Вещественнозначные функции на тихоновских пространствах и описываемые ими топологические свойства и объекты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КАРАВАЕВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА

ВЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТИХОНОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ И ОПИСЫВАЕМЫЕ ИМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ОБЪЕКТЫ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПАСЫНКОВ Борис Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук СИПАЧЕВА Ольга Викторовна

доктор физико-математических наук, профессор ШАПИРО Борис Леонидович

Ведущая организация — Томский государственный университет

Защита состоится « а 2005 г. в № часов на заседании

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан 200 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Карасев Г. А.

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе исследуется вопрос: какие топологические свойства тихоновского пространства X можно описать при помощи множества всех непрерывных отображений из X в К, а также некоторых его подмножеств, наделенных той или иной структурой (как топологической так и алгебраической).

Мы рассматриваем тихоновские пространства. Множество непрерывных отображений из пространства X в пространство У обозначаем С(Х, У). В случае, когда У = К, вместо С(Х, К) пишем С(Х).

Важность рассмотрения пространства отображений в определенной мере вызвана тем, что отображения представляют собой наиболее общий способ сравнения математических объектов. При фиксированных пространстве X и пространстве У можно получать различные пространства отображений в зависимости от того какую естественную топологию рассматривать на множестве С(Х, У). Если образ У имеет дополнительно некоторую алгебраическую структуру, согласованную с топологией (например, если У = К), то и на пространстве отображений возможно введение дополнительной алгебраической структуры. Это открывает возможность "сортировать" свойства пространства X в соответствии с тем, какими тополого-алгебраическими свойствами пространства С(Х, У) они определяются. Так же полезным оказывается рассмотрение не всего множества отображений из X в У, а некоторых его подмножеств, выделяемых спецификой рассматриваемой ситуации. Например, множества всех непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства X в топологическое векторное пространство У, множества всех непрерывных гомоморфизмов топологического кольца X в топологическое кольцо У и т. д. Рассматривая топологические пространства и некоторые их пространства отображений естественно задаваться следующими общими вопросами:

1. Какие свойства пространства X характеризуются множеством отображений из Xв 2 (или некоторым его подмножеством), наделенным той или иной тополого-алгебраической структурой?

2. Пусть множества С(Х, 2) и С(У, 2) (или некоторые их подмножества), наделенные той или иной

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I

либо смысле одинаковы. Какие свойства пространств X и У будут тогда общими?

Например, если кольцо С(Х) наделить топологией равномерной сходимости, и рассмотреть полные подкольца этого топологического кольца, то при их помощи можно описать все бикомпактификации пространства X см., например, [15, 3.12.21(е)], [6], в том числе и стоун-чеховскую биком-пактификацию.

Согласно результату Гельфанда и Колмогорова [5], из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и C(Y) бикомпакных пространств X и У следует гомеоморфность пространств Xи У. Более того, Гиллман и Джерисон [7] доказали, что из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и C(Y) произвольных тихоновских пространств X и Y следует гомеоморфность их хьюиттовских расширений vX и vY.

Теорема Нагаты [11] говорит о том, что топологический кольцевой изоморфизм топологических колец С(Х) и C(Y), рассматриваемых в топологии поточечной сходимости, влечет гомеоморфность пространств X и Y.

В 1980 году, развивая методы теории свободных топологических групп, разработанные М. И. Граевым в [8], Д. С. Павловский [12] показал равенство dimX = dimY для /-эквивалентных пространств X и Y, если оба они локально бикомпактные метризуемые или полные сепарабель-ные метризуемые (пространства X и У называются /-эквивалентными, если пространства СР(Х) и C(Y) всех непрерывных функций в топологии поточечной сходимости линейно гомеоморфны). В дальнейшем этот результат неоднократно обобщался. А. В. Архангельский [3] распространил его на бикомпактные пространства. Л. Г. Замбахидзе [10] установил, что /-эквивалентность влечет совпадение размерностей dim двух пространств в классе полных по Чеху чешуйчатых нормальных локально вполне пара-компактных пространств. В 1982 году В. Г. Пестов [14] установил эту теорему для произвольных /-эквивалентных тихоновских пространств. В 1992 году С. П. Гулько [9] доказал, что равенство dimX = dim Yдля тихоновских пространств X и Y верно даже в том случае, когда пространства СР(Х и C(Y) равномерно гомеоморфны.

Наряду с результатами о равенстве размерности был получен также ряд результатов о «взаимном расположении» пространств, пространства функций которых, в том или ином смысле одинаковы. Пестов в [14] пока-

зал, что если тихоновские пространства X и У слабо /-эквивалентны (т.е. вкладываются в качестве слабых базисов в одно и то же топологическое пространство, в частности /-эквивалентны), то пространство X (равно как и У) является объединением счетного числа своих подпространств Х{,г € Н, причем для каждого г € N и х £ Х{ существует открытая в Xi окрестность О точки х, являющаяся объединением конечного семейства своих замкнутых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно подпространству У. Если при этом сетевой вес пространства X счетен, то каждое Хх типа в У. Ю. А. Буров [4] показал, что если совершенные наследственно субпаракомпактные пространства X и У слабо /-эквивалентны, то пространство X есть тело а-дискретной системы своих замкнутых подмножеств, гомеоморфных замкнутым подмножествам пространства X. Там же было установлено равенство размерностей Ind для слабо /-эквивалентных совершенно нормальных субпаракомпактных пространств. Гулько в [9] доказал, что если для тихоновских пространств X и У со счетной базой пространства СР(Х) и С (У) (или даже некоторые их «хорошие» подмножества) равномерно гомеоморфны, то пространство X (равно как и У) является объединением счетного числа замкнутых множеств каждое из которых гомеоморфно некоторому подмножеству пространства У.

Цель диссертационной работы. Выяснить связь между свойствами топологического пространства X и различными подмножествами пространства С(^,Б), снабженного той или иной тополого-алгебраической структурой.

Основные задачи. Распространить перечисленные выше результаты на функции, принимающие значения не во всей вещественной прямой, а только в тех или иных ее подмножествах.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим важнейшие из них.

1. Обобщена теорема Вейерштрасса-Стоуна, что позволило получить описание всех 5-тихоновских бикомпактификаций ^-тихоновского пространства.

2. Получено обобщение теоремы Нагаты на случай 5р-изоморфных и ^-изоморфных пространств. Дано описание всех ^-изоморфизмов между

пространствами С(Х,Б) и С/У,Б).

3. Получен критерий гомеоморфности ¿-тихоновских отображений.

4. Доказано равенство размерностей нормальных ¿-тихоновских пространств X и Г с а -дискретной сетью, имеющих равномерно гомеоморф-ные пространства функций Ср(Х,3) и Ср(У,5)

Методы исследования. Используется метод диагональных произведений, метод слабых базисов Павловского-Пестова, метод разложений Гулько.

Торетическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях топологических пространств при помощи пространств функций, а также при чтении специальных курсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ; на спецсеминаре проф. Б. А. Пасынкова и доц. К. Л. Козлова по теории размерности и топологическим произведениям; на топологической конференции «Александровские чтения» (МГУ, 2003 г.); на 3-й Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (Киров, 2004г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из терминологических замечаний, введения, четырех глав и списка литературы, включающего 32 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Она изложена на 77 страницах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор результатов, относящихся к теме работы и изложены основные результаты диссертации.

Всюду ниже под пространством понимается топологическое пространство, под функцией — непрерывное вещественнозначное отображение.

