Трансляционно непрерывные функционалы на пространстве непрерывных ограниченных функций на локально компактной группе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Предисловие.

Введение.

Глава I. Финитные и инфинитные функционалы. Носитель функционала

§1. Решеточные операции на пространстве CB(G)'.

§2. Финитные и инфинитные функционалы.

§3. Носитель функционала.

§4. Функционалы на пространстве B(G).

Глава И. Конструкции ТН функционалов и теоремы существования

§5. Покрытия G конечной кратности.

§6. Конструкции ТН функционалов.

§7. Теоремы существования.

§8. Множество значений ЛТН функционалов на данной функции.

§9. Трансляционно разрывные функционалы.

Глава III. Функционалы специального вида

§10. Дискретные функционалы.

§11. Функционалы с носителем в множестве нулевой меры

Пусть G — локально компактная группа, CB{G) — банахово пространство непрерывных, ограниченных функций на группе G со значениями в К, CB(G)' — сопряженное к CB(G) пространство. В пространстве CB{G)' выделим функционалы, на которых действие группы G левыми сдвигами слабо* непрерывно. Такие функционалы мы будем называть лево трансляционно непрерывными (J1TH) функционалами, и их изучению посвящена данная работа. Спектр рассмотренных нами вопросов включает в себя общие конструкции таких функционалов, описание замкнутых подмножеств группы G, которые могут являться носителями JITH функционалов, описание множества значений средних, JITH функционалов на данной функции, описание некоторых классов трансляционно разрывных функционалов.

В то же время представляет интерес обсудить работы, в которых рассматривались близкие задачи, и которыми, отчасти, мотивировано наше исследование. Поэтому в предисловии вниманию читателя предлагается обсуждение некоторых полученных ранее результатов, имеющих отношение к теме настоящей работы. Сразу сделаем замечание, что по-видимому понятие левотрансляционно непрерывного функционала не рассматривалось до сих пор другими авторами, ввиду чего связь рассматриваемых ими вопросов с нашей задачей будет лишь косвенной.

Одним из наиболее хорошо изученных направлений в математике, близких к теме нашего исследования, является теория аменабельных групп и инвариантных средних ([1], [2]). Для того, чтобы прояснить связь между аменабельностью и трансляционной непрерывностью заметим, что определение левотрансляционно непрерывного функционала (такого функционала F е CB(G)', что отображение i е Си F(tf) непрерывно для любой функции / G CB{G)) можно считать обобщением определения левоинвариантного среднего (такого среднего функционала т е CB(G)', для которого отображение t е G m(tf) постоянно для любой функции / € С В (С)). В связи с этим левоинвариантные средние играют важную роль в конструкции ЛТН функционалов, которая, в частности, проявляется уже в определении функционалов 1-го типа ([7]), в котором участвует инвариантное среднее. Кроме того, условие аменабельности группы как дискретной присутствует в некоторых теоремах существования. Наконец, доказанная в данной работе теорема о множестве значений средних, инфинитных, ЛТН функционалов на данной функции (теорема 8.2) в сравнении с аналогичной теоремой для лево-инвариантных средних (теорема 1, [3]) еще раз подчеркивает глубокую связь между ЛТН функционалами и инвариантными средними (более подробно эти два результата сравниваются в §8).

С другой стороны нами были получены новые результаты, относящиеся непосредственно к теории инвариантных средних. К их числу относится теорема 7.2, в которой полностью описаны замкнутые подмножества группы (7, являющиеся носителями левоинвариантных средних. Из этой теоремы и результатов §11 вытекает для достаточно широкого класса локально компактных групп существование левоинвариантного среднего с носителем в множестве нулевой меры Хаара, что также является продвижением в данной области.

Рассматривая статьи, в которых изучаются вопросы близкие к вопросу описания ЛТН функционалов, нельзя не остановиться на работе М.Та^гапсРа [4], который рассмотрел в некотором смысле противоположную задачу: для каких функций / 6 1т00 (С?) отображение ^еби <£>(г/) измеримо для любого функционала <р е Ь°°((*)'} В предположении выполнения аксиомы Мартина (МА) им было показано (теорема 16,[4]), что для любой локально компактной группы С и любой функции / € //°°(<7) следующие условия эквивалентны:

1) существует измеримая по Риману функция к е С00(С) такая, что № = / (гДе № — класс эквивалентности функции /г в

2) для любого локализуемого функционала ср € Ь°°(С)' отображение измеримо;

3) для любого компактного множества К с С существует функция И € £°°(<2), {И} = / такая, что множество {¿/г | t е К} относительно компактно в топологии поточечной сходимости на С°°(0).

Мы приводим лишь сокращенную формулировку, изменяя нумерацию автора).

Связь изучаемого в [4] вопроса с нашим исследованием состоит не только в близости постановок задач, но и в средствах их решения. Так в п.2) формулировки предыдущей теоремы возникает понятие локализуемого функционала (такого функционала е что для любого е > 0 найдется компактное множество К с С такое, что < е), которое по своей сути практически идентично понятию финитного функционала, приведенному в первой главе, §2 настоящей работы.

