Некоторые свойства пространств отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОПСКиИ ГОСУДАРСТВКННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. м.в.ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 515.12

СТЕПАНОВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ

Специальность 01.01.04 -геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена, на кафедре общей топологии и геометрии ■ механико-математического факультета Московского государственною университета им. М.В.Ломоиосова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Филиппов О.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лифапов И.К.,

кандидат физико-математических наук, доцент Шапиро Л.Б.

Ведущее предприятие - Математический институт им. 13.А.Стек-лоиа РАН.

■>///

Защита диссертации состоится __ января 1994 г.

и 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета Л 053.05.05 по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова но адресу : 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, иуд. 14 08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке мехаиико-мачемашческого факультета МГУ ( 14 атаж ).

Й

Автореферат разослац '/ ' декабря 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Л 053.05.05

В.Н.Чубарикои

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальность темы. Тематика, связанная с изучением свойств пространств отображений, возникла в общей топологии очень давно и продолжает оставаться актуальной. Несомпеппый интерес пролегай л нет следующая задача: как связаны свойства пространств X и У и пространства отображений из X в У , б частности, в этом плане пространства отображений могут служить инструмент' м для изучения свойств топологических пространств, над которыми опи построепьт. С помотыо пространств отображений п диссертации решается одна из центральных проблем общей топологии - проблема метризации.

Пространства отображений интересны и как самостоятельный объект. Например, п связи с задачами функционального анализа или задачами самой общей топологии полезно знать, какие компакты можпо реализовать как подпространства тех или иных функциональных пространств.1)

Пространства отображений сами могут служить и'Г и равной точкой ц построении новых пространств. В диссертации строятся пространства, обобщающие пространства отображений, а также пространства их подпрострапств, которые обобщают кроме того пространства пространств решений дифференциальных уран-н«шй.

цель равоты. Не..ыо диссертационной работы является: исследование связи между метризуемостью топологического пространства и пространством отображений, построенным над ним;

А.В.Архангельский. Топологические пространства функций.-Изд-во МГУ, 1989.

изучение свойств функциональных пространстн в топологии поточечной сходимости, а также их компактных подпространств; построение и исследование пространства пространств отображний.

методы исследования. в диссертации широко используются методы таких разделов топологии, как теория многозначных отображений, С',,-теория, теория метризуемости и теория покрытий, которые получают дальнейшее развитие.

научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следующем:

1. Получены критерии метризуемости паракомнактных р-пространств.

2. Пост роено обобщение пространства пространстн отображений, изучены свойства некоторых его подпространств.

3. Введена характеристика компактов, порождающая классификацию компактов, начинающуюся с компактов Эберлейна. Изучена связь ноной характеристики с классическими.

практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа посит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение и общей топологии, в частности, в теории метризуемости, в (^-теории, в топологии пространств отображений.

апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры общей топологии и геометрии Московского государственного университета им М.В.Ломоносова, на научно-исследовательском семинаре " Общая топология и ее приложения" под руководством проф. В.В .Филиппова.

публикации. Осповпые результаты диссертации опублико-наны в работах, список которых представлен в кон.;е автореферата.

структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации • 62 страницы. Виблиография включает 15 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена вопросу метризуемости наракомпакпп.гх р-пространств, т.е.прообразов метрических прос-трансш при совершенных отображениях.

Оператором продолжения налипают отображение

где С\с(Л'>К) - пространство частичных отображений из X п И с компактными областями определения, С(X) пространство непрерьпиплх ограниченных функций на X ; оператор а ставит п соогнетсттше каждому частичному отображению уэ его продолжение, т.е. сужение образа а(</>) па область определения от ображевия совпадает с .

Отображение Ф : X* \ Д —> С{Х) с условием Ф(х,у)(а:) Ф(х,у){у) для любых г,1/€А', х # у , назовем разделяющим.

