Свойства отслеживания для семейств динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТАРАКАНОВ Олег Александрович

СВОЙСТВА ОТСЛЕЖИВАНИЯ ДЛЯ СЕМЕЙСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 «Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук

Санкт- Петербург

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Петров Николай Николаевич; кандидат физико-математических наук, доцент Токарев Сергей Петрович.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ".

Защита состоится

2005 года в_

на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 195904, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет.

Ауд.4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49

А. А. Архипова

час.

мин.

Защита диссертации состоится по адресу: Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, ауд. 31.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) являются основными моделями динамических процессов в естествознании. Поэтому изучение поведения решений дифференциальных уравнений - это одна из фундаментальных задач современной математики.

Для многих приложений теории дифференциальных уравнений наиболее важным является исследование поведения решений на бесконечных промежутках. Основными примерами являются классическая теория устойчивости движения, а также интенсивно развивающаяся в последнее время теория систем со сложным (квазистохастическим) поведением решений и теория аттракторов.

Современные компьютеры, обладающие огромными памятью и быстродействием, позволяют строить приближенные решения дифференциальных уравнений с очень высокой точностью. Вопрос о том, когда приближенные и точные решения и траектории близки на неограниченных промежутках времени (в различных смыслах), изучается теорией отслеживания.

В диссертации изучаются различные свойства отслеживания для семейств динамических систем.

В стандартной постановке задачи об отслеживании приближенных решений и траекторий рассматриваются индивидуальные дифференциальное уравнение или динамическая система. Существуют важные классы задач, в которых необходимо изучать отслеживание не только для индивидуальных систем, но и для их семейств.

Отметим, например, следующие задачи:

- исследование близости между точными и приближенными решениями систем с управлением на неограниченных промежутках времени;

- изучение типичных свойств динамических систем;

- исследование вопросов об открытости и равномерности различных свойств отслеживания.

Данная диссертация является одной из первых работ, посвященных исследованию свойств отслеживания в семействах динамических систем.

Цель работы

Исследовать различные свойства отслеживания для семейств диффеоморфизмов и гомеоморфизмов; изучить связь между разными свойствами отслеживания; исследовать свойства отслеживания в структурно устойчивых и -устойчивых системах.

Методы исследования

В диссертации используются методы глобальной дифференциальной динамики, в частности, методы теории структурно устойчивых систем.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них.

1. Введено понятие обобщенного свойства отслеживания. Доказано, что ни один гомеоморфизм не обладает свойством обобщенного отслеживания, в то время как типичный гомеоморфизм обладает более слабым аналогом обобщенного свойства отслеживания. Отмечена связь обобщенного свойства отслеживания с множествами достижимости и цепной достижимости в теории управления.

2. Введено понятие свойства предельной нечувствительности и изучена его связь со свойством нечувствительности. Доказано, что для типичного гомеоморфизма на многообразии размерности большей или равной двум существует такое множество точек второй категории по Бэру, что гомеоморфизм нечувствителен, но не предельно нечувствителен в каждой из этих точек. Доказано также, что в одномерном случае для типичного гомеоморфизма существует такое множество точек второй категории по Бэру, чго гомеоморфизм нечувствителен и предельно нечувствителен в каждой из этих точек.

3. Получено достаточное условие наличия свойства слабого отслеживания у i2-yc-тойчивого диффеоморфизма в терминах максимальной длины пути в его фазовой диаграмме. С помощью этого условия изучена С'-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством слабого отслеживания, а также построены примеры диффеоморфизмов со свойством слабого отслеживания, обладающих различными типами нетрансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер и является одной из первых работ, изучающих свойства отслеживания для семейств динамических систем.

Введенные свойства отслеживания и полученные результаты позволяют подходить к изучению приближенных траекторий динамических систем с различных точек зрения.

Характер полученных результатов позволяет надеяться, что, помимо их теоретического значения, эти результаты могут быть применены для численного моделирования систем с управлением.

