Топологии Гротендика и пучки на упорядоченных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СКУРИХИН Евгений Евгеньевич

ТОПОЛОГИИ ГРОТЕНДИКА И ПУЧКИ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте прикладной математики ДВО РАН, г.Владивосток.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор В. П. Голубятников, доктор физ.-мат. наук, профессор А. В. Зарелуа, доктор физ.-мат. наук, профессор А. А. Хусаинов.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов (РУДН)

Защита состоится « 3_» ШО^Я 2004 г. в /¿Г час. О О мин.

на заседании диссертационного совета Д003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН. Автореферат разослан «е^- С*"«^

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

А. С. Романов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Основные объекты исследования диссертационной работы - категорные аналоги и обобщения понятия топологического пространства, названные нами (К,^-пространствами, являются пред-пучками множеств на категории К. Топология Гротендика г задает на них различные структуры, отражающие специфику изучаемой ситуации. Особое внимание уделяется пространствам Майкла, то есть (К,т)-простран-ствам, удовлетворяющим условиям типа паракомпактности.

Анализируются структуры подпространств -пространства, группы когомологий с коэффициентами в пучке, когомологические размерности, определяются группы гомологии. На основе общего категорного понятия вялости [33] вводятся и изучаются классы вялых и мягких пучков, а также вялая и мягкая размерности (К,т)-пространств.

Появление и дальнейшее развитие теории пучков в значительной степени стимулировалось потребностями когомологической теории топологических пространств и их непрерывных отображений. В частности, теория пучков на топологических пространствах нашла применение в топологической теории размерности.

Размерность топологического пространства является одним из основных понятий, вокруг которых сформировалась и на протяжении десятков лет развивалась общая топология. Она была охарактеризована с помощью групп гомологий, что дало начало гомологической теории размерности, лежащей на стыке общей и алгебраической топологии. Основные результаты и проблемы гомологической теории размерности локально компактных и паракомпактных пространств были сформулированы в обзорах [4] и [2], что стимулировало дальнейшие исследования. Отметим, также, что лебе-говская размерность и ее аналоги, в том числе (ко)гомологические, играют важную роль в активно развивающейся в последнее время асимптотической топологии [3], где вопросы, связанные с классическими понятиями теории размерности, весьма актуальны.

Понятие размерности является одними из основных и в гомологической алгебре, причем размерность объекта абелевой категории определяется там, как правило, через длины его резольвент того или иного типа или через условия обращения в нуль (ко)гомологий. В рамках теории пучков размерность топологического пространства также может быть выражена через длины резольвент. А именно, если X - конечномерное паракомпакт-ное топологическое пространство, то его лебеговская размерность равна минимуму длин правых резольвент постоянного пучка целых чисел над X, состоящих из мягких пучков. По аналогии, црр^о р^'^чы^цты, состоящие

I РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 I МММОГСКА

V оУ'ЗДГЗ/

из вялых пучков определяются вялая размерность и размерность Бредона [1], [6], связанная с лебеговской. Таким образом, вялые и мягкие размерности, в частности лебеговская размерность паракомпактного пространства, могут рассматриваться, как размерности объекта абелевой категории пучков на этом пространстве. Когомологии таких пространств, получаемые переходом к копределу в когомологиях произвольных открытых покрытий, изоморфны когомологиям Гротендика, то есть производным функторам функтора перехода от абелева пучка к группе его глобальных сечений. Последняя, если рассматривать пучок на топологическом пространстве, как спектр абелевых групп на частично упорядоченном по включению множестве ОХ открытых подмножеств пространства X, совпадает с обратным пределом А.

Как выяснилось в исследованиях А. Гротендика и его последователей [8], [9], пучковые когомологии определяются небольшим количеством простых свойств класса семейств открытых подмножеств данного топологического пространства. Формализация этих свойств привела к понятию топологии Гротендика на произвольной категории и позволила не только углубить результаты, получаемые с помощью теории пучков, но и существенно расширить область се применения.

Пара где К категория, а- топология Гротендика на К, называется сайтом. Теория пучков на топологическом пространстве совмещается с общей теорией пучков на сайтах следующим образом. Если X топологи- • ческое пространство, то множество ОХ его открытых подмножеств рассматривается, как множество объектов категории, морфизмами которой служат включения. Стандартная теория пучков получается, если топология Гротендика задается всеми открытыми покрытиями всех № ОХ.

Когомологии Гротендика Н1(и,.Д) (К.т)-пространства U с коэффициентами в абелевом т-пучке Л определяются, как правые производные точного слева функтора со значением в категории абелевых групп, где является абелевой группой гомоморфизмов, то есть естественных преобразований функтора и в В. Эквивалентным образом, Н*(и,.Д)= где Z(U) абелев предпучок, свободно порожденный

предпучком множеств и, а 5т^(и)) - порожденный им т-пучок. Здесь значок в обозначении указывает на то, что этот функтор определяется на категории абелевых т-пучков. Если же т - грубейшая топология Гротендика на К, то т пучок— это то же, что предпучок, то есть контравариантный

функтор на К и Н1|(и>Д)=Ех1к(2(и),Л). Если К малая категория, а 1„ такое

(К,х)-пространство, что 1к(к) одноэлементно для любого объекта к категории К, то Нот£(1 к,В)=ИтВ — обратный предел, так что Н*(1К,.4) можно

назвать х-производными функторами обратного предела, которые, в случае грубейшей топологии х на К, совпадают с обычными производными функторами обратного предела. Если X топологическое пространство, К=ОХ, X топология Гротендика на ОХ, то Н*(Х,.А)=Н*(1К,,Д).

Назовем когомологической размерностью (К,х)-пространства и супремум таких целых к, что Н^и.-Д^О для некоторого абелева г-пучка А на

К. Сравнивая это определение с определениями когомологической размерности и размерности Хохшильда-Митчелла малой категории [10] видим, что когомологическая размерность 1к, в случае грубейшей топологии х на

К, совпадает с когомологической размерностью дуальной категории К°. Размерность Хохшильда-Митчелла категории совпадает с когомологической размерностью некоторого (КхК°,ае)-пространства, где ае - грубейшая топология Гротендика на

КхК . Пусть X топологическое пространство, К=ОХ, х топология Гротендика на ОХ. Если X паракомпактно и конечномерно, а задается всеми открытыми покрытиями открытых подмножеств X, то когомологическая размерность (К,х)-пространства совпадает с ле-беговской размерностью X [4]. Если X топологическое пространство конечной нормальной размерности, то есть размерности, определяемой по кратностям нумерируемых покрытий, а - топология Гротендика, задаваемая классом нумерируемых покрытий, то когомологическая размерность (К,х)-пространства 1к совпадает с нормальной размерностью X [12]. Если X равномерное пространство, открытые множества на X понимаются в смысле топологической структуры, индуцированной данной равномерно -стью, а топология Гротендика на К=ОХ задается конечными равномерными покрытиями, то когомологическая размерность -пространства совпадает с размерностью Исбелла X [35], [5] (при условии, что X имеет конечную размерность Исбелла). Во всех приведенных в этом абзаце примерах сайтов где К=ОХ, -пространство является пространством Майкла, то есть удовлетворяет условию, аналогичному критерию Майкла паракомпактности топологического пространства.

Таким образом, представляемое исследование лежит на стыке общей теории пучков и пучковых когомологий на сайтах, когомологической теории размерности малых категорий, когомологической теории частично

5

упорядоченных множеств, теории когомологий и теории размерности топологических и равномерных пространств. Теоремы, относящиеся к (К,т)-пространствам и пространствам Майкла, дают содержательные результаты в перечисленных областях и устанавливают их взаимосвязи, что также указывает на актуальность темы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1. Изучить структуру подпространств (Кд)-простран-ства, пучковые когомологии и когомологические размерности -пространств.

2. Приложить полученные результаты к топологическим и равномерным пространствам и к частично упорядоченным множествам.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются результаты и методы общей теории пучков и пучковых когомологий на категориях, снабженных топологией Гротендика, гомологической алгебры, теории решеток, когомологической теории размерности топологических пространств, общетопологической теории вполне регулярных и равномерных пространств.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие основные результаты:

1. Найдены когомологические характеристики вялой размерности объектов абелевой категории, определяемой, как минимальная длина вялых резольвент. На этой основе даны когомологические характеристики вялых и мягких размерностей (К,т)-пространств.

2. Для -пространств и пространств Майкла доказаны аналоги и обобщения основных теорем когомологической теории размерности пара-компактных топологических пространств.

3. Для случая, когда К квазиупорядоченное множество, доказана изо-морфность групп когомологий Гротендика и Чеха (К,т)-пространств Майкла и доказана жесткость когомологий.

4. Доказана изоморфность групп когомологий Кузьминова-Шведова и пучковых групп когомологий Гротендика конечномерных равномерных пространств, на основании чего для таких пространств дана характеристика размерности Исбелла в терминах пучковых групп когомологий, а когомологическая размерность Кузьминова-Шведова охарактеризована, как мягкая. Из общих результатов о когомологиях и размерностях (К,^-пространств выведены когомологические характеристики вялой и мягкой размерностей, а также соотношение размерность Ис-белла, а ёВХ — размерность Бредона конечномерного равномерного пространства X, определяемая по аналогии с соответствующим топологическим понятием. Доказаны свойства мягкой когомологической размерности в форме теоремы о препятствиях, теоремы суммы, теоремы Даукера.

