Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005014121

у/

ЛАЗАРЕВ Вадим Ремирович

НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

5 мдр тг

Томск - 2012

005014121

Работа выполнена на кафедре теории функций ФГБОУВПО «НИ Томский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Гулько Сергей Порфирьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Пестов Герман Гаврилович

кандидат физико-математических наук, доцент

Арбит Александр Владимирович

Учреждение Российской академии наук Институт математики и механики Уральского отделения РАН (г. Екатеринбург)

Защита диссертации состоится 23 марта 2012г., в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.21 при ФГБОУВПО «НИ Томский государственный университет» по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36, корпус 2, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУВПО «НИ Томский государственный университет» по адресу: Томск, пр. Ленина, 34а. Автореферат разослан Л// февраля 2012 года

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

А.Н. Малютина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основным объектом внимания в предлагаемой диссертации выступают нелинейные непрерывные функционалы (то есть вещественнозначные отображения), заданные на пространстве СР(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Знаменитая теорема Нагаты [21] гласит, что если топологические кольца СР(Х) и СР(У) топологически изоморфны, то тихоновские пространства X и У гомеоморфны. То есть, они имеют полностью совпадающие наборы топологических свойств. Однако, если ослабить требование до линейной гомеоморфности ТВП Ср(Х) и СР(У), то, как известно [3], некоторые важнейшие топологические свойства X и У могут различаться. Таковы, например, первая и вторая аксиомы счётности '' или свойство Фреше - Урысона. Ясно, что по мере ослабления условий на гомеоморфизм между СР(Х) и СР(Т) сужается и круг топологических свойств, гарантированно совпадающих у пространств X и У. Свойство ст-компактности сохраняется при любых гомеоморфизмах пространств функций, чего нельзя сказать о компактности, как доказали С. П. Гулько и Т. Е. Хмылёва [6]. Однако, В. В. Успенский [12] установил, что компактность сохраняется при равномерном гомеоморфизме пространств функций.

Таким образом, относительно некоторых топологических свойств можно поставить вопрос: при каких типах гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) эти свойства будут общими для X и для У? Двойственным образом, если между СР(Х) и СР(У) есть гомеоморфизм с

тем или иным дополнительным условием (линейный, равномерный и т. п.), то какие свойства пространств Xи Убудут для них общими?

Для пространства СР(Х), как для ТВП, естественным образом определено сопряжённое к нему пространство Ьр{Х) всех линейных непрерывных вещественных функционалов на СР(Х). Нетрудно установить [3], что оно является замкнутым векторным подпространством в пространстве СРСР{Х) всевозможных непрерывных функционалов. Однако, никем не ставился и не изучался вопрос, является ли ЬР(Х) дополняемым в СРСР(Х), либо в каких-то подпространствах в СРСР(Х).

Пространство ЬР(Х) хорошо изучено [3] и является испытанным инструментом исследований. А именно, наличие непрерывного линейного отображения из СР(Х) в СР(У) влечёт наличие сопряжённого (линейного) отображения из ЬР{У) в ЬР{Х), которые содержат, соответственно, У и X (как замкнутые подпространства). Линейный гомеоморфизм между СР(Х) и СР(У) равносилен линейному гомеоморфизму между ЬР(У) и Ьр(X). В этом случае говорят, что пространства X и У /-эквивалентны. Решающее обстоятельство состоит в том, что с каждым линейным непрерывным функционалом из ЬР{Х) однозначно связано конечное множество из Х- носитель этого функционала. Если каждой точке из У поставить в соответствие носитель её образа при сопряжённом отображении, получится конечнозначное отображение У вХ Это позволяет обнаруживать связи между топологическими свойствами X и Г. В начале 80-х годов XX века в нескольких статьях [2, 9, 7, 10] было доказано, при различных дополнительных предположениях на пространства X и У, что из их /эквивалентности следует равенство размерностей ёип^г= сШп У. В

1982-м году В.Г. Пестов, применив отображение носителей линейных функционалов, доказал то же утверждение для произвольных тихоновских пространств X и Y [11]. Позднее, в 1998-м году, Н.В. Величко, оттолкнувшись от этой идеи и усовершенствовав понятие носителя, показал, что свойство Линделёфа одного из /эквивалентных пространств X, У равносильно свойству Линделёфа другого [22]. В 2001-м году А. Бузиад (А. Bouziad) обобщил эту теорему на произвольное число Линделёфа [16].