Апробация

Основные результаты были доложены на следующих международных конференциях: Tools for Mathematical Modelling, SPb, 2003; Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики", СПб, 2004; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004, а также на заседаниях городского семинара по дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. РАН В. А. Плисса (Санкт-Петербург, 2004).

Основные результаты опубликованы в статьях [ 1-3 ] и тезисах докладов [ 4-6 ] (список приведен в конце автореферата).

Структура и объем работы

Диссертация содержит 70 страниц машинописного текста, 2 рисунка, и состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 параграфов, и списка литературы из 29 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть М гладкое замкнутое многообразие с римановой метрикой р. Рассмотрим два основных метрических пространства динамических систем:

пространство гомеоморфизмов 2{М) с метрикой рц:

Ро{Ф,Ф) = тях(тЫр(ф{х),ф(х)),тах(р(ф-1(т),ф-1(х))))У,

ХЬМ Х€М

пространство диффеоморфизмов с метрикой р\\

МФ, Ф) = МФ. Ф) + тах(\Оф{х) - Оф{х)\)).

гс€М-

Фиксируем динамическую систему /. Фиксируем <5 > 0. Последовательность {хк} е М,к £ Ъ, называется ¿-псевдотраекторией, если р{}(хк),Хк+\) < 6.

Пусть {х*} - ¿-псевдотраектория. Говорят, что она «-отслеживается точкой х € М, если р(/к(х),х1с) < б для любого к £ X.

Говорят, что / обладает свойством отслеживания, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что любая ¿¡-псевдотраектория е-отслеживается некоторой точкой х 6 М.

В первой главе диссертации изучается обобщенное свойство отслеживания, определяемое следующим образом.

Определение 1.2.1. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности и выполняется обобщенное свойство отслеживания, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любых ж* £ М,фк € и, к € Ъ, удовлетворяющих неравенству р{Фк{хк)>хк-\.\) < 5 для любого к € Z , существует такое р 6 М, что

р(ФкФк-1--Фа(р),хк+1) <е,к> 0;

Р(Фк1Фк-1-Ф~\Ь>)'хк) <£,к<0\

р(р, х0) < е.

Будем также говорить, что система ф обладает обобщенным свойством отслеживания, если существует такая ее окрестность и, что для (ф, V) выполняется обобщенное свойство отслеживания.

Изучение этого свойства важно для теории управления. Пусть V - некоторое множество в ОШ1(М). Фиксируем точку х £ М. Рассмотрим два множества в М.

Определение 1.2.3. Множество достижимости Щх, {/) С М - множество, состоящее из всех таких точек у 6 М, что существуют такие К > 0,фк € 11,0 < к < К, что выполняется равенство

Фк-1-~Фо(х) = У-

Определение 1.2.4. Множество цепной достижимости Ис{х,11) С М - множество, состоящее из всех таких точек у е М, что для любого 6 > 0 существуют такие К > 0, хк е М,фк е 11,0 < к < К, что выполняются неравенства

хв = х; фк-\{хк-\) = У\ р(Фк(хк),Хк+1) < 6.

Определим множество Ис{х, II) как пролонгацию множества Ис{х, и) по начальному данному:

Кс(х,и)= Г)С1( II Кс(у,и)).

г>0 р(у,х)<г

Тогда верно следующее утверждение.

Утверждение 1.2.1. Пусть ф € БНТ^М). Пусть и С Уп{ф) при некотором е<> > О и для (ф,УС0(ф)) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Тогда для любой точки х 6 М верно равенство

Щх,и)=Пс(х, V).

Из результатов В.А. Плисса следует следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пусть диффеоморфизм ф структурно устойчив. Тогда Ф обладает обобщенным свойством отслеживания.

В параграфе 4 главы 1 показывается, что ни один гомеоморфизм не обладает обобщенным свойством отслеживания, но типичный гомеоморфизм обладает следующим более слабым свойством.

