Множества диффеоморфизмов гладких многообразий, обладающих свойствами отслеживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСИПОВ Алексей Валерианович

МНОЖЕСТВА ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ

01.01.04 Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Санкт-Петербург 2010

004612365

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии математико-механи-ческого факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Петров Николай Николаевич (Санкт-Петербургский государственный университет),

доктор физико-математических наук Малютин Андрей Валерьевич (Санкт-Петербургское отделение математического института имени В.А. Стеклова РАН).

Ведущая организация: Математический институт

имени В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится "£0 "201 () года в час. на заседании совета Д 212.232.29 но защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан " 0 ? " 0 ^2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор тл^/^ Нежинский В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации изучается структура множеств диффеоморфизмов гладких многообразий, обладающих так называемыми свойствами отслеживания. В настоящее время теория свойств отслеживания является достаточно хорошо разработанным разделом теории динамических систем. Первые результаты в этом направлении были получены Д.В. Аносовым [1] и Р. Боуэном [4]. Современное состояние этой теории достаточно полно отражено в монографиях [9, 7]. Грубо говоря, наличие некоторого свойства отслеживания означает, что вблизи любой достаточно точной приближенной траектории дискретной динамической системы, пороис-денной диффеоморфизмом, находится истинная траектория. В этом случае мы, для простоты, будем говорить, что диффеоморфизм обладает некоторым свойством отслеживания. Так как термины "вблизи" и "приближенная траектория" можно формализовывать по-разному, определяют различные свойства отслеживания. Таким образом, если диффеоморфизм обладает некоторым свойством отслеживания, то для изучения траекторий точек этого диффеоморфизма можно применять приближенные методы, так как приближенные траектории достаточно адекватно отражают поведение истинных траекторий. Одним из самых важных и самых первых результатов в теории отслеживания является так называемая shadowing lemma, утверждающая, что определенные свойства отслеживания выполняются в малой окрестности гиперболического множества диффеоморфизма.

Большой интерес представляет вопрос о характеризации множеств диффеоморфизмов, обладающих различными свойствами отслеживания, или внутренностей таких множеств, т.е. о получении необходимых и достаточных условий, при выполнении которых диффеоморфизм (или диффеоморфизм вместе со всеми достаточно близкими к нему диффеоморфизмами) обладает некоторым свойством отслеживания. Кроме того, представляет интерес вопрос о плотности (типичности) множеств диффеоморфизмов, обладающих различными свойствами отслеживания.

Цель работы. Целью данной работы является изучение множеств диффеоморфизмов, обладающих различными свойствами отслеживания, а именно, изучение вопросов о плотности (типичности) этих множеств и о характеризадии этих множеств и их внутренностей в терминах теории структурной устойчивости.

Методика исследования. Для получения результатов- используются методы топологии гладких многообразий, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и др.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них:

- доказано, что множество С1 -диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия, обладающих орбитальным свойством отслеживания, неплотно в пространстве ^-диффеоморфизмов с С'-топологией;

- доказано, что ^^внутренность множества диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия, обладающих периодическим свойством отслеживания, совпадает с множеством диффеоморфизмов, обладающих липшицевым периодическим свойством отслеживания, и с множеством Г2-устойчивых диффеоморфизмов;

- доказано, что для любого гомеоморфизма компактного метрического пространства выполняется второе слабое предельное свойство отслеживания и что множество гомеоморфизмов компактного метрического пространства, обладающих слабым предельным свойством отслеживания, обладает следующим свойством: для любого гомеоморфизма из этого множества неблуждающее множество совпадает' с объединением ^-предельных множеств всех траекторий;

- доказано, что если гладкое замкнутое многообразие является двумерным, то С1 -внутренность множества диффеоморфизмов этого многообразия, обладающих слабым предельным свойством отслеживания, совпадает с множеством П-устойчивых диффеоморфизмов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоре-. тический характер. Ее результаты важны для теории диффеоморфизмов гладких многообразий и теории динамических систем.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Международная конференция "Современные проблемы математики и механики", посвященная 70-летию В.А.Садовничего, мех-мат МГУ, март 2009, Москва, Россия;

- Topology, Geometry and Dynamics; Rokhlin Memorial, январь 2010, Санкт-Петербург, Россия;

