Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Петров Алексей Алексеевич

Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- I пгн 2015

005561762

Санкт-Петербург 2015

005561762

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.

Официальные оппоненты:

МАЛЮТИН Андрей Валерьевич, доктор физико-математических наук, ПОМИ РАН, ведущий научный сотрудник

ОСИПОВ Алексей Валерианович, кандидат физико-математических наук, Инвестиционная фирма "ОЛМА", менеджер

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций имени проф. М. А. Бонч-Бруевича

Защита состоится "30" сентября 2015г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, В.О. 10 линия 33-35, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite.

Автореферат разослан "_"_2015г.

74.

Ученый секретарь диссертационного совета

Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Одной из интенсивно изучаемых в последнее время задач теории диффеоморфизмов гладких многообразий является задача об отслеживании их приближенных траекторий.

Известно, что для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М следующие три утверждения эквивалентны:

(1) / удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;

(2) / структурно устойчив;

(3) / обладает липшицевым свойством отслеживания.

Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или (2) (а, следовательно, и всем остальным), называют "системами с гиперболическим поведением". Кроме того, далее в тексте слово "система" будет для нас синонимом термина "диффеоморфизм гладкого многообразия".

В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем, удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, что неблуждающее множество исследуемой системы достаточно "хорошо устроено" с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, и в нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий. Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартном дифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы / (т.е. многообразие М) двумерно, то, как было установлено математиком Казухиро Сакаем (КагиЫго Бака!), необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания формулируется в терминах пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (а именно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться С°-трансверсально). Поэтому представляют интерес следующие два вопроса: можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие свойства отслеживания и, в более частном случае, условия гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) для систем с аксиомой А в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий для произвольных размерностей (подчеркнем еще раз, что для двумерных

3

систем и для стандартного свойства отслеживания условие состоит в С°-трансверсалыюсти устойчивых и неустойчивых многообразий)? И возможен ли какой-нибудь аналог отслеживания при не С°-трансверсалыгом пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий?

Отметим также, что, по большей части, стандартные подходы к исследованию динамических систем позволяют доказать наличие свойств отслеживания гладких систем с гиперболическим поведением траекторий. В связи с этим представляется актуальным исследовать вопрос наличия свойства отслеживания у негладких систем (гомеомофризмов метрических пространств).

Цель диссертационной работы. Целью работы является изучение некоторых связей между свойством отслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств (или, в частном случае, диффеоморфизмов гладких многообразий) и различными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов (диффеоморфизмов), например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова и пр.

Методы исследований. Основными методами, используемыми в диссертации, являются методы теории гладких диффеоморфизмов. Кроме того, используются методы теории отслеживания псевдотраекторий в окрестности гиперболического множества, а также метод вспомогательных функций Ляпунова для доказательства наличия отслеживания, разработанный X. Ле-вовичем и его учениками и модифицированный в работах С. Ю. Пилюгина и диссертанта.

Основные результаты работы. Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Показано, что естественное многомерное обобщение понятия С°-трансверсалыюсти, введенного Казухиро Сакаем, не является необходимым для наличия свойства отслеживания у диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А.

2. Приведены достаточные условия наличия свойства отслеживания у гомеоморфизмов компактного метрического пространства. Полученные методы могут быть применены и к случаю негиперболических диффеоморфизмов.

3. Показано, что значение показателя Гельдера гельдерова свойства отслеживания диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, зависит не только от характера пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, но и от класса гладкости данного диффеоморфизма.

4. Для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А, но не удовлетворяющих условию С°-трансверсальности, показано, что, несмотря на отсутствие у них свойства отслеживания, диффеоморфизм может обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.

Таким образом, в данной работе исследована связь между наличием свойства отслеживания и различными свойствами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (имеющими геометрическую или топологическую природу).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты проясняют связь между наличием свойства отслеживания у систем и различными объектами, характеризующими динамику этих систем.