Свойство 1.4.1. Для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что если для хк € М, фк € У/(ф),к е 2, выполнены неравенства р(фк(Хк),хк+\) < 5, то для любых фк € У({ф), к 6 И, существует такое р € М, что

ра>кФк-1-Фа(р),Хк+1) < е для к > 0;

р{ФкФк+1-Ф-Лр),хк) < е для к < 0;

р(р,хо) < е.

Основное отличие свойства 1.4.1 от обобщенного свойства отслеживания состоит в том, что размер окрестности динамический системы зависит от е.

В главе 2 диссертации исследуются следующие свойства нечувствительности и предельной нечувствительности.

Определение 2.1.1. Пусть ф - гомеоморфизм. Определим множество №3(ф) С М как множества всех таких точек а € М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для любой последовательности точек {яа;}*>о из того, что

р(хо, а) < 3

и

рМхк),хк+1) <S при к > О,

следует, что

р(<^(а), ж») < е при к>0.

Если "а 6 NS(<j>), будем говорить, что гомеоморфизм ф нечувствителен в точке а. Определение 2.1.2. Определим множество LNS(tp) С М как множество всех таких точек а € М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого £ > 0 существует такое S > 0, что для любой последовательности точек {xjb}jfe>o из того, что

р(х0,а)<6, p(ip(xic),xk+l) <5 при к > О, рМхк), Xk+i) 0 при к -» оо,

следует, что

p(4^(a),Xh) < £ при к > О,

/?(<£>*(а),®*) 0 при к -¥ оо.

Если а € LNS((j>), будем говорить, что гомеоморфизм ф предельно нечувствителен в точке о.

Основными результатами главы 2 являются следующие теоремы. Теорема 2.1.1. Если dimM >2, то для типичного ф 6 Z(М) существует множество второй категории D(tp) С NS(ip)\LNS(ip).

Теорема 2.1.2. Если dimM = 1, то для типичного ¡р,€ 2(М) существует множество второй категории D(<p) С NS(<p) Л LNS(<p).

Будем говорить, что система / обладает слабым свойством отслеживания, если для любого с > 0 существует такое S > 0, что любая ¿-псевдотраектория лежит в «-окрестности точной траектории некоторой точки х € М.

В главе 3 дается достаточное условие, при котором fi-устойчивый диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания. Известно, что если диффеоморфизм / П— устойчив, то / удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. В этом случае неблуждающее множество f представляется в виде дизъюнктного конечного объединения гиперболических базисных множеств:

П(/) = Ol и... и iit.

Будем писать Г2( -> C2j для различных индексов inj, если

где Wu(f2j) и - соответственно, неустойчивое и устойчивое многообразия базис-

ных множеств fii и Slj.

ОШ-Р/.ОЗ

S.LU. Будем говорить, что фавоеая диаграмма диффеоморфизма / содержит путь длины п, если существует п различных баяисных множеств томих, что

П,, Пь,.

Основным результатом главы 3 является следующая порта.

Наоршв 3.1.4. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть в фазовой диаграмме / мет путей длины т > 3. То$да / обладает слабым свойством отслеживания.

Эта теорема используется дня изучения С'-внутренности множества диффеоморфизмов, обладающих свойством слабого отслеживания (IntlWSP). В статье Sakai, К. "A note on weak shadowing"(Ear East 3, Dynam. Syst. Vol3, 2001) было доказано, что если диффеоморфизм / € Jn^WSP удовлетворяет Ахают А и условию отсутствия циклов, и при этом его аягаракторы и репедяеры тривиальны (то есть являются пв-риодическями орбитами), то / удовлетворяет условию строгой трансверсальности. С

дд|рдд f|6 flquf ^ ffQ £ М4ЯКСТ ^^TOffljjffyf*- р^яуцуд^уу .ДОШ&1Я1 ИвЗрвДОЭбрСАЛЪВйСХЯ

уСТР0|1' иццдс Щ' ДвуйЕвЙЬВЩ^МВ^

СжвдиийвЩ. ¿^ссдоиДО яимие олмфытве множество W с /я^Н^ЯР, чем» ни один диффеоморфизм W т удовлетворяет условию С^-траисоерсальносЯт.