Первая глава диссертации посвящена изучению свойств множества С(Х, Б) всех непрерывных Б-значных функций, наделенного топологией

равномерной сходимости, в ней получено описание всех 5-тихоновских би-компактификаций 5-тихоновского пространства при помощи специальных подмножеств пространства С(Х, S).

Параграф 1.1 посвящен обобщению следующей теоремы.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Если кольцо R непрерывных вещественных функций на бикомпактеX содержит все постоянные функции, разделяет точки пространстваXи замкнуто относительно топологии равномерной сходимости, то Я совпадает с кольцом всех непрерывных вещественных функций на X.

В связи с этой теоремой возникают следующие вопросы. Во-первых, насколько существенно в данном случае то, что область значений рассматриваемых отображений составляет все множество действительных чисел.

Оказывается, что в качестве области значений достаточно брать хорошие, в некотором смысле, подмножества действительных чисел, а именно все подполя поля действительных чисел, а также неотрицательные части этих подполей. Приведем точное определение.

Определение 1.1. Подмножество S поля действительных чисел К будем называть полугрупповым кольцом если

(a) х + у, х • у € 5 для всех х, у € 5;

(b) х - у € 5, если х,у € 3 я х - у ^ 0-,

Например, полугрупповыми кольцами будут множества К, О, Од

Множество 5\{0} будем обозначать 3* Во-вторых, возникает вопрос насколько необходимым условием является наличие структуры кольца на рассматриваемых подмножествах пространства всех непрерывных вещественнозначных функций. Определим SW-подмножества (подмножества Стоуна-Вейерштрасса) пространства С(Х, S) всех непрерывных S-значных функций на пространстве X следующим образом.

Определение 1.2. Пусть S есть полугрупповое кольцо. Подмножество Ш пространства С(Х,8) будем называть SW-подмножеством, если

(1) 1 € \У (т.е. функция, тождественно равная 1, принадлежит Ш);

(2)af, f + ct€W для любых a € S и / € W;

(3) (sup f — f) EW для любой f £W, такой, что sup / £ 5;

(4) max (/,#), min (/,<?) € W для любых £ W;

(5) W разделяет точки и замкнутые множества пространства X (т.е. для любых точки х Q X и замкнутого множества F в X, х £ F, существует отображение такое, что

Главным результатом параграфа 1.1 является следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть X — бикомпакт u S — полугрупповое кольцо. Если W является SW-подмножеством пространства C(X, S), то W плотно в C(X, S).

Доказательство этой теоремы для случая S = Rq и несколько более широкого набора операций, относительно которого SW-подмножество замкнуто, было получено ранее Е. Деменковой и Б. Пасынковым.

Определение 1.4. Пусть У — топологическое пространство. Пространство X назовем Y-тихоновским, если

(а) для любых двух различных точек Х\,Х2 £ X существует отображение / € C{X,Y) такое, что f(Xl) ф f(x2);

(б) для любого замкнутого множества и любой точки существуют замкнутые в X множества Fi и отображения /,• £ С(Х, У),

i = 1,..., n, такие, что F С (J Fi и /.(ж) £ ci/,(F,)-

Произведение любого количества Y-тихоновских пространств снова будет Y-тихоновским пространством.

В случае, когда S = R или S = Rq понятие S-тихоновского пространства совпадает с понятием тихоновского пространства.

Бикомпактификацию пространства будем называть S-бикомпактифи-кацией, если она является S-тихоновским пространством.

параграф 1.2 посвящен описанию всех S-бикомпактификаций S-тихо-новского пространства, где S — полугрупповое кольцо. Отправной точкой этого параграфа является следующая теорема.

Теорема (М. Стоун, И. Гельфанд, А. Колмогоров). Существует взаимно однозначное соответствие между всеми полными кольцами функций на тихоновском пространстве X и всеми бикомпактифи-кациями пространства X. (См., например, [15, 3.12.21(е)], [5], [6].)

Под полным кольцом функций на тихоновском пространстве X понимается кольцо Р С 0*(Х), содержащее все постоянные функции, разделяющее точки и замкнутые множества пространства X и замкнутое в С*{Х) относительно топологии равномерной сходимости.

В нашем случае аналогом понятия кольца, содержащего все постоянные функции и разделяющего точки и замкнутые множества является понятие SW-подмножества. Соответственно, нам потребовалось ввести некоторый аналог множества С*(Х) всех ограниченных функций. Заметим, что функция ограничена тогда и только тогда, когда есть

бикомпактное множество. Адекватным оказалось следующее определение. Определение 1.3. Для S С R, пространство С C(X,S) определим как множество S(X) = {/: X —> S : cl(f(X)) есть бикомпакт} с метрикой p{f,g) = sup{|/(x) -<?(ж)| : х € X}, f,g £ S(X). Очевидно, что топология, индуцированная этой метрикой совпадает с топологией равномерной сходимости, индуцированной пространством С(Х, S).

В случае пространство S(X) совпадает с простран-

ством С*(Х) всех ограниченных функций (пространством С+(Х) всех ограниченных неотрицательнозначных функций).

Основным результатом этого параграфа является Теорема 1.2. Существует взаимно однозначное соответствие у между множеством SW(X) всех замкнутых SW-подмножеств пространства S(X) и множеством SC(X) всех S-тихоновских бикомпактификаций пространства X, такое, что для любого SW-подмножества R € SW(X), функции из R и только они могут быть непрерывно продолжены до функций из С(<р(R),S).

Теорема Стоуна - Гельфанда - Колмогорова является частным случаем теоремы 1.2 при S = R.

При имеем для любого тихоновского

пространства X и, дополнительно, если то

и Qq X = — максимальная 0-мерная бикомпактификация про-

странства X.

Как следствие теоремы 1.2 при S Rq , например, при S = Q или Q'g, получаем описание всех нульмерных бикомпактификаций пространства X: Следствие 1.4. Пусть S ^ Rg. Тогда существует взаимно однозначное

соответствие (р между множествомвсехзамкнутыхБЖ-подмножеств пространства Б(Х) имножеством всехнульмерныхбикомпактификаций пространства Xтакое, что длл любого замкнутого БЖ-подмножества Я € 3(Х) функции из Я и толъко они могут быть непрерывно продолжены на <р(Я)

Во второй главе диссертации получены различные обобщения теоремы Нагаты. Пространство С(Х, Б) здесь рассматривается в топологии поточечной сходимости.

Определение. Топологией поточечной сходимости на множестве С(Х, У) называется топология, базу которой образуют множества вида

где Х1,...,Хк й X, [/].,...,— открыты в У, к € N. Множество С(Х,У) с топологией поточечной сходимости обозначают Ср{Х,У). Вместо Ср(Х, К) пишут СР(Х). Для сокращения записи вместо Ср(Ср(Х, У), У) будем писать

Одно из самых важных преимуществ топологии поточечной сходимости перед топологией равномерной сходимости и многими другими топологиями отражено в следующей замечательной теореме Нагаты.

Теорема (Дж. Нагата [11]). Топологические кольца С(Х) и СР(У) тихоновских пространств X и У топологически изоморфны тогда и только тогда, когда пространства X и Угомеоморфны.

Таким образом, топологическое кольцо СР(Х) несет в себе полную информацию о свойствах пространства X.

В этой главе мы распространяем теорему Нагаты на случай Б-значных отображений и ослабляем требования, накладываемые на алгебраическую структуру С/Х).