Аппробация работы. Результаты диссертационной работы были доложены на следующих семинарах:

1. Семинар по динамическим системам в лаб. им. П. Л. Чебышева — Санкт-Петербург, Россия, 2013, 2014, 2015;

2. Петербургский топологический семинар им. В. А. Рохлина — Санкт-Петербург, Россия, 2015;

а также были включены в доклад автора на конференциии

3. International Student Conference "Science and Progress" — Санкт-Петербург, Россия, 2014.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы работы [15]. Из них статьи [1-4] опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, ссылки на которые приведены в конце автореферата.

Работы [1-3] написаны в соавторстве с научным руководителем. В этих работах С. Ю. Пилюгину принадлежат постановки задач; доказательства основных результатов этих работ проведены соискателем лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 24 названия. Объем диссертации 96 страниц.

Содержание диссертации.

В главе 0 приведены основные определения и известные результаты.

В первой главе исследуется связь между свойством отслеживания и типами пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий дискретных динамических систем размерности 3, удовлетворяющих аксиоме А. Доказывается теорема, что условие С0-трансверсалы1ости не является необходимым для наличия у системы свойства отслеживания.

Пусть / гомеоморфизм метрического пространства (М^Ь), и пусть

й > 0.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность £ = {£,• Е М \ г Е Ъ} — в,-псевдотраектория отображения /, если выполнены неравенства

< <1, г Е Ъ. (1)

Пусть е > 0.

Определение 2. Будем говорить, что точка р Е М (е,/)-отслеживает в,-псевдотраекторию £ = {£,}, если выполнены неравенства

< е, ¡62. (2)

В дальнейшем, при рассмотрении некоторой фиксированной системы /, мы будем просто говорить, что точка р е-отслеживает псевдотраекторию

Определение 3. Будем говорить, что система / обладает свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое число в, > 0, что для любой ¿-псевдотраектории £ = {£} найдется точка р € М, е-отслеживающая £.

Следующее определение вводит свойство отслеживания, являющимся частным случаем свойства, введенного в определении 3.

Определение 4. Если существуют такие константы С,йо > 0,7 Е (0,1), что для любой (1-псевдотраектории £ отображения / с й Е (0,<1о) найдется точка р € М, СсР-отслеживающая псевдотраекторию то мы будем говорить, что отображение / обладает гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера равным 7. Если 7 = 1, то мы будем говорить, что отображение / обладает липишцевым свойством отслеживания.

Также, мы будем рассматривать свойства отслеживания отображения / на некоторых подмножествах объемлющего метрического пространствам. Так, пусть К С М — непустое подмножество.

Определение 5. Будем говорить, что отображение / обладает свойством отслеживания на множестве К, если для любого е > 0 найдется такое <1 > 0, что любая й-псевдотраектория £ С К может быть е-отслежена точной.

Аналогично определяются липшицево и гельдерово свойства отслеживания на множестве К.

Также нам будет удобно сформулировать следующие определения, являющиеся "конечными" аналогами определений 1 и 3.

6

Определение 6. Пусть й > 0. Конечную последовательность £ = {£,■ 6 М | г = п,..., т} (где п,т € Z, п <т), удовлетворяющую неравенствам

)<(!, г = п,..., т — 1, (3)

мы будем называть конечной ¿-псевдотраекторией.

Определение 7. Будем говорить, что система / обладает конечным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое в. > 0, что для любой конечной ¿-псевдотраектории £ = {£,• £ М | г = п,... ,т}, найдется такая точка р 6 М, что выполнены неравенства

с^ (/'(р),&н-1) < г = 0, ...,т-п. (4)

Отметим, что в определении 7 <1 зависит только от £, а не от длины псевдотраектории (т.е. значений тп,п).

Про точку р, удовлетворяющую соотношениям (4), мы также будем говорить, что она е-отслеживает конечную псевдотраекторию

Отметим, что для компактных метрических пространств определение 7 эквивалентно определению 3.

Дадим определение многомерной С°-трансверсальности. Пусть (М, сНяк) — гладкое замкнутое связное многообразие с римановой метрикой с11:з1;, а А — топологическое пространство.