В теореме 18, [4] описаны функции / € для которых отображение Ь е С ь-> измеримо для любого (не только локализуемого) функционала ^ € Ь°°(С)'. Более точно, если выполнена аксиома МА, локально компактная абелева группа и / € то следующие условия эквивалентны:

1) существует функция Ъ € £°°(С), {Л} = / такая, что множество {¿/г | £ € } относительно компактно в топологии поточечной сходимости на

2) для любого функционала ср е Ь°°(С7)' отображение Ь е С «-»■ измеримо;

3) для любого функционала <р е Ь°°(Су отображение £ е <2 эквивалентно функции, измеримой по Риману.

Перейдем теперь к обзору статей [5, 6], в которых авторы ближе всего подошли к понятию ЛТН функционала. Пусть X — банахово пространство и С — локально компактная группа, действующая как группа изометрических линейных операторов на I (г е С и I, е В(Х) — действие группы С). Обозначим через Хс множество элементов ¡1 е X таких, что отображение Ьхц е X непрерывно в топологии С? и нормированной топологии X.

В статье [5] приводится достаточное условие принадлежности элемента из X пространству Хс. Так, если С — недискретная, локально компактная группа такая, что действие х е С Ьх е В(Х) полунепрерывно снизу, и У с X — сепарабельное, (^-инвариантное подпространство, то У С Хс (теорема 2.3, [5]).

Для нас наибольшее значение представляет случай, когда X есть некоторое пространство функций или функционалов на группе С, в котором группа й действует сдвигами. В статье [6] рассматриваются различные пространства такого вида и изучается пространство Нетрудно видеть, что данная задача тесно связана с изучаемым нами вопросом описания ЛТН функционалов на СВ(р)> а именно в определении пространства .Хс можно усмотреть аналог понятия трансляционной непрерывности. Более того, при X = СВ(С)\ множество Хс совпадает с множеством сильно ЛТН функционалов на С В (С), которое также рассмотрено в нашей работе (правда, несмотря на это, основное для нас понятие ЛТН функционала не подпадает под определение Хс и остается за рамками [6]). Приведенные соображения показывают, что статья [6] заслуживает особого внимания, и поэтому мы остановимся на ней подробнее и сравним некоторые полученные там результаты с результатами нашего исследования.

Перечислим сперва случаи, в которых удается полностью описать пространство Хс. Наиболее часто встречается утверждение вида: Хс — X тогда и только тогда, когда группа С дискретна. Соответствующие доказательства приведены в статье [6] для пространства М((7)', где М(С) — банахово пространство ограниченных, регулярных, борелевских мер на группе <3 и для пространств ЫГС(Оу, Ь°°{С) и (<?)', а в нашей работе мы доказываем это утверждение для пространства С В (С)'. Аналогичный вопрос относительно множества ЛТН функционалов решается следующим образом: множество ЛТН функционалов совпадает со всем пространством СВ(С)' тогда и только тогда, когда группа <3 дискретна или компактна (доказательство см. во введении, стр. 21).

В некоторых случаях удается описать пространство Хс при менее тривиальных предположениях. Так в предложении 1.1, [6] доказано, что М(С?)с = Ь\ (С) для любой локально компактной группы С. Там же в предложении 2.4 приведено доказательство того, что (ЬиС(Сг),)с — 1л{0) тогда и только тогда, когда группа С? компактна. Наконец в теореме 3.14 утверждается, что (изо(0)')с = 1а(С?) тогда и только тогда, когда на пространстве Ь°°(0) существует единственное левоинвариантное среднее.

И все-таки приведенные выше утверждения представляют собой исключения в общей картине. Как правило, задача описания пространства Хс в общем случае, то есть для любой локально компактной группы <2, достаточно трудна, что подчеркивается и авторами [6]. Подкреплением этому могут служить следующие полученные ими результаты. В предложении 1.4, [6] показано, что для любой недискретной, локально компактной группы С существует мера ¡л е М(С?) такая, что отображение I е Си Ьхц е М((?) не является слабо измеримым. Там же доказано, что действие группы С? на пространстве М(0)' не является ни полунепрерывным снизу, ни слабо* измеримым отображением (7 в М(С)'. Аналогичная ситуация возникает вокруг пространства Ь°°((})'. В предложении 3.2, [6] утверждается, что если группа С? не дискретна и аменабельна как дискретная, то существуют функционалы ¡л, ь> е Ь°°(СУ такие, что отображение х е С? ь-> Ьац е Ь00^)' не является слабо* измеримым, а отображение х е С? ь-> Ьхи е Ь°°(оу не полунепрерывно снизу.

Не меньшие трудности возникают при попытке описания ЛТН функционалов на С В (С)'. В этом направлении нам удалось найти несколько конструкций таких функционалов (функционалы 1-го и 2-го типа, [7]), но почти сразу были получены теоремы, показывающие, что этими функционалами не исчерпываются все возможные случаи. Более общий (но не конструктивный) метод построения таких функционалов предлагается в данной работе (§6), хотя вопрос о том, можно ли любой ЛТН функционал получить таким способом, остается пока открытым.