Сасмеяям 3.3*2. Существует диффешюфтм / £ In&WSP, имеющий ёепарл-триеу, ведущую из седла в седло. >

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тараканов О. А. Обобщенное отслеживание в гладких и непрерывных давамиче-сиос системах // Недатйяые динамические системы. Вы&5. СЯЗ&, 2003. С.87-116.

2. ТЪратнов О. А. Свовства пщ$егтюзатеа я предельно* нечувствительности для динамических систем // Ввигашс С.-Петарб. уи-м. 2006 (январь). Вып.1. С.4&-

3. Tarakanov О. A. Weak shadowing in П-stabie diffeomorphisme // Electronic Journal DiSerential Equations and Control Processes. N.l. 2005 (february). P.8&-W.

4. Тараканов О. А. Свойства слабого отслеживания в Омега-устойчивых динамических системах // Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейное механики". Тезисы докладов- СПб., 3004. С.Ш-152.

& Ярпмм О. Л. Типичность свовств нечувствительности в щкдаамЖ нечувствительности // Международная конференция до даффереицимьяым уравнениям и динамическим системам. Игаиш докладов. Суздаль, 2004. С.Э0&-20&.

6. Tarakanov, О. ^ shadowing in dyimnical systems//Tb^

teal Modelling. Abstracts. SPb., 2003. P.138.

Отпечатано а "Копи-У C-nегврбург, yn. Пвсшля 11 Теь272-30-36 Подписано • печать 01Л4.2005г.

Т2АПР20Й

Введение

Глава 1. Обобщенное отслеживание.

1. Основные определения

2. Постановка задачи

3. Случай диффеоморфизма.

4. Случай Н{М) = Z(M)

Глава 2. Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности

1. Постановка задачи, основные определения и формулировки результатов

2. Доказательство теоремы 2.1.

3. Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. Слабое свойство отслеживания в £7-устойчивых динамических системах.

1. Основные определения и начальные сведения

2. Вспомогательные результаты

3. Доказательство теоремы 3.1.

Нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) являются основными моделями динамических процессов в естествознании. Поэтому изучение поведения решений дифференциальных уравнений - это одна из фундаментальных задач современной математики.

Для многих приложений теории дифференциальных уравнений наиболее важным является исследование поведения решений на бесконечных промежутках. Основными примерами являются классическая теория устойчивости движения, а также интенсивно развивающаяся в последнее время теория систем со сложным (квазистохастическим) поведением решений и теория аттракторов.

Хорошо известно, что построение решений нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде возможно лишь в исключительных случаях. Кроме того, даже наличие явных представлений решений совсем не всегда позволяет эффективно описать их предельное поведение при стремлении времени к бесконечности.

Поэтому современные методы исследования динамики, порождаемой нелинейными дифференциальными уравнениями, основаны на взаимодействии двух подходов. Первый из них использует результаты качественной теории дифференциальных уравнений, базирующиеся на аналитических и топологических методах.

Второй подход использует результаты численного интегрирования исследуемых уравнений. Значение этого подхода неизмеримо возросло с появлением современных компьютеров, обладающих огромными памятью и быстродействием.

Следует отметить, что при отсутствии надежного контроля использование результатов компьютерного моделирования может привести исследователя к ошибочным выводам. По многим причинам (основными из которых являются неустранимые погрешности численных методов и ошибки округления) результат компьютерного моделирования дифференциального уравнения всегда является приближенным. Конечно, точность вычислений можно повышать, но при этом принципиально невозможно получать достоверную информацию о поведении решений на бесконечных промежутках времени, не прибегая к помощи качественной теории дифференциальных уравнений.

Вопрос о том, при каких условиях приближенные и точные решения могут быть равномерно близки на неограниченных временных промежутках, изучается теорией отслеживания (основным методам и результатам этой теории посвящены монографии [19] и [20]).