5. Доказано, что (К,т)-пространства, соответствующие произвольному топологическому пространству и некоторому классу связанных с ним топологий Гротендика, являются пространствами Майкла. Отсюда и из общих результатов о когомологиях и размерностях -пространств выведены изоморфность нормальных когомологий Чеха и Гротендика, жесткость когомологий, когомологические характеристики вялой размерности, обобщения на произвольные пространства основных теорем мягкой когомологической размерности паракомпактных пространств, монотонность мягкой размерности по функционально открытым подмножествам, на основании чего устанавлена связь между вялой и мягкой размерностями. Частным случаем одной из доказанных теорем является описание когомологий Чеха произвольного паракомпактного пространства, задаваемых конечными открытыми покрытиями (или бесконечными открытыми покрытиями ограниченной мощности), как когомологий Гротендика.

Все основные результаты принадлежат автору, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть применены в когомологической теории, в том числе в теории размерности, топологических и равномерных пространств, а также частично упорядоченных множеств и малых категорий.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы представлялись автором на семинарах Математического института им. В.А.Стеклова (1983-1985, 1998), Московского госуниверситета им. М.В.Ломоносова (1998), Института математики СО РАН (1988, 1998, 2003), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток, 1990-2003), а также на Международной топологической конференции в Ленинграде (1982), на Всесоюзной школе по топологии (Бакуриани, 1983), на Международном конгрессе математиков (Варшава, 1983), на Всесоюзном совещании по геометрической топологии (Львов, 1984), на топологическом семестре в Баиаховском центре (Варшава, 1984), на Международной топологической конференции в Обер-вольфахе (ФРГ, 1985), на Советско - Японском симпозиуме по топологии (Хабаровск, 1989), на Дальневосточной школе-семинаре им. Е.В.Золотова (Владивосток, 1998-2002), на Международном конгрессе "Математика в XXI веке" (Новосибирск, 2003), на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации автором опубликовано 28 работ [11-38], одна из них, [11], в соавторстве с К.А. Ситниковым.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 97 наименований. Общий объем работы - 342 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I "Сайты и полные брауэровы решетки".

Сайтом называется пара (К,т), где К категория, а т топология Гротен-дика на К. Если К малая категория, то (Кд)-пространство - это произвольный предпучок множеств на К, то есть контравариантный функтор на К со значением в категории множеств. Частично упорядоченное множество называется полной брауэровой решеткой, если оно является полной решеткой и для любого множества I выполняется соотношение дистрибутивности 1'е1})лЬ=у[алЬ| х'е1}. В главе I изучается структура подпространств - пространства, важное свойство которой состоит в том, что частично упорядоченное по включению множество т-замкнутых подпространств (К,х)-пространства является полной брауэровой решеткой. Выявляются топологические, в смысле топологий Гротендика, свойства -пространств, используемые далее в теории когомологий и в приложениях; При этом проводится аналогия между решеткой подпространств -пространства и решеткой открытых подмножеств топологического пространства, которая также является полной брауэровой: Глава содержит 5 параграфов.

В §1 вводится, следуя [9], понятие топологии Гротендика на категории, а также сопутствующие понятия, связанные с предпучками множеств. Формулируются свойства категорий предпучков и пучков множеств и универсальных алгебр и анализируется технически важное понятие замыкания. Замечается (теорема 1.4.4), что в классе Кит всех т-замкнутых под-предпучков предпучка множеств для любого множества I выполняется соотношение дистрибутивности Таким образом, является полной брауэровой решеткой, если его элементы образуют множество.

Формулируется ряд технических результатов о топологиях Гротенди-ка, используемых в дальнейшем. Доказательства часто опускаются, если они тривиальны, либо, в отличие от формулировок, не существенны для дальнейшего. Необходимые подробности содержатся в [23] и [30]. В целом можно сказать, что параграф состоит из удобных для целей дальнейшего изложения переформулировок результатов работы [9].

В §2 доказываются теоремы о функторах между категориями, индуцирующими эквивалентности категорий пучков или предпучков, что в дальнейшем используется при изучении когомологий. Далее вводится понятие (К,г)-пространства - основного объекта исследований в данной работе, а также связанного с ним понятия Б-пространства. Определяется каноническая пара топологий Гротендика на (К,т)-пространстве, доказываются ее свойства. В конце параграфа рассматриваются группы гомологий -про-

странств. В качестве базисной теории берутся гомологии Ситникова [7]. В частном случае метрического пространства получается формула для ситни-ковских цепей [18], [11], отсутствующая, как известно, в первоначальном определении Ситникова.

В §3 строится расширение К)с| дистрибутивной решетки К, которое в случае решетки открытых подмножеств топологического пространства X изоморфно, как полурешетка, множеству локально замкнутых подмножеств X; мы называем ее л-полурешеткой локально замкнутых элементов К. Решетки К и К0 естественно вкладываются в К1с|, так что К0 можно интерпретировать, как решетку замкнутых элементов К. Эта конструкция, как и основанные на ней понятия отделимости замкнутых элементов, нормальности элементов К и К°, плотности в том или ином смысле применяются в дальнейшем к решетке замкнутых подпространств произвольного

(К,т)-пространства U. Далее вводится понятие локальной конечности относительно некоторой топологии Гротендика. Формулируются условия, при которых локально конечные семейства образуют топологии Гротендика, в том числе доказывается, что локально конечные семейства элементов решетки (Кц )0 задают на ней топологию Гротендика. Устанавливается связь условий дистрибутивности с локальной конечностью. Вводятся понятия представимого и ограниченно представимого семейств, нужные для формулировок достаточных условий ацикличности вялых и мягких пучков в ситуации произвольных пространств. Все результаты этого параграфа подробно изложены в работе [30], а также в работах [24], [25], [28].

В §4 определяются пространства Майкла. Мы выделяем одно из условий, эквивалентное паракомпактности топологического пространства в силу известной теоремы Майкла и кладем его в основу определения. А именно, (К.т)-пространство U называется пространством Майкла, если Va={UeKUtb'eI}, такого, что v{UeKUt| ieI}=U 3Y={Ce(Ku f\jeJ) -такое локально конечное семейство, что л(cj_/'е J}=0 и V/e J 3i'e I: U.vC^U.

Доказываются топологические свойства пространств Майкла, аналогичные свойствам паракомпактных топологических пространств. Вводится и изучается понятие нормальности в (К,т)-пространстве [24], [30].

В §5 доказывается важный для приложений к топологическим и равномерным пространствам критерий того, что предпучок множеств, представляющий элемент полурешетки, является пространством Майкла. Вводятся и анализируются понятия нормальной вложенности, нормальной расположенности в (К,т)-пространствах [24], [25], [30], аналогичные соответствующим топологическим понятиям, ранее рассматривавшимся автором [14], [19], [23]. Определяется и анализируется, по аналогии с лебегов-

9

ской, размерность (К,т)-пространства и относительная размерность замкнутого элемента решетки Кц т.

В целом глава I содержит вспомогательные сведения, используемые в последующих главах для изучения когомологий и когомологической размерности.

Глава II "Пучковые когомологии (К,т)-пространств".

Глава состоит из 3 параграфов и содержит общие конструкции и результаты теории пучковых когомологий.

В §1 формулируются общие свойства категорий абелевых предпучков 7-'к и пучков 5Т на сайте (К,т) [9], используемые в дальнейшем. Определяются пучковые группы когомологий Гротендика (К,т)-пространства, формулируются их основные свойства. Вводится и изучается каноническая короткая точная последовательность соответствующая

предпучку множеств А, где АА - абелев пучок, порожденный предпучком

задаваемым соотношением

если Приводятся аддиционные точные последовательности кого-

мологий, даются достаточные условия жесткости когомологий и локальной продолжимости гомоморфизмов (К.т)-пространств в абелевы т-пучки. Доказывается, что функтор когомологий продолжается с фрейма на полурешетку локально замкнутых элементов, что является важным для дальнейшего техническим результатом.

В §2 доказывается изоморфность для любого пространства Майкла когомологий Гротендика и Чеха.

ТЕОРЕМА 2.2.5. Пусть К - тонкая категория, U - (К,т)-пространство Майкла, О=Ои=[0]" - нуль решетки Кит.

1)а). Й"(и,Л)=Н"(и,Л) при п>0.

Ь). Если Ь:„4->В - т-изоморфизма предпучков, то Н"(и,Ь):Н"(11,.Д0)->

является изоморфизмом при В частности, при

п>0, если Л - т-иулевой.

2). Пусть К обладает нулем, который будем обозначать через 0 (как и нуль решетки Тогда:

а). Если 0йт(О), то \/Ь:.Д—>В - т-изоморфизма предпучков, Уп>0, го-

V п V п V „

моморфизм

является изоморфизмом.

10

- субканоническая топология Гротен-дика, то М\\:Л-^В - Т-изоморфизма предпучков, таких, что .4(0)=0(0)=0,

V п V п V п

Уп>0, гомоморфизм Н^(и,Ь):Н!|(и,Л)—>Н^(и,В) является изоморфизмом.

Здесь группы Н"(и,«4) получаются предельным переходом из когомо-

логий Чеха произвольных семейств вида {и.еКит1 /е!}, таких, что изоморфизмом называется гомоморфизм, переходящий в изоморфизм под действием функтора порождения пучка, топология Гротендика называется субканонической, если все представимые предпучки множеств являются пучками.

Доказывается еще ряд результатов об изоморфизмах групп когомоло-гий, естественно определяющихся на пространстве. В частности, в

лемме 2.2.2 доказан изоморфизм если К тонкая

категория, - каноническая топология Гротендика на пучок на

задаваемый равенством Кроме того, из известных

результатов гомологической алгебры выводится, что когомологии Чеха

пространств обращаются в нуль в размерности, превышающей размерность пространства.

В §3 устанавливаются условия, при выполнении которых из того, что предпучок на произведении сайтов (ЬД) и (М,У) является пучком по одному аргументу, следует, что он является пучком и по второму, а из точности последовательности предпучков следует у-точность. Формулируются вспомогательные результаты об ацикличности. Устанавливаются достаточные условия разложимости в локально конечную сумму гомоморфизма из (К,т)-пространства в абелев пучок.

