученные результаты позволяют считать, что установлено полное соответствие между типичными действиями Z" и преобразованиями. Результаты такого рода получены в последнее время Ж. Миллереем88' и О. Н. Агеевым89' для дискретных абелевых групп. Аналоги этих утверждений были бы полезны и при исследовании действий даже самых простых иеабелевых групп, но никакой общей теории на этот счет нет. В известных автору работах результаты такого рода получались без привлечения сохраняющих типичность отображений90'.

Как связаны между собой типичные преобразования и действия неабелевых групп?

Другое направление исследования типичных свойств касается сохраняющих меру гомеоморфизмов. А.М.Степин и А. Б. Каток91' показали, что результаты о типичности для этого случая почти автоматически следуют из соответствующих результатов для абстрактных сохраняющих меру преобразований. По-видимому, перенос этих результатов на перемешивающие преобразования потребует дополнительных усилий (в частности, введения соответствующей метрики).

Какие перемешивающие гомеоморфизмы типичны?

В работе доказано, что однородный спектр кратности п € N может быть у перемешивающего преобразования. Представляется интересным следующий вопрос:

Существуют ли наборы спектральных кратностей, реализуемые слабо перемешивающими, но нереализуемые перемешивающими преобразованиями?

Что касается аппроксимации перемешивающих действий, то было бы псь

87) Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. On self-similarities of ergodic flows // Proc. of the London Math. Society. 2012. Vol. 104, no. 3. Pp. 431-454 ; Konev R., Ryzhikov V. On spectral multiplicities {2,4,..., 2"} for totally ergodic Z2-actions // arXiv preprint arXiv:1212.5135. 2012. example 1.2 .

88) Melleray J. Extensions of generic measure-preserving actions.

8'r> Ageev O. N. On extensions of typical group actions .

90) Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory ; Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications ; Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой.

Каток А. В., Степии А. М. Метрические свойства гомеоморфизмов, сохраняющих меру // "УМН. 1970. Т. 25, 2(152). С. 193—220.

лезно, по аналогии с аппроксимациопной теорией преобразований, рассмотреть зависимость свойств перемешиваний от скорости, с которой их можно аппроксимировать. Результаты А. Г. Качуровского92' и его учеников показывают, что скорость сходимости (вычисленная по оценке спектральной меры в окрестности пуля) может быть разная, но связь такого варианта сходимости со свойствами перемешивающих преобразований и метрикой т еще не рассматривалась.

В целом можно говорить о том, что в теории аппроксимации перемешивающих преобразований пока больше вопросов, чем ответов, однако и в своем нынешнем виде она является эффективным средством для исследования перемешивающих преобразований.

Автор выражает благодарность всем участникам семинаров по динамическим системам в МГУ им. М. В. Ломоносова за полезные обсуждения работы.

92' Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, X» 4. С. 73-124.

Работы автора по теме диссертации

Работы в журналах, входящих в официальный список ВАК

1. Тихонов С. В. Типичное действие группы Zrf вкладывается в действие группы // ДАН. - 2003. - Т. 391, X« 1. - С. 26-28.

2. Тихонов С. В. Вложение действий евклидовой решетки в потоки с многомерным временем // Матем. сб. - 2006. - Т. 197, № 1. - С. 97-132.

3. Степин А. М., Тихонов С. В. Замечания об изожесткости, централизаторах и спектральной эквивалентности в эргодической теории // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81, № 2. — С. 314—316. — Утверждение заметки получены авторами совместно.

4. Тихонов С. В. Полная метрика во множестве перемешивающих преобразований // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, № 4. - С. 135-158.

5. Тихонов С. В. Полная метрика па множестве перемешивающих преобразований // УМН. - 2007. - Т. 62, № 1. - С. 209-210.

6. Тихонов С. В. Замечание о свойстве Рохлина для пространства перемешиваний // Матем. заметки. - 2011. - Т. 90, № 6. - С. 953-954.

7. Тихонов С. В. Однородный спектр и перемешивающие преобразования // ДАН. - 2011. - Т. 436, Л"« 4. - С. 448-451.

8. Тихонов С. В. Перемешиващие преобразования с однородным спектром // Матем. сб. - 2011. - Т. 202, № 8. - С. 139-160.