Таким образом, не имея возможности описать все элементы множества Хс (все JITH функционалы), авторы [6] исследуют различные свойства этого пространства. Ниже мы затронем некоторые из них и сравним их с аналогичными результатами, полученными в данной работе.

В предложении 3.3, [6] рассматривается вопрос о взаимосвязи пространства (L00(G)')C с решеточными операциями. Доказано, что положительная и отрицательная части любого функционала /л е (LOG(G)')c также принадлежат (L°°(Gy)c. В частности, отсюда следует, что для любого функционала ¡л е (Lco(G)')c функционал \/i\ = ju+ 4- рг принадлежит (L°°(Gy)c. Там же, в предложении 3.3, показано, что обращение этого утверждения не верно, то есть существует функционал ¡л е L°°{Gy\ (L°°(G)')C такой, что \/л\ е (Lœ(G)')c. Аналогичный вопрос исследуется нами в §1, предложение 1.6, где доказано, что положительная и отрицательная части сильно ЛТН функционала из CB(G)' снова являются сильно ЛТН функционалами. Более трудная задача о сохранении свойства ЛТН при отображениях F е CB{G)' ^ F+, F е CB(G)' F" решена в предложении 1.7. В нашем случае, также как ив [6], можно показать, что из ЛТН функционала не следует ЛТН функционала F (этот пример не приведен в работе, но он аналогичен примеру на стр. 141, в котором показано, что существуют левотрансляционно непрерывный функционал Fi е CB(G)' и левотрансляционно разрывный функционал F2 G С В (G)' такие, что 0 ^ F2 К Fi).

В лемме 2.3, [6] доказывается, что любой функционал у, заданный на некотором замкнутом, инвариантном относительно сдвигов подпространстве W с LUC(G) и принадлежащий множеству (W')c, может быть продолжен на любое, содержащее W, инвариантное относительно сдвигов пространство X с L°°(G), причем продолжение принадлежит множеству (Х')с. В статье [9], в главе 4 нами был исследован аналогичный вопрос о возможности продолжения ЛТН функционалов, заданных на LUC(R) до ЛТН функционалов на CBQRL) и получен отрицательный ответ (то есть такое продолжение не всегда возможно).

В статье [6] доказывается трансляционная разрывность некоторых классов функционалов. Так, теорема 2.6, [6] утверждает, что если G — недискретная локально компактная группа и функционал ß е LUC (G)' имеет ненулевую дискретную часть, то ß ф (LUC(G)')c. Исследование аналогичного вопроса относительно JITH функционалов из CB(G)' приводит практически к такому же результату (теорема 10.1).

В теоремах 3.10 и 3.7, [6] обсуждается вопрос о существовании элементов пространства L°°{G)'C (CB(G)'c), не порождаемых инвариантными средними и функционалами из Li(G). Из теоремы 3.10, примененной к W = CB(G), следует, что для любой некомпактной, локально компактной группы G существует функционал ß б (CB{G)')c, ß ^ 0 сингулярный по отношению к левоинвариантным средним на CB(G). В теореме 3.7 показано, что для любой унимодулярной, локально компактной группы G, содержащей бесконечную, замкнутую, дискретную подгруппу, существует элемент ß е (L°°(G)')C, сингулярный по отношению к левоинвариантным средним и к пространству L\{G).

Сходная постановка задачи была рассмотрена нами в [7], где мы определили функционалы 1-го и 2-го типа на С В (Ж) (которые являются JITH функционалами), причем множество функционалов 1-го типа включало в себя множество левоинвариантных средних на CBÇSL). Было показано (теорема 1, [7] и теорема 6.2, [9]), что в каждом из этих классов существуют функционалы, которые не приближаются по норме функционалами из другого класса, а также, что существуют JITH функционалы, не принадлежащие замыканию по норме линейной оболочки множества функционалов 1-го и 2-го классов (теорема 6.3, [9]).

Рассмотрим теперь работы, относящиеся непосредственно к исследованию ТН функционалов, опубликованные к настоящему моменту.

В статье [7] впервые появилось определение непрерывного относительно сдвигов функционала на СВ(Ш). Были определены функционалы 1-го и 2-го классов и приведены некоторые конструкции таких функционалов. Также выделены множества финитных и инфинитных функционалов.

В статье [8], находящейся сейчас в печати, было показано, что положительная и отрицательная части ТН функционала на С£?(Ж) также являются ТН функционалами. Кроме того, в этой работе исследуются дальнейшие свойства функционалов 2-го класса.

Наиболее полное исследование ТН функционалов для случая группы СУ = Е приведено в статье [9]. Помимо прочего, туда вошли некоторые результаты специфичные для группы К (функционалы с носителем в быстро убывающем множестве), для которых не найдено подходящего обобщения на случай произвольной локально компактной группы 6?. Формулировки всех полученных утверждений для случая группы М приведены в обзорной статье [11].

Краткое содержание диссертации. Предлагаемая работа является обобщением проведенного ранее исследования на случай произвольной локально компактной группы. Кроме того нами были получены новые результаты (такие как теоремы 9.1,10.1,11.3), не известные ранее даже для случая группы Ж. Сразу после предисловия идет введение, в котором напоминаются общеизвестные понятия гармонического анализа, а также определяются множества ТН и сильно ТН функционалов, изучаемые на протяжении всей статьи.