Глава III "Когомологическая размерность (Кд)-пространств".

Глава является основной в диссертации; Под когомологической размерностью понимается вялая, либо мягкая размерности, либо соответствующим образом определенная размерность Бредона. Все основные результаты этой главы опубликованы в [33].

В §1 вводится понятие вялости и вялой размерности объектов абеле-вой категории и доказываются характеристики вялой размерности. Несмотря на формальную простоту, эти понятия и результаты эффективно применяются в дальнейшем к вялым и мягким пучкам и размерностям пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2.Пусть С,С' - абелевы категории, Ы - совокупность всех морфизмов между точными слева аддитивными функторами Объект назовем если

- эпиморфизм. Через обозначим размерность

а, то есть минимум длин резольвент а.

Пусть ЬеК, (Р11(а),е11(а))=кег{Ь(а):д(1(а)—>5ь(а)], так что 0->Рь(а)->

точная последовательность. Тогда - точный слева аддитивный функтор.

ТЕОРЕМА 1.1.6. Пусть С,С' - абелевы категории, Ы - совокупность

всех морфизмов между всеми точными слева аддитивными функ-

торами Предположим, что С обладает достаточным

запасом инъективных объектов.

1). Если всякий инъективный объект С является имеется точная последовательность

2). Пусть всякий инъективный объект С является

a). Рассмотрим условия: (а) а-Н-вял; (Ь) УЬеН (К'р^а^О; (с) \Zhe7i а - Рь-ацикличен, то есть (Я"Рь)(а)=0 при п>0.

Утверждается, что

УЪеП Я^^О,

то (Ь)<=>(а); сс-

ли то все эти условия эквивалентны.

b). Если а - вял, то любые два из 3 условий: а - Рь-ацикличеи; а -

влекут третье.

3). Предположим, что каждый инъективный объект С является лым, а каждый Рассмотрим условия на

произвольный фиксированный

(аШ) ¿иа<п, то есть а обладает %-вялой резольвентой длины п; (&Н2) для любой резольвенты а длины п 0—>а—>Ь°—>...—>Ь"—>0 такой, что Ь' являются Я-вялыми (0<1<п-1), объект Ьп - %-вял;

12

Утверждается, что (а.П1)^>(аП2)<=>(аПЗ)<=>(аП4)=>(аП5)<^(аП6), а

если при этом каждый то все перечислен-

ные условия эквивалентны.

Далее рассматриваются вялые пучки и размерности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть (К,т) - сайт, ВсА - предпучки множеств на К,

точный слева аддитивный функтор, задаваемый равенством:

ГАВМ)={5еНот£(А,В) | в | В=0}, Гд в АЬ - его ограничение на ¿>Т, так

что также точен слева.

По определению,

=(К"ГДт)(Л)=Н"(А,0,Л). Как уже отмечалось, если А=1к, то Нот£(А,.Д)= =11тА

Если кеОЬ(К),то Гк:Рк->АЬ, Гк(Л)=Д(к), Гк =Гк15:5->АЬ,Н"(к,Л)=

ЛЕММА. Пусть (К,т) - сайт, V - некоторая совокупность пар (А,В) предпучков множеств на К, таких, что

-ч>Гв т(Л) - отображение ограничения, Оь(Д)=ГА т(Л), 8ЬМ)=ГВ т(,Д), Ц= =Ну=(Ь(А,В) | (А,В)е V}. Будем Ь-вялые пучки называть У-вялыми. Тогда:

1). РЬ(Л)=ГА В(Л), так что Нп1(А)Л)-(КпО„)М), Н"(В,ЛМИ\)М), Н"(А,В,ЛМЯПРЬ)(Л)-

2). Всякий инъективный т-пучок У-вял.

Из теоремы 1.1.6. следуют теперь характеристики вялой размерности, если вялые пучки ацикличны.

Поэтому далее даются достаточные условия ацикличности вялых пучков в терминах ограниченной представимости. Они достаточно общие и покрывают потребности как теории пучков на дистрибутивных решетках, так и на топологических и равномерных пространствах.

Вводятся когомологии с носителями и дается характеристика вялой размерности в терминах таких когомологии, что в дальнейшем используется при рассмотрении размерности Бредона.

Характеристики вялой размерности применяются к когомологиям и производным функторам обратного предела на дистрибутивной решетке. Показывается, что их частными случаями являются некоторые классические результаты теории производных функторов обратного предела на счетных множествах.

Далее рассматриваются мягкие пучки и мягкая размерность, и при условии ацикличности мягких пучков даются характеристики мягкой размерности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5.1. Пусть (К,т) сайт, и - (Кд)-пространство,

л л

иеОЬ(К), УУ некоторая совокупность пар (А',В'), где А,ВеОЬ(К), АсВ. Назовем А<авх и-УУ-мягким, если У(А',В')еУУ отображение Ь(Д)= =Ь(А\В')(Л):Нот£(и,ДА.)->Ноп1£(и,.Дв.), индуцированное каноническим гомоморфизмом Аа.->Ав., является эпиморфизмом. Если последнее усло-

л

вие выполняется для любых А,ВеОЬ(К), АсВ, то А называется и-мягким.

Обозначим 'Н='Ну={Ь(А',В') | (А',В')е>У}, Оь(Л)=Ноп|£(и,ЛА.), 8ь(.4)=Нот£

(и,Ла.), ?ь{А)=кегЬ{А) (ЬеН). Ясно, что О^Б^Р^-^АЬ - точные слева

аддитивные функторы, а и-УУ-мягкость - это то же самое, что 7^-вялость.

Будем называть й^А мягкой (когомологической) (ЖЛ)-размерностыо и и

обозначать через с1тн,ди.

Из теоремы 1.1.6 следуют характеристики мягкой размерности. ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть (К.т) сайт, иеОЬ(К), некоторая совокупность пар (А',В'), где А,ВеОЬ(К), АсВ. Рассмотрим условия на Ле5т и

тттлггм п>П-

МПиПё^Шп;

(ДУУШ) для любой резольвенты пучка А дли-

ны п из того, что В1 - 11-УУ-мягкие (0<1<п—1), следует, что £5" - и-УУ-мягок;

(ЛУУи5) У(А\В')еН>, Н"(и,ЛА.)-*Н"(и,.Дв.) - эпиморфизм; (ЛУШб) У(А',В')б >У, Н"+1(и,(Лв)А.)-^Н"+1(и,ЛА.) - мономорфизм.

1).Предположим, что всякий инъективный т-пучок является и-УУ-мяг-ким и - и-И>-мягкого, У(А',В*)е И>, Н*(ЩВв)А.)=0 при к>1. Тогда (ЛУШ1)«(ЛУШ2)о(ЛУШЗ)<^(.Д>№4)^(Л>Ш5)«(.ДУШ6)) в частности Л - и-УУ-мягок <=> У(А\В')еУУ, н'(и,(Дв)А.)=0 о У(А',В,)е>У, Н*(ЩЛв)А.)=0 при к>1. Если при этом У(А\В')е Н*(и,ЕА.)=0 при к>1, то

все эти условия эквивалентны.

2). Предположим, что всякий инъективный т-пучок является и-УУ-мяг-ким и - и-П>-мягкого, \/(А',В')е УУ, н"(и,ВА.)=Нкт(и,йв.)=0 при к>1.

Тогда выполняются предположения пункта 1), так что все условия

(.ДУУШМ-ЛУУиб) эквивалентны.

В §2 представлены наиболее полные результаты, относящиеся к пространствам Майкла. Доказывается тонкость инъективных и мягкость и ацикличность тонких пучков (теорема 2.1.7), откуда следует применимость к пространствам Майкла результатов § 1, ацикличность и ряд других важных свойств мягких пучков, в том числе некоторые критерии мягкости. Доказываются аналоги и обобщения ряда теорем о свойствах мягкой размерности: о препятствии, о размерности локально конечной и счетной суммы, о монотонности размерности, о локальности размерности, Даукера. Устанавливается связь между вялой и мягкой размерностями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.3. Пусть и - (К,т)-пространство, а= {А(.еКи1| | ¿61}. Пучок Л называется а-тонким, если 1еНот£(1ШОЛ1рС4,.Д)) обладает локально конечным разложением, подчиненным а. Он называется ^ тонким, если является -тонким для всякого локально конечного такого,

что >✓{ А.е ки | /е1}=и.

ТЕОРЕМА 2.1.7. Пусть К тонкая категория, и - (К,т)-пространство Майкла. Тогда:

1). Всякий инъективный т-пучок X является U-тонким.

2). - и-тонкого, VA,BeOb(K), (ДА)В. - U-тонок и Vaen(U), Vn>l, Нп(а,(ЛА)в)=Н"(и,(ЛА)в)=0. В частности, (Лд)в. является U-мягким.

Точные формулировки и доказательства других упомянутых теорем имеются в работе автора [33].

Глава IV "Когомологии топологических и равномерных пространств".

В ней даются некоторые приложения полученных результатов к топологическим и равномерным пространствам.

В §1 результаты предыдущих глав I и III переформулируются для л-полурешеток.

В §2 изучаются нормальные пучки и когомологии топологических пространств. Формулируются нужные свойства нормальных (=нумерируе-мых) покрытий, а также свойства нормальных топологий Гротендика, то есть таких, которые задаются нормальными покрытиями. Доказываются основные свойства: изоморфность нормальных когомологий Чеха и Гро-тендика, жесткость когомологии, когомологические характеристики вялой размерности. Доказываются основные теоремы мягкой когомологической размерности, в том числе теоремы типа Гуревича и Вьсториса-Бегля о когомологических свойствах непрерывных отображений [13], [14], [19], [20], [21], [23]. В частности, доказывается монотонность мягкой размерности по функционально открытым подмножествам и, на основании этого, устанавливается связь между вялой и мягкой размерностями. Отмечается, что из свойств нормальной расположенности и результатов §1 следует описание мягкой размерности как вялой [16], [31].

