Е-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ч'Ч О г 91;

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математические факультет

На правах рукописи УДК 515.12

ГУЛЬКО Сергей Порфирьевнч

I'-ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПРОБЛЕМЫ КЛАССИФИКАЦИИ В ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИИ

01.01 04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

■диссертации на соискание ученой степени доктора фияико-математнчйских наук

Москва •- 1Й91

У

/

Работа выполнена на кафедре теории функций механико- математического факультета Томского государственного университета им. В.Б.Куйбышева

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Архангельский,

доктор физико-математических наук, доцент В.В.Величко,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Н.Й.Щепин

Веддаая организация: Институт математики СО АН СССР,

г. Новосибирск

оь 199«^^.___

Защита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета № 2 по математике при Московском государственном университете /Д.053.05.05/ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан

'Ученый секретарь специализированного Совета Я 2 кандидат физико-математических наук

1г. В.Н.Чубарийов

1 • _ ОБВД ХАРАКТЕРИСТИКА РЛЕО'Ш

Цель работы - исследование свойств пространства С(,Х) всех непрерывных вепествешщх (Тупкшй на топологическом пространство X или более общего пространства вссх непра-рывшлс отображений . Как правило, эти пространства наделяются топологией ^ поточечной сходимости и обозначаются в этом случае через Ср(Х) и . Рассматриваются та гас е тополопга - равномерной сходимости на ыетризуег.пгх компактах и - слабая топология (когда X есть компакт и, следовательно, С(Х) является бапаховш пространством). Б этих случаях прго.!01шются обозначения: Ст. СХ), ст(х,у) (X.) соответственно .

В работе изучаются топологические свойства указанных пространств Функций н рассматриваются вопроси классп^лкашп этих пространств.

Актушшюсгь теми. Топология поточечной сходимости является слабейлеП среда всех естественных топологм! на С (К) • Она имеет прятав отдодеиие к слабой тополопга банахова прост-

ранства Е , так как хороао известно, что (Е, а*^) линейно го-г.:еомортчго замкнуто:^ векторному подпространству в где и С Е-*) - единичный пар сопряженного пространства Е* с топологле;';. Поэтому в тер.инах пространства Ср(К) лег-

ко моют бить передог.'тлиропано болъчг.шство тоором и задач, относящихся к слабо:! топологии банаховых пространств, - по крайней море, это ::о::г.ет бгть сделано для тех свойств, которые сохраняется при переходе к замкнутому подпространству.

Понятно слабой сходимости било введено и рассматривалось с-|п ."..Гильбертом, ¿.ГЯссом и С .Банахом, В 40-х годах В.Л.:1т:ульяп_

и В.Эберлеип доказали, что"для подмножеств банаховых пространств в слабой топологии свойство компактности эквивалентно свойствам счетной компактности и секвенциальной компактности, а А.Гротен-дик [I] обобщил этот результат на случай подмножеств в пространстве ûp (X) , где X - компакт.

Изучение свойств слабых топологий, отличных от свойства компактности,' было начато Х.Корсоногл в его замечательной работе [2] и было продолжено в работах специалистов по функциональному анализу: Д.Амира, Д.Линденитраусса, Х.Розенталя, М.Талаграна и др. Среди результатов этих работ многочисленны, в частности, те, которые вполне могут отнесены к теории пространств Ср (X) .

Собственно топологическое исследование пространств Ср(,Х) бшго начато примерно 15 лет назад в работах А.В.Архангельского, Р.Поля, Н.В.Веллчко и др. В этой области рее получено много впечатляющих результатов, в том числе решены некоторые проблемы, поставленные в работах по функциональному анализу. Определенный итог развития здесь подведен в недавней монографии А.Б.Архангельского [з]. Отличие теории пространств Ср(Х) от теории слабых топологий банаховых пространств проявляется как в большей общности решаемых задач, так и в применяемых методах исследования. Для теории пространств Cj>(X) функциональный анализ служит источником новых объектов исследования и новых проблем, имеющих, топологическое значение. Наблюдается, конечно, и процесс обратного влияния.

[1] GwlWJiecfc A.,CawwJ- 3- M*Ut.- 1353.-V:5,Aß-P.£&g-d?3.

[2] Соч. son- H.H. , TW s. Amu. M «ЛЬ. Soc. -1361. - Y. iOl, yfi . — P. L-LS.

[3] Архангельский A.B. Топологические пространства функций'. -П.: Изд-во МГУ, 1939.

В теории пространств СрСХ) важное место занимает понятие Ц. - произведения, первую конструкцию которого можно найти еще у Л.С.Понтрягина [4]. Известно, что при некоторых естественных топологических ограничениях на Ср С^^) оба пространства -X и СрСХ") - погут бить непрерывно и взаипно-однозначно отображены в некоторое - произведите семейстьа вещественных прямых. В частности, любой компакт Эберлейна (так называются слабо компактные подмножества банаховых пространств) гоглеоморЬно вкладывается в такое 2- произведете. Для пространств X , лежащих в произведениях, теория пространств Ср^Х") выглядит наиболее совершенной. Более того, дня таких X мояет быть развита теория пространств , аналогичная теорш пространств Ср(Х) . Если же X - компакт Эберлейна, то слабая топология на С(Х) "заяата" маэду топологиями поточечной сходимости и равномерной сходимости па глетризуемых компактах: ^ <=, СЦ^с Хщ. . Данное наблюдение показывает актуальность изучения взаимосвязи свойств э11й трех топологий.