Удобнее всего формулировать основные определения и результаты этой теории в терминах динамических систем.

Пусть М - гладкое замкнутое многообразие с римановой метрикой р. Мы будем рассматривать два основных метрических пространства динамических систем: пространство гомеоморфизмов Z(М) с метрикой ро:

Ро(Ф,Ф) = тзх(т^(р(ф(х),ф(х)),тах(р(ф~1(х),ф'1(х)))))-, хем хем пространство диффеоморфизмов Diffx(M) с метрикой р\\ Рх{ф,ф) = ро(ф,ф) + тЫ\Пф{х) - Dil>(x)\)). х€.М

Фиксируем динамическую систему /. Фиксируем 6 > 0. Последовательность {#*;} G М, fc Е Z, называется <5-псевдотраекторией, если р(/(ж*), хь+\) <

Пусть {а^} - (5-псевдотраектория. Говорят, что она б-отслеживается точкой х 6 М, если p(fk(x), Xk) < е для любого k Е Z.

Говорят, что / обладает свойством отслеживания, если для любого е > О существует такое 5 > 0, что любая <5-псевдотраектория е-отслеживается некоторой точкой х б М.

Свойство отслеживания играет большую роль в численном моделировании, так как ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то приближенные траектории /, полученные численным путем (и, значит, являющиеся псевдотраекториями), отражают поведение точных траекторий системы на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания играет также важную роль в теории динамических систем: ясно, что если две системы / и д близки в метрике ро, то точные траектории системы д будут приближенными траекториями системы /, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом структурной устойчивости [20]. Также ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек f1(f) и множество цепно-рекуррентных точек CR(f) [21] совпадают.

Д.В. Аносов показал [7], что в окрестности гиперболического множества диффеоморфизма выполняется свойство отслеживания. Одним из важнейших результатов в теории отслеживания, следующим из работ В.А. Плисса [5] и [6] является следующая теорема (формулировку для диффеоморфизмов см. в [20, теорема 2.2.6]): если диффеоморфизм / структурно устойчив, то / обладает свойством отслеживания.

В первой главе диссертации изучается обобщенное свойство отслеживания, определяемое следующим образом.

Определение 1.2.1. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности U выполняется обобщенное свойство отслеживания, если для любого б > 0 существует такое 5 > 0, что для любых х^ € М, ф^ Е [/, k Е Z, удовлетворяющих неравенству pi^kixk), #fc+i) < S для любого к Е Z , существует такое р Е М, что р(фкфк-1.фо(р),хк+1) <е,к>0р{Фк1Фк-1-Ф-\(р)^к) <е,к< 0; р(р, хо) < е.

Будем также говорить, что система ф обладает обобщенным свойством отслеживания, если существует такая ее окрестность С/, что для (ф, U) выполняется обобщенное свойство отслеживания.

Изучение этого свойства важно для теории управления. Пусть U - некоторое множество в Diff1(M). Фиксируем точку х £ М. Рассмотрим два множества в М ([12], [15]).

Определение 1.2.3. Множество достижимости 1Z(x, U) С М - множество, состоящее из всех таких точек у Е М, что существуют такие К > 0, фк Е U, 0 < к < К, что выполняется равенство

Фк-1—Фо(х) = У

Определение 1.2.4. Множество цепной достижимости U) С

М - множество, состоящее из всех точек у Е М, таких, что для любого 5 > 0 существуют такие К > 0,xk Е Е U,0 < к < К, что выполняются неравенства х0 = х\ фк-\(хк-\) = У, р{Фк(хк),хк+1) < 6.

Определим множество Tt(x, U) как пролонгацию множества 7l(x, U) по начальному данному (по аналогии с [21], стр.32):

6(3, СО = р| С1 ( и К(У>Ю)' г> 0 р(у,х)<г

Легко показать, что верно следующее утверждение.