В качестве частного случая одной из доказанных теорем получается описание когомологий паракомпактного пространства, задаваемых конечными открытыми покрытиями (или бесконечными покрытиями ограниченной мощности), как когомологий Гротендика.

Доказывается, что нормальные группы когомологий, в том числе и определяемые по конечным покрытиям, могут быть описаны, как когомологий Александера-Спеньера (с соответствующими изменениями в определении последних) [36], [23].

В §3 на произвольном равномерном пространстве определяются пучковые когомологии, причем топология Гротендика задается конечными равномерными покрытиями. Доказывается, что соответствующее (К,^-пространство является пространством Майкла, так что можно применить результаты §1 и главы III, в частности результат об изоморфности когомоло-гий Чеха и Гротендика. По теореме 3.3.1, когомологии Гротендика с коэффициентами в постоянном пучке конечномерного равномерного простран-

16

ства изоморфны когомологиям Кузьминова-Шведова. На основании этого и когомологической характеристики размерности Исбелла [ 5 ] из общих теорем о мягкой и вялой размерностях получаются результаты о размерности Исбелла и размерности Бредона, определяемой по аналогии с соответствующим топологическим понятием [1], [6].

Из общих результатов §2 выводится существование спектральной последовательности равномерного отображения, доказывается теорема типа Гуревича о замкнутом отображении равномерного пространства на компактное (теорема 3.6.2). Доказывается также, что когомологий Кузьми-нова-Шведова конечномерных равномерных пространств могут быть описаны, как когомологий Александера-Спеньера (соответствующим образом модифицированные).

ЛЕММА 3.2.1.Пусть (Х^О - равномерное пространство, задаваемое

классом равномерных покрытий Для любого определим класс

семейств рт^(и)=рт(11) подмножеств U следующим образом. Если и^0, то

аерт(и) а является пересечением конечного открытого равномерного покрытия X с ^ Если же и=0, то ае рт(и) <=> а - конечное или пустое семейство пустых подмножеств ^ Совокупность рт(1_)) (иеОХ) образует предтопологию Гротендика на ОХ. Порожденная ей топология Грогендика, обозначаемая является субканонической и

Сформулируем частный случай теоремы 3.2.2.

Пусть (Х,К) равномерное пространство. Тогда предпучок ./(X), представляющий элемент X решетки ОХ, является пространством Майкла и к решетке К=ОХ применяются соответствующие результаты §1 и главы III.

ТЕОРЕМА 3.3.1.Пусть (Х,К) - равномерное пространство, .Де5х,

ие ОХ. Тогда:

1). йпт(и,л)=н;(ии).

2). \/и:В—>С — т-изоморфизма абелевых предпучков, таких, что В(0)= =С(0)=0, Н"(11,В)-^Н"(и,С) является изоморфизмом при п>0, так что VВеГк,такого, что В(0)=0, Н^(и,В)=Й"(и,31(й)).

3). УАеК, т, Уп>1, со//т{Н"(У,Д)| УеОи.УэА' в и}=Н"(и,ЛА.), соИт{Л(У) | УеОи.УзА" в и}=Лл,(и). В частности:

УСсХ - замкнутого, Уп>1, УЛе5т соИт{Л(У) I УеОХ.УэС в и)= =Дс(и), со//ш{Нлх(У,Л) | Уе ОХ,У£)С в и}=Н"(и,Лс).

4). Если й - абслева группа, А.ВеСХ, ВсА, то Уп>0, Й"(А,В,С)= Н"(Х,(Сд)хш), Н"(и,ипВ,С)=Н"(и,Схш), где в в правых частях обозначает пучок, порожденный постоянным предпучком в.

Здесь когомологии вычисляются по конечным равномерным покрытиям, причем если АсХ, то равномерная структура на А индуцирована из Х.

Сформулируем следствие теоремы 3.5.4. Пусть - равномерное пространство,

1). Следующие условия на число п>0 эквивалентны. (XI) ДХ<п;

(Х2) УЛеБ^, для любой резольвенты пучка Л

длины из того, что

(Х2') для любой резольвенты >й"->0 пучка Ъ длины п

из того, что

(Х4) У-Ае^, Ук>п+1, Нкт(Х,^)=0;

(Х5) УСсХ - замкнутого, Н"(Х,г)->Н"(Х Хс) - эпиморфизм;

(Х51) УА,ВеОЬ(£), таких, что АсВ, УДе5т, Н"(Х„4А,)->Н"(Х„ДВ.) -

эпиморфизм;

(Хб) УУеОХ, Н"+'(Х,гу)->н7'(Х,г) - мономорфизм. (Хб') Н"+,(Х,(ЛА.)В)->Н''+1(Х,.ДА.) - мономорфизм УА,ВбОЬ(К),

таких, что АсВ,

2). Пусть НсХ - замкнуто. Если ДС<п, где С=Н или С замкнуто и Х\н5с в X, то ДХ<п.

Здесь - размерность Исбелла, а соотношение

и5с в х означает,

что {и,Х\С} является равномерным покрытием X.

ТЕОРЕМА 3.6.1.Пусть ПХ—равномерное отображение равномерных пространств (то есть полный прообраз при котором равномерного покры-

18

тия У является равномерным покрытием X). Будем обозначать одной и той же буквой Т равномерную топологию Гротендика на ОХ и на ОУ.

Для любого т-пучка Л на X имеется спектральная последовательность

со вторым членом Е^Н^У.^Д)) сходящаяся к группам Н.ДХ,Д). Здесь

ПСДХУЬ/КГ'ОО), а - предпучок на У:

ТЕОРЕМА 3.6.2. Пусть >У равномерное отображение равномерных пространств, - равномерная топология Гротендика на ОХ. Предположим, что У компактное пространство относительно топологии, задаваемой равномерной структурой, и что Г замкнутое отображение.

1)а). Пусть к>0 - такое число, что Ууе У, УиеОХ, Н*^ "1(у),Ди)=0

при лебеговская размерность

мягкая Л-размерность X.

Ь). Пусть к>0 - такое число, что \/уе У, А(Г ~'(у))<к. Если ДХ<°°, то ДХ<с11шУ+к.

к -I

2). Если \/уе У, Нт Х(Г (у),Л)=0 при к>0, то при всех к>0 имеется ка-

ионический изоморфизм Нк(У,С,*4)-*Нк(Х,.Д), где слева стоят обычные ко-гомологии Чеха компактного пространства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бредон Г. Теория пучков. М: Наука, 1988. 312 с.

2. Дранишников А.Н. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1988. Т.43. В.4. С.11-55.

3. Дранишников А.Н. Асимптотическая топология // Успехи мат. наук. 2000. Т.55. В.5. С.71-116.

4. Кузьминов В.И. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23. В.5. С.3-49.

5. Кузьминов В.И., Шведов МА Группы когомологий равномерных пространств // Сиб. мат. жури. 1964. Т. 5. № 3. С.565-595.

6. Кузьминов В.И., Шведов И.А О когомологической размерности Бредона наследственно паракомпактных пространств // Докл. АН СССР. 1976.Т.231.№ 1.С.24-27.

7. Ситников К. А. Закон двойственности для незамкнутых множеств // Докл. АН СССР. 1951. Т.81. № 3. С.359-362.

8. Artin M. Grothendieck topologies. Harvard University, 1962. 135p.

9. Grothendieck A., Artin M., Verdier J.-L. Theorie de topos et cohomology etale de schemas // Lecture Notes Math. Berlin, New York, Heidelberg: Springer, 1972. V.269, 270.

10. Husainov A.A. Homological dimension theory of small categories // Journal of Math. Sciences. 2002. V. 110. №1. P.2273-2321.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

11. Ситников К. А., Скурихин Е.Е. Гомологии на предпучках множеств // Труды Мат. Института им. В.АСтеклова АН СССР. 1991. Т. 196. С. 156160.

12. Скурихин Е.Е. О размерности вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1980. Т.35. № 3. С.224-226.

13. Скурихин Е.Е. К когомологической теории вполне регулярных пространств //Успехи мат. наук. 1981. Т.36. № 1. С.225-226.

14. Скурихин Е.Е. Нормальные пучки и когомологическая размерность вполне регулярных пространств // Докл. АН СССР. Т.265. № 3. 1982. С.541-544.

15. Скурихин Е.Е. Р-топология и ее приложение к гомологической теории топологических пространств // Ленинградская международная топологическая конференция. Тезисы. Л.:Наука, 1982. С. 146.

16. Скурихин Е.Е. Пучки и когомологические функторы на топологических категориях // Успехи мат. наук. 1984. Т.39. В.5. С. 165-168.

17. Скурихин Е.Е. Некоторые приложения теории пучков к размерности, непрерывным отображениям и когомологиям // V Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: Штиинца, 1985. С.222-223.

18. Скурихин Е.Е. Пучки абелевых групп на одном классе топологий Гротендика // Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. Иркутск: изд-во ИГУ, 1985. С. 106-117.

19. Скурихин Е.Е. Теория когомологий нормальных пучков, I // Мате-матички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.65-75.

20. Скурихин Е.Е. Теория когомологий нормальных пучков, II. Ацикличные резольвенты и некоторые приложения // Математички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.213-224.

21. Скурихин Е.Е. О нормальной когомологической размерности открытых подмножеств вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1988.Т.43.В.5. С.213-214.

22. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии предпучков множеств и некоторые их приложения // Труды Мат. Института им. ВАСтеклова РАН. 1992.Т.193.С.169-173.

23. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и полные брауэровы решетки. Владивосток: Дальнаука, 1993. 218с.

24. Скурихин Е.Е. Нормальная расположенность замкнутых элементов упорядоченных множеств //Дальневосточный мат. сб. 1995. Т.1. С. 18-27.

25. Скурихин Е.Е. Локальная конечность и нормальная вложенность в дистрибутивных решетках // Дальневосточный мат. сб. 1996. Т.2. С. 177186.

26. Скурихин Е.Е. Алгебраическая нормальная расположенность и пучки на дуальной решетке //Дальневосточный мат. сб. 1997. Т.З. С.З-1О.

27. Скурихин Е.Е. Когомологии пучков множеств // Школа семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 1998. С.78.

28. Скурихин Е.Е. Вялые пучки и производные функторы обратного предела// Дальневосточный мат. сб. 1998. Т.6. С.3-17.

29. Скурихин Е.Е. Вялые пучки на предпучках множеств // Успехи мат. наук. 1998. Т.53. В.6. С.263-264.

30. Скурихин Е.Е. Пучки на нормальных и паракомпактных решетках. Владивосток: Дальнаука, 1998. 145с.

31. Скурихин Е.Е. Лебеговская размерность, как размерность Бредона // Успехи мат. наук. 1999. Т.54. В.2. С. 187-188.

32. Скурихин Е.Е. Когомологии и размерность квазиупорядоченных множеств // Успехи мат. наук. 2001. Т.56. В.1. С. 179-180.

33. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и размерность упорядоченных множеств // Труды Мат. Института им. ВАСтеклова РАН. 2002. Т.239. С.289-317.

34. Скурихин Е.Е. Вялые пучки и пучковые когомологии равномерных пространств. Владивосток: Дальнаука, 2002. 8 с. (Препринт / ДВО РАН. Институт прикладной математики; № 09).

35. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и размерность равномерных пространств // Успехи мат. наук. 2003. Т.58. В.4. С. 157-158.

36. Skurikhin Е.Е. Finite coverings and Cohomologies of Alexander-Spenier// Quest. Answ. General Topology. 1990. V.8. Spesial Issue. P.303-308.

37. Skurikhin. E.E. Cohomological theories connected with sheaves on Grothendiek topologies // Mathematisches Forshungsinstitut Oberwolfach, Tagungsbericht. 1985. V.38. P.18-19.

38. Skurikhin. E.E. Sheaf cohomology and dimension of ordered sets // Kolmogorov and Contemporary Mathematics. Abstracts. M., 2003. P.855.

СКУРИХИН Евгений Евгеньевич

ТОПОЛОГИИ ГРОТЕНДИКА И ПУЧКИ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ

Автореферат

Изд лиц ИД № 05497 от 01.08.2001 г. Подписано к печати 08.04.2004 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,32. Уч.-изд. л. 1,41. Тираж 100 экз. Заказ 61.

Отпечатано в типографии ГУП «Издательство "Дальнаука"» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. САЙТЫ И ПОЛНЫЕ БРАУЭРОВЫ РЕШЕТКИ

§1. Предпучки и т-замыкания

§2. Функторы, индуцирующие эквивалентности категорий пучков и (К,т)-пространства

§3. Локальная конечность и представимые семейства

§4. Нормальные (К,т)-пространства и пространства

Майкла

§5. Нормально вложенные элементы и нормально расположенные семейства

Глава II. ПУЧКОВЫЕ КОГОМОЛОГИИ (К,Т)-ПРОСТРАНСТВ

§1. Когомологии и локализация

§2. Теоремы сравнения и обращения в нуль

§3. Бипучки и суммирование локально конечных семейств

Глава III. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

К, Т) -ПРОСТРАНСТВ

§1 . Вялые и мягкие пучки

§2. Когомологическая размерность пространств

Майкла

Глава IV. КОГОМОЛОГИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ И РАВНОМЕРНЫХ

ПРОСТРАНСТВ

§1. Когомологии и размерность А-полурешеток

§2. Когомологии и размерность топологических пространств

§3. Когомологии и размерность равномерных пространств

Основные объекты исследования данной работы - категорные аналоги и обобщения понятия топологического пространства, названные нами (К,т)-пространствами, являются предпучками множеств на категории К. Топология Гротендика т задает на них различные структуры, отражающие специфику изучаемой ситуации. Особое внимание уделяется пространствам Майкла, то есть (К,т)-пространствам, удовлетворяющим условиям типа паракомпактности.

Анализируются структуры подпространств (К,1)-пространства, группы когомологий с коэффициентами в пучке, когомологические размерности, определяются группы гомологий. На основе общего категорного понятия вялости [44] вводятся и изучаются классы вялых и мягких пучков, а также вялая и мягкая размерности (К,т)-пространств. Основные результаты относятся к случаю, когда категория К является квазиупорядоченным множеством, то есть малой категорией, множество морфизмов между любыми двумя объектами которой не более, чем одноэлементно.

Частными случаями групп когомологий (К,Т)-пространств являются производные функторы обратного предела спектров абелевых групп. Как известно [80], важным для их изучения понятием является понятие вялого спектра, определяемое по аналогии с вялыми пучками на топологических пространствах. Сами же производные функторы обратного предела не только служат аппаратом, используемым в алгебраической топологии и гомологической алгебре, но и являются объектами исследования в рамках теории размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [67].

Каждому топологическому или равномерному пространству можно многими способами сопоставить (К,т)-пространство. Мы делаем это таким образом, что получаемые (К,Т)-пространства являются пространствами Майкла, то есть в некотором смысле паракомпактными. Применяя общие результаты о (К,Т)-пространствах, мы получаем теоремы о когомологиях и когомологических размерностях топологических и равномерных пространств, размерности Бредона, о непрерывных и равномерно непрерывных отображениях. Важной характеристикой (К,т)-пространства является тот факт, что некоторое множество его подпространств образует полную брауэрову решетку, в другой терминологии - фрейм.

Таким образом, представляемое исследование лежит на стыке общей теории пучков и пучковых когомологий на сайтах, когомологической теории вялой и мягкой размерностей, теории производных функторов обратного предела, когомологической теории частично упорядоченных множеств, теории когомологий и теории размерности топологических и равномерных пространств. Каждая из этих.областей активно развивается.

Основное из связанных с топологией направлений в теории фреймов основано на том, что фреймом является множество открытых подмножеств топологического пространства. Поэтому понятия и результаты общей топологии, при получении которых можно ограничиться рассуждениями с открытыми множествами, переносятся на фреймы, как, например, в работах [52], [53], [57], [62], [78], [79], [90].

Когомологии и гомологии частично упорядоченных множеств развиваются как из внутренних потребностей теории, так и в целях обобщения имеющихся топологических результатов, а также самых разных приложений [10], [16], [47], [63], [71], [74], [55], [76], [92], [95], [96]. Особое направление составляет теория гомологической размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [48], [49], [67]; библиография по этой теме составляет порядка двухсот работ.

С момента формирования классической теории пучков на топологических пространствах [2], [4], [5], [81], указанная область обогатилась теорией производных категорий, новыми понятиями и приемами, описанными в книгах [69] и особенно [11]. Традиционные темы теории паракомпактных и локально компактных пространств, связанные с гомологиями, когомологиями, в том числе когомологиями Александера - Спеньера, когомологиями с носителями, мягкой размерностью, отражены в работах [17], [20], [21], [22], [54], [58], [59], [70], [82], [86], [88], [97].

Как выяснилось в исследованиях А.Гротендика и его последователей [51], [64], [65], пучковые когомологии определяются небольшим количеством простых свойств класса открытых покрытий данного топологического пространства. Формализация этих свойств привела к понятию топологии Гротендика на произвольной категории и позволила не только углубить результаты в традиционных для теории пучков областях, но и существенно расширить область ее применения. При этом из-за общности нового понятия пучка объекты исследования весьма разнообразны. В терминах пучков описывались представления групп [3], когомологии слоений [66], свойства динамических систем [91], свойства класса борелевских множеств [93], изучались классы пучков и топосы Гротендика на решетках [94], топологии Гротендика и пучки определялись на 2-категориях [89].

Пара (К,Т), где К - категория, а т - топология Гротендика на К, называется сайтом. Теория пучков на топологическом пространстве совмещается с общей теорией пучков на сайтах следующим образом. Если X топологическое пространство, то множество ОХ его открытых подмножеств рассматривается как множество объектов категории, морфизмами которой служат включения. Стандартная теория пучков получается, если топология Гротендика задается всеми открытыми покрытиями всех и^ОХ. В 1980-х годах автор заметил [23], что если ограничиться классом нормальных покрытий, то получается топология Гротендика на ОХ и содержательная теория когомологий, расширяющая класс топологических пространств, к которым применимы те методы теории пучков, которые до этого были развиты для пара-компактных пространств.

Открытое покрытие топологического пространства называется нормальным или нумерируемым, если имеется подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, или, что эквивалентно, если в него можно вписать локально конечное покрытие конулевыми множествами.

Разбиения единицы широко применяются в топологии и анализе, конечные покрытия конулевыми множествами использовались в теории размерности с начала 1950-х годов. Класс нормальных покрытий оказался полезным в теории расслоений [60], в переносе результатов и конструкций с категории полиэдров на категории более общих топологических пространств и в других ситуациях [1], [6], [56], [73], [75]. В частности, с его использованием были определены нормальные когомологии Александрова - Чеха и нормальная размерность топологического пространства (в обычных определениях класс всех открытых покрытий заменяется на класс нормальных), доказана гомотопическая представимость нормальных когомологий, дана когомологическая характеристика нормальной размерности. Нормальная размерность изучалась в связи с тем, что с одной стороны она является естественным аналогом лебеговской размерности, наследуя многие ее свойства, а с другой - для любого вполне регулярного пространства X она равна лебеговской размерности Стоун - Чеховского расширения |ЗХ.

