Категория обобщенных модулей и спектр Циглера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГАРКУША Григорий Анатольевич

КАТЕГОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ МОДУЛЕЙ И СПЕКТР ЦИГЛЕРА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физико-математических наук профессор ГЕНЕРАЛОВ А.И.

Санкт-Петербург 1999

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА I. Категории Гротендика как факторкатегории

(R - mod, АЪ) 9

1. Предварительные сведения 9

1.1. Локализация, кручение, спектр Циглера 9

1.2. Локально когерентные категории 14

2. Категории Гротендика как факторкатегории

(R — mod, Ab) 20 ГЛАВА II. Двойственность для категорий

конечно представимых модулей 31

3. Абсолютно чистые и плоские модули 31

4. Почти регулярные кольца. 48 Список литературы 55

ВВЕДЕНИЕ

В настоящий момент в теории колец и модулей а также в теории абелевых категорий существует ряд фундаментальных понятий, берущих свое начало в теории моделей. Теория моделей модулей уже давно оформилась в самостоятельную дисциплину (подробное изложение этой теории содержится, например, в работах Циглера [25] и Преста [18]), и принесла с собой существенно новые понятия и постановки вопросов, касающиеся чисто алгебраических объектов. По этой причине, она обусловила ряд новых исследований, которые, с одной стороны, являются компиляцией теоретико-модельных конструкций на алгебраический язык, и, с другой стороны, полученные в них методы эвристически дополняют ранее известные алгебраические средства

и

изучения категории модулей.

Оказалось, что основные теоретико-модельные концепции реализуются в категории rC — (mod—R, Ab), состоящей из аддитивных кова-риантных функторов F : mod—R —>• Ab из категории mod—Я конечно представимых правых Д-модулей над ассоциативным кольцом с единицей R в категорию абелевых групп Ab, и чьи морфизмы — естественные преобразования функторов (см. [14]). Категория rC называется категорией обобщенных левых R-модулей, ввиду вполне унивалент-ного, точного справа функтора rM —> — <S)r М из категории левых Л-модулей R—Mod в rC.

Отметим отдельно, что категория обобщенных модулей занимает особое место в современной теории представлений артиновых алгебр (относительно этого вопроса см. подробный обзор Ауслэндера [6], а также недавно вышедшую работу Краузе [17]).

Одним из фундаментальных теоретико-модельных понятий является спектр Циглера кольца, построенный Циглером [25] в 1984 году. Алгебраическое же определение спектра Циглера кольца было предложено Херцогом [12]. Оно состоит в следующем.

Пусть fp r С — полная подкатегория конечно представимых объектов rC. Согласно [5, Theorem 1.6], категория fp rC абелева, или эквивалентно: каждый конечно представимый объект В Е rC когерентен, то есть В — конечно представимый объект и каждый конечно порожденный подобъект объекта В также конечно представим, так что подкатегории fp r С конечно представимых объектов и когерентных объектов coh r С совпадают.

Циглер сопоставил каждому кольцу R топологическое пространство, состоящее из классов изоморфности неразложимых чисто-инъектив-ных левых Л-модулей rQ. Это пространство гомеоморфно, посредством функтора rQ —» — Q (который отождествляет чисто-инъек-тивные левые Д-модули и инъективные объекты категории rС), топологическому пространству Zg rC, состоящему из классов изоморфности неразложимых инъективных объектов категории rC, и базис

открытых множеств которого задается семейством подмножеств

O(C) = {EeZgRC\RC(C,E)¿0},

где С пробегает когерентные объекты rC [12].

Теорема (Херцог [12]). Существует биективное соответствие между подкатегориями Серра S подкатегории когерентных объектов coh r С и открытыми подмножествами О пространства Zg r С. Это соответствие задается отображениями

O^S0 = {C е coh RC I О {С) С О},

которые взаимно обратны друг другу.

Излагаемый в диссертации материал существенно опирается на понятие локализующей подкатегории и факторкатегории категории rC. Поэтому, наше изложение ведется на языке функторов кручения и локализующих функторов, наиболее адекватном в данной ситуации, поскольку многие результаты естественно формулируются именно на этом языке, который, начиная с основных определений, содержащихся в первом параграфе, вводится и подробно объясняется в данной работе.

В главе I доказывается главный результат нашего исследования, который по существу относится ко всему материалу в целом. А именно,

теорема 2.2 утвеждает, что если С — категория Гротендика, и Р — конечно порожденный проективный объект, то подкатегория S = {С Е С | с(Р,С) = 0} является локализующей и функтор C/S{PS,~) устанавливает эквивалентность между категорией C/S и категорией модулей Mod—R над кольцом эндоморфизмов R = С(Р,Р) объекта Р. Данный результат позволяет, в частности, представить категорию модулей R—Mod в виде факторкатегории л С по локализующей подкатегории Vя = {F Е rC | F(Rr) = 0} (см. следствие 2.3).

