Равномерные и близостные структуры на отображениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

рГ 5 Он

- 3 1Ш1о^Ш8вский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

ЗУБОВ Алексей Юрьевич

РАВНОМЕРНЫЕ И БЛИЗОСТНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ОТОБРАЖЕНИЯХ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1998

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Б. Л. Пасынков Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

С. М. Агеев — кандидат физико-математических наук, доцент В. П. Норин Ведущая организация — .Московский педагогический

государственный университет

Зашита диссертации состоится « ■> ^^ Н^А 1998 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 но математике при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « >М/Я*9_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук.

профессор В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Данная работа является исследованием и области послойной обшей топологии. Хотя термин «послойная (обшая) топология» ( s (общая) топология непрерывных отображений) появился сравнительно недавно, у истоков этой области исследований находятся классические работы И. Л. Ваинштейна [1], Ж. Лере ['2) и Н. Бурбаки [3], в которых был определен и изучен важнейший в современной математике класс непрерывных отображений, обычно называемых сейчас совершенными. Эти, н затем более явно, последующие исследования продемонстрирован! некоторую общую закономерность, выражаемую обычно фразой «совершенные отображения ведут себя в классе непрерывных отображений так же, как и класс бикомпактов — в классе топологических пространств» (хотя точный математический смысл этому высказыванию был придан лишь недавно: с теоретпко-топосной точки зрения — П. Т. Джонстоуном [-1], и, с еше более общих категорных позиций, — У. Толеном. M. М. Кдементино и Э. Джули [5]) — стоит отметить в этой связи, что И. А. Вайн-штейн назвал введенные им отображения (совершенные отображения метрических пространств) «компактными».

Началом реализации идеи «автономного» исследования объектов категорий Тор/3 (т. е. категорий морфизмов категории Тор с обши.м конном В, иначе говоря, непрерывных отображений в (=обших расслоений над) В) можно считать работу Дж. Т. Уайберна [6], в которой было определено понятие (би)компактификации непрерывного отображения (позднее усовершенствованное). В 1960-х годах (по всей видимости, появившись в исследованиях школы А. Гротендика — Ж. Дьедонне, см. [7ij определяется понятие отделимых отображений (названных позднее Б. А. Пасынковым хаусдорфовыми), которые ведут себя в классе непрерывных отображений таким

[1] II. А. Вайнштейн. О замкнутых отображениях метрических пространств ,'/' ДАН СССР 57(1947), с. 319-321.

[2] .1. Leray. L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie d'un space localement compact et d'une application continue // .1. de Math. Pures et Appl. 29(1950). pp. 1-80.

[3] N. Bourbaki. Topologie générale, 2'me ed. Hermann. Paris, 1951.

[4] P. T. .Johnstone. The Cleason cover of a topos, II // .]. Pure Appl. Alg. 22(1981), pp. 229-247.

[5| M. M. Clementmo, E. Gitili, W. Tliolen. Topology in a category: compactness // Portug. Math. 53(1996), pp. 397-433.

[6j G. T. Whyburn. .4 unified space for mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953). pp. 344-350.

¡7) A. Grothendieck, J. Dieudonné. Elements de Geometrie Algébrique I: le langage des schémas. I. H. E. S. Puhl. Math. no. 4. 1960.

же образом, как хаусдорфовы пространства — в классе (всех) топологических пространств; кроме того (по крайней мере, в качестве фольклорного утверждения) доказывается. что класс отделимых (би)компактных отображений рефлективен в категории непрерывных отображений, что является аналогом и обобщением классической теоремы существования максимального, или Стоун — Чеховского, бикомпактного расширения (тихоновского) топологического пространства. Исследования по послойной обшей топологии и близким вопросам, прежде всего связанные с проблемами теории (би)компактификаций отображений, а также с общей теорией когомологий и теорией размерности, регулярно появлялись в нашей стране и за рубежом и в 70-х годах (В. М. Ульянов, А. В. Зарелуа. Лж. Л. Кейн, Р. Ликхофф и др.)

В 1984 году вышла важная работа Б. А. Пасынкова [8], в которой, среди других результатов, были сформулированы аксиомы отделимости дм отображений (в т. ч. было определено понятие тихоуювекого отображения), для тихоновских отображений был получен аналог теоремы Лихонова о вложении в куб Im и доказано существование тихоновских бикомпактификаций тихоновских отображении. Кроме того, по всей видимости, именно в этой работе была впервые явно сформулирована программа «от пространств — к отображениям».

