Когомологии и спектральный синтез β-равномерных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Хорькова Тамара Анатольевна

КОГОМОЛОГИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ (3-РАВНОМЕРНЫХ АЛГЕБР

01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003479236

Казань-2009

003479236

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Казанского государственного энергетического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Григорян Сурен Аршакович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Муштари Данияр Хамидович кандидат физико-математических наук, доцент

Гичев Виктор Матвеевич

Ведущая организация: Брянский государственный университет

Защита состоится 29 октября 2009 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 23 сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Липачёв Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию свойств /^-равномерных алгебр — алгебр непрерывных функций на локально компактных множествах со специальной топологией (^-топология). Такие алгебры являются естественным обобщением классических равномерных алгебр, т. е. алгебр непрерывных функций на компактных множествах, наделенных равномерной нормой.

Теория равномерных алгебр хорошо отражена в книге Т. Гаме-лина "Равномерные алгебры".

Первой публикацией, посвященной /^-равномерным алгебрам можно, по-видимому, считать работу R. С. Buck, "Bounded continuous functions on a locally compact space опубликованную в Мичиганском математическом журнале. Работы последующих исследователей /3-равномерных алгебр посвящались, с одной стороны, распространению результатов из теории равномерных аагебр на /3-равномерный случай, а с другой стороны, выяснению свойств этих алгебр, у которых нет аналогов для равномерных алгебр.

В предложенной диссертации рассматриваются тоже два типа задач: распространяются известные утверждения из теории равномерных алгебр на /3-равномерный случай, и доказываются утверждения. которые справедливы только для /^-равномерных алгебр.

Интерес к изучению ^-равномерных алгебр связан с возможностью приложения их к вопросам С*-алгебр, теории динамических систем, теории функций многих комплексных переменных, теории локально выпуклых алгебр на локально компактных группах.

Цель работы. Исследование /^-равномерных алгебр, гомологических свойств таких алгебр, распространение теории обобщенных по

Аренсу - Зингеру аналитических функций на алгебры функций, заданных на локально компактных абелевых группах.

Общая методика исследования. В работе широко применяются методы функционального анализа и теории функций, теории мер, гармонического анализа на локально компактных группах, теории гомологий локально выпуклых пространств.

Научная новизна. В работе исследованы граница Шилова и другие математические обьекты /^-равномерных алгебр, дается критерий аменабельности таких алгебр, в терминах спектрального синтеза найдено условие совпадения двух классов инвариантных алгебр на локально компактных абелевых группах. Получен критерий максимальности инвариантных /^-равномерных алгебр на локально компактных абелевых группах.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и является продолжением исследований локально выпуклых алгебр, гармонического анализа на группах. Полученные результаты могут быть использованы и в других областях математики.

Апробация работы. Основные результаты были доложены на:

• первой молодежной научной конференции «Тинчуринскне чтения», Казань, 2006 г., третьей конференции 2008 г., четвертой конференции 2009 г.

• научном семинаре кафедры математического анализа механико-математического факультета Казанского гоеу-

дарственного университета в 2007 г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор А. Н. Шерстнев);

• Воронежской зимней математической школе - конференции С. Г. Крейна - 2008 г.

• научном семинаре Института математики HAH Армении по банаховым алгебрам и комплексному анализу, Ереван, 2008 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. В совместных работах [3], [4] М. И. Ка-рахапяну принадлежит постановка задачи. В работе [1] С. А. Григоряну принадлежит постановка задачи и общие рекомендации по решению.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX и содержит 77 страниц. В списке литературы 37 наименований.

На защиту выносятся следующие результаты.

• Исследованы /^-равномерные максимальные алгебры и ,3-равномерные алгебры Дирихле.

• Введено понятие ко гомологии /3-равномсрной алгебры и доказано, что из тривиальности первой группы когомологий (ß-аменабельности) следует совпадение /3-аменабельной алгебры с алгеброй всех непрерывных ограниченных функций на локально компактном пространстве.

• В терминах спектрального синтеза найден критерий совпадения двух классов инвариантных ^-равномерных алгебр на локально компактных абелевых группах.

• "Установлен критерий максимальности инвариантных /3-равномерных алгебр на локально компактных абелевых группах.

Основное содержание работы

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию свойств /^-равномерных алгебр. В ней. наряду с известными результатами, есть новые утверждения. Первые три параграфа посвящены различным определениям, используемым в этой работе.

Пусть С (О.) - банахова алгебра всех непрерывных комплексно-значных функций на компактном множестве Q, наделенная равномерной нормой. Замкнутая подалгебра Л алгебры C(Í2) называется равномерной, если она содержит константы и разделяет точки множества Q, т.е. для любых xi, Х2 из Q, х\ ф х2, существует функция / из Л такая, что f{xi) ф /(.Тг)-

Замкнутое подмножество F в Í2 называется границей для алгебры Л., если supn |/| = supF|/|, для всех / из Л. Пересечение всех границ для алгебры Л есть граница Шилова, т.е. такое наименьшее (по включению) замкнутое множество F, что supf |/| = supn |/|, для всех / из Л. В дальнейшем через дЛ будем обозначать границу Шилова алгебры Л. Каждая равномерная алгебра обладает границей Шилова и она единственна.