В первой главе, опубликованной в [10], определены понятия финитного и инфинитного функционала, носителя функционала и приводятся некоторые утверждения относительно решеточных операций на пространстве СВ{Сг)'. В этих параграфах формируется язык, используемый далее для формулировки и доказательства основных результатов.

Вторая глава является центральной для данной работы. После технического параграфа, относящегося к покрытиям группы конечной кратности, исследуются различные конструкции ТН функционалов, с помощью которых доказываются теоремы существования и описывается множество значений ТН, средних, инфинитных функционалов на данной функции. В заключении приводится важное свойство инфинитных ТН функционалов, с помощью которого доказаны достаточные условия трансляционной разрывности.

В третьей главе мы изучаем специальные классы функционалов: дискретные функционалы, функционалы со сжимающимся носителем и функционалы с носителем в множестве нулевой меры. Полученные результаты показывают насколько различными могут быть ТН и TP функционалы на пространстве CB(G).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [7, 8, 9, 10, 11, 12] и получены автором самостоятельно.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту А. И. Штерну за постановку задачи, стимулирование к работе и многочисленные ценные советы, а также руководителям и участникам семинара "Топология и анализ" под рук. профессора А. С. Мищенко, семинара "Бесконечномерный анализ и его применения" под рук. профессоров О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе и семинара "Ортогональные ряды" под рук. профессоров Б. С. Кашина и С. В. Конягина за оказанное внимание к работе и ряд полезных замечаний. Неоценимую помощь в написании данного текста оказало общение с редакциями журналов "Функциональный анализ и его приложения" и "Russian Journal of Mathematical Physics", в результате которого был устранен ряд неточностей, а также сильно изменился первоначальный характер изложения.

Введение

Во введении мы определим основные понятия и приведем некоторые обозначения, которые будут использоваться в основной части работы. Сюда входят некоторые понятия общей топологии, функционального и гармонического анализа. В этой части мы ограничиваемся формулировками определений и теорем, а с более подробным изложением можно познакомиться по книгам [18, 14, 13, 15, 16]. Во второй части введения мы определим центральные для нас понятия левоинвариантного среднего, транс-ляционно непрерывного функционала, сильно трансляционно непрерывного функционала и обсудим некоторые их свойства, прямо вытекающие из определений.

Пусть (7 — локально компактная группа. Множество окрестностей единицы будем обозначать И(е). Известно, что базис окрестностей единицы можно выбрать состоящим из открытых окрестностей единицы (множество которых обозначается Д,(е)), компактных окрестностей единицы (обозначение: Яс(е)), открытых симметричных окрестностей единицы (обозначение: Яов(е)), компактных симметричных окрестностей единицы (обозначение: НС5(е)), открытых, относительно компактных окрестностей единицы (обозначение: Яас(е)) и открытых, относительно компактных, симметричных окрестностей единицы (обозначение: Д0СДе)).

Будем говорить, что группа (7 счетна в бесконечности, если существует последовательность компактных множеств Кп с п € N такая, оо что (7 = и Кп. Если такая последовательность существует, то ее можно п—1 выбрать возрастающей.

Известно, что топологическое пространство С нормально ([18], 8.13), откуда следует, что справедлива следующая теорема о продолжении непрерывной функции ([13], глава I, §5, теорема 3): пусть А с (7 — замкнутое множество, и функция / определена и непрерывна на А, причем для некоторых С1,С2 е Ж справедливо неравенство с\ ^ /(х) ^ С2 при х е А. Тогда функцию / можно продолжить на всю группу (7 с сохранением непрерывности и неравенства с\ ^ / < сч.

При изучении топологических вопросов мы будем в основном использовать язык окрестностей, открытых и замкнутых множеств. Символом А о обозначается замыкание множества А, символом А — внутренность множества А и символом дА — граница множества А. Однако, в некоторых случаях нам будет технически проще использовать понятие предельного перехода. Во избежание разногласий напомним некоторые определения. Пусть /: G —» X — функция на локально компактной группе G со значениями в топологическом пространстве X. Символом lim /(х), где xq е G

X—>Жо мы будем обозначать предел функции / по базе (х —+ #0), состоящей из всех окрестностей точки xq. Если группа G некомпактна, то символом lim f{x) будем обозначать предел функции / по базе (х —> со), состож—>оо ящей из дополнений компактных подмножеств G. Стандартным образом определяются верхние и нижние пределы по данной базе функции /: G->R.