Утверждение 1.2.1. Пусть ф 6 Diff1(M). Пусть U С Уео(ф) при некотором 6q > Q и для (ф,У€о(ф)) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Тогда для любой точки х € М верно равенство

K(x,U) = Kc(x,U).

Из результатов В.А. Плисса [5] и [6] следует следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пусть диффеоморфизм ф структурно устойчив. Тогда ф обладает обобщенным свойством отслеживания.

В [22] было доказано, что типичный гомеоморфизм обладает свойством отслеживания. В главе 1 также изучается обобщенное свойство отслеживания для гомеоморфизмов. Показано, что, в отличие от диффеоморфизмов, ни один гомеоморфизм не обладает обобщенным свойством отслеживания, но типичный гомеоморфизм обладает некоторым более слабым аналогом обобщенного свойства отслеживания (теорема 1.4.1). Результаты первой главы опубликованы в работе автора [1].

Хотя свойство отслеживания гарантирует, что в окрестности приближенной траектории существует точная траектория системы, но начальные данные этой траектории, вообще говоря, неизвестны. В некоторых случаях требуется гарантировать, что приближенная траектория с некоторыми начальными данными будет равномерно близка к точной траектории с теми же начальными данными. Поэтому в [8] определяется следующее свойство нечувствительности.

Определение 2.1.1. Пусть ф - гомеоморфизм. Определим множество Мв(ф) С М как множество всех таких точек a Е М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого е > 0 существует такое 6 > О, что для любой последовательности точек {xk}k>о из того, что р(х0,а) < 5 и p(ip(xk),xk+1) < s при k>0, следует, что р(срк(а), Xk) < s при к > 0.

Если точка а 6 NS(4>), то говорится, что гомеоморфизм ф нечувствителен в точке а. В [8] было доказано, что для типичного гомеоморфизма ф существует множество второй категории 0{ф) С NS(ip).

В теории численных методов в последнее время изучаются методы, которые "подстраивают" себя на каждом шаге итераций, уменьшая погрешность приближенной траектории. В связи с этим, вводится предельное свойство отслеживания [20, определение 1.17].

Говорят, что система / обладает предельным свойством отслеживания, если для любой последовательности точек {xk}, к Е Z, удовлетворяющей условию p{f(xk),xk+1) 0 при \к\ оо, существует такая точка a G М, что p(fk(a),xk) ->• 0 при \к\ оо.

Предельное свойство отслеживания в настоящее время является одним из самых слабо изученных свойств отслеживания. Известно [20], что диффеоморфизм обладает предельным свойством отслеживания в достаточно малой окрестности его гиперболического множества ([20], теорема 1.4.1); известно также, что для многообразия размерности 1, это свойство является С°-типичным и эквивалентно свойству отслеживания (см. [20], гл. 3.1). Однако для многообразий большей размерности до сих пор неизвестна связь предельного и обычного свойств отслеживания; неизвестно даже, является ли предельное свойство отслеживания С°-типичным.

В главе 2 диссертации вводится и изучается предельный аналог свойства нечувствительности.

Определение 2.1.2. Определим множество LNS(ip) С М как множество всех таких точек а 6 М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого £ > 0 существует такое S > 0, что для любой последовательности точек {£fc}fc>o из того, что р(х0, а) < 5, p((p(xk), Xk+i) < S при к > О, p((p(xk),Xk+i) -> 0 при к-* оо, следует, что p((ph(a),Xk) < с при к > О, p(ipk(a), Xk) 0 при к —> оо.

Если точка а Е LNSty), то говорится, что гомеоморфизм ф предельно нечувствителен в точке а.

Основными результатами главы 2 являются следующие теоремы, опубликованные в работе автора [2].

Теорема 2.1.1. Если dimМ > 2, то для типичного ф е Z(М) существует множество второй категории D(ip) С NS(cp)\LNS(<p).