Замкнутое множество F в Г2 называется множеством пика для равномерной алгебры Л, если существует такая функция / в Л, что f{x) = 1, для всех х из F, и |/(х)| < 1, если х из \ F. Замкнутое

множество Г2 называется р-множестеом или обобщенным множеством пика для алгебры Л, если оно является пересечением множеств пика. Отметим, что р-множество является множеством пика тогда и только тогда, когда оно является множеством типа G¿.

Пусть Q — локально компактное множество. Множество П называется сг-компактным, если П = (JríU ^ni гДе каждое Fn - компактное множество. Везде в этой работе под локально компактным множеством будем подразумевать сг-компактное множество.

Пространство Сь(&) всех непрерывных, ограниченных комплекс-нозначных функций на локально компактном пространстве П является банаховой алгеброй относительно равномерной нормы ||/||оо = supft ¡/(г) | и поточечного произведения. Пусть Cq(í2) — подалгебра всех функций из C¡,(fi), обращающихся в нуль в бесконечности.

Множество X всех мультипликативных линейных функционалов на C¡,(0.) образует компактное в *-елабой топологии подмножество единичного шара пространства C¡,(£í)*, сопряженного к Сь(П). С помощью i£Í] можно определить мультипликативный функцнонал 5Х : С&(П) —> С, полагая 5x(f) = f(x), для всех / е Сь{Щ- Поэтому, можно считать, что О, есть локально компактное подмножество множества X.

Преобразованием Гельфанда функции / из C¡,(Í7) называется функция / на X, f(<p) = ¥>(/)■ Очевидно, что fg = fg, т.е. это преобразование сохраняет мультипликативность. Преобразование Гельфанда порождает гомоморфизм между алгебрами и С(Х). Если алгебру С(Х) наделить равномерной нормой, то этот гомоморфизм станет изометрическим изоморфизмом между алгебрами C¡,(fi) и С(X). Отождествляя х и 6Х, можем полагать, что С(,(П) есть сужение алгебры С(Х) на множество в X и изометрический изоморфизм порождается оператором сужения / —+ /|п- Отсюда

нетрудно увидеть, что Г2 всюду плотно в X. Множество X называется компактификацией Стоуна - Чеха локально компактного пространства П.

С помощью функций из Со((1) определим семейство полунорм {Ра}5ес0(П)> полагая Р5(/) = Н/зЦоо- Определенная таким образом топология называется ¡3-топологией на Сь{$1). Банахову алгебру Сь(0.), наделенную /3-топологией, будем обозначать Отме-

тим, что /3-топологня является локально выпуклой топологией, порожденной семейством полунорм {•Р9}5ес0(П)-

Пусть М(П) — пространство всех конечных регулярных борелев-еких мер на П. Это пространство совпадает с пространством СДП)*, сопряженным к <7^(0). В четвертом параграфе дается определение /^-равномерной алгебры.

Замкнутая подалгебра Л алгебры С/называется /?-равномерной, если она содержит константы и разделяет точки множества Г2 (т. е. для любых х\, € П, х\ ф Х2, существует функция / е Л, такая что /(хг) ф /(а^))- Равномерная топология сильнее /3-топологии, поэтому ^-равномерная алгебра является замкнутой подалгеброй алгебры Сь(П) и в равномерной норме.

Алгебру Л, наделенную равномерной топологией, будем обозначать через Лоо- Пусть М(Лоо) — пространство всех линейных мультипликативных функционалов алгебры ЛОбозначим через М(Л) множество всех /^-непрерывных линейных мультипликативных функционалов /^-равномерной алгебры Л. Очевидно, М(Л) есть подмножество в М(Лса).

Пусть дАоа будет обозначать границу Шилова алгебры Лоо- Множество дЛх Л П будем называть /3-границей Шилова алгебры Л и обозначать дЛ, это множество, вообще говоря, может быть и пустым.

Предложение 1.4.1. Щсть дЛ= дЛ. Тогда М(Л) = М(А<Х).

В пятом параграфе первой главы в терминах ортогональных мер дается описание р-множества /3-равномерных алгебр.

Пусть Ц£ — мера, полученная сужением меры /х из М(С1) на множество Е. Пусть пространство мер из М(С?), ортогональных к алгебре А. Вообще говоря, если мера ц из Ах, а Е — произвольное замкнутое множество в О, то мера це не обязана принадлежать пространству А1.

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть Е — замкнутое подмножество локально компактного пространства Г2, и Е является р-множеством для /?-равномерной алгебры А на О,. Тогда, для любой меры ц из А\ мера Це также принадлежит Л1.

В следующем параграфе вводятся и исследуются /^-равномерные алгебры Дирихле и /^-равномерные максимальные алгебры.