Определение 2.2. Непрерывное отображение а : СР(Х,3) ->• СР(У, 5)

назовем Бр-гомоморфизмом, если для любой постоянной функции а € и любых

(1М1) = 1;

(2)<т(а/ + д)=аа(/) + а(дУ,

(3) <т(тах(/, д)) = тах^

Если при этом а — гомеоморфизм, то будем говорить, что а есть Бр-изоморфизм.

Место ¿"-изоморфизмов выявляет следующее утверждение.

Предложение. Пусть д есть топологический изоморфизм топологических колец Ср(Х) и Ср(У). Тогда а будет изоморфизмом для Б — Ж..

Основным результатом первого параграфа этой главы является следующая теорема, обобщающая теорему Нагаты.

Теорема 2.1. ¿-тихоновские пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует ¿-изоморфизм <Г : Ср(Х)З) -Ь Ср(У,3).

Естественно возникает вопрос, можно ли еще уменьшить список требований, накладываемых на гомеоморфизм пространств С/Х, ¿) и СР(У, ¿), так, чтобы из существования такого гомеоморфизма все еще следовала гомеоморфность пространств X и У. Оказалось, что в случае, когда 5 С К(5", достаточно требовать выполнения свойства (2) из определения 2.2

Далее пространство С(Х, ¿) рассматривается как аналог топологического линейного (векторного) пространства. Поскольку £ не обязательно поле, то в обычном смысле СР(Х, ¿) может и не являться топологическим векторным пространством. Поэтому потребовалось следующее определение.

Определение 2.5. Ь называется полугрупповым векторным пространством над полугрупповым кольцом ¿, если в Ь определены операции сложения и умножения на элементы (скаляры) из удовлетворяющие следующим условиям:

3. Существует элемент 0 £ Ь такой, что х + 0 = X для любого X £ Ь\

4. 1-х = х;

5. а(/3х) = (а/3)х;

6. (а + /3)х = ах + 0х;

7. а{х + у) = ах + ау.

Определение 2.6. Подмножество X полугруппового векторного пространства Ь над £ называется алгебраическим базисом Ь, если произвольный ненулевой элемент представляется в виде конечной линейной

комбинации

единственным с точностью до порядка следования слагаемых способом. Определение 2.7. Полугрушювое векторное пространство L над S называется топологическим полугрупповым векторным пространством надS (кратко S-ТПВП), если L — топологическое пространство, топология на S индуцируется из R и

(1) отображение (х,у) х + у пространства L х L в L непрерывно.

(2) отображение (а, х) Н- ах пространства S X L в L непрерывно. Пространство C(X,S) есть топологическое полугрупповое векторное

пространство над S.

Изначально целью исследования полугрупповых векторных пространств было получение аналога и обобщения теоремы Пестова [14].

Напомним, что пространства X и Y называются /-эквивалентными, если пространства непрерывных функций С(Х) и C(Y) линейно гомео-морфны.

Теорема (В. Г. Пестов) Для /-эквивалентных тихоновских пространств X и Y их размерности dimX и dim Y совпадают.

Эта теорема завершила усилия целого ряда топологов, получивших предварительные результаты различной степени общности.

Как оказалось, полученный нами результат для случая полугрупповых векторных пространств над коренным образом отличается от

сформулированного выше результата Пестова и имеет непосредственное отношение к теореме Нагаты.

По аналогии со случаем топологических линейных пространств дадим следующее определение.

Пусть L есть 5-ТПВП, X С L и Ва(Х) = {0}. Через В„(Х), п € N,

обозначим множество всех , представляющихся в виде

Определение 2.9. Подпространство X топологического полугруппового векторного пространства Ь над Б назовем слабым топологическим базисом 7-, если X — алгебраический базис Ь и для всех п множества вида

ЛхЩ Н----+ Апип открыты в В[Х), если А; открыты в Б*, Ц открыты

в Xи ¿7,- П и) = 0при гф 2, i,j = !,... ,п.

Для топологических векторных пространств это определение впервые было явно сформулировано в работе [14] Пестовым, но в неявном виде использовалось еще Д. С. Павловским [12] при доказательстве некоторых частных случаев теоремы о совпадении размерностей /-эквивалентных пространств.

Основным результатом второй главы диссертации стали следующая теорема 2.2 и вытекающая из нее теорема 2.4.

Теорема 2.2. Пусть 5 С 1+ и Ь есть Б-ТПВП. Если X и У — слабые топологические базисы в Ь, то существуют однозначно определенные непрерывная функция 7 : X —I 5 и гомеоморфизм / : X У такие, что для любой точки х € X ее разложение по базису У имеет вид х = "¡(х) • Дх)

Определение 2.11. Непрерывное отображение а: Ь\ —Ь Ьъ топологических полугрупповых векторных пространств над 5 будем называть линейным, если для любых элементов и любого аеБ

Определение 2.12. Непрерывное линейное отображение а■: СР(Х, 5) -> Ср(У,5) будем называть Б-гомоморфизмом. Если при этом а является гомеоморфизмом, то будем говорить, что а есть Б-изоморфизм.

Определение 2.13. Пространства X и У назовем Б-эквивалентными, если существует Б-изоморфизм а : Ср(Х, 5) -> СР(У, 5) Теорема 2.4. Пусть £ С . Тогда Б-тихоновские пространстваXи У гомеоморфны тогда и только тогда, когда они Б-эквивалентны.

Как следствие теорем 2.2 и 2.4 получаем следующее описание всех Б-изоморфизмов между пространствами С(Х, Б) и С (У, Б): Следствие 2.4. Пусть 5 С Ед, пространства X и У являются Б-ти-хоновскими пространствами. Тогда любой Б-изоморфизм а: СР(Х, 5) —>

Cp(Y, S) однозначно задается гомеоморфизмов : X —ï Y и непрерывным отображением-) S*, а именно, для любого отображения f € Ср(Х, S) его образ af есть f • (/ о А-1).

Далее устанавливается, что сужение любого топологического изоморфизма топологических колец СР(Х) и CP(Y) на Ср(Х, Rq ) и Cp(Y, Rq") всегда будет Rg'-изоморфизмом. Из последнего следует, что теорема Нагаты есть частный случай теоремы 2.4. Обратное неверно в том смысле, что не любой изоморфизм можно продолжить до топологического изоморфизма топологических колец С(Х) и CP(Y). Соответствующий пример приводится.

Б. А. Пасынковым в [13] было получено обобщение теоремы Нагаты на случай отображений. Так как теорема 2.4 обобщает теорему Нагаты, было бы интересно получить обобщение и этой теоремы на случай отображений. Этому посвящена третья глава диссертации.

Определение 3.1. Пространство X назовем S-хаусдорфовым, если для любых , существует отображение такое, что

<р{х) Ф <р{у)

Пусть фиксировано пространство Z с топологией 9'. Положим в =

Для непрерывного отображения положим

Если U,V £ 9 и V С U обозначим через ivuf тождественное вложение в , а через отображение , двойственное отображению iyUj. Система {Cp(X(U),S),juvf,U £ 9} образует предпучок S-ТПВП на Z. Обозначим его C (f,S).