В то же время, применения пространств нелинейных функционалов для изучения соотношения свойств X и Y , имеющих нелинейно гомеоморфные пространства СР(Х) и CP{Y), пока весьма немногочисленны. Они касаются случая равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и СР(У). С.П. Гулько рассматривал равномерно непрерывные функционалы и связанные с ними конечные подмножества, наделённые некоторыми чертами носителя. Ему удалось распространить теорему В.Г. Пестова о совпадении размерностей на случай равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и CP(Y) [5]. A.B. Арбит также использовал технологии, связанные с носителями равномерно непрерывных функционалов, пытаясь перенести результат Бузиада на случай равномерного гомеоморфизма пространств СР(Х) и СР(У). Введённые им носители равномерно непрерывных функционалов в общем случае счётны. В статье A.B. Арбита [15], вышедшей в 2011-м году, доказывается, что если оба пространства X и Y имеют число Линделёфа не меньшее континуума, и СР(Х) равномерно гомеоморфно СР(У), то числа Линделёфа пространствуй Y одинаковы.

Кольцо многочленов, аналогичное введённому в нашей работе кольцу RP(X) в явном виде появлялось только в статье [13].

Таким образом, по крайней мере для таких топологических свойств, как компактность, размерность dim и число Линделёфа, остаётся актуальным следующий вопрос: каков наиболее широкий класс гомеоморфизмов пространств функций СР(Х) и СР(У), сохраняющих эти свойства у пространств Л' и У?

В предлагаемой диссертации нелинейные непрерывные функционалы (то есть вещественнозначные отображения), заданные на пространстве Ср{Х), выступают основным объектом исследования.

Цель работы:

• Найти и изучить возможно более широкие подпространства нелинейных непрерывных функционалов на СР{Х), элементы которых имеют конечные носители.

• Изучить вопрос о дополняемости пространства LP(X) линейных непрерывных функционалов в пространстве СРСР(Х) и в подпространствах нелинейных непрерывных функционалов.

• Применить свойство существования конечного носителя у элементов во введённых подпространствах нелинейных непрерывных функционалов к выделению различных типов гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) и к исследованию сохраняемых этими гомеоморфизмами свойств пространств А" и У.

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:

• Введены в рассмотрение несколько пространств нелинейных непрерывных функционалов на СР(Х), обладающих свойством конечного носителя элементов.

• Доказано, что соответствующее отображение носителя является полунепрерывным снизу, а в одном случае - полунепрерывным сверху.

• Доказано, что введённые пространства нелинейных непрерывных функционалов всюду плотны в С°С (X).

• Установлена недополняемость пространства LP(X) в пространстве СРСР(Х) для бесконечного X.

• Указан новый способ образования классов гомеоморфизмов пространств непрерывных функций.

• Выделены отличные от равномерных гомеоморфизмов классы гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, сохраняющие размерность dim, число Линделёфа и компактность.

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы при изучении топологических свойств пространств непрерывных функций.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 22-25 сентября 2008 г.), на заседаниях научного семинара кафедры теории функций Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из раздела обозначений и терминов, введения, трёх глав и списка литературы. Первая глава состоит из четырёх параграфов, вторая и

третья главы состоят из трёх параграфов. Параграфы в работе имеют сквозную нумерацию. Работа изложена на 66 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность предпринятого в диссертации научного исследования и даётся краткий обзор содержания работы.

Первая глава (§§1 - 4) отведена для систематического изложения полученных автором результатов о пространствах нелинейных непрерывных функционалов. В §1 вводится понятие одночлена и многочлена на СР(Х), определяется пространство одночленов Ор(Х), пространство многочленов Шр(Х), и два его подпространства: пространство йр(Х), элементы которого мы называем простыми многочленами и пространство МР(Х), элементы которого мы называем полными многочленами.

Определение 1.1. Функционал вида с! = х"' ■■■■■х"к1 ,

действующий по правилу ^(ф) = (ф(д:1))"' , где х, е X,

п, е N при всех / от 1 до к, назовём одночленом. Натуральное число п(ф=п]+...+пк будем называть степенью одночлена с1. Конечное

множество К(с1)={х^,...,хк} назовём носителем одночлена с?. Множество всех одночленов обозначим через Ор(Х).

Определение 1.2. Всякий функционал р:Ср(Х) ->Е, заданный правилом р(ф) = Л,г/1(ф) + ... + А,тс/и(ф), где А.ь ..., Хт - вещественные числа, а <1\, ..., <1т - одночлены, будем называть многочленом.

Множество К(р)=К(с1^...иК(с1т) назовём носителем многочлена^.

Множество всех многочленов обозначим через Яр(Х).

Теперь во множестве Яр(Х) вьщелим два подмножества. Определение 1.3. Пусть {х1У...,х„}с1 X. Полиномами, или полными многочленами с носителем

К(р)={х1,...,хк} будем называть многочлены вида

Р = ^{Ьс/-с1:с1еВр(Х),К(<1)с:{х>,...,х„},п{с1)£{!;1,...,5т}}, где все

числа 0, {5[,...,5т}сМ. Множество всех полиномов обозначим символом МР(Х).

Определение 1.4. Многочлен р назовём простым, если он представим в виде р-и°\, где ^еЬр(Х), а ы:Е->К - числовой

многочлен со свойством и(0) = 0. Множество простых многочленов будем обозначать символом 3Р(Х).