Для комплекснозначной функции / на Г2 через 11е(/) будем обозначать её вещественную часть (/ =11е(/) + г'1т(/)). Пространство Ср{&) можно представить в виде С/з(Г2) = + гС/?(Г2)м, где

~ пространство всех действительных ограниченных непрерывных функций на локально компактном пространстве Д наделенное /3-топологией. Будем говорить, что А — алгебра Дирихле, если пространство 11е(.А) = {11е.(/) € Сд(П)к : / еЛ} плотно в С7/з(П)а. Аналогично можно определить максимальную /З-равномерную алгебру. /^-равномерная алгебра А на локально компактном пространстве называется максимальной, если А ф- (7^(0) и не существует /^-равномерной алгебры, заключенной строго между А и Ср(0,).

Пусть Е — замкнутое подмножество в О. и У = П \ Р. Обозначим через Ау (соответственно Дг) замыкание в Ср(У) (соотв. Ср(Р)) сужения /^-равномерной алгебры А на У (соотв. Е). Очевидно, Ау

и Ар — /^-равномерные алгебры соответственно на У и F.

ТЕОРЕМА 1.6.2. Пусть А — /3-равномерная алгебра Дирихле, А ф Ср(П), на локально компактном пространстве П, и Р — р-множество для Л. Тогда Ау и Ар являются алгебрами Дирихле соответственно на У и Г, если при этом Ар = С/з(^), то Ау есть собственная подалгебра алгебры Ср^У).

Максимальные алгебры обладают несколько иным свойством.

ТЕОРЕМА 1.6.3. Пусть А -- максимальная (3-равномерная алгебра на локально компактном пространстве ^ - р-множество. Тогда либо Ау ~ максимальная ¡3-равномерная алгебра на У, а Ар = C,(з(F) (У = Е), либо Ар - максимальная ¡3-равномерная алгебра на Е, а Ау = Ср{У).

Пусть А — компактное множество, А — равномерная алгебра на Д и Е — множество пика для алгебры А. Множество Е называется интерполяционным множеством пика, если сужение А\е алгебры А на Е совпадает с алгеброй всех непрерывных функций на Е = С(Е)). Пусть Е — интерполяционное множество пика, = Л\Е и Ао — замыкание сужения .4|п в Ср(й).

ТЕОРЕМА 1.6.4. Пусть А — максимальная равномерная алгебра на Д. Тогда Ао — /3-равномерная максимальная алгебра на Если И. — равномерная алгебра Дирихле., то Ао — ¡3-равномерная алгебра Дирихле.

В последнем седьмом параграфе первой главы исследуются максимальные множества антисимметрии /3-равномерных алгебр.

Замкнутое подмножество Р множества О. называется множеством антисимметрии для /^-равномерной алгебры А, если алгебра А\р не содержит вещественных функций отличных от постоянной.

Вторая глава посвящена вопросам аменабельности /3-равномерных алгебр.

Пусть X — банахово пространство, являющееся одновременно банаховым Аоо-бимодулем. Будем говорить, что X есть /3-полный .Дсо-бимодуль, если из того, что сеть в Л сходится к /о в ¡5-

топологии следует, что для любого х из X сети {/¡х}^/ и {х/г};е/ сходятся к элементам /ох и х/о соответственно, в норме банахова пространства X. Бимодульная операция на банаховом пространстве X задает бимодульную операцию на сопряженном пространстве X* к X: (/у)(х) = (р{х/), {ч>!){х) = <р(/х), для всех / € А, х € X, <реХ*.

Линейный функционал <р из X* назовем *-слабо {3-непрерывным, если из того, что {/¡};е/ /3-с.ходится в А к /о следует, что сети функционалов {/¿(р}г£| и {<р/г};<=/ В Слабой ТОПОЛОГИИ СХОДЯТСЯ К /0<р И 1р$.о соответственно.

Непрерывное отображение О : .Доо —> X называется Х- дифференцированием, сели 0(/д) = ¡0(д) + П(/)д, для любых /,д из А». Отображение 5Х : А» —» X, задаваемое формулой <$г(/) = [/, х\ = ¡х — х/, х £ X, называется внутренним дифференцированием. Обозначим через Е1(А,Х) пространство всех непрерывных Х-днфференцирований и через В1 (А, X) — пространство всех внутренних дифференцирований. Фактор-группа

Н\А,Х)^г\А,Х)1В\А,Х)

называется первой группой когомологий алгебры Аоэ с коэффициентами в ^оо-бимодуле X. Связь когомологий топологических алгебр со свойствами этих алгебр можно найти в книгах А. Я. Хелемского "Банаховы и полииормпрованные алгебры" и "Гомология в банаховых и топологических алгебрах".

Дифференцирование Б : Лж —> X называется (3-непрерывным, если из того, что сеть {/г}ге/ в -4 сходится в /^-топологии к /о, следует, что сеть {/?(/г)}ге/ сходится в норме пространства X к £>(/о)-Пусть X есть /?-полный Лоо-бимодуль. Тогда для любого х внутреннее дифференцирование 5Х является /^-непрерывным. Обозначим через X) — пространство всех /3-непрерывных дифференцирований. Ясно, что каждое /3-непрерывное дифференцирование Б : Лоо —'у X является непрерывным дифференцированием из А<» в X, и Ер(А,Х) есть абелева подгруппа группы Z1(Л, X). Поэтому для /3-полного ^оо-бимодуля X справедливо вложение Щ(А, X) С Н\Л,Х).