Шагами на пути реализации этой программы (среди работ Б. А. Пасынкова и других исследователей, — ext. книгу [9] и приведенную там библиографию) стали работы Б. А. Пасынкова [10], [11] и [12], в которых были введены понятия (Р-)равномер-ности и (Р-)близости на отображениях и доказано существование канонического взаимно однозначного соответствия между всеми тихоновскими бикомиактнфика-циями непрерывного отображения и всеми /'-близостями (вполне ограниченными Р-равномерностями) на нем, т. е. для тихоновских отображений был доказан аналог классической теоремы Ю. М. Смирнова. Определения Р-равномерностей и Р-близостей. данные в указанных работах, несколько неудобны в том смысле, что они даются косвенно (соответствующие структуры определены как максимальные элементы

[8] Б. А. Пасынков. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // в сб. Отображения и функторы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984, с. 72-102.

[9] Л. К. Мусаев, Б. А. Пасынков. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. Ташкент, Изд-во «ФАН» АН респ. Узбекистан. 1994, с. 50-123.

[10] Б. А. Пасынков. Близости на отображениях // в сб. Обшая топология. Пространства и отображения, М.: Изд-во .Моск. ун-та, 1989, с. 99-113.

[11] В. A. Pasvnkov. Uniformities on mappings // Inter. Rep. of the Prague Topol. Symp. 1988, No. 3, p. 23.

[12] B. A. Pasynkov. On completeness of uniform mappings // Inter. Rep. of the Prague Topol. Symp. 1988, No. 3, p. 24.

некоторого упорядоченного класса эквивалентных структур), а также тем, что для оперирования с ними требуется относительно сложная техника. Вместе с тем, при их изучении становится ясно, что они являются реализацией некоторой единообразной схемы «переноса') понятии структуры на множестве на понятия структуры на отображении, которая может быть применена и в других случаях. Поэтому естественно возникла задача единообразного и более явного описания Р-равномерпостей и Р-близостей на отображениях, а также исследования обищх подходов к переносу структур на множествах на структуры на отображениях.

Еше до появления указанной работы Б. А. Пасынкова D. П. Норин [13] ввел понятие т-близостч на отображении и доказал существование канонического взаимно однозначного соответствия между т-б.тизостями на непрерывном отображении /: .Y —» 3 и его произвольными отделимыми бикомпактификациямн в предположении, что пространство В регулярно. Через некоторое время удалось освободиться от последнего предположения, усовершенствовав понятие m-близости — В. П. Норин и Б. А. Пасынков доказали существование канонического взаимно однозначного соответствия между всеми отделимыми бикомпактификациямн непрерывного отображения и всеми NР-близостями на нем. т. е. получили «чистый» аналог теоремы Смирнова для категории Тор/В [14].

Далее. И. М. Джеймс в [15] ввел еше одно понятие равномерности на отображении (J-равномерности) и доказал, что на любом отделимом бикомпактном отображении существует единственная ./-равномерность. Последнее утверждение породило естественную гипотезу о каноническом взаимно однозначном соответствии вполне ограниченных J-равномерпостей и NР-близостей.

Таким образом, были введены несколько различных понятий равномерности и близости на отображениях, однако точные взаимоотношения между ними не были вполне установлены. К этому следует добавить, что введение и изучение равномерных и близостных структур на отображениях является одной из первоочередных полей распространения понятий, касающихся пространств, на отображения, ввиду чрезвычайной важности роли, играемой равномерными и тесно с ними связанными близостными пространствами в обшей топологии.

Различие понятий Р-равномерностн (Р-близости) и ./-равномерности (Д'Р-близо-сти), т. е. существование двух теорий равномерпостей и близостей на отображениях, есть следствие некоторой обшей тенденции (которая стала особенно отчетливо ясна

[13] В. П. Норин. О близостях для отображений // Вестник Моск. ун-та. сер. мат. мех. 1982, Л"» 4, с. 33-36.

[14] В. П. Норин, Б. А. Пасынков. Близости на отображениях, бикомпактифика-ции отображении // в сб. Отображения н функторы. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1992. с. 93-111.