- Семинар "Динамические системы" (руководители — академик Д.В. Аносов и профессор Ю.С. Ильяшенко), мех-мат МГУ, апрель 2010, Москва, Россия;

- Oberseminar Nonlinear Dynamics (руководитель — профессор В. Fiedler), Free University Berlin, май 2010, Берлин, Германия;

- Петербургский топологический семинар имени В.А. Рохлина (руководитель — профессор Н.Ю. Нецветаев), ПОМИ РАН, сентябрь 2010, Санкт-Петербург, Россия;

- Семинары по топологии динамических систем (руководитель — профессор С.Ю. Пилюгин), кафедра высшей геометрии мат-меха СПбГУ, 2006-2010, Санкт-Петербург, Россия.

Основное содержание диссертации изложено в работах автора [1]-[5J. В работе [2] автору диссертации принадлежит доказательство теоремы о совпадении С'-внутренности множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, и множества fl-устойчивых диффеоморфизмов, а также леммы о том, что если для диффеоморфизма выполняется липшицево периодическое свойство отслеживания, то любая пе-

риодичеекая точка гиперболична. Статьи [1, 2] опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК на момент публикации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 132 машинописных страницы состоит из введения (первой главы), трех глав основной части и списка литературы, содержащего 34 наименования. Вторая глава включает 7 параграфов, третья и четвертая главы —' по 3 параграфа. Седьмой параграф второй главы состоит из четырех пунктов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении (первой главе) даны определения исследуемых в диссертации свойств отслеживания, сформулированы основные результаты диссертации, и приведено сравнение этих результатов с соответствующими результатами других математиков.

Во второй главе изучается проблема плотности (типичности) свойств отслеживания.

Основным объектом данной работы являются диффеоморфизмы гладких замкнутых многообразий. Однако для определения свойств отслеживания гладкость не нужна, поэтому различные свойства отслеживания будут определяться для гомеоморфизмов метрических пространств.

В данной работе под типичным понимается свойство, выполняющееся для всех отображений из некоторого множества II категории по Бэру, а под плотным — выполняющееся для всех отображений из некоторого плотного множества. В работе рассматриваются пространство гомеоморфизмов Н(М) компактного метрического пространства М с С°-топологией и пространство Б'й^М) С1-диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М с С'-тоиологией.

Пусть / — гомеоморфизм метрического пространства (М, с№1;). Траекторией точки р гомеоморфизма / называется множество

0(р,/) = {/к(р)\ке%}.

Будем называть последовательность £ = {а;*} d-псевдотраекторией гомеоморфизма /, если

dist(zA;+i, f{xk)) < d при к £ Z.

Будем обозначать через iV(t, /1) е-окрестность множества А С М. В работе [11] вводится определение орбитального свойства отслеживания (OSP, orbital shadowing property), являющегося основным объектом исследования второй главы.

Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется орбитальное свойство отслеживания, если для любого положительного е существует такое положительное d, что для любой rf-пссвдотраектории £ найдется такая точка q € М, что

tCN(t,0{q,f)) и 0(q,f)cN(€,Q.

В диссертации перечисляются известные результаты о плотности и типичности различных свойств отслеживания. Не перечисляя их все, упомянем только, что из работы С.Ю. Пилюгина и О.Б. Пламеневской [10] следует типичность орбитального свойства отслеживания в пространстве Я(М). Основным результатом второй главы является следующая теорема:

Теорема 1. Существует такая область W С Diff1 (S2 х S1), что любой диффеоморфизм / не обладает свойством OSP.

В параграфе 2.1 описана схема доказательства теоремы 1. Для доказательства теоремы 1 используется идея, восходящая к A.C. Городецкому и Ю.С. Ильяшенко: строить пример в классе частично-гиперболических мягких косых произведений (см. [2]). В качестве искомой области W из теоремы 1 берется достаточно малая С'-окрестность некоторого ступенчат того косого произведения Go. Эта окрестность берется, в частности, настолько малой, что любому диффеоморфизму из области W соответствует некоторое мягкое косое произведение. Далее, доказывается, что теорема 1 сводится к теореме 1' о свойствах мягких косых произведений. Эта теорема

утверждает, что для гельдеровых мягких косых произведений, "достаточно близких" к косому произведению бо, не выполняется орбитальное свойство отслеживания.