Кроме изучения топологических свойств пространств функций . в диссертации рассматриваются также проблемы их классификации. В самом общем виде эти проблемы можно сформулировать следующигл эбразом: как соответствуют свойства пространств и СрСх) прут ДРУгу и в какой мере та шш иная структура на Ср(.Х) определяет топологию на X ? В частности, какими общими,свойства-лп должны обладать пространства X и У , если некоторые топологические структуры на Ср(Х) и являются изоморфными?

Пространства Ср (.X) относительно естественных алгебраи-юских операций могет рассматриваться и как топологическая алгебра, и как топологическое кольцо и т.п. Некоторые из этих

Ч] Понтрягин Я.С. Непрерывные группы. - 'Л.: Наука, 1973.

струкгур на Ср(Х) определяют пространство X с точностью до гомеоморфизма. Так, согласно теоремы Ю.Нагаты [5] из изоморфизма топологических колец СрСХ) и Ср(У) следует, что пространства X и V гомеоморфам. Иная ситуация наблюдается, если на Ср(Х^ рассматри вается одна из следующих структур: топологического векторного пространства, равномерного пространства и просто топологического пространства. Таким образом, в каждом из перечисленных трех случаев мы получаем некоторую эквивалентность между топологическими пространствами - более широкую, чем гомеоморфизм.

Особый интерес к проблема классификации пространств Ср(Х) возник после того, как обнаружилась связь о проблемам! классификации других- объектов. А.В.Архангельский [б] показал, что из топологического изоморфизма свободных топологических групп F(X) 331 РСУ) слезет линейный гомеоморфизм Cf(,X) Д Ср(Ü)t Д.С.Павловский [?J заметил, что для полных по Дье,донне пространств X и У из линейного гомеоморфизма Ср(Х) — Ср СУ) следует линейный гомеоморфизм С CK) ^ С СУ) , где оба пространства - С(Х) и С (У) - наделены компактно-открытой топологией. В частности, если X и У - компакты, то из Ср(X) а СрСУ) следует линейный гомеоморфизм С CK) ^ ССУУ уже банаховых пространств (последний факт сразу вытекает такяе из теоремы о замкнутом графике). Таким образом, с одной стороны, im имеем объекты функционального анализа, а с другой - объекты топологической алгебры, а пространства Ср(Х) занимают промежуточное

[5] }. , о

гайа. ИаД. ~ i'-HS. —V. 1 tyCz, - Р. iiC — IS-J..

[6] Архангельский A.B., УШ, 1978. - Т. 33, 6. - С.29-84 [7J Павловский Д.С., УШ, 1982, - "¡». 37, Я 2. - С, 185-186.

положение. Вопросами классификации (в терминах топологии X ) ♦ банаховых пространств С (50 начатi заниматься вщо К.Бореук [а] и С.Банах [9], а первые аналогичные результаты для свободных топологических групп FCX.1) получил М.!!.Граев благодаря теоремам А.В.Архангельского и Д.С.Пааловского теперь появилась возможность сравнения результатов из различных областей математики, "перенесения" их и т.д. Отметим, что задачи классификации пространств CpQO нетривиальны и содортютелыш д&тсе для простейших X , - например, .для подаяояеств вещественной прямой, плоскости и т.п.

Методы исследования. Oiui состояли в широком и систематическом использовании методов общей топологии (обратные спектры, спектральная теорема Е.В.Целина и т.д.) в приложении к пространствам функций. Для целей работы эти методы развиваются и конкретизируются. Некоторые метода являются новыми, например, метод построения семейств попарно коммутирующих ретракций, изложенный в главе I диссертации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации яаляют-ся новыми. Некоторые из них дают решения известных проблем.

Пракигческая и теоретическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть приманены для дальнейших исследований в теории пространств Ср (К) и в творил банахопнх пространств, использованы при

[8] Be-Khk к.", ЬЛ. 3nt. kcaA. ?Л. ScC. - 1933. - P. l~№.

И San^ck S. Thcctie. H" opeiaticns hn<Lctitl*. ~ VJcixsiavjai KWjx. Mat. -1332.

[ю] Граев М.И., Изв. АЛ СССР, сер. матем. - 1948. - Т. 12, !' 3. - С. 279-324.

при чтении спецкурсов п в работе научных семинаров по топологии.

Ащрбация работа. Результаты диссертации докладывались на ряда Меэдународннх и Всесоюзных конферетшй и симпозиумов, на Общемосковском топологическом семинаре, на сечпнарах кафедры общей топологии ж геометрии в ИГУ, на семинарах в Варшавском университете, на семинарах в Томском университете.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в II работах, список которых представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 249 страшщ к состоит из введения, двух глав, содержащих 9 параграфов, и списка литературы из 149 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Кратко содержание диссертации следующее.

В диссертации тлеются введение и две главы. В первой главе содержатся результаты, относящиеся к исследовашхю топологии пространств непрерывных функций и 2- произведениям, а во второй главе - к проблемам классификации пространств функций.

Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются вполне регулярными, а отображения - непрерывными. Кардиналы отождествляются с начальными ординалами данной мощности.:

Через с.0 С Г)- обозначается множество всех функций зс: Г-> тайгх, что множество [ ^ е Г1 > 1 ^СЬ)! ] конечно для любого £>о . Хорошо известно, что с0(Г) является банаховым пространством относительно ¿ир -норг.ты. Мы. будем наделять это пространство такие топологиями Щ и У^ .

Б работе рассматривается только частный случай общего понятия Л-произведения, а именно - -произведемте семейства вещественных прямых (Г) , которое определяется следув-пдам образом: "Н^Г) ость подпространство ттггоновско;: сг«прпя

(R1 , состоящее из всех точек ate IR.^ , у которых носитель л: ■-^{х'еТ') не более чем счетен.

Компактные подожшества пространств вида 2(Г') называются компактами Корсона.

Перейдем теперь к обзору основных результатов диссертации.

Глава I посвящена компактам Эберлейна и Корсона, 27-произ-ведениям, пространствам непрерывных функций на них и другим прп-дакающим объектагл.

В параграфе I излагаются теоремы об уплотнениях топологических пространств в <!0(Г') и 2(Г) и, в частности, обобщение георемы Ашра-Линденитраусса.

Д.Ашр и Д.Лшденштраусс [il] доказали, что если g есть 5ан,ахово NWCGr -пространство, то существует линейный ограничений взаишооднозначный оператор Т Е —> С-оС^)« Банахово ipocтранство Е называется 'WCQ- -пространством, если сущест-¡ует кошакт К такой, что всюду плотно в

: . Из этой теоремы следует, что банахово пространство С(Х) :вляется -пространством тогда и только тогда, когда' •

омпакт X является компактом Эберлейна, и что если X -кошакт бертейна, то X можно гомеоиорпно вложить в (с0(Г') t Тр ) . оскольку (to(Г), З'р) есть "хорошо" расположенное подпространство тихоновского произведения ,• то последнее следствие о-существу означает, что"на любом■компакте Эберлейна можно за-ать "хорошую" систему координат, относительно которой его стро-:ше становится особенно прозрачным.

Оригинальное доказательство теоремы Амира-Линденптраусса шо получепо средствами, целиком принадлежащим функционашго-г анализу (перенормировки, переход ко второму сопряженному и

II] Arnu L l..J*n-stt* К V!. J., Aim. M4.U.-ÍÜ6S.- V.ZS, i.

- \\ -ib'-Hb.

т.д.) и, кроме того, оно било грудным. В то же время было ясно, что и по формулировке и по числу важных топологических следствий теорема Ашра-Линденштраусса является топологической теоремой и хотелось иметь, конечно, ее топологической доказательство. Это послужило причиной того, что целым рядом математиков (A.B. Архангельский, Р.Поль, И.Нашока) ставилась проблема нахождения топологического доказательства теоремы Амира-Линденштраусса.

В § I излагается топологическое и вместе с тем значительно более простое доказательство теоремы Амира-Линденштраусса, а также следующего ее обобщения:

Теорема I.I.I. Пусть - компакт и Ср(Х) - линдалефово 21 -пространство. Тогда X является компактом Корсона и существует линейный ограниченный взаимнооднозначный оператор Т : С(К) —* сй(Г) , который непрерывен и в том случае, когда С(Х) и наделены топологией поточечной сходимости.

Понятие линделафова 2 -пространства было введено К.Иага-ми [12] . Отметим, что всякое WCQ -пространство является лин-далефовым 2-пространством, причем обратное неверно.

Теорему, аналогичную приведенной теореме, независимо получил Л.Вашак [13] , однако при этом он использовал методы функционального анализа, развивающие технику Д.Амира и Д.Линденштраус-са. Вместо термина,"линдалефово "2-пространство" Л.Вашак использовал имеюдий тот зке смысл термин " WC& -пространство".

Особенно простая версия нашего доказательства теоремы 1,1.1. получается для того случая, когда X есть компакт Обер-лейна, то есть фактически в условиях'теоремы Ашра-Линдшштра-усса. Именно для этого случая наш-! рассукдепия были пореизложе-

[12] A/4jawü К. , FUKJ. wei-Lli. - -V.65, P, ¿63-102.

fl3j Vo-ialc L. J Siudia m«.ik - ÜSl, -Y. 'Ю, Л~1. -Р. 11-13.

ны без каких-либо принципиальных измонений ьо шюпк статьях и книгах (см., например, [з] , [14], [15]).

В основе нашего доказательства лагшт метод построешш ретракций в пространстве X при условии, что на наложены некоторые ограннчешм. Для каг.дого ордината , £ я й'А , где ь) -первый бесконечный кардинал и кардинал "X равен сетевому весу пространства X. , строится ретракция р^ в пространство X. такая, что рл° р^ = -- р^ ЛР1 « р . < рл ~ и пл*/ (.рДХ.)) 4 . Если, кроме того, .для каждого предельного ординала л и любого » <= X выполнено: Р^СХ) = ^п-1 ррС^") (условие точечно!! непрерывности), то получившуюся систему ш называем проекционным разложением единицы.

Дал о а доказывается, что наличие проекционного разложения единицы на X , удовлетворийдого условию:

(X) множество { л •, Ф р^-ц^)} не более чем счетно

для каждого ж<ьХ ,

позволяет построить гомеоморс'чюе отображение X в 2(Р) , из чего следует, что X - компакт Корсона. Переходя к двойственной системе { р^О 4 «с <.линейннх проекторов в пространстве ,С(>С) таких, что = нетрудно ужа построить оператор

Т '- С("К) —*с0(.г) , о котором идет речь в теореме 1.1.2.