Размерность топологического пространства была одним из основных понятий, вокруг которых сформировалась и на протяжении десятков лет развивалась общая топология. Она была охарактеризована с помощью групп гомологий, что дало начало гомологической теории размерности, лежащей на стыке общей и алгебраической топологии. Итоги ее развития для локально компактных и паракомпактных пространств подведены в обзорах [13] и [7]. Деятельность в этом направлении продолжается, решаются старые задачи [8], даются новые определения, связанные с когомологическими функторами, отличными от обычных когомологий [61]. Отметим, также, что лебе-говская размерность и ее аналоги, в том числе (ко)гомологические, играют важную роль в активно развивающейся в последнее время асимптотической топологии, где вопросы, связанные с классическими понятиями теории размерности, весьма актуальны [9].

Понятие размерности широко применяется и в гомологической алгебре, причем размерность объекта абелевой категории часто определяется через длины его резольвент того или иного типа. Лебеговская размерность топологического пространства определяется через кратности покрытий и считается основной. С появлением теории пучков выяснилось, что она также может быть выражена через длины резольвент. А именно, если Х- конечномерное паракомпактное топологическое пространство, то его лебеговская размерность равна наименьшей длине мягких резольвент постоянного пучка целых чисел над X. Такая характеристика получена за счет особых свойств мягких пучков и факта изоморфности когомологий Александрова - Чеха когомологиям Гротендика, то есть производным функторам функтора перехода от пучка к группе его глобальных сечений. Аналогично, через вялые резольвенты были определены вялая размерность и размерность Бредона [2], [15], связанные с лебеговской. Таким образом, в теории когомологической размерности топологических пространств заработали методы гомологической алгебры и активно развивающейся теории пучков. Были выявлены новые свойства когомологической размерности и существенно обобщены известные ранее.

Некоторые итоги этого этапа были подведены в работах [13], [15], [2]. Упомянутые выше, близкие и аналогично определяемые классы пучков и различные связанные с ними понятия активно изучаются [11]. Задача их изучения по-прежнему остается актуальной.

В описываемом круге вопросов теория пучков применяется к наследственно паракомпактным, а также к локально компактным пространствам, несколько менее эффективно к паракомпактным пространствам. Однако класс паракомпактных пространств не является вполне естественным. Известно, что подпространство паракомпактного пространства может не быть даже нормальным, не нормальным может быть и пространство гладких отображений между двумя многообразиями. В связи с этим и были определены упомянутые выше нормальные когомо-логии и размерность, дающие удовлетворительные результаты для вполне регулярных пространств.

С 1950-х годов изучалась также размерность равномерных пространств (размерность Исбелла), определяемая по аналогии с лебе-говской размерностью по кратностям равномерных покрытий [68]. Позже была построена теория групп когомологий равномерных пространств Чеховского типа [14]. В терминах этих групп была дана когомологическая характеристика размерности Исбелла, что позволило дать содержательное определение когомологической размерности равномерного пространства. Что касается пучков, то обычная теория пучковых когомологий не отражает специфики равномерной структуры, поскольку определяется индуцированной топологической структурой.

Эффективность теории пучков в топологии во многом объясняется фактом изоморфности когомологий Гротендика и Александрова-Чеха. Но это не всегда имеет место даже для "хороших" пространств и групп когомологий. Например, группы когомологий, определяемые по конечным покрытиям, еще в 1940-х годах были использованы для характеристики размерности нормальных пространств [50]. Применяются они и в современных исследованиях. Однако, даже для конечномерных метрических пространств, они не изоморфны, вообще говоря, обычным пучковым когомологиям Гротендика.

Упомянутые выше, а также и другие примеры, связанные, например, с теорией решеток, в том числе фреймов, ставят задачу распространения обычной теории пучков и пучковой когомологической размерности на возможно более широкий класс объектов и топологий Гротендика. Объекты произвольных категорий представляются (К,т)-пространствами. Ограничения же на топологию Гротендика определяются теми свойствами, которыми мы хотим наделить получающуюся теорию.

Схема построения когомологической теории мягкой и вялой размерностей паракомпактных пространств, согласно работам [13], [2] и [15], может быть описана следующим образом. Если X - топологическое пространство, А - абелев пучок на X, и<=Х - открыто, А=Х\и, то НП(1Ы) - это (11пГх)и), где Г^Л^ЛО!), ^Гц - п-й правый производный функтор Г^. Обозначим через Ац подпучок А, ограничение которого на и совпадает с ограничением А на И, и который равен 0 вне и, а А^ определим из точной последовательности пучков О—>А—»Лд—»0. Группа Нп(Х,Лд) при некоторых, достаточно слабых, ограничениях на включение А—>Х изоморфна НП(А,Л|А), откуда, как точная последовательность производных функторов, следует точная последовательность пары (Х,А), где А<=Х замкнуто. Если обозначить Гх U(^)={S€^(X)|S|U=0}, то имеется точная слева последовательность О—»Гх ^(Л)—v4(X)—*Л(и)—»0, которая точна, если Л инъективный пучок. Полагая №ПГХ у) (Л)=Нп(Х,и,Л) получаем точную последовательность когомологий пары (X.U). Вялая Л-размерность пространства X определяется, как минимум длин вялых резольвент Л, а размерность Бредона - как sup вялых Л-размерностей по всем пучкам А на X. Вялая ^-размерность характеризуется рядом условий, одно из которых такое: она о НП(Х,Л)—>Нп(и,Л) - эпиморфизм для любого открытого U<=X. Вялый пучок ацикличен, точнее, Нп(и,Л)=0=Нп(Х,и,Л) при для любого открытого U<=X, и любой инъективный пучок вял.

Пусть теперь X - паракомпактное пространство. Пучок Л называется мягким, если каноническое отображение Л(Х)—*Лд(Х) является эпиморфизмом для любого замкнутого множества А. Так как X пара-компактно, то всякий инъективный пучок мягок, а всякий мягкий ацикличен, точнее, Нп(Х,Лд)=0 при .

Когомологическая (мягкая) ^-размерность X - это минимум длин мягких резольвент Л. Если лебеговская размерность dlmX<oo, то dimX равна мягкой Z-размерности X и равна максимуму мягких Л-размерностей X по всем абелевым пучкам Л. Мягкая размерность характеризуется различными способами, один из которых такой: она ^п о НП(Х,Л)—>Нп(Х,Лд) - эпиморфизм для любого замкнутого А^Х.

Далее теория мягкой размерности паракомпактных пространств строится так. Существенно используя мягкость инъективных пучков и ацикличность мягких, доказывается ряд критериев мягкости, опираясь на которые получаются основные теоремы когомологической мягкой размерности: локально конечной и счетной суммы, Даукера, о монотонности размерности, теорема Ситникова о препятствиях в когомологической форме. Строится спектральная последовательность непрерывного отображения f:X—»Y, сходящаяся к когомологиям пространства X и из нее выводятся теоремы о поведении размерности при непрерывных отображениях и условия когомологической эквивалентности отображения I.

Очевидная параллельность при изложении теорий вялых и мягких пучков и размерностей объясняется и используется так. Пусть СХ -множество замкнутых подмножеств паракомпактного пространства X, А - пучок на X, уА абелев предпучок на СХ, задаваемый равенством (X). Тогда мягкость А - это то же самое, что вялость уА. Если на СХ задать топологию Гротендика, полагая сС={А^<=А| l€l}€V(A) о в сС вписывается локально конечное в X замкнутое покрытие А, то уА становится ^-пучком и функтор А—>уА из S^ в Sv точен. В [42] доказано, что мягкая Л-размерность X равна минимуму длин вялых резольвент уА.

При реализации этой схемы используются, иногда неявно, следующие важные свойства:

I) Множество ОХ всех открытых подмножеств X, упорядоченное по включению, является фреймом, и сх= "СU^<=Х| i€l} является покрытием U<=X о supcL=XJ в ОХ (то есть «> СССАДХ), где А, - каноническая топология Гротендика на ОХ), так что пучок на X - это то же самое, что Х-пучок на ОХ.

II) В любое открытое покрытие X, то есть в любое сССМХ), вписывается локально конечное замкнутое покрытие X. ill) Если сс локально конечное замкнутое покрытие множества F, А пучок на X, то Н°(сС,хЛ)=Лр (X), где уА задается равенством хЛ(С)=Лс(Х). Точнее, если |1 топология Гротендика на множестве СХ замкнутых подмножеств X, задаваемая локально конечными замкнутыми семействами, то соответствие A\-*YA является точным функтором из категории А,-пучков в категорию |Х-пучков. lv) Любое сечение абелева пучка продолжается с замкнутого множества на некоторую его окрестность, или, что равносильно, инъективные пучки являются мягкими.

V) Вялые и мягкие пучки ацикличны.

В ситуации произвольных частично упорядоченных множеств условие (I) очевидно не выполняется, условие (11) нарушается для любых не паракомпактных пространств. Нетрудно привести примеры нарушения условий (111) и (lv). Условие (v), нуждающееся в нетривиальном доказательстве в случае паракомпактных пространств, тем более должно доказываться в более общих случаях.

Опишем технические приемы, позволяющие реализовать эту схему для квазиупорядоченных множеств (обозначения и термины приводятся в основном тексте).

Проще всего добиться выполнения условия (1). Доказывается, что если 1 - терминальный объект категории предпучков множеств на К (в частности, являющийся (К, т)-пространством), то упорядоченное по включению множество его подпространств К. является фреймом,

I , 'С и имеется функтор J :К—>КЛ , индуцирующий эквивалентность кате

X I 9 X гории абелевых Т-пучков и категории абелевых канонических пучков на KL . Таким образом, мы можем, не теряя общности, работать в

I , X ситуации, когда выполняется свойство (1).