[15J I. М. .James. Spaces // Bull. Lontl. Math. Soc. 18(1986), pp. 529-559.

в последние годы), состоящей в «разделении» теорий тихоновских и отделимо биком-пактифицируемых отображений. В первой из них рабочим инструментом является «функциональный» язык, а во второй — «чисто теоретико-множественный».

Из классического примера М. Хенриксена и Дне. Р. Исбелла [16], показывающего, что свойство вполне регулярности (в отличие от свойства регулярности) топологических пространств, вообще говоря, не сохраняется в сторону прообраза при совершенных отображениях, следует, что хаусдорфово бикомпактное отображение не обязано быть тихоновским (в то время как любой бикомпакт является тихоновским пространством). Следовательно, упомянутое выше «разделение» послойно-топологических теорий имеет место ipso facto. Внутренняя причина этого кроется в том, что для отображений отсутствует адекватный аналог («большой») Леммы Урысона, которая обеспечивает взаимозаменяемость «функционального» и «теоретико-множественного» языков в общей топологии. Тем не менее, все же желательно было бы иметь какой-нибудь аналог Леммы Урысона для нормальных непрерывных отображений, который, в частности, выявил бы некоторые «функциональные» свойства хаусдорфовых бикомпактных отображений.

В связи с «разделением» послойно-топологических теорий возникает естественный вопрос: при каких условиях из (хаусдорфовой) бикомпактности непрерывного отображения следует его тихоновость? Упоминавшийся пример Хенрцксена — Исбелла был усовершенствован Я. Хабером [17]. Из примера Хабера следует, что для тихоновости непрерывного бикомпактного отображения /: А' —> В недостаточно не только тихоновости пространства В, но даже его нормальности и полноты по Чеху; вместе с тем достаточно паракомпактности пространства В. Поэтому оказывается естественным для обеспечения тихоновости бикомпактного отображения попробовать наложить ограничения на его «внутреннюю геометрию». Одним из таких (весьма жестких) ограничений могла бы быть простота [18] отображения / — требование, чтобы оно было бикомпактным и не более чем один из слоев f'l{b), Ь 6 В, состоял из более чем одной точки. Тем самым возникает вопрос: верно ли, что каждое хаусдорфово простое отображение является тихоновским'!

Цель работы. С позиций общей теории ко(пред)пучков структурированных множеств определить и изучить некоторую общую схему переноса понятия структуры на множестве на понятие структуры на отображении. Исследовать условия, при которых «абстрактный» копучок множеств изоморфен копучку трубок некоторого

[16] М. Henriksen, .1. R. Isbell. Some properties of compactifications // Duke Math. .1. 25(1958), pp. 83-105.

[17] J. Cliaber. Remarks on open-closcd mappings // Fundam. Math. 74(1972), pp. 197-208.

[18] В. В. Федорчук. Произведения и спектры топологических пространств, ч. II. М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1980.

отображения. Установить взаимоотношения между различными определениями равномерных п близостных структур на отображениях: распространить на отображения теорему о соответствии близостей и вполне ограниченных равномерностей. Получить утверждение о непрерывных отображениях, являющееся аналогом классической Леммы Урысона. Выяснить, не следует ли из простоты (хаусдорфова) бикомпактного отображения его тихоновость.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Показано, что основные конструкции теории Р-равномерностей и Р-близостей на отображениях, принадлежащей Б. А. Пасынкову. могут быть обобщены на случаи произвольных копредпучков равномерных и близостных пространств. На основании введенного и изученного в диссертации определения Р-корефлексии в категории копредпучков структурированных множеств предложен некоторый общий подход к определению структур на отображениях.

2. Доказано, что категория вялых копучков множеств над примальным топологическим пространством 3 эквивалентна некоторой надкатегорни категории Set/B, имеющей тот же класс объектов (и совпадающей с последней, если 3 — ^-пространство). Также показано, что лто утверждение является характеристикой прималыюсти пространства В.

3. Установлены точные взаимоотношения между введенными рапными авторами определениями структур типа равномерности и близости на отображениях.

■1. Получено обобвгение классической Леммы Урысона па фильтрующиеся (по фильтру открытых множеств) топологические пространства. В качестве следствия получен аналог Леммы Урысона для непрерывных отображений.