В § Г строятся такке операторы Т :С(Х) —с теми же свойствами, что и в теореме 1.1.1, до для других классов компактов X . Оказнваетсч, что такой оператор существует для любого пространства X. , в котором есть всюду плотно о счетно компактное подпространство из 2 (.Г) (теорема 1,1.18) (например, для любого компакта Корсона и для любого диадического ком-

|>ч] А'гу т-^рс н ^ I ь 2. Ba.au с к -¿расе. аи<1 ТороРог^. - иг: Нап^Йоск о|

5с1 Тк,' оиЬсчА Тор0£с^. - Йгпи'Ьгхс(цт - Р. 1.045" — , [.о] А'лтикч I. ,N№¿«¿'01 К р, , Соик^, Май , - Ш.-V. 5"2-Р. ¡В-]2о.

пакта), а та rate для Li,«1-! - пространства ординалов с порядковой топологией произвольной дшнн. Различные примеры компактов X , .едя которых оператора указанного типа не существует, били построены А .-3.Архангельским и З.В.Ткачуком [1б] п К.Чисаяь-ским и Р.Полем ¡17] ,

Наш метод построения ретракций на X. и проекционных разложений единицы бил использован многими специалистами функционального анатаза дал различных целей (см., например, [18] , \[9] , [20]).

В § 2 главы I систематически исследуется структура подпространств 21-произведений и пространств непрерывных функций на юн. Основное понятие здесь - понятие почти счетно инвариантного подпространства в ¿ВСГ) , которое является расширением на 2-произведения одноименного определения, дачного Х.Корсо-ном [2] для св СО . Это понятие подразумевает существование большого числа попарно, коммутирующих ретракций на X. . Класс таких подпространств очень широк - к ним относятся все замкнутые подпространства в 2(,Г) , в частности, все компакты Корсо-на.

М.Талагран [21] доказал, что каздое 41С Q -пространство

[16] Atcba^eisltiu A.V., Tlfc&ik V.V. ,Торо?. ahj App?.-i9*6. Vi. - P.65-74.

[Ii] Cl«ie?slil K., Pot R. , В dl. AcaJ. Po8. ill. Sei. таД. -

13Й. - V. N/41-12. ~ £ 681 -688. [IS] 9,, Mfctioirta_las S. , N/^tc-poniis S. ^ Stuclia «иоД.

- 13g&. -V. 83, д/3. - P. ig* -113. [Wl.Faficu, M. , и\ЛЛсе.-Ш-Х35.-?.МЪ-ЗЦ..

czoj Fafca* M., Gohfy £iif SUia. mali-lSiS-V.äl.-P.lU-dSl. LÄi] TakyiaJ M., hm. Matk. - 1'ЛЗ. l№, л'з. - P, - i| äS.

в слабой топологии является пространством типа З^о-г,-

Со -к»

(то есть Е = п и К,. , где - компакты) и поэтому

Ul "^i LJ >

(E, - липделефово пространство. Отсюда вытекает, что ес-

ли X - компакт ЭберлеЯпа, то пространство Ср (Х-) - линдоле-фово.

Наш результат в § 2 о свойстве Линделефа в- пространствах непрерывных функций - следующий:

Теорема, 1.2.12. Пусть V - сепарабелъное метрическое пространство н X - почти счетно инвариантное подпространство в 2 (Г ) . Тогда пространство и, тем более,

являются лпнделефовыии.

Отсхода, в частности, вытекает

Следствие 1.2.13. Если X - компакт Корсона, то пространства Cw (X) и Ср[К) и, более того, их счетные степени являются лдшделаровнми пространствами.

Из последнего утверждения легко следует лпнделефовость любого банахова \</С Q- -пространства в слабой топологии. Таким образом, наша теорема 1.2.12 и упомянутая выше теорема М.Талаграна имеют одинаковое следствие, однако, несмотря на это, они являются разными утверждениями и не следуют друг из друга. Это можно увидеть даже на примере несепарабелыюго гильбертова пространства Е . В самом деле, ш показываем (следствие 1.2.16), что Е является линдалефовнм пространством в топологии (Гуъ равномерной сходимости на метртзуемых компактах

г*" *

из сопряженного пространства Ь , взятого в Nv - топологии. Ясно, что СГ^ с . Лпнделефювосгь моментально сле-

дует из слабой компактности единичного шара U в Е и равенства Е = и a-U . в то время как пространство не и- i

имеет нометшзусг.шх компактов (следствие 1.2.28) и поэтому нет

возможности, стартуя от компактов, построить какую-либо фэрму-лу (как в доказательстве М.Талаграна), которая включала бы только счетные операции и из которой следовало бы свойство Линдале-фа для топологии Тп .

