Непрерывные селекции паравыпуклозначных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

У Л ' м

Математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Президиум: ВАК России

(решение от " " оОЩ 1 д || г>, i

присудил ученун. степей;, ДОКТОР А Начальник управления ВАК'России

На правах рукописи

Семенов Павел Владимирович

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕЛЕКЦИИ ПАРАВЫПУКЛОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (01.01.04. - геометрия и топология)

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва -1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение......................................................4

ГЛАВА I. Основные понятия.

$ 1. Функции невыпуклости замкнутых подмножеств нормированных

пространств и их свойства............................... 34

$ 2. С-суммируемые функции и мажорирование функций невыпуклости. Функциональная паравыпуклость............................41.

ГЛАВА II . Селекционные теоремы.

$ 1. Общая процедура улучшения е-селекций : построение последовательности бп-непрерывных еп-селекций...................48

$ 2. Глобальные и локальные теоремы для бесконечномерных областей определения. Равностепенная локальная паравыпуклость.

Объединение селекционные теоремы..........................58

$ 3. Теория селекций в пространствах с аксиоматически заданной

выпуклостью...............................................78

$ 4. Селекции не полунепрерывных снизу отображений.............95

ГЛАВА III СВОЙСТВА КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО ПАРАВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ.

$ 1. Трансверсальные возмущения выпуклых множеств. Выпуклые

сечения графиков непрерывных функций.....................104

$ 2. Внутренние возмущения выпуклых множеств.Звездноподобные мно-

жества гильбертовых пространств..........................130

$ 3. Аппроксимативная устойчивость функционально паравыпуклых

множеств. Свойства их е-окрестностей.....................141

$ 4. Разные результаты. Паравыпуклость множества ретракций на

паравыпуклые множества..................................157

ГЛАВА IV. ПРИЛОЖЕНИЯ .

$ 1.Теоремы о неподвижных точках невыпуклозначных отображений.165 $ 2. Непрерывные графические аппроксимации полунепрерывных сверху

отображений..............................................172

$ 3. Множества неподвижных точек невыпуклозначных сжатий......180

$ 4. Теоремы о пересечении и теоремы о минимаксе..............189

$ 5. Селекционные гипертопологии..............................197

$ 6. Дифференциальные включения и непрерывные селекции отображений в пространства суммируемых функций...................205

$7. Выпуклости в бесконечно делимых банаховых пространствах.Решение проблемы Гэгана - Веста (Бессаги - Добровольского).213

Литература....................................................222

ВВЕДЕНИЕ

В ряде классических задач бесконечномерного анализа и топологии довольно типична ситуация, когда чисто топологическая по своей постановке проблема не имеет чисто топологического решения и положительный ответ требует рассмотрения качественно новых математических структур. При этом конечномерный аналог проблемы, как правило, имеет чисто топологическое решение.

Например, классическая теорема Куратовского-Дугунджи,[Бор71], дает топологическое (внутреннее) описание абсолютных экстензоров в классе (л+1)-мерных метрических пространств как пространств, которые л-связны и локально л-связны. В то же время,класс абсолютных экстензоров для произвольных метрических пространств не имеет никакого внутреннего топологического описания. По теореме Дугунджи, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство есть АЕ, но такое достаточное условие экстензорности существенно использует выпуклость. т.е. не топологическое условие. Пример Борсука,[Бор71]доказывает,что и одновременное использование всех "конечномерных" решений не дает решения в бесконечномерном случае : существует метрический компакт, который л-связен и локально л-связен при всех натуральных п и который при этом не является абсолютным экстензором.

/

Похожая ситуация сложилась и в теории непрерывных селекции многозначных отображений, которая в качестве частного случая содержит и теорию продолжений однозначных непрерывных отображений Классическую конечномерную селекционную теорему Майкла,[М56 ], можно переформулировать так.

ТЕОРЕМА 0.1 Для каждого полно метризуемого пространства У и

каждого семейства Ь = {1} его непустых замкнутых подмножеств, которое насыщено , т.е. ( I е I , у € I ) =ф( {у} е I ), эквивалентны два следующих условия :

а) любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X размерности * п + 1 в Ь имеет непрерывную однозначную селекцию

б) все элементы семейства Ь п-связны и любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X размерности ^ п + 1 Ь имеет локальные непрерывные однозначные селекции;

Условие (б) в этой теореме допускает описание , не выходящее за рамки пространства У :

б' ) все элементъ! семейства Ь п-связны , а само семейство I равностепенно локально п-связно.