Доказательство теоремы 1' разбивается на два случая: случай (А1) и случай (А2). Случай (А1) возникает, если существуют гиперболическая периодическая точка с одномерным неустойчивым многообразием и гиперболическая периодическая точка с одномерным устойчивым многообразием, у которых эти многообразия пересекаются. Далее, с помощью основной леммы строятся псевдотраектории, которые не могут отслеживаться никакой точной траекторией. Случай (А2) возникает при отсутствии таких пересечений. В этом случае строится такая псевдотраектория, что любая орбитально отслеживающая ее точная траектория должна оказаться ге-тероклинической, соединяющей две гиперболические периодические точки с соответственно одномерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями. Предположение о наличии орбитального свойства отслеживания противоречит условию случая (А2).

В параграфе 2.2 описываются основные свойства косых произведений и обсуждается сведение теоремы 1 к теореме 1'. В параграфе 2.3 формулируется лемма 1 (основная лемма), содержащая достаточное условие на псевдотраекторию, при котором любая орбитально отслеживающая ее траектория лежит на устойчивом (или неустойчивом) многообразии гиперболической периодической точки. В параграфе 2.4 показано, что доказательство теоремы сводится к двум случаям и разбирается случай (А1). В параграфе 2.5 доказаны вспомогательные леммы о свойствах сдвига Бернулли, которые утверждают, что если некоторая последовательность содержит не слишком мало нулей подряд, то ее траектория не попадает в определенные области. В параграфе 2.6 разбирается случай (А2) с точностью до леммы 6, которая позволяет построить псевдотраекторию с необходимыми свойствами. Доказательству леммы 6 посвящен параграф 2.7.

В третьей главе изучаются периодические свойства отслеживания и их связь со структурной устойчивостью.

Пусть f — гомеоморфизм метрического пространства (М, dist). В работе [6J дается определение периодического свойства отслеживания.

Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется периодическое свойство отслеживания PerSh (periodic shadowing property), если для любого положительного с существует такое положительное d, что для любой периодической d-псевдотраектории ( найдется такая периодическая точка д, что выполняется соотношение

dist(x*. fk{q)) < е при k ё Z.

Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется липшицево периодическое свойство отмеоюивания LipPerSh, если существуют такие положительные числа L и^,, что для любой периодической (¿-псевдотраектории с d < do найдется такая периодическая точка q, что выполняется соотношение

dist (я ь /*(<?)) < Ld при k € Z.

При изучении свойств отслеживания диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий одним из важных подходов является переход к С'-внутренностям. Будем обозначать через МХ(Р) внутренность некоторого подмножества Р множества диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М относительно С1-топологии. Как обычно, будем обозначать через fIS множество fi-устойчивых диффеоморфизмов. В диссертации перечисляются известные результаты о характеризации различных свойств отслеживания в терминах теории структурной устойчивости. В третьей главе доказывается, что С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, совпадает с множеством fi-устойчивых диффеоморфизмов. Отметим, что существуют не П-устойчиБые диффеоморфизмы, обладающие периодическим свойством отслеживания. В третьей главе также доказывается эквивалентность свойства ^-устойчивости и л апшицева периодического свойства отслеживания. Таким образом, основной результат третьей главы можно сформу-

лировать так:

Теорема 2. Если М — гладкое замкнутое многообразие, то Ы^РегБР) = ЫрРегБР = П5.

В параграфе 3.1 доказывается, что множество Г2-устойчивых диффеоморфизмов является подмножеством множества диффеоморфизмов, обладающих липшицевым периодическим свойством отслеживания. В параграфе 3.2 доказывается, что С'-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, содержится в множестве ^-устойчивых диффеоморфизмов. Наконец, в параграфе 3.3 доказывается, что множество диффеоморфизмов, обладающих липшицевым периодическим свойством отслеживания, является подмножеством множества П-устойчивых диффеоморфизмов. Для этого сначала доказывается гиперболичность всех периодических точек, потом их равномерная гиперболичность, потом плотность периодических точек в неблуждающем множестве и, наконец, выполнение условия отсутствия циклов.