Для случая Ср ОС) результат следствия 1.2.13 был независимо получен К.Альстероы и Р.Полем [22]. .Метод их доказательства развивает рассутдешт М.Талаграна, - вряд ли он прилегши к топологии СГГП, и, кроме того, не видаю возможности применить его к некомпактнш.: подашокествам в 2 (Г') , для которых доказана теорема 1.2.12,

Из теорем 1.2.22 и 1.2.24 следует, что непрерывный образ компакта Корсона является компактом Корсопа, а непрерывный образ кошакта Эберлейна является компактом Эберлейна. Первый! результат был одновременно и независимо получен тагле (другим методом) Э.Майклом и М.Э.Рудин [23],.а второй - яаляется альтер-нативнш,! решением известной проблемы Д.Линденитраусса к первоначально данному У.Бенъямшш, М.Э.Рудин и ГЛ. Ваги [24] .

Следующий наш результат навеян теоремами Н.Н.Яковлева [25] о том, что качедай компакт Корсона является наследственно мета-линдалефовым пространством, а каждый компакт Эберделна - наследственно с -мегакомпактним пространством. Оказывается, что хорошие наследственные свойства'имеют нп только подпространства в 2(Г), но и пространства непрерывных функций на них.

Теорема 1.2,25,.Пусть - почти счетно инвариантное под-

[Я2] ¡\iihx К,, Ро£ Я. , ри.ис1. - Р. 135-МЗ.

Btvujcuni.nl

У.,Ыиг М. , ^ Кай-. - 19ЭД. -

Ч.Ю, /О.. - Р. 309 -304. • [гб]ЯкоМ Н.Н„ СотадЛ. 29-55.

пространство в ^г(Г). Тогда пространства Ср(Л) и С№(Х) наследственно меташндаяефовп. Если дополнительно предпологлть, что X. счетно компактно, то Ср(Х.) и Ст(К) наследственно метатшактны.

Все до сих пор сЛор.чгларосшишв утвор-деякя демонстрируют "параллельность" свойств топологий С<р н па С(-Ч.) . Одна-

ко меэду irarm ость и глубокое различие. Это показывает теорема 1.2.29, в которой доказано, что пространство Ст £i, tû^l паракомпактгго, где порви;'! несчетный ординал. Пространство O.nCi,^!] не мо?.ет быть лнадолефовкм, так как теснота пространства ординалов ti, несчотпа. С.то-.осательно, топология ■Т^ молот быть паракэмпактной н нелпнделефоюй, в то время как для топологии Т^ эти два свойства совпадает. Ьместе с том заметим, что до cire пор неизвестно примеров компактов X. , для которых пространство СрСХ) било бы .ишдоле^овлм, а Ст(.Х.)~ нет.

В § 3 главы I формулируются в виде аксиом основные свойства семейств ретракшй Л , которые существует- на почти счетно инвариантных подпространствах в 2(Г) н которые сыграли главную роль в доказательствах предающего параграфа. Система 31 оказывается полурепоткой, то есть алгебраической системой с одной бинарной операцией (в качество нее служит комггоз:пщя t, « ^ ), которая идемпотонтна, коммутативна и ассоипативна. Система 3L предполагается такие напр ишшпп икогеотвом относительно ос-тостволного порядка: <: хг < > (X) с. {Y.), и долина содержать супремумы своих строго возрастающих последовательностей. Еслл, кроме того, < m дая всех г & & и

X = u{x(X)j X с:Ж.} , то семейство £ называется разрешающей со -nojiypcüOTKOü ретрпкнпп на X . Снстогла называет- ■ ся точечно непрерывно:;, поли из ta ^ .. . и t = tn.

следует г(^) = ^¿т гп (х) для каждого .

Ь —ол

■ Залетим, что такие семейства ретракций Л являются весьма специальным случаем решеток отображений в смысле Е.В.Щвпияа [2б] , и они приспособлены к исследованию пространств буякцкй.

В § 3 показано как строить новые полурелетки ретракций из уже имеющихся, в том числе и на пространствах ^(К) и СЛ1 (К.^ а также доказывается следующее утверждение, дающее характериза-щш компактов Корсона в терминах систем ретракций, существующих на них:

Следствие 1.3,8. Для компакта X. следующие условия эквивалентны:

(а) Х- - компакт Корсона,

(б) X имеет точечно непрерывную разрешающую и) -полурешетку ретракций,

(в) X имеет счетную тесноту и на нем существует проекционное разложение единицы,

(г) X тлеет проекционное разложение единицы, удовлетворяющее условию .

В последнем § 4 главы I рассматриваются дополнительные условия, налагаемые на расположение в Х- подпространств г б 31 , которые были использованы в § 2 при изучении свойств почти счетно инвариантных подпространств. 2 -произведений. Эти условия могут быть аксиоматизированы, и на этой основе вводятся две пары классов топологических пространств: и Ж, и -Др, , Первая пара "приспособлена" под функтор Ср , а вторая - под функтор См . В § 4 исследуются свойства введенных классов. Не вдаваясь в подробности, отмстим, что каддый

[25] Щегош Е.В., У;.П1. - 19В1. - Т. 30, Г 3. - С. 3-02.

из о тих классов замкнут относительно операций счетного произведения, порехода к замкнутому подпространству il.ui фактопростран-ству и, кроме того, выполнено:

1) X^ С X , J.L^ с. Л ^

2) если X - почти счетно инвариантное подпространство в "2ЛГ) , то X 6 Х1п , причем если X с с„(Г) , то Х^З^^Л;

3) если X« £ , то Ср(К)е^ ;

4) если Л , то Ср (X) <s £ ;

5) если X е Эе^ , то С^ (X) е vUM ;

G) если X , то С«. (К) е Xп ;

7) кавдэо X «31 является нормальным пространством;

8) каждое Л является линдвлофовым и наследственно глеталииделефовым пространством;

9) если X « X и Л - компакт, то X - компакт Корсона, Бея совокупность этих утверждений в большей степени покрывает большинство результатов § 2. Из них следуют, в частности, теоремы о топологических свойствах пространств из серий:

CpW . СрСрСХ)____и С ЧС*(Х), ...,

аналогичные теоремам § 2 о пространствах и С^СХ) .