Г) §1 рассматривается связь метризуемости и оператора продолжения, п §2 - метризуемости и разделяющего отображения.

И качестве вспомогательных получены следующие результаты: одноточечная компактификацил дискретного несчетного множества не допускает существование непрерывного разделяющее отображепия; если для некоторого компакта существует непрерывное разделяющее отображение, то »гот компакт наследственно паракомпактси и удовлетворяет первой аксиоме счетности.

И югом §1 и 1)2 является осноннлн теорема. Для нлракомпакшого ;мфосгранства ..V следующие условия вквивалевтны:

1) пространство X метризуемо,

2) существует непрерывный оператор продолжения

а :<?.«(*, R)-C(A),

3) существует непрерывное разделяющее отображение

Ф:Х2\Д-С(Х).

IIa самом деле доказано, что для существования непрерывного оиератора продолжения достаточно, чтобы пространство X уплотнялось на некоторое метрическое пространство. При доказательстве этого факта использована теорема Майкла о селек-пии'). Доказательство импликации 3) =>• 1) базируется на построении семейств локально конечных покрытий.

§3 содержит некоторые следствия из Основной теоремы. Например, для кубической теоремы Кагетона: хаусдорфово компактное пространство X метризуемо <=> X3 наследственно нормально, получен аналог, а именно: иаракомпактное р-нросграиство X метризуемо тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция

<¿>: Xa \ Д —► (-1; 1 I,

удовлетворяющая условию: <р(х,х,у) ф v>(x, у, у) для любых чле-мешов х, у € X, х ф у .

Следующее следствие: наракомпактное р-пространство X метризуемо X* \ Д допускает сг-локально конечное

(в X1 \ Д) функционально открытое (» Xa) покрытие, обобщает результат Л.П.Комбарова, относящийся к финально компактным

Федирчук Ii.П., Филипнон H.H. Общая топология. Основные конструкции. Изд во МГУ, 1988. С. 131». " Kalétov М. Complete normality of cartesiaJi products. // Fund. Mailt. Uli (HM^, p.271-27».

р-пространствам.

Обратимся ко второй главе.

определение. Частичной селекцией непрерывного отображения я : У —» X назовем непрерывное отображение <р : А —» У замкнутого подмножества А С X в пространство У , удовлетворяющее условию: ■п(у(а)) = а для любого а € А .

Множество всех таких частичных селекций обозначаем (?&'(У,1г) . Оно обобщает пространство частичных отображений

<?„(;;, у) •

В этой главе строится также ЬехрУ - пространство всех подпространств пространства еасрУ . ЬехрУ служит обобщением пространства пространств решений дифференциальных уравнений (преимущественно с непрерывной правой частью), которое исследовалось В.В.Филипповым. Пространство СЬ'{У,ж) естественным образом вкладывается в ехрУ , что определяет на нем топологию. В связи с этим логично рассмотрение пространства /,((-■<>•(V») ■

§1 посвящен топологии указанных пространств, изучению некоторых их свойств, а также свойств их различных подпространств.

Через ¿СехрУ обозначаем множество всех пространств 7, С ехрУ , удовлетворяющих условию (л) : для любого компакта К С У множество Ък = [О : В € 2,0 С К) компактно.

теорема 2.1. Если У - локально компактное пространство веса г и 2 € ЬСехрУ , то точка 2 пространства ЬехрУ обладает базой мощности т.

Комбаров А.П. О функционально открытых и прямоугольных покрытиях А'3 \ Д и некоторых топологических характеристик,' х бикомпактов Норсона и Эберлейна. // Вестиик Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. N 3. с.52-54.

теорема 2.2. Пусть пространство У метризуемо, тогда /т(С5с(К,)г)) являе тся С»-множеством пространства ехрсУ .

Здесь 1т : СБс{У, ¡г) —» ехрсУ , причем /т(уз) = <р(А) , А - область определения частичной селекции у .