Определение 3.2. Непрерывные отображения f:X Z и g: Y Z

называются гомеоморфными, если существует гомеоморфизм между f и g, т.е. гомеоморфизм А: X —> Y, такой, что f — g о А Определение 3.3. Непрерывное отображение /: X -+ Y назовем S-mu-хоновским, если

(a) д ля любого замкнутого в X множества F и любой точки я £ X\F существует окрестность О точки fie и непрерывное отображение (р: /-10 —ï S такое, что tp(x) = 1, <p(Ff\ f~l0) С {0},

(b) для любых z £ Z и х,у £ f~lz хотя бы у одной из точек х, у в X найдется окрестность, не содержащая другую точку.

Определение 3.4. Непрерывные отображения /: X Z и д: Y -4 Z назовем S-эквивалентными, если предпучки 5-ТПВП Cp(f,S) и Ср(<5Г^эквивалентны, т.е. существует семейство S-изоморфизмов о-у: CP(X(U),S) CP(Y(U),S), U 6 0 таких, что oyojuvf = juyg осту для всех V,U Ев, V CU.

Теорема 3.2. Пусть S С Kq и даны S-тихоновские отображения f'.X—^Zu g'.Y-^Z S-хаусдорфовыхпространствXи Y в Т-про-cmpaнcmвoZ. Эти отображения, гомеоморфны тогда и только тогда, когда f u gявляются S-эквивалентными.

Перейдем к четвертой главе.

Так как СР(Х) является топологическим векторным пространством, то оно наделено естественной равномерной структурой и очевидно, что линейные гомеоморфизмы являются равномерными гомеоморфизмами. Существует следующее обобщение теоремы Пестова, принадлежащее С. П. Гулько [9].

Теорема. (С. П. Гулько) Если для тихоновских пространств Xи Y пространства СР(Х) и CP(Y) равномерно гомеоморфны, то dimX = dimY.

В частности, в [9] доказана следующая теорема.

Теорема. (С. П. Гулько) ПустьX, Y — пространства со счетной базой и Е(Х), E(Y) — некоторые QS-алгебры на них, Тогда dimX = dimY, более того, если Е(Х) равномерно гомеоморфно E(Y), то пространство X (соответственно Y) представимо в виде счетного объединения замкнутыхподмножеств, которые гомеоморфно вкладываются в пространство Y (соответственно X).

Здесь под QS-алгеброй понимается подпространство Е(Х) С СР(Х) такое, что: а) если f,g £ Е(Х), а £ Q, то элементы вида / + <?)/•<?) и af принадлежат Е(Х); б) для любой точки х и любой ее окрестности U существует функция / 6 Е(Х) такая, что f\x\v = {0}, f(x) = 1.

Четвертая глава посвящена обобщению последней теоремы, касающееся случая нормальных S-тихоновских пространств, обладающих сг-дис-кретной сетью. А именно, доказана теорема 4.1.

Определение 4.1. Подмножество E(X,S) С C(X,S) будем называть QS-множеством, если для любых различных точек xi,...,xn € X, от-

крытого в X множества V, различных точек £ V я чисел

ai,...,an,ai,...,a£ £ Q("l5 найдутся такие отображения /, /о £ E(X,S),

что

(1)/(г()риа,- i = 1,...,и;

(2) /о(я) = f{x) прих £Х \ V;

(3) /оЦ) = "j приi = 1,..., k.

Теорема 4.1. Пусть X, Y — нормальные S-тихоновские пространства, обладающие а -дискретной сетью, и Е(Х, S), E(Y, S) — некоторые QS-множества на них. Если E(X,S) равномерно гомеоморфно E(Y,S), то dimX — dimY, более того, пространство X (соответственно, Y) представило в виде а -локально конечной системы замкнутых множеств, каждое из которых топологически вкладывается в пространство Y (соответственно, X).

Отметим, что в случае нульмерности S для Х и Y из теоремы 4.1 выполнены равенства ind X = ind Y = 0. Однако уже среди несепарабельных метризуемых пространств существуют такие пространства X, для которых ind X = 0 < dimX (например, пример Роя).

Как следствие последней теоремы получаем следующие утверждения. Теорема 4.2. Пусть X, Y — метризуемые S-тихоновские пространства. Если равномерно гомеоморфно то dimX = dimY, более того, пространство X (соответственно Y) представило в виде cr-локально конечной системы замкнутых множеств, каждое из которых гомеоморфно вкладывается в пространство Y (соответственно X).

Теорема 4.3. Пусть X, Y — нормальные S-тихоновские пространства, обладающие а -дискретной сетью, и E(X,S), E(Y,S) — некоторые QS-множества на них. Если E(X,S) равномерно гомеоморфно E(Y,S), то Ind X = Ind Y.

В случае, когда S = Rg" верен следующий аналог теоремы Гулько. Теорема 4.4. Пусть X u Y — тихоновские пространства и пространства <7upf,Rj) и С„(У, Rq) равномерно гомеоморфны. Тогда dimX = dimY.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Б. А. Пасынкову за постановку задач, постоянную поддержку и помощь в работе. Автор

благодарен также доц. К. Л. Козлову за полезные обсуждения полученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. В. Архангельский, Топологические пространства функций. М.: МГУ, 1989.

2. А.В. Архангельский, Пространства функций в топологии поточечной сходимости. Часть 1. // Общая топология. Пространства функций и размерность. Ред.кол.: П.С.Александров (гл. ред.) и др. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

3. А. В. Архангельский, Принцип т-аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов, ДАН СССР, 1980, т.252, №4, с. 777780.

4. Ю. А. Буров, О топологии базисов топологических векторных пространств и свободных топологических групп. - диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1985.

5. И. М. Гельфанд, А. Н. Колмогоров, О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах, ДАН СССР, 1939, т.22, №1, с. 1115.

6. И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, Коммутативные нормированные кольца, УМН, т. 1, №2, 1946 с. 48-146.

7. Gillman L., Jerison M., Ring of continuous functions, New York, 1960.

8. M. И. Граев, ИАН ССР, сер. математики, т. 12, №3, с.279-324.

9. С. П. Гулько, О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций. Труды Математического института РАН. 1992, т. 193. с. 82 - 88.

10. Л. Г. Замбахидзе, 0 соотношениях между размерностями и карди-нальнозначными функциями пространств, погружаемых в пространства специального вида. Сообщ. АН ГССР, 1998, т. 100, № 3, с. 557— 560.

11. J. Nagata, On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform spaces. Osaka Math. J. 1949. V. 1, №2. P.166 - 181.

12. Д. С. Павловский, О пространствах непрерывных функций, ДАН СССР, 1980, т.253,№1, с. 38-41.

13. В. A. Pasynkov, On a theorem of Nagata. Questions and Answers in General Topology. 1994. Vol. 12.

14. В. Г. Пестов, Совпадение размерности /-эквивалентных топологических пространств. ДАН СССР, 1982, т.266, №3, с.553-556.

15. Р.Энгелькинг, Общая топология, М., "Мир", 1986.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Т. V. Karavaeva, В. A. Pasynkov, On the Stone — Weierstrass Theorem. Questions and Answers in General Topology. 2003. V.21, №2, P. 177-180 (вклад автора 75%, 0,3 печ. л.)

2. Т. В. Караваева, Об одном обобщении теоремы Нагаты. Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник — 70 лет кафедре математического анализа МПГУ, 2004, с. 210-214.(0,3 печ. л.)

3. Т. В. Караваева, О гомеоморфизме слабых базисов. — Депонир. в ВИНИТИ, №891-В2004, 2004.(0,4 печ. л.)

4. Т. В. Караваева, Об одном критерии гомеоморфности отображений. — Депонир. в ВИНИТИ, М628-В2004, 2004.(0,6 печ. л.)