В главе II показывается, как некоторые вопросы и понятия, возникающие при исследовании абсолютно чистых и плоских модулей естественным образом решаются и интерпретируются в терминах локализующих подкатегорий VR, SR и Sr. Подкатегория SR (соответственно, Sr) определяется следующим образом: объект У Е S (соответственно, У Е Sr), если и только если У = С{ Е SR = Vя П coh rC = {С Е coh rC I C(Rr) = 0} (соответственно, Сг- Е Sr = {С Е coh rC j rC(C, — &)r R) = 0}). Так, например, абсолютно чистые модули реализуются в r С, посредством функтора rM i—>• — М, как те и только те модули rM, для которых функтор — М не имеет Рд-кручения (см. предложение 3.1). С другой стороны, класс плоских модулей удается реализовать в rC аналогичным образом (а именно, когда существует такая локализующая в rC подкатегория <5, что модуль rM плосок, если и только если функтор — М не имеет tS-кручения) тогда и

только тогда, когда кольцо R когерентно справа (см. теорему 3.3). Одним из основных результатов этой главы является теорема 3.4, в которой описываются абсолютно чистые кольца.

Далее наше изложение относится к исследованию двойственности категорий конечно представимых модулей R—mod и mod—R. Кольца, над которыми кольцо R задает указанную двойственность, называем слабо квазифробениусовыми. Оказывается, что такие кольца описываются как абсолютно чистые (слева и справа), когерентные (слева и справа) кольца. Этот класс колец ранее встречался в [21, 24].

В §4 главы II исследуется класс абсолютно чистых колец, для которых подкатегории и Sr нулевые. Такие кольца мы называем почти регулярными (см. теорему 4.1). Изучаются также инедискрет-ные" кольца, а именно те кольца, у которых топология спектра Ци-глера Zg rC тривиальна. Оказывается, что "недискретные" кольца характеризуются как простые почти регулярные кольца. Результаты этого параграфа являются обобщением результатов Преста, Ротмале-ра и Циглера [19], которые описали "недискретные" кольца с использованием теории моделей модулей. Результаты, выносимые на защиту диссертации: 1) получен следующий результат для категорий Гротендика: если С — категория Гротендика, и Р — конечно порожденный проективный объект, то факторкатегория C/S категории С по локализующей

подкатегории S = {С G С \ с(Р,С) = 0} эквивалентна категории модулей Mod—R над кольцом эндоморфизмов R = EndP объекта Р. В частности, категория левых Р-модулей R—Mod эквивалентна фактор-категории rC/Vr, где VR = {F £ RC I F(Rr) = 0}.

2) получены новые критерии для когерентных, абсолютно чистых, почти регулярных и "недискретных" колец.

3) найдены необходимые и достаточные условия Д-двойственности категорий конечно представимых модулей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 10].

Приношу глубокую признательность моему научному руководителю профессору А.И. Генералову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ГЛАВА I.

Категории Гротендика как факторкатегории (R — mod,Ab) 1. Предварительные сведения

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений: если С — некоторая категория, то множество Нотс(Х, У) морфизмов между объектами X, У £ С обозначим через с(X,У) или просто через (X,У), если ясно о какой категории идет речь.

Все подкатегории, с которыми мы будем работать в дальнейшем, предполагаются полными.

1.1. Локализация, кручение, спектр Циглера. Всюду, если не оговорено противное, предполагается, что С — категория Гротендика, то есть абелева категория с образующей, с произвольными прямыми суммами и точным функтором прямого предела (см. [3, с. 595]). Подкатегория S категории С называется подкатегорией Серра, если для любой точной в С последовательности 0 —^ X —> У —» Z —О объект У Е S тогда и только тогда, когда объекты X, Z Е <5.