В четвертой главе изучаются слабые прюдельные свойства отслеживания. В параграфе 4.1 даются определения предельных свойств отслеживания и рассматриваются их простейшие свойства.

Пусть / — гомеоморфизм метрического пространства (М, сНз<;). Определим следующее свойство последовательности £ =

¿Ы{хк+1, /(хк)) —► 0 при к -> +оо. (*)

В работе [8] вводится следующее свойство.

Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое пре-

I

дельное свойство отслеживания \¥Ьт8Р, если для любой последовательности для которой выполняется: свойство (*), найдется такая точка д € М, что

"(О С «;(«),

где через обозначено множество всех предельных точек последовательности

Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется второе слабое предельное свойство отслеживания 2WLmSP, если для любой последовательности С = {^i.-}, для которой выполняется свойство (*), найдется такая точка q € М, что

u{q) С

Можно ввести аналоги сформулированных предельных свойств отслеживания, в которых к —* +оо заменено на к — оо (в главе 4 приводятся эти определения).

В параграфе 4.1 доказывается, что любой гомеоморфизм / компактного метрического пространства М обладает свойством 2WLmSP.

При изучении динамических систем особый интерес вызывает структура неблуждающего множества. Как обычно, обозначим через ft(/) множество всех неблуждающих точек гомеоморфизма /. Хорошо известно, что для гомеоморфизма /

щл з и Ф)-

р€М

В параграфе 4.2 приводится пример гомеоморфизма / для которого множества ft(/) и (JР£Ми>(р) не совпадают. Кроме того, там доказывается, что если для гомеоморфизма / выполняется свойство WLmSP, то

ад = U

рем

В диссертации перечисляются известные результаты о характе-ризации С'-внутренностей множеств диффеоморфизмов, обладающих предельными свойствами отслеживания, в терминах теории структурной устойчивости. Основным результатом четвертой главы является следующая теорема, доказательство которой приведено в параграфе 4.3.

Теорема 3. Если М — гладкое замкнутое многообразие и dim М — 2, то

In;1 (WLmSP) = OS.

В четвертой главе приводится пример, показывающий, что теорема 3

не обобщается на случай многообразий более высохсой размерности. Для "отрицательных" предельных свойств отслеживания выполняются аналогичные утверждения. Идея доказательсва состоит в использовании леммы Хаяши и Аоки (см. [5, 3]), которая утверждает, что ^-внутренность множества диффеоморфизмов, все периодические точки которых гиперболичны, совпадает с множеством Q-устойчивых диффеоморфизмов.. Далее, мы показываем, что диффеоморфизм, имеющий; негиперболическую периодическую точку, можно так С-мало возмутить, чтобы не выполнялось слабое предельное свойство отслеживания.

Список цитируемой литературы

1. Аносов Д. В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Межд. конф. по нелин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39-45.

2. Городецкий А. С., Ильяшенко Ю. С. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом. // Труды мат. инст. им. В. А. Стеклова РАН. 2000. Т. 231. С. 96-118.

3. Aoki N., The set of Axiom A diffeomorphisms with no cycle, Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.), Vol. 23, 1992, P. 21-65.

4. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Lect. Notes. Math. Vol. 470. Springer-Verlag. Berlin. 1975. 108 p.

5. Hayashi S. Diffeomorphisms in Tl{M) satisfy Axiom A // Ergod. Theory Dyn. Syst., Vol. 12,1992, P. 233-253.

6. Ko'scielniak P., On genericity of shadowing and periodic shadowing property // J. Math. Anal. Appl., Vol. 310, 2005, P. 188-196.

7. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Methods and Applications. Dordrecht-Boston-London. 2000. 299 p.

8. Pilyugin S. Yu. Sets of diffeomorphisms with various limit shadowing properties // J. Dyn. Differ. Equat. 2007. Vol. 19. P. 747-775.

9. Pilyugin S. Yu. Shadowing; in Dynamical Systems, Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Springer-Verlag. Berlin. 1999. 283 p.