В то же время, результат Пиксли, [Р174], допускает следующую интерпретацию, аналогичную по форме, но противоположную по содержанию предыдущей теореме.

ТЕОРЕМА 0.2. Не существует класса топологических пространств К такого, что для каждого полно метризуемого пространства У и каждого насыщенного семейства Ь = {Ь} его непустых замкнутых подмножеств эквивалентны два следующих условия :

а) любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X в Ь имеет непрерывную однозначную селекцию;

б) все элементъ1 семейства Ь лежат в К и любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X в I имеет локальные непрерывные однозначные селекции;

Как и в случае экстензоров,для произвольных паракомпактов разрешимость (в данном случае - селекционной )проблемы обеспечивается при добавлении не топологического условия выпуклости и ответ

дается выпуклозначной селекционной теоремой Майкла,[М56 ].

£

ТЕОРЕМА 0.3. Всякое полунепрерывное снизу отображение Р параком-пакта X в банахово пространство В имеет непрерывную однозначную селекцию, если все значения ?(х), х е X, непусты, замкнуть1 и выпуклы.

Третий похожий пример некоторой противоположности решений конечномерных и бесконечномерных задач дает теория графических е-аппроксимаций полунепрерывных сверху многозначных отображений. Напомним, что (графической) е-аппроксимацией многозначного отображения Р:Х —> У метрических пространств (Х,р),(У,ё) называется однозначное непрерывное отображение : X -» У такое,

что его график Г(/ ) лежит в е-окрестности графика Г(Р) относительно шах-метрики в декартовом произведении X х У.Использование графических аппроксимаций является одним из стандартных подходов к нахождению неподвижных точек многозначных отображений; оно восходит к фон Нейману [Иеи49] и Какутани [К41]. Для л-мерных областей определения известны чисто топологические условия,гарантирующие аппроксимируемость (т.е существование е-аппроксимаций для любых е > 0)полунепрерывного сверху компактнозначного отображения. Это [/У1-условия для значений Р(х) отображения Р. Здесь имеется цепочка разного рода вариантов ответа, но наиболее общий результат лишь недавно получен Щепиным и Бродским [ЩБр96]. ТЕОРЕМА 0.4. Всякое полунепрерывное сверху компактнозначное отоб-ражение Р метрического (п+1)-мерного пространства X в метрическое пространство У аппроксимируемо, если только все значения Р(х), х е X, являются ЦУ" -компактами.

Для произвольных метрических X чисто топологические условия на Р , гарантирующие аппроксимируемость Р неизвестны. Как и в случае селекций полунепрерывных снизу отображений, решение

известно при добавлении не топологического условия - выпуклости. А именно, теорема Челлины [С69] утверждает

ТЕОРЕМА 0.5 Всякое полунепрерывное сверху выпуклозначное отображение метрического пространства в нормированное пространство аппроксимируемо .

Направление исследований, представленное в настоящей диссертации, в первую очередь, связано с анализом того, насколько существенно условие выпуклости в классических решениях указанных бесконечномерных задач. В грубых терминах, основной вопрос здесь может быть сформулирован так.

Существует ли чисто топологический аналог выпуклости ? Ответ ровно на этот вопрос известен - нет, не существует. И в качестве обоснования можно, например, привести теорему 0.2. Более (вынужденно) мягкий вариант первоначального вопроса звучит так.

Насколько можно отказаться от выпуклости в указанных бесконечномерных теоремах ??

Для конкретизации последнего вопроса необходимо формализовать понятие "отказ от выпуклости", т.е уточнить, что имеется ввиду, когда говорят об "уклонении от выпуклости." Тем самым, мы естественно приходим к проблеме введения некоторой характеристики невыпуклости подмножеств банаховых пространств. При этом объект,характеризующий невыпуклость множеств, должен удовлетворять, как минимум, двум требованиям. Во-первых, вырожденность или тривиальность такого объекта должна быть эквивалентна выпуклости множества. Во-вторых, желательно, чтобы классические (бесконечномерные) проблемы (см.выше) были бы разрешимы при некотором контроле за нетривиальностью этого объекта. Так как в топологических терминах ввести такой объект все равно невозможно, то естественно попытаться опи-

сать его в метрических терминах. Переход к метрическим объектам оправдан к тому же и тем фактом, что, например, доказательства селекционных теорем реально проводятся именно в метрических терминах : искомая селекция стоится как тот или иной равномерный предел последовательности е-селекций.