Пусть S С С — подкатегория Серра. Фактор категорией C/S категории С относительно S называется категория, объекты которой суть объекты С и С/3(Х,У) = \}щс(Х', У/У), где X' С Х,У' С У и Е «5. Тогда C/S — абелева категория и канонический функтор q : С —>• С/«5, q{X) = X, точен [3, 15.6]. Подкатегория Серра

9

¿> называется локализующей, если функтор д обладает правым сопряженным в : С/Б —> С, который мы будем называть функтором сечения. Существование функтора сечения эквивалентно замкнутости <5 относительно взятия прямых пределов [3, 15.11], а также эквивалентно тому, что функтор включения г : С обладает правым сопряженным t = ts : С <!>, который сопоставляет объекту X Е С максимальный подобъект t(X) С X, принадлежащий 5 [16, 2.1]; объект X будем называть Б-периодическим или просто периодическим, если X = t(yX). Если £ — локализующая подкатегория, то для всякого X Е С имеем естественный морфизм Ах : X —>■ причем кег(Ах), сокег(Ах) Е

и кег(Ах) — максимальный подобъект X, принадлежащий с>, и, следовательно, кег(Ах) =ЦХ) [3, 15.14, 15.15].

Говорят, что объект X £ С <5-замкнут (соответственно, без Б-кручения), если Ах — изоморфизм (соответственно, мономорфизм). Следовательно, функтор сечения индуцирует эквивалентность между С/5 и полной подкатегорией ¿>-замкнутых в С объектов [3, 15.19В]. Объект X Е С впредь будем обозначать через Х3, а морфизм

з<7(су), а Е Мог С, обозначим через морфизм Ах будем называть <5-оболочкой объекта X. Отсюда вытекает, что любые две <5-оболочки А^ : X —> Хг , г — 1,2, объекта X Е С изоморфны и « и

Х5. Заметим также, что Х5 = 0 тогда и только тогда, когда X Е

Предложение 1.1. [3, 15.19С]. Пусть ¿> — локализующая подкатегория в С, X без Б-кручения. Тогда мономорфизм ¡1 : X —> У является Б-оболочкой в том и только том случае, когда У Б-замкнут, а Х/У — периодический объект. В этом случае (1) ¡1 — существенный мономорфизм; (2) если Е — существенное расширение объекта У, то Е и Е/У без Б-кручения. Обратно, если справедливы (1) и (2) иУ/Х — периодический объект, то ¡1 является Б-оболочкой. Более того, если Е(Х) — инъективная оболочка X и X без <5-кручения, то его Б-оболочка есть наибольший среди таких подобъектов О объекта Е(Х), содержащих X, что И/Х — периодический объект. Таким образом, без Б-кручения объект X Б-замкнут тогда и только тогда, когда Е(Х)/Х без ¿>-кручения.

Пусть С — подкатегория в С, состоящая из ^-замкнутых объектов, г : С С — функтор включения. Рассмотрим функтор (—: С —>• С : (—)5 = эд, который мы будем называть локализующим функтором. Тогда, по определению, функтор % вполне унивалентен, а локализующий функтор (—)5 точен, так как функтор д точен, а в, как мы заметили выше, индуцирует эквивалентность категорий С/<5 и С'. Пусть Х,У Е С, а Е С(Х,У), (—)5(ск) = а5 = (Ауа)5, где Ау — 5-оболочка У. Очевидно, что а5 = 0 тогда и только тогда, когда та С Отсюда легко следует, что для X Е С, У Е С' С{Х,У) « С,(Х5,У), то

есть г сопряжен справа к локализующему функтору (—С другой

и

стороны, если С и С' — категории Гротендика, дС —ь С' — точный функтор, а функтор в' : С' С вполне унивалентен и сопряжен справа к д', то кегд' = {X Е С | д'(Х) = 0} — локализующая подкатегория в С и существует эквивалентность Н : С/кег д' » С, такая, что Яд = д', где функтор д канонический [3, 15.18].

В дальнейшем под факторкатегорией всегда будем понимать подкатегорию ^-замкнутых объектов с парой функторов (г, (—)5), где г : С/Б —>• С — функтор включения, (—: С —> С/<5> — локализующий функтор. Нам понадобятся следующие свойства ^-замкнутых объектов:

1. Если X Е С/е>, У — С-подобъект X, то У без <5>-кручения. В самом деле, функтор кручения t точен слева, а значит, t(У) С t(X) = 0.

2. Если а : У 2 — морфизм в С/5, то С-ядро кегса — замкнутый объект. Действительно, пусть X = кегс/5а. Так как г сопряжен справа к (—то г точен слева, а значит, X = кетса. В частности, С/5-морфизм — мономорфизм тогда и только тогда, когда он С-мономорфизм. Так, для X, У £ С X С У в С/5 тогда и только тогда, когда X С У в С.

3. Точная в С/«5 последовательность

(1.1)

порождает точную в С последовательность

О —у X -^Г -A Z —► О, (1.2)

где W = Z/imcj3 и W Е S. И обратно, локализация последовательности вида (1.2) дает точную в C/S последовательность (1.1). В самом деле, точность последовательности (1.2) вытекает из предыдущего пункта и построения W. Если мы применим точный функтор локализации к последовательности (1.2), учитывая точность (1.1), получим Ws = 0, то есть W Е S. Рассуждая аналогично в обратную сторону, получим обратное утверждение.