Предложение 1.5. Справедливы следующие соотношения: (а) Ор(Х)гл1р(Х)=Х, (б) ¿р(Х)^р(Х)^ Мр(Х)£ Яр(Х), (в) Ор(Х)£1{р(Х).

В §2 свойство многочленов иметь конечный носитель берётся за определение и таким образом вводится в рассмотрение пространство Ьр{Х), а также его подпространство 1?р(Х).

Определение 2.1. Пусть /еСрСр(Х), КаХ - конечно. Если (¡)Уг>0,УфеСр(Х) 38>0 такое, что /(1¥(ц>,К,8))с:(/ср)-е,/(ф)+е), и (и )ЧК'с:К,К'*К, 3£>0,Эфб Ср(Х), такие, что У5>0 /(^(ф,АГ',5))сг(У(ф)-Е./<Р)+е), то назовём функционал / функционалом с конечным носителем К, а само множество К-Щ) -

носителем функционала /. Множество всех функционалов с конечным носителем будем обозначать 1р(Х).

Определение 2.2. Скажем, что функционал / еС°Ср(Х) принадлежит пространству 1°р(Х), если существует конечное

множество КаХ такое, что выполнено (1), а также условие

(ш) Зе>0 такое, чтоУхеК существует окрестность IIх точки х такая, что для всякой более узкой окрестности V этой точки ЗуеСр(Х), для которой |Ду)|>£ несмотря на то, что |\(/|(Л'\60=0.

Одним из главных результатов §2 является теорема о единственности носителя

Теорема 2.10. Каждый функционал из 1р(Х) имеет единственный носитель.

Ключевое значение для дальнейших исследований имеет следующая лемма.

Лемма 2.11. Пусть/е1рШ, |К(/)| = £, {У,,...,!/,} -произвольная дизъюнктная система (открытых) окрестностей точек хх,\..,хк из К(/). Тогда у точки /найдется окрестность V, целиком состоящая из точекg, для которых К^)пи,0 для всех / = 1 ,...,к.

Из леммы 2.11 выводятся важнейшие следствия - теоремы 2.12 и 2.15 - применяемые в третьей главе.

Теорема 2.12. Отображение носителя К:1р(Х)->Х полунепрерывно снизу.

Теорема 2.15. Отображение К:Ор(Х)->Х полунепрерывно сверху.

В §3 получен ещё один важный результат, а именно, теорема 3.2. Теорема 3.2. БР(Х) всюду плотно в СрСр(Х).

В §4 обсуждается алгебраическая структура рассматриваемых пространств нелинейных функционалов. Нетрудно видеть, что ЯР(Х) -это векторное пространство и кольцо. Мы доказываем (предложение 4.3), что теми же свойствами обладает и ¿(Х). Пространство же

¿°р(Х) кольцом не является, но обладает векторной структурой (предложение 4.4).

Предложение 4.3. Ь(Х) есть векторное подпространство и

подкольцо в С°Ср(Х) (то есть подалгебра) относительно, обычных

операций сложения, умножения функций и умножения функции на число.

Предложение 4.4. 1?р(Х) есть векторное подпространство в С°рСр(Х).

Вторая глава работы (§§5 - 7) посвящена изучению вопроса о том, дополняемо ли пространство линейных непрерывных функционалов на СР(Х) в пространстве всех непрерывных функционалов на СР(Х) (то есть ЬР(Х) в СрСр(Х)). В §5 доказана весьма общая теорема 5.3, гласящая, что при бесконечном X не существует линейной непрерывной инъекции пространства СР(Х) в пространство ЬР{У) для любого У. Переходя к сопряжённым пространствам, мы показываем (следствие 5.5), что не существует линейного непрерывного проектора СР(У) на ЬР(Х). Применяя это следствие при У=Ср{Х), получаем

отрицательный ответ на поставленный вопрос (следствие 5.6).

§6 и §7 посвящены установлению более слабых аналогов свойства дополняемости ЬР(Х) в специальных подпространствах нелинейных функционалов при дополнительных предположениях относительно X. В §6 конструируется линейный (но не непрерывный) проектор пространства 1р(Х) на 1р{Х) для произвольного пространства X. Конструкция проектора такова.

Каждому конечному подмножеству КаХ сопоставим некоторое фиксированное дизъюнктное семейство у(К) открытых окрестностей

точек из К, а также конечный набор {е(х,К)/хеК}с:Ср(Х,[(},[]), где е{х,К){х)=\, е{х,К)(х')=0, при х'еО(х)еу(К). Теперь для всякого /б!рШ положим />(/)= £ /(е(х,К(/)))-х.

Предложение 6.2. Определенное выше отображение Р -проектор ¿р(Х) на Ьр{Х).

Предложение 6.3. Если пространство X счётно, то проектор Р:1р(Х)->1р(Х) - отображение первого класса Бэра.