5. Т. В. Караваева, О равномерных гомеоморфизмах пространств Cp(X,S) непрерывных функций. — Депонир. в ВИНИТИ, №1629-В2004, 2004. (1 печ. л.)

Подп. к печ. 12.01.2005 Объем 1.0 пл. Заказ №. 2 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

1-1 392

Терминология и обозначения.

Введение

Глава 1. Описание всех й'-бикомпактификаций 5-тихоновского пространства.

§ 1.1. Обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса.

§ 1.2. Описание всех 5-бикомпактификаций 5-тихоновского пространства.

Глава 2. Различные обобщения теоремы Нагаты.

§2.1. «^-эквивалентные пространства.

§ 2.2. Гомеоморфизм слабых базисов, б'-эквивалентные пространства.

Глава 3. Критерий гомеоморфности 5-тихоновских отображений.

§ 3.1. Предварительные сведения.

§ 3.2. Критерий гомеоморфности 5-тихоновских отображений.

Глава 4. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций.

§4.1. Предварительные сведения.

§ 4.2. О равномерных гомеоморфизмах пространств

C£(X,S).

В диссертации исследуются тихоновские пространства при помощи топологических, линейных топологических и равномерных пространств непрерывных функций со значением в специальных подмножествах действительных чисел. Нас интересует вопрос: какие свойства пространства X определяются множеством всех непрерывных отображений из X в R (или некоторым его подмножеством), наделенным той или иной структурой (как топологической так и алгебраической). Рассматривая эту задачу, мы видим, что пространства X и C(X,S), где S С R, не равноправны: в то время как на X есть только топологическая структура, в С(X, S) имеют место естественные аналоги всех непрерывных алгебраических операций, определенных в S. Это открывает возможность "сортировать" свойства пространства X в соответствии с тем, какими тополого-алгебраическими свойствами они определяются.

Так, согласно результату Гельфанда и Колмогорова [9], для того, чтобы два бикомпакных пространства X и Y были гомеоморфны необходимо и достаточно, чтобы кольца С(Х) и C(Y) были алгебраически изоморфны. Более того, Гиллман и Джерисон [12] доказали, что из алгебраического изоморфизма колец С(Х) и С(У) следует гомеоморфность хьюиттов-ских расширений иХ и i>Y пространств X и Y.

Если кольцо С(Х) наделить топологией равномерной сходимости, и рассмотреть полные подкольца этого топологического кольца, то при их помощи можно описать все бикомпактификации пространства X (теорема Стоуна - Гельфанда - Колмогорова) см., например, [32], 3.12.21(e)], [10], в том числе и стоун-чеховскую бикомпактификацию.

Преимущество топологии поточечной сходимости отражено в фундаментальном результате Дж. Нагаты (J. Nagata) [23], которым изучение любых тихоновских пространств ставится в прямую связь с исследованием топологических колец функций (в топологии поточечной сходимости).

В 1980 году, развивая методы теории свободных топологических групп, разработанные М. И. Граевым в [13], Д. С. Павловский показал равенство dimX = dim У для локально бикомпактных метризуемых или полных сепарабельных метризуемых пространств X и У, если пространства Ср(Х) и Ср(У) всех непрерывных функций в топологии поточечной сходимости линейно гомеоморфны.

В дальнейшем этот результат был несколько обобщен (относительно класса рассматриваемых пространств) А. В. Арханангельский (см. [5]), Л. Г. Замбахидзе (см. [16]). В 1982 году В. Г. Пестов [28] установил эту теорему для произвольных тихоновских пространств. В 1992 году С. П. Гулько [14] доказал, что равенство dimX = dim У верно для тихоновских пространств X и У, пространства СР(Х) и CP(Y) которых равномерно-гомеоморфны.

Стимулом нашему исследованию послужили упомянутые выше результаты: теоремы Вейерштрасса-Стоуна и Стоуна-Гельфанда-Колмогорова, теорема Нагаты, теорема Пестова и теорема Гулько.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Если кольцо R непрерывных вещественных функций на бикомпакте X содержит все постоянные функции, разделяет точки пространства X и замкнуто относительно топологии равномерной сходимости, то R совпадает с кольцом всех непрерывных вещественных функций на X.

В связи с этой теоремой возникают следующие вопросы. Во-первых, насколько существенно в данном случае то, что область значений рассматриваемых отображений составляет все множество действительных чисел.

Оказывается, что в качестве области значений достаточно брать хорошие, в некотором смысле, подмножества действительных чисел, а именно все подполя поля действительных чисел, а также неотрицательные части этих подполей. Приведем точное определение тех подмножеств вещественной чисел, с которыми будем иметь дело.

Определение 1.1. Подмножество S поля действительных чисел R будем называть полугрупповым кольцом если a) х + у, х • у € S для всех ж, у G b) х — у £ S, если х,у е S VI х — у ^ 0] c) 1 € 5*; d) \eS, если х es\{ 0}.

Например, полугрупповыми кольцами будут множества Е, Eq" , Q, Qj.

Множество S\{0} будем обозначать S*. Во-вторых, возникает вопрос насколько необходимым условием является наличие структуры кольца на рассматриваемых подмножествах пространства всех непрерывных вещественнозначных функций. Определим SW-подмножества (подмножества Стоуна-Вейерштрасса) пространства C(X,S) всех непрерывных 5-значных функций на пространстве X следующим образом.

Определение 1.2. Пусть S есть полугрупповое кольцо. Подмножество W пространства C(X,S) будем называть SW-подмножеством, если

1) 1 € W (т.е. функция, тождественно равная 1, принадлежит W)\

2) af,f + aeW для любых а <Е S и / eW;

3) (sup / — /) 6 W для любой / е W, такой, что sup / 6 5;

4) max (/, g), min (/, g) G W для любых f,g &W;

5) W разделяет точки и замкнутые множества пространства X (т.е. для любых точки х € X и замкнутого множества F в X, х ^ F, существует отображение / € W такое, что f(x) ^ clf(F)).

К основным результатам диссертации относится следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть X — бикомпакт и S — полугрупповое кольцо. Если W является SW-подмножеством пространства C(X,S), то

W плотно в С(Х, S).

Доказательство этой теоремы для случая S = Rq" и несколько более широкого набора операций, относительно которого SW-подмножество замкнуто, было получено ранее Е. Деменковой и Б. Пасынковым.

Определение 1.4. Пусть У — топологическое пространство. Пространство X назовем Y-тихоновским, если a) для любых двух различных точек Х\,Х2 £ X существует отображение / е С{Х, У) такое, что f(xi) ф f(x2); b) для любого замкнутого множества F С X и любой точки х £ X, х £ F, существуют замкнутые в X множества F{ и отображения fi € С(Х, У), п i = 1,., п, такие, что F С (J Fi и fi(x) ^ clfi(Fi). г=1

Произведение любого количества У-тихоновских пространств снова будет F-тихоновским пространством.

В случае, когда S = R или S = понятие 5-тихоновского пространства совпадает с понятием тихоновского пространства.

Бикомпактификацию пространства будем называть 5-бикомпактифи-кацией, если она является 5-тихоновским пространством.

Второй параграф посвящен описанию всех 5-бикомпактификаций 5-тихоновского пространства, где 5 — полугрупповое кольцо. Отправной точкой этого параграфа является следующая теорема.