Лемма 1.2. [23, Х.1.4] (1) Пусть Е Е C/S. Тогда Е C/S-инъективен, если и только если Е С-инъективен. (2) Всякий С-инъективный, без S-кручения объект Е S-замкнут.

Спектром Циглера категории Гротендика С называется множество Zg С классов изоморфных неразложимых инъективных объектов С. То, что это множество, следует из теоремы Попеску-Габриэля: если U — образующий в С, R = C(U, U), то существует локализующая в Mod—R подкатегория S такая, что функтор C(U,—) устанавливает эквивалентность между С и Mod—R/S. Но, так как неразложимость и инъективность при эквивалентности сохраняются, то по лемме 1.2 Zg С С Zg (Mod — R), a Zg (Mod—R), как известно, множество. Если

S — локализующая подкатегория в С, то хорошо известно, что S и C/S

13

также категории Гротендика [9, III.4, prop. 9]. Пусть Е{Х) — инъек-тивная оболочка объекта X £ С. Отображение X н-» Е(Х) индуцирует инъективное отображение Zg S Zg С, которое мы будем рассматривать как вложение, и по лемме 1.2 Zg C/S — подмножество Zg С. Они удовлетворяют следующим тождествам: Zg С = Zg S U Zg C/S и Zg 5 П Zg C/S = 0 [9, III.3, corol. 2].

1.2. Локально когерентные категории. Пусть I — направленное множество, то есть I — частично упорядоченное множество, и для всяких i,j £ I существует к £ I такое, что г, j < к. Пусть Аг- С А, г £ /, — семейство подобъектов объекта А, индексированные множеством I, причем для i,j £ I неравенство i < j выполнено в том и только том случае, когда А{ С Aj. Тогда суммой подобъектов Yli^i назовем прямой предел linjj^iAj.

Объект А £ С называется конечно порожденным, если всякий раз, когда существуют подобъекты А\ С A, i £ /, такие, что

существует конечное подмножество J С I такое, что

Подкатегорию в С, состоящую из конечно порожденных объектов обозначим через fg С. Категория С называется локально конечно порожденной., если каждый объект X £ С есть сумма

конечно порожденных подобъектов Хг.

Теорема 1.3. [23, V.3.2] Пусть С £ С. Тогда С конечно порожден в том и только том случае, когда канонический гомоморфизм Ф : lir^c(C, Di) —> с(С, D{) — изоморфизм для всякого объекта D £ С, и произвольного направленного по возрастанию семейства подобъектов (Di)j объекта D.

Конечно порожденный объект А Е fg С называется конечно пред-ставимым, если любой эпиморфизм 7 : В —» А, В Е fg С, имеет конечно порожденное ядро кег7_ Подкатегорию конечно предста-вимых объектов С обозначим через fp С. Соответствующие подкатегории Л-модулей будем обозначать через R—mod = fp(i?—Mod) и mod-i? = fp(Mod-P).

Теорема 1.4. [23, V.3.4] Если С — локально конечно порожденная категория Гротендика, то объект С £ С конечно представим в том и только том случае, когда функтор с(С, —) : С —> АЬ коммутирует с прямыми пределами.

Очевидно, что всякий конечно порожденный проективный объект Р Е С конечно представим. Говорят, что С богата конечно порожденными проективными объектами, если для любого А £ ígC существует эпиморфизм 7 : Р А, где Р — конечно порожденный проективный объект. Если С богата конечно порожденными проективными объектами, то каждый конечно представимый объект А Е С изоморфен коядру морфизма между конечно порожденными проективными объектами, то есть существует точная последовательность

Р1 —> Р0 —> А —> О,

которую мы будем называть проективным представлением А.

Категория С называется локально конечно представимой, если каждый объект X Е С есть прямой предел

X = Ищ А{

конечно представимых объектов А\.

Конечно представимый объект С Е С называется когерентным, если каждый конечно порожденный подобъект А С. С конечно представим. Очевидно, что конечно порожденный подобъект когерентного объекта когерентен. Подкатегорию когерентных объектов обозначим через соЬ С. Категория С называется локально когерентной, если каждый объект из С — прямой предел когерентных объектов, или эквивалентно: категория £р С абелева [20, §2]. Заметим, что категория модулей

Mod—R локально когерентна в том и только том случае, когда R когерентно справа.

Пусть АЬ — категория абелевых групп. Основная категория, с которой мы будем работать в дальнейшем ��