Теорема 2.1.2. Если dim М = 1, то для типичного <p Е Z(М) существует множество второй категории D(ip) С NS(tp) П LNS((p).

Известно [10], что свойство отслеживания не является С^-типичным свойством диффеоморфизмов. Поэтому возникает необходимость в определении более слабых свойств отслеживания.

Говорят, что система / обладает слабым свойством отслеживания [13], если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что любая 5-псевдотраекто-рия лежит в е-окрестности точной траектории некоторой точки х £ М.

Недавно было доказано, что С^типичный диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания [14]. Однако, как оказалось, для диффеоморфизмов слабое свойство отслеживания является более сложным для изучения, чем обычное. Так, для Г2-устойчивых систем на многообразии размерности 2 было получено необходимое и достаточное условие наличия свойства отслеживания, связанное с так называемым условием С°-трансверсальности [27].

На двумерном многообразии Q-устойчивый диффеоморфизм / обладает свойством отслеживания тогда и только тогда, когда для / выполняется условие С°-трансверсальности.

Однако для слабого свойства отслеживания такое условие до сих пор не найдено; более того, в [4] показано, что наличие или отсутствие слабого свойства отслеживания может быть связано с арифметическими свойствами собственных чисел гиперболических точек.

В главе 3 дается достаточное условие, при котором Q-устойчивый диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания. Известно, что если диффеоморфизм / Q-устойчив, то / удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. В этом случае неблуждающее множество / представляется в виде дизъюнктного конечного объединения гиперболических базисных множеств [2]:

Q(f) = U • • • U Qfc. Будем писать —у Qj для различных индексов г и j, если

Wu(Qi) П W8(Qj) ф 0, где и Ws(Qj) - соответственно, неустойчивое и устойчивое многообразия базисных множеств Q,{ и Qj.

Определение 3.1.12. Будем говорить, что фазовая диаграмма диффеоморфизма f содержит путь длины п, если существует п различных базисных множеств f^,., Qin, таких, что

----у Qin.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [3].

Теорема 3.1.4. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть в фазовой диаграмме f нет путей длины т > 3. Тогда f обладает слабым свойством отслеживания.

Эта теорема используется для изучения С1 -внутренности диффеоморфизмов, обладающих свойством слабого отслеживания {IntlWSP). В статье [25] было доказано, что если диффеоморфизм / £ IntlWSP удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов, и при этом его аттракторы и репеллеры тривиальны (то есть являются периодическими орбитами), то / удовлетворяет условию строгой трансверсальности. С помощью последней теоремы показывается, что если условие тривиальности аттракторов и репеллеров не выполняется, то / может обладать различными типами нетрансверсальности.

Следствие 3.3.1. Существует такое открытое множество

W С IntlWSP, что ни один диффеоморфизм f из W не удовлетворяет условию С0 -трансверсальности.

Следствие 3.3.2. Существует диффеоморфизм / 6 IntlWSP, имеющий сепаратрису, ведущую из седла в седло.

1.. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений // ГИТТЛ. M-J1. 1949. 550с.

2. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений // Изд. Ленинградского университета. 1988. 160с.

3. Пламеневская О. Б. Типичный гомеоморфизм не обладает свойством липшицева отслеживания // Мат. заметки. 1999. Т. 65. Вып.З. С.477-480.

4. Пламеневская О. Б. Слабое отслеживание для двумерных диффеоморфизмов // Вестник С.-Петерб. ун-та. Вып.1. 1999. С.49-56.

5. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Т.13. N.5. 1977. С.883-891.

6. Плисс В. А. Связь между различными условиями структурной устойчивости // Дифференциальные уравнения. Т.17. N.5. 1981. С.828-835.

7. Anosov, D. V. On a class of invariant sets of smooth dynamical systems // Proc. 5th Int. Conf. on Nonl. Oscill. Vol. 2. Kiev, 1970. P.39-45

8. Bernardes, M. C. On the Predictability of discrete dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 130. N 7. P.1983-1992.