В §7 мы предполагаем, что пространство X а-компактно. Основной результат §7 - теорема 7.6 - утверждает, что существует

отображение Ф (всюду плотного в СйрСр(Х) и ст-компактного)

пространства 5'°(А)=и{Л/и:ябК}, где все М„ компактны, на его

подпространство ЬР(Х) с такими свойствами:

1) Ф тождественно на ЬР(Х);

2) Сужение Ф на каждое Мп - ретракция.

В третьей главе (§§8 - 10) результаты о пространствах нелинейных непрерывных функционалов, полученные в первой главе,

12

применяются для изучения отношения /-эквивалентности тихоновских пространств.

В §8 мы предлагаем общий способ выделения различных типов гомеоморфизмов к:Ср(Х)-*Ср(У). Для этого нами вводится понятие

(Е, /^-гомеоморфизма (или гомеоморфизма типа (Е, Г)) пространств функций Ср(Х), СР(У). Это такой гомеоморфизм к:Ср(Х)-^Ср(У),

двойственный к которому отображает подпространство УсС*Ср(У) в

подпространство ЕсС°рС р{Х) и, симметрично, обратный к

двойственному гомеоморфизм отображает подпространство

X аСйрСр(Х) в подпространство ЕаС°рСр(У). Главный результат

параграфа гласит, что ранее известные типы гомеоморфизмов пространств функций - это (£, /^-гомеоморфизмы.

Теорема 8.2. Пусть некоторый гомеоморфизм И:СР(Х)->СР(У) имеет тип (Е\¥). Тогда: (а) Е = X и /*■ = У если и только если X -У,

I

(б) Е = £Р(Х) и Г = ЬР(У) если и только если X ~ У,

и

(в) Е = ЩХ) и /7= 1/р(У) если и только если X ~ У,

I

(г) Е = С°рСр(Х) и Г = С°рСр(Г) если и только если X~У.

В §9 рассматриваются два конкретных примера гомеоморфизмов типа (£, Г), оказавшихся интересными с прикладной точки зрения. Теорема 8.7 из §8 показывает новизну этих примеров по сравнению с равномерными гомеоморфизмами. Главные результаты §9 (и одни из главных во всей диссертации) таковы.

Теорема 9.6. Если X, Y - пространства со счётной базой, а h:Cp(X)~>Cp(Y) - гомеоморфизм типа (МР(Х); MP(Y)), то dimX= dim Y.

Теорема 9.8. Если h\Cp{X)->Cp{Y) - гомеоморфизм типа (ЩХ); Dp( Y)), то 1(Х) = /(У). Если X компактно, то и К компактно.

В §10 главным объектом является пространство всех многочленов Rp(X). Основной результат §10 - теорема 10.2.

Теорема 10.2. Если топологические кольца RP{X), Rp(Y) топологически изоморфны, то пространства СР(Х), CP(Y) гомеоморфны.

Доказательство этой теоремы опирается на предложение 10.1.

Предложение 10.1. Каждая непрерывная вещественная функция Е однозначно продолжается до непрерывной линейной мультипликативной функции Ef: Rp(X) 1.

Фактически, мы получаем ещё один частный случай и эквивалентности - r-эквивалентность. Можно назвать пространства X и Y r-эквивалентными, если их пространства многочленов RP(X), RP(Y) топологически изоморфны как топологические кольца.

В заключение §10 приводятся некоторые результаты о связях топологических свойств пространствуй Rp{X). Например,

Предложение 10.3. Пусть Р - класс топологических пространств, содержащий вещественную прямую R и замкнутый относительно следующих операций:

1) переход к образу элемента класса Р при непрерывном отображении;

.2) объединение счётного семейства элементов класса Р;

3) декартово произведение конечного числа элементов класса Р.

Тогда, если X принадлежит Р, то и Rp(X) принадлежит Р.

Следствие 10.4. Пусть пространство X обладает одним из следующих свойств:

1)ЛГа-компактно;

2) X линделёфово ^-пространство;

3) X" линделёфово для каждого натурального л;

4) X сепарабельно.

Тогда и пространство RP(X) обладает тем же свойством.

Литература

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. -М.: Наука, 1973.

2. Архангельский A.B. Принцип т-аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов // ДАН СССР. 1980, Т. 252. №4. С. 777-780.

3. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. -М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Граев М.И. Свободные топологические группы // Известия АН Сер. матем. 1948, №12. С.279 - 324.

5. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82 - 88.

6. Гулько С.П., Хмылёва Т.Е. Компактность не сохраняется отношением i-эквивалентности // Мат. заметки. 1986, Т. 39, №6. С. 895-903.

7. Замбахидзе Л.Г. О соотношениях между размерностными и кардинальнозначными функциями пространств, погружаемых в

15

пространства специального типа // Сообщения АН Грузинской ССР. 1980, Т. 100, №3 С. 557-560.

8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

9. Павловский Д.С. О пространствах непрерывных функций // ДАН СССР. 1980, Т. 253 №1 С. 38-41.

10. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН. 1982, Т. 37, №2. С. 185 - 186.

11. Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim /-эквивалентных топологических пространств // ДАН СССР. 1982, Т. 266, №3. С. 553 -556.

12. Успенский В.В. Характеризация компактности в терминах равномерной структуры в пространстве функций // УМН. 1982, Т. 37, №4. С. 183 - 184.

13. Ткачук В.В. Наименьшее подкольцо кольца СР(СР(Х)), содержащее Л"и{1}, всюду плотно в СДСДХ)) // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1987, №1. С. 20-22.

14. Энгелькинг Р. Общая топология (Пер. с англ.). М.: Мир, 1986.

15. Arbit A.V. The Lindelôf number greater then continuum is u-invariant // Serdica Math. J. 2011, №37. P. 143 - 162.

16. Bouziad A. Le degré de Lindelôf est /-invariant II Proc. Amer. Math. Soc. 2001, V. 129, №3. P. 913 - 919.

17. Jan van Mill. The Infinite-Dimensional Topology of Functional Spaces. - ELSEVIER Amsterdam - Boston - London etc., 2002.

18. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997, Vol 80. P. 177 -188.

19. Okunev О. Tightness of compact spaces is preserved by the relation // Comment. Math. Univ. Carolinae. 2002, V. 43, №2. P. 335 - 342.

20. Tkachuk V.V. A Cp-Theoiy Problem Book. - Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2011.

21. Nagata J. On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform spaces // Osaka Math. J. 1949, V.l, №2. P.166 -181.

22. Velichko N.V. The LindelGf property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998, V. 89. P. 277-283.

Работы автора по теме диссертации

23. Лазарев В.Р. Один пример всюду плотного множества многочленов в СрСр(Х) // Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады - Томск, 2003. С. 55 - 59.

24. Лазарев В.Р. О пространстве функционалов с конечным носителем // Бюллетень оперативной научной информации журнала "Вестник ТГУ", № 54. - Томск, 2005. С. 80 - 87

25. Лазарев В.Р. О модификации понятия функционала с конечным носителем // Вестник Томского государственного университета. 2007. № 298. С. 119 - 120.

26. Лазарев В.Р. О полиномиальных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2007. № 1. С. 28 - 32.

27. Лазарев В.Р. О некоторых аналогах t-эквивалентности // Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 22 - 25 сентября 2008 г.). Тезисы докладов. Томск: ТГУ, 2008. С. 101.

28. Лазарев В.Р. О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3. С. 5-10.

29. Лазарев В.Р. О некоторых топологических свойствах кольца многочленов в СрСр(Х) II Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1. С. 34 -38.

30. Гулько С.П., Лазарев В.Р., Хмылёва Т.Е. О взаимной «ортогональности» классов пространств СР(Х) и ¿Р(Г) II Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. №1. С. 15-19.

с

Отпечатано на участке оперативной полиграфии редакционно-юдательского отдела ТГУ

Заказ №150 от «16» февраля 2012 г. Тираж 100 экз.

61 12-1/738

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

/

Лазарев Вадим Ремирович

нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функций

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор С. П. Гулько

Томск-2012

содержание

Некоторые обозначения и терминология 3

Введение 5

Глава I Пространства нелинейных непрерывных функционалов 17

§1. Многочлены. Пространства многочленов. 17 §2. Функционалы с конечным носителем. Пространства

L (X) и L°p(X) 21

§3. Всюду плотность пространств нелинейных

функционалов в С®Ср(Х) 29

§4. Алгебраическое строение пространств нелинейных

функционалов 31

Глава II Свойства типа дополняемости LP(X) в пространствах

нелинейных функционалов 36

§5. Недополняемость LP(X) в СРСР(Х) 36 §6. Проектор первого класса Бэра из L (X) на LP(X) для

счётного X 40 §7. о-ретракция всюду плотного в Ci]C(X) подпространства

на LP(X) для о-компактного X 44

Глава III Отношения эквивалентности на классе тихоновских

пространств и их некоторые топологические инварианты 51

§8. Р-эквивалентность 51 §9. Р -эквивалентные пространства и размерность dim,

компактность и число Линделёфа 54 §10. Топологические свойства пространств X и их колец RP(X) 59

Литература

64

некоторые обозначения и терминология

Здесь мы зафиксируем некоторые обозначения, термины и сокращения, используемые в работе, которые не будут определены в основном тексте.

Прежде всего, символом К обозначается поле вещественных чисел с евклидовой топологией. Поскольку все алгебраические объекты рассматриваются нами только над полем М, то элементы М будут называться просто числами. Через N обозначается множество натуральных чисел. Топологическими пространствами, или просто пространствами, мы называем тихоновские топологические пространства, то есть пространства, в которых любое замкнутое множество отделяется от любой не содержащейся в этом множестве точки некоторой непрерывной числовой функцией, и в которых одноточечные подмножества замкнуты.