Аналогично можно определить X*) — абелеву группу всех ,^-непрерывных в *-слабой топологии дифференцирований £>: А —► X*, т. е. если сеть {/¿}ге/ в А /3-сходится к /о, то сеть линейных функционалов {¿'(/¿Ж'е/ в *-слабой топологии в X* сходится к £>(/о), и 2г(А, X*) — абелеву группу всех непрерывных в *-слабой топологии дифференцирований В : Лс» —> X*. Очевидно, что 2р(А, X*) есть подгруппа группы 21(А, X*).

Согласно Б. Джонсону, банахова алгебра Аж называется амема-бельной, если группа Нг(А, X*) = Я1(А, Х,)/В1(А, X*) — тривиальна, для любого Лоо-бимодуля X, где В1 (А, X*) — абелева группа, состоящая из внутренних дифференцирований <5^ (а) = а<р— <ра.

Назовем алгебру А (3-аменабельной, если группа Щ(А, X*) = X*)/В1 (А, X*) — тривиальна, для любого /^-полного Ах.-бимодуля X. Очевидно, что если А — аменабельная алгебра, то А — /?-аменабельна, т. е. из условия Н1{А,Х*) = 0, для любого Лто-бимодуля X, следует, что Щ(А, X*) = 0, для любого /3-полного Дзо-бимодуля X.

В третьем параграфе приведен основной результат второй главы.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть А есть 0-равномерпая алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) А = Ср{9),

(b) А — (3-аменабельная алгебра.

Данное утверждение есть аналог теоремы М. Шейнберга для равномерных алгебр.

Последняя глава диссертационной работы посвящена исследованию /?-равномерных алгебр на локально компактных абелевых группах, инвариантных относительно сдвигов. Первый и второй параграфы этой главы носят вводный характер.

Пусть б — связная локально компактная абелева группа иб-группа её характеров. Пусть - банахово пространство

всех интегрируемых и измеримых функций на локально компактной группе в с нормой Ц/Ца = /с \f\da, / € Ьг(С,<1о).

Преобразованием Фурье функции / из £/1(С?, с^сг) называется функция / на (5, такая что /(х) = /с/ • х^с.

В третьем параграфе третьей главы исследуется ряд свойств /?-равномерных алгебр инвариантных относительно сдвигов на локально компактной абелевой группе б.

Пусть 5 — некоторая подполугруппа группы характеров содержащая единичный элемент и разделяющая точки группы Обозначим через Р(в) алгебру обобщенных полиномов, порожденных полугруппой 51, т. е. функций вида у = 1 с^Хп. гДе Хп — характеры из полугруппы 5 п сп из С. Пусть Аз — пополнение Р{Б) в /3-топологии.

ЛЕММА 3.3.1. Полугруппа Д^ПС? совпадает с замыканием полугруппы Б в локально компактной абелевой группе характеров (?.

Пусть Ь инвариантное относительно сдвигов замкнутое в *-слабой топологии подпространство пространства ¿/^(С, йсг). Спек-

тром Зр(Ь) пространства Ь называется множество характеров та Обозначим через {¿¡¿Ыл семейство всех открытых в С окрестностей полугруппы 5. Каждое множество 5; порождает идеал

13< = {/ е Ь\0,йа) : /(*) = О, Ух € 5}.

Очевидно, — идеал банаховой алгебры 1}{С,<1о). Пусть Js

есть замыкание этого идеала в Ь1 (6?, ¿а). Этот идеал является минимальным среди всех идеалов, ядро которых совпадает с полугруппой в. Максимальным среди таких идеалов есть идеал 1$ = {/ € 1}{С,(1а) : /(х) = 0, Ух £ 5}- Будем говорить, что полугруппа 5 является полугруппой спектрального синтеза, если Зз = Основным результатом четвертого параграфа является ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть А — максимальная инвариантная относительно сдвигов ¡3-равномерная алгебра на локально компактной абелевой группе б, спектр которой есть полугруппа 5. Следующие условия эквивалентны:

a) А- А3;

b) Б — полугруппа спектрального синтеза.

В следующих трех параграфах исследуются различные свойства /3-инвариантных алгебр на локально компактных абелевых группах. Приведем основные результаты этих трех параграфов.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть А — инвариантная относительно сдвигов ¡3-равномерная алгебра на локально компактной группе Тогда группа является границей Шилова для ¡3-равномерной алгебры А и каждая точка из й является р-точкой дм сихгебры А.

Теорема 3.6.1. Пусть А инвариантная относительно сдвигов ¡3-равномерная алгебра на локально компактной группе и пусть Г максимальная подгруппа в группе характеров С, содержащаяся в А. Тогда

a) Г — замкнутая подгруппа в группе G;

b) каждое максимальное множество антисимметрии алгебры А есть класс смежности группы G по подгруппе Гх = {а € G : х(а) = 1 для всех х из Г}.