5. Получены обобщения классического результата X. Херрлиха о существовании регулярного 7VnP0CTPal,cTDai любое непрерывное отображение которого в заданное фиксированное Т]-пространство постоянно. На основании этих обобщений построены примеры простых непрерывных отображений, не являющихся тихоновскими.

Методы исследования. Использованные в диссертации категорные методы и методы теории (ко)пучков развивают методы, применяющиеся в исследованиях по послойной обшей топологии. Кроме того, в работе широко используются различные, классические методы теоретико-множественной топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим з области общей топологии непрерывных отображении, а также представляют определенный интерес для специалистов в области категорной топологии. Кроме того, результаты III и IV глав диссертации достаточно интересны (независимо от их приложения к задачам послойной общей топологии) и с точки зрения классических разделов теоретико-множественной топологии.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре им. П. С. Александрова механико-математического факультета МГУ, VI Тираспольской конференции по топологии и приложениям (Тирасполь — Кишинев, 1996), Международной конференции по топологии и приложениям, посвяшенной 100-летию со дня рождения П. С. Александрова (Москва, 1996), Международных конференциях студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» (Москва, 1996, 1997), Александровских чтениях (МГУ, 1997).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 15 параграфов, приложения, списка цитированной литературы, содержащего 60 наименований, предметного указателя и указателя обозначений. Общий объем диссертации — 112 с.

Благодарности. Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Б. А. Пасынкову за постановку задач и постоянное стимулирование к работе, профессорам В. В. Федорчуку и В. И. Пономареву за ценные консультации, а также У. Толену, Р. Дикхоффу и П. Т. Джонстоуну, приславшим полезные комментарии к своим работам.

Содержание диссертации

Во Введении излагаются цели исследования (в контексте краткого исторического обзора работ по помойной общей топологии) и формулируются главные результаты диссертации.

Далее семейство всех открытых подмножеств топологического пространства .V обозначается через О(А'); семейство всех открытых окрестностей точки х £ А' — через К(х), или, более точно. ^'д-(х) (в частности, для V £ Х\'(х) имеем М\-(х) = = {IV 6 Мл-(х) : И' С V'}). Специальным символом 3 обозначается некоторое выделенное «базовое» топологическое пространство; символ О всегда обозначает топологию на нем, т. е. О = О(В). Для Г £ О полагаем Р(У) = {V»? С О : и IV = V }.

Основная цель Главы I — изучение ко(пред)пучков структурированных множеств с довольно общей точки зрения и изучение специальных свойств ко(пред)пучков равномерных и близостных пространств. Рассматривается категория копредпучков со значениями в некоторой категории структурированных множеств (к. с. м.) 31 над фиксированным «базовым» топологическим пространством (В, О), т. е. категория Объектами К являются структурированные множества (А',т), где т — Н-структура на множестве А". От категории К требуется инициальная (и, следовательно, финальная) полнота в том смысле, что для любого конуса отображений [А' (А',т,))1£/ существует (слабая) инициальная структура т на множестве А'

(такое понятие к. с. м.. по существу, идентично понятию «convenient topological construct» [19]).

Множество всех структур на данном множестве Л' является полной решеткой относительно естественного порядка: и =4 т в том и только том случае, если тождественное отображение (Л",т) —> (-Y, (т) является морфизмом.

Копредпучки структурированных множеств, т. е. объекты категории Jf° , обозначаются в виде пар (X, т), где носитель X = { Л'г, /?[• } есть копредпучок множеств с компонентами AV , 1' 6 О, и отображениями включения R\Y ■. X\v—t Ху , ll'C I'.a семейство т = {tv},.-0 — структура на нем, т. е. Т\- есть структура на множестве AY, У 6 О, причем (<¥,т) = { (AY,тг),/?{'• } есть объект категории . Множество всех структур на данном копредпучке множеств является полной решеткой относительно естественного («покомпонентного») порядка ^ .

Копредпучок (Х,х) = { (AY, Xi ), Я|Г } структурированных множеств назовем твердым, если для любого семейства W С О структура Т\- на множестве AY, где

¡¡W

V = |J"W> финальна для коконуса ((Л'ц'> Тц>) —AV] u,.w . Структуру т на X будем называть твердой, если (X, т) — твердый копредпучок. Причина введения такого определения объясняется тем, что твердые копредпучки суть «почти копучки», что более точно выражается следующим предложением:

1. Предложение. Копредпучок (X, т) структурированных множеств является ко-пучком (в ) в том и только том случае, если он является твердым копредпут1Ком. а его носитель X является копучком множеств.