Символ СР(Х) обозначает пространство всех непрерывных функций с числовыми значениями, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Такие пространства СР(Х) всегда считаются наделёнными топологией поточечной сходимости на X. Относительно терминологии и обозначений, касающихся пространств СР(Х), можно обращаться к монографиям [3, 17]. В частности, элемент стандартной базы топологии пространства СР(Х) обозначается Ц?(х],...,хп,1],...,1п), что означает множество всех тех непрерывных функций ср:Х —>М, у которых значение ф(х) принадлежит числовому интервалу I, при каждом г от 1 до п. Аналогично, окрестность точки ф е СР(Х) обозначается 1У(ф, К,е), где К={х^...,хп}с:Х , что означает множество всех непрерывных функций \\i\X —таких, что значение Ц>(х.) принадлежит числовому интервалу (ф(х)-£,ф(х)+8)при каждом г от 1 до п.

Часто вместо записи уе W(ф,Л^£) мы пишем |ф-\|/|(£)<е. Такая же

запись используется, когда одна из функций ф, \|/ есть тождественный ноль, а также, когда множество К бесконечно. Знак модуля используется нами также для обозначения расстояния между точками в конечномерном евклидовом пространстве К" и, кроме того, для обозначения мощности множества. Каждый раз из контекста однозначно явствует, в каком смысле употреблён знак модуля.

Символами 0х, Iх обозначаются функции наХ, тождественно равные 0 и 1 соответственно. Каждому конечному подмножеству КаХ сопоставим некоторое фиксированное дизъюнктное семейство у (К)

открытых окрестностей точек из К. Для х е К обозначим через е(х,К) произвольную непрерывную функцию на X со значениями в числовом сегменте [0, 1], такую, что е(х,К)(х)=1, е(х,К)(х)=0, при х'ё. 0(х)е у(К).

Функционалом мы называем любое отображение, заданное на пространстве вида СР(Х) с числовыми значениями. В работе рассматриваются только непрерывные функционалы, то есть элементы

пространства С (СДХ))= СРСР(Х). Множество непрерывных

функционалов, принимающих, к тому же, нулевое значение в точке 0

пространства СР(Х), обозначается через С°рСр(Х).

Линейную оболочку подмножества А в векторном пространстве Е мы обозначаем через ^(Л). Пространство всех линейных непрерывных функционалов на топологическом векторном пространстве Е (сопряжённое пространство) обозначается символом Е*.

Определения терминов общей топологии, в частности, кардинальнозначных инвариантов, можно найти в монографии Р. Энгелькинга [14].

введение

Основным объектом внимания в предлагаемой диссертации выступают нелинейные непрерывные функционалы (то есть вещественнозначные отображения), заданные на пространстве СР{Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Такие пространства СР(Х) всегда считаются наделёнными топологией поточечной сходимости на X. Теория пространств СР(Х) основательно изложена в монографиях [3], [17], а также [20], в которой можно ознакомиться с нерешёнными проблемами теории этих пространств. Мы пользуемся основной терминологией и фактами о пространствах СР(Х), данными в этих книгах. В пространстве СР(Х) определены естественные поточечные операции сложения функций, умножения функции на число, умножения функций. Эти операции согласуются с топологией пространства СР(Х), так что СР(Х) обладает структурами топологического кольца и топологического векторного (локально выпуклого) пространства (ТВП). Кроме этого, можно изучать пространства СР(Х) просто как топологические (тихоновские) пространства, а также как пространства, наделённые равномерностью, порождённой структурой ТВП.

Знаменитая теорема Нагаты [21] гласит, что если топологические кольца СР{Х) и СР(У) топологически изоморфны, то тихоновские пространства X и У гомеоморфны. То есть они имеют полностью совпадающие наборы топологических свойств. Однако если ослабить требование до линейной гомеоморфности ТВП СР(Х) и СДУ), то, как известно [3], некоторые важнейшие топологические свойствами У могут различаться. Таковы, например, первая и вторая аксиомы счётности или свойство Фреше - Урысона. Ясно, что по мере ослабления условий на гомеоморфизм между СР(Х) и СДУ) сужается и круг топологических

свойств, гарантированно совпадающих у пространств X и У. Но и при произвольном гомеоморфизме СР{Х) и СР(У) многие свойствами Убудут общими. Таковы, например, мощность, сетевой вес, плотность, а-компактность и другие [3]. Из более новых результатов здесь нужно отметить теоремы о совпадении спрэда, наследственной плотности, наследственного числа Линделёфа пространств X и У [18], а также о совпадении тесноты компактов X и У при произвольном гомеоморфизме СР(Х) и СР(У) [19], полученные О.Г. Окуневым.

Свойство а-компактности сохраняется при любых гомеоморфизмах пространств функций, чего нельзя сказать о компактности, как доказали С.П. Гулько и Т.Е. Хмылёва [6]. Однако В.В. Успенский [12] установил, что компактность сохраняется при равномерном гомеоморфизме пространств функций.