Теорема 3.7.3. Пусть А — инвариантная относительно сдвигов максимальная ß-равиомерная алгебра локально компактной абелевой группе G. Тогда полугруппа А Л G задает полный архимедов порядок на группе G.

В последних двух параграфах диссертационной работы исследуются точечные дифференцирования инвариантных /^-равномерных алгебр и алгебр, порожденных полугруппами.

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю С. А. Григоряну за постановку задач и рекомендации в процессе работы над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Grigorian S. A. Point derivations on semigroup algebras. / S. A. Grigorian, T. A. Khorkova // Izv. NAN Armenii. Math. - 2006. -V. 41. - №4. - P. 1-22.

[2] Хорькова Т. А. Об однородных /?-равномерных алгебрах на локально компактных абелевых группах. / Т. А. Хорькова // Тез. докл. - Воронеж: ВорГУ. - 2008. - С. 145-146.

[3] Караханян М. И. Об одном характеристическом свойстве алгебры C(Sl)ß. / М. И. Караханян, Т. А. Хорькова // Сиб. матем. журнал. - 2009. - Т. 50. - №1.- С. 96-106.

[4] Караханян М. И. Об одной характеристике алгебры Ср(П). / М. И. Караханян, Т. А. Хорькова // Функ. анализ и его прил. - 2009. - Т. 43. - №1. - С. 85-87.

Подписано в печать 17.09.2009 г. Формат 60 х 84 1/16. Печать ризографическая Печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 72/9

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Список обозначений

Введение

1 /^-равномерные алгебры 11 Введение.

1.0 Равномерные алгебры.

1.1 Компактификация Стоуна — Чеха.

1.2 Алгебра Ср( 12).

1.3 /3-непрерывные мультипликативные функционалы на Ср{£1)

1.4 /^-равномерные алгебры.

1.5 Ортогональные меры и множества пика.

1.6 /3-равномерные алгебры Дирихле и максимальные /^-равномерные алгебры.

1.7 Максимальные множества антисимметрии для /^-равномерных алгебр.

2 /3-аменабельные алгебры 33 Введение

2.1 когомологии.

2.2 /?-полные Д-бимодули.

2.3 /?-аменабельные алгебры.

3 /^-равномерные алгебры на локально компактных абелевых группах

Введение

3.1 Локально компактные абелевы группы.

3.2 Пространство M{G).

3.3 /3-равномерные инвариантные алгебры на локально компактных абелевых группах.

3.4 /3-равномерные инвариантные алгебры и спектральный синтез

3.5 Алгебры обобщенных аналитических функций

3.6 Множества антисимметрии

3.7 Инвариантные относительно сдвигов

-равномерные максимальные алгебры Дирихле.

3.8 Точечные дифференцирования в /^-равномерных алгебрах на локально компактных абелевых группах.

3.9 Точечные дифференцирования в идемпотентах для алгебры ll(S) 66 Список литературы.

Список обозначений:

Л — /^-равномерная алгебра на локально компактном пространстве Г2 (21) Лоо — алгебра Л, наделенная равномерной топологией (22) Лх — пространство всех мер из М(Г2), ортогональных к алгебре Л (24) Af — замыкание в Cp(F) сужения алгебры Л на множество F (27)

As — пополнение алгебры обобщенных полиномов, порожденных полугруппой S, в /3-топологии (49)

В$ — замыкание алгебры обобщенных полиномов, порожденных полугруппой S, в равномерной норме (алгебра обобщенных аналитических функций) (57) В — алгебра всех ограниченных операторов на L2(£l,[i,) (36)

В1 (Л, X) — пространство внутренних дифференцирований со значениями в X (34) В1 {Л, X*) — пространство внутренних дифференцирований со значениями в X* (35) Сь(П) — пространство всех непрерывных, ограниченных комплекснозначных функций на локально компактном пространстве Q (15)

Со(Г2) — функции из C(,(Q), которые обращаются в ноль в бесконечности (16)

Соо(^) ~ функции из Сь{&) с компактным носителем (16)

Ca(fi) — алгебра Сь(О), наделенная /3-топологией (17) дЛ — /3-граница Шилова алгебры Л (22) дЛоо — граница Шилова алгебры А» (22)

G — группа характеров локально компактной абелевой группы G (46)

Gs — замыкание группы G в пространстве M(Bs) (компактификация Бора группы G с помощью полугруппы S) (58)

S — подполугруппа группы характеров G (49)

X — компактификация Стоуна - Чеха локально компактного пространства П (15)

Хоо — одноточечная компактификация Чеха локально компактного пространства Q (16) М(Л) — пространство всех (3-непрерывных линейных мультипликативных функционалов /3-равномерной алгебры Л (22)

М(Лоо) — пространство линейных мультипликативных функционалов алгебры Л^ (22) M(Bs) — пространство линейных мультипликативных функционалов алгебры (58) M(G) — пространство всех конечных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G (47)

М{ХЖ) — пространство всех регулярных конечных мер на компакте (19) М(0) — пространство всех регулярных конечных борелевских мер на локально компактном пространстве (19) Q — сг-компактное множество (14)

В сороковых годах прошлого века И. М. Гельфандом была создана теория коммутативных банаховых алгебр. Согласно этой теории, каждой коммутативной (полупростой) банаховой алгебре можно поставить в соответствие некоторую банахову алгебру функций па локально компактном пространстве с нормой не слабее равномерной.