Теорема (М. Стоун, И. Гельфанд, А. Колмогоров). Существует взаимно однозначное соответствие между всеми полными кольцами функций на тихоновском пространстве X и всеми бикомпактификация-ми пространствах. (См., например, [32, 3.12.21, (е)], [10].)

Под полным кольцом функций на тихоновском пространстве X понимается кольцо Р С С*(Х), содержащее все постоянные функции, разделяющее точки и замкнутые множества пространства X и замкнутое в С*(Х) относительно топологии равномерной сходимости.

В нашем случае аналогом понятия кольца, содержащего все постоянные функции и разделяющего точки и замкнутые множества является понятие SW-подмножества.

Соответственно, нам потребовалось ввести некоторый аналог множества С*(Х) всех ограниченных функций. Заметим, что функция /: X —» R ограничена тогда и только тогда, когда clf(X) есть бикомпактное множество. Адекватным оказалось следующее определение.

Определение 1.3. Для S С R, пространство S(X) С C(X,S) определим как множество S(X) = {/: X -» S : cl(f(X)) есть бикомпакт} с метрикой p(f,g) = sup{|/(ar) - g(x)\ : х е X}, f,g е S(X). Очевидно, что топология, индуцированная этой метрикой совпадает с топологией равномерной сходимости, индуцированной пространством С(Х, S).

В случае S = R (S = Kg") пространство S(X) совпадает с пространством С*(Х) всех ограниченных функций (пространством С+(Х) всех ограниченных неотрицательнозначных функций) .

К основным результатом диссертации относится следующая теорема.

Теорема 1.2. Существует взаимно однозначное соответствие <р между множеством S'W(X) всех замкнутых SW-подмножеств пространства S(X) и множеством SC(X) всех S-бикомпактификаций пространства X, такое, что для любого SW-подмножества R 6 SW(X), функции из R и только они могут быть непрерывно продолжены до функций из C((p(R), S).

Теорема Стоуна - Гельфанда - Колмогорова является частным случаем теоремы 1.2 при S = R

При S = Kq~ имеем (p(S(X)) = <р(С+(Х)) = f3X для любого тихоновского пространства X.

Если ind X = 0, то для S = Q и S = Qq" бикомпактификация <p(S(X)) есть максимальная 0-мерная бикомпактификация пространства X.

Как следствие теоремы 1.2 при S ^ Rq", например, при S = Q или Q"q, получаем следующее описание всех нульмерных бикомпактификаций пространства X:

Следствие 1.4. Пусть S ^ Eg". Тогда существует взаимно однозначное соответствие </? между множеством всех замкнутых ЗТУ-подмножеств пространства S(X) и множеством всех нульмерных бикомпактификаций пространства X такое, что для любого замкнутого «SW-подмножества R G S(X) функции из R и только они могут быть непрерывно продолжены на (f{R).

Основные результаты, изложенные в первой главе диссертации опубликованы в [17].

В первой главе нашей диссертации мы рассматривали множество всех непрерывных функций С(Х, S) в топологии равномерной сходимости, эта топология является самой сильной из всех естественных топологий, определенных на функциональных пространствах. Далее мы будем рассматривать множества C(X,Y) в топологии поточечной сходимости.

Топологией поточечной сходимости на множестве С(Х, Y) называется топология, базу которой образуют множества вида W(xh.,xk;Uh.,Uk) = {/ G C(X,Y) : Да*) G Uiti = 1 ,.,&}, где Е X, Ui,.,Uh — открыты в У, к G N. Множество У) с топологией поточечной сходимости обозначают СР(Х, Y). Вместо СР(Х, R) пишут Ср(Х). Для сокращения записи вместо CP(CP(X,Y),Y) будем писать CPCP(X,Y).

Одно из самых важных преимуществ топологии поточечной сходимости перед топологией равномерной сходимости и многими другими топологиями отражено в следующей замечательной теореме Нагаты.

Теорема (Дж. Нагата [23]). Топологические кольца СР(Х) и CP(Y) тихоновских пространств X и Y топологически изоморфны тогда и только тогда, когда пространства X и Y гомеоморфны.

Таким образом, топологическое кольцо СР(Х) несет в себе полную информацию о свойствах пространства X.

Во второй главе мы решаем вопрос насколько существенно в теореме Нагаты наличие на СР(Х) именно структуры кольца.

Определение 2.2. Непрерывное отображение а : CP(X,S) —» CP(Y,S) назовем Бр-гомоморфизмом, если для любой постоянной функции a G СР(Х, S) и любых /, g G СР(Х, S) выполнены следующие условия: (1)^(1) = 1;

2)cr(af + g) = aa(f) + a(gy,

3) <т(тах(/, g)) = тах(ст(/), а(д)).

Если при этом а — гомеоморфизм, то будем говорить, что о есть Sp-изо-морфизм.

Место й'р-изоморфизмов выявляет следующее утверждение.

Предложение. Пусть д есть топологический изоморфизм топологических колец СР(Х) и Cp(Y). Тогда q будет Sp-изоморфизмом для S = М.

Основным результатом первого параграфа этой главы является следующая теорема, обобщающая теорему Нагаты.

Теорема 2.1. S-тихоновские пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует Sp-изоморфизм а : СР(Х, S) —> CP{Y,S).

Естественно возникает вопрос, можно ли еще уменьшить список требований, накладываемых на гомеоморфизм пространств СР(Х, S) и СР(У, S), так, чтобы из существования такого гомеоморфизма все еще следовала гомеоморфность пространств X и У. Оказалось, что в случае, когда S С , достаточно требовать выполнения свойства (2) из определения 2.2

Далее пространство Ср(Х, S) рассматривается как аналог топологического линейного (векторного) пространства. Поскольку S не обязательно поле, то в обычном смысле СР(Х, S) может и не являться топологическим векторным пространством. Поэтому потребовалось следующее определение.

Определение 2.4. L называется полугрупповым векторным пространством над полугрупповым кольцом S, если в L определены операции сложения и умножения на элементы (скаляры) из S, удовлетворяющие следующим условиям:

1. х + у = у + х;

2. (х + у) + z = х + (у + z);

3. Существует элемент 0 € L такой, что х + 0 = х для любого х £ L;

4. 1 • х = х\

5. а((3х) = (ар)х;

6. (а + Р)х = ах + /Зх;

7. а{х + у) = ах + ау.

В стандартном определении алгебраического базиса векторного пространства присутствует понятие линейно независимой системы векторов. Если это понятие применить в нашем случае при S С Eq", то, например, система векторов х+у, х+2у, х+Зу окажется линейно независимой. Таким образом, в нашей ситуации обычное понятие линейной независимости, а значит и понятие алгебраического базиса оказывается неадекватным. Поэтому мы нуждаемся в новом определении, которое в случае, когда наше полугрупповое векторное пространство является просто векторным пространством, давало бы обычное понятие алгебраического базиса.

Определение 2.5. Подмножество X полугруппового векторного пространства L над S называется алгебраическим базисом L, если произвольный ненулевой элемент х € L представляется в виде конечной линейной комбинации единственным с точностью до порядка следования слагаемых способом.

Определение 2.6. Полугрупповое векторное пространство L над S называется топологическим полугрупповым векторным пространством над S (кратко 5-ТПВП), если L — топологическое пространство, топология на S индуцируется из R и

1) отображение (ж, у) н-> х + у пространства L х L в L непрерывно.

2) отображение (а, х) н-»- ах пространства S х L в L непрерывно.

Пространство C(X,S) есть топологическое полугрупповое векторное п

Xi Gl, Xi ф Xj для % ф j, i,j — 1,2,. пространство над S.