Таким образом, относительно некоторых топологических свойств весьма актуальным оказывается следующий вопрос: при каких типах гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) эти свойства будут общими для Х и для У? Двойственным образом, если между СР(Х) и СР(У) есть гомеоморфизм с тем или иным дополнительным условием (линейный, равномерный и т. п.), то какие свойства пространств X и У будут для них общими?

Кроме того, для пространства СР(Х), как для ТВП, естественным образом определено сопряжённое к нему пространство ЬР(Х) всех линейных непрерывных вещественных функционалов на СР(Х). Нетрудно установить [3], что оно является замкнутым векторным подпространством в пространстве СРСР(Х) всевозможных непрерывных функционалов. Однако никем не ставился и не изучался вопрос, является ли Ьр(Х) дополняемым в СрСр(Х), либо в каких-то подпространствах в СрСр{Х).

Пространство ЬР{Х) хорошо изучено (см. [3]) и является испытанным инструментом исследований. А именно, наличие

непрерывного линейного отображения из СР(Х) в СР(У) влечёт наличие сопряжённого (линейного) отображения из ЬР{У) в ЬР(Х), которые содержат, соответственно, У и X (как замкнутые подпространства). Линейный гомеоморфизм СР(Х) и СР(У) равносилен линейному гомеоморфизму ЬР(У) и ЬР(Х). В этом случае говорят, что пространства X и У /-эквивалентны. Ключевое обстоятельство состоит в том, что с каждым линейным непрерывным функционалом из ЬР(Х) однозначно связано конечное подмножество в X - носитель этого функционала. Если каждой точке из У поставить в соответствие носитель её образа при сопряжённом отображении, получится конечнозначное отображение У в X. Это позволяет обнаруживать связи между топологическими свойствами X и У. В начале 80-х годов XX века в нескольких статьях ([2], [9], [7], [10]) было доказано, при различных дополнительных предположениях на пространства X и У, что из их /-эквивалентности следует равенство размерностей сИтХ = сНтУ. В 1982-м году В.Г. Пестов, применив отображение носителей линейных функционалов, доказал то же утверждение для произвольных тихоновских пространств X и У [11]. В статье [10] отмечается, что такая техника применялась ещё в работе М.И. Граева [4], посвящённой свободным топологическим группам. Позднее, в 1998-м году, Н.В. Величко, развив эту идею и усовершенствовав понятие носителя, показал, что наличие свойства Линделёфа у одного из /-эквивалентных пространств X и У равносильно его наличию у другого [22]. В 2001-м году А. Бузиад (А. Воишас!) обобщил эту теорему на произвольное число Линделёфа [16].

В то же время примеры применения пространств нелинейных функционалов для изучения соотношения свойств X и У, имеющих нелинейно гомеоморфные пространства СР(Х) и СДУ) пока весьма немногочисленны. Они касаются случая равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и СДУ). С.П. Гулько рассматривал равномерно

непрерывные функционалы и связанные с ними конечные подмножества, наделённые некоторыми чертами носителя. Ему удалось распространить теорему В. Г. Пестова о совпадении размерностей на случай равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и CP{Y) [5]. A.B. Арбит также использовал технологии, связанные с носителями равномерно непрерывных функционалов. В его статье [15], вышедшей в 2011-м году, доказывается, что если одно из пространств X или Y имеет число Линделёфа большее континуума, и СР(Х) равномерно гомеоморфно CP(Y), то числа Линделёфа пространств X и У одинаковы.

Кольцо многочленов, аналогичное используемому в настоящей работе RP(X), в явном виде появлялось только в статье [13].

Таким образом, по крайней мере для таких топологических свойств, как компактность, размерность dim и число Линделёфа, остаётся актуальной задача применения технологии, основанной на понятии носителя нелинейного непрерывного функционала, к описанию классов гомеоморфизмов пространств функций СР(Х) и CP(Y), сохраняющих каждое из этих свойств у пространств X и Y.

Ввиду вышеизложенного, можно так сформулировать цели данной диссертации:

• Найти и изучить возможно более широкие подпространства нелинейных непрерывных функционалов на СР(Х), элементы которых имеют конечные носители.

• Изучить вопрос о дополняемости пространства LP(X) линейных непрерывных функционалов в пространстве СРСР(Х) и в подпространствах нелинейных непрерывных функционалов.

• Применить свойство конечного носителя элементов во введённых подпространствах нелинейных непрерывных функционалов к выделению различных типов гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) и к

исследованию сохраняемых этими гомеоморфизмами свойств пространств Хи Y.

Эти цели достигаются установлением в данной работе следующих основных результатов.

• Введены в рассмотрение несколько пространств нелинейных непрерывных функционалов на СР(Х), обладающих свойством конечного носителя элементов.