Далее доказываются утверждения, которые можно кратко суммировать здесь з следующем предложении:

2. Предложение. Полная подкатегория категории Ji°. состоящая из твердых ко-предпучков, корефлективна в категории Ji° , причел/ соответствующая корефлексия сохраняет носители.

Другими словами, каждой структуре т на копредпучке множеств X можно сопоставить структуру т т (на X) таким образом, что т = т и любой морфизм Ф: (У,а) -> (Х,т), где а — а (эквивалентно, а — твердая структура), является морфизмом Ф\ (У,а) (<¥,т).

Одним из основных определений Главы I является следующее:

3. Определение. Сохраняющую носители корефлексню в категории Ji° некоторой ее полной категории, все объекты которой суть твердые копредпучки, назовем Р-корефлексией.

[19] H. Herrlich, M. Husek. Categorical Topology // in: Recent Progress in General Topology (eds. M. Husek and J. van Mill), Elsevier. North Holland 1992, pp. 369-403.

Эквивалентное (и используемое п дальнейшем) определение таково: Р-корефлек-сия — это отображение р. ставящее в соответствие каждой структуре т на каждом копредпучке множеств X структуру рт >?= т на этом же коиредпучке так, что

рт — твердая структура; рх ^ т; р(рт) = рт;

любой морфизм Ф\ (У. сг) —> (Х,т), где ра = с,

является морфизмом Ф: (У, ст) —> (Х.]х).

Структуру т на копредпучке множеств назовем Р-твердой, если рт = т. Две структуры т и сг на пазовом Р-эквивалентными (относительно р),если рт = ра.

Далее в Главе I рассматривается случай, когда к. с. м.З? есть категория Т-ГшГ (необязательно отделимых) равномерных пространств, или категория Ргох (необязательно отделимых) блнзостных пространств.

В категории итГ3 строится (явным определением) некоторая Р-корефлексия р; Р-твердая (относительно этой корефлексии р) равномерность Я = {и^}Г£0 на копредпучке множеств X = {А'г.Л}- } (т.е. такая, что рН = И), называется Р-равномерностью. Также вводится понятие вполне ограниченной Р-равномерности на копредпучке множеств. Доказывается ряд утверждений о Р-равномерностях, среди которых отметим здесь следующее:

4. Предложение. Две равномерности 20 = }1е0 и Н = {Уг}Г£0 па копредпучке X = Р-эквив:иентны (относительно Р-корефлексии р) в том и только том случае, если для каждого V 6 О выполняются условия: 1) для любого Е е Ну найдется такое покрытие У? е Р(^), что (Пу х П\?)~1Е 6 2В1г при всех И" € 2) условие, симметричное предыдущему относительно замены Ну и 2Пу.

Кроме того, указано явное «аксиоматическое» определение Р-равномерности.

Далее, в категории Ргох0 строится (явным определением) некоторая Р-корефлексия Р-твердая (относительно этой корефлексии д) близость 5 — {<5\-}уе0 па копредпучке множеств X = { Х\>, Р{У} (т.е. такая, что <?<5 = <5), называется Р-близостъю. Доказывается ряд утверждений о Р-близостях и их связи с Р-равномер-ностями, среди которых здесь отметим следующие:

5. Предложение. Две близости д' = {¿1'}у60 л <5 = на копредпучке X = Р-эквивалентны (относительно Р-корефлсксии д) в том и только том случае, если для каждого V € О выполняются условия: 1) для любых А, В С Ху, таких, что <5у(А.В) = 1, найдется такое покрытие IV е Р(У), '¡то

А, (Л" )_1В) = 1 при всех IV 6 "М; 2) условие, полученное из предыдущего переменой мест ¿у и $[.-.

6. Теорема. Полные подкатегории категорий ишГ° и Ргох0, состоящие соответственно из копредпучков вида (X, Н), где Я — вполне ограниченная Р-равномер-пость на X, и копредпучков вида (X, д), где 5 —Р-блилость на X, изоморфны.