10. Pilyugin S. Yu., Plamenevskaya О. B. Shadowing is generic // Topol. and its Appl. 1999. Vol. 97. P. 253-266.

11. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties // Discr. Contin. Dyn. Systems. 2003. Vol. 9. P. 287-308.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Осипов А. В. Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно С^-топологии // Алгебра и анализ, 2010, Т. 22, N 2, С. 127-163.

2. Osipov А. V., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. В. Periodic shadowing and ft-stability // Reg. Chaotic Dynamics, 2010, Vol. 15, N 2-3, P.406-419.

Другие публикации:

3. Осипов А. В. Слабые предельные свойства отслеживания динамических систем на двумерных многообразиях // Электр, журн. Диф. ур-я и проц. упр-я., 2006. N 4, С. 1-16.

4. Осипов А. В. С^-неплотность орбитального свойства отслеживания // Зап. межд. конф. совр. пробл. матем. и прил., Москва, Унив. книга, 2009, С. 183-184.

5. Osipov А. V. Lipschitz Periodic Shadowing // Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial, St. Petersburg, 2010, P. 58-59.

1 Введение.

2 Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно С1-топологии.

2.1 Схема доказательства основного результата.1

2.2 Динамические свойства, косых произведений.

2.3 Основная лемма.

2.4 Сведение доказательства, теоремы 1' к двум случаям, разбор случая (А1).

2.5 Начало разбора случая (А2) вспомогательные леммьт

2.6 Сведение; случая (А2) к лемме б.

2.7 Доказательство леммы б.

2.7.1 Пункт (6.с) основные обозначения.

2.7.2 Пункт (6.с) основные леммы.

2.7.3 Пункт (6.с) завершение доказательства,

2.7.4 Доказательство остальных пунктов леммьт

3 Периодические свойства отслеживания и устойчивость.

3.1 О? с 1лрРег811.

3.2 Гиг^РогвЬ) С

3.3 ЫрРогЭЬ СП5.

4 Слабые предельные свойства отслеживания диффеоморфизмов двумерных многообразий

4.1 Некоторые свойства диффеоморфизмов, обладающих слабыми предельными свойствами отслеживания

4.2 Структура пеблуждатотцего множества в случае выполнения ^ЪтБР

4.3 Формулировка и доказательство теоремы 3.

Диссертация посвятцетта, изучению структуры некоторых множеств диффеоморфизмов гладких многообразий, связанных с так называемыми свойствами отслеживания псевдотраекторий. Наибольший интерес представляют вопросы о плотности (типичности) таких множеств и о характеризации этих множеств и их внутренностей в терминах теории структурной устойчивости.

В настоящее время теория свойств отслеживания является достаточно хорошо разработанным разделом теории динамических систем. Ее современное состояние достаточно полно отражено в монографиях |21, 181. Данная теория изучает условия, при которых вблизи любой приближенной траектории некоторой динамической системы находится некоторая истинная. Первые результаты в этом направлении были получены Д.В. Аттосовым |1| и Р. Боуэтюм |10|. В работе рассматриваются в основном дискретные динамические системы, т.е. каскады, порожденные диффеоморфизмами гладких замкнутых многообразий. Грубо говоря, наличие некоторого свойства отслеживания означает, что вблизи любой достаточно точной приближенной траектории находится некоторая истинная. Так как термины "вблизи" и "приближенная траектория" можно понимать по-разному, можно определить несколько свойств отслеживания. Целью данной работы является изучение множеств диффеоморфизмов, обладающих некоторыми свойствами отслеживания.

Основным объектом данной работы являются диффеоморфизмы гладких замкнутых многообразий. Однако для определения свойств отслеживания гладкость не нужна, поэтому различные; свойства отслеживания будут определяться для гомеоморфизмов метрических пространств.

Пусть / гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dist. Траекторией точки р гомеоморфизма / называется множество o(p,f) = {fk(p)\keZ}.

Аналогично вводятся понятия положительной и отрицательной полутраекторий гомеоморфизма /: o+(p,f) = {fk(p)\keZ,k>o},

O-(p,/) = {/Jfe(p)|fcGZ,A:<0}.

Далее; часто, не оговаривая этого дополнительно, будет использоваться обозначение;

Pk = fk(p) при А; 6 Z.

Как обычно, будем обозначать через id^f тождественное отображение пространства М. В некоторых случаях нижний индекс будет опускаться.