Спустя более десяти лет работами Г. Е. Шилова были заложены основы теории равномерных алгебр, банаховых алгебр непрерывных функций на компактных множествах, наделенных равномерной нормой. Теория коммутативных банаховых алгебр, в частности теория равномерных алгебр, пролила свет на ряд разделов математического анализа, выявила их алгебраическую сущность.

Позднее появляются работы Э. Бишопа, А. Глисона, Дж. Вернера, А. Броудера, Т. Гамелина, Е. А. Горина и других, обогатившие теорию равномерных алгебр.

В середине семидесятых годов прошлого века Р. Баком в работе "Bounded continuous functions on a locally compact space", опубликованной в мичиганском математическом журнале, начато исследование /3-равномерных алгебр, то есть алгебр функций на локально компактном пространстве, наделенных топологией с помощью непрерывных функций, обращающихся в ноль на бесконечности (/3-топологии, построение этой топологии будет описано далее). Такие алгебры являются естественным обобщением равномерных алгебр, и, как показано в этой работе, из каждой равномерной алгебры можно получить нетривиальную /^-равномерную алгебру. Работы последующих исследователей /3-равномерных алгебр посвящались, с одной стороны, распространению результатов из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, а с другой стороны, выяснению таких свойств этих алгебр, у которых нет аналогов для равномерных алгебр (см. [31],

Данная работа посвящена исследованию свойств /5-равномерных алгебр. В ней рассматриваются два типа задач: распространяются известные утверждения из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, и доказываются утверждения, которые справедливы только для /3-равномерных алгебр.

Интерес к изучению /3-равномерных алгебр связан с возможностью приложения их к вопросам С*-алгебр, теории динамических систем, теории функций многих комплексных переменных, теории локально выпуклых алгебр на локально компактных группах.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию свойств /?-равномерных алгебр. В ней, наряду с известными результатами, есть новые утверждения, в частности, показано, как из равномерных алгебр строить /3-равномерные алгебры.

Пусть О. — локально компактное множество. Множество называется ег-компактным, если Q = Ц?=1 К, где Fn с Fn+ j и каждое Fn — компактное множество. Везде в этой работе под локально компактным множеством будем подразумевать о-компактное мноэ/сество.

Пространство Сь(П) всех непрерывных, ограниченных комплекснозначных функций на локально компактном пространстве Q является банаховым пространством относительно равномерной нормы oo = sup|/(x)|. п

Если также определить произведение двух фуикций, как поточечное умножение, то Ci(Sl) становится банаховой алгеброй. Функция е(х') = 1 является единичным элементом этой алгебры, т.е. — унитальная алгебра. Тогда Со(Г2) — подалгебра всех функций из Cb(fl), обращающихся в нуль в бесконечности, есть замкнутый идеал.

Линейный функционал <р : Cb(Q) —> С называется мультипликативным, если Wife) = Каждый линейный ненулевой мультипликативный функционал является непрерывным с единичной нормой. Множество X всех мультипликативных линейных функционалов образует замкнутое в *-слабой топологии подмножество единичного шара пространства Сь(Л)*, сопряженного к Сь(О). Так как шар в Сь{$1)* компактен в этой топологии, то X — компактное множество. С помощью х Е О, можно определить мультипликативный функционал 8Х : Сь(£1) —> С, полагая <5Х(/) = /(х), для всех / G Сь(П). Поэтому можно считать, что fi есть локально компактное подмножество множества X.

Преобразованием Гелъфаг1да функции / из С'ь(0.) называется функция / на f(ip) — <£>(/). Очевидно, что fg = fg, т.е. это преобразование сохраняет мультипликативность. Из определения *-слабой топологии следует, что / непрерывная функция на X. Поэтому преобразование Гельфанда порождает гомоморфизм между алгебрами Сь(П) и С(Х). Если алгебру С(Х) наделить равномерной нормой, то этот гомоморфизм станет изометрическим изоморфизмом между алгебрами С&(0) и С(Х). Отождествляя х и 5Х, можно полагать, что Сь(Г2) есть сужение алгебры С(Х) на множество J7 в X и изометрический изоморфизм порождается оператором сужения / —» /|п- Отсюда нетрудно увидеть, что П всюду плотно в Л" (в противном случае из леммы Урыеона следовало бы, что существует нетождественная непрерывная функция на X, равная единице на £7). Множество X называется компактификацией Cmoy}ia-4exa локально компактного пространства

С помощью функций из Со(П) определим на Сь(П) семейство полунорм {Pg}gec0(n), полагая

P9(f) = НЛ/lloo.