На пространстве всех непрерывных отображений из Л в многообразие М (которое мы будем обозначать через С(А,М)), введем ^-равномерную метрику, заданную по правилу: для /ь/г £ С{А,М)

\hJi\c = вир^в^/!^),/^!))).

хеА

Определение 8. Пусть 6 > 0, А, В — топологические пространства, и а С А, ив С. В — произвольные подмножества, и пусть даны два непрерывных отображения /¿1: А —» М, 112'. В ► М. Будем говорить, что пересечение Н\{11а) П/12(^3) 6-существенно, если для любых непрерывных отображений

/11: А ->• М,

/Т2: В М,

таких что |/и,Л1|с0 < й, К'г^Ыс0 ^ выполнено соотношение

Гь^ил) П К,г(ив) Ф 0.

Определение 9. Пусть вновь А,В — топологические пространства,

: А —> М, /»2: В —> М — непрерывные отображения, и пусть точки

7

а Е A, b Е В таковы, что hi(a) = /12(6). Будем говорить, что в паре точек (а,Ь) отображения /ij и С°-трансверсалъны, если для любых открытых множеств U{a) С A, U(b) С В, таких что а Е U(a), b 6 U(b), найдется такое S > 0, что пересечение hi(U(a)) fl/i2(É/(&)) S-существенно.

Наконец, дадим определение С°-трансверсальности двух отображений.

Определение 10. Пусть А,В — топологические пространства, ah\ \ А —> М, hi: В —¥ М — непрерывные отображения. Будем говорить, что h\ и h*2 С°-трансверсальны, если для любых точек а Е A, b Е В, таких что hi(a) = h.2{b), отображения h\ и h2 С0-трансверсалыт в паре точек (а,Ь).

Теперь мы сформулируем условие С°-трансверсальности для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М, удовлетворяющего аксиоме А. Напомним, что диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме А, если

— множество неблуждающих точек П(/) гиперболично;

— периодические точки плотны в П(/).

Для точки р Е П(/) обозначим соответственно через Ws(p) и W(p) устойчивое и неустойчивое многообразия точки р.

Определение 11. Будем говорить, что диффеоморфизм f удовлетворяет условию С0-трансверсальности, если любая точка х Е Ws{p) Л Wu(q), где p,q Е является С0 -трансверсальной точкой пересечения многообразий Ws(p) и Wu{q).

Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема 1. Существует С1 -гладкий диффеоморфизм f:M—>M гладкого 3-многообразия М, удовлетворяющий следующим условиям:

(1) / удовлетворяет аксиоме А;

(2) найдутся такие две неподвижные гиперболические точки р\,рг, что dim(Vu(Pl)) = dim(Ws(p2)) = 1, и Wu{p{) П Ws(p2) ф 0;

(3) / обладает гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера

Во второй главе даны достаточные условия, при которых гомеоморфизм компактного метрического пространства обладает конечным свойством отслеживания. В приведенных условиях используются аналоги функций Ляпунова.

Сформулируем основной результат главы 2. Пусть/ — гомеоморфизм метрического протранства (X.dist).

Сформулируем основное предположение.

Мы предполагаем, что пространство X компактно и существуют такие две неотрицательные функции V и W, заданные на замкнутой окрестности диагонали ХхХ, что V(p,p) = W(p,p) = 0 для всех р е X, и что выполнены условия (С1)-(С9), сформулированные ниже. В дальнейшем мы также предполагаем, что аргументы функций V и W достаточно близки друг к другу, так что значения функций V и W определены.

Мы формулируем условия (С1)-(С9) в терминах геометрических объектов, порожденных функциями V и W (а не в терминах самих функций V и W). Основной причиной для выбора такой формы условий является тот факт, что в точности таким образом сформулированные условия используются при доказательстве наличия свойства отслеживания, и что в таком виде эти условия можно легко проверить для конкретных функций V и W.