Определение 1. Будем называть последовательность £ = = {ж^} d -псевдотрае.кторивй гомеоморфизма /, если ciíst, f{xkj) < d при k £ Z.

Таким образом, d псевдотраектория является одной и:? возможных формализации** понятия приближенной -траектории.

Определение 2. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется свойство РОТР (свойство отсле/лсивания псевдо-травкторий, -pseudo orbit tracing property), если для любого положительного б существует такое положительное d. что для любой с£-песвдотраектории £ = {xk} найдется такая точка q 6 М, что dist.(xk, fk(q)) < е при k е Z. (1.1)

Иттыми словами, свойство РОТР состоит в том, что всякая "достаточно точная" псевдотраектория "поточечно близка" к некоторой истинной траектории. В работе мы будем обозначать одним и тем же символом как некоторое свойство динамических систем, так и множество всех систем, обладающих этим свойством. Мы будем говорить, что точка q е-отслеживает псевдотраекторию если выполняются неравенства (1.1).

Б уд ел г обозначать через N(e,A) б-окрееттюеть множества А С М. В работе |24| вводятся определения орбитального свойства отслеживания (OSP, orbital shadowing property) и слабого свойства отслеживания (WSP, weak shadowing property).

Определение 3. Будем говорить, что для гомеоморфизма/ выполняется орбитальное свойство отслеживания, если для любого положительного е существует такое положительное d, что для любой d пеевдотраектории £ найдется такая точка q £ М, тгто

С С N (б, 0(q, /)) и 0(q, f) С N(e, £). (1.2)

Определение 4. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое, свойство отслвот?/,вa.iш,я, если для любого положительного б существует такое положительное d. что для любой d-псевдотраектории £ найдется такая точка q G М. что

Се N(e,0(qj)).

Свойство OSP является ослабленным аналогом свойства РОТР вместо того чтобы требовать близость "в каждый момент времени" точки псевдотраектории Xk и точки истинной траектории fk(q), требуется, чтобы были близки множества точек псевдотраектории £ = {£/.} и траектории 0(q,f). Слабое свойство отслеживания WSP является ослабленным вариантом свойства OSP требуется литтть, чтобы множество точек "достаточно точной" пеевдотра-ектории £ содержалось в малой окрестности некоторой истинной траектории 0(q,f). Мы будем говорить, что траектория точки q орбиталыто б-отележивает пеевдотра.екторито если выполняются неравенства (1.2).

При изучении пространств отображений (пространства гомеоморфизмов компактного метрического пространства с топологией и пространства диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия с С1-топологией) одним из самых важных вопросов является вопрос типичности. В дайной работе под типичпым понимается свойство, выполняющееся для всех отображений из некоторого множества II категории по Бэру, а под плотным выполняющееся для всех отображений из некоторого плотного множества. В работе рассматривается пространство гомеоморфизмов Н(М) компактного метрического пространствам с С°-топологией, индуцируемой метрикой

Пусть М это гладкое замкнутое многообразие с риматтовой метрикой гИй^ Будем обозначать через Df(x) дифференциал диффеоморфизма. f многообразия М в точке х. Ка,к обычно, будем обозначать через ТХМ касательное пространство в точке х многообразия М. Будем обозначать через | • | норму в пространстве ТХМ, порожденную метрикой сНк(;. Для сокращения изложения. будем считать, что многообразие М вложено в евклидово пространство М^ достаточно большой размерности. В этом случае касательное пространство естественным образом отождествляется с: литтейпым подпространством пространства М*^. Будем обозначать через Б1АР1(М) пространство диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М с С1-топологией, индуцируемой метрикой шах ( ¡(/(р),5г(р)), тах - Вд(р)у \ ) . рем ^ ьетрм,\и\=1 )

Отметим, что пространства Н(М) и ОШ1(М) являются простап-ствами Бэра, поэтому если некоторое свойство отображений являстоя типичным относительно одной из этих топологий, то оно является и плотным относительно этой топологии.