Определенная таким образом топология называется /? - топологией на В дальнейшем банахову алгебру Сь(П), наделенную /^-топологией, будем обозначать Cp(Q) (см. [28], [31]). Отметим, что /3-топология является локально выпуклой топологией, порожденной семейством полунорм {Pa}g(zc0(п). Поскольку функция д — maxi<i<n \gi\, Для любого конечного семейства {<?г}"=и также принадлежит пространству Co(fi), и открытое множество

Ug,e = {/ € СЬ(П) : Р9(1) < в} содержится в ПГ=г то за базу окрестностей нулевой функции можно брать множества вида ип-£, £ > 0, д 6 Со(Г2).

Первые три параграфа посвящены различным определениям, используемым в этой работе. В остальных параграфах описываются границы Шилова, пространства мультипликативных функционалов и структура максимальных множеств антисимметрии /3-равномерных алгебр.

Во второй главе исследуются гомологические свойства /^-равномерных алгебр. В ней вводится понятие /3-когомологий и в терминах /3-когомологий находится критерий аменабельности /3-равномерных алгебр.

Отметим, что понятие аменабельности было введено Б. Джонсоном.

Основным результатом второй главы является теорема 2.3.1. Пусть Л есть /3-равномерная алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

Ь) Л — (3-аменабелъная алгебра. Данное утверждение есть аналог теоремы М. Шейнберга для равномерных алгебр

В середине шестидесятых годов Р. Аренсом и И. Зингером в работе "Generalized analytic functions" было начато исследование алгебр непрерывных функций на локально компактных абелевых группах, инвариантных относительно сдвигов. Эта работа дала толчок возникновению теории обобщенных аналитических функций, позволяющей с единой точки зрения взглянуть на теорию почти периодических функций на вещественной прямой, теорию функций на полидисках и гармонический анализ на компактных абелевых группах.

В третьей главе диссертации исследуются /^-равномерные алгебры функций на локально компактных абелевых группах, инвариантных относительно сдвигов.

Пусть G — группа характеров группы G. Пусть M{G) — пространство всех конечных регулярных борелевских мер на G. Каждый характер ^ из G определяет мультипликативный функционал ipx : M(G) —»■ С а) А = СР{П) см. [22]).

Таким образом, группа характров G вкладывается в пространство мультипликативных функционалов банаховой алгебры мер M(G).

Преобразованием Фурье-Стильтьеса меры ц из M(G) называется комплекснозначная функция ft на G такая, что

Ях) = / jg

Отображение fx —> fx порождает непрерывный гомоморфизм из банаховой алгебры M(G) в банаховую алгебру Cb(G). Если [х ф 0, то fx ф 0, т. е. это отображение является инъек-тивным (см. [19], стр. 251).

Спектром меры ц из M(G) (Sp(/x)) называется множество тех х из G, для которых

Ях) ^ о.

Преобразованием Фурье функции / из Lx{G,da) называется функция / на G, такая что / I-Xda. Jg

Преобразование Фурье переводит произведение-свертку в L1 (G, da) в поточечное произведение в Cb(G). Также отметим, что преобразование Фурье является изометрическим линейным отображением между пространствами L2(G, da) и L2(G, da) — гильбертовыми пространствами суммируемых в квадрате функций (теорема Планшереля).

В третьем параграфе третьей главы исследуется ряд свойств /^-равномерных алгебр инвариантных относительно сдвигов на локально компактной абелевой группе G.

В четвертом параграфе вводится понятие полугруппы спектрального синтеза. Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 3.4.1. Пусть А — максимальная инвариантная относительно сдвигов /3-равномерная алгебра на локально компактной абелевой группе G, спектр которой есть полугруппа S. Следующие условия эквивалентны: a) A — As; b) S — полугруппа спектрального синтеза.

В конце четвертого параграфа приводится пример полугруппы не являющейся полугруппой спектрального синтеза. В последних параграфах диссертационной работы исследуются границы Шилова и точечные дифференцирования инвариантных /^-равномерных алгебр и алгебр, порожденных полугруппами.

Основные результаты диссертационной работы были доложены на:

• первой молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, 2006;

• научном семинаре кафедры математического анализа механико-математического факультета Казанского государственного университета в 2007г. (руководитель — д.ф-м.н., профессор А. Н. Шерстнев);

• третьей молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, 2008;

• Воронежской зимней математической школе - конференции С. Г. Крейна - 2008г.

• научном семинаре Института математики НАН Армении по банаховым алгебрам и комплексному анализу, Ереван, 2008г.

• четвертой молодежной научной конференции "Тинчуринские чтения", Казань, 2009г.

1. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. / У. Бра-телли, Д. Робинсон - М.: МИР, 1982.

2. Гамелин Т. Равномерные алгебры. / Т. Гамелин Нью-Йорк, Челси, 2-ое изд., 1984.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. / Дж. Гарнетт М.: МИР, 1984.

4. Гичев В. М. Инвариантные алгебры функций на группах Ли. / В. М. Гичев // Сиб. Матем. Журнал. 1979. - Т. 20. - т. - С. 23-36.

5. Гичев В. М. Пространство максимальных идеалов инвариантных алгебр. / В. М. Гичев // Функциональный анализ и его приложения. 1979. - Т. 13. - №3. - С. 75-76.