Изначально, целью исследования полугрупповых векторных пространств было получение аналога и обобщения теоремы Пестова [28].

Напомним, что пространства X и У называются /-эквивалентными, если пространства непрерывных функций СР(Х) и CP(Y) линейно гомео-морфны.

Теорема (В. Г. Пестов) Для I-эквивалентных тихоновских пространств X uY их размерности dimX и dim У совпадают.

Эта теорема завершила усилия целого ряда топологов, получивших предварительные результаты различной степени общности.

Как оказалось, полученный нами результат для случая полугрупповых векторных пространств над S С Rq", коренным образом отличается от сформулированного выше результата Пестова и имеет непосредственное отношение к теореме Нагаты.

По аналогии со случаем топологических линейных пространств дадим следующее определение.

Пусть L есть S-ТПВП, X С L я В0(Х) = {0}. Через Вп(Х), п е N,

Определение 2.7. Подпространство X топологического полугруппового векторного пространства L над S назовем слабым топологическим базисом L, если X -— алгебраический базис L и для всех п множества вида

A\U\ Л-----Ь AnUn открыты в Вп(Х), если А{ открыты в S*,Ui открыты в X и Ui П Uj = 0 при i ф j, г, j = 1,., п.

Для топологических векторных пространств это определение впервые обозначим множество всех х е L, представляющихся в виде п ai е S, Х{ Е X, i = 1,2,.,п. было явно сформулировано в работе [28] Пестовым, но в неявном виде использовалось еще Д. С. Павловским [24] при доказательстве некоторых частных случаев теоремы о совпадении размерностей /-эквивалентных пространств.

Основными результатами второй главы диссертации стали следующая теорема 2.2 и вытекающая из нее теорема 2.4.

Теорема 2.2. Пусть S С и L есть S-ТПВП. Если X и У — слабые топологические базисы в L, то существуют однозначно определенные непрерывная функция j : X —> S и гомеоморфизм f : X —> Y такие, что для любой точки х € X ее разложение по базису Y имеет вид х — 7(x)f(x).

Определение 2.9. Непрерывное отображение a: L\ —> L2 топологических полугрупповых векторных пространств над S будем называть линейным, если а(ах + у) = аа(х) + а(у) для любых элементов х, у £ Ь\ и любого о: £ 5

Определение 2.10. Непрерывное линейное отображение о : СР(Х, S) —> CP(Y, S) будем называть S-гомоморфизмом. Если при этом а является гомеоморфизмом, то будем говорить, что о есть S-изомор-физм.

Определение 2.11. Пространства X и Y назовем S-эквивалентными, если существует й'-изоморфизм а : CP(X,S) CP(Y,S).

Из теоремы 2.2 в частности следует

Теорема 2.4. Пусть S С Rjj". Тогда S-тихоновские пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда они S-эквивалентны.

Как следствие теорем 2.2 и 2.4 получаем следующее описание всех 5-изоморфизмов между пространствами СР(Х, S) и CP(Y,S):

Следствие 2.4. Пусть S С Rq", пространства X и У являются 5-ти-хоновскими пространствами. Тогда любой .S-изоморфизм a: CP(X,S) —> CP(Y,S) однозначно задается гомеоморфизмом Л: X F и непрерывным отображением 7: X —> S*, а именно, для любого отображения / G 5) его образ af есть 7 • (/ о Л-1).

Далее устанавливается, что сужение любого топологического изоморфизма топологических колец СР(Х) и CP(Y) на СР(Х, Rq") и Cp(Y, Rq") всегда будет Rq"-изоморфизмом. Из последнего следует, что теорема Нагаты есть частный случай теоремы 2.4. Обратное неверно в том смысле, что не любой Rq"-изоморфизм можно продолжить до топологического изоморфизма топологических колец СР(Х) и CP(Y). Соответствующий пример приводится.

Б. А. Пасынковым в [26] было получено обобщение теоремы Нагаты на случай отображений. Так как теорема 2.4 обобщает теорему Нагаты, было бы интересно получить обобщение и этой теоремы на случай отображений. Этому посвящена третья глава диссертации.

Для произвольного пространства X доказывается существование аналога функтора Тихонова:

Теорема 3.1. Для любого пространства X существует S-тихонов-ское пространство тХ и непрерывное отображение тх'- X —тХ такие, что для любого непрерывного отображения <р: X —» Y существует непрерывное отображение тер: тХ —»• тУ со свойством ту о ср = (т<р) о тх

Определение 3.1. Пространство X назовем S-хаусдорфовым, если для любых х, у G X, х ф у существует отображение ср: X —> S такое, что <р(х) ф у{у).

Пусть фиксировано пространство Z с топологией в'. Положим 9 = в'\{0}.

Для непрерывного отображения f:X—*Z положим X(U) = /-1£/, U £ в. Если U, V G в и V С U обозначим через ivuf т0~ ждественное вложение X(V) в X(U), а через juvf отображение iyuf'- Cp(X(U),S) -» Cp(X(V),S), двойственное отображению iyuf- Система {Ср(Х(и), S),juvfiU € в} образует предпучок (см., например, [?]) Й'-ТПВП на Обозначим его Cp{f,S).

Определение 3.2. Непрерывные отображения f:X^-Zng:Y—±Z называются гомеоморфнымщ если существует гомеоморфизм Л: X -> Y, такой, что / = g о Л.

Определение 3.3. Непрерывное отображение /: X —» Y назовем S-тихоновским, если a) для любого замкнутого в X множества F и любой точки х G X\F существует окрестность О точки fx и непрерывное отображение (р: Г10 S такое, что <р{х) = 1, <p{F П /10) С {0}, b) для любых г 6 Z и х,у £ хотя бы у одной из точек х, у в X найдется окрестность, не содержащая другую точку.

Определение 3.4. Непрерывные отображения /: X —> Z и g:Y—>Z назовем S-эквивалентными, если предпучки б'-ТПВП Cp(f,S) и Cp{g, S) S-эквивалентны, т.е. существует семейство 5-изоморфизмов av: CP(X(U), S) -> CP(Y(U),S), U ев таких, что avojUVf = jUVg о av для всех V, U е 9, V С U.

Теорема 3.2. Пусть S С Rq~ и даны S-тихоновские отображения /: X —ь Z ug: Y Z S-хаусдорфовых пространств X и У в То-про-странство Z. Эти отображения гомеоморфны тогда и только тогда, когда fug являются S-эквивалентными.

Несложно доказывается следующее обобщение этой теоремы.

Теорема 3.3. Пусть S С и S-тихоновские отображения f-.X—Ь Z и g: У —» Z в То-пространство Z таковы, что для любой точки z € Z существует ее окрестность Oz для которой пространства X(Оz) и Y(Oz) являются S-хаусдорфовыми. Тогда отображения fug гомеоморфны тогда и только тогда, когда они S-эквивалентны.

Перейдем к четвертой главе.

Так как СР(Х) является топологическим векторным пространством, то оно наделено естественной равномерной структурой и очевидно, что линейные гомеоморфизмы являются равномерными гомеоморфизмами.

Существует следующее обобщение теоремы Пестова, принадлежащее С. П. Гулько [14].

Теорема. (С. П. Гулько) Если для тихоновских пространств X и У пространства СР(Х) и СР(У) равномерно гомеоморфны, то dimX = dim У.

В частности, в [14] доказана следующая теорема.