Также мы будем пользоваться понятием обобщенной последовательности. Напомним основные определения (в этом вопросе мы следуем [13]). Частично упорядоченное множество (А, <) называется направленным, если каждое конечное подмножество из А имеет мажоранту. Это эквивалентно тому, что для любых а^огг е Л существует е А такое, что аз ^ оя,а2- Отображение f:A—>X называется обобщенной последовательностью (другое обозначение: ха е X, где а е А). Обобщенная последовательность ха, а е А в топологическом пространстве X называется сходящейся к точке х0 е X, если для любой окрестности U(xо) точки хо найдется индекс 6 А такой, что при а ^ ао имеем ха G U(xо). В этом случае мы также будем говорить, что предел ха существует и равен хо и обозначать lim ж« = хо или ха —* xq. а

Рассмотрим обобщенную последовательность функций fa: X —► а е. А, где X — некоторое множество. Будем говорить, что обобщенная последовательность fa, а е А сходится в точке х е X, если числовая обобщенная последовательность fa(x), а в А сходится. Обобщенная последовательность /<*, а G А сходится равномерно к функции /: X —► M на множестве F с X, если для любого е > 0 найдется индекс ао G А такой, что для любого а > ао выполнено неравенство \fa(x) — f(x)\ < е для любого ж е Y.

При работе с компактными множествами нам потребуется понятие обобщенной предельной точки обобщенной последовательности. Пусть ха, а g А — обобщенная последовательность в топологическом пространстве X. Точка xq е X называется обобщенной предельной точкой обобщенной последовательности ха, если для любой окрестности U(xо) точки £о и любого ао g А найдется а g А такое, что а^ ао и ха е U(xq). Это равносильно тому, что xq g П а > ао}, где черта означает замыкание в топологическом пространстве X. Термин обобщенная предельная точка будет также использоваться применительно к обычным последовательностям xnt п g N в топологическом пространстве X (разумеется в том же смысле). При этом следует отличать понятие обобщенной предельной точки от понятия предельной точки последовательности хп, как точки хо g X, являющейся пределом некоторой подпоследовательности последовательности хп. Если х0 g X — обобщенная предельная точка последовательности хп, то можно утверждать, что существует направленное множество А и обобщенная последовательность натуральных чисел п(а), a g а такие, что limn(a) = 00 и lima;n(a) = xq. а а

Определим направленные множества, которые будут использоваться нами особенно часто. Первое состоит из всех компактных подмножеств G и обозначается €(G), Отношение порядка на €(G) определяется соотношением Ki < К2 & Ki с К2 для КЪК2 G €(G). Если КЪК2 g £((?), то К^ = Кi U К2 — компактное множество, мажорирующее К\ и К2, а значит множество €(G) направленно. Обобщенная последовательность ха, a g €(G) будет обозначаться хк, а предел такой обобщенной последовательности будет обозначаться символом Итхк

Другими направленными множествами, которые мы будем рассматривать, являются определенные выше множества окрестностей единицы

Я(е), Я0(е), 11с(е), й03(е), Ясз(е), Кос(е), И0С;5(е). Отношение порядка в них вводится во правилу Т]\ ^ £/2 ^ £/1 I) £/2, где Щ и С/г принадлежат одному из указанных множеств окрестностей единицы. Заметим, что для окрестностей единицы Х1\ и £/2 множество С/1ПС/2 также является окрестностью единицы, мажорирует 11\ и £72 и принадлежит тому же классу окрестностей, которому принадлежат 11\ и £/2. Следовательно рассматриваемые множества направленны. Обобщенная последовательность с индексами из таких множеств будет обозначаться хи, а предел такой обобщенной последовательности — Нтжс/. При этом из контекста всегда будет ясно, какому именно классу окрестностей единицы принадлежат индексы II.

Одним из основных пространств, которые мы будем рассматривать на протяжении всей работы, является линейное пространство СВ(С), состоящее из непрерывных, ограниченных, вещественнозначных функций на группе С. Это пространство наделяется супремум нормой, относительно которой оно является банаховым пространством. Для любых двух функций /ь/2 <Е С В (С) определены функции тт(/ь/2) и тах(/ь/2), значением которых в каждой точке х е С является соответственно минимальное или максимальное из чисел Д(ж) и /2(2)- Функции тт(/1, /2) и тах(/ь/2) принадлежат СВ(С) и операции (/ь/2) тт(/ь/2) и (/ь/2) »-» шах(/1,/2) наделяют СБ(С) структурой (банаховой) решетки (определение банаховой решетки см. в [14], глава V, раздел 7). Обозначим /+ = тах(/,0) и = -ппп(/,0) для любой функции / е СВ(С).

Носителем функции / е СВ(С) (обозначение: вирр/) называется замыкание множества {х € С | /(ж) Ф 0}. Множество функций / е СВ(С), имеющих компактный носитель, обозначим Соо(С). Множество Соо(С) является линейным пространством; его замыкание в С В (С) обозначается Со(С). Если компактная группа, то множество Со(С) совпадает с С В (С), а в противном случае Со (С) представляет собой множество функций / е Сб(С), стремящихся к нулю на бесконечности.

Пусть СЛ(С)' — пространство линейных непрерывных функционалов на С В (С). На СБ (С)' мы будем рассматривать две топологии: нормированную топологию, а также слабую относительно двойственности (CB(G),CB(GУ) топологию, называемую в дальнейшем слабой* топологией. Известно ([13], глава V, §4), что единичный шар пространства CB(G)' компактен в слабой* топологии.