л '

Отметим такне, что из этих результатов К.Лльстер и Р.Поль [22] вывели некоторую характвризацто компактов корсона, выраженную па языке топологии пространств непрерывных функций, на них заданных, - подробное изложение этой характэризащш см. в ( [3] , глава 4, § 3).

Отметим тагсхе следствие 1.4.35, которое утверждает, что ес.та X - счетно компактно я и некомпактное подпространство в S?(.r) , то СрСК) * СрСр(К) .не яшшется норма-шшм иростралствоа . В силу перечисленных вше свойств глассов :cte-

ем: Ср (X*)б Л и СрСр(_К) е Э- , следовательно,

оба сомнокнгаля являются нормальными пространствами. Таким образом, свойство нормальности в классе пространств вида Ср^Х") не мультипликативно. Примеры такого рода рассматривались ранее А.Г.Лейдерманогл и В.Ы.Налихшшм [27] .

Перейдем теперь к описанию результатов, иосаяденных классификации пространств функций. Здесь нам будет удобнее вести обзор несколько в иной последовательности, чем в главе П. текста диссертации.

Как уже отмечалось выше, на- интересуют следующие три структуры на С.р (X*) : топологического векторного пространства, равномерного пространства и просто топологического пространства. Каждая из этих структур порождает свой тип эквивалентности, который может существовать мезду Ср(Х) и СДУ), . Полезно изобразить общую схему связей этих эквивзлентностеи между собой и с двумя другими „квивалентностями:

Р(Х.) ^Р(У) =Р С,,(х) ~ СрСУ) сек) 1сЦ)

I

срсх) л СрСУ^ СР0С)ДСР(У)

Здесь стрелка " —;> " обогчачаот обычную импликацию, а символы ^ , ^ использованы для обозначения г-актч существования топологического изоморфизма (свободных топологияеских групп групп), линейного гомеоморфизма, равномерного гомеоморфизма и просто гомеоморфизма соответственно.

[27] Лейдерман А.Г., Г.1альгаш В.И., 0,1.; - 1000. - Т. 29, у I. С. 84-93.

Легко понять, что кахдая эквивалентность в схеме является в действительности некоторой эквивалентностью г.'.егхду самими топологияескш.ш простраистваш■ X и У (причем более широкой, чем гомеоморфизм). Поэтому часто пшут X ^У ( соотв.

, X ¿У ) вместо F 00 2*. F (.У) (соотв. Cf00«

арСУ) - cf(x)~cP(y) и СрСх) £ Ср(у) )и

называют пространства X. и ^ М.-эквивалентными (соотв. I-, U- и i-эквивалентными).

В работе [ю] .М.П.Граоа дат полную классификацию счзтиих компактов относительно M-эквивалентности. Ч.Бессага и А.Пел-чинский [28] дали аналогичную классиоякашга счетных компактов относительно линейных гомеоморфизмов банаховых пространств С(Х) . Если сравнить эти две классификации счетных компактов, то нетрудно видеть, что они совпадают. Ёначлт, из схемы следует, что классификация счетных компактов относительно ? -эквивалентности такие совпадает с классификациями .'Л.И.Граева и Ч.Бессаги-А.Пеячинского. Так как любой счетный компакт гомеоморфеп некоторому счетному отрезку ординалов С с порядковой топологией, рассмотренная визе классификация счетных компактов есть одновременно некоторая классификация счетных ординалов.

После статьи Ч.Бессаги и Л.Наташе кого появилась статья З.Семадели [2S] , в которой било доказано, что если <-¿>1 -первый несчетный ординал, то банахово пространство Cci,^] не является линейно гопеоморчпл.' своему квадрату. Шесте эти результаты дали полную классик.иканию ";остранств С It, <¿3 как топологических векторных пространств дал всех ¡L i • о . Тогда до ома поставлена проблема линейно!! топологической классификации

[28J Be-jio-^a С.,

jpy] Spaden!. 2,., Bult hcj, P„£. sei. ¿£*. -Mail,.-ÜbO, - V. 8. - P. 8i-î4.

пространств С для всех ординалов и , которая была

реяэна автором в его совместной работе с А.В.Оськшщм [30] и, независимо, С.В.Кксляковым [_31] .

В § 2 главы П. ш даем полную классификацию компактных отрезков ординалов относительно М - и Ч-- эквивален-тностей. Как и для счетных орданалов, она совпадает с классификацией относительно линейных гомеоморфизмов банаховых пространств С С1, «АЗ I данной в [30, 31]. Таким образом, имеем

Я (и, ^ г Р (с 1, р]) С р и, а] к с р <ч, ¡о с £1, А] к с П, .