6. Горин Е. А. Максимальные инвариантные алгебры в алгебрах с инволюцией. / Е. А. Горин, В. М. Золотаревский // Матем. сб. 1971. - Т. 85. - №3. - С. 373-387.

7. Горин. Е. А. Подалгебры конечной размерности. / Е. А. Горин // Матем. заметки. 1969. - №6:3. - С. 321-328.

8. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций / К. Гофман М.: ИЛ, 1963.

9. Гршлорян С. А., Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. / С. А. Григорян // Известия Академии Наук Армянской ССР. 1981. - Т. 16. - №5. -С. 168-183.

10. Григорян С. А. Об алгебрах на обобщенном аналитическом диске. / С. А. Григорян // ДАН Армянской ССР. 1985. - Т. 80. - №3. - С. 108-111.

11. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. / Л. С. Понтрягин М.: МИР, 1973.

12. Рид М. Функциональный анализ. / М. Рид, Б. Саймон М.: МИР, 1977.

13. Розенберг A. JI. Инвариантные алгебры на компактных группах. / A. JI. Розенберг // Матем. сб. 1970. - Т. 81. - №2. - С. 176-184.

14. Рудин У. Функциональный анализ. / У. Рудин М.: МИР, 1975.

15. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры. / А. Я. Хелемский М.: Наука, 1989.

16. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. / А. Я. Хелемский Изд. Московского университета, 1986.

17. Хилле Е. Функциональный анализ и полугруппы. / Е. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ, 1962.

18. Хьюитт Е. Абстрактный гармонический анализ. / Е. Хьюитт, К. Росс М.: Мир, 1975,- Т.1.

19. Хьюитт Е. Абстрактный гармонический анализ. / Е. Хьюитт, К. Росс М.: Мир, 1975 - Т.2.

20. Шейнберг М. В. Гомологические свойства замкнутых идеалов, обладающих ограниченной аппроксимативной единицей. / М. В. Шейнберг // Вестн. МГУ, сер. Матем., Мех. 1972. - т. - С. 39-45.

21. Шейнберг М. В. Инъективные модули над банаховыми алгебрами. / М. В. Шейнберг // Вестн. МГУ, сер. Матем., Мех. 1971. - №3. - С. 53-58.

22. Шейнберг М. В. Об одной характеристике C(Q) в терминах групп когомологий. / М. В. Шейнберг // УМН. 1977. - Т. 32. - №5 (197). - С. 203-204.

23. Arens R. Generalized analytic functions. / R. Arens, I. Singer // T.A.M.S. 1956. - V. 81. - P. 379-393.

24. Batikyan В. T. Point derivations on algebraic extension of Banach algebra. / В. T. Batikyan // Lobachevskii Journal of Math. 2005. - V. 6. - P. 33-37.

25. Besicovich A. Almost periodic functions. / A. Besicovich London, Cambridge University Press, 1932.

26. Bohr H. Almost periodic functions. / H. Bohr NY, 1947.

27. Bonsall F. Complete normed algebras. / F. Bonsall, T. Duncan Berlin: Springer, 1973.

28. Buck R. C. Bounded continuous functions on a locally compact space. / R. C. Buck // Michigan Math. Journal. 1958. - V. 5. - №2. - P. 95-104.

29. Giles R. A generalization of the strict topology. / R. Giles // T.A.M.S. 1971. - V. 161, November. - P. 467-474.

30. Gillman L. Rungs of continuous functions. / L. Gillman, M. Jerison Prinston, N.J., 1960.

31. Hoffman K. Fatou's theorem for generalized analytic functions. / K. Hoffman // Ser. Analyt. Func. Pringston, NY. - 1958. - V. 2. - P. 227-232.

32. Hoffman K. Maximal subalgebras of С(Г). / К. Hoffman, I. Singer // Amer. J. Math. -1957. V. 79.

33. Johnson R. Cohomology on Banach algebras. / R. Johnson Mem. Amer. Math. Soc., 1972. - №127.

34. К de Leeuw. Quasi-invariance and measures on compact groups. / К de Leeuw, I. Glicksberg // Acta Math. 1963. - V. 109. - P. 179-205.

35. Rider D. Translation invariant Diriclet algebras on compact groups. / D. Rider // P.A.M.S. - 1966. - V. 17. - №5. - P. 977-985.Публикации автора по теме диссертации

36. Grigorian S. A. Point derivations on semigroup algebras. / S. A. Grigorian, T. A. Khorkova // Izv. NAN Armenii. Math. 2006. - V. 41. - №4. - P. 1-22.

37. Хорькова Т. А. Об однородных /^-равномерных алгебрах на локально компактных абелевых группах. / Т. А. Хорькова // Тез. докл. Воронеж: ВорГУ. 2008. - С. 145-146.

38. Караханян М. И. Об одном характеристическом свойстве алгебры C(fl)p. / М. И. Караханян, Т. А. Хорькова // Сиб. матем. журнал. 2009. - Т. 50. - Ш. - С. 96-106.