В Главе II результаты Главы I находят применение к определениям структур на отображениях и изучаются связи между различными определениями равномерности! и близостей на отображениях.

Пусть имеются два множества Л', 1' и отображения /: Л' —► В, д\ —> В в топологическое пространство В. Скажем, что отображение ip\ X —г 5' есть трубочный морфизм Ч>- f <J, если С </"'(' ) для всех V S О. Класс всех отображений множеств в множество В вместе с классом их трубочных морфизмов (с обычным законом композиции) образуют категорию, обозначаемую Sett(3,0). Set/B является подкатегорией категории Sett(B,0), имеющей тот же класс объектов и совпадающей с последней, если (В. О) есть Ti-проетранство.

Каждому отображению /: -V —» В соответствует копучок множеств CS(/) = = { AV, ¡{Г }, компонентами которого являются трубки отображения /. т. е. множества Ху = f~'V (V G О), а морфпзмами включения — тождественные вложения этих трубок. Копредпучок вида CS(/) необходимо является вялым, т. е. его морфиз-мы включения ннъективны (зсуть мономорфизмы категории Set). Соответствие / н-)- CS(/) тривиально продолжается до функтора CS из SettfB. О) в категорию Coshvm(B, О) вялых копучков множеств над (В, О).

Следующая теорема устанавливает связь между «абстрактными» вялыми копуч-ками множеств и копучками вида CS(/):

7. Теорема. Пусть (В, О) — прииилыюе пространство, тогда существует эквчва-

CS

леитность Sett(B, О) Coshvm(B, Ö), такая, что L — функтор, левый обратный

L

к функтору CS.

8. Следствие. Если (В, О) — примальное Ti-пространство. то существует .эквива-

cs

лентность Set/B Coshvm(B, О).

L

Таким образом, каждый вялый копучок множеств над примальным пространством канонически изоморфен некоторому копучку вида CS(/). (Свойство примальности. или «трезвости» топологического пространства В, введенное А. Гротендиком для нужд теории когомологий, состоит в том, что В естественно изоморфно стоуновско-му пространству главных простых идеалов решетки своих открытых подмножеств. Класс примальных пространств весьма широк и занимает промежуточное положение между классами To-пространств и хаусдорфовых пространств.) Приведенная выше теорема допускает обращение:

9. Предложение. ДляТц-прострячствя (В, О) следующие условия равносильны:

(i) Пространство (В, О) лримально.

(ii) Любой вялый копучок нал (В, О) изоморфен копучку CS(/) для некоторого отображения /: А" —» В .

В связи с рассмотрением копучков вида CS(/) возникает (как одна из возможных) идея определения стрзгктуры на отображении / как структуры на ко(пред)пучке множеств CS(/) (в смысле Главы I). При этом, пользуясь корефлективностью твердых копредпучков и предложением 1, можно'утверждать, что каждый коттредиучок JÍ-структурированных множеств вида (CS(/),t) индуцирует ~Ч1учок (CS(/),t). Более общо, можно рассмотреть Р-корефлексию р, которая сопоставляет каждому копред-пучку структурированных множеств вида (CS(/),"t) копредпучок (CS(/),/rr), который необходимо будет являться копучком (в 5R0). В этом, в общих чертах, и состоит один из возможных подходов к переносу понятия структуры на множестве на понятие структуры на отображении.

В частности, можно рассмотреть Р-равномерности и Р-близости на копучках множеств вида CS(/). В диссертации доказано, что в этом случае мы соответственно приходим в точности к понятиям (вообще говоря, неотделимых) Р-равномерностей и Р-близостей на отображениях в смысле Б. А. Пасынкова (в частности, каждая Р-равномерность или Р-близость на / определяет некоторый копучок равномерных или близостных пространств с носителем CS(/)). При этом многие утверждения о Р-равномерностях и Р-близостях на отображениях оказываются прямыми следствиями утверждений о Р-корефлексиях в категориях копредпучков структурированных множеств; в частности, существует каноническое взаимно однозначное соответствие между вполне ограниченными Р-равномерностями и Р-близостями (см. Теорему б выше). Сказанное .можно выразить и так: теория Р-равномерностей и Р-близостей Б. А. Пасынкова может быть в главных своих чертах обобщена с копучков множеств вида CS (/) на произвольные копредпучки множеств.