9. Тихонов С. В. Бернуллиевские сдвиги и свойство локальной плотности // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 2012. — № 1. - С. 31-37.

10. Тихонов С. В. Типичность кратного перемешивания // УМН. — 2012. — Т. 67, № 4. - С. 187-188.

11. Tikhonov S. Complete metric on actions of general groups // JDCS. — 2013. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 17-31.

Прочие работы

1. Tikhonov S. V. Measure preserving inactions are not embedded into flows generically // Lyapunov Exponents and Related Topics in Dynamics and Geometry. — MCCME, 2005. — P. 8.

2. Тихонов С. В. Проблемы Рохлина и перемешивающие групповые действия // Международная конференция, посвященная 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского. Тезисы докладов. — Новые печатные технологии., 2011. — С. 363—364.

3. Тихонов С. В. Типичные и индивидуальные свойства перемешивающих групп преобразований // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. — МИАН, 2011. — С. 201.

4. Тихонов С. В. Методы построения перемешивающих действий и преобразований // Международная конференция "Анализ и особенности посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Арнольда. Тезисы докладов. — МИАН, 2012. - С. 108-109.

Подписано в печать: 25.12.2013 Объем: 1.0 п.л. Тираж: 120 экз. Заказ № 495 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Тихонов, Сергей Викторович, Москва

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Российский государственный торгово-экономический университет"

(РГТЭУ)

На правах рукописи

05201450522 УДК 517.938.5

Тихонов Сергей Викторович

Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Некоторые соглашения по обозначениям...............28

Глава 1. Типичность...........................29

§1.1. Исследуемые объекты: преобразования и действия групп . ... 29 §1.2. Индивидуальные свойства, примеры преобразований и действий 32 §1.3. Разбиения пространства, связанные с действиями или преобразованиями: башни и раскрои....................36

§1.4. Топологии и метрики........................46

§1.5. Абстрактные теоремы о типичности, применение к пространствам со слабой топологией.....................69

Глава 2. Аппроксимация перемешивающими действиями в поводок-метрике ..............................93

§2.1. Основная аппроксимационная конструкция ...........93

§2.2. Плотность орбит прямых произведений..............98

§2.3. Аппроксимация неперемешивающих действий перемешивающими .................................126

Глава 3. Типичность перемешивающих действий ........135

§3.1. Конструирование действия, близкого в поводок-метрике к пределу слабо сходящейся последовательности действий......135

§3.2. Аппроксимация перемешивающих преобразований непереме-

шивающими.............................138

§3.3. Аппроксимация перемешивающих Х^-действий неперемешива-

ющими................................154

§3.4. Типичные перемешивающие преобразования и действия .... 168

Глава 4. Кратность спектра......................177

§4.1. Перемешивающие преобразования с однородным спектром . . .177 §4.2. Машина спектральных кратностей ................186

Заключение..................................196

Предметный указатель..........................198

Список литературы ............................204

Введение

Актуальность темы исследования. Работа относится к эргодиче-ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих меру, к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодическая теория рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразований (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так называемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С.Улама [37] (для гомеоморфизмов), В.А.Рохлина [73] и П.Халмоша [20] (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопросах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффективны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразованиями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В. А. Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о существовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложении преобразования в поток потребовали дополнительных топологических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразований, то и в этом направлении аппроксимационный подход оказался достаточно эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина [94, 96] (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спектра) и А. М. Степина и А. Б. Катка [63, 64]: была показана, в частности, зависимость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппроксимировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому моменту вопросы. В дальнейшем аппроксимационный подход развивался в работах А. Б. Катка [24, 61], А. М. Степина[95, 44, 99, 100, 46, 103], Д.В.Аносова и А. Б. Катка[56], В. И. Ос,еледца[71, 72], С. А. Юзвинского[118], О.Н.Агеева

[50, 52, 51, 49] и многих других.

Какими свойствами может обладать перемешивающее преобразование?

Конечно, такая формулировка вопроса слишком общая; мы будем рассматривать более специальные вопросы, например, "перемешивающий" вариант вопроса Рохлина об однородном непрерывном спектре:

Существуют ли перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности пбМ?