Функционал F g CB(G)r называется неотрицательным (обозначение: F ^ 0), если F(f) ^ 0 для любой неотрицательной функции / G CB(G); средним, если F ^ 0 и F(l) = 1. Множество средних функционалов слабо* компактно. Примером среднего функционала может служить точечный функционал рх g CB(G)', х е G, задаваемый формулой Px(f) — /(я) для любой функции / G С В (G). Полярой относительно двойственности (CB(G),CB(G)') множества линейных комбинаций точечных функционалов является тождественно нулевая функция, откуда следует, что эти линейные комбинации слабо* плотны в CB(G)'. Простым следствием теоремы Хана-Банаха является утверждение о том, что множество выпуклых комбинаций точечных функционалов слабо* плотно в множестве средних функционалов.

Определим действие группы G на пространствах CB(G) и GB(G)f. Для любой функции / g С В (G) определим ее левый сдвиг tf g CB{G) на элемент t е G по правилу tf{%) f(tx), где х g G, и правый сдвиг def ft g CB(G) по правилу ft(x) = f(xt), x g G. Двойственно определяются сдвиги на CB(G)', а именно левый сдвиг функционала F е CB(G)' обозначается tF g CB{G)' и определяется формулой tF(f) = F(tf), где / g С В (G), а правый сдвиг Ft g CB(G)' определяется формулой clcîf

Ft(f) = F(/i),где / g CB{G). Сдвиги на пространствах функций и функционалов обладают следующими свойствами: для любых s,t g G и / g CB{G) s(tf) — tsf, (ft)s = fsti и (tf)s = t(fs)

Аналогично для любых s,t g G и F g CB(G)' s(tF) ~ stF, (Ft)s = Fts, и (eF)s — ¿(FJ

Понятия сдвига функции и ее носителя связаны следующими соотношениями: для любых t € G и / е CB(G) supp (tf) = t~l supp/ и supp(/i) = (suppj)r1

Пусть Л — левая мера Хаара на локально компактной группе G ([16], §7). Если множество А с G Л-интегрируемо, то его меру \(А) мы иногда будем для краткости обозначать \А\. Характеристическую функцию множества А обозначим ха- Пусть L\(G) — банахово пространство А-интегрируемых, вещественнозначных функций на G, наделенное нормой ll/lli = J \f{t)\ \(dt). Известно, что lim \\tf — f\\i ~ 0 для любой функции g € Li(G). Пространство Li(G) следующим образом может быть вложено в пространство CB(G)r: каждой функции h е L\(G) сопоставим функцич ✓ч def онал h е CB(G)', определяемый по правилу h(f) = / h(t)f(t)X(dt), где / е CB(G).

Предложение 0.1. Пусть G — локально компактная группа. Тогда отображение h е L\(G) i-> h е CB{G)' линейно, непрерывно по норме, и для любых х е G и h е L\{G) выполнено соотношение xh — x-i (h).

Доказательство. Линейность очевидно следует из определения. Далее, для любых функций hi,h2 € Li(G) и / € CB(G) имеем неравенство

МЛ - W)| = | J(h!(t) - h2(t))f(t)\(dt)| < I |M*) - h2(t)| X(dt) • II/II = g g ll^i—Л2Ц1 II/II, откуда \\h1-h2W ^ \\h1~h2||i, а значит искомое отображение непрерывно по норме.

Наконец для любого х е G и произвольных функций h е Li(G) и / е CB{G) имеем Ji{f) = f xh(t)f(t) \{dt) = f h{xt)f(t) X(dt) = g g

Jh(t)f(x~H)\(dt) = / h{t)x-if(t) \(dt) = - *-i (£)(/), откуда слеg g дует последнее утверждение предложения. ■

Для любых функций f,g е ^i(G) определена свертка х е G f*g(x) = / f(t)g(t~lx)\(dt), также принадлежащая Li(Gf). Согласно [1] g функция / е CB(G) называется равномерно непрерывной справа, если lim ||/ — 4/|| = 0 {слева, если lim]|/ — ft\\ = 0). Множество ограничение t—>е ных, равномерно непрерывных слева (справа) функций на G обозначим

UBiiG) (UBr(G)). Любая непрерывная функция е компактным носителем принадлежит UBi(G) п UBr(G). Если / g L\(G) и g g CB(G), то f*geUBr(G).

Перейдем к центральным определениям данной статьи. Левоинвари-антным средним (ЛИС) на CB(G) называется функционал m g CB(G)\ являющийся средним, и инвариантный относительно левых сдвигов {tm = m для любого t g G). Множество ЛИС обозначим £(<*); оно выпукло и слабо* компактно. Аналогично определяются правоинвариант-ные средние на CB(G). Группы на которых существуют ЛИС называются аменабельными. Существование левоинвариантного среднего равносильно существованию правоинвариантного среднего. Более подробную информацию о ЛИС можно получить, например, из [1], [2].

Функционал F g CB(G)' называется сильно левотрансляционно непрерывным (сильно ЛТН), если limlLF — Fil = 0. t—>е

Предложение 0.2. Пусть G — локально компактная группа. Множество сильно ЛТН функционалов из CB(G)' является замкнутым по норме, инвариантным относительно сдвигов линейным пространством.