Теорема. (С. П. Гулько) Пусть Х,У — пространства со счетной базой и Е(Х), Е(У) — некоторые QS-алгебры на них. Если Е(Х) равномерно гомеоморфно Е(У), то dimX = dim У, более того, пространство X (соответственно Y) представило в виде счетного объединения замкнутых подмножеств, которые гомеоморфно вкладываются в пространство Y (соответственно X).

Здесь под (ЗЗ'-алгеброй понимается подпространство Е{Х) С СР(Х) такое, что: а) если /, g £ Е(Х), а. £ Q, то элементы вида / + g, / • д, и af принадлежат Е(Х)\ б) для любой точки х и любой ее окрестности U существует функция / £ Е(Х) такая, что f\x\u — {0}? f(x) — 1В нашей работе получено частичное обобщение последней теоремы, касающееся нормальных б'-тихоновских пространств, обладающих сг-дис-кретной сетью. А именно, доказана теорема 4.1, также являющаяся одним из основных результатов диссертации.

Определение 4.1. Подмножество E(X,S) С C(X,S) будем называть (55"-множеством, если для любых различных точек xi,.,xn £ X, открытого в X множества V, различных точек x[,.,x'k £ V и чисел а\,., ап, а[,.,а'к £ QnS' найдутся такие отображения /, /о £ Е(Х, S), что

1) f(xi) = щ при г = 1,.,п;

2) f0{x) = f(x) при х £ X \ V]

3) fo{x'j) = a'j при j — 1,., к.

Теорема 4.1. Пусть X, Y — нормальные S-тихоновские пространства, обладающие а-дискретной сетью, и Е(Х, S), E(Y,S) — некоторые QS-множества на них. Если E(X,S) равномерно гомеоморфно E(Y,S), то dimX = dimF, более того, пространство X (соответственно, Y) представило в виде а-локально конечной системы замкнутых лно-жеств, каждое из которых топологически вкладывается в пространство У (соответственно, X).

Отметим, что в случае нульмерности S для X и Y из теоремы 4.1 выполнены равенства ind X = ind У = 0. Однако уже среди несепарабель-ных метризуемых пространств существуют такие пространства X, для которых ind X = 0 < dimX (например, пример Роя).

Как следствие последней теоремы получаем следующие утверждения.

Теорема 4.2. Пусть X,Y — метризуемые S-тихоновские пространства. Если Cp(X,S) равномерно гомеоморфно Cp(Y,S), то dimX = dim У, более того, пространство X (соответственно У) представило в виде а-локалъно конечной системы замкнутых множеств, каждое из которых гомеоморфно вкладывается в пространство У (соответственно X).

Теорема 4.3. Пусть X, У — нормальные S-тихоновские пространства, обладающие а-дискретной сетью, и Е(Х, S), E(Y, S) — некоторые QS-множества на них. Если E(X,S) равномерно гомеоморфно E(Y,S), то Ind X = Ind У.

В случае, когда S = Eg* верен следующий аналог теоремы Гулько.

Теорема 4.4. Пусть X и У — тихоновские пространства и пространства CU(X, Rq~) и CU(Y, Kq") равномерно гомеоморфньг. Тогда dim X — dim У.

Эта работа выполнена под руководством проф. Б. А. Пасынкова, которому автор выражает самую глубокую благодарность за постановку задач, внимание и помощь. Автор благодарен также доц. К. JI. Козлову за полезные обсуждения полученных результатов.

1. П. С. Александров, Б. А. Пасынков, Введение в теорию размерности, М., "Наука", 1973.

2. А. В. Архангельский, Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты. УМН, 1978, т. 33, №6, с. 29 84.

3. А. В. Архангельский, Топологические пространства функций. М.: МГУ, 1989.

4. А.В. Архангельский, Пространства функций в топологии поточечной сходимости. Часть 1. // Общая топология. Пространства функций и размерность. Ред.кол.: П.С.Александров (гл. ред.) и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

5. А. В. Архангельский, Принцип т-аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов, ДАН СССР, 1980, т.252, №4, с. 777-780.

6. А. В. Архангельский, О некоторых топологических пространствах, встречающихся в функциональном анализе, УМН, 1976, т.31, №5, с. 17-32.

7. I. V. Bludova, V. I. Varankina, B. A. Pasynkov, On a homeomorphism of continuous mappings. TartuUlikooli Toimetised. — Tartu, 1992, V. 940. — Appl. of Topol. in Algebra and Diff. Geom. P. 21 28.

8. Ю. А. Буров, О топологии базисов топологических векторных пространств и свободных топологических групп. диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1985.

9. И. М. Гельфанд, А. Н. Колмогоров, О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах, ДАН СССР, 1939, т.22, №1, с. 1115.

10. И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, Коммутативные нормированные кольца, УМН, т. 1, №2, 1946 с. 48-146.

11. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, Методы гомологической алгебры, т.1, Москва, 1988.

12. Gillman L., Jerison М., Ring of continuous functions, New York, 1960.

13. M. И. Граев, ИАН ССР, сер. математики, т. 12, №3, с.279-324.

14. С. П. Гулько, О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций. Труды Математического института РАН. 1992, т. 193, с. 82 88.

15. С. П. Гулько, S-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функций. Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Москва, 1990.

16. JI. Г. Замбахидзе, О соотношениях между размерностями и карди-нальнозначными функциями пространств, погружаемых в пространства специального вида. Сообщ. АН ГССР, 1998, т. 100, № 3, с. 557560.

17. Т. V. Karavaeva, В. A. Pasynkov, On the Stone — Weierstrass Theorem. Questions and Answers in General Topology. 2003. V.21, №2. P. 177-180.

18. Т. В. Караваева, Об одном обобщении теоремы Нагаты. Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник — 70 лет кафедре математического анализа МПГУ, 2004, с. 210-214.

19. Т. В. Караваева, О гомеоморфизме слабых базисов. — Депонир. в ВИНИТИ, №891-В2004, 2004.

20. Т. В. Караваева, Об одном критерии гомеоморфности отображений. — Депонир. в ВИНИТИ, Ш628-В2004, 2004.

21. Т. В. Караваева, О равномерных гомеоморфизмах пространств C$(X,S) непрерывных функций. — Депонир. в ВИНИТИ, №1629-В2004, 2004.

22. Д. К. Мусаев, Б. А. Пасынков, О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений, Ташкент, "Фан", 1994.

23. J. Nagata, On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform spaces. Osaka Math. J. 1949. V. 1, №2. P.166 181.

24. Д. С. Павловский, О пространствах непрерывных функций, ДАН СССР, 1980, т.253, №1, с. 38-41.

25. Д. С. Павловский, О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости, УМН, 1982, т.37, №2, с. 185-186.

26. В. A. Pasynkov, On a theorem of Nagata. Questions and Answers in General Topology. 1994. Vol. 12.

27. В. Г. Пестов, Совпадение размерности /-эквивалентных топологических пространств. ДАН СССР, 1982, т.266, №3, с.553-556.

28. В. Г. Пестов, Топологические группы и линейные оболочки топологических пространств. Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1983.

29. А. П. Робертсон, В. Дж. Робертсон, Топологические векторные пространства, М, "Мир", 1967.

30. X. Шефер, Топологические векторные пространства, М., "Мир", 1971.

31. Ryszard Engelking, Theory of dimensions fnite and infnite, Heldermann Verlag, Lemgo, 1995.

32. P. Энгелькинг, Общая топология, M., "Мир", 1986.