В §2 изучается пространство ЬСехрсУ . В случае метризуе-мого локально компактного пространства У веса т на ¡,СехрсУ вводится числовая характеристика

т : (ЬСсхрсУ)г а"1",

обладающая свойствами:

1) т(Х,г)> О,

2) т(2,Х) = 0 <=> гсх,

3) т(Х,г)<т(Х,Р)+т(Р,г). При этом имеет место

тсорёма 2.3. множество и С Ь('ехрсУ открыто тогда и только тогда, когда для любого ¡? € I/ найдется такое число с > 0 , что

{X :т(г,Х)<с) С и.

утнкрждкник 2.4. Если подпространство пространства Ы'ехрсУ сс!ь Т|-п ростр анегио, то оно метризуемо.

В третьей глано исследуется пространство Л', И') отображений из X в Лг в топологии поточечной сходимости (т - бесконечный кардинал).

В §1 вводятся две числонме характеристики компакт он. Основным при этом является следующий результат.

т г, о г к м а 3.1. Л ля любого компакта /•' следующие условия (эквивалентны: .

а) существует компакт Л' С С,,(Л,11Г) , разделяющий точки компакта Г,

б) существует гомеоморфпое вложение !■' п ^'ДУ, Лг) для неко-юрого комнакы У ,

д) F можно гомеоморфно вложить в (И.(Д))Г для некоторого множества А,

е) в F существует Го-разделяющее семейство у = U{7a : о < т), состоящее из конуль-множеств и такое, что каждое 7а точечно конечно.

Поскольку компакты Эберлейна - это компакты, гомеоморфпо вкладывающиеся в C,,(Z) для некоторого компакта Z , то экви-валеитпость пунктов б) и е) приведенной теоремы делает корректным

определение. Для любого компакта F положим eber(F) = No-min { т : в F существует To-разделяющее семейство 7 = U{7„ : а < т} конуль-множеств, причел« каждое уа точечно конечно }

и назовем eber(F) числом Эберлейна компакта F .

Одновременно вводится число Корсона компакта F : cor(F) = tto ■ min { г : X гомеоморфпо вкладывается в Er(A) для некоторого множества А }.

Компакты X с eber(X) = Üо -это в точности компакты Эберлейна, а компакты X с cor(X) = No - это р точности компакты Корсона.

Таким образом, получены две классификации компактов, первая из которых начинается с компактов Эберлейна, а вторая — с компактов Корсона.

теорема 3.2. Для любого компакта X

t(X) < сот(Х) < eber(X) < w{X).

В §2 исследуются свойства пространства СДХ,Т1Г) и его подпространств: устойчивость, монолитность, принадлежность

5) Архангельский A.B., Гкачук В.В. Пространства функций и

топологические инварианты. - Изд-во МГУ, 1985.

т-совертепному классу и другие, пекоторые кардипальнозпачиые характеристики. Можно отметить завершающую теорему.

Теорема 3.8. Если X - компакт, F - компактное подпространство пространства СР(Х,ЛГ) , то

w{F) <cF-T.

Причем в случае т = 1 имеет место равенство: wF = cF .

Следствие из этой теоремы гласит: для любого комнакга X

= с{Х) ■ eber(X),

т.е. показывает связь классических кардинальных характеристик пространств с введенной характеристикой компактов — числом ЭберлеГша.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Васильевичу Филиппову за постоянную помощь, внимание и поддержку.

список опубликованных работ

1. Степанова E.H. Классификация бикоь-.пактов, начинающаяся с бикомпактов Эберлейпа. // Вестшш Московского уп-та. Ма-тем. Механ. 1989. N 6, с. 65-67.

2. Степанова E.H. Продолжение непрерывных функц.гй и метризуемость паракомпактных р-прострапств. // Математические заметки. 1993. N 3, с. 92-101.

3. Степанова E.H. О пространстве частичпых селекций. // Труды Петрозаводского университета. Математика. 1С93. Выпуск 1, с. 78-85.