Более того, если U любое (К,т)-пространство, то мы трактуем его, как обобщенное топологическое пространство, а его подпространства, как открытые подмножества. Согласно "обобщенной теореме Стоуна" [34] множество К^ ^ является фреймом.

Для работы с аналогами замкнутых множеств, то есть элементами А'€(Ктт а также локально замкнутых множеств, используется

U 9 X

-полурешетка с нулем L-, , из [41], где в качестве L берется

Кц Ее элементы имеют вид А,ЛВ, где А,ВсКц так что очевидным образом определяется локальная конечность в U семейства {А^сСКу Такие семейства образуют субканоническую топологию v на (Kjj и если Л - т-пучок, то предпучок ^hM), задаваемый равенством ^hM) (А' )=Нот£(и,Лд, ) является г>-пучком. Условие (11) заменяется на его решеточный аналог, так что удовлетворяющее ему (К,X)-пространство называется пространством Майкла. При его выполнении доказывается, что ghrS^.—*Sv - точный функтор. Свойства (111), (lv), и другие нужные для реализации схемы свойства выводятся из (1) и (11). Для формулировки достаточных условий ацикличности вялых и мягких пучков вводится и анализируется понятие представимых семейств [39], [41].

Если же мы хотим применить указанные результаты к топологическим пространствам, то возникают затруднения, связанные с тем, что в общих топологических пространствах нарушается равенство H°(cC,xH)=/p(X). Поэтому приходится рассматривать подрешетку N<=K°, для каждой пары элементов которой выполняется условие (111), то есть, в соответствие с вводимой терминологией, каждая пара является алгебраически нормально расположенной.

Топологическое условие, влекущее (111), носит название нормальной расположенности. Решеточный анализ его, в контексте топологий Гротендика, вместе с сопутствующим анализом субканонических топологий и понятия локальной конечности, в терминах которого формулируются многие из основных результатов работы, опубликован в [41], а также в [35] и [36]. Алгебраическая нормальная расположенность анализируется в [41] и [37].

Таким образом, общая схема оказывается применимой и к общим топологическим пространствам. Для равномерных пространств не требуется дополнительных топологических рассмотрений.

Диссертация состоит из 4 глав. Глава I содержит 5 параграфов. В ней выявляются топологические, в смысле топологий Гротендика, свойства (К,т)-пространств, используемые далее в теории когомологий и в приложениях.

В §1 вводится, следуя [64], понятие топологии Гротендика на категории, а также сопутствующие понятия, связанные с предпучками множеств. Формулируются свойства категорий предпучков и пучков множеств и универсальных алгебр и анализируется технически важное понятие т-замыкания. Замечается (теорема 1.4.4), что класс т-замкнутых подпредпучков предпучка множеств является фреймом, если его элементы образуют множество. Формулируется ряд технических результатов о топологиях Гротендика, используемых в дальнейшем. Доказательства часто опускаются, если они тривиальны,, либо, в отличие от формулировок, не существенны для дальнейшего. Необходимые подробности содержатся в [34] и [41]. В целом можно сказать, что параграф состоит из удобных для целей дальнейшего изложения переформулировок результатов работ [64] и [65].

В §2 доказывются теоремы о функторах между категориями, индуцирующими эквивалентности категорий пучков или предпучков. Наиболее часто используется в остальной части работы лемма 2.2.6, являющаяся обобщением леммы сравнения из работы [64], также лемма 2.2.7 [34]. Далее вводится понятие (К,т)-пространства - основного объекта исследований в данной работе, а также связанного с ним понятия Г-пространства. Определяется каноническая пара топологий Гротендика на (К,т)-пространстве, доказываются их общие свойства. В конце параграфа рассматриваются группы гомологий на (К,Т)-пространстве. В качестве базисной теории берутся гомологии Ситни-кова [18]. В частном случае метрического топологического пространства получается формула для ситниковских цепей [19], [29], отсутствующая, как известно, в первоначальном определении Ситни-кова.

В §3 рассматриваются решеточные аспекты нескольких, основных для дальнейшего, понятий, а также свойств элементов и семейств элементов (К, т)-пространств. Анализируются нормальная вложенность, нормальная расположенность, локальная конечность, представимость. Кроме того, формулируются условия, при которых локально конечные семейства образуют топологии Гротендика. Устанавливается связь условий дистрибутивности с локальной конечностью. Все результаты этого параграфа подробно изложены в работе [41], а также в работах [35], [36].

В §4 вводится понятие пространства Майкла. Мы выделяем одно из условий, эквивалентное паракомпактности топологического пространства в силу соответствующей теоремы Майкла [12], и кладем его в основу определения. Доказываются топологические свойства пространств Майкла, аналогичные свойствам паракомпактных пространств. Вводится и изучается понятие нормальности в (К,т)-пространстве.

В §5 рассматриваются свойства замкнутых элементов квазиупо-рядоченых множеств, которыми должны обладать замкнутые подмножества топологических пространств для удобства формулировок некоторых теорем когомологической пучковой теории общих топологических пространств. Выделяется нужный класс замкнутых элементов и доказываются его свойства [41]. Кроме того, доказывается важный для приложений общей теории результат об эквивалентности некоторого свойства А-полурешетки, снабженной топологией Гротендика, тому факту, что сопоставляемое ей (К,т)-пространство является пространством Майкла (лемма 5.2.3). Вводится понятие размерности (К,т)-пространства и относительной размерности замкнутого элемента решетки, по аналогии с лебеговской, по кратности семейств элементов, так или иначе связанных с заданной топологией Гротен-дика.

В целом глава I содержит вспомогательные сведения, небходи-мые для проводящегося в последующих главах анализа когомологий и когомологической размерности.

1. Бартик В. Нормальные когомологии Александрова-Чеха // Труды Тбисисского мат. института. 1978. Т.59. С.20-49.

2. Бредон Г. Теория пучков. М.: Наука, 1988. 312 с.

3. Геронимус А.Ю. Топология Гротендика и теория представлений // Функц. анализ. 1971. Т.5. № 3. С.22-31 .

4. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ, 1961. 319 с.

5. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. 175 с.

6. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976. 463 с.

7. Дранишников А.Н. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1988. Т.43. В.4. С.11-55.

8. Дранишников А.Н. Когомологическая размерность не сохраняется при Стоун-Чеховской компактификации // Докл. Болг. АН. 1988. Т.41. 12. С.9-10.

9. Дранишников А.Н. Асимптотическая топология // Успехи мат. наук. 2000. Т.55. В.5. С.71-116.

10. Ирматов A.A., Трофимов И.А. Гомологии полных брауэровых решеток // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. В.З. С. 159-160.

11. Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997. 656 с.

12. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1968. 383 с.

13. Кузьминов В.И. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23. В.5. С.3-49.

14. Кузьминов В.И., Шведов И.А. Группы когомологий равномерных пространств // Сиб. мат. журн. 1964. Т. 5. 3. С.565-595.

15. Кузьминов В.И., Шведов И.А. О когомологической размерности Бредона наследственно паракомпактных пространств // Докл.АН СССР. 1976. Т.231. № 1. С.24-27.

16. Миминошвили М.Р. О когомологиях направленных множеств // Сообщ. АН ГССР. 1985. Т.120. * 3. С.489-492.

17. Окунь Б.А. Гомологическая размерность и последовательность Майера-Вьеториса // Мат. заметки. 1988. Т.43. № 1. С.125-132.

18. Ситников К.А. Закон двойственности для незамкнутых множеств // Докл. АН СССР. 1951. Т.81. № 3. С.359-362.

19. Ситников К.А., Скурихин.Е.Е. Гомологии на предпучках множеств // Труды Мат. Института им. В.А.Стеклова АН СССР. 1991. Т.196. С.156-160.

20. Скляренко Е.Г. О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19. .№ 6. С.47-70.

21. Скляренко Е.Г. О когомологиях с носителями // Успехи мат. наук. 1996. Т.51. В.1. С.167-168.

22. Скляренко Е.Г. Мягкие пучки цепей для сингулярных гомо-логий // Мат заметки. 1999. Т.54. /6 3. С.396-401 .

23. Скурихин Е.Е. О размерности вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1980. Т.35. * 3. С.224-226.

24. Скурихин Е.Е. К когомологической теории вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1981. Т.36. № 1. С.225-226.

25. Скурихин Е.Е. Нормальные пучки и когомологическая размерность вполне регулярных пространств // Докл. АН СССР. Т.265. № 3. 1982. С.541-544.

26. Скурихин Е.Е. Р-топология и ее приложение к гомологической теории топологических пространств // Ленинградская международная топологическая конференция. Тезисы. Л.:Наука, 1982. С.146.

27. Скурихин Е.Е. Пучки и когомологические функторы на топологических категориях // Успехи мат. наук. 1984. Т.39. В.5.С. 165-168.

28. Скурихин Е.Е. Некоторые приложения теории пучков к размерности, непрерывным отображениям и когомологиям // V Тирасполь/ский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: Штиинца, 1985. С.222-223.

29. Скурихин Е.Е. Пучки абелевых групп на одном классе топологий Гротендика // Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. Иркутск: изд-во ИГУ, 1985. С.106-117.

30. Скурихин Е.Е. Теория когомологий нормальных пучков, I // Математички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.65-75.

31. Скурихин Е.Е. Теория когомологий нормальных пучков, II. Ацикличные резольвенты и некоторые приложения // Математички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.213-224.

32. Скурихин Е.Е. О нормальной когомологической размерности открытых подмножеств вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1988. Т.43. В.5. С.213-214.

33. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии предпучков множеств и некоторые их приложения // Труды Мат. Института им. В.А.Стеклова РАН. 1992. Т.193. С.169-173.

34. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и полные брауэровы решетки. Владивосток: Дальнаука, 1993. 218с.

35. Скурихин Е.Е. Нормальная расположенность замкнутых элементов упорядоченных множеств // Дальневосточный мат. сб. 1995. Т.1 . С. 18-27.

36. Скурихин Е.Е. Локальная конечность и нормальная вложенность в дистрибутивных решетках // Дальневосточный мат. сб. 1996. Т.2. С.177-186.

37. Скурихин Е.Е. Алгебраическая нормальная расположенность и пучки на дуальной решетке // Дальневосточный мат. сб. 1997.Т.З. С.3-10.

38. Скурихин Е.Е. Когомологии пучков множеств // Школа -семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 1998. С.78.

39. Скурихин Е.Е. Вялые пучки и производные функторы обратного предела // Дальневосточный мат. сб. 1998. Т.6. С.3-17.

40. Скурихин Е.Е. Вялые пучки на предпучках множеств // Успехи мат. наук. 1998. Т.53. В.6. С.263-264.41 . Скурихин Е.Е. Пучки на нормальных и паракомпактных решетках. Владивосток: Дальнаука, 1998. 145с.

41. Скурихин Е.Е. Лебеговская размерность, как размерность Бредона // Успехи мат. наук. 1999. Т.54. В.2. С.187-188.

42. Скурихин Е.Е. Когомологии и размерность квазиупорядочен-ных множеств // Успехи мат. наук. 2001. Т.56. В.1. С.179-180.

43. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и размерность упорядоченных множеств // Труды Мат. Института им. В.А.Стеклова РАН. 2002. Т.239. С.289-317.

44. Скурихин Е.Е. Вялые пучки и пучковые когомологии равномерных пространств. Владивосток: Дальнаука, 2002. 8 с. (Препринт / ДВ0 РАН. Институт прикладной математики; № 09).

45. Скурихин Е.Е. Пучковые когомологии и размерность равномерных пространств // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. В. 4. С.157-158.

46. Тодуа З.Б. 0 некоторых свойствах групп гомологий дистрибутивных решеток // Сообщения АН ГССР. 1984. Т. 113, Ji2. С. 277-280.

47. Хусаинов A.A. О размерности Хохшильда-Митчела упорядоченных множеств // Сиб. мат. журн. 1992. Т.33. .№6. С.211-215.

48. Хусаинов A.A. О глобальной размерности категории диаграмм абелевых групп над линейно упорядоченным множеством // Фунд. Прикл. Мат./1998. Т.4. »2. С.717-Т23.

49. Alexandroff P. On the dimension of normal spaces // Proc. of the Royal Sociaty, ser. A. 1947. V.189. P.11-39.

50. Art In M. Grothendieck topologies. Harvard University, 1962. 135p.

51. Baboolal D., Banaschewski B. Compactlfication and local connectedness or frames // J. Pure and Appl. Algebra. 1991. V.70 J£° 1-2. P.3-16.

52. Banashewski В., Gilmour C. Stone-Cech compactlfication and dlmention theory for regular a-frames // J. London. Math. Soc. 1989. V.39. J* 1. P.1-8.

53. Bourgin D.G., Nehs R.M. Singular Vietoris-Begle theorems for relatolns // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.284. Jt 1. P.281-318.

54. Brlnl A. Some cohomological properties of partially ordered sets // Adv. Math. 1982. V.43.JS 2. P.197-201.

55. Brurmer G. Hindeknistheorie mit Koeffizienten in Garen von lokalen allgemeinen Homotoplegruppen // Rev. roum. math, pures et appl. 1980. V.25. № 3. 299-332.

56. Chen Xiangdong. On the local connectedness of frames // J. Pure and Appl. Algebra. 1992. V.79. № 1. P.35-43.

57. Deo S., Roy A.N. Toutness and locally finitely valued Alexander-Spanier cochains // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.102. № 2. P.426-430.

58. Deo S., Shukla P. On cohomological dimension and the sum theorems // Acta math. hung. 1984. V.43. № 1-2. P. 17-24.

59. Dold A. Partitions of unity in the theory of fibratlons // Annals of Math. 1963. V.78. 2. P.223-255.

60. Dranishnikov A.N. Generalized cohomological dimention of compact metric spaces // Tsukuba J. Math. 1990. V.14. j& 2. P.247-262.

61. Frith J.L. The catégorie of uniform frames // Cah. Topol. et Geom. Differ Categor. 1990. V.31. № 4. P.305-313.

62. Goossens P. Combinatorial and homological properties of some posets arising in geometry // Bull. Soc. Roy. Sci. Lieg. 1987. V.56. Jfe 3. P.193-204.

63. Grothendieck A., Artin M., Verdier J.-L. Theorie de topos et cohomology etale de schémas // Lecture Notes Math. Berlin, New York, Heidelberg: Springer, 1972. V.269.

64. Grothendieck A., Artin M., Verdier J.-L. Theorie de topos et cohomology etale de schémas // Lecture Notes Math. Berlin, New York, Heidelberg: Springer, 1972. V.270.

65. Heitch J.L. Coarse sheaf cohomology for foliations // 111. J. Math. 2000. V.44. » 6. P.860-867.

66. Husainov A.A. Homological dimension theory of small categories // Journal of Math. Sciences. 2002. V.110. №. P.2273-2321.

67. Isbell J.R. On finite-dimensional uniform spaces // Pacific J. of Math. 1959. V.9. » 1. P.107-121.

68. Iversen B. Cohomology of sheaves. Berlin: Springer, 1986. 464 p.

69. Jacobs Ph. A sheaf homology theory with supports // 111. J. Math. 2000. V.44. № 3. P.644-666.

70. Kalmbach G. Ordered sets and homology // Contrib. Gen. Alg. 2. Proc. Klagenfurt Conf. June 10-13, 1982. Wien, Stuttgart. 1983. P.163-178.

71. Lisica Jn., Mardesic S. Steenrod-Sitnlkov homology forarbitrary spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1983. V.9. № 2 P. 207-209.

72. Morlta K. 6ech cohomology and covering dimension for topological spaces // Fund. Math. 1975. V.87. № 1. P.31-52.

73. Navarro G., Juan A. Dulity and finite spaces // Order. 1990. V.6. № 4. P.401-408.

74. Pelant Jan. Locally fine uniformities and normal covers // Cechosl. Math. J. 1987. V.37. jfe 2. P.181-187.

75. Pop I. An application of the abstract 6ech cogomology // Bull. math. Soc. math. RSR. 1984. V.28. № 4. P.369-374.

76. Preuss G. A cohomological characterization of dimension for normal nearness spaces // Categorical topology, Proc. Conf. Toledo, Ohio, 1983. Berlin. 1984. P.441-452.

77. Pultr A. Pointless uniformittles I. Complete regularity // Comment. Math. Univ. Carol. 1984. V.25. № 1. P.91-104.

78. Pultr A. Remarks on metrizable locales // Rend. С ire. mat. Palermo. 1984. V.33. № 6. P.247-258.

79. Roos J.-E. Sur les foncteurs derives de lim. Applications // C. r. Acad. sci. Paris, Ser A. 1961. T.252. № 24. P.3702-3704.

80. Serre J.-P. Faisceaux algebriques coherents // Ann. Math. 1955. V.61. P.197-278.

81. Shneiders Jean-Pierre. Relative paracompactness as tautness condition in sheaf theory // Bull. Soc. roy. Sci. Liege. 1984. V.53. №3-4. P.179-186.

82. Skurikhin E.E. Finite coverings and Cohomologies of Alexander-Spenier // Quest. Answ. General Topology. 1990. V.8. Spesial Issue. P.303-308.

83. Skurikhin. E.E. Cohomological theories connected withsheaves on Grothendlek topologies // Mathematisches Forshungsinstitut Oberwolfach, Tagungsberlcht. 1985. V.38. P.18-19.

84. Skurikhin. E.E. Sheaf cohomology and dimension oi ordered sets // Kolmogorov and Contemporary Mathematics. Abstracts. M., 2003. P. 855.

85. Spanler E. Cohomology with suppôts // Pacif. J. Math. 1986. V.123. № 2 P.447-464.

86. Spanler E. Cohomology theories on spaces // Trans.Amer. Math. Soc. 1987. V.26. №3. P.263-269.

87. Spanler E. Locally constant cohomology // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. V.329. J* 2. P.607-624.

88. Street R. Two-dlmentlonal sheaf theory // J. Pure and Appl. Algebra. 1982. V.23. № 3. P.251-270.

89. Sun Shu-Hao. On paracompact locales and metric locales // Comment. Math Univ. Carol. 1989. V.30. » 1. P.101-107.

90. Than Cho, Tsujishita Toru. Sheaves on the category of periodic observation // Hokkaido Math. J. 2000. V.29. № 3. P.563-584.

91. Todua Z. On some properties of cohomoglcal functor on a complete distributive lattice with coefficients in sheaves // Bull. Georg. Acad. Sci. 2000. V.161. » 3. P.373-376.

92. Van Osdol Donovan. A Borel topos // Coh. topol. et geom. differ. 1981. V.22. №2. P.123-128.

93. Walters R.F.C. Sheafs on sites as Cauchi-Complete categories // J. Pure and Appl. Algemra. 1982. V.24. 1. P.95-102.

94. Yuzvinsky S. Cohomology of local sheaves on arrangement lattices // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1991. V.112. № 2.P.1207-1217.

95. Yuzvinsky S. Flesk sheaves on posets and Cohen-Macauley union of regular varieties. // Adv. Math. 1989. V.73. № 1. P.24-42.

96. Zarelua A.V. Homotopical prorerties oi sheaf resolutions // Rend. Circ. mat. Palermo. 1988. V.37. * 18. P.141-193.