Сам вопрос был поставлен Рохлиным устно для эргодических преобразований. В печатном виде он присутствует в обзоре А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степина [62, стр. 203]. "Перемешивающая" формулировка (при п > 2) имеется в работах А. И. Даниленко [6] и В. В. Рыжикова [87]. А. Б. Каток [25] показал, что в типичном случае спектральные кратности декартового квадрата преобразования содержатся во множестве {2,4} и высказал

гипотезу, что число 4 не реализуется, то есть такие квадраты имеют однородный спектр кратности 2. Эта гипотеза подтверждена (независимо) О.Н.Агеевым [1] и В. В. Рыжиковым [43]. Позднее, В. В. Рыжиков, отвечая на вопрос Ж. -П. Тувено, получил тот же результат для перемешивающих преобразований[42]. Для случая п > 2 в эргодической постановке вопроса положительный ответ получен О.Н.Агеевым [2]. Доказательство этого факта существенно отличается от случая п = 2 применением соображений типичности групп преобразований, а его адаптация на перемешивающий случай требует разработки соответствующего математического аппарата. Эта разработка проведена диссертантом [113] и будет изложена в настоящей работе. Следует упомянуть также результат А. И. Даниленко и А. В. Соломко [14] о существовании эргодических действий некоторых абелевых групп с однородным спектром любой кратности.

Важным применением аппроксимационных методов является спектральная теория эргодических (перемешивающих) преобразований. Мы остановимся на одном вопросе Колмогорова, сыгравшем существенную роль в возникновении и развитии теории аппроксимаций, — вопросе о групповом свойстве спектра сохраняющего меру преобразования. Он эквивалентен тому, что свертка максимального спектрального типа преобразования подчинена этому спектральному типу. А. Н. Колмогоров (по аналогии с дискретным случаем) полагал, что это так, см. работу Я. Г. Синая [91]. В. А. Рохлин и С. В. Фомин [80] исследовали все известные на тот момент динамические системы и выяснили, что групповое свойство для них выполняется. Я. Г. Синай [92] получил условие, гарантирующее групповое свойство спектра, и доказал его выполнение для широких классов преобразований вероятностного происхождения. Напротив, развивая теорию аппроксимаций, А. М. Степин [44, 102] показал, что спектральный тип преобразования в типичном случае не подчиняет свой сверточный квадрат, более того, взаимно сингулярен с ним. Заметим также,

что вопрос Колмогорова имел и другую (несколько более слабую) трактовку; в этой трактовке контрпример получил В. И. Оселедец [70]. Он также построил первый пример преобразования без группового свойства с непрерывным спектром [71]. Для перемешивающих преобразований отсутствие группового свойства доказал В. В. Рыжиков [42].

Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

Одним из самых заметных результатов в этом направлении, получил Б. Ост [21], доказавший, что взаимная сингулярность максимального спектрального типа и его сверточного квадрата гарантирует перемешивание любой кратности.

Вопрос о кратном перемешивании и его различные вариации исследовались многими авторами. Этот инвариант ввел В. А. Рохлин, установив кратное перемешивание для эргодических эндоморфизмов компактных групп [76], С. А. Каликов [22] рассматривал преобразования ранга 1. Ф. Ледрапье [30] построил перемешивающее действие группы 1? не перемешивающее кратно. В. П. Леонов [68] показал, что перемешивающие гауссовские системы обладают перемешиванием всех кратностей, Б. Маркус [32] доказал, что свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. А. Н. Старков [93] установил аналогичный факт для однородных перемешивающих потоков, Ш. Мозес [35] для широкого класса групп Ли. В серии работ В. В. Рыжикова доказано кратное перемешивание для перемешивающих преобразований конечного ранга [83], Мп-действий положительного /3-ранга [85], ^-простых систем [84], перемешивающих Мп-действий все элементы которых сопряжены [81]. Р. А. Яссави [48] обобщала результаты Рыжикова для действий с поло-

жительным /3-рангом на коммутативные группы.