Доказательство. Пусть функционалы Fi,F2 g CB(G)' сильно ЛТН, то есть lim ||tFi — Fj|| = 0, при i = 1,2. Для любых Ci,C2 g Ш имеет место t—>e неравенство \\t{ClFl + C2F2) - (C1F1 + C2F2)\\ < |<7х|j^Fi-i^H + |C2|||*F2 ~ F2II, переходя в котором к пределу при t е, убеждаемся, что функционал Ci Fi + C2F2 является сильно ЛТН. Следовательно сильно ЛТН функционалы образуют линейное пространство.

Предположим, что последовательность сильно ЛТН функционалов Fn g CB(G)\ п g N сходится по норме к функционалу F g CB{G)'. Зафиксируем произвольное е > 0 и найдем п g N так, чтобы ||F - Fn\\ < f. В силу сильной ЛТН функционала Fn найдется окрестность единицы U такая, что ||i(Fn) — Fn|| ^ | для любого t g U. Тогда имеем неравенство IliF-Fll ^ ||*F —¿(Fn)|| + ||i(Fn) -Fn\\ + ||Fre —F|| < верное для любого t g U. Следовательно функционал F сильно ЛТН откуда следует, что линейное пространство сильно ЛТН функционалов замкнуто по норме.

Докажем инвариантность множества сильно ЛТН функционалов относительно сдвигов. Пусть F € CB(G)r — сильно ЛТН функционал и s G G. Тогда для любого t е G имеем равенство ||t(Fs) — Fs|| = ||tF - F||, правая часть которого стремится к 0 при t —> е в силу сильной ЛТН функционала F. Следовательно lim||t(Fs) — Fs\\ = 0, а значит функциоt— нал Fs сильно ЛТН.

С другой стороны для любого t G G выполнено равенство \\t{sF) — ,F|| = ||tsF - SF|| = |U-i(teJP) - F|| - \\s-HsF - F||. Поскольку при t e имеем s~Hs —> e, то в силу сильной ЛТН функционала F правая часть полученного равенства стремится к 0. Следовательно lim ||t(ÄF) — t—>е

SF|| = 0, что доказывает сильную ЛТН функционала SF. Инвариантность множества сильно ЛТН функционалов относительно сдвигов доказана.

В следующем предложении мы приведем важный пример сильно ЛТН функционала.

Предложение 0.3. Пусть G — локально компактная группа и h е Li(G). Тогда функционал h е CB(G)' является сильно ЛТН.

Доказательство. Зафиксируем произвольные х g G и / е CB(G). Используя левую инвариантность меры Л, получаем равенство (xh — h)(f) — hU~f) = Jh(t)(f(xt)-f(t))X(dt) = J(h(x-H)-h(t))f(t)X(dt) = g g f ix-Mt) ~ h(t))f(t) X(dt), откуда g th-k\\ < Wx-ih-hWr. (1)

Поскольку h e Li(G), то выполнено соотношение lim \\x-ih — h\\i = 0, а x-^e значит из (1) следует, что lim \\xh — h\\ — 0. Это доказывает сильную ЛТН х-+е функционала h. ■

Функционал F е CB(G)' называется непрерывным относительно левых сдвигов (левотрансляционно непрерывным, ЛТН), если для любой функции / е CB(G) имеет место равенство lim F(tf) = F(f) или, что f—+е то же самое, tF —> F(t —» е) в слабой* топологии. Легко видеть, что если функционал F является ЛТН, то для любой функции / G CB(G) функция <р: G —> R такая, что ip(t) = F(t/) при t е G, также принадлежит CB(G). Это условие является необходимым и достаточным условием непрерывности относительно левых сдвигов. Множество ЛТН функционалов из CB(G)' обозначим <£&i(G). Аналогично определяются правотрансляционно непрерывные (ПТН) функционалы. Функционал F е CB(G)', не являющийся ЛТН, будем называть левотрансляционно разрывным (ЛТР).

Предложение 0.4. Пусть G — локально компактная группа. Множество ЛТН функционалов из CB{G)' является замкнутым по норме, инвариантным относительно сдвигов линейным пространством.

Доказательство. Функционал F е CB(G)f является ЛТН тогда и только тогда, когда выполнено равенство lirntF = F, где предел рассматривается i—»е в слабой* топологии на пространстве CB(G)'. Поскольку это равенство линейно по F, то множество ЛТН функционалов является линейным пространством.

Предположим, что функционалы Fn е CB(G)', п eN являются ЛТН и существует функционал F G CB{G)' такой, что lim ||Fn — F|| = 0. п—> оо

Докажем, что F — ЛТН функционал, для чего зафиксируем функцию / G CB{G) и заметим, что для любого t е G имеет место равенство lim F„(tf) = F(tf), причем предел существует равномерно по t е G. п—»оо

В силу ЛТН функционалов Fn, для любого п € N выполнено соотношение limFn(f/) — Fn(f). Тогда, применяя теорему о повторных предеi—>е лах, получим соотношение IimF(t/) = lim lim Fn(tf) = lim limFn(i/) = t—>e t—>e n—>00 п—ьоо t—>e lim Fn{f) = F(f), доказывающее ЛТН функционала F. Следовательно гг—> оо множество ЛТН функционалов замкнуто по норме.