• Доказано, что соответствующее отображение носителя является полунепрерывным снизу, а в одном случае - полунепрерывным сверху.

• Доказано, что введённые пространства нелинейных непрерывных функционалов всюду плотны в С°рС (X).

• Установлена недополняемость пространства LP(X) в пространстве СРСР(Х) для бесконечного X .

• Указан новый способ образования классов гомеоморфизмов пространств непрерывных функций.

• Выделены отличные от равномерных гомеоморфизмов классы гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, сохраняющие размерность dim, число Линделёфа и компактность.

Первая глава (§§1 - 4) отведена для систематического изложения полученных автором результатов о пространствах нелинейных непрерывных функционалов. В § 1 вводятся понятия одночлена и многочлена на СР(Х), определяется пространство одночленов DP(X), пространство многочленов Rp(X) и два его подпространства: пространство

элементы которого мы называем простыми многочленами, и пространство МР{Х), элементы которого мы называем полными многочленами. Основная идея здесь проста: каждый элемент тихоновского пространства X каноническим отображением вычисления отождествляется с элементом пространства СРСР(Х), то есть с непрерывным функционалом

на СР(Х) [3]. Если рассматривать только линейные комбинации таких функционалов в пространстве СРСР(Х), то мы получим известное пространство ЬР(Х). Если же использовать ещё операцию умножения в СРСР(Х), то мы будем получать одночлены и многочлены.

Как и линейный непрерывный функционал, каждый многочлен определяется конечным набором точек из X, а именно тех точек, образы которых при отображении вычисления участвовали в его (многочлена) построении. Эта определённость заключается в том, что, если две функции на X принимают близкие значения на этом конечном множестве, то и соответствующий многочлен принимает на таких функциях близкие значения. Причём это конечное множество - единственное с таким свойством. Мы называем его носителем (многочлена). Таким образом, каждый элемент пространств ЬР{Х), Ор(Х), 5ДХ), МР(Х) и Ир(Х) имеет конечный носитель. В этом смысле можно говорить, что перечисленные пространства имеют свойство конечного носителя.

В §2 свойство многочленов иметь конечный носитель берётся за определение, и таким образом вводится в рассмотрение пространство Ьр(Х) всех функционалов на СР(Х) с конечным носителем, а также его

подпространство . В §§1,2 устанавливаются основные теоретико-множественные соотношения между введёнными пространствами. В частности, Ьр{Х) содержит все остальные, а 1?р(Х) содержит ЬР(Х), 8Р(Х), и

МР(Х). Одним из главных результатов §2 является теорема о единственности носителя (теорема 2.10). Она позволяет говорить о конечнозначном отображении пространства Ьр{Х) в X, сопоставляющем

каждому функционалу с конечным носителем его носитель. Это отображение для краткости называется отображением носителя. Другой главный результат §2 состоит в том, что сужение отображения носителя на

подпространство 1?(Х) полунепрерывно снизу (теорема 2.12), а его

сужение на Ор(Х) - полунепрерывно сверху (теорема 2.15).

В §3 получен ещё один основной результат всей работы - теорема 3.2. Она утверждает, что пространство 5Р(Х) простых многочленов, а вслед за ним и более широкие МР(Х), ЯР{Х), 1?(Х) и Ь (X), всюду плотно в

С°рСр(Х).

В §4 обсуждается алгебраическая структура рассматриваемых пространств нелинейных функционалов. Это важно для дальнейшего. Например, говорить о дополняемости пространства ЬР(Х) можно только в векторном пространстве. Конечно, операции сложения, умножения и умножения на число не выводят за пределы пространства (всех) многочленов Так что, /?Р(Х) - это векторное пространство и кольцо.

Мы доказываем (предложение 4.3), что теми же свойствами обладает и Ьр{Х). Пространство I?(X) обладает только векторной структурой

(предложение 4.4), пространство одночленов Ор(Х) является полугруппой

по отношению к операции умножения в СРСР(Х) (предложение 4.1), а

пространства и МР(Х) не несут алгебраической структуры. Они

замкнуты только относительно операции умножения многочлена на число

(предложение 4.2).

Вторая глава работы (§§5 - 7) посвящена изучению вопроса о том,

дополняемо ли пространство линейных непрерывных функционалов на

СР{Х) в пространстве всех непрерывных функционалов на СР(Х) (то есть

ЬР(Х) в СРСР(Х)). Другими словами, существует ли непрерывная линейная

сюръекция СРСР(Х) на ЬР(Х), оставляющая точки ЬР(Х) неподвижными?

Этот вопрос возникает совершенно естественно, потому что ЬР(Х) - это

замкнутое линейное подпространство в СРСР(Х).

В §5 доказана весьма общая теорема 5.3, гласящая, что при

бесконечном X не существует линейной непрерывной инъекции

11

пространства СР(Х) в пространство ЬР(У) для любого У. Переходя к сопряжённым пространствам, мы показываем (следствие 5.5), ч