С.Ю. Пилюгин и О.Б. Пламепевекая (см. [23]) доказали типичность свойства, отслеживания псевдотраекторий в пространстве Н(М). если пространство М является гладким замкнутым многообразием. Отметим что. из С°-типичтгоети свойства отслеживания псевдотраекторий следует С°-типичтюеть орбитального и слабого свойств отслеживания. Ч. Бопатти, Л.Дж. Диад и Дж. Турка,т |9| показали, что свойство отслеживания псевдотраекторий является неплотным относительно С(1-топологии в пространство Diif1(M), а, С. Кровизье |11| установил, что слабое свойство отслеживания С1-плоттто (см. также работу С.Ю. Пилюгина. К. Сакая и O.A. Тараканова |2-5|).

Во второй главе изучается орбитальное свойство отслеживания диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий и доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Существует такая область W С Diff1(<Sr2 х S1), что любой диффеоморфизм f Е W к,с. обладает свойством. OSP.

В доказательстве теоремы 1 используется техника косых произведений. разработанная Ю.С. Ильяшеико и A.C. Городецким, Подробнее идея доказательства поясняется в начале главы 2.

Пусть / произвольный гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dist. Можно рассмотреть аналог свойства отслеживания псевдотраекторий для периодических траекторий и периодических псевдотраекторий. В работе |16| дается определение периодического свойства отслеживания.

Определение 4. Будем говорить, что для гомеоморфизма. / выполняется периодическое свойство отслеживания PerSh (periodic shadowing property), если для любого положительного е существует такое положительное d, что для любой периодической ¿¿-псевдотраектории £ найдется тякая периодическая точка д, что выполняется соотношение (1.1).

В определении свойства РОТР можно накладывать условия на зависимость числа е от d. Это приводит к следующему определению.

Определение 5. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется свойство LipSP (Lipя chitz shadowing property, липши, up. в о свойство отслеживания), если существуют такие положительные числа L и do, что для любой d-п еевдотр аектории £ - {з^} с d < d0 найдется такая точка q Е М, что distfxft, fk(q)) < Ld при k <Е Z. (1.3)

Наряду с периодическим свойством отслеживания можно рассматривать и его Липшицев аналог.

Определение 6. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется липшицеао периодическое свойство о т ел сок: и в а ? тя LipPcrSh, если существуют такие положительные числа L и d®, что для любой периодической ¿¿-псевдотраектории е в, < ¿о найдется такая периодическая точка д, что выполняется соотношение (1.3).

В третьей главе; изучаются периодическое и липтттидево периодическое свойства отслеживания диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М и их связь со структурной устойчивостью. При изучении свойств отслеживалия диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий одним из подходов является переход к С^-впутрситтоетям. Будем обозначать через 1п^(Р) внутренность некоторого подмножества Р множества диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М относительно С1-топологии. Как обычно, будем обозначать через ОБ множество £1-устойчивых диффеоморфизмов. В работе |28| К. С акай доказал, что С1 -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания псевдотраекторий, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. В третьей главе; мы доказываем, что С1 -В1тутрелтттен:тт, множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, совпадает с мттоже;етве)м П-устежчивьтх диффеоморфизмов. Существуют по структурно устойчивые диффеоморфизмы, обладающие; свойством отслеживания псевдотраокторий (см., например, |22|). Точно так же; существуют по ^-устойчивые; диффеоморфизмы, обладающие; перие)диче;ежим свойством отслеживания. С.Ю. Пилюгин и С.Б. Тихомиров в работе |26| доказали, что е:труктурпая уетешчивость и л и штт ип.ево свойство отслеживания эквивалентны. Также отметим, что С.Ю. Пилюгин доказал (см. |22|) эквивалентность структурной устойчивости и так называемого вариационного свойства, отслеживания. В третьей главе1, доказывается эквивалентность ^-устойчивости и липптицева периодического свойства отслеживания. Таким образом, основной результат третьей главы можно сформулировать так:

Теорема 2. Если M гладкое замкнутое, многообразие, то Int.1 (Per SP) = LipPerSP = ÇîS.

Пусть M метрическое пространство с метрикой dis t. / : M и M гомеоморфизм. Определим следующее свойство последовательности £ = {з:а;}а;>о' dist(xjfc+i, f(xk)) —у 0 при к —> +оо. (*)

Последовательность, обладающая свойством (*), является приближенной траекторией, которая становится "все точнее" тта бесконечности.