Фиксируем положительные числа а,Ь > 0 и точку р е X. Положим

Р(а,Ь,р) = {qeX | V(q,p) < а, W(q,p) < &}, Q{a,b,p) = {q G P(a,b,p) \ V(q,p) = a}, T(a,b,p) = {</6 P(a,b,p) | V(q,p) = 0}.

Обозначим через B(e,p) открытый шар радиуса е > 0 с центром в точке р, т.е.

В{е,р) = {q€X | dist(g,p) < s}.

Положим

Ы°Р(а,Ь,р) = {qe P(a,b,p) I V(q,p) < a,W(q,p) < b},

d°P(a,b,p) = Q(a,b,P) U {q € P(a,b,p) I W(q,p) = b}, Int°Q(a,b,p) = {?€ Р(а,Ь,р) I V(q,p) = a,W(q,p) < &}.

Сформулируем условия (Cl)-(C4), в которых содержатся предположения о геометрии множеств, введенных выше.

(С1) Для любого е > 0 найдется такое число Д0 = До (б) > 0, что включение

Р(До,До,р) С В(е,р)

выполнено для всех р € X.

Найдется такая константа Д1 > 0, что для любой точки р G X и любых положительных чисел ¿1,^2,А < Ai и ¿2 < Д найдется такое число a = a(5i,<52,A) > 0, что

(С2) множество Q(Si,S2,р) не является ретрактом P(Si,S2,p)-,

(СЗ) Q(Si,S2,p) является ретрактом P(5i,52,p) \ T(5i,52,p)\

9

(С4) существует ретракция

а: Р(6иА,р) Р{6и62,р), обладающая следующим свойством: если V(g,p) ^ 0, то У(сг(д),сг(р)) / 0 для

д 6 Р(6,А,р)-

В следующей группе условий мы сформулируем наши предположения о поведении введенных выше множеств и их образов под действием гомеоморфизма /.

Мы предполагаем, что для любого Д < Дх найдутся такие положительные числа 61,62 < Д, что для всех р € X выполнены следующие соотношения:

(С5) НР(61,62,р)) с Ы°Р(Д,Д,/(р)),

/-ЧтА,/(р))) С Ы°Р(А,А,р)\

(С6) НТ(6и62,р)) с Ы°Р{61,62,Пр)У,

(С7) /(Т(гьД,р)) п Я{61,62,1(р)) = 0;

(С8) /(Р№Л,р))па°Р№л,/(р)) СI й0д(<м2,/(р));

(С9) /(5№,Д,р)) ПР№,52,/(р)) = 0, где 5№,Д,р) = {</ € Р(А,А,р) I У(<7,р) >

Основным результатом главы 2 является следующая теорема.

Теорема 2. Предположим, что гомеоморфизм / удовлетворяет условиям (С1)-(С9). Тогда / обладает конечным свойством отслеживания.

Этот результат применяется для получения условий топологической устойчивости гомеоморфизма компактного метрического пространства и для получения условий наличия свойства отслеживания в окрестности негиперболической неподвижной точки.

В третьей главе мы показываем, что для модельного примера в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий двумерная система класса гладкости С1 обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера причем значение показателя Гельдера можно повысить до 3, если система обладает классом гладкости С2, а также приводим пример системы класса гладкости С1 с кубическим касанием устойчивого и неустойчивого многообразий, не обладающей гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера 7 6 (£,1].

Пусть'/: Е2 —> Ж2 — диффеоморфизм класса гладкости Ск, где к 6 N. Пусть г\,г2 — гиперболические неподвижные точки седлового типа, и предположим, что выполнены следующие условия:

(<11) / линеен в окрестностях Кх и У2 точек п и г2 соответственно;

10

((12) Ж"(г0 и IV3(г2) обладают точкой кубического касания £;

(dЗ) найдется такая окрестность О точки что /_1(0) С У!, }{0) С У2.

Одним из основных результатов главы 3 является следующая теорема.