Каядая из этих эквивалентаостей имеет место тогда и только тогда, когда выполнены некоторые неравенства меяду об и р . Из этих неравенств следует, что для несчетного-регулярного карда-нала "X пространство СрС1ДЗ не является линейно гомеомор-фннм своему квадрату. Следующий результат (являющийся соединением теорем П.4.5, П.4.9 и П.4.15) значиташю усиливает это утверждение.

Теорема. Пусть пространство Е есть либо пространство Сс*,«^ с одной из '^рех топологий: СГр , ^ или СГт , либо пространство Са,^] с одной из топологий: СГр или

. Тогда все конечные степени пространства Е попарно не ■гомеоморфны между собой.

(Заметим, ЧТО ДЛЯ С т, Ш,^!] вопрос о справедливости аналогичного утверждения остается открытым).

Из этой теоремы следует, что пространство СрС1,и>Аз не гомеоморцио своему квадрату, что дает отрицательный ответ

[30] 1Улько С.П., Оськин А.В., йункциол. анализ и прил. - 1975. - Т. 9., й I. - С. 61-62.

[31] кисляков с .в.- с;,г:: ют5. - т. к. - с. 223-300.

на проблему J." 22 из обзора Л.Б.Архангельского [32]. Аналогичный факт дан пространства СуДц^] является решением известной проблэггы Х.Корсона, поставленной в статье [2]. Пример компакта с такими ке свойствами был одновременно и независимо построен З.Марчи'иевскнм [33] , однако заметим, что его пример и схема рассуждений в корне отличается от наьтпх. В.Марчшевсгаы использует одну идею Р.По;ш, которая заключается в том, что с помощью леммы Цермело нумеруются ординалами все отображения, которые в принципе могли бы стать гомеоморфизмами Е на Е * Е и затем каждое из них "убивается" специальным выбором точек для подпространства Е . Идея нашего доказательства совершенно другая, и она имеет в своей основе спектральную теорему Е.В.Щепина [34]|. Напрямую применить эту теорему нельзя, так как в ней рассматриваются непрерывные обратные спектры, а пространства непрерывных функций в такие спектры не разлагаются, однако оказалось возможным использовать общую схему расоуждепий, с ней связанных. Подчеркнем, что в нашем доказательстве лети Цермело не используется.

Ii продолжение обсуждения свойств пространств непрерывных функций на отрезках ординалов приведем формулировку следующей теоремы. . ■ ,

Теорема П.3.1, Если X - счетный бесконечный компакт, то Cf(К) ~ с0 .

Следовательно, все счетные бесконечные компакты и-эквивалентны между собой. Отсюда вытекает, что Е - и к- экви-

[32] Архангельский A.B., У!.И. - 1378. - Т. 33,." 6. - С. 29-84. [из] Mfrtcisaewskl \Х/. , $Ы;а тай. - 1388. - V, 8S, l/Z. -Р. Ш -

(34] L;einiii S.U., УТИ. - 1976. - Т. 31, Уи 5. - С. 191-226.

валентности различаются и, значит, первая вертикальная стрелка на нашей схеме необратима, - это ответ на вопрос Л.В.Архангельского [35] .

Рассмотрим теперь вопрос сохранения размерности, имеющий очень большую предысторию. С.Банах в 30-х годах поставил проблему: будут ли банаховы пространства непрерывных функций на отрезке и квадрате линейно гомеоморТшы? Как известно, Л.А.Милютин [36] на эту проблему дал положительный ответ, '¿ели пойти по нашей схеме с другой стороны, то надо напомнить результат М.И.Граева [ïo] : из топологического изоморфизма F(X) Si F (У) для метрических компактов X. и (J следует равенство, <1ы Х-Jim M , где dim- - обычная топологическая размерность.

Сведущий важный шаг сделал Д. С. Павловский, который обобщил теорему Л.И.Граева и доказал, что если 1 и У - локально компактные метрические или полные сепарабеяыше метрические пространства и Ср (X) ~ Ср(У) , то Jim. X — Jim \J . А.В.Архангельский и Л.Г.Замбахидзе получили обобщения теорем! Павловского на более широкие классы топологических пространств, в частности, па класс всех компактов. Наконец, 13.Г,Пестов [37] усовершенствовал методы всех своих предшественников и снял все ограничения, показав, что для произвольных вполне регулярных пространств X и.У. из Ср (.X.) СР(У) следует Jim Х = Jim У,

[35] tocKa«|efekLl A.V., tîan.Topei. anJ Mai. Moi АиЛ. aJ

A^cêta, S. BetCu. -49*5. - P. Zh-ЪЬ, [Зб| Милютин A.A., Теория функций, шушец. анализ и прпл., '.' '¿, - Харьков, 1966. - С. I50-J36.

• [37] Пестов И.Г., ДО! CÜCP. - 1982. - T. 26G, .'Г- 3. - 0. 553556.

Мы же "смещаемся" па нашей схеме еще на одну ступеньку и доказываем следующий более общий результат.

Теорема 11,3.7. Если X. , У - вполне регулярные пространства IÏ Ср(Х-) ~ С р (.У) , ТО dim X. = сктУ

Вопрос о сохранении размерности при i - эквнвалептостях . остается открытым,

Б [35] A.B.Архангельским была сформулирована задача - coà-раняется ли свойство кошакгности отношением t - эквивалентности? Известно, 4r.-'j для к. - эквивалентностен это так 13.В. Успенский [зв] ), В <j 5 главы П ш показываем, что ответ на вопрос А,В,Архангельскего отрицателен в очонь широком классе топологических пространств.