В работе |12[ введено следующее определение.

Определение 7. Будем говорить, что для гомеоморфизма, / выполняется cnoilcmeo LmSP (предельное, свойство отслеэ/сива-иия. limit shadowing propertyjs если для любой последовательности. для которой выполняется свойство (*). найдется такая точка, q G M, что dist(xjt, fk(q)) —> 0 при к —> +оо.

Наличие предельного свойства, отслеживания означает, что если приближенная траектория "становится все точнее" па бесконечности, то к пей "стремится" некоторая точная траектория. По аналогии с обычттым свойством отслеживания предельное свойство отслеживания можно ослабить, потребовав не "сходимости" приближенной траектории к точной, а совпадения множеств предельных точек. Обозначим через множество всех предельных точек последовательности £ = В работе1 |20| вводится следующее определение.

Определение 8. Будем говорить, что для гомеоморфизма, / выполняется орбитальное, предельное свойство отслеживания ОЬтЗР, если для любой последовательности £= {а^}, для которой выполняется свойство (*). найдется такая точка q €М, что Цд).

Нетрудно видеть, что

ЬтБР С ОЬтБР.

В работе |20| вводится следующее ослабление орбитального предельного свойства отслеживания.

Определение 9. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое предельное свойство отслеживал тя, ^УЬтвР. если для любой последовательности £ = {3^}. для которой выполняется свойство (*), найдется такая точка д еМ. что

О С ш(д). (1.4)

12

В работе |24| наряду со свойством определяется и еледутотцее свойство.

Определение 10. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется второе слабое свойство omc.neoicueami.si если для любого положительного £ найдется такое положительное в,, что для любой б£-пеевдотраектории £ найдется такая точка д ЕМ, что

Нетрудно видеть, что свойство 2\¥ЭР является ослаблением свойства ОБР. По аналогии с обыттттт>1ми свойствами отслеживания, исходя из определения орбитального продельного свойства отслеживания, мы вводим отце одно слабое предельное свойство отслеживания.

Определение 11. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется второе слабое предельное свойство отслеживания 2\У1лп8Р, если для любой последовательности £ = {а;^}. для которой выполняется свойство (*), найдется такая точка, q ЕМ, что ш(д) С и>(£). (1.5)

Можно ввести аналоги сформулированных пределытьтх свойств отслеживания, в которых к —> +оо заменено па. к —> — оо (в главе 4 приводятся эти определения).

В четвертой главе изучаются слабьте предельные свойства, отслеживания. В работе |24| доказало, что любой гомеоморфизм компактного метрического пространства М обладает свойством 2WSP. Мы доказываем аналог этого утверждения для свойства 2WLmSP в утверждении 2 доказывается, что любой гомеоморфизм / компактного метрического пространства М обладает свойством 2WLmSP.

При изучении динамических систем особый интерес вызывает структура пеблуждатощего множества. Как обычно, обозначим через П(/) множество всех ттеб луж да тотцих точек гомеоморфизма/. Хороню известно, что для гомеоморфизма /

П(/) D [J ш(р). р<=м

В четвертой главе приводится пример гомеоморфизма / для которого множества Г2(/) и UpeM^G9) 110 (:01^падатот. В утверждении 3 доказывается, что если для гомеоморфизма / выполняется свойство WLmSP, то = U "Мрем

С.Ю. Пилюгин в работе |20| доказал, что

Int1(OLmSP) = Int1(LmSP) = QS.

К. Сакай в работе |27| показал, что если dim М = 2, то Int1(WSP) С С £IS. Кроме того, К. Сакай отметил, что его результат тте обобщается тта случай многообразий большой размерности. Основным результатом четвертой главы является следующая теорема:

Теорема 3. Если М гладкое замкнутое мн.ояообра.зи,е. и dim M = 2, то

Iiifc1(WLmSP) = ÜS.

В четвертой гла.ве поясняется. tito теорема. 3 тю обобщается па елутта.й многообразий более высокой размерности.

Для "отрицательных" предельных свойств отслеживания выполняются аналогичные1, утверждения.

Основными результатами диссертации являются теоремы 1 3. Эти результаты опубликованы в работах автора |1 ö|. Работы |1|, |5| опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.