9. Birkhoff, G.D. Dynamical systems // Colloquium Publications. Amer. Math. Soc., 1927. Vol. 9. 305p.

10. Bonatti, Ch, Diaz, L.J., Turcat, G. Pas de "shadowing lemma" pour des dynamiques partiellement hyperboliques. //C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. Vol.330. 2000. P.587-592.

11. Bowen, R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Dif-feomorphisms // Lect. Notes in Math. Vol. 470. Springer-Verlag, 1975. 108p.

12. Colonius, F., Weihua, Du. Hyperbolic control sets and chain control sets // J. Dynam. Control Systems. Vol. 7. 2001. N 1. P.49-59.

13. Corless, R., Pilyugin, S. Yu. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems //J. Math. Anal. Appl. Vol.189. 1995. P.409-423.

14. Crovisier, S. Periodic orbits and chain transitive sets of C^-diffeomor-phisms // Institute de Mathematiques de Bourgogne. Rapport de Recherche n.368. 2004. 36p.

15. Grtine, L. Asymptotic Behaviour of Dynamical and Control Systems under Perturbation abd Discretization //Led. Notes in Math. Vol.1783. Springer, 2002. 231p.

16. Hirsch, M. W., Palis, J., Pugh, C., Shub, M. Neighborhoods of hyperbolic sets //Invent. Math. 1970. Vol.9. N 2. P.212-234.

17. Malta, I.P. Hyperbolic Birkhoff centers //Trans. Amer. Math. Soc. Vol.262. 1980. P.181-193.

18. Palis, J. On the С1 Q-stability conjecture //Publ. Math. IHES. Vol.66. 1988. P.211-217.

19. Palmer, K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications // Kluver Academic Publishers. 2000. 299p.

20. Pilyugin, S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Springer, 1999. 271p.

21. Pilyugin, S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology // Lect. Notes in Math. Vol. 1571. Springer, 1994. 188p.

22. Pilyugin, S. Yu., Plamenevskaya, О. B. Shadowing is generic // Topology and its Applications. Vol. 97. 1999. P.253-266.

23. Pugh, C., Shub, M. The fi-stability theorem for flows //Invent, math. Vol.11. 1970. P. 150-158.

24. Robinson, C. Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics and Chaos //CRC Press, Boca Raton, FL., 1998. 465p.

25. Sakai, K. A note on weak shadowing //Far East J. Dynam. Syst. Vol.3. 2001. P.45-49.

26. Sakai, K. Pseudo-orbit tracing property and strong transversality ofdiffeomorphisms on closed manifolds //Osaka J. Math. Vol.31. 1994. P.373-386

27. Sakai, K. Shadowing property and transversality condition //Dynamical Systems and Chaos. Vol.1. World Scientific, 1995. P.233-238.

28. Smale, S. Differentiable dynamical systems //Bull. Amer. Math. Soc. Vol.73. 1967. P.747-817.

29. Williams, R. F. The 'DA' maps of Smale and structural stability //Global Analysis. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc. Vol.14. 1970. P.329-334.Публикации автора по теме диссертации.

30. Тараканов О. А. Обобщенное отслеживание в гладких и непрерывных динамических системах // Нелинейные динамические системы. Вып.5. СПб., 2003. С.87-116.

31. Тараканов О. А. Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности для динамических систем // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2005. Вып.1. С.40-47.

32. Tarakanov О. A. Weak shadowing in ^-stable diffeomorphisms // Electronic Journal Differential Equations and Control Processes. N.l. 2005. P.89-99.

33. Тараканов О. А. Свойства слабого отслеживания в Омега-устойчивых динамических системах // Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики". Тезисы докладов. СПб., 2004. С.151-152.

34. Тараканов О. А. Типичность свойств нечувствительности и предельной нечувствительности // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. С.205-206

35. Tarakanov, О. A. Generalized shadowing in dynamical systems // Tools for Mathematical Modelling. Abstracts. SPb., 2003. P.138.