С некоторого момента в изучении динамических систем все заметнее становится роль групповых вопросов. Тому имеется несколько причин — в первую очередь, успешное применение групповых действий для решения классических задач теории сохраняющих меру преобразований[94, 98, 45]. Имеется много примеров такого рода — ответ на вопрос А. Н. Колмогорова о групповом свойстве спектра был вначале получен А. М. Степиным[94] для групп преобразований, О. Н. Агеев доказал типичность преобразований, являющихся Хг-расширениями [52], существование преобразований ранга 1, изоморфных своему квадрату [3] и преобразований, имеющих однородный спектр произвольной кратности [2], В. В. Рыжиков[89] и А. И. Даниленко[7] использовали групповые действия для получения эргодических преобразований с нетривиальными наборами спектральных кратностей.

Как связаны между собой типичные свойства элементов в различных метрических пространствах?

вопрос Халмоша о существовании квадратного корня [117];

вопрос Рохлина о вложении преобразования в поток и о количестве этих потоков [74, 104];

вопросы де ла Рю и де Сэм Лазаро [41] о вложении 2п-дейс.твия в инъ-ективное Мп-действие и о вложении 1?-действия в поток;

уже упомянутый вопрос Рохлина о существовании перемешивающих преобразований разной кратности [76].

Заметим также, что построенная диссертантом для ответа на рассматриваемый вопрос теория сохраняющих типичность отображений впоследствии развивалась в работах Ж. Миллерея и Т. Цанкова [34], Ж. Миллерея [33] и О. Н. Агеева [4].

Одно из главных направлений работы — исследование типичных групп перемешивающих преобразований.

Направление представляется важным в двух аспектах.

Во-первых, типичность является хорошим средством для доказательства теорем существования. Например, типичность любых двух свойств сохраняющих меру преобразований гарантирует существование слабо перемешивающего преобразования с обоими этими свойствами. Последние исследования[2, 7, 89] показывают, что преобразования с нетипичными свойствами можно получать, извлекая их из типичных групп преобразований. Общую теорию аппроксимаций групп преобразований развивал А. М. Степин [97]. В его работах также изучаются связи между аппроксимациями групп и их действий[100, 101].

с,я использование нетривиальных предельных операторов у степеней преобразования. Этот метод применяется во многих работах [102, 31, 87, 89, 90], но напрямую не применим к перемешивающим преобразованиям, у которых только один предельный оператор. В этой связи уместно заметить, что решение проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектра для эргодиче-ских преобразований опиралось на наличие у типичного преобразования предельного оператора особенного вида. Отсутствие такого предела у перемешивающих преобразований отодвинуло решение перемешивающего варианта вопроса Колмогорова на три десятка лет. Для того, чтобы обойти эту проблему, В. В. Рыжиков [42] рассматривал преобразования с более сильными, чем отсутствие группового свойства, ограничениями, причем это ограничения продолжали выполняться при подходящей аппроксимации перемешивающего преобразования слабо перемешивающими конструкциями ранга 1. Мы будем использовать несколько иной подход, связанный с типичностью и не ограниченный рамками ранговых конструкций.

Резюмируя выше сказанное, нас интересуют следующие вопросы:

Заметим, что для изучения типичности требуется, чтобы метрика была полной.

К целям работы также относятся:

• исследование типичных свойств И1-действий:

• исследование типичных свойств перемешивающих преобразований и пе-

ремешивающих Zn-действий;

• исследование спектральных свойств индивидуальных перемешивающих преобразований.

Рассматриваются следующие вопросы:

II. Как связаны типичные свойства в различных метрических пространствах?

III. Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

IV. Какие наборы спектральных кратностей могут быть у перемешивающего преобразования?

В рамках поставленных вопросов изучаются следующие проблемы и задачи:

1. Задача построения полной метрики на множестве перемешивающих преобразований. Желательным свойством этой метрики является сепара,-бельность получившегося пространства и связь с метрикой на пространстве всех преобразований.

2. Проблема Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2-действия в поток.

3. Задача о плотности классов сопряженности прямого произведения перемешивающих действий группы Q в пространстве перемешивающих Содействий.

4. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

• Введено понятие сохраняющих типичность отображений, получены достаточные условия сохранения типичности. Как следствие, получен ответ на вопрос Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2-действия в поток и доказано сохранение типичности для отображений ограничения Мп-действий на группу Zn.

• В классе перемешивающих преобразований получен положительный ответ на вопрос В. А. Рохлина о реализуемости однородного спектра кратности п Е N.