Основая цель настоящей диссертации состоит в реализации этой программы. Метрически инвариантным объектом, описывающим невыпуклость замкнутого подмножества Р банахова пространства в этой

работе является числовая функция ар : (О,со) -» [0,2], которая

называется функцией невыпуклости множества Р , определение 1.1.1 Для гильбертова пространства функции невыпуклости его подмножеств всегда принимают значения в [0,1]. Тождество оср = 0 эквивалентно выпуклости замкнутого множества. Чем дальше от нуля уходит функций невыпуклости ар , тем "невыпуклее" становится само множество Р. Границы такого возможного ухода выяснены достаточно четко: Рубиконом здесь является единица. Кратко говоря, в настоящем исследовании показано, что ограничения типа оср( • ) < 1 являются вполне работающим метрическим эквивалентом выпуклости множества Р. По крайней мере, в большом числе реальных ситуаций (и, в частности, в описанных выше проблемах экстензорности, селекционности и аппроксимационности) оказывается возможным заменять тождество ар = 0 ,т.е. выпуклость множества Р, на неравенство типа ар < 1. Аналогичная возможность имеется и в минимаксных теоремах, в теоремах о неподвижной точке, теоремах о топологической структуре множества неподвижных точек многозначных сжатий , в селекционных теоремах для отображений с разложимыми значениями, существенно используемых для решения дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью и т.п.

Перейдем к краткому содержанию диссертации, разделенной на четыре главы, в которых, соответственно, введены основные понятия (глава I), доказаны основные теоремы (глава II), приведены основные примеры(глава III) и изложены различные приложения(глава IV).

ГЛАВА I. Основные понятия.

$1. Функция невыпуклости ар( •) замкнутого непустого подмножества Р нормированного пространства Е каждому числу г > 0 ставит в соответствие число

оср( г) = sup { L(D,P)/r I D - открытый шар радиуса г }. где число A(D,P) = sup{ dist(x,P) | x € conv(D p| P) } естественно измеряет "абсолютную" невыпуклость множества Р внутри шара D , а отношение A(D,P)/r есть "относительная" невыпуклость Р внутри D. Возможны различные варианты определения функции невыпуклости :замкнутая. внутренняя. центральная и строгая функции невыпуклости. Замкнутая функция невыпуклости используется для установления некоторых свойств просто функции невыпуклости (предложения 1.3 и 1.4). Внутренняя и центральная функции удобнее при работе с конкретным множеством (см.глава III). Строгая функция невыпуклости помогает при улучшении некоторых аналитических оценок( глава IV, $4). Для каждой из функций невыпуклости определяется и ее конечномерный аналог: следует всюду заменить conv(Df)P) на convn+1(D f] Р), т. е. на выпуклые комбинации только не более чем (п+1 )-элементных подмножеств пересечений D р| Р , п е IN. В этом случае получаем определения функций невыпуклости в размерности п

$2. В этом параграфе вводится центральное для дальнейших рассмотрений понятие, формализующее выражение "функция ос:(0,со) —> [0,<») меньше единицы". Пусть q есть соответствие, которое каждой функ-

ции ос ставит в соответствие функцию = t^cl(t)', дп - п-я

итерация q. Функция а: (0,а>) —> [0,<») называется в-суммируемой

если функциональный ряд ^^ •) поточечно сходится на (0, со) ;

сумму этого ряда обозначим £а(О- Если же для функции а имеется строгая С-суммируемая мажоранта, то функция а называется меньшей единицы слева: обозначение а < 1 .