Докажем инвариантность множества ЛТН функционалов относительно сдвигов. Пусть F — ЛТН функционал, / € CB{G) и s е G. Для любого t е G имеем равенство t(Fs)(f) = tF{fs), правая часть которого стремится к F(fa) при t —> е в силу J1TH функционала F. Следовательно limt(Fs)(f) — F(fs) = Fg(f), что в силу произвольности функции / i—>е доказывает ЛТН функционала Fs.

С другой стороны для любого t е G выполнено равенство t(sF)(f) = tsF(f) = a-i(tsF)(sf) = s-HsF{sf). Поскольку при t е имеем s~4s е, то в силу ЛТН функционала F правая часть полученного равенства стремится к F(sf). Следовательно lim t(sF)(f) = F(af) = sF(f), что доказыe вает ЛТН функционала SF. Вместе с предыдущим результатом отсюда следует инвариантность множества ЛТН функционалов относительно сдвигов. ■

Ясно, что любой сильно ЛТН функционал является ЛТН функционалом. Эти два класса функционалов совпадают на любой дискретной группе G, где они совпадают со множеством всех функционалов из CB(G)'. В случае же, если G недискретна, то точечный функционал рх, х е G является ЛТН (lim tipx))(f) = lim/(te) = f(x) =px(f), в силу непрерывности e t—>e f € CB(G)), но не является сильно ЛТН. Для доказательства последнего утверждения заметим, что для любого х ^ е существует функция / е CB(G), —1 < / ^ 1 такая, что f(x) = 1, /(е) = —1, а значит IU(Pe) -Ре|| > \x(Pe)(f) - Pe(f)I = 2 при x ф е, что доказывает сильную Л TP функционала ре на недискретной группе G.

Из приведенного примера вытекает, что для недискретной группы G множество сильно ЛТН функционалов не является слабо* замкнутым. Действительно, функционалы вида h, где h е Li(G) сильно ЛТН согласно предложению 0.3. Из теоремы Хана-Банаха легко следует, что слабое* замыкание множества таких функционалов совпадает со всем CB(G)'. Таким образом существование сильно ЛТР функционала доказывает, что множество сильно ЛТН функционалов не слабо* замкнуто для недискретной группы G.

Аналогичный вопрос относительно множества ЛТН функционалов решается сложнее. Докажем сначала, что если группа G компактна, то пространство £$¡(G), также как и в дискретном случае, совпадает с

CB(G)'. Зафиксируем произвольную функцию / € CB(G). Поскольку группа G компактна, то функция / равномерно непрерывна справа, откуда lim ||tf - /|| = 0. Но тогда для любого функционала F е CB(G)' t—ve имеем lim F(tf — f) = 0 (в силу непрерывности F), что доказывает JITH t—*e функционала F.

Если локально компактная группа G недискретна и некомпактна, то на пространстве CB[G) существует JITP функционал. Для счетных в бесконечности групп это доказано в следствии к теореме 10.2, а произвольный случай рассмотрен в теореме 11.1. Отсюда следует, что для недискретной, некомпактной группы G множество JITH функционалов не замкнуто в слабой* топологии, поскольку слабое* замыкание множества линейных комбинаций точечных функционалов совпадает со всем пространством CB{G)'.

1. Гринлиф Ф., Инвариантные средние на топологических группах и их приложения, М., Мир, 1973

2. Paterson, A. L. Т., Amenability, Providence, Rhode Island, AMS, 1988

3. Shtern A.I., Almost convergence and its applications to the Fourier-Stieltijes localization, RJMP, 1993, vol. 1, no. 1, pp. 115-125

4. Talagrand M., Closed convex hull of set of measurable functions, Riemann-measurable functions and rneasurability of translations, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), vol. 32, no. 1, 1982, pp. 39-69.

5. Graham С. C., Lau А. Т. M., Leinert M., Separable translation invariant subspaces of M(G) and other dual spaces on locally compact groups, Colloq. Math., vol. 55, no. 1, 1988, pp. 131-145

6. Graham С. C., Lau А. Т. M., Leinert M., Continuity of translation in the dual of L°°(G) and related spaces, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 328, no. 2, 1991, pp. 589-618

7. Sinaiskii E.E., On functional on CB(G) on which the translation operation is weakly continuous, RJMP, 2000, vol. 7, no. 4, pp. 473-481

8. Синайский E.E., Разложение непрерывного относительно сдвигов функционала на положительную и отрицательную части, Вестник Московского Университета (серия Математика и механика), в печати

9. Sinaiskii Е.Е., Translation continuous functionals on СВ(Ж), RJMP, 2002, vol. 9, no. 2, pp. 202-232

10. Sinaiskii E.E., Translation continuous functionals on the space CB(G) and their supports, RJMP, 2002, vol. 9, no. 4, pp. 455-485

11. Синайский E.E., Трансляционнно непрерывные функционалы на CZ?(M) и их носители, Функциональный анализ и его приложения, 2002, т. 36, в. 4, стр. 84-87