Теорема ГТ.5,4, Если пространство X содержит сходящуюся последовательность, то Ср(Х) Л IR43 * Ср(Х) (эквивалентно, X ~ А/ ® X ).

Отсюда слезет также, что шесняя вертикальная стрелка в нашей схеме не полет бить обращена. Кроме того, в качества следствия нетрудно получить, что имеют место гомеоморфизмы

CpC0,i] £ CpU) ~ (CpLo,!])^

значит, сегмент Со, 1"] и вещественная прямая (R яаляится t - эквивалентна!. Небольшая модификация нашх рассупдешш позволяет доказать гомеопорфизмп Cf(lR,>l) ~ Ср ( [о, l]11)— (Ср l]"-') ) . Аналогичным образом мл устанавливаем гомеоморфность пространства его счетной степени . (C,s(X))w для многих пространств X : дал компактных полиэдров, компакта „юнгора 1% и др.

о

(yüj Успенский 3.3., 7.Л. - IÜÖ2. - Т. 3?, 4. - С.183-134.

Б 5 5 обсуждается такхе следующая теорема, полученная автором совместно с Т.Дзбровольсюш и Ь.ыогильскш:

Теотзема П.5.14. Если X. - счетное метрическое недискретное пространство, то С ? (X) ~ с0

Следовательно, любое счетное метрическое недискретное пространство I - эквивалентно простейшему компакту - сходящейся последовательности вместе с ее пределом.

Дтя нелетрпзуемшс счетных: пространств классификационная картина гораздо более запутана п результатов в этом направлении пока мало. Особо иуцко выделить, по-видимому, счетные пространства с единственной неизолированной точкой. Б диссертации рассматривается классификация относительно Е - эквивалентности пространств вида ^ - А/ и , где ] - свободный ультра-

фильтр на натуральном ряде л/ , причем окрестностями точки | являются всевозможные множества вида А , Ае ^ , Дока-

зана следующая

Теорема П.1.23. С р (АЦ ) ~ С р (^ I;) тогда и только тогда, когда ультрафильтры и ^ эквивалентны (то есть существует перестановка натурального ряда, дереводящая элементы из ^ в элементы из ^ )•

Как следствие, мы получаем, что существует ровно ¿с , где <1 - мощность континуума, попарно линейно не гомеоморфиых сепарабелышх метрических локально выпуклых пространств со свойством Бэра. Кроме того, мы показываем, что каядое такое пространство Ср(^) не является линейно гомеомор^ным своему квадрату.

Из других результатов главы П отметим так::е теорему П.1.28, в которой доказывается, что свойство локально,! компактности сохраняется отношением I - эквивалентности в классе метрнзуемше

трострапств. В общем случав, как .заметил еще «I.И.Граев [ю] , гокальнал компактность не сохраняется дане отношением M -экви-залентности.

Основные результаты .диссертации опубликованы в следущих работах:

Гулько С. П. О свойствах множеств, леяащих в -произведениях //ДДН СССР. - 197?. - Т. 237, J,= 3. - С.505-508. Ï. Гулько С.П. О свойствах некоторых оЧункциональннх пространств //ДАЛ СССР. - 1978. - Т. 243, Л 4. - С.839-842. i. Гулько С.II. О структуре пространств непрерывных функций и их наследственной паракомпактности //ЯН. - 1979. - Т. 34, !• 6. - С. 33-40. i. Гулько С.П. О свойствах функциональных прострапств//Соминар

но общей топологии."- М. : Изд-во МГУ. - 1981. - С.8-41. !. Гулько С.П. О пространствах непрерывных функций на компактах Корсона //. У Тираспольский симпозиум по общ. топологии ' и прил. - Кишинев. - 1985. - С.69\ i. Гулько СЛ., Хмнлева'Т.Е. Компактность не сохраняется отношением t - эквивалентности // Llaiek. заметки. - 1986. -Т. 39, J5 6. - С. 895-903.

Гулько С.И., Окунев О.Г. Локальная компактность и И-эквивалентность //Вопросы геометрии и топологии. - Петрозаводск: Изд-во ПГУ. - I98G. - С.14-23. . Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости //Топологическая алгебра. - Кишинев: Штиишта, - IS80. - С. 20. . Гулько С.Г. Пространства непрерывных функпгл на ордтаалах я

- 24 -

ультрафильтрах// Штем. Зш»;етки.- I9S0.- Т. 47, К 4.-G. 26-34.

4.0. QjlVo S. Р. ТКе üpíiCf. СрСX) fot

influí-le согарлсА X u¡ú (ettuílj ta«¿4ovuoxplúc- io <W/

ÍWd. РД, Síi. itx. niá. - 1388.-V. 36, p. ¿ai -заь,

11. apgHo^eísk-L T. , QÁWo s. P. í tíXogiPskv J. Fu.ftdi.ovi i^acts l-icmíoíuotplúc Ь 'tW ceuvvta^e

4 // ТорЛ. auJ Afpf.r-mo.-V.a4.-

R 153 -1&0.

Подписано к печати &.0Ч-9/

Бумага типографская Формат 60x84 1/16.

П,л. Я.уч- Ksan.n. /:7.3о.кав -tqn . Тираж 100.

УОП ТГУ, Томск, 29, Никитина,4.