В предложении 2.3 сравниваются различные варианты понятия "функция а меньше единицы" . В частности, а < 1 ,если все правые верхние пределы функции а меньше единицы ( а+0< 1 ).Множества Р для которых ар(•) < 1_ 0 будем называть функционально паравыпуклыми. а паравыпуклыми назовем, следуя Майклу,[М59п], множества, функция невыпуклости которых не превосходит некоторой константы, меньшей единицы. Работа Майкла [М59п] явилась отправной точкой настоящего исследования : метод доказательства теорем 11.1.5 и II.2.1 ,ниже, есть обобщение техники Майкла на случай отображений с функционально паравыпуклыми значениями.

В терминах значений, принимаемых функциями невыпуклости подмножеств банахова пространства, удается дать характеризацию гильбертовых пространств.

СЛЕДСТВИЕ 1.2.6 Следующие условия эквивалентны для любого банахова пространства В :

а) й'тВ = 2 или В изометрично гильбертову, пространству;

б) для любого Р с В значения функции невыпуклости ар не больше 1.

ГЛАВА II . Селекционные теоремы. Непрерывные однозначные селекции многозначных отображений обычно ,[ М56 ], ищутся в виде пределов равномерно сходящихся последова-

тель ностей непрерывных е-селекций ("внешние" приближения),а непрерывные многозначные селекции стандартным образом получаются как пределы последовательностей б-непрерывных селекций ("внутренние" приближения или метод покрытий Чобана) данного многозначного отображения, [М59',Ч70].

$1. В этом параграфе разработан новый метод, основанный на одновременном использовании идей методов внутренних и внешних приближений.Искомая селекция получается как равномерный предел

последовательности 6-непрерывных е-селекций; б-» 0, е-> 0.

ТЕОРЕМА II.1.1.(УЛУЧШЕНИЕ е-СЕЛЕКЦИИ)

Пусть а :(0, оо) -> (0,«>) функция, строго мажорирующая функции невыпуклости ( функции не выпуклости в размерности п ) всех

значений полунепрерывного снизу отображения F : X -> В пара-

компакта ( n-мерного паракомпакта X ) в банахово пространство В Пусть заданы положительные числа е, б, а и однозначная 6-непрерывная е-селекция f :Х -» В отображения F. Тогда для е* = е

+ 2б+& существует однозначное отображение f*: X -> В

такое, что :

а) f* есть a(е*)•с*-селекция отображения F ;

б) || f*(x) - f(x) || < е* для всех х е X ;

в) f* с-непрерывно .

Если правые верхние пределы функции а меньше единицы, то п.а) в этой теореме показывает ( при достаточно малых б и сг ),что f* лучшее , по сравнению с f , приближение отображения F . Более того, в силу независимости числа <т от е и б отображение f* "почти" непрерывно, см.в). Итерационное использование

теоремы II.1.1 позволяет ( теорема II.1.2 ) исправлять е-селекции / до настоящих селекций / отображения Р. При этом важна оценка

I чОО

расстояния ¿//^(££(х) ,/(х)) < т + \ ^(е)» т -любое положительное число, а /3 мажорирует функцию а+ правых пределов функции а. Доказано также (теорема II.1.5) , что при мажорировании функций невыпуклости без размерностных ограничений в теореме 1.2 можно считать, что /3 мажорирует а , а не а+ .

$2. По модулю результатов $1 достаточно уметь строить е-селекции. Приходится строить их по "кускам" области определения, упорядоченным по включению. На каждом куске работает теорема 1.2 или 1.5, а на следующем, большем, куске эта же теорема работает, но уже для другого, большего е. Некоторая необычность конструкции,тем самым состоит в исправлении некоторой последовательности еп-селекций для последовательности (епУ достаточно быстро возрастающей к бесконечности.

ТЕОРЕМА II.2.1 (Глобальная теорема;бесконечномерный случай).

Пусть Р:Х -> В полунепрерывное, снизу отображение паракомпакта

X в банахово пространство В и пусть существует й-суммируемая строгая мажоранта функций невыпуклости всех значений Р(х),х е X. Тогда найдется непрерывная однозначная селекция / отображения Р. ТЕОРЕМА II.2.2 (Глобальная теорема;конечномерный случай).

Пусть ¥:Х -> В полунепрерывное снизу отображение п-мерного

паракомпакта X в банахово пространство В и пусть существует С-суммируемая строгая мажоранта правых верхних пределов функций невыпуклости всех значений Р(х), х е X, в размерно