В оставшейся части Главы II изучаются J-равномерностн и NP-близости на отображениях. Приводится определение ./-равномерности в терминах частичных покрытий и на его основе доказывается один из главных результатов данной главы:

10. Теорема. Существует каноническое взаимно однозначное соответствие между всеми вполне ограниченными ./-равномерностями и NР-близостями на отображении.

Наконец, в Главе II рассматриваются также m-близости и J'-равномерности, определенные в [20] в качестве упрощенного варианта J-равномерностей (по всей видимости. из чисто методических соображений). Оказалось, что имеет место

11. Предложение. Каждая m-близость (соответственно, ,/'-равномерность) на отображении f: X В каноническим образом порождает некоторую NP-блпзостъ (соответственно, J -равномерность) на нем. Если же пространство В регулярно, то понятия m-близости п NP-бллэости (соответственно, J'-равномерности и J-равномер-ностп) эквивалентны (более точно, соответствующие категории изоморфны).

[20¡ I. ,\1. James. Fibrewise topology (Cambridge Tracts in Math., no 91). Cambr. Univ. Press. 1984.

Глава III диссертации посвящена применению языка ростков (множеств и функции) в послойной общей топологии.

Через 2Л обозначается семейство всех подмножеств пространства Л". рассматриваемое также как булева алгебра с замыканием. Пусть X —► M — произвольное (не обязательно непрерывное) отображение пространства А* в метрическое про странство M (с метрикой р). Для каждой точки х 6 А' пусть ио.(х) = inf{ supp(^(.r).

'■r(y)) '■ U 6 } — колебание отображения ~ в точке х. Для каждого непустого множества .1 С А* положим ил,(.4) = sup{ ¡¿.'.¿(г) : х G .4 } и пусть iû.f{0) = 0.

Фильтрующимся пространством будем называть пару (A', 3). где А' — топологическое пространство, a S — кпазифильтр в семействе О(А'). Как известно, отношение эквивалентности ~ на булевой алгебре 2Л . заданное правилом: .4 ~ В в том и только том случае, если .4nG = BCiG при некотором G G 3- является конгруэнцией. Для .4 с X пусть [Л] = {С G 2Л : С ~ .4} G 2д обозначает росток множества .4 С А' относительно квазифнльтра 3 ■ Отношение ~ сохраняет замыкание, т. е. формула [.4J = L[-^]\-J коРРектно определяет операцию (булева) замыкания на булевой алгебре 2д .

Далее, пусть M — метрическое пространство, и "t"(S,4/) обозначает множество всевозможных отображений G —> .1/, где G G S ; как известно, ростками со значениями в M относительно 3 называются элементы фактормножества t(S,-^)/~-где отношение ~ определено правилом: ~ в том и только том случае, если найдется такое G G S, что G С dom^i П (iom -ç? ни Г S = л i G. Множество всех 9-ростков со значениями в M обозначим через 6(3.-Ю-

Отображение G |(3, М) назовем S-финально непрерывным, если оно обладает свойством: для каждого s > 0 найдется такое G G 3, что G С dom ç и x.s{G) < г. З-росток Ф G 0(3,4/) назовем финально непрерывным, если существует S-непрерывное отображение ^ G Ф.

Пусть (А", 3) — фильтрующееся пространство. Очевидно, если Ф G 0(3,1) и CCI,

то для у 6 0 росток 1 (С)J (Е 2^ не зависит от выбора обозначим последний через ФС. Ростки (множеств) А. В G 2д назовем отделимыми ростком (функций) Ф G ©(3,1), если Л $ Ф{0} и В $ Ф{ 1}.

Далее, будем говорить, что росток А G 2д плотно отделен от ростка В G семейством ростков {Ur}rCT открытых подмножеств А", где Т — некоторое плотное подмножество интервала (0:1) вещественной прямой, если

А < Uг и Uг Л В = [0J при всех т G Т;

U г < U г' при. всех г, г' G Г. г < г'. Основным утверждением Главы III является следующая 12. Теорема. Пусть (X, 3) —фильтрующееся пространство. Для ростков А. В £ следующие условия равносильны:

(i) А плотно отделен от В некоторым семейством ростков открытых подмножеств пространства X .