Теорема 3.(1) Если / обладетп гелъдеровым свойством отслеживания в VI и О и У2 с показателем Гелъдера 7, то 7 <

(2) Диффеоморфизм / обладает гелъдеровым свойством отслеживания в Уг и О и У2 с показателем Гелъдера

Если / принадлежит классу гладкости С2, то / обладает гелъдеровым свойством отслеживания в Уг и О и У2 с показателем Гелъдера 1

3'

(4) Найдется диффеоморфизм класса гладкости С1, удовлетворяющий условиям (ё1)-(иЗ); но не обладающий гелъдеровым свойством отслеживания с показателем Гелъдера 7 >

В третьей главе изучено отслеживание в окрестности сепаратрисы, ведущей из седла в седло.

Рассмотрим диффеоморфизм класса С2 двумерной плоскости,

/: К2 —> К2.

Пусть Г1 и г2 — гиперболические неподвижные точки седлового типа.

Предположим, что в окрестностях VI точки гг и У2 точки г2 диффеоморфизм / линеен, и что точки Г\ и г2 соединены сепаратрисой I.

Определение 12. Пусть й, ос ~> О, IV £ N. Будем говорить, что конечная последовательность £ = точек в Е2 есть й-псевдотраектория для

И с плавающей точностью степени а относительно сепаратрисы I, если

¿ЩНШм) < <1 ^(&,/))*, А = 0, 1. (5)

Сформулируем результат главы 3, касающийся отслеживания в окрестности сепаратрисы.

Теорема 4. Найдется такое е > 0, что для любого <1 > 0 существует конечная й-псевдотраектория £ = для / с плавающей точностью

степени 1 относительно сепаратрисы I, для которой не существует точки р £ К2, £-отслеживающей псевдотраекторию £.

Теорема 5. Пусть а > 0. Найдутся такие положительные числа Ь,¿о, что для любого й £ (0,£^о) и для любой конечной й-псевдотраектории £ = для /, лежащей в У(и) и удовлетворяющей неравенствам

|/у(6) - (6+1)»| <Л\(Ш1+а, г = 0,...,ЛГ-1, (6)

найдется точка р £ У(и), Ьй-отслеживающая

11

Заключение

Итоги исследования позволяют прояснить связь между наличием свойства отслеживания и такими объектами, характеризующими динамику системы, как С°-трансверсалыюсть пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (теорема 1), гладкостью системы и характером пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (теорема 3). Предложен метод, основанный на построении вспомогательных функций Ляпунова, позволяющий исследовать систему на наличие свойства отслеживания (теорема 2; причем гладкость системы не предполагается). Кроме того, в теоремах 4, 5 для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А, но не удовлетворяющих условию С°-трансверсальности, показано, что, несмотря на отсутствие у них свойства отслеживания, диффеоморфизм может обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.

При дальнейшей разработке данной темы может казаться перспективным продолжить исследовать вопрос о связи между наличием свойства отслеживания и С0-трансверсальности (например, является ли свойство С°-трасверсалыюсти достаточным для наличия свойства отслеживания у систем с аксиомой А). Также представляет интерес вопрос о необходимых и достаточных условиях наличия свойства отслеживания у негладких систем (теорема 2 может послужить отправным пунктом для нового исследования).

Публикации автора по теме диссертации в рецензируемых научных журналах:

1. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Lyapunov functions, shadowing and topological stability // Topol. Methods Nonlinear Anal. — 2014. — T. 43, № 1. — C. 231-240.

2. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Shadowing near nonhyperbolic fixed points // Discrete Contin. Dyn. Syst. — 2014. — Т. 34, № 9. — С. 3761-3772.

3. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Multidimensional C° transversality // J. Math. Anal. Appl. — 2015. — T. 424, № 1. — C. 696-703.

4. Петров А. Отслеживание в случае нетрансверсального пересечения // Алгебра и Анализ. — 2015. — Т. 27, № 1. — С. 149-177.

Другие публикации автора:

5. Петров А. Отслеживание в окрестности сепаратрисы // электронный журнал "Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". — 2013. — №3.

Подписано в печать 09.07.2015 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 312

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199178, Санкт-Петербург, В.О., 7-я линия, д. 84 А