(ii) Ростки А и В от долимы некоторым финально непрерывным ростком Ф £ е Ö(S,I).

(¡ii) Существует финально непрерывный росток Ф е 0(3>Ю> обладающий свойством: A ¡g Ф [0 ; г) и В г; 1] для каждого £ € (О,1).

Фильтрующееся пространство (Л', S) назовем финально нормальным, если для любых ростков А, В ё замкнутых множеств, таких, что А Л В = [0J , найдутся такие ростки U, XV 6 2д открытых множеств, что [0j.

Следующую теорему можно рассматривать как аналог леммы Урысона для фильтрующихся пространств.

13. Теорема. Фильтрующееся пространство (Л', S) финально нормально в том и только том случае, если любые два ростка А, В 6 2д замкнутых множеств, такие, что А А В = [0], отделимы финально непрерывным ростком функций Ф е С5(5,1).

Пусть теперь имеется непрерывное отображение f: X В. Для каждого Ь 6 В обозначим через Sь квазифильтр в семействе О(А'), порожденный базой {f~l(V) : V € >í(b)}, а через — росток множества .4 С X относительно S&- Из преды-

дущей теоремы следует

14. Теорема («Лемма Урысона для отображений»). Непрерывное отображение f: X —» В нормально в том и только том случае, если для любой точки b 6 В любые два ростка А, В 6 замкнутых множеств, такие, что А Л В = [0jb, отделимы финально непрерывным ростком функций Ф 6 i3(St,II).

Использование языка ростков множеств также позволяет дать альтернативные определения (более наглядные с «решеточной» точки зрения) jVP-близости и /-равномерности. Причина естественности языка ростков множеств в послойной топологии заключается в том, что каждое отображение канонически индуцирует некоторый пучок множеств.

Переходим к изложению результатов Главы IV диссертации. Пусть Е — произвольное фиксированное Ti-пространство, состоящее более чем из одной точки.

Напомним классическую теорему X. Херрлиха [21]: найдется 7\-регулярное пространство, состоящее более чем из одной точки, любое непрерывное отображение которого в пространство Е постоянно. T¡ -регулярные пространства, обладающие указанным свойством, назовем херрлиховскими (относительно Е).

Основным (достаточно трудно доказываемым) результатом Главы IV является следующая теорема, обобщающая упомянутую теорему Херрлиха:

15. Теорема. Для любого регулярного T¡-пространства С найдется такое херрли-ховское пространство X, содержащее пространство С в качестве замкнутого подпространства (X D С), так, что выполнено следующее условие:

для любых точки х 6 С и непрерывного отображения ¡p: U —> Е, где U G N,y(x), найдется такое 1Г £ N(/(x), что отображение постоянно на И'ПС.

[21] Н. Herrlich. Wann sind alle stetigen Abbildungen in Y konstant? // Math. Zeitschr. 90(1965), s. 152-154.

Из этой теоремы несложно выводится 16. Следствие. Для любого связного бикомпакта С, |С| > 1. найлстся не тихоновское простое отображение f: X —> В херрлиховсшх относительно I пространств. единственный нетривиальный слой которого гомеоморфеп С.

Диссертацию завершает Приложение, содержащее список некоторых основных определении. В диссертации имеются также Предметный указатель и Указатель обозначений, необходимость составления которых была обусловлена спецификой работы, потребовавшей употребления довольно большого числа терминов и применения разнообразных обозначений.

Работы автора по теме диссертации

[1] А. Ю. Зубов. О равномерностях на отображениях // Symp. VII Tirasp. Gen. Top. Appl., pp. 241-245.

[2] A. 10. Зубов. Равномерности и близости на отделимо бикомпактифпцпруемых отображениях // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» (1996-1997). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. с. 148-150.

[3] А. 10. Зубов. Ростки множеств и непрерывные отображения // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» (199G-1997). М.: Изд-во Моск. ун-та. 1997. с. 10-42.

[4] А. Ю. Зубов. Ростки множеств и функций в послойной общей топологии // Фундаментальная и прикладная математика. 4(1998). вып. 1. с. 109-117.

[5] A. Yu. Zubov. Partial coverings and fibrewise uniformities // in: Topology and Applications (Intern. Conf. P. S. AlexandrolF's 100th birthday). Moscow, Phasis. 1996. pp. 119-120.